Konjugirani i simetrični linearni operatori u euklidskom prostoru. Linearni operatori u euklidskim prostorima

25.04.2019 Savjet

Razmotrimo -dimenzionalni euklidski prostor. Neka proizvoljni linearni operator u .

Definicija 10. Linearni operator se naziva transponirani operator za operator ako za bilo koji vektor i iz:

. (106)

Postojanje i jedinstvenost transponiranog operatora utvrđuje se na potpuno isti način kao što je to učinjeno u § 8 za konjugirani operator u unitarnom prostoru.

Transponirani operator ima sljedeća svojstva:

2. ,

3. ( – realan broj),

Uvedimo nekoliko definicija.

Definicija 11. Linearni operator naziva se normalan if

Definicija 12. Linearni operator naziva se simetričnim if

Definicija 13. Simetrični operator nazivamo nenegativnim ako za bilo koji vektor iz

Definicija 14. Simetrični operator naziva se pozitivno određen ako za bilo koji vektor iz

Definicija 15. Linearni operator naziva se koso-simetričnim if

Proizvoljni linearni operator uvijek se može prikazati, i to jednoznačno, u obliku

gdje je simetrični i kosimetrični operator.

Doista, iz (107) slijedi

Iz (107) i (108) slijedi

. (109)

Obratno, formule (109) uvijek određuju simetrični operator i kososimetrični operator za koje vrijedi jednakost (107).

I one se nazivaju simetrične i koso-simetrične komponente operatora.

Definicija 16. Operator se naziva ortogonalnim ako čuva metriku prostora, tj. ako za bilo koji vektor iz

. (110)

Jednakost (110) s obzirom na (106) može se prepisati na sljedeći način: . Iz čega slijedi:

Obrnuto, (111) implicira (110) (za proizvoljne vektore). Iz (111) slijedi: , tj.

Ortogonalni operator nazivat ćemo operator prve vrste, if , i druge vrste, ako .

Simetrični, koso-simetrični i ortogonalni operatori su posebne vrste normalnog operatora.

Razmotrimo proizvoljnu ortonormiranu bazu u danom euklidskom prostoru. Neka linearni operator u ovoj bazi odgovara matrici (ovdje su svi realni brojevi). Čitatelj može lako pokazati da transponirani operator odgovara u istoj bazi transponiranoj matrici, gdje . Iz ovoga proizlazi da je u ortonormirana baza normalni operator odgovara normalnoj matrici, simetrični operator odgovara simetričnoj matrici, koso-simetrični operator odgovara koso-simetričnoj matrici i, konačno, ortogonalni operator odgovara ortogonalnoj matrici.

Slično kako je to učinjeno u § 8 za konjugirani operator, ovdje se uspostavlja sljedeća tvrdnja:

Ako je neki podprostor in invarijantan prema linearnom operatoru, onda je ortogonalni komplement in invarijantan prema operatoru.

Za proučavanje linearnih operatora u euklidskom prostoru, proširit ćemo euklidski prostor na neki unitarni prostor. Ovo proširenje izvršit ćemo na sljedeći način:

1. Vektore iz zvat ćemo realni vektori.

2. Uvedimo u razmatranje “kompleksne” vektore , gdje su i realni vektori, tj.

3. Operacije zbrajanja kompleksnih vektora i množenja kompleksnim brojem definirane su na prirodan način. Tada skup svih kompleksnih vektora tvori -dimenzionalni vektorski prostor nad poljem kompleksnih brojeva, koji kao dio sadrži .

4. Hermitska metrika uvedena je u B tako da se poklapa s tamo prisutnom Euklidovom metrikom. Čitatelj može lako provjeriti da je tražena hermitska metrika dana na sljedeći način:

Ako i , onda

Uz pretpostavku i imat ćemo:

Ako odaberete realnu bazu, tj. bazu u , tada će to biti skup svih vektora s kompleksnim i - s realnim koordinatama u ovoj bazi.

Svaki linearni operator u jedinstveno se proteže na linearni operator u:

Među svim linearnim operatorima u , operatori koji proizlaze iz takvog proširenja iz operatora u karakterizirani su činjenicom da se prevode u . Takve ćemo operatore nazvati stvarnim.

U realnoj bazi realni operatori definirani su realnim matricama, odnosno matricama s realnim elementima.

Realni operator transformira kompleksne konjugirane vektore i opet u kompleksne konjugirane

Za pravi operator, sekularna jednadžba ima realne koeficijente, tako da znate da s korijenom iz th višestrukosti, također ima korijen iz th višestrukosti. Slijedi: , tj. konjugirani karakteristični brojevi odgovaraju konjugiranim svojstvenim vektorima.

Dvodimenzionalni potprostor ima realnu osnovu: . Ravnina u s ovom bazom nazvat ćemo invarijantnom ravninom operatora koja odgovara paru karakterističnih brojeva. Neka .

Zatim, kao što je lako vidjeti,

Razmotrimo realni operator jednostavne strukture s karakterističnim brojevima:

gdje su realni brojevi, i .

Tada se svojstveni vektori koji odgovaraju tim karakterističnim brojevima mogu odabrati tako da

čine osnovu u euklidskom prostoru. pri čemu

(114)

U bazi (113) operator odgovara realnoj kvazidijagonalnoj matrici

. (115)

Dakle, za svaki operator jednostavne strukture u euklidskom prostoru postoji baza u kojoj operator odgovara matrici oblika (115). Slijedi da je svaka realna matrica jednostavne strukture realno slična kanonskoj matrici oblika (115):

Transponirani operator za in, nakon proširenja, postaje konjugirani operator za in. Posljedično, normalni, simetrični, koso-simetrični, ortogonalni operatori u nakon ekspanzije postaju, redom, normalni, hermitski, pomnoženi s hermitskim, unitarnim realnim operatorima u .

