Neka je X Banachov prostor, a A ograničen linearni operator, definiran na X, s rasponom u Banachovu prostoru Y. Neka su x nX i f nY*. Tada je definirana vrijednost f(Ax), a nejednakosti | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Ove nejednakosti pokazuju da je linearni funkcional j(h) definiran jednakošću j(h) = f(Ax) ograničeni funkcional. Stoga je svaki linearni ograničeni funkcional f nY pridružen operatoru A kontinuiranom linearnom funkcionalu j nH*. Promjenom elementa f dobit ćemo, općenito govoreći, različite elemente j; tako dobivamo operator

definiran na Y*, s rasponom u prostoru X*. Ovaj operator A* povezan je s operatorom A jednakošću (A*f)(x) = f(Ax). Ako primijenimo notaciju uvedenu u odjeljku 2 za linearni funkcional f(x) = (x, f), tada će veza operatora izgledati simetrično:

(Ax, f)=(x, A*f). (jedan)

Operator A* je jednoznačno određen formulom (1) i naziva se operator adjungiran operatoru A.

Doista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

onda iz korolara 4 Hahn-Banachovog teorema slijedi da je A 1 *y= A*y za sve y, što znači da je A*=A 1 *.

Teorem 11. Adjungirani operator A* je linearan i .

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A*. Doista, ako je y, z nY*, tada gornji argumenti impliciraju postojanje jedinstvenog elementa (y + z)* nX takvog da je (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) za sve x nX.

S druge strane, korištenjem formule (1) imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

oni. (y+z)* = A*x + A*y, odakle A*(y+z)=A*y+A*z. Time je dokazana aditivnost operatora A*. Homogenost se također lako provjerava.

Da bismo izračunali normu operatora A*, napravimo procjene

To implicira da je operator A* ograničen i .

Operator A*, zauzvrat, ima adjung - A**, definiran jednakošću sličnom (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

No, budući da je iz (2) A**x jednoznačno određen za svaki xOH, iz usporedbe jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A**x, y) "hOH, "yOY.

Korolarom 4 Hahn-Banachovog teorema, potonji znači da je A**x=Ax za sve xnX, tj. A**= A na prostoru X. Primjenjujući gornju nejednakost za normu adjungiranog operatora na A* i A**, imamo , što daje traženu jednakost: . Teorem je dokazan.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banachovog prostora X u Banachov prostor Y, tada

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. Uz pretpostavku X \u003d Y, jednakost (AB) * \u003d B * A * je istinita.

Dokaz. Gornja svojstva proizlaze iz sljedećih odnosa:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*) )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorem je dokazan.

Primjer 8. U prostoru L 2 promatramo Fredholmov integralni operator

s jezgrom koja ima integrabilni kvadrat. Imamo, koristeći Fubini teorem,

, gdje

.

Dakle, prijelaz na adjungirani operator je da se integracija provodi preko prve varijable. Dok se u izvornom iskazu provodi prema drugom.

Više o temi 6. Adjungirani operator. Uvjeti za postojanje pridruženog operatora. Zatvorenost adjungiranog operatora. Operator pridružen ograničenom operatoru i njegova norma:

1. 2. Schauderov teorem o potpunom kontinuitetu adjungiranog operatora. Jednadžbe prve i druge vrste s potpuno kontinuiranim operatorima. Teorem o zatvorenom rasponu operatora
2. 1. Linearni operatori u linearno normiranim prostorima. Ekvivalencija između neprekidnosti i ograničenosti linearnog operatora. Pojam norme ograničenog operatora. Razne formule za izračunavanje normi. Primjeri linearnih ograničenih operatora.
3. 4. Jezgra operatora. Kriterij ograničenosti inverznog operatora. Teoremi o inverznom operatoru
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova cjelovitost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholmovi i Hilbert-Schmidtovi operatori
7. 6. Graf operatora i zatvorenih operatora. Kriterij zatvaranja. Banachov teorem o zatvorenom grafu. Teorem o otvorenom preslikavanju

