Wavelet transformacija je transformacija slična Fourierovoj transformaciji (ili mnogo sličnija prozorskoj Fourierovoj transformaciji) s potpuno drugačijom funkcijom procjene. Glavna razlika je u sljedećem: Fourierova transformacija rastavlja signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, tj. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, valićna transformacija koristi funkcije lokalizirane iu realnom iu Fourierovom prostoru. Općenito, valićna transformacija može se izraziti sljedećom jednadžbom:

gdje je * simbol kompleksne konjugacije i funkcije ψ - neka funkcija. Funkcija se može odabrati proizvoljno, ali mora zadovoljiti određena pravila.

Kao što vidite, valićna transformacija je zapravo beskonačan skup razne transformacije ovisno o funkciji procjene koja se koristi za izračun. To je glavni razlog zašto termin « valićna transformacija» koristi u vrlo različitim situacijama i za različite primjene. Također postoje mnoge vrste klasifikacija opcija valićne transformacije. Ovdje prikazujemo samo podjelu na temelju valićne ortogonalnosti. Može se koristiti ortogonalni valići za diskretnu valićnu transformaciju i neortogonalni valići za kontinuirano. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna valićna transformacija vraća vektor podataka iste duljine kao i ulaz. Obično, čak iu ovom vektoru, mnogo podataka je gotovo nula. To odgovara činjenici da se rastavlja na skup valića (funkcija) koje su ortogonalne na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga takav signal rastavljamo na iste ili manje koeficijenata talasnog spektra kao što je broj podatkovnih točaka signala. Takav talasni spektar je vrlo dobar za obradu signala i kompresiju, na primjer, budući da ovdje ne dobivamo suvišne informacije.
2. Nasuprot tome, kontinuirana valićna transformacija vraća niz za jednu dimenziju veći od ulaza. Za jednodimenzionalne podatke dobivamo sliku vremensko-frekvencijske ravnine. Lako možete pratiti promjenu frekvencija signala tijekom njegovog trajanja i usporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da se ovdje koristi neortogonalni skup valića, podaci su visoko korelirani i imaju dosta redundancije. To pomaže vidjeti rezultat u obliku bližem ljudskoj percepciji.

Dodatne pojedinosti o valićnoj transformaciji dostupne su na tisućama internetskih izvora o valićima na webu ili npr. ovdje.

Knjižnica za obradu podataka Gwyddion implementira obje ove transformacije, a moduli koji koriste valićnu transformaciju dostupni su u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije.

Diskretna talasna transformacija

Discrete Wavelet Transform (DWT) implementacija je valićne transformacije pomoću diskretnog skupa valićnih ljestvica i translacija koji poštuju određena pravila. Drugim riječima, ova transformacija rastavlja signal u međusobno ortogonalni skup valića, što je glavna razlika od kontinuirane valićke transformacije (CWT) ili njezine implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana valićna transformacija u diskretnom vremenu (DT -CWT).

Valić se može konstruirati iz funkcije skaliranja koja opisuje njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje je da funkcija mjerila mora biti ortogonalna na svoje diskretne transformacije, što implicira neka matematička ograničenja na njih, koja se posvuda spominju, tj. jednadžba homotetije

Gdje S- faktor razmjera (obično se bira kao 2). Štoviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana, a funkcija skaliranja mora biti ortogonalna svojim numeričkim prijevodima, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatni uvjeti(jer gore navedena ograničenja ne dovode do jedino rješenje) možemo dobiti rezultat svih ovih jednadžbi, tj. konačan skup koeficijenata a k koji definiraju funkciju skaliranja kao i valić. Valić se dobiva iz funkcije skaliranja kao N Gdje N- paran cijeli broj. Tada se formira skup valića ortonormirana baza, koji koristimo za dekompoziciju signala. Treba napomenuti da obično samo nekoliko koeficijenata a kće biti različit od nule, što pojednostavljuje izračune.

Sljedeća slika prikazuje neke funkcije skaliranja i valove. Najpoznatija obitelj ortonormiranih valića je obitelj Daubechies. Njegovi se valovi obično označavaju brojem koeficijenata različitih od nule a k, pa obično govorimo o Daubechies 4, Daubechies 6 itd. valićima. Grubo govoreći, kako se broj valićnih koeficijenata povećava, funkcije postaju glatkije. Ovo se jasno vidi kada se usporede valići Daubechies 4 i 20 prikazani u nastavku. Još jedan od spomenutih valića - najjednostavniji valić Haara koji koristi kvadratni val kao funkcija skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i valić (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 4 funkcija skaliranja i valić (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 20 funkcija skaliranja i valić (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Postoji nekoliko vrsta implementacije algoritma diskretne valićne transformacije. Najstariji i najpoznatiji je Mullov algoritam (piramidalni). U ovom algoritmu, dva filtra, izglađujući i neizglađujući, sastoje se od koeficijenata valića i ti se filtri primjenjuju iznova kako bi se dobili podaci za sve dostupne ljestvice. Ako se koristi cijeli set podaci D = 2 N a duljina signala je L, podaci se prvo izračunavaju D/2 za mjerilo L/2 N - 1, zatim podaci ( D /2)/2 za mjerilo L/2 N - 2, … dok ne završite s 2 podatkovne stavke za vagu L/2. Rezultat ovog algoritma bit će niz iste duljine kao i ulaz, gdje su podaci obično sortirani od najviše velikih razmjera do najmanjeg.