Lako je pokazati da se za normalni operator u euklidskom prostoru može izabrati kanonska baza – ortonormirana baza (113), za koju vrijede jednakosti (114). Dakle, realna normalna matrica je uvijek realna i ortogonalno slična matrici oblika (115):

(117)

Za simetrični operator u euklidskom prostoru svi karakteristični brojevi su realni, jer nakon širenja ovaj operator postaje hermitski. Za simetrični operator u formulama (114) treba staviti . Tada dobivamo:

Simetrični operator u euklidskom prostoru uvijek ima ortonormirani sustav svojstvenih vektora s realnim karakterističnim brojevima. Stoga je realna simetrična matrica uvijek realna i ortogonalno slična dijagonalnoj matrici

Za kosimetrični operator u euklidskom prostoru, svi karakteristični brojevi su čisto imaginarni (nakon proširenja, ovaj operator je jednak umnošku hermitskog operatora). Za koso-simetrični operator u formulama (114) treba staviti:

nakon čega ove formule poprimaju oblik

(120)

Budući da se radi o normalnom operatoru, baza (113) se može smatrati ortonormiranom. Dakle, svaka stvarna koso-simetrična matrica je realno i ortogonalno slična kanonskoj koso-simetričnoj matrici:

. (124)): iz jednakosti paralelnih vektoru . Dokazali smo Euler–D'Alembertov teorem:

Proizvoljno konačno gibanje u trodimenzionalnom euklidskom prostoru je spiralno gibanje oko neke fiksne osi.

220400 Algebra i geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 15. Linearni operatori u euklidskim prostorima

Plan

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva.

2. Samoadjungirani operatori.

3. Ortogonalne matrice i njihova svojstva.

4. Ortogonalni operatori i njihova svojstva.

1. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. 1997. godine.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka zadataka za fakultete. Linearna algebra i osnove matematička analiza. ur. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linearna algebra u pitanjima i problemima. M.: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Linearna algebra. M.: Nauka, 1980.

1. Konjugirani operatori euklidskih prostora i njihova svojstva. Neka E- Euklidski prostor nad poljem realnih brojeva R , na kojem je skalarni produkt vektora ( a ,b ), a ,b Î E.

Definicija 1. Linearni operator A* Euklidski prostor E nazvao konjugirati linearni operator A* prostor E, ako za bilo koji vektor a ,b Î E uvjet je ispunjen:

(Aa ,b ) = (a ,A*b ). (1)

Lema 1.Ako je umnožak zadanog nizaU bilo koji stupacY je nula, zatim linijaU nula. Ako je umnožak bilo kojeg nizax t na dati stupac U je jednako nuli, zatim stupacništavan.

Dokaz. Neka U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (g 1 , g 2 ,…,y n)t. Prema uvjetima teorema, za bilo koje brojeve g 1 , g 2 ,…,y n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(g 1 , g 2 ,…,y n)t = u 1 g 1 + u 2 g 2 +…+u n y n=0. Ako su svi brojevi g 1 , g 2 ,…,y n su jednaki 0, osim y j, što je = 1, tada dobivamo to u j (ja = 1,2,…,n). Zato U=0. Druga tvrdnja teorema dokazuje se na sličan način.

Teorem 1.Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnovu euklidskog prostoraE, A - matrica linearnog operatora A u odnosu na osnovu v, G = (g ij) - bazna Gram matrica v. Ako je za linearni operatorA postoji konjugirani operatorA * , tada je jednakost zadovoljena

A t G = G A*. (2)

Dokaz. Neka x I Y vektorski koordinatni stupci a ,b Î E u odnosu na osnovu v, A I A* matrice linearnih operatora A I A * u odnosu na osnovu v. Zatim

(Aa , b ) =(v(SJEKIRA), vY) = (SJEKIRA) t G.Y., (a ,A*b ) = x t G A * Y.(3)

Odavde, korištenjem formule (1), dobivamo jednakost ( SJEKIRA) t G.Y.= x t G A * Y, vrijedi za bilo koji vektor stupaca x I Y. Budući da vektori a ,b proizvoljne, tada prema lemi 1 dobivamo A t G = G A*.

Teorem 2.Ako osnovuv = (v 1 , v 2 ,…, v n) Euklidski prostorE ortonormalno, dakle matricaA* konjugirani linearni operatorA* se transponira u matricuAoperator A ;

A t = A*. (4)

Dokaz. Budući da je Gramova matrica ortonormirane baze identitet, G = E, tada (4) slijedi iz (2) .

Korolar 1. Za bilo kojeg operateraA jednakost je istinita (A* ) * = A .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora ( A* ) * I A u ortonormalnoj bazi imamo ( A*) * = (A t)t = A. Zato ( A* ) * = A .

Korolar 2. Za bilo kojeg operateraA , B jednakost je istinita (AB ) * = B*A* .

Dokaz. Prema formuli (4) za matrice linearnih operatora A ,B I A* , B* u ortonormalnoj bazi imamo ( AB) * = (AB)t = B t A t = B * A*. Zato ( AB ) * = B*A* .

Korolar 3. Svojstvene vrijednosti linearnih operatoraA IA* odgovarati.

Dokaz. Budući da se karakteristični polinomi matrica podudaraju, svojstvene vrijednosti linearnih operatora koji su korijeni karakteristične jednadžbe se podudaraju .

Teorem 3. Za bilo koji linearni operatorA Euklidski prostorE postoji jedinstveni konjugirani linearni operatorA* .

