Konjugacija operatora u euklidskom prostoru. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Neka je S euklidski prostor i neka je njegova kompleksizacija. Uvedimo skalarni produkt u S pomoću formule:

Moramo provjeriti ispravnost ove definicije. Aditivnost u prvom argumentu s fiksnim drugim argumentom je očita. Za provjeru linearnosti u odnosu na prvi argument dovoljno je provjeriti je li moguće izvesti složeni faktor iz prvog argumenta. Odgovarajući izračun nije težak, već prilično glomazan. Točno:

Simetrija s involucijom je očita - kod okretanja mjesta realni dio skalarnog produkta se ne mijenja, ali imaginarni dio mijenja predznak.

Konačno, ako. Dakle, kompleksizacija euklidskog prostora S postaje unitarni prostor.

Također primijetite da su skalarni produkt para vektora i skalarni proizvod para kompleksno konjugiranih vektora kompleksno konjugirani. Ovo izravno proizlazi iz definicije skalarnog produkta u .

2. Operatori u euklidskom prostoru i njihov nastavak na kompleksifikaciju.

U euklidskom prostoru, konjugirani operator za operator određen je istom formulom za bilo koji x i y kao u unitarnom prostoru. Dokaz postojanja i jedinstvenosti konjugiranog operatora ne razlikuje se od sličnih dokaza za unitarni prostor. Operatorska matrica u ortonormiranoj bazi jednostavno se transponira s operatorskom matricom.Kada se međusobno konjugirani operatori produže sa S na oni će ostati konjugirani.

Stvarno,

3. Normalni operatori u euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru S ostaje normalan kada se proširi na kompleksifikaciju prostora S. Prema tome, u S postoji ortonormirana baza vlastitih vektora, koja dijagonalizira matricu operatora A.

Za stvarne svojstvene vrijednosti možemo uzeti stvarne svojstvene vektore, tj. one koji leže u S. Doista, koordinate svojstvenih vektora u odnosu na bazu određene su iz linearnih homogenih jednadžbi s realnim koeficijentima u slučaju stvarne svojstvene vrijednosti.

Složene svojstvene vrijednosti pojavljuju se u parovima konjugata s istom množinom. Odabirom ortonormirane baze iz svojstvenih vektora koji pripadaju nekoj svojstvenoj vrijednosti, baza svojstvenih vektora za svojstvenu vrijednost može se uzeti iz vektora konjugiranih vektorima baze svojstvene vrijednosti za X. Takva će baza biti ortonormirana. Sada rastegnimo dvodimenzionalni kompleksni podprostor na svaki par i konjugirane vektore.

Svi ti podprostori su invarijantni, ortogonalni jedan na drugi i na stvarne svojstvene vektore koji odgovaraju stvarnim svojstvenim vrijednostima.

Kompleksni prostor razapet vektorima u očito se podudara s kompleksnim potprostorom razapetim realnim vektorima u i y, te je stoga kompleksifikacija realnog potprostora razapetog .

jer je u euklidskom prostoru S skalarni produkt simetričan.

Iz ove jednakosti slijedi da su , tj. vektori i i v ortogonalni, kao i . Prisjetimo se sada da je vektor normaliziran, tj. zbog ortogonalnosti i i . Dakle, tako da vektori i i v nisu normalizirani, već postaju normalizirani nakon množenja s

Dakle, za normalni operator koji djeluje u euklidskom prostoru S, postoji ortonormirana baza sastavljena od svojstvenih vektora koji pripadaju stvarnim svojstvenim vrijednostima i pomnoženih s realnim i imaginarnim dijelovima svojstvenih vektora koji pripadaju kompleksnim svojstvenim vrijednostima. Jednodimenzionalni potprostori razapeti realnim svojstvenim vektorima i dvodimenzionalni potprostori razapeti komponentama kompleksnih svojstvenih vektora su invarijantni, pa je operatorska matrica u konstruiranoj bazi kvazidijagonalna i sastavljena od dijagonalnih blokova prvog i drugog reda. Blokovi prvog reda su stvarne svojstvene vrijednosti. Pronađimo blokove drugog reda. Dopustiti i biti svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti . Zatim

Potpuno isti odnosi bit će sačuvani nakon množenja vektora s Dakle, blokovi drugog reda imaju oblik

