Koncept ranga matrice usko je povezan s konceptom linearne ovisnosti (nezavisnosti) njezinih redaka ili stupaca. Ubuduće ćemo prezentirati materijal za retke, za stupce je prezentacija slična.
U matrici A Označimo njegove linije na sljedeći način:
, 
, …. , 
Kaže se da su dva retka matrice jednaka, ako su im odgovarajući elementi jednaki: , ako su , .
Aritmetičke operacije na redovima matrice (množenje retka brojem, zbrajanje redaka) uvode se kao operacije koje se izvode element po element:
Crta e zove se linearna kombinacija nizova..., matrica, ako je jednaka zbroju umnožaka ovih redaka proizvoljnih realnih brojeva:
Redovi matrice se nazivaju linearno ovisna, ako postoje brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redaka matrice jednaka nultom redu:
, =(0,0,...,0). (3.3)
Teorem 3.3Redovi matrice su linearno ovisni ako je barem jedan redak matrice linearna kombinacija ostalih.
□ Doista, neka je u formuli (3.3) 
, Zatim
Dakle, red je linearna kombinacija preostalih redaka. ■
Ako je linearna kombinacija redaka (3.3) jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti jednaki nuli, tada se redovi nazivaju linearno neovisnim.
Teorem 3.4.(o rangu matrice) Rang matrice jednak je maksimalnom broju njezinih linearno neovisnih redaka ili stupaca kroz koje su linearno izraženi svi njezini drugi redovi (stupci).
□ Neka matrica A veličina m n ima rang r(r min). To znači da postoji minor različit od nule r-ti red. Svaki minor različit od nule r Red će se zvati bazni minor.
Radi određenosti, neka je baza minor vodeći ili kutni mol. Tada su redovi matrice linearno neovisni. Pretpostavimo suprotno, to jest da je jedan od ovih nizova, na primjer, linearna kombinacija ostalih. Oduzmite od elemenata r- 1. reda, elementi 1. reda, pomnoženi sa , zatim elementi 2. reda, pomnoženi sa , ... i elementi ( r- 1) - th redaka pomnoženo s . Na temelju svojstva 8, ovakvim transformacijama matrice njezina se determinanta D neće promijeniti, ali budući r- red će se sada sastojati samo od nula, tada je D = 0 kontradikcija. Stoga je naša pretpostavka da su redovi matrice linearno ovisni netočna.
Nazovimo linije Osnovni, temeljni. Pokažimo da je svaki (r+1) redak matrice linearno ovisan, tj. bilo koji niz se izražava u terminima osnovnih.
Promotrimo minor (r +1) prvog reda, koji se dobiva nadopunjavanjem dotičnog minora elementima drugog reda ja i stupac j. Ovaj minor je nula jer je rang matrice r, tako da je svaki minor višeg reda nula.
Proširujući ga prema elementima posljednjeg (dodanog) stupca, dobivamo
Gdje se modul zadnjeg algebarskog komplementa poklapa s baznim minorom D i stoga različit od nule, tj. 0.
Neka
Stupci matrice dimenzija. Linearna kombinacija stupaca matrice zove se matrica stupca, s nekim realnim ili kompleksnim brojevima koji se nazivaju koeficijenti linearne kombinacije. Ako u linearnoj kombinaciji uzmemo sve koeficijente jednake nuli, tada je linearna kombinacija jednaka matrici nultog stupca.
Stupci matrice nazivaju se linearno neovisni , ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli samo kada su svi koeficijenti linearne kombinacije jednaki nuli. Stupci matrice nazivaju se linearno ovisna , ako postoji skup brojeva među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca s tim koeficijentima jednaka je nuli
Slično se mogu dati definicije linearne ovisnosti i linearne neovisnosti redaka matrice. U nastavku su svi teoremi formulirani za stupce matrice.
Teorem 5
Ako među stupcima matrice postoji nula, tada su stupci matrice linearno ovisni.
Dokaz. Razmotrimo linearnu kombinaciju u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli za sve stupce koji nisu nula i jedan za sve stupce s nulom. Jednak je nuli, a među koeficijentima linearne kombinacije postoji koeficijent različit od nule. Stoga su stupci matrice linearno ovisni.
