Neke ideje teorije valova pojavile su se davno. Na primjer, već 1910. godine A. Haar je objavio kompletan ortonormalni sustav osnovne funkcije s lokalnom domenom (sada se zovu Haar wavelets). Prvi spomen valova pojavio se u literaturi o digitalnoj obradi i analizi seizmičkih signala (radovi A. Grossmana i J. Morleta).

Nedavno, cjelina znanstvenog smjera vezano uz valnu analizu i teoriju valne transformacije. Waveleti se naširoko koriste za filtriranje i prethodnu obradu podataka, analizu stanja i predviđanje stanja na burzi, prepoznavanje uzoraka, obradu i sintezu različiti signali, na primjer, govorne, medicinske, za rješavanje problema kompresije i obrade slike, za obuku neuronskih mreža i u mnogim drugim slučajevima.

Unatoč činjenici da je teorija valnih transformacija već u osnovi razvijena, koliko ja znam, ne postoji precizna definicija što je to "wavelet", koje se funkcije mogu nazvati valovima. Valovi mogu biti ortogonalni, poluortogonalni, biortogonalni. Ove funkcije mogu biti simetrične, asimetrične i neuravnotežene.

Postoje valovi s kompaktnom domenom definicije i oni bez nje. Neke funkcije imaju analitički izraz, drugi - brzi algoritam za izračunavanje pridružene wavelet transformacije. Pokušajmo najprije dati neformalnu definiciju wavelet transformacije, a zatim - njezino točno matematičko opravdanje.

Wavelets i multiscale analiza

Razmotrimo problem koji je vrlo čest u praksi: imamo signal (a signal može biti bilo što, od snimanja očitanja senzora do digitaliziranog govora ili slike). Ideja multiscale analiza(multiscale analiza, multirezolucijska analiza) je promatrati signal najprije izbliza - pod mikroskopom, zatim kroz povećalo, zatim se odmaknuti nekoliko koraka, a zatim pogledati izdaleka (slika 1).

Što nam to daje? Prvo, možemo ga identificirati uzastopnim pojačavanjem (ili rafiniranjem) signala lokalne značajke(naglasak u govoru ili karakteristični detalji slike) i podijeliti ih prema intenzitetu. Drugo, na taj se način detektira dinamika promjena signala ovisno o mjerilu.

Ako su nagli skokovi (na primjer, hitno odstupanje očitanja senzora) u mnogim slučajevima vidljivi "golim okom", tada se interakcije događaja malih razmjera razvijaju u fenomene velikih razmjera (na primjer, snažan prometni tok sastoji se od kretanje mnogih pojedinačnih automobila) vrlo je teško vidjeti. S druge strane, fokusirajući se samo na male detalje, možda nećete primijetiti fenomene koji se događaju na globalnoj razini.

Ideja korištenja valleta za analizu višestrukih razmjera je da se signal razlaže prema osnovi koju čine pomaci i višesmjerne kopije funkcije prototipa (to jest, valna transformacija je inherentno fraktalna). Takve osnovne funkcije nazivaju se valovi ( valčić) ako su definirane na prostoru L 2 (R)(prostor funkcija kompleksnih vrijednosti f (t) na ravnoj liniji s ograničenom energijom), osciliraju oko osi apscise i brzo konvergiraju na nulu kako apsolutna vrijednost argumenta raste (slika 2).

Odmah rezervirajmo da ova definicija ne pretendira da bude potpuna i točna, već daje samo određeni "verbalni portret" vala. Dakle, konvolucija signala s jednim od vala omogućuje odabir karakteristike signala u području lokalizacije ovog talasa i kako većeg razmjera ima val, šire područje signala će utjecati na rezultat konvolucije.

Prema principu nesigurnosti, što je funkcija bolje koncentrirana u vremenu, to je više razmazana u frekvencijskoj domeni. Kada se funkcija ponovno skalira, umnožak vremenskog i frekvencijskog raspona ostaje konstantan i predstavlja područje ćelije u vremensko-frekvencijskoj (faznoj) ravnini.

Prednost talasne transformacije u odnosu na, na primjer, Gaborovu transformaciju je u tome što pokriva faznu ravninu sa stanicama istog područja, ali različitih oblika (slika 3.). To omogućuje dobro lokaliziranje detalja niskofrekventnog signala u frekvencijskoj domeni (dominantni harmonici), a visokofrekventnih u vremenskoj domeni (oštri skokovi, vrhovi, itd.).

Štoviše, wavelet analiza omogućuje proučavanje ponašanja fraktalnih funkcija – to jest, one nemaju derivacije ni u jednoj točki!

Ortogonalna transformacija valova

Wavelet transformacija nosi ogromnu količinu informacija o signalu, ali, s druge strane, ima jaku redundantnost, budući da svaka točka fazne ravnine utječe na njegov rezultat.

Općenito govoreći, za točnu rekonstrukciju signala dovoljno je znati njegovu valnu transformaciju na nekoj prilično rijetkoj rešetki u faznoj ravnini (na primjer, samo u središtu svake ćelije na slici 3). Posljedično, sve informacije o signalu sadržane su u ovom prilično malom skupu vrijednosti.

Ideja je ovdje skalirati val za neki konstantan (na primjer, 2) broj puta i pomaknuti ga u vremenu za fiksnu udaljenost ovisno o mjerilu. U tom slučaju svi pomaci iste ljestvice moraju biti po paru ortogonalni - takvi se valovi nazivaju ortogonalnimi.

Kod takve transformacije signal se konvolvira s određenom funkcijom (tzv. skalirajuća funkcija, o njezinim ćemo svojstvima govoriti kasnije) i s valom koji je povezan s tom funkcijom skaliranja. Kao rezultat, dobivamo "uglađenu" verziju izvornog signala i skup "detalja" koji razlikuju izglađeni signal od originala.

