Neka je S euklidski prostor i neka je njegova kompleksizacija. Uvodimo skalarni proizvod u S formulom:
Moramo provjeriti točnost ove definicije. Aditivnost u odnosu na prvi argument s fiksnim drugim je očita. Za provjeru linearnosti s obzirom na prvi argument, dovoljno je provjeriti mogućnost uzimanja kompleksnog faktora iz prvog argumenta. Odgovarajući izračun nije težak, već prilično težak. Točno:
Simetrija s involucijom je očita – pri zamjeni mjesta, stvarni dio skalarnog proizvoda se ne mijenja, a imaginarni dio mijenja predznak u suprotan.
Konačno, ako . Dakle, kompleksizacija euklidskog prostora S postaje unitarni prostor.
Također imajte na umu da su skalarni produkt para vektora i skalarni proizvod para njihovih kompleksno konjugiranih vektora kompleksno konjugirani. To izravno slijedi iz definicije točkastog proizvoda u .
2. Operatori u euklidskom prostoru i njihovo proširenje na kompleksizaciju.
U euklidskom prostoru, za operator, pridruženi operator je definiran istom formulom za bilo koji x i y kao u unitarnom prostoru. Dokaz postojanja i jedinstvenosti pridruženog operatora ne razlikuje se od sličnih dokaza za unitarni prostor. Operatorska matrica u ortonormalnoj bazi jednostavno se transponira s operatorskom matricom.Nastavljajući međusobno pridružene operatore od S do oni ostaju pridruženi.
Stvarno,
3. Normalni operatori u Euklidovom prostoru.
Normalni operator u euklidskom prostoru S ostaje normalan čak i kada se proširi na kompleksifikaciju prostora S. Stoga postoji ortonormirana baza vlastitih vektora u S koja dijagonalizira matricu operatora A.
Za stvarne svojstvene vrijednosti mogu se uzeti stvarni svojstveni vektori, tj. oni koji leže u S. Doista, koordinate vlastitih vektora u odnosu na bazu određuju se iz linearnih homogenih jednadžbi s realnim koeficijentima u slučaju stvarne vlastite vrijednosti.
Kompleks vlastitih vrijednosti pojavljuju u parovima konjugata s istom mnogostrukošću. Odabirom ortonormalne baze svojstvenih vektora koja pripada nekoj svojstvenoj vrijednosti na , baza vlastitih vektora za svojstvenu vrijednost može se uzeti iz vektora konjugiranih s baznim vektorima svojstvenih vrijednosti za X. Takva baza će biti ortonormirana. Sada pokrivamo dvodimenzionalni kompleksni podprostor preko svakog para i konjugiranih vektora.
Svi ovi podprostori su nepromjenjivi, ortogonalni jedni na druge i na stvarne svojstvene vektore koji odgovaraju stvarnim svojstvenim vrijednostima.
Kompleksni prostor koji se proteže vektorima i očito se poklapa sa kompleksnim podprostorom koji se proteže realnim vektorima u i y, te je, prema tome, kompleksizacija stvarnog podprostora koji se proteže s .
jer je u euklidskom prostoru S skalarni produkt simetričan.
Iz ove jednakosti slijedi da , tj. vektori i i v su ortogonalni, kao i . Podsjetimo sada da je vektor normaliziran, tj. zbog ortogonalnosti i i . Dakle, vektori u i v nisu normalizirani, ali postaju normalizirani nakon množenja s
Dakle, za normalni operator koji djeluje u euklidskom prostoru S, postoji ortonormalna baza sastavljena od vlastitih vektora koji pripadaju stvarnim svojstvenim vrijednostima i pomnoženih sa stvarnim i imaginarnim dijelovima svojstvenih vektora koji pripadaju kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Jednodimenzionalni podprostori spojeni realnim vlastitim vektorima i dvodimenzionalni podprostori spojeni komponentama kompleksnih vlastitih vektora su invarijantni, tako da je operatorska matrica u konstruiranoj bazi kvazidijagonalna i sastavljena od dijagonalnih blokova prvog i drugog reda. Blokovi prvog reda su stvarne svojstvene vrijednosti. Nađimo blokove drugog reda. Neka i biti svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti . Zatim
Potpuno isti odnosi ostaju nakon množenja vektora s Dakle, blokovi drugog reda imaju oblik
Također napominjemo da se ovi blokovi pojavljuju iz podprostora koji obuhvaća konjugirane svojstvene vektore koji pripadaju konjugiranim vlastitim vrijednostima, tako da uz blok napisan korištenjem svojstvene vrijednosti nije potrebno uključiti blok koji odgovara svojstvenoj vrijednosti
4. Samopridruženi operatori u Euklidovom prostoru.
Normalni operator u euklidskom prostoru je samopridružen ako i samo ako su sve njegove vlastite vrijednosti realne. Doista, samopridruženi operator u euklidskom prostoru ostaje i u kompleksizaciji. Dakle, u samom euklidskom prostoru postoji ortonormalna baza u kojoj je njegova matrica dijagonalna. Što se tiče matrica, to znači da za bilo koju realnost simetrična matrica A postoji ortogonalna matrica C takva da je dijagonalna. Ta je okolnost razjašnjena u pogl. V u vezi s ortogonalnom transformacijom kvadratnog oblika u kanonski oblik. Bliska povezanost između teorije samoprilagođenih operatora u euklidskom prostoru i teorije kvadratnih oblika jasno se vidi iz činjenice da se skalarni proizvod izražava u koordinatama vektora u ortonormalnoj bazi kao kvadratni oblik s matrica jednaka matrici operatora M u istoj bazi, a uz ortogonalnu transformaciju koordinata, matrični operatori i matrica kvadratnog oblika transformiraju se na isti način:
jer za ortogonalnu matricu
Za samoprilagođene operatore u euklidskom prostoru vrijede ista svojstva koja su zabilježena i za samopridružene operatore u unitarnom prostoru, a njihovi se dokazi ni na koji način ne razlikuju od dokaza u slučaju unitarnog prostora.
