Izračunavanje n determinanti reda. determinanta n-tog reda

ortogonalna unitarna matrica multilinear

Izračun determinanti 2. i 3. reda.

Dobivamo formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Po definiciji, kada

Kada precrtamo prvi red i jedan stupac, dobivamo matricu koja sadrži jedan element, dakle

Zamjenom ovih vrijednosti u desnu stranu, dobivamo formulu za izračunavanje determinante drugog reda

Determinanta drugog reda jednaka je razlici između umnoška elemenata na glavnoj dijagonali i umnoška elemenata na sporednoj dijagonali (slika 2.1).

Za determinantu trećeg reda imamo

Brisanjem prvog reda i jednog stupca dobivamo determinante kvadratnih matrica drugog reda:

Zapisujemo te determinante drugog reda pomoću formule (2.2) i dobivamo formulu za izračun determinante trećeg reda

Determinanta (2.3) je zbroj šest članova, od kojih je svaki umnožak tri elementa determinante, koji se nalaze u različitim recima i različitim stupcima. Štoviše, tri pojma uzimaju se s znakom plus, a ostala tri s znakom minus.

Da biste zapamtili formulu (2.3), koristi se pravilo trokuta: trebate zbrojiti tri umnoška triju elemenata koji stoje na glavnoj dijagonali i na vrhovima dvaju trokuta koji imaju stranicu paralelnu s glavnom dijagonalom (slika 2.2a), i oduzmite tri umnoška elemenata koji stoje na bočnim dijagonalama i na vrhovima dvaju trokuta čija je stranica paralelna s bočnom dijagonalom (sl. 2.2,6).

Također možete koristiti shemu izračuna prikazanu na sl. 2.3 (Sarrusovo pravilo): zbrojite prvi i drugi stupac desno od matrice, izračunajte umnoške elemenata na svakom od šest navedenih redaka, a zatim pronađite algebarski zbroj tih umnožaka, dok je umnožak elemenata na paralelnim pravcima na glavnu dijagonalu uzima se sa znakom plus, a umnožak elemenata na ravnim linijama paralelnim s bočnom dijagonalom sa znakom minus (prema oznaci na sl. 2.3).

Izračunavanje determinanti reda N>3.

Dakle, dobili smo formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Možete nastaviti s izračunima pomoću formule (2.1) za i dobiti formule za izračun četvrte, pete itd. determinante. redovi veličina. Posljedično, induktivno određivanje omogućuje izračunavanje determinante bilo kojeg reda. Druga stvar je da će formule biti glomazne i nezgodne za praktične izračune. Stoga se determinante visokog reda (četvrte ili više) obično izračunavaju na temelju svojstava determinanti.

Primjer 2.1. Izračunajte determinante

Riješenje. Pomoću formula (2.2) i (2.3) nalazimo;

Formula za rastavljanje determinante na elemente retka (stupca).

Neka je dana kvadratna matrica reda.

Dodatni minor elementa je determinanta matrice reda dobivena iz matrice brisanjem i-ti redak i j-ti stupac.

Algebarski komplement elementa matrice je dodatni minor ovog elementa pomnožen s

Teorem 2.1 formula za rastavljanje determinante na elemente retka (stupca). Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata proizvoljni niz(stupac) na njima algebarski dodaci:

(razlaganje duž i-tog reda);

(proširenje u j-tom stupcu).

Bilješke 2.1.

1. Dokaz formule provodi se metodom matematičke indukcije.

2. U induktivnoj definiciji (2.1) zapravo je korištena formula za rastavljanje determinante na elemente prvog retka.

Primjer 2.2. Odredite determinantu matrice

Riješenje. Proširimo determinantu duž 3. retka:

Sada proširimo determinantu trećeg reda u zadnjem stupcu:

Determinanta drugog reda izračunava se pomoću formule (2.2):

Determinanta trokutaste matrice

Primijenimo formulu dekompozicije da pronađemo determinantu gornje trokutaste matrice

Proširimo determinantu duž posljednjeg retka (n-tog retka):

gdje je dodatni manji element. Označimo Zatim. Imajte na umu da kada prekrižimo zadnji redak i zadnji stupac determinante, dobivamo determinantu gornje trokutaste matrice istog tipa, ali (n-1) reda. Proširujući determinantu duž posljednjeg reda ((n-1) reda), dobivamo. Nastavljajući isti način i uzimajući to u obzir dolazimo do formule.e. determinanta gornje trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Bilješke 2.2