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Opći linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$ su linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani linearni prostori (prostori linearnih funkcionala definirani na $E,\; \backslash ,\; L$). Zatim za bilo koji linearni operator $A\backslash dvotačka\; E\backslash do\; L$ i bilo koji linearni funkcional $g\; \backslash u\; L^*$ definiran je linearni funkcional $f\; \backslash u\; E^*$- superpozicija $g$ i $A$: $f(x)=g(A(x))$. Prikaz $g\backslash mapsto\; f$ naziva se adjungirani linearni operator i označava se $A^*\backslash dvotačka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Ukratko, dakle $(A^*g,\; x)\; =\; (g,\; Ax)$, gdje $(B,\; x)$- funkcionalno djelovanje $B$ po vektoru $x$.

Topološki linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$ su topološki linearni prostori, i $E^*,\; \backslash ,\; L^*$- konjugirani topološki linearni prostori (prostori stalan linearni funkcionali definirani na $E,\; \backslash ,\; L$). Za svaki kontinuirani linearni operator $A\backslash dvotačka\; E\backslash do\; L$ i svaki kontinuirani linearni funkcional $g\; \backslash u\; L^*$ definiran je kontinuirani linearni funkcional $f\; \backslash u\; E^*$- superpozicija $g$ i $A$: $f(x)=g(A(x))$. Lako je provjeriti da preslikavanje $g\backslash mapsto\; f$ linearno i kontinuirano. Naziva se adjungirani operator i također se označava $A^*\backslash dvotačka\; L^*\; \backslash do\; E^*$.

Banachov prostor

Neka $A\backslash dvotočka\; X\backslash \; do\; Y$ je kontinuirani linearni operator koji djeluje iz Banachovog prostora $x$ u Banachov prostor $Y$ Pusti to $X^*,\; Y^*$- konjugirani prostori. Označiti $\backslash za\; sve\; x\backslash in\; X,\; f\backslash in\; Y^*\; =f(Ax)$. Ako a $f$ onda je fiksno $$ je linearni kontinuirani funkcional u $X,\; \backslash u\; X^*$. Dakle za $\backslash forall\; f\backslash in\; Y^*$ definiran je linearni kontinuirani funkcional iz $X^*$, pa je operator definiran $A^*\backslash dvotačka\; Y^*\backslash do\; X^*$, tako da $=$.

$A^*$ nazvao konjugirani operator. Slično, može se definirati adjungirani operator neograničenom linearnom operatoru, ali on neće biti definiran na cijelom prostoru.

Za $A^*$ vrijede sljedeća svojstva:

• Operater $A^*$- linearni.
• Ako a $A$ onda je linearni kontinuirani operator $A^*$ također linearni kontinuirani operator.
• Neka $O$ je nulti operator, i $E$ je operater jedinice. Zatim $O^*=O,\; E^*=E$.
• $(A+B)^*=A^*+B^*$.
• $\backslash forall\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; C,\; (\backslash alpha\; A)^*=\backslash bar(\backslash alpha)A^*$.
• $(AB)^*=B^*A^*$.
• $(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$.

Hilbertov prostor

U Hilbertovom prostoru $H$ Rieszov teorem daje identifikaciju prostora s njegovim dualom, tako da za operator $A\; \backslash \; dvotočka\; H\; \backslash \; do\; H$ jednakost $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A^*y)$ definira adjungirani operator $A^*\backslash dvotačka\; H\; \backslash do\; H$. Ovdje $(x,\; y)$- skalarni produkt u prostoru $H$.

vidi također

Napišite osvrt na članak "Konjugirani operator"