Teorem 6
Ako stupci matrice su linearno ovisni, to je sve stupci matrice su linearno ovisni.
Dokaz. Radi određenosti pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice 
linearno ovisna. Tada, prema definiciji linearne ovisnosti, postoji skup brojeva među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca s tim koeficijentima jednaka je nuli
Napravimo linearnu kombinaciju svih stupaca matrice, uključujući preostale stupce s nula koeficijentima
ali . Stoga su svi stupci matrice linearno ovisni.
Posljedica. Među linearno neovisnim stupcima matrice svaki je linearno neovisan. (Ova izjava se može lako dokazati kontradikcijom.)
Teorem 7
Da bi stupci matrice bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da barem jedan stupac matrice bude linearna kombinacija ostalih.
Dokaz.
Nužnost. Neka su stupci matrice linearno ovisni, odnosno postoji skup brojeva među kojima je barem jedan različit od nule, a linearna kombinacija stupaca s tim koeficijentima jednaka je nuli
Pretpostavimo sa sigurnošću da . Tada je prvi stupac linearna kombinacija ostalih.
Adekvatnost. Neka barem jedan stupac matrice bude linearna kombinacija ostalih, na primjer, , gdje su neki brojevi.
Tada je , odnosno linearna kombinacija stupaca jednaka nuli, a među brojevima u linearnoj kombinaciji barem je jedan (na ) različit od nule.
Neka je rang matrice . Svaki minor različit od nule reda 1 se poziva Osnovni, temeljni . Redovi i stupci u čijem se sjecištu nalazi baza minor nazivaju se Osnovni, temeljni .
Svaki redak matrice A označen je s e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (na primjer,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), itd.). Svaka od njih je matrica retka koja se može pomnožiti s brojem ili dodati drugom retku prema općim pravilima za rad s matricama.
Linearna kombinacija Pravci e l , e 2 ,...e k nazivaju se zbrojem umnožaka tih pravaca proizvoljnih realnih brojeva:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, gdje su l l, l 2,..., l k proizvoljni brojevi (koeficijenti linearne kombinacije).
Redovi matrice e l , e 2 ,...e m nazivaju se linearno ovisna, ako postoje brojevi l l , l 2 ,..., l m koji u isto vrijeme nisu jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redaka matrice jednaka nultom redu:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, gdje je 0 = (0 0...0).
Linearni odnos između redaka matrice znači da je barem jedan redak matrice linearna kombinacija ostalih. Doista, radi određenosti, neka je zadnji koeficijent l m ¹ 0. Zatim, dijeljenjem obje strane jednakosti s l m, dobivamo izraz za posljednji redak kao linearnu kombinaciju preostalih redaka:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Ako je linearna kombinacija redaka jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti jednaki nuli, tj. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, tada se linije zovu linearno neovisni.
Teorem o rangu matrice. Rang matrice jednak je maksimalnom broju njezinih linearno neovisnih redaka ili stupaca kroz koje se svi njezini drugi redovi ili stupci mogu linearno izraziti.
Dokažimo ovaj teorem. Neka matrica A veličine m x n ima rang r (r(A) £ min (m; n)). Prema tome, postoji minor r-tog reda različit od nule. Pozvat ćemo svakog takvog maloljetnika Osnovni, temeljni. Neka bude minor da bude jasno
Pozvati će se i linije ovog minora Osnovni, temeljni.
Dokažimo da su tada redovi matrice e l , e 2 ,...e r linearno neovisni. Pretpostavimo suprotno, tj. jedan od ovih redaka, na primjer r-ti, je linearna kombinacija ostalih: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Tada, ako oduzmemo elementi r-tog reda 1. red pomnoženi s l l , elementi 2. reda pomnoženi s l 2 itd., na kraju elementi (r-1) reda pomnoženi s l r-1 , zatim r-ti red će postati nula. U tom slučaju, prema svojstvima determinante, gornja determinanta se ne bi trebala mijenjati, a istovremeno bi trebala biti jednaka nuli. Dobivena je kontradikcija i dokazana je linearna neovisnost redaka.
Sada dokazujemo da je bilo koji (r+1) redova matrice linearno ovisan, tj. bilo koji niz se može izraziti u terminima osnovnih.