Sukcesivnom primjenom takve transformacije možemo dobiti rezultat traženog stupnja detalja (glatkosti) i skupa detalja na različite skale- što je rečeno na početku članka. Štoviše, primjenom wavelet transformacije na detalj signala koji nas zanima, možemo dobiti njegovu "uvećanu sliku". I obrnuto, odbacujući beznačajne detalje i izvodeći inverznu transformaciju, dobivamo signal očišćen od šuma i nasumičnih emisija (na primjer, "uklonimo" pticu koja je slučajno ušla u okvir na fotografiji zgrade).

Diskretna wavelet transformacija i drugi smjerovi wavelet analize

Očito je da je ideja korištenja wavelet transformacije za obradu diskretnih podataka vrlo atraktivna (uzorkovanje podataka je potrebno, na primjer, kada se obrađuju na računalu). Glavna poteškoća leži u činjenici da se formule za diskretnu valna transformacija ne mogu dobiti jednostavno diskretizacijom odgovarajućih formula za kontinuiranu transformaciju.

Srećom, I. Dobeshi je uspio pronaći metodu koja omogućuje konstruiranje (beskonačnog) niza ortogonalnih valova, od kojih je svaki određen konačnim brojem koeficijenata. Postalo je moguće izgraditi algoritam koji implementira brzu wavelet transformaciju na diskretne podatke (Mall-ov algoritam). Prednost ovog algoritma, pored svega navedenog, leži u njegovoj jednostavnosti i velika brzina: i razgradnja i oporavak zahtijevaju redoslijed od cN operacije gdje S Je broj koeficijenata i N- duljina uzorka.

U posljednje vrijeme teorija valne transformacije doživljava revolucionarni rast. Pojavila su se i razvijaju se područja kao što su biortogonalni talasi, multivalovi, talasni paketi, podizanje itd.

Primjena wavelet transformacije

U zaključku našeg članka navodimo neka područja u kojima bi uporaba valova mogla biti (ili je već) vrlo obećavajuća.

1. Eksperimentalna obrada podataka. Budući da su se valovi pojavili upravo kao mehanizam za obradu eksperimentalnih podataka, njihova primjena za rješavanje ovakvih problema i dalje je vrlo atraktivna. Wavelet transformacija daje najvizualniju i informativniju sliku rezultata eksperimenta, omogućuje vam da očistite početne podatke od šuma i slučajnih izobličenja, pa čak i "na oko" uočite neke od značajki podataka i smjer njihovog daljnjeg obradu i analizu. Osim toga, valovi su vrlo prikladni za analizu nestacionarnih signala koji nastaju u medicini, analizi burze i drugim poljima.
2. Obrada slike. Naša vizija je osmišljena na način da svoju pozornost usmjeravamo na bitne detalje slike, izrezujući nepotrebno. Koristeći wavelet transformaciju, možemo izgladiti ili istaknuti neke od detalja slike, povećati ili smanjiti, istaknuti važne detalje, pa čak i poboljšati njezinu kvalitetu!
3. Kompresija podataka. Značajka ortogonalne analize na više razmjera je da su, za dovoljno glatke podatke, konvertirani detalji općenito po veličini blizu nuli i stoga su vrlo dobro komprimirani konvencionalnim statističkim metodama. Veliko dostojanstvo wavelet transformacija je da ne unosi dodatnu redundantnost u izvorne podatke, a signal se može u potpunosti rekonstruirati korištenjem istih filtara. Osim toga, odvajanje detalja od glavnog signala kao rezultat transformacije olakšava implementaciju kompresije s gubicima - samo trebate odbaciti detalje u mjerilima gdje su beznačajni! Dovoljno je reći da se slika obrađena valovima može komprimirati 3-10 puta bez značajnog gubitka informacija (i uz prihvatljive gubitke - do 300 puta!). Kao primjer, napominjemo da je wavelet transformacija temelj MPEG4 standarda kompresije podataka.
4. Neuronske mreže i drugi mehanizmi analize podataka. Velike poteškoće u obučavanju neuronskih mreža (ili postavljanju drugih mehanizama analize podataka) stvaraju jaki bučni podaci ili prisutnost veliki broj "posebnim slučajevima"(slučajni odstupnici, praznine, nelinearna izobličenja, itd.). Takav šum može sakriti ili oponašati karakteristike podataka i može uvelike degradirati rezultate treninga. Stoga se preporuča očistiti podatke prije analize. Iz već razloga gore spomenuto , kao i zbog prisutnosti brzih i učinkoviti algoritmiČini se da su valovi vrlo prikladan i obećavajući mehanizam za čišćenje i prethodnu obradu podataka za korištenje u statističkim i poslovnim aplikacijama, sustavima umjetne inteligencije itd.
5. Sustavi prijenosa podataka i digitalna obrada signale. Zbog svoje visoke algoritamske učinkovitosti i otpornosti na smetnje, valna transformacija je moćan alat u područjima gdje su se tradicionalno koristile druge metode analize podataka, kao što je Fourierova transformacija. Mogućnost primjene već postojeće metode obrada rezultata transformacije, kao i karakteristične značajke ponašanja valne transformacije u vremensko-frekvencijskoj domeni, mogu značajno proširiti i nadopuniti mogućnosti takvih sustava.

I to nije sve!

Zaključak

Unatoč činjenici da je matematički aparat za analizu valova dobro razvijen i da je teorija općenito poprimila oblik, valovi ostavljaju veliko polje za istraživanje. Dovoljno je reći da je odabir vala najprikladnijeg za analizu specifičnih podataka više umjetnost nego rutinski postupak. Osim toga, zadatak razvoja aplikacija pomoću wavelet analize je od velike važnosti, kako u navedenim područjima, tako i u mnogim drugim, koja se jednostavno ne mogu nabrojati.

Književnost

1. Daubechies I. Deset predavanja o valovima. Moskva, "RHD", 2001
2. Vorobiev V.I., Gribunin V.G. Teorija i praksa wavelet transformacije. Sankt Peterburg, VUS, 1999
3. Mallat S. Teorija za multirezolucijsku dekompoziciju signala: reprezentacija valova. IEEE Trans. Analiza uzoraka i strojna inteligencija, 1989., N7, str. 674-693.