Imajte na umu također da se ovi blokovi pojavljuju iz potprostora koji se proteže konjugiranim svojstvenim vektorima koji pripadaju konjugiranim svojstvenim vrijednostima, tako da uz blok napisan korištenjem svojstvene vrijednosti, nema potrebe uključiti blok koji odgovara svojstvenoj vrijednosti

4. Samoadjungirani operatori u euklidskom prostoru.

Normalni operator u euklidskom prostoru je samoadjungiran ako i samo ako su sve njegove svojstvene vrijednosti realne. Doista, samoadjungiran operator u euklidskom prostoru ostaje samoadjungiran u kompleksizaciji. Dakle, u samom euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza u kojoj je njegova matrica dijagonalna. U smislu matrica, to znači da za svaki real simetrična matrica I postoji ortogonalna matrica C takva da je dijagonalna. Ta je okolnost razjašnjena u pogl. V u vezi s ortogonalnom transformacijom kvadratnog oblika u kanonski oblik. Bliska veza između teorije samoadjungiranih operatora u euklidskom prostoru i teorije kvadratnih formi jasno je vidljiva iz činjenice da se skalarni produkt izražava preko koordinata vektora u ortonormiranoj bazi u obliku kvadratne forme s matrica jednaka matrici operatora M u istoj bazi, a ortogonalnom transformacijom koordinata matrični operator i matrica kvadratnog oblika transformiraju se na isti način:

jer za ortogonalnu matricu

Za samoadjungirane operatore u euklidskom prostoru vrijede ista svojstva koja su primijećena za samoadjungirane operatore u unitarnom prostoru, a njihovi se dokazi ne razlikuju od onih u slučaju unitarnog prostora.

Stoga ćemo se ograničiti na njihov popis.

Samo-adjungirani operator je pozitivno određen ako i samo ako su njegove svojstvene vrijednosti pozitivne.

Pozitivno određeni kvadratni korijen može se izvući iz samoadjungiranog pozitivno određenog operatora.

Bilo koji nedegenerirani operator može se prikazati kao produkt pozitivno određenog samo-adjungiranog operatora i ortogonalnog, oba u jednom, zar ne? i to drugačijim redoslijedom.

Operator ortogonalne projekcije je samo-adjungiran idempotentni operator, i obrnuto, samo-adjungiran idempotentni operator je operator ortogonalne projekcije.

5. Ortogonalni operatori.

Ortogonalni operator ima ortogonalnu matricu u bilo kojoj ortonormalnoj bazi. Kako je ortogonalni operator normalan, postoji ortonormirana baza u kojoj je matrica operatora blok dijagonalna i sastoji se od realnih brojeva na dijagonali i blokova oblika ortogonalnosti takve matrice slijedi da je u svakom bloku drugog reda (Ovo se također može vidjeti iz činjenice da ortogonalni operator postaje unitaran kada se proširi na kompleksifikaciju, pa su stoga sve njegove svojstvene vrijednosti modulo 1.)

Možete ga staviti. Operator na ravnini s matricom je operator za zakretanje ravnine za kut.

Ortogonalni operator naziva se ispravno ortogonalnim ako je determinanta njegove matrice jednaka 1; ako je determinanta jednaka -1, tada se operator naziva nepravilno ortogonalnim. Redoslijed baznih vektora može se odabrati tako da dijagonala slijedi prvo 1, zatim -1, a zatim blokove drugog reda. Ako je operator zapravo ortogonalan, broj dijagonalnih elemenata jednak -1 je paran. Matrica drugog reda se smatra blokom drugog reda, što geometrijski znači rotaciju ravnine za .

Dakle, samo djelovanje ortogonalnog operatora geometrijski znači sljedeće. Prostor je podijeljen na ortogonalni zbroj potprostora, od kojih je jedan prevučen vlastitim vektorima koji pripadaju svojstvenoj vrijednosti 1 - to je potprostor fiksnih vektora, i nekoliko dvodimenzionalnih potprostora, od kojih je svaki zakrenut za određeni kut (općenito govoreći , različite ravnine pod različitim kutovima).

U slučaju nepropisno ortogonalnog operatora, postoji još jedan bazni vektor koji se transformira u suprotni pod djelovanjem operatora.

PREDAVANJE 9

Operatori u euklidskim prostorima

Linearni operatori koji djeluju u euklidskim prostorima imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjene linearne algebre u različitim predmetnim područjima. Usredotočit ćemo se samo na glavna pitanja ove teorije, posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima s ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru. Štoviše, operatore ćemo promatrati kao transformacije, odnosno proučavat ćemo operatore
.