Dopunimo prethodno razmatrani minor s još jednim redom (i-th) i još jednim stupcem (j-th). Kao rezultat, dobivamo minor reda (r+1), koji je po definiciji ranga jednak nuli.
gdje su neki brojevi (neki od tih brojeva ili čak svi mogu biti jednaki nuli). To znači da postoje sljedeće jednakosti između elemenata stupaca:
Iz (3.3.1) slijedi da
Ako je jednakost (3.3.3) istinita ako i samo ako , tada se redovi nazivaju linearno nezavisnima. Relacija (3.3.2) pokazuje da ako je jedan od redaka linearno izražen kroz ostale, tada su redovi linearno ovisni.
Lako je vidjeti suprotno: ako su nizovi linearno ovisni, tada postoji niz koji će biti linearna kombinacija preostalih nizova.
Neka je, na primjer, u (3.3.3), dakle 
.
Definicija. Neka je određeni minor r-tog reda identificiran u matrici A, i neka minor (r+1)-tog reda iste matrice u potpunosti sadrži minor . Reći ćemo da u ovom slučaju minor graniči s minorom (ili graniči za ).
Sada ćemo dokazati važnu lemu.
Lema o graničnim maloljetnicima. Ako je minor reda r matrice A= različit od nule, a svi minori koji ga okružuju jednaki su nuli, tada je bilo koji redak (stupac) matrice A linearna kombinacija njegovih redaka (stupaca) koji čine .
Dokaz. Bez gubitka općenitosti zaključivanja, pretpostavit ćemo da je minor r-tog reda različit od nule u gornjem lijevom kutu matrice A =:
.
Za prvih k redaka matrice A, izjava leme je očita: dovoljno je uključiti u linearnu kombinaciju isti redak s koeficijentom jednakim jedan, a ostatak - s koeficijentima jednakim nuli.
Dokažimo sada da su preostali redovi matrice A linearno izraženi kroz prvih k redaka. Da bismo to učinili, konstruiramo minor reda (r+1) dodavanjem k-tog retka () minoru i l stupac():
.
Rezultirajući minor jednak je nuli za sve k i l. Ako je , onda je jednak nuli jer sadrži dva identična stupca. Ako , tada je dobiveni minor rubni minor za i, prema tome, jednak je nuli prema uvjetima leme.
Rastavimo minor prema elementima posljednjeg l stupac:
Uz pretpostavku, dobivamo:
 | (3.3.6) |
Izraz (3.3.6) znači da je k-ti redak matrice A linearno izražen kroz prvih r redaka.
Budući da kada se matrica transponira, vrijednosti njezinih minora se ne mijenjaju (zbog svojstva determinanti), tada sve dokazano vrijedi i za stupce. Teorem je dokazan.
Korolar I. Svaki redak (stupac) matrice je linearna kombinacija svojih osnovnih redaka (stupaca). Doista, bazni minor matrice je različit od nule, a svi minori koji graniče s njim jednaki su nuli.
Korolar II. Determinanta n-tog reda jednaka je nuli ako i samo ako sadrži linearno ovisne retke (stupce). Dostatnost linearne ovisnosti redaka (stupaca) da determinanta bude jednaka nuli dokazana je ranije kao svojstvo determinanti.
Dokažimo nužnost. Neka nam je dana kvadratna matrica n-tog reda čiji je jedini minor nula. Iz toga slijedi da je rang ove matrice manji od n, tj. postoji barem jedan redak koji je linearna kombinacija baznih redaka ove matrice.
Dokažimo još jedan teorem o rangu matrice.
Teorema. Maksimalni broj linearno neovisnih redaka matrice jednak je maksimalnom broju njezinih linearno neovisnih stupaca i jednak je rangu ove matrice.
Dokaz. Neka je rang matrice A= jednak r. Tada je bilo koji od njegovih k bazičnih redaka linearno neovisan, inače bi bazični minor bio jednak nuli. S druge strane, svaki r+1 ili više redaka su linearno ovisni. Pretpostavljajući suprotno, mogli bismo pronaći minor reda većeg od r koji je različit od nule prema korolaru 2 prethodne leme. Potonje je u suprotnosti s činjenicom da je najveći red minora različitih od nule r. Sve što je dokazano za retke vrijedi i za stupce.
