Kako bi se pojednostavile metode rješavanja problema analize sklopova, signali su predstavljeni kao zbroj određenih funkcija.
Ovaj proces je potkrijepljen konceptom generaliziranog Fourierovog reda. U matematici je dokazano da se svaka funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete može predstaviti kao niz:
Da bismo odredili, pomnožimo lijevi i desni dio niza sa i uzmemo integral lijevog i desnog dijela:
za interval u kojem su zadovoljeni uvjeti ortogonalnosti.
Vidi se da smo dobili izraz za generalizirani Fourierov niz:
Izdvajamo specifičnu vrstu funkcije za proširenje signala u niz. Kao takvu funkciju biramo ortogonalni sustav funkcija:
Da bismo odredili niz, izračunavamo vrijednost:
Dakle, dobivamo:
Grafički, ovaj niz je predstavljen kao dva grafikona amplitudnih harmonijskih komponenti.
Rezultirajući izraz može se predstaviti kao:
Dobili smo drugi oblik snimanja trigonometrijskog Fourierovog niza. Grafički je ova serija prikazana u obliku dva grafikona – amplitudnog i faznog spektra.
Nađimo složeni oblik Fourierovog niza, za to koristimo Eulerove formule:
Grafički, spektar u ovom obliku je predstavljen na osi frekvencije u rasponu.
Očito je da je spektar periodičnog signala, izražen u kompleksnom ili amplitudnom obliku, diskretan. To znači da spektar sadrži komponente s frekvencijama
Spektralne karakteristike neperiodičnih signala
Budući da se jedan signal u radiotehnici smatra neperiodičnim signalom, da bismo pronašli njegov spektar, signal predstavljamo kao periodični signal s točkom. Koristimo transformaciju Fourierovog reda za zadano razdoblje. Dobiti za:
Analiza dobivenog izraza pokazuje da pri , amplitude komponenti postaju beskonačno male i da se nalaze kontinuirano na osi frekvencije. Zatim, da bismo izašli iz ove situacije, koristimo koncept spektralne gustoće:
Dobiveni izraz zamjenjujemo u složeni Fourierov red, dobivamo:
Konačno dobivamo:
Ovdje je spektralna gustoća, a sam izraz je izravna Fourierova transformacija. Za određivanje signala iz njegovog spektra koristi se inverzna Fourierova transformacija:
Svojstva Fourierove transformacije
Iz formula izravne i inverzne Fourierove transformacije očito je da će se, ako se signal promijeni, promijeniti i njegov spektar. Sljedeća svojstva postavljaju ovisnost spektra promijenjenog signala o spektru signala prije promjena.
1) Svojstvo linearnosti Fourierove transformacije
Utvrdili smo da je spektar zbroja signala jednak zbroju njihovih spektra.
2) Spektar signala pomaknut u vremenu
Utvrđeno je da kada se signal pomakne, amplituda se ne mijenja, već se mijenja samo fazni spektar za vrijednost
3) Promjena vremenske skale
odnosno kada se signal širi (sužava) nekoliko puta, spektar ovog signala se sužava (proširuje).
4) Spektar pomaka
5) Spektar derivacije signala
Uzmimo derivaciju lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru izvornog signala pomnoženog s, odnosno mijenja se amplitudski spektar i mijenja se fazni spektar.
6) Integralni spektar signala
Uzmite integral lijeve i desne strane inverzne Fourierove transformacije.
Vidimo da je spektar derivacije signala jednak spektru izvornog signala podijeljen sa,
7) Spektar umnoška dvaju signala
Dakle, spektar umnožaka dvaju signala jednak je konvoluciji njihovih spektra pomnoženoj s koeficijentom
8) Svojstvo dualnosti
Dakle, ako spektar odgovara nekom signalu, tada signal po obliku koji se podudara s gornjim spektrom odgovara spektru oblika koji se podudara s gornjim signalom.
Upute za laboratorijski rad
DisciplinaElementi opće teorije signala »
DOGOVORENO RAZVIJENO
Inženjer zaštite rada izvanredni profesor Katedre za EAPP
G.V. Mangutkina ________ A.S. Khismatullin
2014 _____________2014
student gr. BAT-11-21
E.I.Bulankin
Metodičke upute namijenjene su studentima smjera pripreme 220700 "Automatizacija tehnoloških procesa i proizvodnje", profila "Automatizacija tehnoloških procesa i proizvodnje u petrokemiji i preradi nafte"
Raspravljalo se na sastanku odjela EAPP-a
Zapisnik broj ______ od ___________________2014
ã Ogranak FGBOU VPO UGNTU u Salavatu, 2014
KARAKTERISTIKE DETERMINISTIČKIH SIGNALA
Cilj: proučavanje karakteristika determinističkih signala
u Mathcadu.