Stoga se ograničavamo na njihovo nabrajanje.
Samopridruženi operator je pozitivno određen ako i samo ako su njegove vlastite vrijednosti pozitivne.
Iz samopridruženog pozitivno-definiranog operatora može se izdvojiti pozitivno-definirani kvadratni korijen.
Svaki nedegenerirani operator može se predstaviti kao umnožak pozitivno-definiranog samopridruženog operatora i ortogonalnog operatora, oba u jednom, zar ne? i to drugačijim redoslijedom.
Operator ortogonalne projekcije je samopridruženi idempotentni operator i obrnuto, samopridruženi idempotentni operator je ortogonalni projekcijski operator.
5. Ortogonalni operatori.
Ortogonalni operator ima ortogonalnu matricu u bilo kojoj ortonormalnoj bazi. Budući da je ortogonalni operator normalan, postoji ortonormalna baza u kojoj je operatorska matrica blok-dijagonalna i sastoji se od realnih brojeva na dijagonali i blokova tipa ortogonalnosti takve matrice, slijedi da u svakom bloku drugog reda (To se također može vidjeti iz činjenice da ortogonalni operator postaje unitaran nastavkom na kompleksifikaciju, pa su stoga sve njegove vlastite vrijednosti po modulu 1.)
Možete staviti. Operator na ravnini s matricom je operator rotacije ravnine kroz kut.
Za ortogonalni operator se kaže da je ispravno ortogonan ako je determinanta njegove matrice 1; ako je determinanta jednaka -1, tada se operator naziva nepravilno ortogonalnim. Redoslijed baznih vektora može se odabrati tako da nakon dijagonale prvo slijedi 1, zatim -1, nakon čega slijede blokovi drugog reda. Ako je operator ispravno ortogonan, tada je broj dijagonalnih elemenata jednak -1 paran. Razmotrite matricu drugog reda kao blok drugog reda, što geometrijski znači rotaciju ravnine za .
Dakle, djelovanje ispravnog ortogonalnog operatora geometrijski znači sljedeće. Prostor je podijeljen na ortogonalni zbroj podprostora, od kojih je jedan raspoređen vlastitim vektorima koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti 1 - ovo je podprostor fiksnih vektora i nekoliko dvodimenzionalnih podprostora, od kojih se svaki rotira pod nekim kutom (općenito govoreći, različite ravnine pod različitim kutovima).
U slučaju neispravno ortogonalnog operatora postoji još jedan bazni vektor koji se pod djelovanjem operatora pretvara u suprotan.
U ovom odjeljku pokazujemo kako se definicije i rezultati prethodnih odjeljaka prenose na slučaj stvarnih euklidskih prostora.
1. Opće napomene.
Razmotrimo proizvoljni -dimenzionalni realni euklidski prostor V i operator A koji djeluje u V.
Koncept linearnog operatora za slučaj realnog linearnog prostora formuliran je u potpunoj analogiji s odgovarajućim konceptom za složeni prostor.
Definicija 1. Operator A nazivamo linearnim ako je za bilo koji element bilo kojeg realnog broja a i P jednakost
U potpunoj analogiji sa kompleksnim prostorom uvodi se pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora operatora.
Važno je napomenuti da su vlastite vrijednosti korijeni karakteristične jednadžbe operatora.
Obrnuta tvrdnja u stvarnom slučaju istinita je samo kada je odgovarajući korijen karakteristične jednadžbe realan. Samo u ovom slučaju naznačeni korijen bit će vlastita vrijednost razmatranog linearnog operatora.
S tim u vezi, prirodno je izdvojiti neku klasu linearnih operatora u stvarnom euklidskom prostoru, čiji su svi korijeni karakterističnih jednadžbi realni.
U gore dokazanom teoremu 5.16, utvrđeno je da su sve vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne. Štoviše, igrao se pojam samopridruženog operatora važna uloga u zaključcima § 6 ovog poglavlja o kvadratnim oblicima. Stoga je prirodno prenijeti koncept samopridruženog operatora na slučaj realnog prostora.
Najprije uvodimo pojam operatora A koji je pridružen operatoru A. Naime, kaže se da je operator A pridružen A ako za bilo koje x i y iz V vrijedi jednakost
Teorem 5.12 o postojanju i jedinstvenosti pridruženog operatora može se bez poteškoća prenijeti na slučaj realnog prostora.
Podsjetimo da se dokaz teorema 5.12 temelji na pojmu seskvilinearnog oblika. U stvarnom slučaju, umjesto seskvilinearne forme, treba koristiti bilinearni oblik
Ovom prilikom, u stavku 2. § 4. Ch. 5 je dao odgovarajuću primjedbu.
S tim u vezi, podsjećamo na definiciju bilinearnog oblika u bilo kojem realnom, ne nužno euklidskom linearni prostor Neka je B funkcija koja svakom uređenom paru vektora dodjeljuje realan broj
Definicija 2. Funkcija se naziva bilinearni oblik zadan na ako su za bilo koji vektor iz i bilo koji realni broj X relacije
Važnu ulogu u ovom odjeljku imat će poseban prikaz bilinearne forme u obliku
gdje je A neki linearni operator. Odgovarajući teorem (Teorem 5.11) o sličnom prikazu seskvilinearnog oblika u složenom prostoru temeljio se na zaključcima leme iz § 4. ovog poglavlja o posebnom prikazu linearnog oblika. Na kraju gornjeg odlomka napomenuto je da je ova lema istinita i u realnom prostoru. Napominjemo samo da se u dokazu leme izbor elemenata mora izvršiti ne prema formuli (5.41), već prema formuli gdje je zadani linearni oblik u realnom prostoru.
U § 6 ovog poglavlja uvedeni su hermitski oblici. Hermitski oblik je seskvilinearni oblik u kompleksnom prostoru karakteriziran relacijom (crta iznad B znači da je uzet kompleksni konjugat od B).