Konjugirani operator . Razmotrimo koncept operatora, povezan s operaterom , djelujući u euklidskom prostoru
.

Definicija 9.1. Neka
– neki linearni operator. Operater
nazvaopovezan s operaterom , Ako
uvjet je ispunjen

. (9.1)

Teorem 9.1. Za bilo koji linearni operator
postoji jedinstveni konjugirani operator
, koji je također linearan.

Dokaz. 1) Neka operater postoji, dokažimo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedini, to jest da postoje, na primjer, dva operatora I , zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada prema formuli (9.1) imamo:

,
, (9.2)

odakle nam to

Zbog činjenice da u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor
je proizvoljan, stavljamo u jednakost (9.3)

,

.

Budući da skalarni umnožak zadovoljava aksiom nedegeneriranosti, iz posljednje jednakosti imamo

odakle, zbog proizvoljnosti vektora slijedi to
te je dokazana jedinstvenost konjugiranog operatora.

2) Dokažimo linearnost konjugiranog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog produkta dobivamo:

,
I

A)
;

Iz usporedbe formula a) i b) proizlazi da je konjugirani operator linearan , naime:

.

3) Dokažimo sada postojanje konjugiranog operatora. Popravimo to u svemiru
kanonska osnova
, te napiši vektore
I
u obliku njihovih proširenja po kanonskoj osnovi:

;
. (9.4)

Razmotrimo izračun lijeve i desne strane (9.1):

;

.

Uspoređujući posljednje dvije jednakosti uzimajući u obzir (9.1), dobivamo:

. (9.5)

Dakle, ako matrica operatora izgleda kao

,

tada matrica konjugiranog operatora ima oblik

. (9.6)

Iz (9.6) slijedi da matrica konjugiranog operatora u bilo kojoj ortonormalnoj bazi
nalazi se transponiranjem operatorske matrice , što dokazuje postojanje konjugiranog operatora.

Dokažimo teorem o svojstvima operatora konjugiranog na linearni operator.

Teorem 9.2. Sljedeća svojstva konjugiranog operatora vrijede: :
I

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka je proizvoljan linearni operator. Za konjugirani operator konjugat će biti operator . Zatim:

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor , to je,

,

odakle slijedi dokaz prvog svojstva.

Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:

Iz usporedbe lijeve i desne strane jednakosti (9.8) slijedi dokaz drugog svojstva.

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način.

Samoadjungirani operatori . U aplikacijama veliki značaj imati samopridruženi operatori .

Definicija 9.2. Linearni operator
nazvaosamospojen , Ako
.

Iz definicije slijedi da samoadjungirani operator zadovoljava relaciju

. (9.9)

Budući da matrica konjugiranog operatora jednaka transponiranoj matrici operatora , tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost
, to je elementi matrice samoadjungiranog operatora, simetričnog u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. Takva matrica se zove simetričan . Iz tog razloga samopridruženi operatori
često nazivan simetričan .

Samoadjungirani operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati pomoću definicije i svojstava adjungiranog operatora.

1. Jedan operater je samopridružen.

Dokaz. Očito,

.

2. Zbroj samo-adjungiranih operatora je samo-adjungiran operator.

Dokaz. Ako
I
, To

.

3. Kompozicija samo-adjungiranih operatora je samo-adjungiran operator ako i samo ako su ti operatori komutativni.

Dokaz. Podsjetimo se da se operatori nazivaju komutativni if

,

,

Gdje – nulti operator. Ako
,
, To

,

koji je jednak ako i samo ako su operatori komutativni.

4. Operater , inverzno nedegeneriranom samoadjungiranom operatoru
Također samopridruženi operator.

Dokaz. Doista, ako
, To

.

5. Ako samo-adjungiran operator, tada je umnožak ovog operatora s nekim realnim brojem
je samoadjungirani operator.

Dokaz. Iz trećeg svojstva (9.7) imamo:

.

Teorem 9.3. Vlastiti vektori samopridruženog operatora , djelovanje u prostoru
, koje odgovaraju parovima različitih svojstvenih vrijednosti, međusobno su ortogonalne.

:
I
, i
. Budući da je operator samopridružen, dakle
. Dakle, na lijevoj odnosno desnoj strani imamo:

;

.

Gdje je na snazi
dobivamo:
.

Sljedeći važan teorem vrijedi za samoadjungirane operatore.