Talasi(iz engleskog. valčić), rafala- to matematičke funkcije omogućujući analizu različitih frekvencijskih komponenti podataka. Wavelet koeficijenti određeni su integralnom transformacijom signala. Dobiveni talasni spektrogrami bitno se razlikuju od konvencionalnih Fourierovih spektra po tome što daju jasno vezanje spektra razne značajke signale vremenu.

Za obradu diskretni signali koristi se diskretna valna transformacija (DWT, DWT).

Prvi DVP predložio je mađarski matematičar Alfred Haar. Za ulazni signal predstavljen nizom od 2 n brojeva, Haarova valna transformacija jednostavno grupira elemente po 2 i tvori zbrojeve i razlike od njih. Zbroji su grupirani rekurzivno kako bi se formirala sljedeća razina proširenja. Kao rezultat, dobivamo 2 n −1 razliku i 1 ukupan iznos... Počet ćemo s jednodimenzionalnim skupom podataka koji se sastoji od N elementi. U principu, ti elementi mogu biti susjedni slikovni pikseli ili uzastopni zvučni ugrizi. Primjer bi bio niz brojeva (2,9,12,10,9,8,8,7). Prvo izračunajmo četiri prosječne vrijednosti (slika 40)

Jasno je da poznavanje ova četiri poluzbroja nije dovoljno za rekonstrukciju cijelog niza, pa ćemo ipak izračunati četiri polu-razlike

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

koje ćemo nazvati koeficijenti detalja. Prosjeci se mogu smatrati velikom rezolucijom originalna slika, a detalji su potrebni za oporavak manjih detalja ili ispravaka. Ako su izvorni podaci u korelaciji, tada će velika rezolucija ponoviti izvornu sliku, a detalji će biti mali.

Za oporavak se može koristiti niz koji se sastoji od četiri polu-zbroja i četiri polu-razlike izvorni niz brojevima. Novi niz također se sastoji od osam brojeva, ali njegove posljednje četiri komponente, polu-razlike, imaju tendenciju da se smanjuju, što je dobro za kompresiju.

Ponovimo naš postupak za prve četiri (velike) komponente našeg novog niza. Oni se pretvaraju u dva prosjeka i dvije polu-razlike. Ostale četiri komponente ostavite nepromijenjene. Sljedeća i konačna iteracija našeg procesa pretvara prve dvije komponente ovog niza u jednu srednju vrijednost (koja je zapravo srednja vrijednost svih 8 elemenata u izvornom nizu) i jednu polovinu razlike.

Slika 3.18. Ilustracija kako radi jednodimenzionalna wavelet transformacija.

Kao rezultat, dobivamo niz brojeva tzv Haar wavelet transformacija izvorni niz podataka.

Jednodimenzionalna Haarova valna transformacija lako se prenosi na dvodimenzionalni slučaj. Standardna dekompozicija (slika 3.19) počinje izračunavanjem valnih transformacija svih linija slike. Sve iteracije procesa se primjenjuju na svaki redak sve dok krajnji lijevi element svakog retka ne bude jednak prosječnoj vrijednosti brojeva ovog retka, a svi ostali elementi jednaki ponderiranim razlikama. Dobit ćete sliku čiji prvi stupac sadrži prosjek stupaca izvorne slike. Nakon standardni algoritam izvodi wavelet transformaciju na svakom stupcu. Rezultat je dvodimenzionalni niz s elementom u gornjem lijevom kutu jednakim prosjeku cijelog izvornog niza. Preostali elementi Gornji red bit će jednak ponderiranom prosjeku razlika, ispod su razlike prosjeka, a svi ostali pikseli se pretvaraju u odgovarajuće razlike.

Piramidalna dekompozicija izračunava wavelet transformaciju ponavljanjem redova i stupaca jedan po jedan. U prvom koraku izračunavaju se poluzbroji i polurazlike za sve retke (samo jedna iteracija, a ne cijela valna transformacija). Ova radnja proizvodi prosjeke u lijevoj polovici matrice i pola razlike u desnoj polovici. U drugom koraku izračunavaju se poluzbroji i polurazlike za sve stupce rezultirajuće matrice.

Slika 3.19. Standardna 2D transformacija valčića

Slika 3.20. Piramidalna 2D transformacija valčića

Rezultat dvodimenzionalne wavelet transformacije je skup matrica koje odgovaraju različitim spektralnim komponentama izvorne slike. Štoviše, u lijevoj gornji kut pronađena je niskofrekventna komponenta LL4 (slika 3.21), koja je nastala samo na temelju poluzbroja i smanjena je kopija izvorne slike.

Slika 3.21. Komponente 2D Wavelet Transform

Ostatak komponenti transformacije može se koristiti za vraćanje izvorne slike. U isto vrijeme, visokofrekventne komponente dobro se podnose kompresiji pomoću algoritama RLE i Huffman. Također treba napomenuti da je kod kompresije s gubicima također moguće koristiti kvantizaciju, kao i izravno odbacivanje nekih komponenti. Rezultat takvih operacija je dobar omjer kompresije. Na sl. 3.22 prikazuje primjer kodiranja slike korištenjem wavelet transformacije.

Treba napomenuti da dvodimenzionalna wavelet transformacija zahtijeva značajne računske resurse kada se implementira s konvencionalnim programske metode... Međutim, algoritam wavelet transformacije sastoji se od velikog broja jednostavnih transformacija koje su pogodne za paralelizaciju. Kao rezultat toga, ova se transformacija dobro izvodi u hardveru pomoću specijalizirane baze elemenata.

Slika 3.22. Primjer wavelet transformacije slike.

Wavelet transformacija koristi se u standardu kompresije slike JPEG2000, a također se nudi kao alat u MPEG-4 formatu.

Diskretne valne transformacije.

6.3.3.1. Opće informacije o wavelet transformacijama.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralna analiza, čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija.

Wavelet transformacija (WT) klasificira se na diskretnu (DWT) i kontinuiranu (CWT). DWT se koristi za transformacije signala i kodiranje, CWT se koristi za analizu signala.