U slučaju realnog prostora, simetrični bilinearni oblici služe kao analozi hermitskih oblika. Ovaj oblik karakterizira omjer
Bilinearni oblik zadan na linearnom prostoru naziva se kososimetričnim ako je za bilo koji vektor iz relacije zadovoljen Očito, za svaki bilinearni oblik funkcije
su simetrični i koso-simetrični bilinearni oblici. Od tada dobivamo sljedeću izjavu:
Bilo koji bilinearni oblik može se predstaviti kao zbroj simetričnog i koso-simetričnog bilinearnog oblika.
Lako je vidjeti da je takav prikaz jedinstven.
Dokazat ćemo sljedeći teorem o simetričnim bilinearnim oblicima (ovaj je teorem analogan teoremu 5.25 o hermitskim oblicima).
Teorem 5.33. Da bi bilinearni oblik zadan na svim mogućim vektorima x i y realnog euklidskog prostora V bio simetričan, potrebno je i dovoljno da linearni operator A koji se pojavljuje u prikazu (5.113) bude samospojen.
Dokaz. Ako je A samopridruženi operator, onda, koristeći svojstva skalarnog produkta, dobivamo
Dakle, relacija (5.114) je zadovoljena, tj. bilinearni oblik je simetričan.
Ako je oblik simetričan, onda su relacije
Stoga je operator A samospojen. Teorem je dokazan.
Uvedemo pojam matrice linearnog operatora A. Neka je bilo koja baza u -dimenzionalnom realnom linearnom prostoru . Stavimo
Zatim, kao u složen slučaj, lako je pokazati da ako onda . Vektorske komponente imaju reprezentaciju
Matrica se naziva matrica linearnog operatora A u bazi
Na isti način kao što je to učinjeno u § 2 ovog poglavlja, možemo dokazati da veličina ne ovisi o izboru baze i da je determinanta operatora A uvedena ispravno.
Karakteristična jednadžba koja odgovara operatoru A naziva se jednadžba; polinom na lijevoj strani ove jednadžbe naziva se karakteristični polinom operatora A.
Dokažimo sada teorem o korijenima karakterističnog polinoma samopridruženog operatora u stvarnom euklidovom prostoru.
Teorem 5.34. Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog linearnog operatora A u euklidskom prostoru su realni.
Dokaz. Neka je korijen karakteristične jednadžbe
samopridruženi operator A.
Fiksiramo neku bazu u V i označavamo sa - elemente matrice operatora A u ovoj bazi (napomenimo da su - realni brojevi).
Tražit ćemo rješenje različito od nule sljedećeg sustava linearnih homogenih jednadžbi s obzirom na
Budući da je determinanta sustava (5.116). nula), tada sustav (5.116) homogenih linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule
Zamjenom ovog rješenja u desni i lijevi dio sustava (5.116), uzimajući to u obzir i potom odvajajući stvarni i imaginarni dio dobivenih relacija, nalazimo da skupovi realnih brojeva zadovoljavaju sljedeći sustav jednadžbe:
Razmotrimo u ovoj bazi vektore x i y s koordinatama, redom. Tada se relacije (5.117) mogu prepisati u obliku
Prvu od dobivenih relacija množimo skalarno s y, a drugu s x. Očito, dobivamo jednakosti
Budući da je operator A samospojen, oduzimanjem relacija (5.118) dobivamo jednakost
Ali (ako bi onda, dakle, rješenje bilo nula, dok je po konstrukciji ovo rješenje različito od nule). Dakle, kao što je imaginarni dio korijena karakteristične jednadžbe (5.115), onda je, očito, realan broj. Teorem je dokazan.
Kao iu složenom slučaju, za samopridruženi operator izjava o postojanju ortonormalna baza, koji se sastoji od vlastitih vektora ovog operatora (analogno teoremu 5.21). Dokažimo ovu tvrdnju.
Teorem 5.35. Svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n-dimenzionalnom realnom euklidskom prostoru V ima ortonormalnu bazu vlastitih vektora.
Dokaz. Neka je stvarna svojstvena vrijednost operatora A, i neka je jedinični vlastiti vektor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti
Označimo s -dimenzionalni podprostor prostora V, ortogonalni na Očito, - invarijantni podprostor prostora V (tj. ako je onda ). Doista, neka je onda budući da je operator A samo-adjustentan - vlastita vrijednost A, dobivamo
Linearni samopridruženi operatoriPrijenosne Windows aplikacije na Bodrenko.com
§ 5. Linearni samopridruženi operatori
u euklidskom prostoru
.
1. Koncept pridruženog operatora. razmotrit ćemo linearni operatori u konačnodimenzionalnom euklidskom prostoru V. Definicija 1. Operator A* iz L(V, V) naziva se adjugentnim na linearni operator A ako je za bilo koje x i y iz V relacija
(Ax, y) = (x, A*y). (5,51)
Lako je provjeriti da je operator A*, pridružen linearnom operatoru A, sam linearni operator. To proizlazi iz očitog odnosa
vrijedi za sve elemente x, y 1 , y 2 i sve kompleksne brojeve α i β.
Dokažimo sljedeći teorem.
Teorem 5.12. Svaki linearni operator A ima jedinstveni adjoint.
Dokaz. Očito je skalarni umnožak (Ax, y) seskvilinearni oblik (vidi pogl. 4, §3, točka 1 i definiciju seskvilinearnog oblika). Prema teoremu 5.11 postoji jedinstveni linearni operator A* takav da se ovaj oblik može predstaviti kao (x, A*y). Dakle, (Ax, y) = x, A*y.
Stoga je operator A* pridružen operatoru A. Jedinstvenost operatora A* proizlazi iz jedinstvenosti prikaza seskvilinearnog operatora u obliku E.44). Teorem je dokazan.
U nastavku, simbol A* će označavati operator koji je povezan s operatorom A.