Kratke teorijske informacije
Spektralne karakteristike periodičnih signala
Uvjet periodičnosti - x(t)= x(t+mT), gdje T- točka m- prirodni broj, m= 1, 2, .... Bilo koji periodični signal x(t) može se predstaviti trigonometrijskim Fourierovim redom.
x(t)= a0 + ∑(a k cos kw 1 t + b k grijeh kw 1 t)= a 0 + ∑ A k cos( kw 1 t +φ k), (1.1)
gdje je ω 1 = 2π/T je kutna frekvencija 1. ili temeljnog harmonika; a 0 i k, I b za koeficijenti ekspanzije izračunati po formulama:
a 0 = a k = 
b k = 
gdje Ak je amplituda k-tog harmonika; φ k je faza k-tog harmonika; a 0– prosječna vrijednost signala (konstantna komponenta); kω 1 = ω k– kutna frekvencija k-th harmonik; t n je točka u vremenu koja odgovara početku razdoblja.
Ovisnosti Ak i φ k na frekvenciji ω k su amplituda i fazni spektri, respektivno.
U nekim slučajevima je prikladniji složeni oblik Fourierovog niza
(1.2)
Koeficijenti serije (1.2) izračunavaju se po formuli
(1.3)
Formule (1.2) i (1.3) su par Fourierovih transformacija. Skup koeficijenata 
kompleksni spektar periodičnog signala x(t). Skup stvarnih vrijednosti ovisno o frekvenciji je spektar amplituda. Skup vrijednosti φ k ovisno o frekvencijsko – faznom spektru.
Niz (1.2) je prikladno predstavljen u obliku
(1.4)
(1.5)
Primjer 1.1
Konstruirati spektre amplituda i faza signala x(t) čiji analitički izraz s početnim podacima V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec i t 0:= 2 sec ima oblik
.
Grafikon signala za vremenski raspon t:=-1,5∙T, 
prikazano na slici 1.
Slika 1 - Grafikon signala
Riješenje
Budući da je ovaj signal periodična funkcija vremena, za njegov spektralni prikaz treba koristiti trigonometrijski ili složeni Fourierov red. Pronađimo spektre amplituda i faza na temelju trigonometrijskog Fourierovog niza.
Odredimo koeficijente ekspanzije signala u intervalu t:= 0..T na kutnoj frekvenciji temeljnog harmonika ω 1:= i broju harmonika k:= 1..5.
1) DC komponenta
2) Koeficijent kosinusa
Zamjena brojčanih vrijednosti V m , T i ω 1 daje
Kao rezultat integracije, dobivamo
Na primjer, a 1 = 0 volti; a 2 = 0 volti; a 3 = 0 volti; a 4 = 0 volti.
Drugi oblik određivanja koeficijenata ekspanzije je prikladniji.
tada izražavajući t 0 i ω 1 u terminima T, imamo
Iz toga slijedi da su za k>0 koeficijenti a k jednaki nuli.
3) Sinusoidni koeficijent
Izražavajući t 0 i ω 1 u terminima T, može se dobiti
Dakle, nakon pojednostavljenja, slijedi
Amplituda k-tog harmonika
za k>1 će biti
Dakle, uzimajući u obzir konstantnu komponentu, amplitudski spektar
Fazni spektar
Budući da su koeficijenti a k =0 i b k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.
Grafovi ovih spektra u obliku stupčastih grafikona prikazani su na slici 2.
Spektralne karakteristike neperiodičnih signala
Spektralni prikaz se može generalizirati na slučaj kada je funkcija x(t) je neperiodična, tj. T→∞. U ovom slučaju se primjenjuje integralna Fourierova transformacija
Ovdje su F i F -1 oznake izravnog i inverznog Fourierovog operatora.
Formule (1.6) i (1.7) su par integralnih Fourierovih transformacija. Funkcija F(jω) naziva se spektralna funkcija ili kompleksni spektar neperiodičnog signala. Definira se na pozitivnim i negativnim frekvencijama.