Gwyddion koristi piramidalni algoritam za izračunavanje diskretne valićne transformacije. Diskretna valićna transformacija u 2D prostoru dostupna je u DWT modulu.

Diskretna valićna transformacija može se koristiti za jednostavne i brzo uklanjanješum od šumnog signala. Ako samo uzmemo ograničen broj najveći koeficijenti spektra diskretne valićne transformacije, a ako izvedemo inverznu valićnu transformaciju (s istom osnovom), možemo dobiti signal više ili manje očišćen od šuma. Postoji nekoliko načina za odabir koeficijenata za spremanje. Gwyddion implementira Univerzalni prag, Prag prilagođavanja razmjera i Prag prilagođavanja razmjera i prostora. Kako bismo odredili prag u ovim metodama, prvo odredimo procjenu varijance šuma koju daje

Gdje Y ij odgovara svim koeficijentima najvišeg podraspona razgradnje (gdje se očekuje da će biti prisutna većina šuma). Alternativno, varijanca šuma može se dobiti neovisno, na primjer, kao varijanca AFM signala kada nije u tijeku skeniranje. Za najviši frekvencijski podpojas (univerzalni prag) ili za svaki podpojas (za prag prilagodljivosti mjerilu) ili za okolinu svakog piksela u podpojasu (za prag prilagođavanja mjerilu i prostoru), varijanca se izračunava kao

Vrijednost praga izračunava se u konačnom obliku kao

Kada je prag za određenu ljestvicu poznat, možemo ukloniti sve koeficijente manje od vrijednosti praga (tvrdi prag) ili možemo smanjiti apsolutnu vrijednost tih koeficijenata za vrijednost praga (meki prag).

DWT uklanjanje buke dostupno je u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije→ DWT uklanjanje buke.

Kontinuirana Wavelet transformacija

Kontinuirana valićna transformacija (CWT) je implementacija valićne transformacije pomoću proizvoljnih skala i praktički proizvoljnih valića. Valići koji se koriste nisu ortogonalni i podaci dobiveni ovom transformacijom su visoko korelirani. Za diskretne vremenske sekvence, ova se transformacija također može koristiti, uz ograničenje da najmanji valić nosi mora biti jednak uzorkovanju podataka. To se ponekad naziva kontinuirana valna transformacija u diskretnom vremenu (DT-CWT) i najčešće je korištena metoda za izračunavanje CWT-a u stvarnim aplikacijama.

U načelu, kontinuirana valna transformacija radi izravno koristeći definiciju valne transformacije, tj. izračunavamo konvoluciju signala sa skaliranim valićkom. Za svaku ljestvicu na taj način dobivamo skup iste duljine N, što je ulazni signal. Korištenje M proizvoljno odabranih ljestvica, dobivamo polje N×M, koji izravno predstavlja vremensko-frekvencijsku ravninu. Algoritam koji se koristi za ovaj izračun može se temeljiti na izravnoj konvoluciji ili na konvoluciji pomoću množenja u Fourierovom prostoru (ovo se ponekad naziva brza valna transformacija).

Odabir valića koji će se koristiti u vremensko-frekvencijskoj dekompoziciji je najvažnija stvar. Ovim izborom možemo utjecati na rezoluciju rezultata u vremenu i frekvenciji. Nemoguće je promijeniti glavne karakteristike valićne transformacije na ovaj način (niske frekvencije imaju dobra rezolucija u frekvencijama i loše u vremenu; visoke frekvencije imaju lošu frekvencijsku i dobru vremensku rezoluciju), ali možete malo povećati ukupnu frekvenciju ili vremensku rezoluciju. To je izravno proporcionalno širini valića koji se koristi u realnom i Fourierovom prostoru. Ako, na primjer, koristimo Morletov valić (stvarni dio je prigušena kosinusna funkcija), tada možemo očekivati visoka rezolucija u frekvencijama, budući da je takav valić vrlo dobro lokaliziran u frekvenciji. naprotiv, korištenjem derivacijskog Gaussovog valića (DOG), dobivamo dobru lokalizaciju u vremenu, ali lošu u frekvenciji.