Bilješka sljedeća svojstva konjugirani operatori:
Dokazi svojstava 1°-4° su elementarni i prepuštamo ih čitatelju. Dajemo dokaz o svojstvu 5°. Prema definiciji umnoška operatora vrijedi relacija (AB)x = A(Bx). Koristeći ovu jednakost i definiciju pridruženog operatora, dobivamo sljedeći lanac relacija:
((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .
Dakle, ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Drugim riječima, operator B*A* je pridružen operatoru AB. Utvrđena je valjanost svojstva 5°.
Komentar. Pojam pridruženog operatora za realni prostor uvodi se na potpuno isti način. Zaključci ovog pododjeljka i svojstva pridruženih operatora također vrijede za ovaj slučaj (štoviše, svojstvo 3° je formulirano na sljedeći način: (λA)* = λA*).
2. Samopridruženi operatori. Osnovna svojstva.
Definicija 2. Linearni operator A iz L(V, V) naziva se samopridruženim ako je jednakost
A* =A.
Slično je definiran i samopridruženi operator u realnom prostoru.
Najjednostavniji primjer samopridruženog operatora je operator identiteta I (vidi svojstvo 1° spojnih operatora u prethodnom pododjeljku).
Uz pomoć samopridruženih operatora može se dobiti poseban prikaz proizvoljnih linearnih operatora. Naime, istinita je sljedeća tvrdnja.
Teorem 5.13. Neka je A linearni operator koji djeluje u kompleksnom euklidskom prostoru V. Tada imamo reprezentaciju A = A R + iA ja, gdje ALI R i A I su samopridruženi operatori, koji se nazivaju realni i imaginarni dio operatora A.
Dokaz. Prema svojstvima 2°, 3° i 4° spojnih operatora (vidi prethodni stavak ovog stavka) operateri A R = (A + A*)/2 i A ja = (A - A*)/2i- samospojni.
Očito, A = A R + iA I Teorem je dokazan.
U sljedećem teoremu pojašnjavaju se uvjeti za samoprilagodljivost produkta samopridruženih operatora. Reći ćemo da operatori A i B komutiraju ako AB = BA.
Teorem 5.14. Da bi umnožak AB samopridruženih operatora A i B bio samopridruženi operator, potrebno je i dovoljno da oni komutiraju.
Dokaz. Budući da su A i B samopridruženi operatori, onda, prema svojstvu 5° spojnih operatora (vidi točku 1 ovog odjeljka), relacije
(AB)* = B*A* = BA (5,52)
Stoga, ako AB = BA, zatim ( AB)* = AB, tj. operator AB je samospojen. Ako je AB samopridruženi operator, onda AB \u003d (AB) *, a zatim, na temelju (5.52), AB = BA. Teorem je dokazan.
U sljedećim teoremima utvrđeno je niz važnih svojstava samopridruženih operatora.
Teorem 5.15. Ako je operator A samospojen, onda za bilo koji x ϵ V skalarni proizvod (ah, x) je pravi broj.
Dokaz. Valjanost tvrdnje teorema proizlazi iz sljedećeg svojstva skalarnog produkta u kompleksnom euklidskom prostoru 
i definicija samopridruženog operatora (Prisjetite se da ako je kompleksni broj jednak njegovom konjugatu, onda
ovaj broj je stvaran.)
Teorem 5.16. Vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su stvarne.
Dokaz. Neka je λ vlastita vrijednost samopridruženog operatora A. Prema definiciji vlastite vrijednosti operatora A (vidi definiciju 2 §3 ovog poglavlja), postoji vektor x koji nije nula
takav da je Ax = λx. Iz ove relacije slijedi da se stvarni (na temelju teorema 5.15) skalarni proizvod (Ax, x) može predstaviti u obliku 2)
( 2) Podsjetimo da je simbol ||x|| označava normu elementa x.)
Budući da ||x|| i (Ax, x) su realni, onda je, očito, λ također realan broj. Teorem je dokazan.
U sljedećem teoremu pojašnjava se svojstvo ortogonalnosti vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorem 5.17. Ako je A samopridruženi operator, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima ovog operatora ortogonalni.
Dokaz. Neka su λ 1 i λ 2 različite vlastite vrijednosti (λ 1 ≠ λ 2) samopridruženog operatora A, a x 1 i x 2 su odgovarajući svojstveni vektori. Tada vrijede relacije Ax 1 = λ 1 x 1, Ah 2 = λ 2 x 2. Stoga su skalarni produkti (Ax 1 , x 2) i (x 1 , Ax 2) jednaki sljedećim izrazima 3:
3) Budući da su vlastite vrijednosti samopridruženog operatora realne, onda
Budući da je operator A samospojen, skalarni produkti (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) su jednaki, pa stoga iz posljednje relacije, oduzimanjem, dobivamo jednakost
Kako je λ 1 ≠ λ 2, onda iz posljednje jednakosti slijedi da je skalarni umnožak (x 1 * x 2) jednak nuli, tj. ortogonalnost vlastitih vektora x 1 i x 2 Teorem je dokazan.
3. Norma linearnog operatora. Neka je A linearni operator koji preslikava euklidski prostor V u isti prostor. Uvedimo pojam norme operatora A.
Definicija 3. Norma ||
A ||
linearni operator A je broj definiran relacijom 1)
1) Podsjetimo da odavde slijedi ono što jest kontinuirana funkcija x, koji na zatvorenom skupu ||x|| = 1 dostiže konačnu maksimalnu vrijednost.
Sljedeća očita nejednakost proizlazi iz definicije norme linearnog operatora:
(za dokaz je dovoljno koristiti relaciju Ax = 
Iz E.54) slijedi da ako ||A|| = 0, tada je operator A nul.