Spektralna funkcija se može predstaviti kao
gdje je amplitudski spektar,
je fazni spektar.
Primjer 1.2
Pronađite spektar funkcije x(t) definirane na intervalu -τ/2 Funkcijski analitički izraz Slika 3 - Učestalost ponavljanja Riješenje Budući da je funkcija neperiodična funkcija vremena, njezinu spektralnu funkciju (složeni spektar) nalazimo na temelju integralne Fourierove transformacije (1.7). U smislu bezdimenzijskih veličina, treba imati na umu da spektralna funkcija karakterizira spektralnu gustoću amplituda i faza elementarnih složenih harmonijskih oscilacija. Ima dimenziju volti × sekunde za signal u obliku napona. kutna frekvencija ω
ima dimenziju radijan/sekunda. Uz pomoć spektralnih karakteristika procjenjuje se unutarnji sastav (spektar) signala. Za ovaj signal x(t) predstavljaju u obliku generaliziranog Fourierovog reda, proširujući ga u smislu sustava baznih funkcija T k(t) gdje Od do - konstantni koeficijenti koji odražavaju doprinos funkcije F^(?) formiranju vrijednosti signala u razmatranom vremenskom intervalu. Sposobnost predstavljanja složenog signala x(t) u obliku zbroja jednostavnih signala, RDO se pokazuje posebno važnim za linearne dinamičke sustave. princip superpozicije, tj. njihova reakcija na zbroj utjecaja (signala) jednaka je zbroju reakcija na svaki od utjecaja posebno. Stoga, poznavajući reakciju linearnog sustava na jednostavan signal, moguće je, zbrajajući rezultate, odrediti njegovu reakciju na bilo koji drugi složeni signal. Odabir funkcije k(t) podložno zahtjevima maksimalne točnosti aproksimacije signala x(t) niza (7.21) s minimalnim brojem članova ovog niza i, ako je moguće, smanjenjem računskih poteškoća koje nastaju pri određivanju koeficijenata niza Uz k. Kao osnovne funkcije, najšire korištene su realne trigonometrijske funkcije i složene eksponencijalne funkcije Na njima se temelji klasična spektralna analiza signala. Istodobno je moguće koristiti i druge sustave baznih funkcija (funkcije Taylora, Walsha, Laguerrea, Hermitea, Legendrea, Chebysheva, Kotel'nikova itd.121), što u nizu slučajeva omogućuje, uzimajući uzimajući u obzir specifičnosti aproksimirane funkcije x(t), smanjiti broj članova u nizu (7.21) uz zadržavanje zadane pogreške aproksimacije. Posljednjih godina pojavio se novi, vrlo obećavajući sustav baznih funkcija, tzv valovi. Za razliku od harmonijskih funkcija, one su sposobne prilagoditi se lokalnim značajkama signala koji se približava mijenjajući svoj oblik i svojstva. Kao rezultat toga, postaje moguće jednostavno predstaviti složene signale (uključujući one s lokalnim skokovima i diskontinuitetima) skupovima talasa jedne ili druge vrste. Kada se koriste trigonometrijske bazne funkcije (7.22), niz (7.21) poprima oblik klasičnog trigonometrijskog Fourierovog niza gdje je Q \u003d 2n / T - frekvencija osnovnog harmonika serije (G - period signala); k \u003d 1, 2, 3, ... - cijeli broj; ak, bk - realni brojevi (Fourierovi koeficijenti), izračunati prema formulama U ovim formulama, kao i prije (vidi (7.20)), t 0 - proizvoljan broj koji se može odabrati iz razloga praktičnosti pri izračunavanju integrala (7.25), budući da vrijednosti ovih integrala ovise o količini t0 ne ovisi; x T (t) - osnovni signalni impuls (vidi sliku 7.3, u). Koeficijent a 0 određuje udvostručenu prosječnu (u razdoblju) vrijednost signala, preostale koeficijente a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - doprinos do th harmonika Fourierovog reda (7.24) u formiranju trenutnih vrijednosti signala X(?). Trigonometrijski Fourierov niz (7.24) može se napisati u dva druga oblika: u obliku sinusnog proširenja a u obliku kosinusne ekspanzije gdje L 0 /2 \u003d a 0 /2 - stalna komponenta signala; Ak- amplituda k-i serijski harmonici, izračunati po formuli Početne faze tih