1. Determinanta donje trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali.

2. Determinanta matrice identiteta je 1.

3. Determinantu matrice trokutastog oblika nazivat ćemo determinantom trokutastog oblika. Kao što je gore prikazano, determinanta trokutaste matrice (determinanta gornje ili donje trokutaste matrice, posebno dijagonalne) jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Osnovna svojstva odrednica (determinanti)

1. Za bilo koju kvadratnu matricu, tj. Transponiranjem se odrednica ne mijenja. Iz ovog svojstva slijedi da su stupci i retci determinante "jednaki": svako svojstvo koje je istinito za stupce bit će istinito i za retke.

2. Ako je u determinanti jedan od stupaca nula (svi elementi stupca jednaki su nuli), tada je determinanta jednaka nuli:.

3. Prilikom preslagivanja dvaju stupaca determinanta mijenja predznak u suprotan (svojstvo antisimetrije):

4. Ako determinanta ima dva identična stupca, onda je jednaka nuli:

5. Ako determinanta ima dva proporcionalna stupca, onda je jednaka nuli:

6. Prilikom množenja svih elemenata jednog stupca determinante brojem, determinanta se množi ovim brojem:

7. Ako j-ti stupac determinanta je predstavljena kao zbroj dvaju stupaca, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti čiji su j-ti stupci i , redom, a preostali stupci su isti:

8. Determinanta je linearna u bilo kojem stupcu:

9. Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog stupca dodaju elementima jednog stupca, pomnoženim s istim brojem:

10. Zbroj umnožaka elemenata bilo kojeg stupca determinante s algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata drugog stupca jednak je nuli:

Bilješke 2.3

1. Indukcijom se dokazuje prvo svojstvo determinante. Dokazi ostalih svojstava provode se pomoću formule za rastavljanje determinante na elemente stupca. Na primjer, za dokazivanje drugog svojstva dovoljno je proširiti determinantu na elemente nulte kolone (pretpostavimo da je j-ta kolona nula, tj.):

Za dokaz svojstva 10 potrebno je pročitati formulu za rastavljanje determinante s desna na lijevo, naime zbroj umnožaka elemenata i-tog stupca i algebarskih komplemenata elemenata j-tog stupca je predstavljen kao ekspanzija u j-tom stupcu determinante

u kojem su elementi j-ro stupca zamijenjeni odgovarajućim elementima i-tog stupca. Prema četvrtom svojstvu takva je determinanta jednaka nuli.

2. Iz prvog svojstva proizlazi da će sva svojstva 2-10 formulirana za stupce determinante vrijediti i za njezine retke.

3. Koristeći se formulama za rastavljanje determinante na elemente retka (stupca) i svojstva 10, zaključujemo da

4. Neka je kvadratna matrica. Kvadratna matrica istog reda kao što se kaže da je adjungirana ako je svaki njen element jednak algebarskom komplementu elementa matrice. Drugim riječima, da bi se pronašla adjungirana matrica treba:

a) svaki element matrice zamijenimo njegovim algebarskim komplementom i dobijemo matricu;

b) pronađite adjungiranu matricu transponiranjem matrice.

Iz formula (2.4) slijedi da, gdje je matrica identiteta istog reda kao.

Primjer 2.5. Nađite determinantu blok-dijagonalne matrice, gdje je proizvoljna kvadratna matrica, je matrica identiteta, a je nula matrica odgovarajućeg reda, transponirana.

Riješenje. Proširimo determinantu preko posljednjeg stupca. Budući da su svi elementi u ovom stupcu nule, osim posljednjeg koji je jednak 1, dobivamo determinantu istog oblika kao izvorna, ali nižeg reda. Proširivanjem dobivene determinante duž zadnjeg stupca smanjujemo njezin red. Nastavljajući na isti način, dobivamo determinantu matrice. Stoga,

Metode za izračunavanje determinanti n-tog reda.

Neka je dan uređeni skup n elementi. Svaki dogovor n poziva se elemenata u određenom redoslijedu preuređenje od ovih elemenata.

Budući da je svaki element određen svojim brojem, reći ćemo da je dan n prirodni brojevi.

Broj različitih permutacija iz n brojevi su jednaki n!

Ako u nekoj permutaciji od n brojevi broj ja košta ranije j, Ali ja > j, tj. veći broj dolazi ispred manjeg, onda kažu da je par ja, j iznosi inverzija.

Primjer 1. Odredite broj inverzija u permutaciji (1, 5, 4, 3, 2)

Riješenje.

Brojevi 5 i 4, 5 i 3, 5 i 2, 4 i 3, 4 i 2, 3 i 2 tvore inverziju. Ukupni broj broj inverzija u ovoj permutaciji je 6.

Permutacija se zove čak, ako je ukupan broj inverzija u njemu paran, inače se zove neparan. U gore razmotrenom primjeru dana je parna permutacija.

Neka je data neka permutacija..., ja, …, j, … (*) . Transformacija u kojim brojevima ja I j mijenjaju mjesta, a ostali ostaju na svojim mjestima, zove se transpozicija. Nakon transpozicije broja ja I j u permutaciji (*) bit će preslagivanje..., j, …, ja, ..., gdje su svi elementi osim ja I j, ostali na svojim mjestima.

Od bilo koje permutacije iz n brojeva, možete prijeći na bilo koju drugu permutaciju tih brojeva koristeći nekoliko transpozicija.

Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Na n ≥ 2 broj parnih i neparnih permutacija iz n brojevi su isti i jednaki.

Neka M– naručen set od n elementi. Svaka bijektivna transformacija skupa M nazvao zamjenanti stupanj.

Zamjene se pišu ovako: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> i to je sve ik su različiti.

Zamjena nazvao čak, ako oba njegova reda (permutacije) imaju iste paritete, tj. ili oba parna ili oba neparna. Inače zamjena nazvao neparan.

Na n ≥ 2 broj parnih i neparnih zamjena nth stupnjeva isti i jednaki .

Determinanta kvadratne matrice A drugog reda A= je broj jednak = a11a22–a12a21.

Determinanta matrice se također naziva determinanta. Za determinantu matrice A koristi se sljedeća oznaka: det A, ΔA.

Determinanta kvadrat matrice A= treći red nazvati broj jednak │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Svaki član algebarskog zbroja na desnoj strani zadnje formule umnožak je elemenata matrice uzetih jedan i samo jedan iz svakog stupca i svakog retka. Za određivanje znaka proizvoda, korisno je znati pravilo (naziva se pravilo trokuta), shematski prikazano na slici 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Riješenje.

Neka je A matrica n-tog reda sa kompleksnim elementima:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Determinanta n-tog reda ili determinanta kvadratne matrice A=(aij) za n>1 je algebarski zbroj svih mogućih umnožaka oblika (1) , i rad (1) uzima se sa znakom “+” ako je odgovarajuća zamjena (2) paran, a sa znakom "-" ako je zamjena neparna.

Maloljetna Mi J element aij determinanta je determinanta dobivena iz izvornika brisanjem ja th linija i j- th stupac.

Algebarski komplement Ai J element aij determinanta se naziva broj Ai J=(–1) ja+ jMi J, Gdje Mi J – element minor aij.

Svojstva determinanti

1. Determinanta se ne mijenja kod zamjene svih redaka odgovarajućim stupcima (determinanta se ne mijenja kod transponiranja).

2. Kada se dva retka (stupca) preslože, determinanta mijenja predznak.

3. Determinanta s dva jednaka (proporcionalna) retka (stupca) jednaka je nuli.

4. Faktor zajednički svim elementima retka (stupca) može se izbaciti iz predznaka determinante.

5. Determinanta se neće promijeniti ako se elementima određenog retka (stupca) dodaju odgovarajući elementi drugog retka (stupca), pomnoženi s istim brojem osim nule.

6. Ako su svi elementi određenog retka (stupca) determinante jednaki nuli, onda je i ona jednaka nuli.

7. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka (stupca) s njihovim algebarskim komplementima (svojstvo rastavljanja determinante u retku (stupcu)).

Pogledajmo neke metode za izračunavanje determinanti reda n .

1. Ako se u determinanti n-tog reda barem jedan red (ili stupac) sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli.

2. Neka neki red u determinanti n-tog reda sadrži elemente različite od nule. Izračun determinante n-tog reda može se u ovom slučaju svesti na izračun determinante n-1 reda. Doista, koristeći svojstva determinante, možete sve elemente retka, osim jednog, postaviti na nulu, a zatim proširiti determinantu duž navedenog retka. Na primjer, preuredimo retke i stupce determinante tako da na mjestu a11 postojao je element različit od nule.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Imajte na umu da nije potrebno mijenjati redove (ili stupce). Možete dobiti nule u bilo kojem retku (ili stupcu) determinante.

Ne postoji opća metoda za izračunavanje determinanti reda n, osim za izračunavanje determinante danog reda izravno po definiciji. Na odrednicu ovo ili ono posebna vrsta primijeniti razne metode izračuni koji vode do jednostavnijih odrednica.

3. Uzmimo ga u trokutasti oblik. Koristeći svojstva determinante, svodimo je na tzv. trokutasti oblik, kada su svi elementi koji stoje s jedne strane glavne dijagonale jednaki nuli. Dobivena trokutasta determinanta jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. Ako je prikladnije dobiti nule na jednoj strani sekundarne dijagonale, tada će to biti jednako umnošku elemenata sekundarne dijagonale, uzetih sa znakom https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Primjer 3. Izračunajte determinantu proširenjem reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Primjer 4. Izračunajte determinantu četvrtog reda

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2. metoda(izračunavanje determinante proširivanjem duž crte):

Izračunajmo ovu determinantu proširenjem retka, prethodno je transformirajući tako da u nekim njezinim redovima svi elementi osim jednog postanu nula. Da biste to učinili, dodajte prvi red odrednice trećem. Zatim pomnožite treći stupac s (-5) i dodajte ga četvrtom stupcu. Transformiranu determinantu proširujemo duž treće linije. Minor trećeg reda reduciramo na trokutasti oblik u odnosu na glavnu dijagonalu.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Riješenje.

Oduzmimo drugi od prvog retka, treći od drugog itd. i na kraju, zadnji od pretposljednjeg (zadnji red ostaje nepromijenjen).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Prva determinanta u zbroju je trokutasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa je jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. (n–1)n. Drugu determinantu transformiramo u zbroj dodajući posljednji redak svima prethodni redovi determinanta. Determinanta dobivena ovom transformacijom bit će trokutasta u odnosu na glavnu dijagonalu, pa će biti jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Izračunavanje determinante pomoću Laplaceovog teorema. Ako je k redaka (ili stupaca) odabrano u determinanti (1 £ k £ n-1), tada je determinanta jednaka zbroju umnožaka svih minora k-tog reda koji se nalaze u odabranih k redaka (ili stupaca) i njihove algebarske komplemente.

Primjer 6. Izračunaj odrednicu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUALNI ZADATAK br.2

“IZRAČUN DETERMINANTI N-TOG REDA”

opcija 1

Izračunajte determinante

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

opcija 2

Izračunajte determinante

Za točnije i složena definicija a da bismo govorili o determinantama reda većeg od trećeg, morat ćemo se sjetiti još nečega. Zanima nas pojam supstitucije, ne toliko definicija koliko način njezina izračuna.

Za zamjenu se prihvaća sljedeći unos:
, tj. parovi brojeva napisani u stupcu, tako da su gornji brojevi uzastopni (općenito govoreći, stupci se mogu mijenjati).

Zamjene mogu biti parne i neparne. Kako bi se saznalo je ovu zamjenu paran ili neparan, morate obratiti pozornost na drugi red, odnosno redoslijed brojeva u njemu. Potrebno je izbrojati broj parova brojeva u drugom retku tako da je broj lijevo više broja, stoji s desne strane (). Ako je broj takvih parova neparan, tada se zamjena naziva neparnom, a prema tome, ako je broj takvih parova paran, tada se zamjena naziva parnom.

Primjer:
1)


4 je lijevo od 3, lijevo od 1, lijevo od 2 - to su već tri "pogrešna" para.
3 je lijevo od 1 i 2 - još dva para.
Ukupno 5 parova, t.j. Ovo je čudna zamjena.
2)

Imajte na umu da brojevi u prvom redu nisu po redu. Presložimo kolone.

Pogledajmo brojeve u drugom redu.
3 je lijevo od 2 i 1 – dva para,
2 je lijevo od 1 – jedan par,
5 je lijevo od 4 i 1 – dva para,
4 je lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno 6 parova – ravnomjerna zamjena.

Definicija 2(za studente matematičkih specijalnosti, otkrivajući cijelu bit definiranog koncepta):

Determinanta n-tog reda koja odgovara matrici
,
je algebarski zbroj termina sastavljen na sljedeći način: termini su svi mogući produkti elemenata matrice, uzeti po jedan iz svakog retka i svakog stupca, a termin se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine parnu zamjenu, i sa minusom znak u suprotnom slučaju.
Komentar: Objasnimo ovu definiciju na primjeru determinante trećeg reda, za koju je već poznata formula za izračun.
.
1) “algebarski zbroj članova” - . I da, doista, ovdje je šest pojmova.
2) "pojmovi su svi mogući produkti elemenata matrice, uzeti po jedan iz svakog retka i svakog stupca" - razmotrimo, na primjer, pojam . Njegov prvi faktor uzet je iz drugog retka, drugi iz prvog, a treći iz trećeg. Isto je i sa stupcima – prvi faktor je iz prvog stupca, drugi iz trećeg, a posljednji iz drugog.
3) "i termin se uzima sa znakom plus ako njegovi indeksi čine ravnomjernu zamjenu, a sa znakom minus u suprotnom slučaju" - razmotrite, na primjer, termine (sa znakom plus) i (sa znakom minus ).

Rasporedimo permutacije tako da prvi redak sadrži brojeve redaka faktora, a drugi redak sadrži brojeve stupaca.
Za pojam: (prvi stupac je indeks prvog faktora itd.)
Za termin: .
Odredimo paritet ovih permutacija:
a) - elementi u prvom retku su poredani. Drugi redak sadrži parove koji nisu poredani:
2 lijevo od 1 – jedan par,
3 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupno dva para, tj. broj parova je paran, što znači da je permutacija parna, što znači da član mora biti uključen u zbroj s predznakom plus (kao što zapravo i jest).
b) - elementi u prvom retku su poredani. Drugi redak sadrži parove koji nisu poredani:
2 lijevo od 1 – jedan par.
Ukupan broj parova brojeva postavljenih tako da je veći lijevo od manjeg je 1, tj. neparan, što znači da se permutacija naziva neparnim, a odgovarajući član mora biti uključen u zbroj s predznakom minus (da, to je istina).
Primjer(“Zbirka problema iz algebre” uredio A.I. Kostrikin, br. 1001):

Utvrdite koji od sljedećih proizvoda i s kojim predznacima ulaze u prošireni izraz odrednica odgovarajućih redova.
A)
Obratimo pozornost na dio definicije "jedan iz svakog retka i svakog stupca". Svi prvi indeksi faktora su različiti od 1 do 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Svi drugi indeksi faktora su različiti od 1 do 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Zaključak - ovaj umnožak je uključen u prošireni izraz determinante 6. reda.

3 lijevo od 2, 1 – dva para,
2 lijevo od 1 – jedan par,
6 lijevo od 5, 4 – dva para,
5 lijevo od 4 – jedan par.
Ukupno 6 parova, t.j. permutacija je parna i član je uključen u prošireni zapis determinante sa znakom plus.

b)
Svi prvi indeksi faktora su različiti od 1 do 5 (3, 1, 5, 4, 2). Svi drugi indeksi faktora su različiti od 1 do 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Zaključak - ovaj umnožak je uključen u prošireni izraz determinante 5. reda.
Odredimo znak ovog izraza; da bismo to učinili, napravit ćemo permutaciju indeksa faktora:

Presložimo stupce tako da brojevi u prvom retku budu poredani od najmanjeg prema najvećem.

3 lijevo od 1, 2 – dva para.
4 lijevo od 1, 2 – dva para,
5 lijevo od 2 – jedan par.
Ukupno 5 parova, t.j. permutacija je neparna i član je uključen u prošireni zapis determinante s predznakom minus.
V) — obratite pozornost na prvi i šesti faktor: i . Obje su preuzete iz 4. stupca, što znači da se ovaj umnožak ne može uključiti u prošireni izraz determinante 7. reda.

Neka A = proizvoljna kvadratna matrica n-tog reda s realnim (ili kompleksnim) elementima.

Definicija 7. Determinanta matrice A (determinanta N-ti red) Algebarski zbroj n zove se! izrazi, od kojih je svaki proizvod n elemenata matrice, uzetih po jedan iz svakog retka i svakog stupca. U ovom slučaju proizvod se uzima sa znakom "+" ako je zamjena iz indeksa elemenata koji su u njega uključeni parna, a sa znakom "-" u suprotnom.

Oznaka odrednice: | A| = .

Na primjer, za n = 6 proizvod A21a13a62a34a46a55 je član determinante jer sadrži točno po jedan element iz svakog retka i iz svakog stupca. Zamjena sastavljena od njegovih indeksa bit će . Ima 4 inverzije Gornji red i 2. preokreti – na dnu. Ukupan broj inverzija je 6, tj. zamjena je parna. Posljedično, ovaj umnožak je uključen u proširenje determinante sa predznakom “+”.

Raditi A21a13a62a34a46a15 nije član determinante jer sadrži dva elementa iz prvog reda.

Svojstva determinanti.

10. Tijekom transponiranja determinanta se ne mijenja (podsjetimo se da transponiranje matrice i determinante znači promjenu redaka i stupaca).

Doista, ako je (-1)k član determinante, tada su svi a1, a2, ... , an različiti i k je broj inverzija u permutaciji (a1, a2, ... , an). Kod transponiranja brojevi redaka postaju brojevi stupaca i obrnuto. Posljedično, umnožak Svi faktori će biti iz različitih stupaca i redaka, tj. ovaj će umnožak biti uključen u transponiranu determinantu. Njegov predznak bit će određen brojem inverzija u zamjeni . Ali ovaj broj je očito jednak k. Dakle, (-1)k će biti član u transponiranoj determinanti. Kako smo uzeli bilo koji član zadane determinante, a broj članova u zadanoj i transponiranoj determinanti je isti, onda slijedi njihova jednakost. Iz dokazanog svojstva proizlazi da će sve što će se dokazati za retke determinante vrijediti i za njezine stupce.

20. Ako su svi elementi retka (ili stupca) determinante jednaki nuli, tada je i determinanta jednaka nuli.

To proizlazi iz činjenice da će jedan element navedenog retka (ili stupca) biti uključen u svaki član determinante.

30. Ako svi elementi nekog niza determinante imaju zajednički množitelj, tada se može izbaciti iz predznaka determinante.

Doista, ako svi elementi k-tog reda imaju zajednički faktor l, tada se mogu napisati u obliku . Svaki član determinante će imati oblik (-1)s . Prema tome, faktor l može se izvesti iz svih članova determinante.

40. Ako se dva retka determinante zamijene, tada će determinanta promijeniti predznak.

Doista, ako je (-1)k bilo koji član dane determinante, tada će u novoj determinanti brojevi redaka p i q biti zamijenjeni, ali će brojevi stupaca ostati isti. Posljedično, u novoj determinanti taj isti umnožak pojavit će se u obliku (-1)s. Budući da se jedna transpozicija dogodila u brojevima redaka, ali se brojevi stupaca nisu promijenili, tada k i s imaju suprotne paritete. Dakle, svi članovi date determinante su promijenili predznak, pa je i sama determinanta promijenila predznak.

50. Ako su dva pravca determinante proporcionalna, tada je determinanta jednaka nuli.

Doista, neka su svi elementi k-tog retka jednaki odgovarajućim elementima p-tog retka pomnoženim s l, tj. | A| = = = 0.

60. Ako su u determinanti svi elementi k-tog retka zbroj dva člana, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti u kojem su svi reci, osim k-tog, jednaki u datoj odrednici. Na mjestu elemenata k-tog retka jedne od njih nalaze se prvi članovi elemenata k-tog retka zadane determinante, a na mjestu elemenata k-tog retka drugi - njihovi drugi termini.

Neka su elementi k-tog reda + Sk1,+ Sk2, …. , + Skn. Tada će svaki član determinante imati oblik

(-1)s= (-1)s + (-1)s .

Sabravši sve prve članove, dobivamo determinantu koja se od zadane razlikuje samo u k-tom redu. Na mjestu koje će linije biti , ,…. , . Sabravši sve druge članove, dobivamo determinantu koja se također razlikuje od zadane samo u k-tom redu. Koji će red sadržavati Sk1, sk2, …. , Skn.

70. Ako jednom retku determinante dodamo drugi red čiji su svi elementi pomnoženi istim brojem, tada se determinanta neće promijeniti.

Ovo svojstvo je posljedica prethodna dva.

Ako je u odrednici | A| prekriži k-ti red i p-ti stupac, tada ostaje determinanta (n–1) reda. To se zove Minor, dodatni za element i naznačen je Mikrodistrikt. Broj (-1)k+p×M Kr Nazvana Algebarski komplement za element i naznačen je Acre.

80. Dodatni minor i algebarski komplement ne ovise o tome koji se element nalazi u k-tom retku i p-tom stupcu determinante.

Lema 1 D= . (8)

Dokaz. Ako A11= 0, onda je jednakost (8) očita. Neka A11¹ 0. Budući da svaki član determinante sadrži točno jedan element iz prvog reda, tada različiti od nule članovi determinante mogu biti samo oni koji uključuju A11. Svi izgledaju kao , gdje su gk i k u rasponu od 2 do N. Predznak ovog člana u determinanti D određen je paritetom supstitucije s = .Dakle D je algebarski zbroj članova oblika S predznacima određenim zamjenom s. Ako ovaj iznos izbacimo iz zagrade A11, tada dobivamo da je D = A11× S, Gdje S Postoji algebarski zbroj članova oblika čiji je predznak određen zamjenom s. Ovi pojmovi su očito ( N- 1)!. Ali supstitucija s i supstitucija imaju isti paritet. Stoga, S = M 11. Budući da A11 =(-1)1+1× M 11 = M 11, tada je D = A11×A11.

Lema 2. D= (9)

Dokaz. U determinanti D presložimo p-ti red sekvencijalno sa svakim prethodnim. U ovom slučaju, p-ti red će zauzeti mjesto prvog retka, ali sporedni je element dodatni Kovčeg Neće se promijeniti. Ukupno će biti učinjeno ( R– 1) preslagivanje nizova. Označimo li novu determinantu D1, onda je D1 = (-1)r-1×D. U determinanti D1 preuređujemo DO Stupac je sekvencijalan sa svakim prethodnim stupcem, što će učiniti ( DO– 1) permutacija stupaca i sporednih, komplementarnih Kovčeg, Neće se promijeniti. Rezultat je odrednica

D2 = . Očito, D2 = (-1)k-1×D1 = (-1)p+k-2×D = (-1)p+k×D. Prema lemi 1, D2 = Kovčeg×M Rk. Stoga je D = Kovčeg× (-1)r+k × M Rk = Kovčeg×Kovčeg

Teorem 3. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata određenog retka i njihovih algebarskih komplemenata, tj. D = Ak1Ak1 + ak2×Ak2 +…+aKn×AKn (10).

Dokaz. Neka je D = . Elemente retka upisujemo u obrazac Ak1 = al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A. Koristeći svojstvo 60, dobivamo da je D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + AA(koristili smo lemu 2).

Teorem 4. Zbroj umnožaka elemenata jednog retka determinante s algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata drugog retka jednak je nuli.

Dokaz. Neka je D = . Prema prethodnom teoremu

D = . Ako uzmemo , tada će u determinanti D biti dva identične linije, tj. D će biti jednak nuli. Prema tome, 0 = ako je p ¹ k.

Komentar. Teoremi 3 i 4 bit će istiniti ako se u njihovim formulacijama riječ "redak" zamijeni riječju "stupac".

Metoda izračuna determinantiN-ti red.

Za izračunavanje determinante N th reda, dovoljno je dobiti što više nula u nekom retku (ili stupcu), koristeći svojstvo 70, a zatim koristiti teorem 3. U ovom slučaju, izračun determinante n-tog reda će se svesti na izračun determinante ( N– 1. red.

Primjer. Izračunajte determinantu D = .

. Dobivamo nule u drugom redu. Za ovo Drugi stupac 1) pomnožite s (-2) i dodajte u prvi stupac; 2) dodati u treći stupac; 3) pomnožite s (-4) i dodajte u četvrti stupac. Dobijamo da je D = . Proširimo dobivenu determinantu na elemente drugog reda. U tom su slučaju umnošci svih elemenata ovog retka s njihovim algebarskim komplementima, osim elementa 1, jednaki nuli. Da biste dobili algebarski komplement za element 1, trebate prekrižiti redak i stupac gdje se taj element pojavljuje, tj. drugi redak i drugi stupac. Predznak algebarskog komplementa određuje (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Dakle D = + . Dobili smo determinantu 3. reda. Ova se determinanta može izračunati pomoću dijagonala i trokuta, ali se može svesti na determinantu drugog reda. Umnožimo se Prvi stupac 1) s (-4) i dodajte u drugi stupac, 2) pomnožite s 2 i dodajte u treći stupac. Shvaćamo to

Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Definicija. Determinanta kvadratne matrice drugog reda je broj jednak a 11 a 22 -a 12 a 21 a označavaju se simbolom tj

Determinanta matrice se također naziva determinanta. Zapis determinante matrice A: |A|, Δ, detalj A, det(a ij).

Sada razmotrite kvadratnu matricu trećeg reda

Pri izračunavanju determinante trećeg reda korisno je znati pravilo trokuta: sa znakom plus su umnošci trojki brojeva koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a na vrhovima trokuta s bazom paralelnom s ovom dijagonalom a vrh u suprotnom kutu matrice. S predznakom minus nalaze se trojke iz druge dijagonale i iz trokuta izgrađenih u odnosu na tu dijagonalu. Sljedeći dijagram pokazuje ovo pravilo. Na dijagramu su elementi čiji proizvodi dolaze s znakom plus označeni plavom bojom (lijevo), a crvenom bojom (desno) - znakom minus.

Sada dajmo definiciju.

Definicija. Determinanta kvadratne matrice trećeg reda je broj

Definicija. Minor bilo kojeg elementa determinante je determinanta dobivena iz danog precrtavanjem retka i stupca kojemu pripada. ovaj element. Sporedni element a ik označimo Mik.

Definicija. Sporedni element a 21 determinanta trećeg reda matrice je determinanta drugog reda

Definicija a ik determinanta se naziva njezin minor, uzet sa predznakom (-1)i+k.

Algebarski komplement elementa a ik označimo Aik. A-priorat

Pravilo za određivanje predznaka algebarskog komplementa (na primjeru determinante trećeg reda):

Primjer. Algebarsko zbrajanje elementa a 21 je

Teorem o dekompoziciji. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka (stupca) s njihovim algebarskim komplementima.

Svojstva determinanti

• Determinanta se neće promijeniti ako sve njezine retke zamijenite odgovarajućim stupcima.
• Prilikom preslagivanja dva stupca (reda) determinanta mijenja predznak.
• Odrednica s dva identične kolone(nizovi) je jednak nuli.
• Faktor zajednički elementima određenog stupca (reda) može se uzeti iza predznaka determinante.
• Determinanta s dva proporcionalna stupca (reda) jednaka je nuli.
• Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi nekog stupca (reda) jednaki nuli.
• Determinanta se neće promijeniti ako se elementima određenog stupca (retka) dodaju odgovarajući elementi drugog stupca (retka), prethodno pomnoživši ih s istim faktorom.

Komentar. Ako su u determinanti svi elementi određenog stupca (retka) jednaki zbroju dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju dviju odgovarajućih determinanti.

Na primjer,

Odrednice n-ti red

Razmotrimo kvadratnu matricu n-ti red

Pojam determinante ove matrice ili determinante n red se uvodi induktivno, s obzirom da je pojam determinante reda već uveden n-1, odgovara kvadratna matrica (n-1)-ti red.

Definicija minora elementa matrice i njegovog algebarskog komplementa vrijedi za determinante bilo kojeg reda.

Definicija. Odrednica reda n, koji odgovara matrici A n-tog reda naziva se broj jednak (M 1k- element manji a 1k) i označen jednim od simbola

Dakle, po definiciji

Ova formula izražava pravilo za konstruiranje determinante reda n njemu odgovarajućim elementima prvog retka matrice i algebarskim komplementima tih elemenata koji su determinanta reda n-1, uzeti s odgovarajućim oznakama.

Za determinantu bilo kojeg reda istinita su sva svojstva i teoremi dobiveni i dokazani za determinantu trećeg reda.

Formulirajmo glavni teorem:

Teorem [Teorem o supstituciji]. Bez obzira na broj retka ja (i=1,2,…,n), za odrednicu n vrijedi formula th reda

nazvano proširenje ove odrednice u ja th linija.

Budući da je svojstvo 1 determinanti istinito, determinantu također možemo proširiti duž stupca:

Primjeri

Izračunajmo sljedeću determinantu:

Oduzmite drugu liniju od prve i treće. Zatim dodajemo prvi trećinama i izuzimamo zajednički faktor iz trećina:

Sada drugom retku dodamo treći, pomnožen sa 7, a četvrtom dodamo treći, pomnožen sa 2. Zatim iz četvrtog retka izbacimo zajednički faktor:

Proširimo determinantu u drugom stupcu (znakovi označavaju vrijednost (-1)i+j u molu). Imajte na umu da u stupcu postoji samo jedan element različit od nule, stoga će u ekspanziji ostati samo jedna determinanta trećeg reda. Konačno, odgovor dobivamo pomoću formule za determinantu trećeg reda.

Navedimo još nekoliko primjera za determinante raznih redova.

Najbolji članci na temu

Kalkulator snage napajanja

CrossFire tehnologija u AMD video karticama

Kako spojiti računalo na TV?