Norma samopridruženog operatora A može se definirati i na drugi način. Naime, istinita je tvrdnja:
Ako je A samopridruženi operator, onda je norma uvedena gore ||A|| operator A je
Dokaz. Za bilo koji x iz V, nejednakost Cauchy-Bunyakovsky je istinita (vidi točku 2 § 3, pogl. 4)
Iz nje i iz nejednadžbe (5.54) dobivamo sljedeću nejednakost:
Stoga broj
zadovoljava odnos
Imajte na umu da iz jednakosti 
i definicija broja μ (vidi 5.56)) slijedi sljedeća nejednakost:
Okrenimo se sada sljedećem očitom identitetu:
(u ovom identitetu simbol Re(Ax, y) označava pravi dio kompleksni broj(Ax, y), sam identitet lako slijedi iz svojstava skalarnog proizvoda, vidi točku 1 §3, pog.4). Uzimajući lijevo i desno
dijelove ovog identiteta po modulu, koristeći svojstvo modula zbroja i nejednadžbe E.58), dobivamo sljedeće odnose 1) :
1 ) Koristili smo se definicijom norme elementa u složenom euklidskom prostoru.
Dakle, za ||x|| = ||y|| = 1 dobivamo nejednakost
Pretpostavljajući u ovoj nejednakosti 
(očito, ||y|| = 1) i uzimajući u obzir da je broj (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 je stvarno (tako da dobivamo
Dakle, prema nejednakosti (5.53), nalazimo 
Da bismo dovršili dokaz, ostaje usporediti dobivenu nejednakost s nejednakošću (5.57) i koristiti definiciju broja µ (vidi 5.56)).
4. Daljnja svojstva samopridruženih operatora. U ovom pododjeljku dokazujemo niz važnih svojstava linearnih operatora vezanih uz pojam norme. Prvo, uspostavljamo nužan i dovoljan uvjet da operator bude samopridružen. Dokažimo sljedeći teorem.
Teorem 5.18. Da bi linearni operator A bio samospojen, potrebno je i dovoljno da 2)
2 ) Simbol Im (Ax, x) označava imaginarni dio kompleksnog broja (Ax, x). Jednakost Im (Ax, x) = 0 znači da je broj (Ax, x) realan.
Dokaz. Prema teoremu 5.13, proizvoljni linearni operator A može se predstaviti kao
samopridruženi operatori. Zato
štoviše, prema teoremu 5.15, za bilo koje x brojevi i su realni. Stoga su ti brojevi jednaki realnom i imaginarnom dijelu kompleksnog broja (Ax, x):
Pretpostavimo da je A samopridruženi operator. Prema teoremu 5.15, u ovom slučaju (Ax, x) je realan broj,
pa je Im(Ax, x) = 0. Dokazuje se nužnost uvjeta teorema.
Dokažimo dostatnost uvjeta teorema.
Neka je Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. To implicira da ||A I || = 0, tj. A I = 0. Stoga je A = A R , gdje je A R samopridruženi operator.
Teorem je dokazan.
Sljedeće tvrdnje pojašnjavaju neka svojstva svojstvenih vrijednosti samopridruženih operatora.
Lema. Bilo koja vlastita vrijednost X proizvoljnog linearnog samopridruženog operatora A u euklidskom prostoru jednaka je skalarnom umnošku (Ax, x), gdje je x neki vektor,
zadovoljavajući uvjet ||h|| = 1:
Dokaz. Budući da je λ vlastita vrijednost operatora A, postoji vektor z različit od nule takav da
Neka je x = z/||z|| (očito, ||x|| = 1), prepisujemo 5.60) na sljedeći način: Ax = λ x, ||x|| = 1. Otuda dobivamo relacije t.j. 5.59) odvija se. Lema je dokazana.
Posljedica. Neka je A samopridruženi operator, a λ bilo koja svojstvena vrijednost tog operatora. Pustite dalje
Sljedeće nejednakosti su točne:
Napomena 1. Budući da je skalarni umnožak (Ax, x) kontinuirana funkcija od x, tada na zatvorenom skupu ||x|| = 1, ova funkcija je ograničena i doseže svoje točne granice m i M.
Napomena 2. Prema teoremu 5.16, vlastite vrijednosti samopridruženog operatora su stvarne. Stoga nejednakosti 5.62) imaju smisla.
Dokaz posljedica. Budući da bilo koja svojstvena vrijednost λ zadovoljava relaciju (5.59), onda je, očito, svaka svojstvena vrijednost zatvorena između točnih strana m i M skalarnog proizvoda (Ax, x). Stoga vrijede nejednakosti (5.62).
Dokazat ćemo da su brojevi m i M definirani relacijama (5.61) najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost samopridruženog operatora A. Prvo provjerimo valjanost sljedeće tvrdnje.
Teorem 5.19. Neka je A samopridruženi operator i, osim toga, (Ax, x) ≥ 0 za bilo koji x. Tada je norma ||A|| jednaka je najvećoj vlastitoj vrijednosti ovog operatora 1)
1 ) Budući da postoji konačan broj svojstvenih vrijednosti i one su realne, najveća od njih se može odrediti.
Dokaz. Već smo primijetili (vidi tvrdnju prethodnog stavka) da
Budući da je (Ax, x) ≥ 0, onda prema napomeni 1 ovog pododjeljka, za neke 
Okrenuvši se definiciji norme i koristeći upravo napisane jednakosti, dobivamo relacije 2)
Tako je, ili inače, vlastita vrijednost operatora A. Činjenica da je λ najveća svojstvena vrijednost proizlazi iz korolarca koji je upravo ustanovljen iz leme ovog odjeljka. Teorem je dokazan.
Dokažimo sada da su brojevi m i M (vidi 5.61)) najmanja i najveća vlastita vrijednost samopridruženog operatora A.
Teorem 5.20. Neka je A samopridruženi operator i neka su m i M točna lica (Ax, x) na skupu ||x|| = 1. Ovi brojevi predstavljaju najmanju i najveću svojstvenu vrijednost operatora A.
Dokaz. Očito je dovoljno dokazati da su brojevi m i M vlastite vrijednosti operatora A. Tada iz nejednadžbi 5.62) odmah slijedi da su m i M najmanja, odnosno najveća vlastita vrijednost.