Dokaz. Neka v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ortonormirana baza euklidskog prostora E, A - linearni operator s matricom A u odnosu na osnovu v. Razmotrimo u E linearni operator B s matricom A t u odnosu na ovu osnovu. Operater B postoji samo jedan. Desne strane jednakosti (3) jednake su: ( SJEKIRA) t G.Y. = x t G A * Y. Stoga su i lijevi jednaki ( Aa , b ) = (a ,Bb ). Stoga operater B - sučelje za operatera A .

2. Samoadjungirani operatori.

Definicija 1. Linearni operator A Euklidski prostor E nazvao samospojeni ili simetrični, Ako A = A* , tj. za bilo koje vektore od dva a ,b Î E uvjet je ispunjen:

(Aa , b ) = (a ,Ab ). (1)

Teorem 1. Linearni operatorA Euklidski prostorE je samoadjungiran ako i samo ako je matricaLinearni operatorA u ortogonalnoj bazi postoji simetrična matrica, tj.. A = A * .

Linearni samoadjungirani operatori
Prijenosne Windows aplikacije na Bodrenko.com

§ 5. Linearni samopridruženi operatori
u euklidskom prostoru .

1. Pojam konjugiranog operatora. Razmotrit ćemo linearne operatore u konačnodimenzionalnom euklidskom prostoru V. Definicija 1. Kaže se da je operator A* iz L(V, V) konjugiran s linearnim operatorom A ako za bilo koje x i y iz V vrijedi relacija

(Ax, y) = (x, A*y). (5,51)

Lako je provjeriti da je operator A*, konjugiran s linearnim operatorom A, i sam linearan operator. To proizlazi iz očite relacije

vrijedi za sve elemente x, y 1, y 2 i sve kompleksne brojeve α i β.

Dokažimo sljedeći teorem.

Teorem 5.12. Svaki linearni operator A ima jedinstven adjungt.

Dokaz. Očito je skalarni umnožak (Ax, y) seskvilinearna forma (vidi 4. poglavlje, § 3, paragraf 1 i definiciju seskvilinearne forme). Prema teoremu 5.11, postoji jedinstveni linearni operator A* takav da se ovaj oblik može prikazati u obliku (x, A*y). Dakle, (Ax, y) = x, A*y.
Prema tome, operator A* je konjugiran operatoru A. Jedinstvenost operatora A* slijedi iz jedinstvenosti prikaza seskvilinearnog operatora u obliku E.44). Teorem je dokazan.

U nastavku će simbol A* označavati operator konjugiran s operatorom A.
Bilješka sljedeća svojstva konjugirani operatori:

Dokazi svojstava 1°-4° su elementarni i ostavljamo ih čitatelju. Dajmo dokaz svojstva 5°. Prema definiciji umnoška operatora vrijedi relacija (AB)x = A(Bx). Koristeći ovu jednakost i definiciju konjugiranog operatora, dobivamo sljedeći lanac relacija:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .

Dakle, ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Drugim riječima, operator B*A* je konjugiran s operatorom AB. Utvrđena je valjanost svojstva 5°.

Komentar. Na potpuno sličan način uvodi se pojam konjugiranog operatora za realni prostor. Zaključci ove točke i svojstva konjugiranih operatora vrijede i za ovaj slučaj (u ovom slučaju, svojstvo 3° je formulirano na sljedeći način: (λA)* = λA*).

2. Samoadjungirani operatori. Osnovna svojstva.
Definicija 2. Linearni operator A iz L(V, V) naziva se samoadjungiranim ako je jednakost

A* =A.

Slično se definira i samopridruženi operator u realnom prostoru.
Najjednostavniji primjer samoadjungiranog operatora je identitetski operator I (vidi svojstvo 1° adjungiranih operatora u prethodnom paragrafu).
Korištenjem samoadjungiranih operatora možete dobiti poseban prikaz proizvoljnih linearnih operatora. Naime, sljedeća tvrdnja je istinita.

Teorem 5.13. Neka je A linearni operator koji djeluje u kompleksnom euklidskom prostoru V. Tada prikaz A = A R + iA ja, gdje A R i A I su samo-adjungirani operatori, koji se nazivaju realni i imaginarni dio operatora A.

Dokaz. Prema svojstvima 2°, 3° i 4° konjugiranih operatora (vidi. prethodna točka ovog stavka) operatori A R = (A + A*)/2 i A ja = (A - A*)/2i- samospojen.

Očito, A = A R + iA I Teorem je dokazan.

Sljedeći teorem pojašnjava uvjete samopridruženosti produkta samopridruženih operatora. Reći ćemo da operatori A i B komutiraju if AB = BA.

Teorem 5.14. Da bi umnožak AB samoadjungiranih operatora A i B bio samoadjungiran operator, potrebno je i dovoljno da oni komutiraju.
Dokaz. Budući da su A i B samoadjungirani operatori, tada, prema svojstvu 5° konjugiranih operatora (vidi paragraf 1 ovog odjeljka), vrijede sljedeće relacije:
(AB)* = B*A* = BA (5,52)

Stoga, ako AB = BA, to ( AB)* = AB, tj. operator AB je samoadjungiran. Ako je AB samoadjungiran operator, tada AB = (AB)*, a zatim, na temelju (5.52), AB = BA. Teorem je dokazan.
Sljedeći teoremi utvrđuju niz važnih svojstava samoadjungiranih operatora.
Teorem 5.15. Ako je operator A samoadjungiran, tada za bilo koji x ϵ V skalarni proizvod (Ah, x)- pravi broj.
Dokaz. Valjanost teorema proizlazi iz sljedećeg svojstva skalarnog produkta u kompleksnom euklidskom prostoru i definicije samopridruženog operatora (Podsjetimo se da ako je kompleksni broj jednak svom konjugatu, tada
ovaj broj je stvaran.)