Bilješke

Književnost

• Schaefer H. Topološki vektorski prostori. - M .: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. funkcionalna analiza i njegove primjene u mehanici kontinuuma. - M .: Sveučilišna knjiga, . - 320 s.
• Trenogin V. A. Funkcionalna analiza. - M .: Znanost, . - 495 str.
• Funkcionalna analiza / urednik S. G. Krein. - 2., prerađeno i dopunjeno. - M .: Znanost, . - 544 str. - (Referentna matematička biblioteka).
• Halmoš P. Konačnodimenzionalni vektorski prostori = Finite-dimensional vector spaces. - M .: Fizmatgiz, . - 264 str.
• Shilov G.E. Matematička analiza(funkcije jedne varijable), dio 3. - M .: Nauka, . - 352 str.

Izvadak koji karakterizira adjungirani operator

Ađutanti su galopirali ispred njega u dvorište. Kutuzov, nestrpljivo gurajući svog konja koji se klatio pod njegovom težinom i neprestano klimajući glavom, stavio je ruku na nesreću konjaničke garde (s crvenom trakom i bez vizira) kapu koja je bila na njemu. Prišavši počasnoj straži mladih grenadira, uglavnom kavalira, koji su mu salutirali, on ih je minutu šutke, pažljivo promatrao zapovjedničkim tvrdoglavim pogledom i okrenuo se prema gomili generala i časnika koji su stajali oko njega. Lice mu je odjednom poprimilo suptilan izraz; slegnuo je ramenima s gestom zbunjenosti.
- A kod tako dobrih momaka sve se povlači i povlači! - On je rekao. "Pa, zbogom, generale", dodao je i dotaknuo konja kroz vrata pokraj kneza Andreja i Denisova.
- Hura! Hura! Hura! viknuo mu je iza leđa.
Budući da ga princ Andrej nije vidio, Kutuzov se udebljao, mlohav i natekao od sala. Ali poznato bijelo oko, i rana, i izraz umora na njegovom licu i stasu bili su isti. Bio je odjeven u uniformni frak (preko ramena mu je visio bič na tankom pojasu) i bijelu konjičku gardijsku kapu. On je, jako zamagljen i njišući se, sjedio na svom veselom konju.
"Fu... fu... fu..." zazviždao je gotovo čujno dok se vozio u dvorište. Njegovo je lice izražavalo radost što je umirio čovjeka koji se namjerava odmoriti nakon reprezentacije. Izvukao je lijevu nogu iz stremena, pao cijelim tijelom i grimasirao od napora, s mukom ju je podigao na sedlo, oslonio se na koljeno, zagunđao i spustio se na rukama do kozaka i ađutanata koji su ga podržavali. .
Oporavio se, pogledao oko sebe stisnutim očima i, gledajući princa Andreja, očito ga ne prepoznajući, otišao svojim ronećim korakom do trijema.