Dokažimo prvo da je M vlastita vrijednost. Da biste to učinili, razmotrite samopridruženi operator B = A - mI. Jer
tada operator B zadovoljava uvjete iz teorema 5.19, pa stoga norma ||B|| ovog operatora jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti. S druge strane,
Dakle, (M - m) je najveća vlastita vrijednost operatora B. Dakle, postoji takav vektor x 0 koji nije nula da
Jer
Zamjenom ovog izraza Bx 0 u lijevu stranu jednakosti (5.63) dobivamo, nakon jednostavnih transformacija, relaciju Ax 0 = Mx 0 - Dakle, M je vlastita vrijednost operatora A. Sada se uvjeravamo da je broj m je također vlastita vrijednost operatora A.
Razmotrimo samopridruženi operator B = -A. Očito je da
Prema upravo provedenom dokazu, broj m je vlastita vrijednost operatora B. Budući da je B = -A, tada će m biti vlastita vrijednost operatora A. Teorem je dokazan.
Sljedeći teorem otkriva važno svojstvo vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorem 5.21. Za svaki samopridruženi linearni operator A koji djeluje u n -dimenzionalni euklidski prostor V, postoji n linearno neovisni parno ortogonalni i jedinični vlastiti vektori.
Dokaz. Neka bude λ 1 - maksimalna vlastita vrijednost operatora
Označimo s e 1 svojstveni vektor koji odgovara λ 1 i zadovoljava uvjet ||e 1 || = 1 (mogućnost njegovog izbora proizlazi iz dokaza leme ovog pododjeljka).
Označimo s V 1 (n - 1)-dimenzionalni podprostor prostora V, ortogonan na e 1 Očito, V 1 je nepromjenjivi podprostor operatora A (tj. ako je x ϵ V 1, onda je Ax ϵ V 1. Doista, neka je x ϵ V 1 (tj. (h,e 1 =0). Tada je 1)
1
)
Koristili smo samopridruženo svojstvo operatora (Ax, e 1
) = (x, Ae 1
)
i činjenica da e 1
- svojstveni vektor operatora: 
Stoga je Ax element V 1 , pa stoga V 1 je invarijantni podprostor operatora A. To nam daje pravo da operator A razmatramo u podprostoru V 1 . U ovom podprostoru A će biti samopridruženi operator. Stoga postoji maksimalna vlastita vrijednost A 2 ovog operatora, koja se može pronaći pomoću relacije 1 )
1 ) Simbol označava ortogonalnost vektora e 1 i e 2
Osim toga, može se odrediti vektor takav da 
Pozivajući se dalje na (n - 2)-dimenzionalni podprostor V 2 koji je ortogonan na vektore e 1 i e 2 , i ponavljajući gornje rezoniranje, konstruiramo svojstveni vektor e s, ||e s || = 1 ortogonalno na e 1 i e 2. Raspravljajući dalje na isti način, sukcesivno nalazimo n međusobno ortogonalnih vlastitih vektora e 1 , e 2 ,..., e n koji zadovoljavaju uvjet
Napomena 1. U daljnjem tekstu slažemo se numerirati svojstvene vrijednosti samopridruženog operatora silaznim redoslijedom, uzimajući u obzir ponavljajuće, tj. višestruke vlastite vrijednosti. Pri čemu
a odgovarajući svojstveni vektori e 1 , e 2 ,..., e n se mogu smatrati međusobno ortogonalnimi i zadovoljavaju uvjet
Na ovaj način,
Napomena 2. Argument u dokazu teorema implicira relaciju
Ovaj omjer se također može zapisati kao
linearni raspon vektora e 1 , e 2 ,..., e m . Valjanost primjedbe proizlazi iz činjenice da je (x, x) = ||x|| 2 , i stoga
gdje je norma elementa x/||x|| jednako 1.
Neka bude ∑ m je skup svih m-dimenzionalnih podprostora prostora V. Vrijedi sljedeće važno minimalno svojstvo svojstvenih vrijednosti.
Teorem 5.22. Neka je A samopridruženi operator i 
su njegove vlastite vrijednosti, numerirane redoslijedom navedenim u napomeni 1. Zatim
PREDAVANJE 9
Operatori u euklidskim prostorima
Linearni operatori koji djeluju u euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjenu linearne algebre u različitim predmetnim područjima. Zadržat ćemo se samo na glavnim pitanjima ove teorije, posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima s ortonormiranim bazama, naime u prostoru . Štoviše, operatore ćemo smatrati transformacijama, odnosno proučavat ćemo operatore 
.
Pridruženi operator
. Razmotrimo koncept operatora, povezana s operaterom 
, djelujući u euklidskom prostoru 
.
Definicija 9.1. Neka bude 
je neki linearni operator. Operater 
pozvaopovezana s operaterom 
, ako 
stanje
.
(9.1)
Teorem 9.1.
Za bilo koji linearni operator 
postoji samo jedan pridruženi operator 
, što je također linearno.
Dokaz. 1) Neka operator 
postoji, dokazujemo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedinstven, odnosno da postoje, na primjer, dva operatora 
I 
, zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada po formuli (9.1) imamo:
,
,
(9.2)
gdje stignemo
Zbog činjenice da je u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor 
proizvoljno, stavljamo u jednakost (9.3)
,
.
Budući da skalarni proizvod zadovoljava aksiom nedegeneracije, iz posljednje jednakosti imamo
odakle, zbog proizvoljnosti vektora 
slijedi to 
a dokazuje se jedinstvenost pridruženog operatora.
2) Dokažimo linearnost pridruženog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog produkta, dobivamo:
,
I 
ali) 
;
Usporedba formula a) i b) implicira linearnost pridruženog operatora 
, naime:
.
3) Dokažimo sada postojanje pridruženog operatora. Popravite u prostoru 
kanonska osnova 
, i napiši vektore 
I 
u obliku njihovih proširenja u kanonskoj osnovi:
;
.
(9.4)
Razmotrimo izračun lijevog i desnog dijela (9.1):
;
.
Uspoređujući posljednje dvije jednakosti, uzimajući u obzir (9.1), dobivamo:
.