Teorem 9.4. Svi korijeni karakterističnog polinoma samoadjungiranog operatora
pravi i drugačiji.

Dokaz. U opći slučaj dokaz teoreme je prilično glomazan. Iz tog razloga donosimo dokaz za slučaj operatora
. Dakle, neka je zadan neki linearni operator
s matricom . Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:

.

Proširujući determinantu, dobivamo karakterističnu jednadžbu:

Rješenje ove jednadžbe nalazi se pomoću dobro poznate formule:

.

Diskriminant ima oblik:

Prvi član je očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, jer
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti.

Teorem 9.5. Neka
– samopridruženi operator. Zatim u svemiru
možete odabrati ortonormiranu osnovu

tako da matrica operatora u ovoj je osnovici bila dijagonalna.

Dokaz. Prema teoremu 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora su realni i različiti, pa su prema teoremu 9.3 svojstveni vektori samopridruženog operatora međusobno ortogonalni. Sustav vlastitih vektora se očito može normalizirati. Ali onda ti vektori čine osnovu prostora
, u kojem je operator operator jednostavne strukture, odnosno ima dijagonalnu matricu.

Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija . Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru
.

Definicija 9.3. Operater , djelovanje u prostoru
, nazvaoortogonalni , ako čuva točkasti produkt, tj

.(9.10)

Iz definicije proizlazi da ortogonalni operator čuva norme (duljine) vektora i kutove između njih .

Lema 9.1. Operater

.

Dokaz. Neka

,

gdje imamo:
. vjerujući
, dobivamo:

.

Neka
. Zatim imamo:

.

Očito je da ortogonalni operator je nedegeneriran , odnosno njegova matrica ima inverznu matricu.

Teorem 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora). Ortogonalni operatori
imaju sljedeća svojstva:

1)operator identiteta je ortogonalan;

2)kompozicija ortogonalnih operatora također je ortogonalni operator;

3)inverzni operator ortogonalnog operatora također je ortogonalan;

4)Ako
je ortogonalni operator, tada je operator
je ortogonalna ako i samo ako
.

Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očit:

.

2. Neka
I
– ortogonalni operatori. Zatim:

3. Neka ortogonalni operator. Razmotrimo
:

.

4. Neka – ortogonalni operator. Zatim

.

Teorem 9.7 (kriterij ortogonalnosti operatora). Operater , djelovanje u prostoru
, je ortogonalna ako i samo ako uzima barem jednu ortonormalnu bazu do ortonormirane baze.

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Tada on, zadržavajući skalarni umnožak, transformira ortonormiranu bazu u ortonormiranu bazu.

Neka sada operater
prevodi ortonormiranu osnovu

u novu ortonormiranu osnovu

.

Zatim

.

.

Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnog operatora.

Teorem 9.8. Sustav vektora stupaca (redova) ortogonalne operatorske matrice
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi

je ortonorman.

Dokaz. Neka
– neki ortogonalni operator i
– neka ortonormirana baza. Prema teoremu 9.9, sustav slika baznih vektora je sam ortonorman, tj
. Stoga, za stupce matrice operatora

,

(kao vektori aritmetičkog prostora
) imamo:

. (9.11)

Slično svojstvo vrijedi i za retke matrice :

.
(9.12)

Teorem 9.9. Ortogonalna operatorska matrica
u bilo kojoj ortonormiranoj bazi zadovoljava uvjet

. (9.13)

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Budući da operatorske matrice I povezani odnosima

,

odakle za matricu operatora dobivamo (9.11).

Obrnuto, neka je zadovoljena relacija (9.11). Zatim
, iz čega proizlazi da operator je ortogonalna.

Definicija 9.4. Matrica , za koje vrijedi nekretnina(9.13),naziva se ortogonalnim.

Predstavimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.

Teorem 9.10. Svojstvene vrijednosti ortogonalnog operatora djelujući u prostoru
, su jednaki
.

Dokaz. Neka
. Zatim

Pošto po definiciji
, To
.

Teorem 9.11. Determinanta ortogonalne matrice jednaki

.

Dokaz. Za ortogonalnu matricu jednakost
. Zato
. Zatim

.

Neka linearni operator A djeluje u euklidskom prostoru E n i taj prostor pretvara u sebe.