"Fu... fu... fu", zazviždao je i pogledao princa Andreja. Dojam lica kneza Andreja tek nakon nekoliko sekundi (kao što je često slučaj sa starim ljudima) bio je povezan sa sjećanjem na njegovu osobnost.
„Ah, zdravo, prinče, zdravo, dragi moj, idemo...“, rekao je umorno, osvrćući se oko sebe i teško ušao na trijem, škripajući pod svojom težinom. Otkopčao je i sjeo na klupu na trijemu.
- Pa, što je s ocem?
"Jučer sam dobio vijest o njegovoj smrti", kratko je rekao princ Andrej.
Kutuzov pogleda kneza Andreja uplašeno otvorenih očiju, zatim skine kapu i prekriži se: „Kraljevstvo mu na nebu! Neka je volja Božja nad svima nama!« Uzdahne teško, na sva prsa, i šuti. “Volio sam ga i poštovao i suosjećam s tobom svim srcem.” Zagrlio je princa Andreja, pritisnuo ga na svoja debela prsa i dugo ga nije puštao. Kad ga je pustio, knez Andrej je vidio da Kutuzovu drhte natečene usne i da su mu oči bile suzne. Uzdahnuo je i objema rukama uhvatio klupu da ustane.
"Dođi, dođi k meni, razgovarat ćemo", rekao je; ali u to vrijeme Denisov, jednako malo stidljiv pred svojim nadređenima kao i pred neprijateljem, unatoč činjenici da su ga ađutanti na trijemu zaustavili ljutitim šaptom, hrabro je, lupajući mamuzama po stepenicama, ušao na trijem. Kutuzov je, ostavivši ruke na klupi, nezadovoljno pogledao Denisova. Denisov je, predstavivši se, objavio da mora obavijestiti njegovo gospodstvo o stvari od velike važnosti za dobrobit domovine. Kutuzov je počeo promatrati Denisova umornim pogledom i ozlojeđenom kretnjom, uzevši mu ruke i sklopivši ih na trbuhu, ponovio: „Za dobrobit domovine? Pa, što je to? Govoriti." Denisov je pocrvenio poput djevojčice (bilo je tako čudno vidjeti boju na tom brkatom, starom i pijanom licu) i hrabro počeo ocrtavati svoj plan za presjecanje neprijateljske linije operacija između Smolenska i Vjazme. Denisov je živio u ovim krajevima i dobro je poznavao taj kraj. Njegov se plan nedvojbeno činio dobrim, osobito u smislu snage uvjerenja koje je bilo u njegovim riječima. Kutuzov je gledao u svoje noge i povremeno se osvrtao na dvorište susjedne kolibe, kao da je odande očekivao nešto neugodno. Doista, tijekom govora Denisova, iz kolibe u koju je gledao pojavio se general s aktovkom pod rukom.
- Što? - usred izlaganja Denisova rekao je Kutuzov. - Spreman?
"Spremni, vaša milosti", rekao je general. Kutuzov je odmahnuo glavom, kao da želi reći: "Kako jedna osoba može sve to učiniti", i nastavio slušati Denisova.
“Dajem vam iskrenu plemenitu riječ jednog husovskog časnika,” rekao je Denisov, “da sam g” azog ”wu Napoleonovih poruka.