U zaključku ćemo prikazati još jednu metodu za pronalaženje ranga matrice. Rang matrice može se odrediti pronalaženjem minora maksimalnog reda koji je različit od nule.
Na prvi pogled, to zahtijeva izračun konačnog, ali možda vrlo velikog broja minora ove matrice.
Sljedeći teorem dopušta, međutim, da se u ovo uvedu značajna pojednostavljenja.
Teorema. Ako je minor matrice A različit od nule, a svi minori koji ga graniče su jednaki nuli, tada je rang matrice jednak r.
Dokaz. Dovoljno je pokazati da će bilo koji podsustav redaka matrice za S>r biti linearno ovisan pod uvjetima iz teorema (iz toga će slijediti da je r najveći broj linearno neovisnih redaka matrice ili bilo kojeg od njegovih minora reda većeg od k jednaki su nuli).
Pretpostavimo suprotno. Neka su redovi linearno neovisni. Prema lemi o rubnim minorima, svaki od njih bit će linearno izražen preko pravaca koji sadrže minor i koji su, zbog činjenice da nisu nula, linearno neovisni:
Sada razmotrite sljedeću linearnu kombinaciju:
ili
Koristeći (3.3.7) i (3.3.8), dobivamo
,
što je u suprotnosti s linearnom neovisnošću reda.
Posljedično, naša pretpostavka je netočna i, prema tome, svaki S>r redaka pod uvjetima teorema je linearno ovisan. Teorem je dokazan.
Razmotrimo pravilo za izračunavanje ranga matrice - metodu obrubljivanja minora, temeljeno na ovom teoremu.
Pri izračunavanju ranga matrice treba se kretati od minora nižih redova prema minorima viših redova. Ako je minor r-tog reda, različit od nule, već pronađen, tada je potrebno izračunati samo minore (r+1)-og reda koji graniče s minorom. Ako su jednaki nuli, tada je rang matrice jednak r. Ova se metoda također koristi ako ne samo da izračunamo rang matrice, već i odredimo koji stupci (retci) čine bazni minor matrice.
Primjer. Izračunajte rang matrice pomoću metode graničnih minora
.
Riješenje. Minor drugog reda, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu matrice A, nije nula:
.
Međutim, svi minori trećeg reda koji ga okružuju jednaki su nuli:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Stoga je rang matrice A jednak dva: .
Prvi i drugi redak, prvi i drugi stupac u ovoj matrici su osnovni. Preostali retci i stupci su njihove linearne kombinacije. U stvari, sljedeće jednakosti vrijede za nizove:
Zaključno, napominjemo valjanost sljedećih svojstava:
1) rang umnoška matrica nije veći od ranga svakog od faktora;
2) rang umnoška proizvoljne matrice A s desne ili lijeve strane s nesingularnom kvadratnom matricom Q jednak je rangu matrice A.
Polinomne matrice
Definicija. Polinomna matrica ili -matrica je pravokutna matrica čiji su elementi polinomi u jednoj varijabli s numeričkim koeficijentima.
Na -matricama se mogu izvesti elementarne transformacije. To uključuje:
Preuređivanje dva retka (stupca);
Množenje retka (stupca) brojem koji nije nula;
Dodavanje jednom retku (stupcu) drugog retka (stupca) pomnoženog bilo kojim polinomom.
Za dvije matrice i iste veličine kaže se da su ekvivalentne: , ako se može ići od matrice do korištenja konačnog broja elementarnih transformacija.
Primjer. Dokazati ekvivalentnost matrica
 ,
|  .
|
1. Zamijenite prvi i drugi stupac u matrici:
.
2. Od drugog retka oduzmite prvi, pomnožen s ():
.
3. Pomnožite drugi redak s (–1) i zabilježite da
.
4. Oduzmite od drugog stupca prvi, pomnožen s , dobivamo
.
Skup svih -matrica zadanih veličina podijeljen je u disjunktne klase ekvivalentnih matrica. Matrice koje su međusobno ekvivalentne čine jednu klasu, a one koje nisu ekvivalentne drugu.
Svaku klasu ekvivalentnih matrica karakterizira kanonska ili normalna matrica zadanih dimenzija.