Predstavimo se definicija: operator A* nazovimo to konjugatom operatora A, ako za bilo koja dva vektora x,y iz E n zadovoljena je jednakost skalarnih proizvoda oblika:

(Axe,y) = (x,A*y)

Više definicija: linearni operator se naziva samopridruženim ako je jednak svom pridruženom operatoru, odnosno vrijedi jednakost:

(Axe,y) = (x,Ay)

ili, posebno ( Ax,x) = (x, Ax).

Samoadjungirani operator ima određena svojstva. Spomenimo neke od njih:

Svojstvene vrijednosti samoadjungiranog operatora su realne (bez dokaza);

Svojstveni vektori samopridruženog operatora su ortogonalni. Doista, ako x 1 I x 2 su svojstveni vektori, a  1 i  2 su njihove svojstvene vrijednosti, tada: Sjekira 1 =  1 x; Sjekira 2 =  2 x; (Sjekira 1, x 2) = (x 1, sjekira 2), ili  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Kako su  1 i  2 različiti, onda odavde ( x 1, x 2) = 0, što je i trebalo dokazati.

U euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza svojstvenih vektora samoadjungiranog operatora A. To jest, matrica samopridruženog operatora uvijek se može svesti na dijagonalni oblik u nekoj ortonormiranoj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora samopridruženog operatora.

Još definicija: nazovimo samoadjungirani operator koji djeluje u euklidskom prostoru simetričan operater Razmotrimo matricu simetričnog operatora. Dokažimo tvrdnju: Da bi operator bio simetričan, potrebno je i dovoljno da njegova matrica u ortonormiranoj bazi bude simetrična.

Neka A – simetrični operator, tj.:

(Axe,y) = (x,Ay)

Ako A je matrica operatora A, i x I g– neke vektore, tada pišemo:

koordinate x I g u nekoj ortonormalnoj bazi

Zatim: ( x,y) = X T Y = Y T X i imamo ( Axe,y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x,Ay) = X T (AY) = X T AY,

oni. X T A T Y = X T AY. Za proizvoljno Matrice stupaca X,Y ova jednakost je moguća samo kada je A T = A, što znači da je matrica A simetrična.

Pogledajmo neke primjere linearnih operatora

Operater oblikovati. Neka je potrebno pronaći matricu linearnog operatora koji projicira trodimenzionalni prostor na koordinatnu os e 1 u osnovi e 1 , e 2 , e 3 . Matrica linearnog operatora je matrica čiji stupci moraju sadržavati slike baznih vektora e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Ove slike očito postoje: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Stoga se u osnovi e 1 , e 2 , e 3 matrica željenog linearnog operatora će imati oblik:

Pronađimo jezgru ovog operatora. Prema definiciji kernel je skup vektora x, za koje je AX = 0. Ili

To jest, kernel operatora je skup vektora koji leže u ravnini e 1 , e 2 . Dimenzija kernela je n – rangA = 2.

Skup slika ovog operatora očito je skup kolinearnih vektora e 1 . Dimenzija prostora slike jednaka je rangu linearnog operatora i jednaka je 1 , što je manje od dimenzije prostora praslike. Odnosno operater A– degenerirati. Matrica A je također singularna.

Još jedan primjer: pronaći matricu linearnog operatora koji djeluje u prostoru V 3 (bazis ja, j, k) linearna transformacija – simetrija oko ishodišta.

Imamo: Ai = -i

Odnosno tražena matrica

Razmotrimo linearnu transformaciju - simetrija u odnosu na ravninu g = x.

aj = ja(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matrica operatora će biti:

Drugi primjer je već poznata matrica koja povezuje koordinate vektora pri rotaciji koordinatnih osi. Operator koji rotira koordinatne osi nazovimo operatorom rotacije. Recimo da rotiramo za kut :

Ai’ = cos ja+ grijeh j

aj’ = -grijeh ja+cos j

Matrica operatora rotacije:

Ai ‘ aj ‘

Prisjetimo se formula za transformaciju koordinata točke pri promjeni baze - zamjena koordinata na ravnini pri promjeni baze:

E Ove se formule mogu promatrati na dva načina. Prethodno smo razmatrali ove formule tako da točka miruje, koordinatni sustav rotira. Ali također se može smatrati da koordinatni sustav ostaje isti, ali se točka pomiče iz položaja M * u položaj M. Koordinate točke M i M * definirane su u istom koordinatnom sustavu.

