Determinanta simetrične matrice n-tog reda. Permutacije i zamjene

28.04.2019 televizori (Smart TV)

Za točnije i složena definicija a da bi se govorilo o determinantama reda većim od trećine, potrebno je zapamtiti još nešto. Zanima nas pojam supstitucija, čak ne toliko definicija koliko način izračunavanja.

Unos prihvaćen za zamjenu je:
, tj. parovi brojeva napisani u stupcu, i to na način da gornji brojevi idu nizom (općenito govoreći, stupci se mogu mijenjati).

Zamjene su parne ili neparne. Kako bi saznali je data zamjena neparno ili parno, morate obratiti pažnju na drugi redak, odnosno redoslijed brojeva u njemu. Potrebno je prebrojati broj parova brojeva u drugom retku, tako da je broj lijevo veći od broja desno (). Ako je broj takvih parova neparan, tada se permutacija naziva neparna, a prema tome, ako je broj takvih parova paran, tada se permutacija naziva parnom.

Primjer:
1)

4 je lijevo od 3, lijevo od 1, lijevo od 2 - to su već tri "pogrešna" para.
3 je lijevo od 1, a 2 su još dva para.
Ukupno 5 parova, tj. ovo je čudna permutacija.
2)

Imajte na umu da brojevi u prvom retku nisu u redu. Zamijenimo stupce.

Razmotrite brojeve drugog reda.
3 je lijevo od 2 i 1 - dva para,
2 je lijevo od 1 - jedan par,
5 je lijevo od 4 i 1 - dva para,
4 stoji lijevo od 1 - jedan par.
Ukupno ima 6 parova - zamjena je parna.

Definicija 2(za studente matematičkih specijalnosti, otkrivajući cjelokupnu bit pojma koji se definira):

Determinanta n-tog reda koja odgovara matrici
,
naziva se algebarski zbroj pojmova, sastavljen na sljedeći način: članovi su svi mogući proizvodi elemenata matrice, uzeti jedan po jedan iz svakog retka i svakog stupca, a član se uzima sa predznakom plus ako njegovi indeksi čine parnu permutaciju, au suprotnom slučaju sa predznakom minus.
Komentar: Objasnimo ovu definiciju na primjeru determinante trećeg reda, za koju je formula za izračun već poznata.
.
1) "algebarski zbroj pojmova" -. I da, doista, postoji šest pojmova.
2) “termovi su svi mogući produkti matričnih elemenata, uzeti jedan po jedan iz svakog retka i svakog stupca” - razmotrite, na primjer, pojam. Njegov prvi množitelj uzima se iz drugog reda, drugi iz prvog, a treći iz trećeg. Isto i sa stupcima - prvi množitelj iz prvog stupca, drugi iz trećeg, a zadnji iz drugog.
3) "štoviše, izraz se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu zamjenu, a sa predznakom minus - inače" - razmotrite, na primjer, pojmove (sa predznakom plus) i (sa predznakom minus ).

Sastavljamo permutacije tako da prvi red sadrži brojeve redaka faktora, a drugi - brojeve stupaca.
Za pojam: (prvi stupac je indeks prvog faktora, itd.)
Za pojam: .
Definiramo paritet ovih permutacija:
a) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 - jedan par,
3 lijevo od 1 - jedan par.
Ukupno dva para, tj. broj parova je paran, pa je i permutacija paran, što znači da se zbroj mora uključiti u zbroj sa predznakom plus (kao što stvarno jest).
b) - elementi u prvom redu su u redu. Drugi red sadrži parove koji nisu u redu:
2 lijevo od 1 - jedan par.
Ukupno, broj parova brojeva koji stoje na način da je veći lijevo od manjeg je 1, t.j. neparan, što znači da se permutacija naziva neparna, a odgovarajući pojam mora biti uključen u zbroj sa predznakom minus (da, jest).
Primjer("Zbirka zadataka iz algebre", priredio A.I. Kostrikin, br. 1001):

Saznajte koji su od sljedećih proizvoda uključeni u prošireni izraz determinanti odgovarajućih redova i s kojim predznacima.
ali)
Obratite pažnju na dio definicije "po jedan iz svakog retka i svakog stupca". Svi prvi indeksi faktora razlikuju se od 1 do 6(1, 2, 3, 4, 5, 6). Svi drugi indeksi faktora razlikuju se od 1 do 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 6. reda.