Element koji nije nula x G V naziva se svojstvenim elementom linearnog operatora A: V V, ako postoji takav broj A - svojstvena vrijednost linearnog operatora A, takav da Svojstvene vrijednosti i vlastite elemente. Pridruženi operater. nema svoje elemente. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t postane proporcionalan nakon diferencijacije: To znači da ili, što je isto, posljednja jednakost je zadovoljena ako i samo ako iz nje slijedi da je a = p = 0 i, prema tome, polinom može biti samo nula. Teorem 6. Realni broj A je svojstvena vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je taj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x(A) = 0. Nužnost. Neka je A svojstvena vrijednost operatora A. Tada postoji element x različit od nule za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u obliku ekvivalentne matrice ili, što je isto, A ovo, da je x svojstveni element, slijedi da je njegov koordinatni stupac x(c) različit od nule. To znači da linearni sustav (1) ima rješenje različito od nule. Potonje je moguće samo pod uvjetom da ili, što je isto, Dostatnost. Način da izgradite vlastiti element. Neka je A korijen polinoma. Promotrimo homogeni linearni sustav s matricom A(c) - AI: Zbog uvjeta (2) ovaj sustav ima rješenje različito od nule. Element x konstruiramo u skladu s pravilom Koordinatni stupac x(c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također, Potonji je ekvivalent ili, detaljnije, Prema tome, x je svojstveni element linearnog operatora A , a A je odgovarajuća svojstvena vrijednost. Komentar. Da bi se pronašli svi svojstveni elementi koji odgovaraju zadanoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sustava (3). Primjer 1. Odrediti vlastite vektore linearnog operatora koji djeluje prema pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo djelovanje linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo Zapišite matricu operatora: svojstvene vrijednosti i svojstvene elemente. Pridruženi operater. konstruirati karakteristični polinom i pronaći mu korijene. Imamo Construct homogene linearni sustavi s matricama: Dobivamo, odnosno: Nađimo temeljne sustave rješenja za svaki od ovih sustava. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k sa svojstvenom vrijednošću 0 i bilo koji vektor sa svojstvenom vrijednošću baze I, t, O ima oblik karakteristični polinom -A3 ima točno jedan korijen A = 0. Rješenje sustav je skup 1,0,0, koji odgovara polinomu nultog stupnja. §5. Adjungirani operator U euklidskom prostoru nad linearnim operatorima može se uvesti još jedna radnja - operacija konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; drugi linearni operator adjungiran zadanom je prirodno povezan. Definicija. Linearni operator (čitaj: “a sa zvjezdicom”) naziva se adjungiranim linearnom operatoru A: V - * V, ako je za bilo koje elemente x i y iz prostora V zadovoljena jednakost Linearni operator A *, adjuint ovaj operater Ah, uvijek postoji. Neka je c = (et,..., en) ortobaza prostora V i A = A(c) = (o^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, tj. direktnim izračunima možemo potvrdite da za linearni operator A": V -> V, definiran pravilom, jednakost (1) vrijedi za bilo koji x i y. Podsjetimo se da je, prema teoremu 1, da bi se konstruirao linearni operator, dovoljno specificirati njegovo djelovanje na osnovne elemente.Primjer.Uvodimo u linearni prostor M\ polinoma s realnim koeficijentima stupnja ne većim od prve operacije skalarnog množenja s sljedeće pravilo. Neka je, dakle, M\ dvodimenzionalni euklidski prostor. Neka je V: M\ - M\ operator diferenciranja: V(a + d»f) = b. Konstruirajmo adjungirani operator. Operatorska matrica V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica adjungiranog operatora V, koja djeluje prema pravilu: Za proizvoljan polinom dobivamo Svojstva operacije konjugacije 1. Za svaki linearni operator postoji točno jedan njemu konjugiran operator. Neka su B i C operatori konjugirani s danim uoperatorom A. To znači da su za sve elemente x i y iz prostora V zadovoljene jednakosti. Iz toga slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Pridruženi operater. i, nadalje, Na temelju proizvoljnosti izbora elementa x, zaključujemo da je element Vu-Su ortogonalan bilo kojem elementu prostora V, a posebno samom sebi. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobivamo B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, gdje je a proizvoljan realan broj. Neka su A:V -+ V i B:V -+ V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti adjungiranog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V -* V bili međusobno konjugirani, ispunjene jednakosti B = A", A = B*, potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A(c) i B = B(c) dobiju jedna iz druge transpozicijom. Napomena. Ističemo da je svojstvo 6 vrijedi samo za matricu 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, onda je i njegov adjungirani operator A* također nedegeneriran i jednakost