(9.5)
Dakle, ako je operator matrica 
ima oblik
,
tada matrica pridruženog operatora ima oblik
.
(9.6)
Iz (9.6) slijedi da je matrica pridruženog operatora 
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi 
nalazi se transponiranjem matrice operatora 
, što dokazuje postojanje pridruženog operatora. 
Dokažimo teorem o svojstvima operatora konjugiranog s linearnim operatorom.
Teorem 9.2.
Sljedeća svojstva pridruženog operatora su važeća 
:
I 
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
(9.7)
5)
.
Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka bude 
je proizvoljan linearni operator. Za pridruženog operatera 
konjugirani operator će biti 
. Zatim: 
Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor 
, tj.
,
odakle slijedi dokaz prvog svojstva.
Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:
Usporedba lijevog i desnog dijela jednakosti (9.8) implicira dokaz drugog svojstva.
Ostala svojstva dokazuju se slično. 
Samopridruženi operatori . U aplikacijama veliku važnost imati samopridruženi operatori .
Definicija 9.2. Linearni operator 
pozvaosamospojni
, ako 
.
Iz definicije proizlazi da samopridruženi operator zadovoljava relaciju
.
(9.9)
Budući da je matrica pridruženog operatora 
jednaka je transponiranoj matrici operatora 
, tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost 
, tj elementi matrice samopridruženog operatora koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki su. Takva matrica se zove simetrično
. Iz tog razloga, samopridruženi operatori 
često nazivan simetrično
.
Samopridruženi operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati korištenjem definicije i svojstava pridruženog operatora.
1. Jedan operater 
je samopridružena.
Dokaz. Očito,
.
2. Zbroj samopridruženih operatora je samopridruženi operator.
Dokaz. Ako 
I 
, onda
.
3. Kompozicija samopridruženih operatora je samopridruženi operator ako i samo ako su ti operatori komutativni.
Dokaz. Podsjetimo da se za operator kaže da je komutativan ako
,
,
gdje 
je nulti operator. Ako 
,
, onda
,
koji je jednak 
ako i samo ako su operatori komutativni. 
4. Operater
, inverzno nedegeneriranom samopridruženom operatoru 
također samopridruženi operator.
Dokaz. Doista, ako 
, onda
.
5. Ako 
je samopridruženi operator, tada umnožak tog operatora nekim realnim brojem 
je samopridruženi operator.
Dokaz. Iz trećeg svojstva (9.7) imamo:
.
Teorem 9.3.
Vlastiti vektori samopridruženog operatora 
djelujući u prostoru 
, što odgovara parovima različitim vlastitim vrijednostima, međusobno su ortogonalne.
:
I 
, štoviše 
. Budući da je operator samospojen, onda 
. Dakle, na lijevoj i desnoj strani imamo:
;
.
Odakle do efekta 
dobivamo: 
.
Sljedeći važan teorem vrijedi za samopridružene operatore.
Teorem 9.4.
Svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora 
pravi i drugačiji.
Dokaz. U opći slučaj dokaz teorema je prilično glomazan. Iz tog razloga dajemo dokaz za slučaj operatera 
. Dakle, zadan neki linearni operator 
s matricom 
. Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:
.
Proširujući determinantu, dobivamo karakterističnu jednadžbu:
Rješenje ove jednadžbe nalazi se po poznatoj formuli:
.
Diskriminant izgleda ovako:
Prvi je član očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, budući da 
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe stvarni i različiti. 
Teorem 9.5.
Neka bude 
je samopridruženi operator. Zatim u svemiru 
može se izabrati ortonormalna baza
tako da matrica operatora 
u ovoj osnovi bila dijagonalna.
Dokaz. Prema teoremu 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora su stvarni i različiti, a prema tome, prema teoremu 9.3, vlastiti vektori samopridruženog operatora su međusobno ortogonalni. Očito se sustav vlastitih vektora može normalizirati. Ali tada ti vektori čine osnovu prostora 
, u kojem je operator jednostavan strukturni operator, odnosno ima dijagonalnu matricu. 
Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija
. Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru 
.
Definicija 9.3. Operater 
djelujući u prostoru
, Zove seortogonalni
ako čuva točkasti proizvod, tj
.
(9.10)
Iz definicije proizlazi da ortogonalni operator čuva norme (duljine) vektora i kutove između njih .
Lema 9.1.
Operater 
.
Dokaz. Neka bude 
,
odakle imamo: 
. Uz pretpostavku 
, dobivamo:
.
Neka bude 
. tada imamo:
.
Očito je da ortogonalni operator je nedegeneriran , odnosno njegova matrica ima inverznu matricu.
Teorem 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora).
Ortogonalni operatori 
imaju sljedeća svojstva:
1)operator identiteta je ortogonan;
2)sastav ortogonalnih operatora je također ortogonalni operator;
3)operator inverzan ortogonalnom operatoru je također ortogonan;
4)ako 
je ortogonalni operator, zatim operator 
je ortogonalna ako i samo ako 
.
Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva gotovo je očit: 
.
2. Neka 
I 
su ortogonalni operatori. Zatim:
3. Neka 
ortogonalni operator. Smatrati 
:
.
4. Neka 
je ortogonalni operator. Zatim
.
Teorem 9.7 (kriterij za ortogonalnost operatora).
Operater 
djelujući u prostoru 
, je ortogonalno ako i samo ako preslikava barem jednu ortonormalnu bazu na ortonormalnu bazu.
Dokaz. Neka bude 
je ortogonalni operator. Zatim on, čuvajući skalarni umnožak, prevodi ortonormalnu bazu u ortonormalnu bazu.
Sada neka operater 
prevodi ortonormalnu osnovu
u novu ortonormalnu osnovu
.
Zatim 
.
.
Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnog operatora.
Teorem 9.8.
Sustav vektora stupaca (redova) ortogonalne operatorske matrice 
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi
je ortonormalno.