Teorem 5.16. Svojstvene vrijednosti samoadjungiranog operatora su realne.
Dokaz. Neka je λ svojstvena vrijednost samopridruženog operatora A. Prema definiciji svojstvene vrijednosti operatora A (vidi definiciju 2, odjeljak 3 ovog poglavlja), postoji vektor x različit od nule
tako da je Ax = λx. Iz ove relacije slijedi da se stvarni (prema teoremu 5.15) skalarni proizvod (Ax, x) može prikazati u obliku 2)

( 2) Podsjetimo se da simbol ||x|| označava normu elementa x.)

Budući da ||x|| i (Ax, x) realni, onda je, očito, λ realan broj. Teorem je dokazan.

Sljedeći teorem pojašnjava svojstvo ortogonalnosti vlastitih vektora samopridruženog operatora.
Teorem 5.17. Ako je A samoadjungirani operator, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima ovog operatora ortogonalni.

Dokaz. Neka su λ 1 i λ 2 različiti svojstvene vrijednosti(λ 1 ≠ λ 2) samopridruženog operatora A, a x 1 i x 2 su njihovi odgovarajući svojstveni vektori. Tada vrijede relacije Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Stoga su skalarni produkti (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) redom jednaki sljedećim izrazima 3):

3) Budući da su svojstvene vrijednosti samopridruženog operatora realne, onda

Kako je operator A samoadjungiran, skalarni umnošci (Ax 1, x 2) i (x 1, Ax 2) su jednaki, pa se iz posljednjih relacija oduzimanjem dobiva jednakost

Kako je λ 1 ≠ λ 2, onda iz posljednje jednakosti slijedi da je skalarni umnožak (x 1* x 2) jednak nuli, tj. ortogonalnost svojstvenih vektora x 1 i x 2 Teorem je dokazan.

3. Norma linearnog operatora. Neka je A linearni operator koji preslikava euklidski prostor V u isti prostor. Uvedimo pojam norme operatora A.
Definicija 3. Pravilo || A || linearni operator A je broj definiran relacijom 1)

1) Prisjetimo se da iz toga slijedi da ovo predstavlja kontinuirana funkcija x, koji na zatvorenom skupu ||x|| = 1 dostiže konačnu najveću vrijednost.

Iz definicije norme linearnog operatora slijedi sljedeća očita nejednakost:

(da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti relaciju Ax =

Iz relacije E.54) slijedi da ako ||A|| = O, tada je operator A nula.

Norma samopridruženog operatora A može se odrediti i na drugi način. Naime, istinita je sljedeća tvrdnja:

Ako je A samoadjungirani operator, tada je norma uvedena iznad ||A|| operator A je jednak

Dokaz. Za bilo koji x iz V vrijedi Cauchy-Bunyakovskyjeva nejednakost (vidi paragraf 2, §3, poglavlje 4)

Iz nje i iz nejednakosti (5.54) dobivamo sljedeću nejednakost:

Stoga broj

zadovoljava relaciju

Primijetimo da iz jednakosti

i definicija broja μ (vidi 5.56)) slijedi sljedeća nejednakost:

Osvrnimo se sada na sljedeći očiti identitet:

(u ovom identitetu simbol Re (Ax, y) označava pravi dio složeni broj(Ax, y), sam identitet lako slijedi iz svojstava skalarnog produkta, vidi paragraf 1, §3, poglavlje 4). Uzimajući lijevo i desno
dijelova ovog identiteta modulo, koristeći svojstvo modula zbroja i nejednadžbe E.58), dobivamo sljedeće relacije 1) :

1 ) Koristili smo definiciju norme elementa u kompleksnom euklidskom prostoru.

Dakle, za ||x|| = ||y|| = 1 dobivamo nejednakost

Pretpostavljajući u ovoj nejednakosti (očito ||u|| = 1) i uzimajući u obzir da je broj (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 je stvarno (pa dobivamo

Odavde, prema nejednakosti (5.53), nalazimo

Za dovršetak dokaza preostaje usporediti dobivenu nejednadžbu s nejednadžbom (5.57) i upotrijebiti definiciju broja µ (vidi 5.56)).

4. Daljnja svojstva samoadjungiranih operatora. U ovom dijelu ćemo dokazati niz važnih svojstava linearnih operatora vezanih uz pojam norme. Prvo, postavljamo nužan i dovoljan uvjet da operator bude samopridružen. Dokažimo sljedeći teorem.
Teorem 5.18. Da bi linearni operator A bio samoadjungiran, potrebno je i dovoljno da 2)

2 ) Simbol Im (Ax, x) označava imaginarni dio kompleksnog broja (Ax, x). Jednakost Im (Ax, x) = 0 znači da je broj (Ax, x) realan.

Dokaz. Prema teoremu 5.13 proizvoljni linearni operator A može se prikazati kao

samopridruženi operatori. Zato

Štoviše, prema teoremu 5.15, za bilo koje x brojevi i su realni. Prema tome, ovi brojevi su redom jednaki realnom i imaginarnom dijelu kompleksnog broja (Ax, x):

Pretpostavimo da je A samoadjungiran operator. Prema teoremu 5.15 u ovom slučaju (Ax, x) je realan broj,
pa je stoga Im(Ax, x) = 0. Nužnost uvjeta teorema je dokazana.

Dokažimo dostatnost uvjeta teorema.

Neka je Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Slijedi da je ||A I || = 0, tj. A I = 0. Prema tome je A = A R, gdje je A R samo-adjungirani operator.
Teorem je dokazan.
Sljedeće izjave pojašnjavaju neka svojstva svojstvenih vrijednosti samoadjungiranih operatora.