3 lijevo od 2, 1 - dva para,
2 lijevo od 1 - jedan par,
6 lijevo od 5, 4 - dva para,
5 lijevo od 4 - jedan par.
Ukupno 6 parova, tj. permutacija je parna i pojam je uključen u prošireni zapis determinante sa znakom plus.

b)
Svi prvi indeksi faktora razlikuju se od 1 do 5(3, 1, 5, 4, 2). Svi drugi indeksi faktora razlikuju se od 1 do 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Zaključak - ovaj proizvod je uključen u prošireni izraz determinante 5. reda.
Određujemo predznak ovog člana, za to sastavljamo permutaciju indeksa faktora:

Presložite stupce tako da brojevi u prvom retku budu od najmanjeg prema najvećem.

3 lijevo od 1, 2 - dva para.
4 lijevo od 1, 2 - dva para,
5 lijevo od 2 - jedan par.
Ukupno 5 parova, tj. permutacija je neparna i pojam je uključen u prošireni zapis determinante sa predznakom minus.
u) - obratimo pozornost na prvi i šesti faktor: i . Oba su preuzeta iz 4. stupca, što znači da ovaj proizvod ne može biti uključen u prošireni izraz determinante 7. reda.

Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Definicija. determinanta kvadratna matrica drugi red naziva se broj jednak a 11 a 22 -a 12 a 21 i označena simbolom , tj

Naziva se i determinanta matrice determinanta. Zapis matrične determinante A: |A|, Δ, det A, det(aij).

Sada razmotrite kvadratnu matricu trećeg reda

Prilikom izračunavanja determinante trećeg reda korisno je poznavati pravilo trokuta: uz predznak plus nalaze se produkti trojki brojeva koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a na vrhovima trokuta s bazom paralelnom s ovom dijagonalom i vrh u suprotnom kutu matrice. Sa predznakom minus postoje trojke od druge dijagonale i od trokuta izgrađenih u odnosu na ovu dijagonalu. Sljedeći dijagram pokazuje ovo pravilo. Na shemi plava (lijevo) označava elemente čiji proizvodi dolaze sa znakom plus, a crvena (desno) - sa znakom minus.

Sada dajmo definiciju.

Definicija. Odrednica kvadratne matrice trećeg reda je broj

Definicija. Minor bilo kojeg elementa determinante je determinanta dobivena iz zadane brisanjem retka i stupca kojem pripada. zadanog elementa. Element mol aik označiti Mik.

Definicija. Element mol a 21 determinanta trećeg reda matrice je determinanta drugog reda

Definicija aik determinanta se naziva njezin minor, uzet sa predznakom (-1) i+k.

Algebarsko zbrajanje elemenata aik označiti Aik. Po definiciji

Pravilo za određivanje predznaka algebarskog komplementa (na primjeru determinante trećeg reda):

Primjer. Algebarski element komplementa a 21 je

Teorem dekompozicije. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg retka (stupca) po njihovim algebarski dodaci.

Svojstva kvalifikatora

Determinanta se ne mijenja kada se svi njezini reci zamijene odgovarajućim stupcima.
Kada se dva stupca (retka) izmijene, determinanta mijenja predznak.
Odrednica s dva iste kolone(u redovima) nula.
Iz predznaka determinante može se izvaditi množitelj koji je zajednički elementima određenog stupca (retka).
Determinanta s dva proporcionalna stupca (retka) je nula.
Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi nekog stupca (retka) jednaki nuli.
Determinanta se ne mijenja ako se odgovarajućim elementima drugog stupca (retka) dodaju elementi određenog stupca (retka), a prethodno ih pomnožimo s istim faktorom.