U wavelet analizi ulogu baznih funkcija imaju funkcije posebne vrste koje se nazivaju valovi. Izraz "wavelet" u prijevodu s engleskog znači "mali (kratki) val". Valovi su generalizirani naziv za obitelji funkcija specifičnog oblika koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, a u kojima se sve funkcije dobivaju iz jedne osnovne (generirajuće) funkcije pomoću njezinih pomaka i rastezanja duž vremenske osi.

Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u terminima oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji.

Prepoznatljiva značajka wavelet analiza je da može koristiti obitelj funkcija koje implementiraju različite opcije za odnos nesigurnosti. Sukladno tome, istraživač ima fleksibilan izbor između njih i korištenja onih wavelet funkcija koje najučinkovitije rješavaju zadane zadatke.

Glavno područje primjene wavelet transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koje su vremenski nestacionarne, pri čemu rezultati analize moraju sadržavati ne samo frekvencijsku karakteristiku signala (distribuciju energije signala po frekvencijskim komponentama), ali i informacije o lokalnim koordinatama na kojima se ove ili one manifestiraju.skupine frekvencijskih komponenti ili na kojima brze promjene frekvencijske komponente signala.

Na slici 3.1, analizirani signal se sastoji od dva modulirana deezijana. Morletova valna transformacija jasno pokazuje njihovu prostornu i frekvencijsku lokalizaciju, dok Fourierov spektar daje samo frekvencijsku lokalizaciju.

Jedna od glavnih i posebno plodnih ideja valnog prikaza signala je podjela funkcija pristupa signalu u dvije skupine: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljne - s lokalnom i brzom dinamikom promjena. na pozadini glatke dinamike, s njihovom naknadnom fragmentacijom i detaljima na drugim razinama dekompozicije signala. To je moguće iu vremenskoj i u frekvencijskoj domeni valovitog prikaza signala.

Crtanje

Slika 3.1 - wavelet transformacija signala

6.3.3.2. Osnovne funkcije valnih transformacija.

Talasi imaju oblik kratkovalnih paketa s nultom srednjom dejunom, lokalizirani duž osi argumenata, nepromjenjivi na pomak i linearni na operaciju skaliranja. U smislu lokalizacije u vremenu i frekvencijskom predstavljanju, valovi zauzimaju međupoziciju između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije, lokalizirane u vremenu.

Osnovna wavelet funkcija je svojevrsna "kratka" oscilacija. Štoviše, koncept učestalosti spektralne analize zamijenjen je ljestvicom, a za preklapanje " kratkim valovima»Cijela vremenska os je pomaknuta funkcija u vremenu. Osnova talasa su vremenske funkcije tipa:

, (3.1)

gdje je b pomak;

a - ljestvica.

Funkcija mora imati nultu površinu. Fourierova transformacija takvih funkcija jednaka je nuli na nultoj frekvenciji i ima oblik propusnog filtra. Različite vrijednosti parametra skale "a" odgovaraju skupu propusnih filtara. Obitelji valova u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni koriste se za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicije vala na različitim razinama razlaganja signala (dekompozicije).

Sljedeća funkcija

ne ovisi o parametrima i. Vektor zadan funkcijom ima konstantnu duljinu u prostoru:

.

U praksi se funkcija često koristi kao osnovna funkcija

zvan meksički šešir.

6.3.3.3. Kontinuirana valna transformacija.

Neka postoji funkcija i neka funkcija - osnovna funkcija. Kontinuirana valna transformacija opisana je izrazom oblika:

. (3.2)

Ako je osnovna funkcija opisana izrazom:

,

tada je rezultat uobičajena Fourierova transformacija (u ovom slučaju parametar se ne koristi).

Da biste pokrili cijelu vremensku os prostora valovitom funkcijom, koristite operaciju pomaka (pomak duž vremenske osi): , gdje je vrijednost b za CWP kontinuirana. Za pokrivanje cijelog frekvencijskog raspona koristi se operacija vremenskog skaliranja talasa uz kontinuiranu promjenu nezavisne varijable: ... Dakle, pomicanjem duž nezavisne varijable (tb), val ima sposobnost da se kreće duž cijele numeričke osi proizvoljnog signala, a promjenom varijable skale "a" (u fiksnoj točki (tb) osi) "vidjeti" frekvencijski spektar signala u određenom intervalu blizine ovih točaka.

Dakle, kontinuirana valna transformacija je dekompozicija signala u smislu svih mogućih pomaka i kontrakcija / rastezanja neke lokalizirane konačne funkcije - vala. U ovom slučaju varijabla "a" određuje skalu vala i ekvivalentna je frekvenciji u Fourierovim transformacijama, a varijabla "b" je pomak valleta prema signalu od početne točke u domeni njegove definicije, čija ljestvica ponavlja vremensku skalu analiziranog signala.

Koncept mjerila IP-a ima analogiju s mjerilom geografskih karata. Veće vrijednosti na skali odgovaraju globalnom prikazu signala, i niske vrijednosti ljestvice omogućuju razlikovanje detalja. Što se tiče učestalosti niske frekvencije odgovaraju globalnoj informaciji o signalu, a visoke frekvencije odgovaraju detaljne informacije i značajke koje su kratke po opsegu, t.j. ljestvica vala, kao jedinica vremensko-frekventnog prikaza signala, recipročna je frekvenciji. Skaliranje kao matematička operacija, širi ili sužava signal. Vrijednosti velikih razmjera odgovaraju proširenjima signala, a vrijednosti male skale odgovaraju komprimiranim verzijama. U definiciji vala, faktor skale a stoji u nazivniku. Odnosno, a> 1 proširuje signal, a < 1 сжимает его.

6.3.3.4. Diskretna valna transformacija.

U principu, pri obradi podataka na osobnom računalu, može se izvesti diskretizirana verzija kontinuirane valne transformacije s postavljanjem diskretnih vrijednosti parametara (a, b) valleta s proizvoljnim korakom a i b. Rezultat je višak koeficijenata, koji daleko premašuje broj uzoraka izvornog signala, što nije potrebno za rekonstrukciju signala.

Diskretna valna transformacija (DWT) daje dovoljno informacija i za analizu i za sintezu signala, dok je ekonomična u smislu broja operacija i potrebne memorije. Vlaknaste ploče rade s diskretnim vrijednostima parametara a i b, koje se u pravilu postavljaju u obliku funkcija moći:

,

,

gdje ;

Cijeli brojevi;

Parametar skale;

Shift parametar.

Baza prostora u diskretnom prikazu:

Koeficijenti talasa izravne transformacije:

. (3.5)

Vrijednost "a" može biti proizvoljna, ali se obično uzima jednakom 2, a transformacija se naziva dijadička valna transformacija... Za dijadnu transformaciju razvijen je algoritam brzog računanja, sličan brzoj Fourierovoj transformaciji, što je predodredilo njegovu široku primjenu u analizi digitalnih nizova podataka.

Inverzna diskretna transformacija za kontinuirani signali za normaliziranu ortogonalnu valnu bazu prostora:

. (3.6)

Broj korištenih valova po faktoru skale m određuje razinu raspad signala, dok se nulta razina (m = 0) obično uzima kao razina maksimalne vremenske rezolucije signala, t.j. sam signal i sljedeće razine (m< 0) образуют ниспадающее stablo valova... V softver Izračuni za isključivanje upotrebe negativnog numeriranja prema m, znak minus se obično prenosi izravno na sljedeći nastup osnovne funkcije:

6.3.3.5. Vremensko-frekvencijska lokalizacija wavelet analize.

Pravi signali obično su konačni. Frekvencijski spektar signala obrnuto je proporcionalan njihovom trajanju. Sukladno tome, dovoljno točnu analizu niskofrekventnog signala treba provoditi u velikim intervalima njegovog dodjeljivanja, a visokofrekventnu analizu u malim intervalima. Ako frekvencijski sastav signala pretrpi značajne promjene u intervalu njegove dodjele, tada Fourierova transformacija daje samo prosječne podatke o frekvencijskom sastavu signala s konstantnom frekvencijskom rezolucijom. Određena vremensko-frekventna lokalizacija analize stvara se djelovanjem prozorske Fourierove transformacije, koja daje obitelj frekvencijskih spektra lokaliziranih u vremenu, ali unutar konstantne širine prozora funkcije prozora, pa stoga i s konstantnom vrijednost frekvencijske i vremenske rezolucije.

Za razliku od prozorske Fourierove transformacije, valna transformacija, sa sličnim diskretnim vrijednostima pomaka b, daje obitelji spektra koeficijenta skale a kompresijsko istezanje:

. (3.8)

Ako pretpostavimo da svaki val ima određenu "širinu" svog vremenskog prozora, što odgovara određenoj "prosječnoj" frekvenciji spektralne slike vala, inverzno njegovom faktoru skale a, tada se obitelji koeficijenata skale talasne transformacije mogu smatrati sličnima obiteljima frekvencijskih spektra prozorske Fourierove transformacije, ali s jednim temeljna razlika... Koeficijenti skale mijenjaju "širinu" valleta i, sukladno tome, "prosječnu" frekvenciju njihovih Fourierovih transformacija, te stoga svaka frekvencija ima svoje trajanje vremenskog prozora analize, i obrnuto. Tako male vrijednosti parametra a, koji karakterizira brze komponente u signalima, odgovaraju visokim frekvencijama, i velike vrijednosti- niske frekvencije. Promjenom skale, valovi mogu otkriti razlike na različitim frekvencijama, a pomicanjem (parametar b) analiziraju svojstva signala u različitim točkama tijekom cijelog istraživanog vremenskog intervala. Višedimenzionalni vremenski prozor valne transformacije prilagođen je za optimalnu detekciju niskih frekvencija i visokofrekventne karakteristike signale.

Dakle, na visoke frekvencije bolja rezolucija u vremenu, i na niskoj - u frekvenciji. Za visokofrekventnu komponentu signala možemo točnije naznačiti njen vremenski položaj, a za niskofrekventnu njenu frekvencijsku vrijednost.

Informacije visoke frekvencije (male skale) izračunavaju se na temelju dugih signalnih intervala, a niske frekvencije na temelju velikih. Budući da su analizirani signali uvijek konačni, tada se pri izračunu koeficijenata na granicama postavljanja signala područje valjanosti nadilazi granicama signala, a radi smanjenja proračunske pogreške signal se nadopunjuje postavljanjem početnih i konačnih uvjeta.

6.3.3.6. Prednosti i nedostaci talasne analize.

Prednosti wavelet analize uključuju:

Wavelet transformacije imaju sve prednosti Fourierovih transformacija;

Baze valova mogu se dobro lokalizirati i po frekvenciji i po vremenu;

Prilikom razlikovanja dobro lokaliziranih procesa različitih skala u signalima, mogu se uzeti u obzir samo one razine razlaganja koje su od interesa;

Wavelet baze, za razliku od Fourierove transformacije, imaju mnogo različitih osnovnih funkcija čija su svojstva usmjerena na rješavanje različitih problema.

Nedostatak wavelet transformacija je njihova relativna složenost.

6.3.3.7. Svojstva Wavelet analize.

Dobivanje objektivnih informacija o signalu temelji se na svojstvima wavelet transformacije, koja su zajednička za sve vrste valova. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije wavelet transformacije proizvoljnih funkcija x (t) koristit ćemo indeks TW.

Linearnost.

TW [α · x 1 (t) + β · x 2 (t)] = α · TW + β · TW.

Invarijantnost smicanja. Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka spektra talasa također za t 0:

TW = X (a, b-t o).

Invarijantnost skaliranja. Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (istezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1 / a o) X (a / a o, b / a o).

Diferencijacija.

D n (TW) / dt n = TW.

TW = (-1) n x (t) dt.

Nema razlike je li funkcija diferencirana ili analizirajući vallet. Ako je deelizing wavelet zadan formulom, onda to može biti vrlo korisno za otpuštanje signala. Moguće je analizirati značajke visokog reda ili male varijacije signala x (t) zanemarujući polinomske komponente velikih razmjera (trend i regionalnu pozadinu) razlikovanjem potrebnog broja puta bilo vala ili samog signala. Ovo svojstvo je posebno korisno kada je signal specificiran diskretnim nizom.