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezana uz koncept ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Dokažimo najprije sljedeće svojstvo: ako A i B djeluju linearni operatori n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , da ) = (x , Po ), x , g V, onda A = B .

Doista, stavljanje u jednakost ( x , da ) = (x , Po ) Û ( x , (A – B )g ) = 0 vektor x = (A – B )g , dobivamo (( A –B )g , (A – B )g ) = ||(A – B )g || 2 = 0, g V, što je ekvivalentno ( A – B )g = 0 , g V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * pozvani konjugirati operater A , ako

(Sjekira , g ) = (x , A * g ), x , g V. (11.1)

Prirodno se postavlja pitanje: postoji li za dati operator A konjugirati?

Teorem 11.1. Svaki linijski operater A ima jedan adjungirani operator A * .

Dokaz. Birajmo u prostoru V ortonormirana baza u 1 , u 2 ,…, u n. Svaki linearni operator A : V® V u ovoj osnovi odgovara matrica ALI = , ja, j = 1, 2,..., n. Neka je matrica dobivena iz matrice ALI transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B . Zatim

(Au j, u ja) = (a 1 ju 1 + a 2 ju 2 +…+ i nju n, u ja) = i ij;

(u j, Bu ja) = (u j, a ja 1 u 1 + a ja 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u ja) = (u j, Bu ja), ja, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Neka dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n i g = na 1 u 1 + na 2 u 2 +…+ na nu n su bilo koja dva vektora iz V. Razmotrimo skalarne produkte ( Sjekira , g ) i ( x , Po ):

(Sjekira , g ) = (Au j, u ja),

(x , Po ) = (u j, Bu ja).

Uspoređujući ove izraze, uzimajući u obzir jednakost (11.2) i gore navedeno svojstvo, dobivamo jednakost ( Sjekira , g ) = (x , Po ), x , g V, tj. B = A * .

Dakle, dokazali smo da za svaki linearni operator A u konačnodimenzionalnom euklidskom prostoru postoji operator koji mu je pridružen A * čija je matrica u bilo kojoj ortonormiranoj bazi transponirana u odnosu na matricu operatora A . Jedinstvenost operatora A * proizlazi iz definicije adjungiranog operatora i gore dokazanog svojstva.¨

Lako je provjeriti da operater A * adjungiran linearnom operatoru A , je linearan.

Dakle operater A * je linearan i ima odgovarajuću matricu A*. Stoga matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(ALIx , g ) = (x , A * g ), x , g V.

Pridruženi operatori imaju sljedeća svojstva:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( ALI ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost svojstava 1°–5° proizlazi iz svojstava transpozicije matrice.

Provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka A -1 postoji. Zatim iz jednakosti AA –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da je ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , tj. da ( A –1) * = (A *) -jedan . Iz ovoga dobivamo još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1 Neka A – rotacija euklidske ravnine R 2 po kutu j s matricom

u ortonormalnoj bazi ja , j . Tada je matrica adjungiranog operatora u ovoj bazi

= .

Posljedično, A * - rotacija ravnine za kut j u suprotnom smjeru.·

Obrnuti operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P i neka je A operator (ne nužno linearan) koji djeluje na V.

Definicija. Kaže se da je operator A invertibilan ako postoji operator B koji djeluje na V tako da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uvjet BA = AB = I nazivamo inverzom od A i označavamo.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uvjet A = A = I. Za invertibilni operator A jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Doista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Ako je y = x, tada

Sjekira \u003d A (y) \u003d (A) y \u003d Iy \u003d y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, tada je i njegov inverzni operator također linearan.

Dokaz. Neka je A invertibilni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P, neka je A operator inverzan A. Uzmimo proizvoljne vektore i brojeve. Neka . Tada je A=, A=. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobivamo:

= = ,

Odnosno, operator je linearan.

Pridruženi linearni operator

Neka su dana dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A*, koji djeluje od Y do X, naziva se adjungiranim u odnosu na operator A, koji djeluje od X do Y, ako za bilo koje vektore xX, yY vrijedi jednakost

(Ax, y) = (x, A*y). (jedan)

Teorema. Za svaki linearni operator A postoji adjungirani operator A*, i to samo jedan.

Dokaz. Izaberimo neku ortonormiranu bazu u X. Za svaki vektor xX postoji dekompozicija

Ako operator A* postoji, tada, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A* postoji, onda je on jedinstven.

Ovako konstruiran operator A* je linearan. Također zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A*y). Doista, uzimajući u obzir ortonormalnost sustava i uzimajući u obzir (1), (2), dobivamo za bilo koje vektore xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =

Teorem je dokazan.

Adjungirani operator A* povezan je s operatorom A određenim relacijama. Napomenimo neke od njih:

Dokaz. Promotrimo proizvoljni operator A i njegov adjungirani operator A*. S druge strane, za operator A* operator (A*)* će biti adjungiran. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A*)*x) = (A*y, x) == = (y, Ax).