Komentar. Ako su u determinanti svi elementi određenog stupca (retka) jednaki zbrojima dvaju članova, tada je takva determinanta jednaka zbroju dviju odgovarajućih determinanti.

Na primjer,

Odrednice n-ti red

Razmotrimo kvadratnu matricu n-ti red

Pojam determinante ove matrice ili determinante n red se uvodi induktivno, uz pretpostavku da je pojam determinante reda već uveden n-1 koja odgovara kvadratnoj matrici (n-1)-ti red.

Definicija minora matričnog elementa i njegovog algebarskog komplementa vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Definicija. Odrednica reda n odgovara matrici A n th reda, nazovite broj jednak (M 1k- element minor a 1k) i označava se jednim od simbola

Dakle po definiciji

Ova formula izražava pravilo za sastavljanje odrednice reda n elementima prvog retka matrice koji joj odgovaraju i algebarskim komplementama tih elemenata, što je determinanta reda n-1 uzeti s odgovarajućim znakovima.

Za determinantu bilo kojeg reda, sva svojstva i teoremi dobiveni i dokazani za determinantu trećeg reda su istiniti.

Formuliramo glavni teorem:

Teorem [teorem zamjene]. Bez obzira na broj reda i (i=1,2,…,n), za determinantu n th reda, formula

naziva proširenje ove determinante u smislu i-ti redak.

Budući da je svojstvo 1 determinanti istinito, također možemo proširiti determinantu duž stupca:

Primjeri

Izračunajmo sljedeću determinantu:

Oduzmite drugu liniju od prve i treće. Nakon što prvo dodamo trećem i izvadimo iz trećeg zajednički faktor:

Sada drugom redu dodajte treći pomnožen sa 7, a četvrtom dodajte treći pomnožen sa 2. Nakon toga iz četvrtog retka izvadimo zajednički faktor:

Proširimo determinantu u drugom stupcu (znakovi označavaju vrijednost (-1) i+j s manjim). Imajte na umu da u stupcu postoji samo jedan element različit od nule, stoga u proširenju ostaje samo jedna determinanta trećeg reda. Konačno, odgovor dobivamo pomoću formule za determinantu trećeg reda.

Navedimo još nekoliko primjera za determinante raznih redova.

Razmotrimo kvadratnu tablicu A.

Definicija. Odrednica n-tog reda je broj dobiven iz elemenata ove tablice prema sljedećem pravilu:

1 .Determinanta n-tog reda jednaka je algebarskom zbroju n! članova.

Svaki član je umnožak n-elemenata, uzetih jedan po jedan iz svakog retka i svakog stupca tablice.

2 .Član se uzima sa predznakom plus ako su permutacije formirane prvim i drugim indeksom elemenata uključenih u produkte iste parnosti (bilo parne ili neparne) i sa predznakom minus u suprotnom.

Odrednica je označena simbolom:

ili ukratko det A=.(determinanta A)

Po definiciji = -.

Pravilo za izračun determinante 3. reda:

Minori i algebarski dodaci

Neka je dana determinanta n-tog reda (n>1)

Definicija 1. Minor elementa determinante n-tog reda je determinanta (n-1)-tog reda dobivena iz A brisanjem i-tog retka i j-tog stupca, na čijem se presjeku ovaj element nalazi nalazi.

Na primjer:

Definicija 2. Algebarski komplement elementa je broj

Osnovna svojstva determinanti n-tog reda

1. O ekvivalenciji redaka i stupaca.

Vrijednost determinante n-tog reda se ne mijenja ako se njezini retki zamijene odgovarajućim stupcima.

2. Ako determinante zamijene dva retka (stupca), tada će determinanta promijeniti predznak u suprotan.

= k

Ako svi elementi bilo kojeg retka (ili stupca) determinante imaju zajednički faktor, tada se taj zajednički faktor može izvaditi iz predznaka determinante.