Analog Parsevalovog teorema za ortogonalne i biortogonalne valove.

X 1 (t) x 2 * (t) = X ψ -1 a -2 X (a, b) X * (a, b) da db.

Iz toga slijedi da se energija signala može izračunati kroz koeficijente valne transformacije.

Osnove digitalne obrade signala: tutorial/ Yu.A. Bryuhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hrjaščov; Yarros. država un-t ih. P.G. Demidov. - Yaroslavl: YarSU, 2013.-- 344 str. (str. 270)

12.3 Algoritam transformacije diskretnog valčića

Kako bismo konstruirali algoritam diskretne valne transformacije, uvodimo neke linearne transformacije. Prije svega, označimo za sve zbroj brojeva po modulu s kako slijedi:, a također pretpostavimo da postoji neki vektor u kojem sčak. Zatim stavljamo uvedene transformacije u obliku:

,

za sve . Očito su ovi izrazi analozi visokopropusnih i niskopropusnih filtara (12.1), (12.2), uzimajući u obzir periodičnu dopunu podataka korištenjem modulo zbrajanja. Jasno je da transformacije vrše dijeljenje izvornog vektora s duljinom s u dva vektora polovične duljine.

Dakle, algoritam wavelet transformacije sveden je na implementaciju iterativnog postupka - i - transformacije primijenjene na vektor. Rezultat takvih transformacija su vektori , koeficijenti aproksimacije i detaljnosti.

Drugim riječima, rekurzivno ovaj algoritam kako slijedi:

,

(12.12)

.

(12.13)

Napominjemo da su uvedene oznake koeficijenata proširenja vrlo slične oznakama koeficijenata, dok su rekurzije (12.12), (12.13) vrlo slične kaskadnom algoritmu. Poanta je u tome da se konstrukcija algoritma diskretne transformacije u potpunosti temelji na teoriji diskretne transformacije na bazi valnih funkcija (vidi prethodni odjeljak). Glavna razlika ovdje je činjenica da u statističkim aplikacijama koeficijenti samo približno odgovaraju koeficijentima ekspanzije.

Imajte na umu da se rekurzije (12.12), (12.13) mogu uspješno primijeniti na izračun koeficijenata aproksimacije i detaljiranja i za slučajeve: činjenica je da su prošireni nizovi periodični, a

,

.

Algoritam inverzne transformacije diskete svodi se na implementaciju izraza (12.11) također pod uvjetom periodizacije podataka. Algoritam počinje vraćanjem vektora

,

i nastavlja se dok se vektor ne vrati dok ne postane. U ovom slučaju, rekurzivni izraz za oporavak podataka je:

12.4 Statistička diskretna wavelet analiza

Particioniranje podataka

Dakle, izračun procjena valova temelji se na gore opisanoj diskretnoj wavelet transformaciji. Kao što se pokazalo, takva analiza podrazumijeva rad s podacima čija je duljina jednaka gdje DO- neka cijela. Međutim, u praksi se vrlo često pokaže da duljina proučavanih podataka nije jednaka potenciji broja 2, zbog čega je potrebno zategnuti takve podatke na ekvidistantnu mrežu s brojem čvorova. Prethodno navedeno vrijedi i za probleme procjene gustoće distribucije i za probleme izglađivanja regresijskih podataka.

Postupci podjele podataka za procjenu gustoće i regresijska analiza uvedena u stavcima 10.2, 10.8. V ovo mjesto raspravlja se o učinku takve podjele na kvalitetu sintetiziranih procjena. Primjeri korišteni za raspravu o učinku preuzeti su iz Ch. 10, sl. 10.1 - 10.11.

Za podatke o duljini uzete kao primjer, istražuje se učinak podjele na intervale točaka. Integralne srednje kvadratne pogreške konstruiranja procjena prikazane su u tablici 12.1.

Tablica 12.1

Integralne srednje kvadratne greške

za podijeljene intervale različite duljine

m	S8 teško	S8 mekana	H teško	H mekana

Kao što se može vidjeti iz tablice, integralna standardna devijacija doseže svoj minimum pri. Grafikon ove greške prikazan je na Sl. 12.1.

Unatoč činjenici da je za takve procjene moguće odrediti optimalna veličina intervala, treba biti vrlo oprezan u njegovoj statističkoj interpretaciji. Poanta je da je dijeljenje podataka u intervale svojevrsno preliminarno izglađivanje, koje se u teoriji često ne uzima u obzir. Očito, s povećanjem broja particijskih intervala, gubi se većina računske učinkovitosti. brzi algoritam... Točke koje pokazuju RMS vrijednosti na Sl. 12.1 predstavljaju kompromis između brzine izračunavanja procjene i kvalitete prethodnog izglađivanja.

Približna konstrukcija wavelet procjena

Algoritam za implementaciju diskretne wavelet transformacije za potrebe konstruiranja statističkih procjena (12.6) - (12.8) je sljedeći:

Integralna standardna devijacija izgrađena za simelet S8

Na ovom mjestu dajmo nekoliko napomena o gore navedenom algoritmu. Prvo, definicija diskretne transformacije podrazumijeva korištenje podataka koji se povremeno nadopunjuju u svakom koraku algoritma. Drugim riječima, podaci su rezultat dijadnog zbrajanja, u kojem se izvorni podaci povremeno nadopunjuju s Z na način da za.

Drugo, kao što je ranije naglašeno, gornja razina dekompozicija nije uključena u prikazani algoritam: u praksi se pretpostavlja, a postupci praga se primjenjuju na koeficijente dekompozicije svih razina osim razine K koji sadrži samo aproksimacijske koeficijente. Međutim, ako se pretpostavlja da se isključuju koeficijenti ekspanzije najviših razina, kao što je učinjeno u primjeru s linearnom procjenom vala, definicija (12.6) se dopunjava uvjetom:

.

Slično (12.3) akcije 1 - 3 algoritma mogu se predstaviti u obliku matrice. U tu svrhu vektor podataka koji se proučavaju označavamo s ... Tada će izravna transformacija poprimiti oblik:

,

(12.17)

u kojem je operator dimenzije. Lako je to pokazati ovog operatera je ortogonalna jer sadrži produkte konačnog broja ortogonalnih matričnih operatora koji odgovaraju različitim koracima Mallovog algoritma.