Definicija. Kanonska ili normalna matrica dimenzija je matrica čija glavna dijagonala sadrži polinome, gdje je p manji od brojeva m i n ( 
), a polinomi koji nisu jednaki nuli imaju vodeće koeficijente jednake 1, a svaki sljedeći polinom dijeli se s prethodnim. Svi elementi izvan glavne dijagonale su 0.
Iz definicije proizlazi da ako među polinomima postoje polinomi nultog stupnja, onda se oni nalaze na početku glavne dijagonale. Ako postoje nule, one su na kraju glavne dijagonale.
Matrica prethodnog primjera je kanonska. Matrica
također kanonski.
Svaka klasa -matrica sadrži jedinstvenu kanoničku -matricu, tj. Svaka -matrica je ekvivalentna jedinstvenoj kanonskoj matrici, koja se naziva kanonski oblik ili normalni oblik te matrice.
Polinomi koji se nalaze na glavnoj dijagonali kanonskog oblika zadane -matrice nazivaju se invarijantnim faktorima te matrice.
Jedna metoda za izračunavanje invarijantnih faktora je svođenje dane -matrice na kanonski oblik.
Dakle, za matricu prethodnog primjera nepromjenljivi faktori su
, , 
, .
Iz navedenog proizlazi da je prisutnost istog skupa invarijantnih faktora nužan i dovoljan uvjet za ekvivalentnost -matrica.
Svođenje -matrica na kanonski oblik svodi se na određivanje invarijantnih faktora
, ; ,
gdje je r rang matrice; - najveći zajednički djelitelj minora k-tog reda, uzet s vodećim koeficijentom jednakim 1.
Primjer. Neka je dana -matrica
.
Riješenje. Očito, najveći zajednički djelitelj prvog reda, tj. .
Definirajmo minore drugog reda:
 ,
|  | itd. |
Već ovi podaci dovoljni su za zaključak: dakle, .
Mi definiramo
,
Stoga, 
.
Dakle, kanonski oblik ove matrice je sljedeća matrica:
.
Matrični polinom je izraz forme
gdje je varijabla; - kvadratne matrice reda n s numeričkim elementima.
Ako je , tada se S naziva stupanj matričnog polinoma, n je red matričnog polinoma.
Bilo koja kvadratna -matrica može se prikazati kao matrični polinom. Očito je istinita i suprotna tvrdnja, tj. bilo koji matrični polinom može se prikazati kao kvadratna matrica.
Valjanost ovih tvrdnji jasno proizlazi iz svojstava operacija na matricama. Pogledajmo sljedeće primjere:
Primjer. Predstavite polinomsku matricu
u obliku matričnog polinoma kako slijedi
.
Primjer. Matrični polinom
može se predstaviti kao sljedeća polinomska matrica ( -matrica)
.
Ova zamjenjivost matričnih polinoma i polinomskih matrica igra značajnu ulogu u matematičkom aparatu metoda faktorske i komponentne analize.
Matrični polinomi istog reda mogu se zbrajati, oduzimati i množiti na isti način kao i obični polinomi s numeričkim koeficijentima. Međutim, treba imati na umu da množenje matričnih polinoma, općenito govoreći, nije komutativno, jer Množenje matrica nije komutativno.
Kaže se da su dva matrična polinoma jednaka ako su im koeficijenti jednaki, tj. odgovarajuće matrice za iste potencije varijable .
Zbroj (razlika) dvaju matričnih polinoma je matrični polinom čiji je koeficijent za svaki stupanj varijable jednak zbroju (razlici) koeficijenata za isti stupanj u polinomima i .
Da biste pomnožili matrični polinom s matričnim polinomom, trebate pomnožiti svaki član matričnog polinoma sa svakim članom matričnog polinoma, zbrojiti dobivene produkte i donijeti slične članove.
Stupanj matričnog polinoma je umnožak manji ili jednak zbroju stupnjeva faktora.
Operacije na matričnim polinomima mogu se izvoditi korištenjem operacija na odgovarajućim -matricama.
Za zbrajanje (oduzimanje) matričnih polinoma dovoljno je zbrajati (oduzimati) odgovarajuće -matrice. Isto vrijedi i za množenje. -matrica umnoška matričnih polinoma jednaka je umnošku -matrica faktora.
 |  |
S druge strane, i može se napisati u obliku
gdje je B 0 nesingularna matrica.