4. Vrijednost determinante je nula ako su svi elementi bilo kojeg njezinog reda nula (ili stupci).

5. Odrednica s dva proporcionalna reda je 0.

Na primjer:

6. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka, pomnoženi istim brojem, dodaju njegovim elementima bilo kojeg retka.

7. Ako su elementi bilo kojeg retka i determinante prikazani kao zbroj dva člana, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti u kojoj su svi redovi osim i-tog isti kao u danoj determinanti, a i-ti red jedne determinante sastoji se od prvih članova, a drugi od drugog.

8. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka svih elemenata bilo kojeg od njegovih pravaca i njihovih algebarskih komplemenata.

9. Zbroj proizvoda svih elemenata bilo kojeg retka determinante i algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata drugog retka jednak je nuli.

Na primjer:

Laplaceov teorem

Teorema. Neka je k redaka (ili k stupaca) proizvoljno odabrano u determinanti d reda n, 1. Tada je zbroj umnožaka svih minora k-tog reda sadržanih u odabranim recima i njihovih algebarskih komplementa jednak determinanti d.

Posljedica. Poseban slučaj Laplaceova teorema je proširenje determinante u redak ili stupac. Omogućuje vam da determinantu kvadratne matrice predstavite kao zbroj proizvoda elemenata bilo kojeg njezinog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.

Dopustiti biti kvadratna matrica veličine . Neka je zadan i neki broj retka i ili broj stupca j matrice A. Tada se determinanta A može izračunati sljedećim formulama:

Dekompozicija po i-tom retku:

Dekompozicija na j-tom retku:

gdje je algebarski komplement molu koji se nalazi u i-tom redu i j-tom stupcu.

Tvrdnja je poseban slučaj Laplaceova teorema. Dovoljno je u njemu postaviti k jednako 1 i odabrati --ti red, tada će sami elementi biti manji u ovom retku.

Primjeri za samostalno rješavanje.

1. Pronađite x iz jednadžbi i provjerite zamjenom korijena u determinantu.

ali); b)

Metode izračunavanja determinanti n-tog reda.

Neka je zadan uređen skup n elementi. Bilo koja lokacija n elementi određenim redoslijedom naziva se permutacija od ovih elemenata.

Budući da je svaki element određen svojim brojem, reći ćemo da je dano n prirodni brojevi.

Broj različitih permutacija od n brojeva je jednako n!

Ako u nekoj permutaciji od n brojevi broj i stoji prije j, ali i > j, tj. više stoji pred manjim, onda kažu da je par i, j je inverzija.

Primjer 1 Odredite broj inverzija u permutaciji (1, 5, 4, 3, 2)

Riješenje.

Brojevi 5 i 4, 5 i 3, 5 i 2, 4 i 3, 4 i 2, 3 i 2 tvore inverzije. Ukupan broj inverzija u ovoj permutaciji je 6.

Permutacija se zove čak, ako ukupni broj inverzije u njemu je paran, inače se zove neparan. U gornjem primjeru data je parna permutacija.

Neka se da neka permutacija..., i, …, j, … (*) . Transformacija u kojoj su brojevi i I j mijenjaju mjesta, a ostali ostaju na svojim mjestima, zove se transpozicija. Nakon transpozicije brojeva i I j u permutaciji (*) bit će promjena... j, …, i, …, gdje su svi elementi osim i I j, ostao na mjestu.

Iz bilo koje permutacije od n brojeva, možete prijeći na bilo koju drugu permutaciju tih brojeva uz pomoć nekoliko transpozicija.

Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Na n ≥ 2 broj parnih i neparnih permutacija n brojevi su isti i jednaki.

Neka bude M je uređeni skup od n elementi. Svaka bijektivna transformacija skupa M pozvao zamjenanstupanj.

Zamjene su napisane ovako: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> i sve ik drugačiji.

Zamjena pozvao čak, ako oba njegova niza (permutacije) imaju isti paritet, tj. oba su parna ili su oba neparna. Inače zamjena pozvao neparan.

Na n ≥ 2 broj parnih i neparnih permutacija nth stupnjevi isti i jednaki.

Determinanta kvadratne matrice A drugog reda A= je broj jednak = a11a22–a12a21.

Naziva se i determinanta matrice determinanta. Za determinantu matrice A koristi se sljedeća oznaka: det A, ΔA.

determinanta kvadrat matrice A= trećeg reda nazovi broj jednak │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Svaki član algebarskog zbroja na desnoj strani posljednje formule je umnožak matričnih elemenata, uzetih po jedan iz svakog stupca i svakog retka. Za određivanje predznaka proizvoda korisno je poznavati pravilo (zove se pravilo trokuta), shematski prikazano na slici 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Riješenje.

Neka je A matrica n-tog reda sa složenim elementima:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Determinanta n-tog reda, ili determinanta kvadratne matrice A=(aij) za n>1, je algebarski zbroj svih mogućih proizvoda oblika (1) , i proizvod (1) uzima se sa znakom "+" ako je odgovarajuća zamjena (2) paran i sa znakom "-" ako je zamjena neparna.

Maloljetni Mi J element aij determinanta je determinanta dobivena iz originala brisanjem i-ti red i j- stupac.

Algebarsko zbrajanje ALIi J element aij determinanta se zove broj ALIi J=(–1) i+ jMi J, gdje Mi J – element manji aij.

Svojstva kvalifikatora

1. Odrednica se ne mijenja pri zamjeni svih redaka odgovarajućim stupcima (determinanta se ne mijenja pri transponiranju).

2. Kada se dva retka (stupca) izmijene, determinanta mijenja predznak.

3. Odrednica s dva identična (proporcionalna) reda (stupca) jednaka je nuli.

4. Faktor zajednički svim elementima retka (stupca) može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) dodaju elementima određenog retka (stupca) pomnoženim istim brojem koji nije nula.

6. Ako su svi elementi nekog retka (stupca) determinante jednaki nuli, onda je ona jednaka nuli.

7. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka (stupca) i njihovih algebarskih komplemenata (svojstvo proširenja determinante u nizu (stupcu)).

Razmotrite neke načini izračunavanja determinanti reda n .

1. Ako se barem jedan redak (ili stupac) u determinanti n-tog reda sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli.

2. Neka neki niz sadrži elemente koji nisu nula u determinanti n-tog reda. Izračun determinante n-tog reda može se u ovom slučaju svesti na izračun determinante reda n-1. Doista, koristeći svojstva determinante, moguće je sve elemente bilo kojeg retka, osim jednog, učiniti nula, a zatim proširiti determinantu duž navedenog retka. Na primjer, preuredimo retke i stupce determinante tako da na mjestu a11 bio element koji nije nula.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Imajte na umu da preuređivanje redaka (ili stupaca) nije obavezno. Možete dobiti nule u bilo kojem retku (ili stupcu) determinante.

Ne postoji opća metoda za izračunavanje determinanti reda n, osim za izračunavanje determinante zadanog reda izravno po definiciji. Na odrednicu ovoga ili onoga posebna vrsta primijeniti razne metode izračuni koji vode do jednostavnijih determinanti.

3. Dovedite ga u trokutasti oblik. Koristeći svojstva determinante, dovodimo je do takozvanog trokutastog oblika, kada su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale jednaki nuli. Dobivena trokutasta determinanta jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. Ako je prikladnije dobiti nule na jednoj strani sekundarne dijagonale, tada će to biti jednako umnošku elemenata sekundarne dijagonale, uzetih sa znakom https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Primjer 3 Izračunajte determinantu proširenjem reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Primjer 4 Izračunajte determinantu četvrtog reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2. način(izračunavanje determinante proširenjem duž linije):

Izračunajmo ovu determinantu proširenjem reda, najprije je transformirajući tako da se u nekom njenom retku svi elementi osim jednog okrenu na nulu. Da biste to učinili, dodajte prvi red determinante trećem. Zatim pomnožimo treći stupac sa (-5) i dodamo ga četvrtom stupcu. Proširujemo transformiranu determinantu duž trećeg retka. Minor trećeg reda sveden je na trokutasti oblik u odnosu na glavnu dijagonalu.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Riješenje.

Od prvog retka oduzimamo drugi, od drugoga treći i tako dalje, i na kraju zadnji redak od pretposljednjeg (zadnji red ostaje nepromijenjen).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Prva determinanta u zbroju je trokutasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa je jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. (n–1)n. Drugu determinantu u zbroju transformiramo dodavanjem posljednjeg retka na sve prethodni redovi determinanta. Determinanta dobivena ovom transformacijom bit će trokutasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa će biti jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Izračunavanje determinante Laplaceovim teoremom. Ako u determinanti odaberemo k redaka (ili stupaca) (1£k£n-1), tada je determinanta jednaka zbroju proizvoda svih minora k-tog reda koji se nalaze u odabranih k redaka (ili stupaca) i njihove algebarske dopune.

Primjer 6 Izračunaj determinantu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUALNI ZADATAK #2

"IZRAČUN DETERMINANTA N-TOG REDOVANJA"

opcija 1

Izračunaj determinante

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Na temelju pojmova determinante drugog i trećeg reda, na sličan način možemo uvesti pojam determinante reda n. Determinante reda većeg od trećine izračunavaju se u pravilu korištenjem svojstava determinanti formuliranih u odjeljku 1.3., koje vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Koristeći svojstvo determinante broj 9 0, uvodimo definiciju determinante 4. reda:

Primjer 2 Izračunajte pomoću odgovarajućeg proširenja.

Slično se uvodi pojam determinante 5., 6. itd. narudžba. Dakle, determinanta reda n je:

Sva svojstva determinanti 2. i 3. reda, razmatrana ranije, vrijede i za determinante n-tog reda.

Razmotrimo glavne metode za izračunavanje determinanti n-ti red.

Komentar: prije primjene ove metode, korisno je, koristeći osnovna svojstva determinanti, postaviti na nulu sve osim jednog od elemenata određenog retka ili stupca. (Učinkovita metoda smanjenja narudžbe)

Metoda redukcije na trokutasti oblik sastoji se u takvoj transformaciji determinante, kada svi njezini elementi koji leže s jedne strane glavne dijagonale postanu jednaki nuli. U ovom slučaju, determinanta je jednaka umnošku elemenata njegove glavne dijagonale.

Primjer 3 Izračunajte svođenjem na trokutasti oblik.

Primjer 4 Izračunajte koristeći efektivnu metodu smanjenja narudžbe

Rješenje: po svojstvu 4 0 determinanti iz prvog retka izvadit ćemo faktor 10, a zatim ćemo drugi red redom pomnožiti s 2, s 2, s 1 i dodati, redom, s prvim, trećim i četvrti redovi (svojstvo 8 0).

Rezultirajuća determinanta može se rastaviti na elemente prvog stupca. Svodit će se na determinantu trećeg reda, koja se izračunava prema pravilu Sarrus (trokut).

Primjer 5 Izračunajte determinantu svođenjem na trokutasti oblik.

Primjer 3 Izračunajte korištenjem rekurentnih odnosa.

Predavanje 4. Inverzna matrica. Matrični rang.

1. Pojam inverzne matrice

Definicija 1. Kvadrat naziva se matrica A reda n nedegenerirani, ako je njegova determinanta | A| ≠ 0. U slučaju kada | A| = 0, naziva se matrica A degenerirati.

Samo za kvadratne nesingularne matrice A uvodi se koncept inverzne matrice A -1.

Definicija 2 . Matrica A -1 se zove obrnuto za kvadratnu nesingularnu matricu A, ako je A -1 A = AA -1 = E, gdje je E identitetska matrica reda n.

Definicija 3 . Matrica pozvao u prilogu, njegovi elementi su algebarski komplementi transponirana matrica
.