Lema. Svaka svojstvena vrijednost X proizvoljnog linearnog samoadjungiranog operatora A u euklidskom prostoru jednaka je skalarnom umnošku (Ax, x), gdje je x neki vektor, prikladan
koji zadovoljava uvjet ||x|| = 1:

Dokaz. Budući da je λ svojstvena vrijednost operatora A, tada postoji vektor z različit od nule takav da

Uz pretpostavku x = z/||z|| (očito ||x|| = 1), prepisujemo 5.60) kako slijedi: Ax = λ x, ||x|| = 1. Odavde dobivamo relacije tj. 5.59). Lema je dokazana.
Posljedica. Neka je A samoadjungirani operator i λ bilo koja svojstvena vrijednost tog operatora. Neka dalje

Vrijede sljedeće nejednakosti:

Napomena 1. Kako je skalarni umnožak (Ax, x) kontinuirana funkcija od x, tada na zatvorenom skupu ||x|| = 1 ova funkcija je ograničena i doseže svoje točne bridove m i M.
Napomena 2. Prema teoremu 5.16, svojstvene vrijednosti samopridruženog operatora su realne. Stoga nejednakosti 5.62) imaju smisla.
Dokazi istrage. Budući da svaka svojstvena vrijednost λ zadovoljava relaciju (5.59), tada je, očito, svaka svojstvena vrijednost sadržana između točnih rubova m i M skalarnog produkta (Ax, x). Stoga vrijede nejednakosti (5.62).
Dokazat ćemo da su brojevi m i M definirani relacijama (5.61) najmanja i najveća svojstvena vrijednost samopridruženog operatora A. Najprije provjerimo valjanost sljedeće tvrdnje.

Teorem 5.19. Neka je A samoadjungirani operator i, dodatno, (Ax, x) ≥ O za bilo koji x. Tada je norma ||A|| jednaka najvećoj svojstvenoj vrijednosti ovog operatora 1)

1 ) Budući da postoji konačan broj svojstvenih vrijednosti i one su stvarne, tada se može naznačiti najveća od njih.

Dokaz. Već smo primijetili (vidi izjavu prethodnog paragrafa) da

Kako je (Ax, x) ≥ O, onda prema primjedbi 1. ovog paragrafa za neke

Prelazeći na definiciju norme i koristeći upravo napisane jednakosti, dobivamo relacije 2)

Dakle, ili inače, je svojstvena vrijednost operatora A. Činjenica da je λ najveća svojstvena vrijednost slijedi iz upravo utvrđenog korolara leme ovog paragrafa. Teorem je dokazan.

Dokažimo sada da su brojevi m i M (vidi 5.61)) najmanja i najveća svojstvena vrijednost samoadjungiranog operatora A.

Teorem 5.20. Neka je A samoadjungirani operator, a m i M točne plohe (Ax, x) na skupu ||x|| = 1. Ovi brojevi predstavljaju najmanju i najveću svojstvenu vrijednost operatora A.
Dokaz. Očito je dovoljno dokazati da su brojevi m i M svojstvene vrijednosti operatora A. Tada iz nejednakosti 5.62) odmah slijedi da su m i M najmanja, odnosno najveća svojstvena vrijednost.
Dokažimo prvo da je M svojstvena vrijednost. Da bismo to učinili, razmotrimo samo-adjungirani operator B = A - mI. Jer

tada operator B zadovoljava uvjete iz teorema 5.19, a time i normu ||B|| ovog operatora jednaka je najvećoj svojstvenoj vrijednosti. Na drugoj strani,

Prema tome, (M - m) je najveća svojstvena vrijednost operatora B. Prema tome, postoji vektor x 0 različit od nule takav da je

Jer

Zamjenom ovog izraza Bx 0 u lijevu stranu jednakosti (5.63), dobivamo nakon jednostavnih transformacija relaciju Ax 0 = Mx 0 - Dakle, M je svojstvena vrijednost operatora A. Uvjerimo se sada da broj m također je svojstvena vrijednost operatora A.
Promotrimo samoadjungirani operator B = -A. Očito je da

Prema upravo provedenom dokazu broj je m predstavlja svojstvenu vrijednost operatora B. Kako je B = -A, tada će m biti svojstvena vrijednost operatora A. Teorem je dokazan.

Sljedeći teorem pojašnjava važno svojstvo svojstvenih vektora samopridruženog operatora.

Teorem 5.21. Za svaki samoadjungirani linearni operator A koji djeluje u n -dimenzionalni euklidski prostor V, postoji n linearno nezavisni upareni ortogonalni i jedinični svojstveni vektori.

Dokaz. Neka λ 1 - maksimalna svojstvena vrijednost operatora

Označimo s e 1 svojstveni vektor koji odgovara λ 1 i koji zadovoljava uvjet ||e 1 || = 1 (mogućnost njezina izbora proizlazi iz dokaza leme ovog odjeljka).
Označimo s V 1 (n - 1)-dimenzionalni podprostor prostora V, ortogonalno na e 1 Očito, V 1 je invarijantni podprostor operatora A (tj. ako je x ϵ V 1, tada je Ax ϵ V 1. Doista, , neka je x ϵ V 1 (tj. (x,e 1 =0). Tada je 1)

1 ) Koristili smo samoadjungirano svojstvo operatora (Ax, npr 1 ) = (x, Ae 1 ) i činjenica da e 1 - svojstveni vektor operatora:

Dakle, Ax je element od V 1 , a samim tim i V 1 je invarijantni potprostor operatora A. To nam daje pravo da operator A razmatramo u potprostoru V 1 . U ovom podprostoru A će predstavljati samoadjungirani operator. Prema tome, postoji maksimalna svojstvena vrijednost A 2 ovog operatora, koja se može pronaći korištenjem relacije 1 )