Kod dijeljenja s postoji jedinstveni desni kvocijent i desni ostatak
gdje je stupanj R 1 manji od stupnja , ili (dijeljenje bez ostatka), kao i lijevi kvocijent i lijevi ostatak ako i samo ako, gdje reda
Sustav vektora istog reda naziva se linearno ovisnim ako se iz tih vektora odgovarajućom linearnom kombinacijom može dobiti nulti vektor. (Nije dopušteno da svi koeficijenti linearne kombinacije budu jednaki nuli, jer bi to bilo trivijalno.) U suprotnom, vektori se nazivaju linearno neovisni. Na primjer, sljedeća tri vektora:
su linearno ovisni, jer je to lako provjeriti. U slučaju linearne ovisnosti, svaki se vektor uvijek može izraziti kroz linearnu kombinaciju drugih vektora. U našem primjeru: ili ili Ovo je lako provjeriti odgovarajućim izračunima. To dovodi do sljedeće definicije: vektor je linearno neovisan o drugim vektorima ako se ne može prikazati kao linearna kombinacija tih vektora.
Razmotrimo sustav vektora bez specificiranja je li on linearno ovisan ili linearno neovisan. Za svaki sustav koji se sastoji od vektora stupaca a, moguće je identificirati najveći mogući broj linearno neovisnih vektora. Ovaj broj, označen slovom , je rang ovog vektorskog sustava. Budući da se svaka matrica može promatrati kao sustav vektora stupaca, rang matrice je definiran kao najveći broj linearno neovisnih vektora stupaca koje sadrži. Vektori redova također se koriste za određivanje ranga matrice. Obje metode daju isti rezultat za istu matricu i ne mogu premašiti najmanji od ili. Rang kvadratne matrice reda kreće se od 0 do . Ako su svi vektori nula, tada je rang takve matrice nula. Ako su svi vektori linearno neovisni jedan o drugom, tada je rang matrice jednak. Ako formiramo matricu od gornjih vektora, tada je rang te matrice 2. Budući da se svaka dva vektora mogu reducirati na treći linearnom kombinacijom, tada je rang manji od 3.
Ali možemo se uvjeriti da su bilo koja dva vektora od njih linearno neovisna, otuda i rang
Kvadratna matrica se naziva singularnom ako su njezini vektori stupaca ili vektori reda linearno ovisni. Determinanta takve matrice jednaka je nuli i njezina inverzna matrica ne postoji, kao što je gore navedeno. Ovi su zaključci međusobno ekvivalentni. Kao rezultat toga, kvadratna matrica se naziva nesingularna ili nesingularna, ako su njezini vektori stupaca ili vektori reda neovisni jedni o drugima. Determinanta takve matrice nije jednaka nuli i njena inverzna matrica postoji (usporedi sa str. 43)
Rang matrice ima sasvim očitu geometrijsku interpretaciju. Ako je rang matrice jednak , tada se kaže da je -dimenzionalni prostor razapet vektorima. Ako je rang, vektori leže u -dimenzionalnom podprostoru koji uključuje sve njih. Dakle, rang matrice odgovara minimalnoj potrebnoj dimenziji prostora "koji sadrži sve vektore"; -dimenzionalni podprostor u -dimenzionalnom prostoru naziva se -dimenzionalna hiperravnina. Rang matrice odgovara najmanjoj dimenziji hiperravnine u kojoj još uvijek leže svi vektori.
Ortogonalnost. Kaže se da su dva vektora a i b međusobno ortogonalna ako je njihov skalarni produkt nula. Ako matrica reda ima jednakost gdje je D dijagonalna matrica, tada su vektori stupci matrice A po paru međusobno ortogonalni. Ako se ovi vektori stupaca normaliziraju, tj. svedu na duljinu jednaku 1, tada dolazi do jednakosti i govorimo o ortonormiranim vektorima. Ako je B kvadratna matrica i jednakost vrijedi, tada se matrica B naziva ortogonalnom. U ovom slučaju iz formule (1.22) proizlazi da je ortogonalna matrica uvijek nesingularna. Dakle, iz ortogonalnosti matrice slijedi linearna neovisnost njezinih vektora retka ili vektora stupca. Obratna tvrdnja nije istinita: linearna neovisnost sustava vektora ne implicira ortogonalnost u parovima tih vektora.