Neka operator označi proceduru trasholdinga vektora:

dok operater obrnuta transformacija-, ili na temelju ortogonalnosti. Posljedično, rezultat uzastopne primjene radnji 1 - 3, izražen vektorom , može se dobiti na sljedeći način:

U slučaju da je problem koji treba riješiti konstrukcija linearne procjene valova, a razina se uzima kao razina, trasholding se svodi na transformaciju identiteta, što u konačnici i osigurava. Stvar je u tome da se očuvanje koeficijenata ekspanzije na svakoj od razina u u ovom slučaju omogućuje konačnu ocjenu samo ponavljanje izvornih podataka.

Nadalje, algoritam predstavljen koracima 1 - 3 je opće pravilo konstruiranje wavelet procjena. Imajte na umu da je ovaj algoritam brži od FFT-a, jer zahtijeva samo operacije. Općenito govoreći, algoritam vam omogućuje da izgradite aproksimaciju podataka, a ne njihovu procjenu. Iznimka je ovdje dekompozicija podataka na Haarovu osnovu. Nažalost, data činjenica ne raspravlja se u literaturi.

Zadržimo se ovo pitanje detaljnije. U tu svrhu razmotrite linearnu procjenu, postavku za bilo koji i k... Pretpostavimo također da izvorni podaci zadovoljavaju zahtjev:

.

(12.18)

Poznato je da rekurzije (12.9), (12.10) omogućuju izračunavanje procjena koeficijenata, dok su izrazi za rekurziju (12.12), (12.13) približno isti koeficijenti pod pretpostavkom da su početni podaci za rekurziju apsolutno isti. Međutim, ako je zahtjev (12.18) zadovoljen, početni podaci za (12.12), (12.13) u koraku 3 algoritma postaju drugačiji od analognih podataka rekurzije unatrag (12.9), (12.10) za neki faktor. Posljedično, linearnost algoritma podrazumijeva potrebu za uvođenjem amandmana u izravnu transformaciju:

,

Štoviše, glavni izraz za izravnu pretvorbu je izmijenjen:

,

(12.19)

a operator ima oblik:

Kombinirajući izraze (12.17) i (12.19), možemo to sada napisati

Wavelet transformacija - transformacija slična Fourierovoj transformaciji (ili puno više prozorskoj Fourierovoj transformaciji) s potpuno drugačijom funkcijom evaluacije. Glavna razlika je u sljedećem: Fourierova transformacija razlaže signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, t.j. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, wavelet transformacija koristi funkcije lokalizirane u realnom i Fourierovom prostoru. Općenito, wavelet transformacija može se izraziti sljedećom jednadžbom:

gdje je * simbol kompleksne konjugacije i funkcije ψ - neka funkcija. Funkcija se može birati proizvoljno, ali mora zadovoljiti određena pravila.

Kao što možete vidjeti, wavelet transformacija je zapravo beskonačan skup razne transformacije ovisno o funkciji bodovanja koja se koristi za njegovo izračunavanje. To je glavni razlog zašto se termin « wavelet transformacija» koristi se u vrlo različitim situacijama i za različite primjene. Također postoje mnoge vrste klasifikacije opcija wavelet transformacije. Ovdje prikazujemo samo podjelu temeljenu na ortogonalnosti talasa. Može se koristiti ortogonalni valovi za diskretnu wavelet transformaciju i neortogonalni valovi za kontinuirano. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna valna transformacija vraća podatkovni vektor iste duljine kao i ulaz. Obično, čak i u ovom vektoru, mnogo podataka je gotovo nula. To je u skladu s činjenicom da se razlaže u skup valova (funkcija) koji su ortogonalni na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga razlažemo sličan signal na iste ili manje koeficijenata valnog spektra kao broj točaka podataka signala. Takav talasni spektar je vrlo dobar za, na primjer, obradu i kompresiju signala, budući da ovdje ne primamo suvišne informacije.
2. Nasuprot tome, kontinuirana valna transformacija vraća niz za jednu dimenziju više od ulaza. Za jednodimenzionalne podatke dobivamo sliku vremensko-frekventne ravnine. Možete jednostavno pratiti promjenu frekvencije signala tijekom njegovog trajanja i usporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da koristi neortogonalni skup valova, podaci su visoko korelirani i vrlo redundantni. To pomaže vidjeti rezultat u bližoj ljudskoj percepciji.

Više pojedinosti o wavelet transformaciji dostupno je na tisućama wavelet internetskih izvora na webu ili, na primjer, ovdje.

Obje ove transformacije implementirane su u biblioteci za obradu podataka Gwyddion, a moduli koji koriste wavelet transformaciju dostupni su u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije.

Diskretna valovna transformacija

Diskretna valna transformacija (DWT) je implementacija valne transformacije pomoću diskretnog skupa valnih ljestvica i prijevoda koji se pridržavaju određenih specifičnih pravila. Drugim riječima, ova transformacija razlaže signal u međusobno ortogonalni skup valleta, što je glavna razlika od kontinuirane valne transformacije (CWT) ili njezine implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana diskretna vremenska valna transformacija (DT-CWT ).

Waslet se može konstruirati iz funkcije skale koja opisuje njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje je da funkcija skale mora biti ortogonalna svojim diskretnim transformacijama, što implicira neka matematička ograničenja na njih, koja se svugdje spominju, t.j. jednadžba homotetije

gdje S- faktor skale (obično se bira kao 2). Štoviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana, a funkcija skaliranja mora biti ortogonalna njezinim numeričkim prijevodima, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatni uvjeti(budući da gornja ograničenja ne rezultiraju jedino rješenje) možemo dobiti rezultat svih ovih jednadžbi, t.j. konačan skup koeficijenata a k koji definiraju funkciju skaliranja kao i val. Walet se dobiva iz funkcije skaliranja kao N gdje N- paran cijeli broj. Tada se formira skup valova ortonormalna baza koje koristimo za razlaganje signala. Treba napomenuti da obično samo nekoliko koeficijenata a k bit će različit od nule, što pojednostavljuje izračune.