Dokaz. Neka bude 
je neki ortogonalni operator i 
je neka ortonormalna osnova. Prema teoremu 9.9, sustav slika baznih vektora sam je ortonorman, tj. 
. Dakle, za stupce matrice operatora
,
(kao vektori aritmetičkog prostora 
) imamo:
.
(9.11)
Slično svojstvo vrijedi i za retke matrice 
:
.
(9.12)
Teorem 9.9.
Matrica ortogonalnog operatora 
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi zadovoljava uvjet
.
(9.13)
Dokaz. Neka bude 
je ortogonalni operator. Budući da su matrice operatora 
I 
povezani odnosima
,
odakle za matricu operatora 
dobivamo (9.11).
Obrnuto, neka vrijedi relacija (9.11). Zatim 
, odakle slijedi da operator 
je ortogonalna. 
Definicija 9.4. Matrica 
, za koji je nekretnina zadovoljan(9.13),nazivaju ortogonalnim.
Izložimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.
Teorem 9.10.
Vlastite vrijednosti ortogonalnog operatora 
djelujući u prostoru 
, su jednaki 
.
Dokaz. Neka bude 
. Zatim
Budući da po definiciji 
, onda 
.
Teorem 9.11.
Determinanta ortogonalne matrice 
jednaki
.
Dokaz. Ortogonalna matrica zadovoljava jednakost 
. Zato 
. Zatim
.
220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.
Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima
Plan
1. Adjuntni operatori u euklidskim prostorima i njihova svojstva.
2. Samopridruženi operatori.
3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.
4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.
1. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre. Moskva: Nauka, 1984.
2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997.
3. Voevodin V.V. Linearna algebra M.: Nauka 1980.
4. Zbirka zadataka za visoke tehničke škole. Linearna algebra i osnove matematička analiza. Ed. Efimov A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.
5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. Moskva: Fizmatlit, 2001.
6. Voevodin V.V. Linearna algebra. Moskva: Nauka, 1980.
1. Pridruženi operatori u euklidskim prostorima i njihova svojstva. Neka bude E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojem je skalarni proizvod vektora ( a ,b ), a ,b Î E.
Definicija 1. Linearni operator A* euklidskog prostora E pozvao konjugirati linearni operator A* prostor E, ako za bilo koje vektore a ,b Î E uvjet je ispunjen:
(aa ,b ) = (a ,A*b ). (1)
Lema 1.Ako je proizvod ovog nizaU u bilo koji stupacY je nula, zatim pravacU je nula. Ako umnožak bilo kojeg nizax t na dati stupac U je nula, zatim stupacnull.
Dokaz. Neka bude U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,y n)t. Prema hipotezi teorema, za bilo koje brojeve y 1 , y 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,y n)t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+u n y n=0. Ako svi brojevi y 1 , y 2 ,…,y n su 0 osim y j, koji je =1, onda iz ovoga dobivamo da u j (i = 1,2,…,n). Zato U=0. Slično se dokazuje i druga tvrdnja teorema.
Teorem 1.Neka bude v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnovi euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A u odnosu na osnovu v, G = (g ij) - matrica osnovnog grama v. Ako je za linearni operatorA postoji pridruženi operatorA * , zatim jednakost
A t G = G A*. (2)
Dokaz. Neka bude x I Y koordinatni stupci vektora a ,b Î E u odnosu na osnovu v, A I A* matrice linearnih operatora A I A * u odnosu na osnovu v. Zatim
(aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA) t GY, (a ,A*b ) = x t G A * Y.(3)
Dakle, formulom (1) dobivamo jednakost ( SJEKIRA) t GY= x t G A * Y, vrijedi za bilo koji vektor stupca x I Y. Budući da su vektori a ,b su proizvoljni, onda prema lemi 1 dobivamo A t G = G A*.
Teorem 2.Ako je osnovav = (v 1 , v 2 ,…, v n) euklidskog prostoraE ortonormalno, dakle matricaA * pridruženi linearni operatorA* transponira se u matricuOperater A ;
A t = A*. (4)
Dokaz. Budući da je Gramova matrica ortonormalne baze jedinica, G = E, tada (4) slijedi iz (2) .
Posljedica 1. Za bilo kojeg operateraA pravedna jednakost (A* ) * = A .
Dokaz. Formulom (4) za matrice linearnih operatora ( A* ) * I A u ortonormalnoj bazi imamo ( A*) * = (A t)t = A. Zato ( A* ) * = A .
Posljedica 2. Za bilo kojeg operateraA , B pravedna jednakost (AB ) * = B*A* .
Dokaz. Formulom (4) za matrice linearnih operatora A ,B I A* , B* u ortonormalnoj bazi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Zato ( AB ) * = B*A* .
Posljedica 3. Vlastite vrijednosti linearnih operatoraA IA* podudarati.
Dokaz. Budući da se karakteristični polinomi matrica i poklapaju, poklapaju se vlastite vrijednosti linearnih operatora koji su korijeni karakteristične jednadžbe .
Teorem 3. Za bilo koji linearni operatorA euklidskog prostoraE postoji jedinstveni pridruženi linearni operatorA* .
Dokaz. Neka bude v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormalna osnova euklidskog prostora E, A - linearni operator s matricom A u odnosu na osnovu v. Razmotrite u E linearni operator B s matricom A t o ovoj osnovi. Operater B postoji samo jedan. Desni dijelovi jednakosti (3) su: ( SJEKIRA) t GY = x t G A * Y. Stoga su i lijevi također jednaki ( aa , b ) = (a ,bb ). Stoga, operater B - konjugat za operatera A .
2. Samopridruženi operatori.
Definicija 1. Linearni operator A euklidskog prostora E pozvao samospojni ili simetrični, ako A = A* , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E uvjet je ispunjen:
(aa , b ) = (a ,Ab ). (1)
Teorem 1. Linearni operatorA euklidskog prostoraE je samopridružen ako i samo ako je matricaLinearni operatorA u ortogonalnoj bazi, simetrična matrica, t.j.. A = A * .