1 ) Simbol označava ortogonalnost vektora e 1 i e 2

Osim toga, možete odrediti vektor tako da

Okrećući se dalje na (n - 2)-dimenzionalni podprostor V 2, ortogonalno na vektore e 1 i e 2, i ponavljajući gornje razmišljanje, konstruiramo svojstveni vektor e z, ||e z || = 1, ortogonalni e 1 i e 2. Raspravljajući dalje na isti način, naći ćemo sukcesivno n međusobno ortogonalnih svojstvenih vektora e 1, e 2,..., e n, koji zadovoljavaju uvjet
Napomena 1. Ubuduće ćemo se složiti da svojstvene vrijednosti samopridruženog operatora numeriramo silaznim redoslijedom, uzimajući u obzir ponavljanje, tj. višestruke svojstvene vrijednosti. pri čemu

a odgovarajući svojstveni vektori e 1, e 2,..., e n mogu se smatrati međusobno ortogonalnima i zadovoljavaju uvjet

Tako,

Napomena 2. Iz obrazloženja u dokazu teorema proizlazi da

Ova relacija se također može napisati u obliku

linearni raspon vektora e 1, e 2,..., e m. Valjanost napomene proizlazi iz činjenice da je (x, x) = ||x|| 2 i stoga

gdje je norma elementa x/||x|| jednako 1.

Neka ∑ m je skup svih m-dimenzionalnih podprostora prostora V. Sljedeće važno minimaks svojstvo svojstvenih vrijednosti je istinito.
Teorem 5.22. Neka je A samoadjungirani operator i su njegove svojstvene vrijednosti, numerirane redoslijedom navedenim u primjedbi 1. Zatim

PREDAVANJE 9

Operatori u euklidskim prostorima

Linearni operatori, koji djeluju u euklidskim prostorima, imaju niz posebnih svojstava koja su vrlo važna za primjene linearne algebre u različitim predmetnim područjima. Usredotočit ćemo se samo na glavna pitanja ove teorije, posebno ćemo proučavati teoriju linearnih operatora isključivo u realnim prostorima s ortonormiranim bazama, odnosno u prostoru. Štoviše, operatore ćemo promatrati kao transformacije, odnosno proučavat ćemo operatore
.

Konjugirani operator . Razmotrimo koncept operatora, povezan s operaterom , djelujući u euklidskom prostoru
.

Definicija 9.1. Neka
– neki linearni operator. Operater
nazvaopovezan s operaterom , Ako
uvjet je ispunjen

. (9.1)

Teorem 9.1. Za bilo koji linearni operator
postoji jedinstveni konjugirani operator
, koji je također linearan.

Dokaz. 1) Neka operater postoji, dokažimo njegovu jedinstvenost. Da biste to učinili, pretpostavite da ovaj operator nije jedini, to jest da postoje, na primjer, dva operatora I , zadovoljavajući definiciju 9.1. Tada prema formuli (9.1) imamo:

,
, (9.2)

odakle nam to

Zbog činjenice da u definiciji 9.1 (u formuli (9.1)) vektor
je proizvoljan, stavljamo u jednakost (9.3)

Budući da skalarni umnožak zadovoljava aksiom nedegeneriranosti, iz posljednje jednakosti imamo

odakle, zbog proizvoljnosti vektora slijedi to
te je dokazana jedinstvenost konjugiranog operatora.

2) Dokažimo linearnost konjugiranog operatora. Koristeći definiciju (9.1) i svojstva skalarnog produkta dobivamo:

,
I

A)
;

Iz usporedbe formula a) i b) proizlazi da je konjugirani operator linearan , naime:

3) Dokažimo sada postojanje konjugiranog operatora. Popravimo to u svemiru
kanonska osnova
, te napiši vektore
I
u obliku njihovih proširenja po kanonskoj osnovi:

;
. (9.4)

Razmotrimo izračun lijeve i desne strane (9.1):

;

Uspoređujući posljednje dvije jednakosti uzimajući u obzir (9.1), dobivamo:

. (9.5)

Dakle, ako matrica operatora izgleda kao

tada matrica konjugiranog operatora ima oblik

. (9.6)

Iz (9.6) slijedi da matrica konjugiranog operatora u bilo kojoj ortonormalnoj bazi
nalazi se transponiranjem operatorske matrice , što dokazuje postojanje konjugiranog operatora.

Dokažimo teorem o svojstvima operatora konjugiranog na linearni operator.

Teorem 9.2. Sljedeća svojstva konjugiranog operatora vrijede: :
I

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Dokaz. Dokažimo prvu relaciju. Neka je proizvoljan linearni operator. Za konjugirani operator konjugat će biti operator . Zatim:

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji vektor , to je,

odakle slijedi dokaz prvog svojstva.

Dokažimo drugu relaciju. Da biste to učinili, razmotrite sljedeći lanac transformacija:

Iz usporedbe lijeve i desne strane jednakosti (9.8) slijedi dokaz drugog svojstva.

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način.

Samoadjungirani operatori . U aplikacijama veliki značaj imati samopridruženi operatori .

Definicija 9.2. Linearni operator
nazvaosamospojen , Ako
.

Iz definicije slijedi da samoadjungirani operator zadovoljava relaciju

. (9.9)

Budući da matrica konjugiranog operatora jednaka transponiranoj matrici operatora , tada matrični elementi samopridruženog operatora zadovoljavaju jednakost
, to je elementi matrice samoadjungiranog operatora, simetričnog u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. Takva matrica se zove simetričan . Iz tog razloga samopridruženi operatori
često nazivan simetričan .