Sljedeća slika prikazuje neke funkcije skaliranja i valove. Najpoznatija obitelj ortonormaliziranih valova je obitelj Daubechies. Njegovi se valovi obično označavaju brojem koeficijenata koji nisu nula a k pa obično govorimo o valovima Daubechies 4, Daubechies 6, itd. Grubo govoreći, s povećanjem broja wavelet koeficijenata, funkcije postaju glatkije. To se jasno vidi kada se uspoređuju Daubechies 4 i 20 valovi prikazani u nastavku. Još jedan od spomenutih vala je najjednostavniji Haar wavelet koji koristi pravokutni puls kao funkcija skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechies 4 funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Daubechiesova 20 funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno).

Postoji nekoliko vrsta implementacije algoritma diskretne valne transformacije. Najstariji i najpoznatiji je Malla (piramidalni) algoritam. U ovom algoritmu, dva filtra - izravnavajući i ne-izglađujući - sastavljeni su od valnih koeficijenata i ti se filtri rekurzivno primjenjuju za dobivanje podataka za sve dostupne ljestvice. Ako se koristi kompletan skup podataka D = 2 N a duljina signala je L, podaci se prvo izračunavaju D / 2 za razmjer L / 2 N - 1, zatim podaci ( D / 2) / 2 za razmjer L / 2 N - 2, ... dok na kraju ne budu 2 podatka za ljestvicu L / 2... Rezultat ovog algoritma bit će niz iste duljine kao i ulaz, gdje su podaci obično razvrstani od najviše velikih razmjera do najmanjih.

Gwyddion koristi piramidalni algoritam za izračunavanje diskretne valne transformacije. Diskretna valna transformacija u 2D prostoru dostupna je u DWT modulu.

Diskretna valna transformacija može se koristiti za jednostavne i brzo uklanjanješum od šumnog signala. Ako samo uzmemo ograničen broj Najveći spektralni koeficijenti diskretne wavelet transformacije, a izvršimo inverznu valnu transformaciju (s istom osnovom), možemo dobiti signal manje-više očišćen od šuma. Postoji nekoliko načina za odabir koeficijenata za spremanje. Gwyddion implementira univerzalni prag, prilagodljivi prag i prilagodljivi prag i prostor. Da bismo odredili prag u ovim metodama, najprije određujemo procjenu varijance buke danu pomoću

gdje Y ij odgovara svim koeficijentima u najvišem podrasponu skale dekompozicije (gdje se očekuje da će biti prisutna većina šuma). Ili se varijanca šuma može dobiti na nezavisan način, na primjer, kao varijanca AFM signala kada skeniranje nije u tijeku. Za najviši podopseg frekvencija (univerzalni prag) ili za svaki podopseg (za prag koji se prilagođava ljestvici) ili za okruženje svakog piksela u podpojasu (za prag koji se prilagođava mjerilu i prostoru) , varijanca se izračunava kao

Vrijednost praga se u konačnom obliku smatra kao

Kada je poznat prag za danu ljestvicu, možemo ukloniti sve koeficijente manje od vrijednosti praga (tvrdi prag) ili možemo smanjiti apsolutnu vrijednost tih koeficijenata za vrijednost praga (meki prag).

DWT Noise Removal je dostupan u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije→ Uklonite DWT šum.

Kontinuirana valna transformacija

Continuous Wavelet Transform (CWT) je implementacija valne transformacije koja koristi proizvoljne skale i gotovo proizvoljne valove. Korišteni valleti nisu ortogonalni i podaci dobiveni tijekom ove transformacije su u velikoj korelaciji. Za diskretne vremenske sekvence također možete koristiti ovu transformaciju, uz ograničenje da najmanji prijevodi valova moraju biti jednaki uzorkovanju podataka. To se ponekad naziva diskretna vremenska kontinuirana valna transformacija (DT-CWT) i najčešće je korištena metoda za izračunavanje CWT-a u aplikacijama u stvarnom svijetu.

U principu, kontinuirana wavelet transformacija radi izravno koristeći definiciju wavelet transformacije, tj. izračunavamo konvoluciju skaliranog talasnog signala. Za svaku skalu dobivamo na taj način skup iste duljine N kao ulazni signal. Korištenje M proizvoljno odabranim mjerilima dobivamo polje N × M koji izravno predstavlja vremensko-frekvencijsku ravninu. Algoritam koji se koristi za ovaj izračun može se temeljiti na naprijed ili konvoluciji kroz Fourierovo množenje (ovo se ponekad naziva brza valna transformacija).

Odabir valleta za korištenje u vremensko-frekvencijskoj dekompoziciji je najvažnija stvar. Ovim izborom možemo utjecati na rezoluciju rezultata u vremenu i frekvenciji.Na ovaj način je nemoguće promijeniti osnovne karakteristike wavelet transformacije (niske frekvencije imaju dobru frekvencijsku rezoluciju i lošu vremensku rezoluciju; visoke frekvencije imaju lošu frekvenciju razlučivost i dobra vremenska razlučivost), ali možete malo povećati ukupnu frekvenciju ili vremensku razlučivost. Ovo je izravno proporcionalno širini korištenog vala u stvarnom i Fourierovom prostoru. Ako, na primjer, koristimo Morletov val (pravi dio je raspadajuća kosinusna funkcija), tada možemo očekivati visoka rezolucija u frekvencijama, budući da je takav val vrlo dobro lokaliziran po frekvenciji. naprotiv, koristeći Derivativni Gaussov (DOG) val dobivamo dobru lokalizaciju u vremenu, ali lošu u frekvenciji.

Kontinuirana wavelet transformacija implementirana je u CWT modulu koji je dostupan u izborniku Obrada podataka → Integralne transformacije→ CWT.

Izvori od

A. Bultheel: Bik. Belgija matematika. Soc.: (1995.) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slike, (2000.) 9 str. 1532. godine

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Obrada slike, (2000.) 9 str. 1522