Kontinuirana valićna transformacija implementirana je u CWT modulu koji je dostupan u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije→ C.W.T.

Izvori

A. Bultheel: Bull. belg. matematika Soc.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. obrada slike, (2000.) 9 str. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slike, (2000.) 9 str. 1522

Poznato je da proizvoljni signal za koji je uvjet može se prikazati ortogonalnim sustavom funkcija:

, (18)

koeficijenti se određuju iz relacije

,

Gdje je kvadrat norme ili energija bazne funkcije. Niz (18) naziva se generalizirani Fourierov red. U ovom slučaju produkti oblika uključeni u niz (18) predstavljaju spektralnu gustoću signala, a koeficijenti predstavljaju spektar signala. suština spektralna analiza signal je odrediti koeficijente. Poznavajući ove koeficijente, moguće je sintetizirati (približne) signale za fiksni broj redaka:

.

Generalizirani Fourierov red za zadani sustav osnovne funkcije i broja članova, daje najbolju sintezu prema kriteriju minimalne srednje kvadratne pogreške, koja se shvaća kao vrijednost

.

Poznate transformacije (Hadamard, Karhunen-Loev, Fourier) "loše" predstavljaju nestacionarni signal u koeficijentima širenja. Pokažimo to na sljedećem primjeru. Neka je dana nestacionarna funkcija

i njegovu Fourierovu transformaciju (slika 9).

Analiza sl. Slika 9 pokazuje da je nestacionarnost vremenskog signala predstavljena velikim brojem visokofrekventnih koeficijenata različitih od nule. To uzrokuje sljedeće probleme:

Teško je analizirati vremenski signal iz njegove Fourierove slike;

Prihvatljiva aproksimacija vremenskog signala moguća je kada se uzme u obzir veliki broj visokofrekventnih koeficijenata;

Loša vizualna kvaliteta stvarnih slika rekonstruiranih niskofrekventnim koeficijentima; i tako dalje.

Postojeći problemi uvjetovali su razvoj matematičkog aparata za pretvorbu nestacionarnih signala. Jedan od moguće načine analiza takvih signala postala je valićna transformacija (WT).

Riža. 9. Fourierova transformacija sinusoidnog signala s malim koracima na prijelazu nule

VP jednodimenzionalnog signala je njegov prikaz u obliku generaliziranog Fourierovog niza ili Fourierovog integrala preko sustava bazičnih funkcija lokaliziranih iu prostornoj iu frekvencijskoj domeni. Primjer takve osnovne funkcije je Haarov valić, koji je definiran izrazom

(20)

Grafički je Haarov valić predstavljen na sljedeći način:

Riža. 10. Osnovna funkcija Haarovog valića

Razmotrimo proces dekompozicije signala u sustavu Haarovih baznih funkcija. Prva osnovna funkcija, za razliku od svih sljedećih, je ravna crta. U slučaju normalizirane baze, konvolucija prve bazne funkcije s izvornim signalom odredit će njezinu prosječnu vrijednost. Neka je dan diskretni signal s duljinom uzoraka. Normalizirana bazna funkcija na intervalu opisana je izrazom . Zatim konvolucija ove funkcije sa signalom dovodi do izraza

Izvedemo li sintezu signala pomoću koeficijenta pomoću funkcije sinteze, dobit ćemo konstantnu komponentu koja odgovara prosječnoj vrijednosti signala. Kako bismo mogli detaljnije opisati signal, izračunavamo drugi koeficijent koristeći baznu funkciju predstavljenu izrazom (20):

Analiza dati izraz pokazuje da koeficijent karakterizira razlike u prosječnim vrijednostima polovica signala. Ako sada izvedemo sintezu na dva koeficijenta s osnovnom funkcijom sinteze za drugi koeficijent

dobivamo sljedeću aproksimaciju:

Daljnji rad analize, odnosno izračunavanje koeficijenata i sinteze, sličan je razmatranom, s tom razlikom što se sve radnje ponavljaju za polovice signala, zatim za četvrtinu i tako dalje. U posljednjoj iteraciji analiza se provodi za parove slučajnih varijabli (slika 11).

Riža. 11. Transformacija parova slučajnih varijabli

Kao rezultat toga, izvorni signal je točno opisan koeficijentima Haarove valićne transformacije. Valički koeficijenti signala (19) prikazani su na sl. 10.

Sa slike je vidljivo da su nestacionarnosti signala (oštri padovi) lokalizirane u malom broju valićnih koeficijenata. To dovodi do mogućnosti bolje rekonstrukcije nestacionarnog signala iz nepotpunih podataka.