harmonika izračunavaju se iz relacija Skup amplituda harmonijskih komponenti periodičnog signala (A do )°? =( pozvao amplitudnog spektra ovaj signal. Ukupnost početnih faza ovih komponenti (φ/^)^ =1 - fazni spektar signal. Koristeći Diracovu 5-funkciju 8(?), mogu se prikazati oba spektra rešetkaste funkcije frekvencije t.s. amplitudski i fazni spektri periodičnog signala su diskretna spektri. Ovo razlikuje periodični signal od drugih signala s kontinuiranim spektrom. Dakle, periodični signal se može predstaviti kao zbroj harmonika (7.24). U ovom slučaju, frekvencija svake harmonijske komponente Fourierovog reda je višekratnik frekvencije osnovnog harmonika?2, što ovisi o razdoblju signala T. Što je više takvih harmonika, manja je pogreška aproksimacije funkcije x(t) konačan zbroj Fourierovog reda (7.24). Iznimka su točke diskontinuiteta funkcije x(i). U blizini takvih točaka, tzv Gibbsov fenomen|2|. Prema ovom fenomenu, u blizini točaka diskontinuiteta, konačni zbroji Fourierovog reda formiraju oscilirajuće "repove", čija se visina ne smanjuje s povećanjem broja harmonika Fourierovog niza koji se uzimaju u obzir N- to je otprilike 9% skoka u funkciji x(t) na prijelomnoj točki. Za izračunavanje amplitude i početne faze &-tog harmonika periodičnog signala, umjesto formula (7.28) i (7.29), mogu se koristiti formule gdje X t = X t (p) \u003d L (x T (t)) indeks T varijabla X - Laplaceova slika osnovnog signalnog impulsa, određenog formulom (vidi Dodatak 2) ja- imaginarna jedinica; & = 0,1,2,... je pozitivan cijeli broj. Korištenjem ovih formula eliminira se potreba za izračunavanjem integrala (7.25), što uvelike pojednostavljuje izračune. Pokažimo primjer takvog izračuna. Primjer 7.1 Odredite amplitudski spektar periodičnog signala Riješenje Na sl. 7.3, ali, prikazan je graf takvog signala. Vidi se da signal ima period T= i. Stoga je frekvencija temeljnog harmonika odgovarajućeg Fourierovog reda (7.24) jednaka Q \u003d 2p / T \u003d 2 s -1 . Uzimanje t0 = 0, x T (t) = grijeh? (za 0 t Riža. 73. ali - valni oblik; b - amplitudnog spektra signala posljedično, A 0 /2 = 2/p, A k= 4/i(4& 2 - 1), SCH= l, gdje k= 1,2, 3, tj. proširenje funkcije |sin(?)| u trigonometrijski Fourierov red ima oblik Bilješka: ovdje je prihvaćeno f/, = l (i ns y k = 0) zbog upotrebe znaka minus ispred zbroja niznih harmonika. Na sl. 7.3, b prikazan je amplitudski spektar razmatranog signala. Vrijednost amplitude?-tog harmonika serije A do predstavljen vertikalnim segmentom odgovarajuće duljine, u čijoj se osnovi nalazi harmonijski broj. Treba napomenuti da je amplituda A do neki harmonici Fourierovog reda mogu biti jednaki nuli. Osim toga, monotono smanjenje amplituda tih harmonika s povećanjem harmonijskog broja nije obavezno, kao što je slučaj na sl. 7.3, b. Međutim, u svim slučajevima uvjet lim A do= 0, što slijedi iz konvergencija Fourierovog reda. Zadatak riješimo formulama (7.32). Da bismo to učinili, prvo pronalazimo Laplaceovu sliku osnovnog impulsa signala x T (t) Zamjena ovdje p = ikQ = 2ik(gdje i- imaginarna jedinica, k= 1, 2, 3,...), dobivamo što se poklapa s prethodnim rezultatima. U tehničkim primjenama često se koristi složeni oblik Fourierovog niza U ovom se slučaju kao osnovne funkcije koriste složene eksponencijalne funkcije (7.23). Dakle, koeficijenti C str serija (7.36) postaje sveobuhvatan. Izračunavaju se prema formuli gdje je, kao u formuli (7.6), varijabla indeksa P može biti pozitivan ili negativan cijeli broj. Kada se koristi složeni oblik Fourierovog reda (7.36) amplitudnog spektra periodični signal x(t) naziva se skup apsolutnih vrijednosti kompleksnih Fourierovih koeficijenata C str ali fazni spektar- skup glavnih argumenata ovih koeficijenata Mnoge količine (IZ%)^ > = _ se zove spektar snage periodični signal i skup kompleksnih brojeva (Od str - spektralni slijed periodični signal. Upravo su ove tri karakteristike (amplitudski spektar, fazni spektar i spektar snage) glavne spektralne karakteristike periodičnog signala. Za razliku od amplitudnog i faznog spektra periodičnog signala, predstavljenog u obliku trigonometrijskog Fourierovog niza (7.24), spektri istog signala, konstruirani korištenjem kompleksnih Fourierovih koeficijenata (7.37), pokazuju se kao bilateralni. To je posljedica prisutnosti u (7.36) "negativnih frekvencija" na.