Samoadjungirani operatori imaju niz svojstava koja je lako dokazati pomoću definicije i svojstava adjungiranog operatora.

1. Jedan operater je samopridružen.

Dokaz. Očito,

2. Zbroj samo-adjungiranih operatora je samo-adjungiran operator.

Dokaz. Ako
I
, To

3. Kompozicija samo-adjungiranih operatora je samo-adjungiran operator ako i samo ako su ti operatori komutativni.

Dokaz. Podsjetimo se da se operatori nazivaju komutativni if

Gdje – nulti operator. Ako
,
, To

koji je jednak ako i samo ako su operatori komutativni.

4. Operater , inverzno nedegeneriranom samoadjungiranom operatoru
Također samopridruženi operator.

Dokaz. Doista, ako
, To

5. Ako samo-adjungiran operator, tada je umnožak ovog operatora s nekim realnim brojem
je samoadjungirani operator.

Dokaz. Iz trećeg svojstva (9.7) imamo:

Teorem 9.3. Vlastiti vektori samopridruženog operatora , djelovanje u prostoru
, koje odgovaraju parovima različitih svojstvenih vrijednosti, međusobno su ortogonalne.

:
I
, i
. Budući da je operator samopridružen, dakle
. Dakle, na lijevoj odnosno desnoj strani imamo:

;

Gdje je na snazi
dobivamo:
.

Sljedeći važan teorem vrijedi za samoadjungirane operatore.

Teorem 9.4. Svi korijeni karakterističnog polinoma samoadjungiranog operatora
pravi i drugačiji.

Dokaz. U opći slučaj dokaz teoreme je prilično glomazan. Iz tog razloga donosimo dokaz za slučaj operatora
. Dakle, neka je zadan neki linearni operator
s matricom . Tada karakteristična jednadžba ovog operatora ima oblik:

Proširujući determinantu, dobivamo karakterističnu jednadžbu:

Rješenje ove jednadžbe nalazi se pomoću dobro poznate formule:

Diskriminant ima oblik:

Prvi član je očito uvijek pozitivan, a drugi je pozitivan, jer
. Stoga su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti.

Teorem 9.5. Neka
– samopridruženi operator. Zatim u svemiru
možete odabrati ortonormiranu osnovu

tako da matrica operatora u ovoj je osnovici bila dijagonalna.

Dokaz. Prema teoremu 9.4, svi korijeni karakterističnog polinoma samopridruženog operatora su realni i različiti, pa su prema teoremu 9.3 svojstveni vektori samopridruženog operatora međusobno ortogonalni. Sustav vlastitih vektora se očito može normalizirati. Ali onda ti vektori čine osnovu prostora
, u kojem je operator operator jednostavne strukture, odnosno ima dijagonalnu matricu.

Ortogonalni operatori i njihova svojstva, geometrijska interpretacija . Razmotrimo definiciju i svojstva važne klase operatora koji djeluju u prostoru
.

Definicija 9.3. Operater , djelovanje u prostoru
, nazvaoortogonalni , ako čuva točkasti produkt, tj

.(9.10)

Iz definicije proizlazi da ortogonalni operator čuva norme (duljine) vektora i kutove između njih .

Lema 9.1. Operater

.

Dokaz. Neka

gdje imamo:
. vjerujući
, dobivamo:

Neka
. Zatim imamo:

Očito je da ortogonalni operator je nedegeneriran , odnosno njegova matrica ima inverznu matricu.

Teorem 9.6 (o svojstvima ortogonalnih operatora). Ortogonalni operatori
imaju sljedeća svojstva:

1)operator identiteta je ortogonalan;

2)kompozicija ortogonalnih operatora također je ortogonalni operator;

3)inverzni operator ortogonalnog operatora također je ortogonalan;

4)Ako
je ortogonalni operator, tada je operator
je ortogonalna ako i samo ako
.

Dokaz. 1. Dokaz ovog svojstva je gotovo očit:

2. Neka
I
– ortogonalni operatori. Zatim:

3. Neka ortogonalni operator. Razmotrimo
:

4. Neka – ortogonalni operator. Zatim

Teorem 9.7 (kriterij ortogonalnosti operatora). Operater , djelovanje u prostoru
, je ortogonalna ako i samo ako uzima barem jednu ortonormalnu bazu do ortonormirane baze.

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Tada on, zadržavajući skalarni umnožak, transformira ortonormiranu bazu u ortonormiranu bazu.

Neka sada operater
prevodi ortonormiranu osnovu

u novu ortonormiranu osnovu

Zatim

Razmotrimo svojstva matrice ortogonalnog operatora.

Teorem 9.8. Sustav vektora stupaca (redova) ortogonalne operatorske matrice
u bilo kojoj ortonormalnoj bazi

je ortonorman.

Dokaz. Neka
– neki ortogonalni operator i
– neka ortonormirana baza. Prema teoremu 9.9, sustav slika baznih vektora je sam ortonorman, tj
. Stoga, za stupce matrice operatora

(kao vektori aritmetičkog prostora
) imamo:

. (9.11)

Slično svojstvo vrijedi i za retke matrice :

.
(9.12)

Teorem 9.9. Ortogonalna operatorska matrica
u bilo kojoj ortonormiranoj bazi zadovoljava uvjet

. (9.13)

Dokaz. Neka
– ortogonalni operator. Budući da operatorske matrice I povezani odnosima

odakle za matricu operatora dobivamo (9.11).

Obrnuto, neka je zadovoljena relacija (9.11). Zatim
, iz čega proizlazi da operator je ortogonalna.

Definicija 9.4. Matrica , za koje vrijedi nekretnina(9.13),naziva se ortogonalnim.