U Sve što je rečeno omogućuje nam pristup sljedećem problemu koji programeri koji se bave grafikom na računalu moraju riješiti. Neka je potrebno rotirati određenu ravnu figuru (na primjer, trokut) na zaslonu računala u odnosu na točku O’ s koordinatama (a, b) za određeni kut . Rotacija koordinata opisuje se formulama:

Paralelni prijenos osigurava sljedeće odnose:

Da bi se riješio takav problem, obično se koristi umjetna tehnika: uvode se takozvane "homogene" koordinate točke na ravnini XOY: (x, y, 1). Tada se matrica koja izvodi paralelni prijenos može napisati:

Stvarno:

I matrica rotacije:

Problem koji se razmatra može se riješiti u tri koraka:

1. korak: paralelni prijenos na vektor A(-a, -b) za poravnanje središta rotacije s ishodištem koordinata:

2. korak: okretanje za kutom :

3. korak: paralelni prijenos na vektor A(a, b) za vraćanje središta rotacije u prethodni položaj:

Željena linearna transformacija u obliku matrice će izgledati ovako:

(**)

U ovom ćemo odjeljku pokazati kako se definicije i rezultati iz prethodnih odjeljaka prenose na slučaj realnih euklidskih prostora.

1. Opće napomene.

Promotrimo proizvoljan -dimenzionalni realni euklidski prostor V i operator A koji djeluje u V.

Koncept linearnog operatora za slučaj realnog linearnog prostora formuliran je u potpunoj analogiji s odgovarajućim pojmom za kompleksni prostor.

Definicija 1. Operator A nazivamo linearnim ako za bilo koji element bilo kojeg realnog broja a i P vrijedi jednakost

U potpunoj analogiji s kompleksnim prostorom uvodi se pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora operatora.

Važno je napomenuti da su svojstvene vrijednosti korijeni karakteristične jednadžbe operatora.

Obratna tvrdnja u stvarnom slučaju je istinita samo ako je odgovarajući korijen karakteristične jednadžbe realan. Samo u ovom slučaju će naznačeni korijen biti svojstvena vrijednost linearnog operatora koji se razmatra.

U tom smislu, prirodno je izdvojiti neku klasu linearnih operatora u realnom euklidskom prostoru, čiji su svi korijeni karakterističnih jednadžbi realni.

U gore dokazanom teoremu 5.16 utvrđeno je da su sve svojstvene vrijednosti samoadjungiranog operatora realne. Osim toga, igrao se koncept samopridruženog operatora važna uloga u zaključcima § 6 ovog poglavlja o kvadratnim oblicima. Stoga je prirodno proširiti koncept samoadjungiranog operatora na slučaj realnog prostora.

Uvedimo najprije koncept operatora A konjugiranog s operatorom A. Naime, kaže se da je operator A konjugiran s A ako za bilo koje x i y iz V vrijedi jednakost

Teorem 5.12 o postojanju i jedinstvenosti konjugiranog operatora može se bez poteškoća prenijeti na slučaj realnog prostora.

Podsjetimo se da se dokaz teorema 5.12 oslanja na koncept seskvilinearne forme. U stvarnom slučaju, umjesto seskvilinearnog oblika, trebali biste koristiti bilinearni oblik

Ovom prigodom, u paragrafu 2 § 4 gl. 5 unesena je odgovarajuća primjedba.

S tim u vezi, prisjetimo se definicije bilinearnog oblika u bilo kojoj realnoj, ne nužno euklidskoj linearni prostor Neka je B funkcija koja svakom uređenom paru vektora pridružuje realni broj

Definicija 2. Funkcija se naziva bilinearna forma definirana ako su za bilo koji vektor iz i bilo koji realni broj X zadovoljeni sljedeći odnosi:

Važnu ulogu u ovom odjeljku imat će poseban prikaz bilinearne forme u formi

gdje je A neki linearni operator. Odgovarajući teorem (teorem 5.11) o sličnom prikazu seskvilinearne forme u kompleksnom prostoru temeljio se na zaključcima leme § 4 ovog poglavlja o posebnom prikazu linearnog oblika. Na kraju ovog paragrafa, primijećeno je da je ova lema također istinita u stvarnom prostoru. Napominjemo samo da se u dokazu leme izbor elemenata ne mora vršiti prema formuli (5.41), već pomoću formule gdje je zadana linearna forma u realnom prostoru.

U § 6 ovog poglavlja uvedeni su hermitski oblici. Hermitski oblik je seskvilinearni oblik u kompleksnom prostoru, karakteriziran relacijom (crta iznad B znači da je uzet kompleksni konjugiran od B).

U slučaju realnog prostora, simetrične bilinearne forme služe kao analogija hermitskih formi. Ovaj oblik karakterizira omjer

Bilinearni oblik definiran na linearnom prostoru naziva se koso-simetričnim ako je za bilo koji vektor iz relacije zadovoljen. Očito, za svaki bilinearni oblik funkcije

su, redom, simetrični i koso-simetrični bilinearni oblici. Jer tada dobivamo sljedeću izjavu:

Bilo koja bilinearna forma može se prikazati kao zbroj simetrične i koso-simetrične bilinearne forme.

Lako je vidjeti da je takav prikaz jedinstven.

Sljedeći teorem ćemo dokazati o simetričnim bilinearnim formama (ovaj teorem služi kao analogan teoremu 5.25 o hermitskim formama).

Teorem 5.33. Da bi bilinearna forma definirana na svim mogućim vektorima x i y realnog euklidskog prostora V bila simetrična, potrebno je i dovoljno da linearni operator A koji se pojavljuje u prikazu (5.113) bude samoadjungiran.

Dokaz. Ako je A samo-adjungiran operator, tada, koristeći svojstva skalarnog proizvoda, dobivamo

Dakle, relacija (5.114) je zadovoljena, tj. bilinearni oblik je simetričan.

Ako je forma simetrična, onda su relacije valjane

Stoga je operator A samoadjungiran. Teorem je dokazan.

Uvedimo pojam matrice linearnog operatora A. Neka je neka baza u -dimenzionalnom realnom linearnom prostoru. Stavimo

Zatim, kao u složen slučaj, nije teško pokazati da ako tada . Komponente vektora imaju sljedeću reprezentaciju:

Matrica se naziva matrica linearnog operatora A u bazi

Na isti način kao što je učinjeno u § 2. ovog poglavlja može se dokazati da kvantiteta ne ovisi o izboru baze i time je ispravno uvedena determinanta operatora A.

Karakteristična jednadžba koja odgovara operatoru A je jednadžba polinoma na lijevoj strani ove jednadžbe, koja se naziva karakteristični polinom operatora A.

Dokažimo sada teorem o korijenima karakterističnog polinoma samopridruženog operatora u realnom euklidskom prostoru.

Teorem 5.34. Svi korijeni karakterističnog polinoma samoadjungiranog linearnog operatora A u euklidskom prostoru su realni.

Dokaz. Neka je korijen karakteristične jednadžbe

samoadjungirani operator A.

Fiksiramo neku bazu u V i označavamo s - elemente matrice operatora A u toj bazi (napomenimo da su - realni brojevi).

Tražit ćemo rješenje različito od nule za sljedeći sustav linearnih homogenih jednadžbi s obzirom na

Budući da je determinanta sustava (5.116) jednaka (podsjetimo se da determinanta matrice linearne transformacije ne ovisi o izboru baze i, prema (5.115), ova determinanta jednaka nuli), tada sustav (5.116) homogenih linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule

Zamjenom ovog rješenja u desnu i lijevu stranu sustava (5.116), uzimajući to u obzir i potom odvajajući realne i imaginarne dijelove dobivenih relacija, nalazimo da skupovi realnih brojeva zadovoljavaju sljedeći sustav jednadžbe:

Promotrimo u ovoj bazi vektore x i y s koordinatama, redom. Tada se relacije (5.117) mogu prepisati u obliku

Prvu od dobivenih relacija pomnožimo skalarno s y, a drugu s x. Očito, dobivamo jednakosti

Kako je operator A samoadjungiran, tada oduzimanjem relacija (5.118) dobivamo jednakost

Ali (ako bi tada, dakle, rješenje bilo nula, dok je po konstrukciji to rješenje različito od nule). Dakle, budući da je a imaginarni dio korijena karakteristične jednadžbe (5.115), onda je, očito, realan broj. Teorem je dokazan.

Kao i u složenom slučaju, za samopridruženi operator izjava o postojanju je istinita ortonormirana baza, koji se sastoji od svojstvenih vektora ovog operatora (analogno teoremu 5.21). Dokažimo ovu tvrdnju.

Teorem 5.35. Svaki samoadjungirani linearni operator A koji djeluje u n-dimenzionalnom realnom euklidskom prostoru V ima ortonormiranu bazu vlastitih vektora.

Dokaz. Budimo stvarni svojstvena vrijednost operator A, a je jedinični svojstveni vektor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti

Označimo -dimenzionalnim podprostorom prostora V, ortogonalnim na Očito, - invarijantni podprostor prostora V (to jest, ako je tada ). Doista, neka tada Budući da je operator A samo-adjungiran - svojstvena vrijednost A, dobivamo

220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Plan

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva.

2. Samoadjungirani operatori.

3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.

4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.

1. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997. godine.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematička analiza. ur. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Linearna algebra. M.: Nauka, 1980.

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva. Neka E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojem je skalarni produkt vektora ( a ,b ), a ,b Î E.

Definicija 1. Linearni operator A* Euklidski prostor E nazvao konjugirati linearni operator A* prostor E, ako za bilo koji vektor a ,b Î E uvjet je ispunjen:

(Aa ,b ) = (a ,A*b ). (1)

Lema 1.Ako je umnožak zadanog nizaU bilo koji stupacY je nula, zatim linijaU nula. Ako je umnožak bilo kojeg nizax t na dati stupac U je jednako nuli, zatim stupacništavan.

Dokaz. Neka U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (g 1 , g 2 ,…,y n)t. Prema uvjetima teorema, za bilo koje brojeve g 1 , g 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(g 1 , g 2 ,…,y n)t = u 1 g 1 + u 2 g 2 +…+u n y n=0. Ako su svi brojevi g 1 , g 2 ,…,y n su jednaki 0, osim y j, što je = 1, tada dobivamo to u j (ja = 1,2,…,n). Zato U=0. Druga tvrdnja teorema dokazuje se na sličan način. 

Teorem 1.Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnovu euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A u odnosu na osnovu v, G = (g ij) - bazna Gram matrica v. Ako je za linearni operatorA postoji konjugirani operatorA * , tada je jednakost zadovoljena

A t G = G A*. (2)

Dokaz. Neka x I Y vektorski koordinatni stupci a ,b Î E u odnosu na osnovu v, A I A* matrice linearnih operatora A I A * u odnosu na osnovu v. Zatim

(Aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA) t G.Y., (a ,A*b ) = x t G A * Y.(3)

Odavde, korištenjem formule (1), dobivamo jednakost ( SJEKIRA) t G.Y.= x t G A * Y, vrijedi za bilo koji vektor stupaca x I Y. Budući da vektori a ,b proizvoljne, tada prema lemi 1 dobivamo A t G = G A*.

Teorem 2.Ako osnovuv = (v 1 , v 2 ,…, v n) Euklidski prostorE ortonormalno, dakle matricaA* konjugirani linearni operatorA* se transponira u matricuAoperator A ;

A t = A*. (4)

Dokaz. Budući da je Gramova matrica ortonormirane baze identitet, G = E, tada (4) slijedi iz (2) . 

Korolar 1. Za bilo kojeg operateraA jednakost je istinita (A* ) * = A .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora ( A* ) * I A u ortonormalnoj bazi imamo ( A*) * = (A t)t = A. Zato ( A* ) * = A .

Korolar 2. Za bilo kojeg operateraA , B jednakost je istinita (AB ) * = B*A* .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora A ,B I A* , B* u ortonormalnoj bazi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Zato ( AB ) * = B*A* .

Korolar 3. Svojstvene vrijednosti linearnih operatoraA IA* odgovarati.

Dokaz. Budući da se karakteristični polinomi matrica podudaraju, svojstvene vrijednosti linearnih operatora koji su korijeni karakteristične jednadžbe se podudaraju . 

Teorem 3. Za bilo koji linearni operatorA Euklidski prostorE postoji jedinstveni konjugirani linearni operatorA* .

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormirana baza euklidskog prostora E, A - linearni operator s matricom A u odnosu na osnovu v. Razmotrimo u E linearni operator B s matricom A t u odnosu na ovu osnovu. Operater B postoji samo jedan. Desne strane jednakosti (3) jednake su: ( SJEKIRA) t G.Y. = x t G A * Y. Stoga su i lijevi jednaki ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Stoga operater B - sučelje za operatera A . 

2. Samoadjungirani operatori.

Definicija 1. Linearni operator A Euklidski prostor E nazvao samospojeni ili simetrični, Ako A = A* , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E uvjet je ispunjen:

(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)

Teorem 1. Linearni operatorA Euklidski prostorE je samoadjungiran ako i samo ako je matricaLinearni operatorA u ortogonalnoj bazi postoji simetrična matrica, tj.. A = A * .