(za negativne vrijednosti P). Potonji, naravno, ne postoje u stvarnosti. Oni samo odražavaju prikaz eksponencijalne harmonijske funkcije korištene u formiranju složenog Fourierovog reda itd u obliku jediničnog vektora koji se vrti u smjeru kazaljke na satu s kutnom brzinom ω. Ako postoji Laplaceova slika osnovnog impulsa periodičnog signala X T (p) = L(x T (t)), tada se spektar amplituda i spektar faza periodičnog signala može izračunati po formulama Algoritmi tzv Brza Fourierova transformacija, zahvaljujući čemu je moguće toliko smanjiti vrijeme za izračun Fourierovih koeficijenata da se spektri signala tijekom njihove obrade dobivaju gotovo u stvarnom vremenu. Zaključno, napominjemo tri najvažnija svojstva spektralnih karakteristika periodičnog signala. Bilješka: ako vrijednosti funkcije x (€) na krajevima + D) bazni impuls x T (t) nisu jednake jedna drugoj, tada s periodičnim nastavkom impulsa te točke postaju točke diskontinuiteta prve vrste. 3. Snage periodičnog signala u vremenskoj i frekvencijskoj domeni međusobno su jednake, t.j. Ovaj omjer izražava Parsevalov teorem. Prisutnost u formuli (7.36) "negativnih frekvencija" nQ.(godinama Opće napomene Među raznim sustavima ortogonalnih funkcija koji se mogu koristiti kao osnove za prikaz radio signala, harmonijske (sinusne i kosinusne) funkcije zauzimaju iznimno mjesto. Važnost harmonijskih signala za radiotehniku posljedica je niza razloga. U radiotehnici se mora nositi s električnim signalima koji su povezani s odaslanim porukama korištenjem prihvaćene metode kodiranja. Možemo reći da je električni signal fizički (električni) proces koji nosi informaciju. Količina informacija koja se može prenijeti pomoću određenog signala ovisi o njegovim glavnim parametrima: trajanju, frekvencijskom pojasu, snazi i nekim drugim karakteristikama. Važna je i razina smetnji u komunikacijskom kanalu: što je ta razina niža, to se više informacija može prenijeti pomoću signala zadane snage. Prije nego što govorimo o informacijskim mogućnostima signala, potrebno je upoznati se s njegovim glavnim karakteristikama. Preporučljivo je razmotriti odvojeno determinističke i slučajne signale. Svaki signal naziva se determinističkim, čija se trenutna vrijednost u bilo kojem trenutku može predvidjeti s vjerojatnošću od jedan. Primjeri determinističkih signala su impulsi ili rafali impulsa čiji su oblik, veličina i položaj u vremenu poznati, kao i kontinuirani signal s zadanim amplitudskim i faznim odnosima unutar svog spektra. Deterministički signali se mogu podijeliti na periodične i neperiodične. Periodični signal je svaki signal za koji je uvjet gdje je period T konačan segment, a k je bilo koji cijeli broj. Najjednostavniji periodični deterministički signal je harmonijska oscilacija. Strogo harmonijsko titranje naziva se monokromatsko. Ovaj izraz, posuđen iz optike, naglašava da se spektar harmonijske oscilacije sastoji od jedne spektralne linije. Za stvarne signale koji imaju početak i kraj, spektar je neizbježno zamagljen. Stoga u prirodi ne postoje strogo monokromatske oscilacije. U budućnosti će harmonični i monokromatski signal uvjetno značiti oscilaciju. Bilo koji složeni periodični signal, kao što je poznato, može se predstaviti kao zbroj harmonijskih oscilacija s frekvencijama koje su višekratnici osnovne frekvencije w = 2*Pi/T. Glavna karakteristika složenog periodičnog signala je njegova spektralna funkcija, koja sadrži informacije o amplitudama i fazama pojedinih harmonika. Neperiodični deterministički signal je svaki deterministički signal za koji je zadovoljen uvjet s(t)s(t+kT). U pravilu je neperiodični signal vremenski ograničen. Primjeri ovakvih signala su već spomenuti impulsi, rafali impulsa, "otpadi" harmonijskih oscilacija itd. Neperiodični signali su od primarnog interesa, jer se pretežno koriste u praksi. Glavna karakteristika neperiodskog, kao i periodičnog signala, je njegova spektralna funkcija; Slučajni signali uključuju signale čije vrijednosti nisu unaprijed poznate i mogu se predvidjeti samo s određenom vjerojatnošću manjom od jedan. Takve funkcije su, na primjer, električni napon koji odgovara govoru, glazbi, slijedu znakova telegrafskog koda pri prijenosu teksta koji se ne ponavlja. Slučajni signali također uključuju niz radio impulsa na ulazu radarskog prijamnika, kada amplitude impulsa i faze njihovog visokofrekventnog punjenja fluktuiraju zbog promjena uvjeta širenja, položaja mete i nekih drugih razloga. . Mogu se navesti mnogi drugi primjeri slučajnih signala. U suštini, svaki signal koji nosi informaciju treba smatrati slučajnim. Navedeni deterministički signali, "potpuno poznati", više ne sadrže informacije. U nastavku će se takvi signali često nazivati "oscilacijama". Za karakterizaciju i analizu slučajnih signala koristi se statistički pristup. Glavne karakteristike slučajnih signala su: a) zakon raspodjele vjerojatnosti. b) spektralna raspodjela snage signala. Na temelju prve karakteristike može se pronaći relativno vrijeme zadržavanja vrijednosti signala u određenom rasponu razine, omjer maksimalnih vrijednosti i srednjeg kvadrata i niz drugih važnih parametara signala. Druga karakteristika daje samo frekvencijsku distribuciju prosječne snage signala. Detaljnije podatke o pojedinim komponentama spektra – o njihovim amplitudama i fazama – spektralna karakteristika slučajnog procesa ne daje. Uz korisne slučajne signale u teoriji i praksi, treba se pozabaviti slučajnim smetnjama – šumom. Kao što je gore spomenuto, razina šuma je glavni čimbenik koji ograničava brzinu prijenosa informacija za dati signal. Fourierove slike - kompleksni koeficijenti Fourierovog reda F(j w k) periodični signal (1)
i spektralna gustoća F(j w) neperiodični signal (2)
- imaju niz zajedničkih svojstava. 1. Linearnost
.
Integrali (1)
I (2)
izvršiti linearnu transformaciju funkcije f(t). Stoga je Fourierova slika linearne kombinacije funkcija jednaka sličnoj linearnoj kombinaciji njihovih slika. Ako f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), zatim F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), gdje F 1 (jštapić F 2 (j w) - Fourierove slike signala f 1 (t) I f 2 (t), odnosno. 2. Odgoditi
(promjena podrijetla vremena za periodične funkcije) .
Razmotrite signal f 2 (t), odgođen na neko vrijeme t 0 u odnosu na signal f 1 (t) koji ima isti oblik: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Ako je signal f 1 ima sliku F 1 (j w), zatim Fourierovu sliku signala f 2 jednako F 2 (j w) == .
Množenjem i dijeljenjem s , grupiramo pojmove na sljedeći način: Budući da je zadnji integral F 1 (j w), onda F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) .
Dakle, kada signal kasni neko vrijeme t 0 (promjena ishodišta vremena), modul njegove spektralne gustoće se ne mijenja, a argument se smanjuje za w t 0 proporcionalno vremenu kašnjenja. Stoga amplitude spektra signala ne ovise o ishodištu, a početne faze s kašnjenjem od t 0 smanjiti za w t 0 . 3. Simetrija
.
Za valjano f(t) slika F(j w) ima konjugiranu simetriju: F(– j w) = .
Ako f(t) je parna funkcija, onda Im F(j w) = 0; za neparnu funkciju Re F(j w) = 0. Modul | F(j w)| a pravi dio Re F(j w) - parne frekvencijske funkcije, argument arg F(j w) i Im F(j w) - neparan. 4. Diferencijacija
.
Iz formule izravne transformacije, integrirajući po dijelovima, dobivamo vezu slike derivacije signala f(t) sa slikom samog signala Za apsolutno integrabilnu funkciju f(t) neintegralni član jednak je nuli i, prema tome, na , a posljednji integral predstavlja Fourierovu sliku izvornog signala F(j w) .
Stoga je Fourierova slika izvedenice df/dt povezan je sa slikom samog signala relacijom j w F(j w)
- kod razlikovanja signala, njegova se Fourierova slika množi s j w. Isti odnos vrijedi i za koeficijente F(j w k), koji su određeni integracijom unutar konačnih granica od – T/2 do + T/2.
Doista, proizvod u odgovarajućim granicama Budući da je zbog periodičnosti funkcije f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) k, tada u ovom slučaju izraz izvan integrala nestaje, a formula gdje strelica simbolički označava operaciju izravne Fourierove transformacije. Taj se odnos također može generalizirati na višestruku diferencijaciju: for n-tu izvedenicu imamo: d n f/dt n (j w) n F(j w). Dobivene formule omogućuju nam pronalaženje Fourierove slike derivacija funkcije iz njezina poznatog spektra. Također je zgodno koristiti ove formule u slučajevima kada se kao rezultat diferencijacije dolazi do funkcije čija se Fourierova slika jednostavnije izračunava. Pa ako f(t) je djelomično linearna funkcija, zatim njezin deriv df/dt je djeličasta konstanta i za nju se elementarno može pronaći izravni transformacijski integral. Za dobivanje spektralnih karakteristika integrala funkcije f(t) njegovu sliku treba podijeliti na j w. 5. Dualnost vremena i frekvencije
.
Usporedba integrala izravne i inverzne Fourierove transformacije dovodi do zaključka o njihovoj osebujnoj simetriji, koja postaje očitija ako se formula za inverznu transformaciju prepiše, prenoseći faktor 2p na lijevu stranu jednadžbe: Za signal f(t), što je ravnomjerna funkcija vremena f(– t) = f(t) kada je spektralna gustoća F(j w) - stvarna vrijednost F(j w) = F(w), oba se integrala mogu prepisati u trigonometrijskom obliku kosinusne Fourierove transformacije: Uz međusobnu zamjenu t a w integrali izravne i inverzne transformacije se pretvaraju jedan u drugi. Iz ovoga proizlazi da ako F(w) predstavlja spektralnu gustoću parne funkcije vremena f(t), zatim funkcija 2p f(w) je spektralna gustoća signala F(t). Za neparne funkcije f(t) [f(t) = – f(t)] spektralna gustoća F(j w) čisto imaginarno [ F(j w) = jF(w)]. Fourierovi integrali se u ovom slučaju svode na oblik sinusnih transformacija, iz čega slijedi da ako je spektralna gustoća jF(w) odgovara neparnoj funkciji f(t), zatim vrijednost j 2p f(w) predstavlja spektralnu gustoću signala F(t). Dakle, grafovi vremenske ovisnosti signala ovih klasa i njihove spektralne gustoće međusobno su dualni. Sastavni (1)
Sastavni (2)
U radiotehnici se široko koristi spektralni i vremenski prikaz signala. Iako su signali po svojoj prirodi slučajni procesi, pojedinačne implementacije slučajnog procesa i nekih posebnih (na primjer, mjernih) signala mogu se smatrati determinističkim (odnosno poznatim) funkcijama. Potonji se obično dijele na periodične i neperiodične, iako strogo periodični signali ne postoje. Signal se naziva periodičnim ako zadovoljava uvjet na vremenskom intervalu, gdje je T konstantna vrijednost, nazvana periodom, a k je bilo koji cijeli broj. Najjednostavniji primjer periodičnog signala je harmonijska oscilacija (ili skraćeno harmonik). gdje je amplituda, = je frekvencija, je kružna frekvencija, je početna faza harmonika. Važnost koncepta harmonika za teoriju i praksu radiotehnike objašnjava se nizom razloga: Neperiodični signal je signal koji je različit od nule u konačnom vremenskom intervalu. Neperiodični signal se može smatrati periodičnim, ali s beskonačno velikim periodom. Jedna od glavnih karakteristika neperiodičnih signala je njegov spektar. Spektar signala je funkcija koja pokazuje ovisnost intenziteta različitih harmonika u sastavu signala o frekvenciji tih harmonika. Spektar periodičnog signala je ovisnost koeficijenata Fourierovog reda o frekvenciji harmonika kojima ti koeficijenti odgovaraju. Za neperiodični signal, spektar je izravna Fourierova transformacija signala. Dakle, spektar periodičnog signala je diskretni spektar (diskretna funkcija frekvencije), dok je neperiodični signal karakteriziran kontinuiranim spektrom (kontinuiranim) spektrom. Obratimo pažnju na činjenicu da diskretni i kontinuirani spektri imaju različite dimenzije. Diskretni spektar ima istu dimenziju kao i signal, dok je dimenzija kontinuiranog spektra jednaka omjeru dimenzije signala i frekvencijske dimenzije. Ako je, na primjer, signal predstavljen električnim naponom, tada će se diskretni spektar mjeriti u voltima [V], a kontinuirani spektar u voltima po hercu [V/Hz]. Stoga se izraz "spektralna gustoća" također koristi za kontinuirani spektar. Razmotrimo najprije spektralni prikaz periodičnih signala. Iz kolegija matematike je poznato da se svaka periodična funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete (jedan od potrebnih uvjeta je i uvjet da energija bude konačna) može predstaviti Fourierovim nizom u trigonometrijskom obliku: gdje određuje prosječnu vrijednost signala tijekom razdoblja i naziva se konstantna komponenta. Frekvencija se naziva osnovna frekvencija signala (frekvencija prvog harmonika), a njeni višekratnici nazivaju se viši harmonici. Izraz (3) se može predstaviti kao: Inverzni odnosi za koeficijente a i b imaju oblik Slika 1 prikazuje tipičan prikaz grafa amplitudnog spektra periodičnog signala za trigonometrijski oblik serije (6): Korištenje izraza (Eulerova formula). umjesto (6), možemo napisati složeni oblik Fourierovog reda: gdje se koeficijent naziva kompleksne amplitude harmonika, čije su vrijednosti, kako slijedi iz (4) i Eulerove formule, određene izrazom: Uspoređujući (6) i (9), primjećujemo da kada se koristi složeni oblik Fourierovog reda, negativne vrijednosti k nam omogućuju da govorimo o komponentama s "negativnim frekvencijama". Međutim, pojava negativnih frekvencija je formalne prirode i povezana je s korištenjem složenog zapisa za predstavljanje stvarnog signala. Tada umjesto (9) dobivamo: ima dimenziju [amplituda/hertz] i pokazuje amplitudu signala po pojasu od 1 Hertz. Stoga se ova kontinuirana frekvencijska funkcija S(jw) naziva spektralna gustoća kompleksnih amplituda ili jednostavno spektralna gustoća. Napominjemo jednu važnu okolnost. Uspoređujući izraze (10) i (11), uočavamo da se za w=kwo razlikuju samo za konstantni faktor, a oni. kompleksne amplitude periodične funkcije s periodom T mogu se odrediti iz spektralne karakteristike neperiodične funkcije istog oblika, dane u intervalu . Gore navedeno vrijedi i za modul spektralne gustoće: Iz tog odnosa proizlazi da se ovojnica kontinuiranog amplitudskog spektra neperiodičnog signala i ovojnica amplituda linijskog spektra periodičnog signala podudaraju po obliku i razlikuju se samo po mjerilu. Izračunajmo sada energiju neperiodskog signala. Pomnoživši oba dijela nejednadžbe (14) sa s(t) i integrirajući u beskonačnim granicama, dobivamo: gdje su S(jw) i S(-jw) kompleksne konjugirane veličine. Jer Ovaj izraz se zove Parsevalova jednakost za neperiodični signal. Određuje ukupnu energiju signala. Iz toga slijedi da ne postoji ništa više od energije signala po 1 Hz frekvencijskog pojasa oko frekvencije w. Stoga se funkcija ponekad naziva spektralna gustoća energije signala s(t). Sada prikazujemo, bez dokaza, nekoliko teorema o spektrima koji izražavaju glavna svojstva Fourierove transformacije.