Riža. 12. Wavelet koeficijenti jedne periode funkcije (19)

Prilikom izračuna valićnih koeficijenata, bazne funkcije pokrivale su analizirani signal na sljedeći način (slika 12). Od fig. 12 pokazuje da sustav Haarovih baznih funkcija u diskretnom prostoru mora biti specificiran s dva parametra: pomakom i frekvencijom (skalom):

,

gdje je skala bazne funkcije; - pomak. U diskretnom slučaju, parametar razmjera, gdje je bilo koji pozitivni cijeli broj, parametar pomaka. Stoga se cijeli skup osnovnih funkcija može napisati kao

.

Prednji i inverzni diskretni VP izračunavaju se formulama

,

.

Treba napomenuti da ako je broj uzoraka , tada je najveća vrijednost . Najveća vrijednost za struju je .

Za kontinuirane signale vrijedit će sljedeći integralni izrazi:

,

.

Dakle, specificiranjem valićnih funkcija, moguće je izvesti proširenje signala u smislu valićne baze kontinuiranih ili diskretnih signala.

Riža. 13. Distribucija baznih Haarovih funkcija u analizi signala

Funkcija može tvoriti valićnu bazu ako zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Ograničenje norme:

.

2. Valićna funkcija mora biti ograničena i vremenom i frekvencijom:

I , u .

Protuprimjer: delta funkcija i harmonijska funkcija ne zadovoljavaju ovaj uvjet.

3. Nulta sredina:

Ako generaliziramo ovaj uvjet, možemo dobiti formulu , koji određuje stupanj glatkoće funkcije . Vjeruje se da što je veći stupanj glatkoće bazne funkcije, to su bolja njena aproksimativna svojstva.

Kao primjer predstavljamo sljedeće dobro poznate valićne funkcije:

, .

Za VP, kao i za DFT, postoji algoritam brze transformacije. Ponovno razmislite o Haarovom potpredsjedniku. Od fig. Slika 13 pokazuje da funkcije s malim faktorom skale koriste iste uzorke signala za izračunavanje koeficijenata kao i funkcije s velikim faktorom skale. U tom slučaju se operacija zbrajanja istih uzoraka ponavlja nekoliko puta. Stoga, kako bi se smanjio volumen izračuna, preporučljivo je izračunati IP iz najmanjeg faktora razmjera. Kao rezultat toga dobivamo valićne koeficijente, koji su prosječne vrijednosti i razlike . Za koeficijente ponoviti ovaj postupak. U ovom slučaju, prosjek koeficijenata će odgovarati prosjeku četiri uzorka signala, ali se troše jedna operacija množenja i jedna operacija zbrajanja. Proces dekompozicije se ponavlja dok se ne izračunaju svi koeficijenti spektra.

Napišimo Haarov algoritam brze valne transformacije u obliku matrice. Neka vektor veličina 8 elemenata. Matrica Haarove transformacije može se napisati kao

Kontinuirana Wavelet transformacija

Svojstva Wavelet transformacije

Wavelet Zahtjevi

Za implementaciju valićne transformacije, valićne funkcije moraju zadovoljiti sljedeće kriterije:

1. Valić mora imati konačnu energiju:

2. Ako je Fourierova transformacija za, tj.

tada mora biti zadovoljen sljedeći uvjet:

Taj se uvjet naziva uvjet dopustivosti, a iz njega slijedi da valić s nultom frekvencijskom komponentom mora zadovoljiti uvjet ili, u drugom slučaju, valić mora imati prosjek jednak nuli.

3. Dodatni kriterij prikazan je za složene valove, naime, da za njih Fourierova transformacija mora biti istovremeno realna i mora se smanjivati ​​za negativne frekvencije.

4. Lokalizacija: valić mora biti kontinuiran, integrabilan, imati kompaktnu potporu i biti lokaliziran iu vremenu (u prostoru) iu frekvenciji. Ako se valić sužava u prostoru, tada mu raste prosječna frekvencija, spektar valića se pomiče u područje viših frekvencija i širi. Ovaj bi proces trebao biti linearan - sužavanje valića na pola trebalo bi povećati njegovu prosječnu frekvenciju i širinu spektra također za faktor dva.

1. Linearnost

2. Invarijantnost smicanja

Pomak signala u vremenu za t0 dovodi do pomaka valnog spektra također za t0.

3. Invarijantnost prema skaliranju

Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (rastezanja) talasnog spektra signala.

4. Diferencijacija

Iz ovoga slijedi da nema razlike hoće li se razlikovati funkcija ili analizirajući valić. Ako je valić za analizu dan formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Ovo svojstvo je posebno korisno ako je signal dan kao diskretna serija.

Valićna transformacija za kontinuirani signal s obzirom na valićnu funkciju definirana je na sljedeći način:

gdje znači kompleksni konjugat za, parametar odgovara vremenskom pomaku i naziva se parametar položaja, parametar specificira skaliranje i naziva se parametar rastezanja.

funkcija težine.

Normaliziranu funkciju možemo definirati na sljedeći način

što znači vremenski pomak za b i vremensko skaliranje za a. Tada će se formula valićne transformacije promijeniti u

Izvorni signal može se vratiti pomoću formule inverzne transformacije

U diskretnom slučaju, parametri skaliranja a i pomak b predstavljeni su diskretnim vrijednostima:

Tada analizirajući valić ima sljedeći oblik:

gdje su m i n cijeli brojevi.

U ovom slučaju, za kontinuirani signal, diskretna valna transformacija i njezina inverzna transformacija bit će zapisan sljedećim formulama:

Količine su također poznate kao valićni koeficijenti.

postoji konstanta normalizacije.

U praksi bi se DTWS trebao primijeniti na signale konačne duljine. Stoga se mora modificirati kako bi se dobio niz koeficijenata iste duljine iz signala neke duljine. Rezultirajuća transformacija naziva se diskretna talasna transformacija (DWT).

Prvo opisujemo DWT u matričnom obliku, a potom na temelju banaka filtara, što se najčešće koristi u obradi signala.

U oba slučaja pretpostavljamo da baza funkcionira i
kompaktno definirana. To automatski jamči da su nizovi konačni. I . Nadalje, pretpostavimo da signal koji se pretvara ima duljinu
.

1. Opis matrice dwt

Označimo vektorom niz konačne duljine za neke . Ovaj vektor se pretvara u vektor
, koji sadrži nizove
I
, svaka polovica dužine. Transformacija se može napisati kao množenje matrice
, gdje je matrica
- kvadrat i sastoji se od nula i elemenata pomnoženo s
. Zbog svojstava dobivena u odjeljku 2.3, matrica
je ortonormirana, a njena inverzna matrica je jednaka transponiranoj. Kao ilustraciju, razmotrite sljedeći primjer. Uzmimo filtar duljine
, niz dužine
, ali kao početna vrijednost -
. Naknadna slijed dobiti od formulom (2.35), gdje je
. Tada će operacija množenja matrica-vektor biti predstavljena kao

. (2.52)

Obrnuta transformacija je množenje
na inverznu matricu
:

. (2.53)

Dakle, izraz (2.51) je jedan DWT korak. Puni DWT je iterativno množenje gornje polovice vektora
na kvadratnu matricu
, čija je veličina
. Ovaj postupak se može ponoviti d puta dok duljina vektora ne postane 1.

U četvrtom i osmom retku matrice (2.51) niz kružno pomaknuto: koeficijenti koji su izvan matrice s desne strane smješteni su u isti red s lijeve strane. To znači da DWT ima točno jednu periodu duljine N DTWS signal dobiven beskonačnim periodičnim nastavkom . Dakle, DWT, kada je definiran na ovaj način, koristi periodičnost signala, kao u slučaju DFT.

Opis matrice DWT-a je kratak i jasan. Međutim, u obradi signala, DWT se najčešće opisuje korištenjem blok dijagrama sličnog onom kod sustava za analizu i sintezu (vidi sliku 1.1).

1. Opis dwt-a pomoću filtarskih blokova

Uzimajući u obzir transformacije podpojasa u 1. poglavlju, protumačili smo jednakosti slične (2.45) i (2.46) kao filtriranje nakon čega slijedi decimacija faktorom dva. Pošto u ovom slučaju postoje dva filtera I , tada je skup filtara dvopojasni i može se prikazati kao što je prikazano na slici 2.5.

Filteri F I E srednje filtriranje filtrima I
, odnosno. U donjoj grani kruga izvodi se niskopropusno filtriranje. Rezultat je neka aproksimacija signala, niskofrekventni (LF) podpojas bez detalja. Podpojas visoke frekvencije (HF) dodijeljen je na vrhu kruga. Imajte na umu da pri obradi signala konstanta
uvijek se vadi iz banke filtara i signal se množi s 2 (vidi sliku 3.2, Poglavlje 3).

Dakle, krug na slici 2.5 dijeli signal razine
za signale dvije razine
. Nadalje, valićna transformacija se dobiva rekurzivnom primjenom ove sheme na LF dio. Prilikom izvođenja valićne transformacije slike, svaka iteracija algoritma izvodi se prvo na retke, zatim na stupce slike (gradi se tzv. Mallatova piramida). U video kodecima ADV6xx koristi se modificirana Mallat piramida, kada se pri svakoj iteraciji transformacija ne izvodi nužno i u redovima i u stupcima. Stvoren je za više potpuno računovodstvo ljudska vizualna percepcija.

Dobivena transformacija slična je (2.51). Međutim, postoje neke razlike. Pri filtriranju signala konačne duljine suočavamo se s problemom njegovog nastavka na granici. Matrično izvođenje DWT-a je ekvivalentno periodičnom nastavku signala na granici. Ova vrsta nastavka obavezna je za ortogonalne filtre. U slučaju biortogonalnih filtara, zbog simetričnosti njihovih karakteristika pojavljuju se neke druge mogućnosti. O ovom pitanju će se detaljnije raspravljati u 3. poglavlju.

Krug koji izvodi DWT također se može prikazati kao što je prikazano na slici 2.6. Ovdje se rekurzivno filtriranje i decimacija zamjenjuju jednom operacijom filtriranja i jednom operacijom decimacije po podpojasu. Definiranje iterativnih filtara I najlakše dati frekvencijska domena.

Diskretne valne transformacije.

6.3.3.1. Opće informacije o valićnim transformacijama.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralne analize čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija.

Wavelet transformacije (WT) dijele se na diskretne (DWT) i kontinuirane (CWT). DWT se koristi za transformaciju i kodiranje signala, CWT za analizu signala.

U valićnoj analizi ulogu baznih funkcija imaju funkcije posebne vrste, koje se nazivaju valići. Izraz "wavelet" (wavelet) u prijevodu s engleskog znači "mali (kratki) val". Valići su generalizirani naziv za familije dtematskih funkcija određenog oblika, koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, a u kojima su sve funkcije dobivene iz jedne bazne (generirajuće) funkcije pomoću njezinih pomaka i proširenja po vremenskoj osi.

Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u smislu oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji.

Posebnost wavelet analiza je da može koristiti obitelji funkcija koje implementiraju razne opcije odnosi neizvjesnosti. Sukladno tome, istraživač ima mogućnost fleksibilnog izbora između njih i korištenja onih valičnih funkcija koje najučinkovitije rješavaju zadatke.

Glavno područje primjene valićnih transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koji su nestacionarni u vremenu, pri čemu rezultati analize trebaju sadržavati ne samo frekvencijski odziv signal (raspodjela energije signala po frekvencijskim komponentama), ali i informacije o lokalnim koordinatama na kojima se manifestiraju pojedine skupine frekvencijskih komponenti ili na kojima brza promjena frekvencijske komponente signala.

Na slici 3.1, analizirani signal sastoji se od dva modulirana deesian-a. Morletova talasna transformacija jasno pokazuje njihovu prostornu i frekvencijsku lokalizaciju, dok Fourierov spektar daje samo frekvencijsku lokalizaciju.

Jedna od glavnih i posebno plodonosnih ideja valovitog predstavljanja signala je podijeliti funkcije aproksimacije signala u dvije skupine: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljne - s lokalnom i brzom dinamikom promjena u pozadini. glatke dinamike, s njihovim naknadnim cijepanjem i detaljima na drugim razinama dekompozicije signala. To je moguće iu vremenskoj iu frekvencijskoj domeni predstavljanja signala valićima.

Crtanje

Slika 3.1 - valićna transformacija signala

6.3.3.2. Osnovne funkcije valićnih transformacija.

Valići imaju oblik kratkih valnih paketa s nultim srednjim trajanjem, lokaliziranih duž osi argumenta, nepromjenjivih na pomak i linearnih na operaciju skaliranja. U smislu lokalizacije u prikazu vremena i frekvencije, valići zauzimaju srednji položaj između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije lokalizirane u vremenu.

Bazisna funkcija valića je vrsta "kratkih" oscilacija. Štoviše, koncept frekvencije spektralne analize zamijenjen je ljestvicom, a za preklapanje " kratki valovi»cijela vremenska os uvela je pomak funkcija u vremenu. Osnova valića su privremene funkcije tipa:

, (3.1)

gdje je b pomak;

a je ljestvica.

Funkcija mora imati nultu površinu. Fourierova transformacija takvih funkcija je nula na nultoj frekvenciji a ima oblik pojasnog filtra. Razna značenja parametar skaliranja "a" odgovara grupi pojasnih filtara. Obitelji valića u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni koriste se za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicija valića na različitim razinama razlaganja signala.

Sljedeća funkcija

ne ovisi o parametrima i . Vektor, dano funkcijom, ima konstantnu duljinu u prostoru:

.

U praksi se osnovna funkcija često koristi kao funkcija

nazvan meksički šešir.

6.3.3.3. Kontinuirana valna transformacija.

Neka postoji funkcija i neka je neka funkcija bazna funkcija. Kontinuirana valna transformacija opisana je izrazom oblika:

. (3.2)

Ako je bazna funkcija opisana izrazom:

,

tada je rezultat uobičajena Fourierova transformacija (u ovom slučaju, parametar se ne koristi).

Za pokrivanje cijele vremenske osi prostora valovitom funkcijom koristi se operacija pomaka (pomak duž vremenske osi): , gdje je vrijednost b za CWP kontinuirana vrijednost. Da pokrije sve Raspon frekvencija koristi se operacija valovitog vremenskog skaliranja s kontinuiranom promjenom nezavisne varijable: . Dakle, pomakom po nezavisnoj varijabli (t-b) valić ima mogućnost pomicanja po cijeloj numeričkoj osi proizvoljnog signala, a promjenom varijable mjerila "a" (u fiksnoj točki (t-b) osi) za "pregled" frekvencijskog spektra signala u određenom intervalu okoline ovih točaka.

Dakle, kontinuirana valićna transformacija je dekompozicija signala u svim mogućim pomacima i kompresijama/širenjima neke lokalizirane konačne funkcije - valića. U ovom slučaju varijabla "a" određuje skalu valića i ekvivalentna je frekvenciji u Fourierovim transformacijama, a varijabla "b" je pomak valića prema signalu od početne točke u području ​njegovu definiciju, čija skala ponavlja vremensku skalu analiziranog signala.

Pojam VP mjerila ima analogiju s mjerilom geografskih karata. Vrijednosti velike skale odgovaraju globalnoj reprezentaciji signala, i niske vrijednosti mjerilo vam omogućuje razaznavanje detalja. Što se tiče frekvencije, niske frekvencije odgovaraju informacijama o globalnom signalu, a visoke frekvencije odgovaraju detaljne informacije i obilježja koja imaju mali opseg, tj. valićna skala, kao jedinica skale vremensko-frekvencijskog prikaza signala, inverzna je frekvenciji. Zoom kao matematička operacija, širi ili komprimira signal. Velike vrijednosti odgovaraju proširenjima signala, a male vrijednosti odgovaraju komprimiranim verzijama. U definiciji valića, faktor razmjera A je u nazivniku. Odnosno, A> 1 proširuje signal, A < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Diskretna valna transformacija.

U principu, pri obradi podataka na računalu, diskretizirana verzija kontinuirane valićne transformacije može se izvesti uz postavljanje diskretnih vrijednosti parametara (a, b) valića s proizvoljnim korakom a i b. Rezultat je višak koeficijenata, daleko veći od broja uzoraka izvornog signala, koji nije potreban za rekonstrukciju signala.

Diskretna valna transformacija (DWT) daje dovoljno informacija i za analizu signala i za sintezu signala, dok je ekonomična u smislu broja operacija i potrebne memorije. DWP radi s diskretnim vrijednostima parametara A I b, koje su u pravilu dane u obliku funkcija snage:

,

,

Gdje ;

Cijeli brojevi;

Parametar skale;

Parametar pomaka.

Prostorna baza u diskretnom prikazu:

Wavelet koeficijenti izravne transformacije:

. (3.5)

Vrijednost "a" može biti proizvoljna, ali se obično postavlja na 2, a transformacija se poziva dyadic wavelet transformacija. Za razvijenu dijadnu transformaciju brzi algoritam izračune, slične brzoj Fourierovoj transformaciji, što je unaprijed odredilo njegovu široku upotrebu u analizi nizova digitalnih podataka.

Obrnuto diskretna transformacija za kontinuirane signale s normaliziranom ortogonalnom bazom valovitog prostora:

. (3.6)

Broj valića koje koristi faktor skale m definira razinu raspad signala, dok se nulta razina (m = 0) obično uzima kao razina maksimalne vremenske rezolucije signala, tj. sam signal i naknadne razine (m< 0) образуют ниспадающее valovito stablo. U softver izračunima kako bi se izbjegla uporaba negativnog numeriranja s m, znak minus se obično prenosi izravno na sljedeći pogled osnovne funkcije:

6.3.3.5. Frekventno-vremenska lokalizacija valićne analize.

Pravi signali obično su konačne. Frekvencijski spektar signala obrnuto je proporcionalan njihovom trajanju. U skladu s tim, dovoljno preciznu niskofrekventnu analizu signala treba provesti u velikim intervalima njegovog postavljanja, a visokofrekventnu - u malim. Ako se frekvencijski sastav signala značajno mijenja u intervalu njegovog postavljanja, tada Fourierova transformacija daje samo prosječne podatke o frekvencijskom sastavu signala s konstantnom frekvencijskom rezolucijom. Određena frekvencijsko-vremenska lokalizacija analize stvorena je dejunkcijom prozorske Fourierove transformacije, koja daje obitelji frekvencijskih spektara lokaliziranih u vremenu, ali unutar konstantne širine prozora, i stoga također s konstantnom vrijednošću i frekvencije i vremena rezolucija.

Za razliku od prozorske Fourierove transformacije, valićna transformacija, sa sličnim diskretnim vrijednostima pomaka b, daje obitelj spektra faktora skale A kompresija-istezanje:

. (3.8)

Ako pretpostavimo da svaki valić ima određenu "širinu" svog vremenskog prozora, koji odgovara određenoj "prosječnoj" frekvenciji spektralne slike valića, obrnuto njegovom faktoru skale A, tada se obitelji faktora skale valićne transformacije mogu smatrati sličnim obiteljima frekvencijskih spektara prozorske Fourierove transformacije, ali s jednim temeljna razlika. Faktori razmjera mijenjaju "širinu" valića i, sukladno tome, "prosječnu" frekvenciju njihovih Fourierovih slika, te, prema tome, svaka frekvencija ima svoje trajanje vremenskog prozora analize, i obrnuto. Tako male vrijednosti parametara A, karakterizirajući brze komponente u signalima, odgovaraju visokim frekvencijama i velike vrijednosti – niske frekvencije. Promjenom skale valići mogu otkriti razlike u različite frekvencije, a zbog pomaka (parametar b) za analizu svojstava signala u različite točke kroz cijeli vremenski interval koji se proučava. Višedimenzionalni vremenski prozor valićne transformacije prilagođen je za optimalnu detekciju niskofrekventnih i visoke frekvencijske karakteristike signale.

Dakle, na visoke frekvencije bolja rezolucija u vremenu, a na niskim - u frekvenciji. Za visokofrekventnu komponentu signala možemo preciznije odrediti njegov vremenski položaj, a za niskofrekventnu komponentu frekvencijsku vrijednost.

Visokofrekventne (male) informacije izračunavaju se na temelju dugih intervala signala, a niskofrekventne informacije izračunavaju se na temelju velikih. Budući da su analizirani signali uvijek konačni, pri izračunavanju koeficijenata na granicama specifikacije signala, područje pouzdanosti izlazi izvan granica signala, a radi smanjenja proračunske pogreške signal se nadopunjuje postavljanjem početnih i završnih uvjeta.

6.3.3.6. Prednosti i nedostaci wavelet analize.

Prednosti valićne analize uključuju:

Wavelet transformacije imaju sve prednosti Fourierovih transformacija;

Wavelet baze se mogu dobro lokalizirati i po frekvenciji i po vremenu;

Pri odvajanju dobro lokaliziranih procesa na više skala u signalima, mogu se uzeti u obzir samo one razine dekompozicije skale koje su od interesa;

Wavelet baze, za razliku od Fourierove transformacije, imaju mnogo različitih osnovne funkcije, čija su svojstva usmjerena na rješavanje različitih problema.

Nedostatak valićnih transformacija je njihova relativna složenost.

6.3.3.7. Svojstva valićne analize.

Dobivanje objektivnih informacija o signalu temelji se na svojstvima valićne transformacije, zajedničkim valićima svih vrsta. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije valićne transformacije proizvoljnih funkcija x(t) koristit ćemo se indeksom TW.

Linearnost.

TW[α x 1 (t)+β x 2 (t)] = α TW+β TW.

Invarijantnost smicanja. Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka valnog spektra također za t 0:

TW = X(a, b-t o).

Invarijantnost skaliranja. Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (rastezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1/a o) X(a/a o,b/a o).

Diferencijacija.

D n (TW)/dt n = TW.

TW = (-1) n x(t) dt.

Nije bitno hoće li se razlikovati funkcija ili valić za analizu. Ako je deelising valić zadan formulom, onda to može biti vrlo korisno za deelising signale. Moguće je analizirati značajke visokog reda ili male varijacije signala x(t) ignorirajući polinomske komponente velikih razmjera (trend i regionalnu pozadinu) diferenciranjem potrebnog broja puta valića ili samog signala. Ovo svojstvo je posebno korisno kada je signal dan kao diskretna serija.

Analog Parsevalovog teorema za ortogonalne i biortogonalne valove.

X 1 (t) x 2 *(t) \u003d X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Slijedi da se energija signala može izračunati u smislu koeficijenata valićne transformacije.

Osnove digitalna obrada signali: tutorial/ Yu.A. Brjuhanov, A.A. Priorov, V.I. Džigan, V.V. Hrjaščov; Jaroslavlj Država. un-t im. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarGU, 2013. - 344 str. (str. 270)