Predstavimo neke teoreme o svojstvima ortogonalnog operatora.

Teorem 9.10. Svojstvene vrijednosti ortogonalnog operatora djelujući u prostoru
, su jednaki
.

Dokaz. Neka
. Zatim

Pošto po definiciji
, To
.

Teorem 9.11. Determinanta ortogonalne matrice jednaki

Dokaz. Za ortogonalnu matricu jednakost
. Zato
. Zatim

Neka linearni operator A djeluje u euklidskom prostoru E n i taj prostor pretvara u sebe.

Predstavimo se definicija: operator A* nazovimo to konjugatom operatora A, ako za bilo koja dva vektora x,y iz E n zadovoljena je jednakost skalarnih proizvoda oblika:

(Axe,y) = (x,A*y)

Više definicija: linearni operator se naziva samopridruženim ako je jednak svom pridruženom operatoru, odnosno vrijedi jednakost:

(Axe,y) = (x,Ay)

ili, posebno ( Ax,x) = (x, Ax).

Samoadjungirani operator ima određena svojstva. Spomenimo neke od njih:

Svojstvene vrijednosti samoadjungiranog operatora su realne (bez dokaza);

Svojstveni vektori samopridruženog operatora su ortogonalni. Doista, ako x 1 I x 2 su svojstveni vektori, a  1 i  2 su njihove svojstvene vrijednosti, tada: Sjekira 1 =  1 x; Sjekira 2 =  2 x; (Sjekira 1, x 2) = (x 1, sjekira 2), ili  1 ( x 1, x 2) =  2 (x 1, x 2). Kako su  1 i  2 različiti, onda odavde ( x 1, x 2) = 0, što je i trebalo dokazati.

U euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza svojstvenih vektora samoadjungiranog operatora A. To jest, matrica samopridruženog operatora uvijek se može svesti na dijagonalni oblik u nekoj ortonormiranoj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora samopridruženog operatora.

Još definicija: nazovimo samoadjungirani operator koji djeluje u euklidskom prostoru simetričan operater Razmotrimo matricu simetričnog operatora. Dokažimo tvrdnju: Da bi operator bio simetričan, potrebno je i dovoljno da njegova matrica u ortonormiranoj bazi bude simetrična.

Neka A– simetrični operator, tj.

(Axe,y) = (x,Ay)

Ako A je matrica operatora A, i x I g– neke vektore, tada pišemo:

koordinate x I g u nekoj ortonormalnoj bazi

Zatim: ( x,y) = X T Y = Y T X i imamo ( Axe,y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x,Ay) = X T (AY) = X T AY,

oni. X T A T Y = X T AY. Za proizvoljno Matrice stupaca X,Y ova jednakost je moguća samo kada je A T = A, što znači da je matrica A simetrična.

Pogledajmo neke primjere linearnih operatora

Operater oblikovati. Neka je potrebno pronaći matricu linearnog operatora koji projicira trodimenzionalni prostor na koordinatnu os e 1 u osnovi e 1 , e 2 , e 3 . Matrica linearnog operatora je matrica čiji stupci moraju sadržavati slike baznih vektora e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Ove slike očito postoje: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

Stoga se u osnovi e 1 , e 2 , e 3 matrica željenog linearnog operatora će imati oblik:

Pronađimo jezgru ovog operatora. Prema definiciji kernel je skup vektora x, za koje je AX = 0. Ili

To jest, kernel operatora je skup vektora koji leže u ravnini e 1 , e 2 . Dimenzija kernela je n – rangA = 2.

Skup slika ovog operatora očito je skup kolinearnih vektora e 1 . Dimenzija prostora slike jednaka je rangu linearnog operatora i jednaka je 1 , što je manje od dimenzije prostora praslike. Odnosno operater A– degenerirati. Matrica A je također singularna.

Još jedan primjer: pronaći matricu linearnog operatora koji djeluje u prostoru V 3 (bazis ja, j, k) linearna transformacija – simetrija oko ishodišta.

Imamo: Ai = -i

Odnosno tražena matrica

Razmotrimo linearnu transformaciju - simetrija u odnosu na ravninu g = x.

aj = ja(1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Matrica operatora će biti:

Drugi primjer je već poznata matrica koja povezuje koordinate vektora pri rotaciji koordinatnih osi. Operator koji rotira koordinatne osi nazovimo operatorom rotacije. Recimo da rotiramo za kut :

Ai’ = cos ja+ grijeh j

aj’ = -grijeh ja+cos j

Matrica operatora rotacije:

Ai ‘ aj ‘

Prisjetimo se formula za transformaciju koordinata točke pri promjeni baze - zamjena koordinata na ravnini pri promjeni baze:

E Ove se formule mogu promatrati na dva načina. Prethodno smo razmatrali ove formule tako da točka miruje, koordinatni sustav rotira. Ali također se može smatrati da koordinatni sustav ostaje isti, ali se točka pomiče iz položaja M * u položaj M. Koordinate točke M i M * definirane su u istom koordinatnom sustavu.

U Sve što je rečeno omogućuje nam pristup sljedećem problemu koji programeri koji se bave grafikom na računalu moraju riješiti. Neka je potrebno rotirati određenu ravnu figuru (na primjer, trokut) na zaslonu računala u odnosu na točku O’ s koordinatama (a, b) za određeni kut . Rotacija koordinata opisuje se formulama:

Paralelni prijenos osigurava sljedeće odnose:

Da bi se riješio takav problem, obično se koristi umjetna tehnika: uvode se takozvane "homogene" koordinate točke na ravnini XOY: (x, y, 1). Tada se matrica koja izvodi paralelni prijenos može napisati: