Ova tema će pokriti operacije kao što su zbrajanje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom, transpozicija matrice. Svi simboli korišteni na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.
Zbrajanje i oduzimanje matrica.
Zbroj $ A + B $ matrica $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ i $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $ naziva se matrica $ C_ (m \ puta n) = (c_ (ij)) $, gdje je $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ za sve $ i = \ overline (1, m) $ i $ j = \ overline ( 1, n) $.
Slična definicija uvodi se za razliku matrica:
Razlika $ AB $ matrica $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ i $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $ je matrica $ C_ (m \ puta n ) = ( c_ (ij)) $, gdje je $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ za sve $ i = \ nadcrt (1, m) $ i $ j = \ nadcrt (1, n ) $.
Objašnjenje unosa $ i = \ overline (1, m) $: prikaži \ sakriti
Oznaka "$ i = \ overline (1, m) $" znači da je parametar $ i $ u rasponu od 1 do m. Na primjer, zapis $ i = \ overline (1,5) $ kaže da parametar $ i $ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.
Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, zbrajanje i oduzimanje matrica su intuitivno jasne operacije, jer zapravo znače samo zbrajanje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.
Primjer #1
Dane su tri matrice:
$$ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) \; \; B = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno); \; \; F = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ kraj (niz) \ desno). $$
Možete li pronaći matricu $ A + F $? Pronađite matrice $ C $ i $ D $ ako je $ C = A + B $ i $ D = A-B $.
$ A $ matrica sadrži 2 retka i 3 stupca (drugim riječima, veličina matrice $ A $ je $ 2 \ puta 3 $), a $ F $ matrica sadrži 2 retka i 2 stupca. Veličine matrice $ A $ i $ F $ se ne poklapaju pa ih ne možemo zbrajati, t.j. operacija $ A + F $ za dane matrice je nedefinirana.
Veličine matrica $ A $ i $ B $ su iste, t.j. matrični podaci sadrže jednak broj redaka i stupaca, pa je operacija zbrajanja primjenjiva na njih.
$$ C = A + B = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) + \ lijevo (\ početak (niz ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ kraj (niz) \ desno) $$
Pronađite matricu $D = A-B $:
$$ D = AB = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) - \ lijevo (\ početak (niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ kraj (niz) \ desno) $$
Odgovor: $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ kraj (niz) \ desno) $, $ D = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ kraj (niz) \ desno) $.
Množenje matrice brojem.
Umnožak matrice $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ po broju $ \ alpha $ je matrica $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $, gdje je $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ za sve $ i = \ overline (1, m) $ i $ j = \ overline (1, n) $.
Jednostavno rečeno, množenje matrice određenim brojem znači množenje svakog elementa dane matrice tim brojem.
Primjer br. 2
Matrica je data: $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite matrice $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ i $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak ( niz) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ kraj (niz) \ desno). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ kraj (niz) \ desno). $$
$ -A $ notacija je skraćenica za $ -1 \ cdot A $. To jest, da biste pronašli $ -A $, trebate pomnožiti sve elemente matrice $ A $ sa (-1). U suštini, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $ A $ promijeniti u suprotno:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $$
Odgovor: $ 3 \ cdot A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ kraj (niz) \ desno); \; -5 \ cdot A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ kraj (niz) \ desno); \; -A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $.
Umnožak dviju matrica.
Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nerazumljiva. Stoga ću prvo navesti opću definiciju, a zatim ćemo detaljno analizirati što to znači i kako s njom raditi.
Matrica $ C_ (m \ puta k) = (c_ ( ij)) $, za koju je svaki element od $ c_ (ij) $ jednak zbroju proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog retka matrica $ A $ po elementima j-tog stupca matrice $ B $: $$ c_ (ij) = \ zbroj \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ nadcrt (1, m), j = \ nadcrt (1, n). $$
Pogledajmo korak po korak množenje matrice koristeći primjer. Međutim, odmah treba obratiti pažnju na činjenicu da se sve matrice ne mogu množiti. Ako želimo pomnožiti matricu $ A $ s matricom $ B $, tada prvo moramo biti sigurni da je broj stupaca matrice $ A $ jednak broju redaka matrice $ B $ (npr. matrice se često nazivaju dogovoren). Na primjer, matrica $ A_ (5 \ puta 4) $ (matrica sadrži 5 redaka i 4 stupca) ne može se pomnožiti s matricom $ F_ (9 \ puta 8) $ (9 redaka i 8 stupaca), budući da je broj stupaca matrice $ A $ nije jednako broju redaka u $ F $ matrici, tj. 4 $ \ neq 9 $. Ali možete pomnožiti matricu $ A_ (5 \ puta 4) $ s matricom $ B_ (4 \ puta 9) $, budući da je broj stupaca u matrici $ A $ jednak broju redaka u matrici $ B $. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $ A_ (5 \ puta 4) $ i $ B_ (4 \ puta 9) $ bit će matrica $ C_ (5 \ puta 9) $, koja sadrži 5 redaka i 9 stupaca:
Primjer br. 3
Matrice su dane: $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ kraj (niz) \ desno) $ i $ B = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite matricu $ C = A \ cdot B $.
Prvo, odmah odredimo veličinu matrice $ C $. Budući da je $ A $ $ 3 \ puta 4 $ i $ B $ je $ 4 \ puta 2 $, veličina $ C $ je $ 3 \ puta 2 $:
Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $ A $ i $ B $, trebali bismo dobiti matricu $ C $, koja se sastoji od tri retka i dva stupca: $ C = \ lijevo (\ begin (niz) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (niz) \ desno) $. Ako oznake elemenata postavljaju pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje elemenata matrice. Naš cilj je pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $ C $.
Počnimo s $ c_ (11) $. Da biste dobili element $ c_ (11) $, trebate pronaći zbroj umnožaka elemenata prvog retka matrice $ A $ i prvog stupca matrice $ B $:
Da biste pronašli sam element $ c_ (11) $, trebate pomnožiti elemente prvog retka matrice $ A $ s odgovarajućim elementima prvog stupca matrice $ B $, t.j. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sažimamo dobivene rezultate:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Nastavimo rješavanje i nađimo $ c_ (12) $. Da biste to učinili, morate pomnožiti elemente prvog retka matrice $ A $ i drugog stupca matrice $ B $:
Slično kao i prethodni, imamo:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Svi elementi prvog retka $ C $ su pronađeni. Prijeđite na drugi redak, koji počinje s $ c_ (21) $. Da biste ga pronašli, morate pomnožiti elemente drugog retka matrice $ A $ i prvog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Sljedeći element $ c_ (22) $ nalazi se množenjem elemenata drugog retka matrice $ A $ s odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Da bismo pronašli $ c_ (31) $, pomnožimo elemente trećeg retka matrice $ A $ s elementima prvog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
I, konačno, da biste pronašli element $ c_ (32) $, morat ćete pomnožiti elemente trećeg retka matrice $ A $ s odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Svi elementi matrice $ C $ su pronađeni, ostaje samo napisati da je $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz ) \ desno) $ ... Ili, da napišem u cijelosti:
$$ C = A \ cdot B = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz) \ desno). $$
Odgovor: $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz) \ desno) $.
Inače, često nema razloga da se detaljno opisuje nalaz svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:
Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da općenito $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Samo za neke vrste matrica koje se nazivaju permutacija(ili commuting), jednakost $ A \ cdot B = B \ cdot A $ je istinita. Upravo na temelju nekomutativnosti množenja potrebno je naznačiti kako točno množimo izraz ovom ili onom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, izraz "pomnoži obje strane jednakosti $ 3E-F = Y $ matricom $ A $ s desne strane" znači da trebamo dobiti sljedeću jednakost: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transponirano u odnosu na matricu $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ naziva se matrica $ A_ (n \ puta m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , za elemente koji su $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Jednostavno rečeno, da biste dobili transponiranu matricu $ A ^ T $, trebate zamijeniti stupce u izvornoj matrici $ A $ s odgovarajućim recima prema sljedećem principu: ako je prvi redak bio, prvi stupac će postati ; postojao je drugi red - drugi stupac će postati; postojao je treći red - bit će treći stupac i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $ A_ (3 \ puta 5) $:
Prema tome, ako je originalna matrica bila $3 \ puta 5 $, tada je transponirana matrica $5 \ puta 3 $.
Neka svojstva operacija nad matricama.
Ovdje se pretpostavlja da su $ \ alpha $, $ \ beta $ neki brojevi, a $ A $, $ B $, $ C $ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji s prva četiri.
- $ A + B = B + A $ (adicijska komutativnost)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asocijacija na zbrajanje)
- $ (\ alpha + \ beta) \ cdot A = \ alpha A + \ beta A $ (distributivnost množenja matrice s obzirom na zbrajanje brojeva)
- $ \ alpha \ cdot (A + B) = \ alpha A + \ alpha B $ (množenje brojem s obzirom na zbrajanje matrice)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alfa \ beta) A = \ alfa (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, gdje je $ E $ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, gdje je $ O $ nula matrica odgovarajuće veličine.
- $ \ lijevo (A ^ T \ desno) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ lijevo (\ alfa A \ desno) ^ T = \ alfa A ^ T $
U sljedećem dijelu razmatrat ćemo operaciju podizanja matrice na cijeli nenegativni stepen, a također ćemo riješiti primjere u kojima je potrebno izvesti nekoliko operacija nad matricama.
Zbrajanje matrica:
Oduzimanje i zbrajanje matrica svodi se na odgovarajuće operacije nad njihovim elementima. Operacija zbrajanja matrice uveden samo za matrice iste veličine, tj. za matrice, u kojem je broj redaka i stupaca jednak. Zbroj matrica A i B se zovu matrica C, čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata. S = A + V c ij = a ij + b ij razlika matrica.
Množenje matrice brojem:
Operacija množenja (dijeljenja) matrice bilo koje veličine proizvoljnim brojem svodi se na množenje (dijeljenje) svakog elementa matrice tim brojem. Umnožak matrice I broj k se zove matrica B, takav da
b ij = k × a ij. V = k × A b ij = k × a ij. Matrica- A = (-1) × A naziva se suprotnost matrica A.
Svojstva zbrajanja i množenja matrice:
Operacije zbrajanja matrice i množenje matrice na broju imaju sljedeća svojstva: 1. A + B = B + A; 2.A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , gdje su A, V i S matrice, α i β brojevi.
Množenje matrice (matrični proizvod):
Operacija množenja dvije matrice uvodi se samo za slučaj kada je broj stupaca prvog matrice jednak je broju redaka drugog matrice. Umnožak matrice I m × n na matrica U n × p, zove se matrica S m × p tako da je s ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, tj. pronaći zbroj umnožaka elemenata i-tog retka matrice I na odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B. Ako matrice A i B su kvadrati iste veličine, tada proizvodi AB i BA uvijek postoje. Lako je pokazati da je A × E = E × A = A, gdje je A kvadrat matrica, E - jedinica matrica iste veličine.
Svojstva množenja matrice:
Množenje matrice nije komutativno, tj. AB ≠ BA čak i ako su oba djela definirana. Međutim, ako za bilo koji matrice omjer AB = BA je zadovoljen, onda takav matrice nazivaju se permutacijom. Najtipičniji primjer je singl matrica koji je promjenjiv s bilo kojim drugim matrica iste veličine. Permutacija može biti samo kvadratna matrice istim redom. A × E = E × A = A
Množenje matrice posjeduje sljedeća svojstva: 1. A × (V × S) = (A × V) × S; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Odrednice 2. i 3. reda. Determinantna svojstva.
Odrednica matrice drugog reda, ili determinanta drugog reda, naziva se broj koji se izračunava po formuli:
Odrednica matrice trećeg reda, ili determinanta trećeg reda naziva se broj koji se izračunava po formuli:
Ovaj broj predstavlja algebarski zbroj šest članova. Svaki pojam sadrži točno jedan element iz svakog retka i svakog stupca matrice... Svaki se pojam sastoji od proizvoda tri čimbenika.
Znakovi s kojima članovi determinanta matrice uključeni su u formulu pronalaženje determinante matrice treći red se može odrediti pomoću gornje sheme, koja se naziva pravilo trokuta ili Sarrusovo pravilo. Prva tri člana uzimaju se sa znakom plus i određuju se iz lijeve figure, a sljedeća tri člana uzimaju se sa predznakom minus i određuju se iz desne figure.
Odredite broj pojmova za pronalaženje determinanta matrice, u algebarskom zbroju možete izračunati faktorijel: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Svojstva matričnih determinanti
Svojstva determinanti matrice:
Svojstvo br. 1:
Determinanta matrice neće se promijeniti ako se njegovi retki zamijene stupcima, svaki redak stupcem s istim brojem, i obrnuto (Transpose). | A | = | A | T
Posljedica:
Stupci i redovi determinanta matrice jednaki su, dakle, svojstva svojstvena recima ispunjena su i za stupce.
Svojstvo br. 2:
Prilikom zamjene 2 retka ili stupca determinanta matriceće obrnuti predznak uz zadržavanje apsolutne vrijednosti, tj.:
Svojstvo br. 3:
Determinanta matrice imati dva identična reda jednako je nuli.
Svojstvo br. 4:
Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka determinanta matrice može se izvaditi iz oznake determinanta.
Posljedice iz svojstava #3 i #4:
Ako su svi elementi određenog retka (redak ili stupac) proporcionalni odgovarajućim elementima paralelnog retka, tada determinanta matrice je nula.
Svojstvo br. 5:
determinanta matrice jednaka nuli, zatim sebi determinanta matrice je nula.
Svojstvo br. 6:
Ako svi elementi bilo kojeg retka ili stupca determinanta su tada prikazani kao zbroj 2 člana determinanta matrice može se predstaviti kao zbroj 2 odrednice prema formuli:
Svojstvo br. 7:
Ako u bilo koji redak (ili stupac) determinanta zatim dodajte odgovarajuće elemente drugog retka (ili stupca), pomnožene s istim brojem determinanta matrice neće promijeniti svoju veličinu.
Primjer primjene svojstava za izračun determinanta matrice:
1. godina, viša matematika, studiramo matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo osnovne operacije koje se mogu izvesti s matricama. Gdje započeti upoznavanje s matricama? Naravno, od najjednostavnije stvari - definicija, osnovnih pojmova i najjednostavnijih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svi koji im posvete barem malo vremena!
Definicija matrice
Matrica Je pravokutna tablica elemenata. Pa, ako jednostavnim riječima - tablica brojeva.
Obično su matrice označene velikim latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B itd. Matrice mogu biti različitih veličina: pravokutne, kvadratne, postoje i matrice redaka i matrice stupaca, koje se nazivaju vektori. Veličina matrice određena je brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutnu matricu veličine m na n , gdje m - broj redaka, i n - broj stupaca.
Elementi za koje i = j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice, a nazivaju se dijagonalom.
Što možete učiniti s matricama? Dodaj/oduzmi, pomnožite brojem, množe među sobom, transponirati... Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.
Operacije zbrajanja i oduzimanja matrice
Odmah vas upozoravamo da možete dodati samo matrice iste veličine. Rezultat je matrica iste veličine. Dodavanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno - samo dodajte njihove odgovarajuće elemente ... Navedimo primjer. Dodajmo dvije matrice A i B veličine dva po dva.
Oduzimanje se izvodi po analogiji, samo s suprotnim predznakom.
Bilo koja matrica se može pomnožiti s proizvoljnim brojem. Uraditi ovo, trebate svaki njegov element pomnožiti s tim brojem. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera s brojem 5:
Operacija množenja matrice
Ne mogu se sve matrice međusobno množiti. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu množiti jedna s drugom samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B. U ovom slučaju svaki element rezultirajuće matrice, koji stoji u i-tom retku i j-tom stupcu, bit će jednak zbroju proizvoda odgovarajućih elemenata u i-tom retku prvog faktora i j-tog stupca drugi... Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:
I primjer s realnim brojevima. Pomnožimo matrice:
Operacija transponiranja matrice
Transponiranje matrice je operacija u kojoj se zamjenjuju odgovarajući redci i stupci. Na primjer, transponirajmo matricu A iz prvog primjera:
Determinanta matrice
Determinanta, ali determinanta je jedan od osnovnih pojmova linearne algebre. Nekada su ljudi izmišljali linearne jednadžbe, a iza njih su morali izmisliti odrednicu. Kao rezultat, morate se nositi sa svime ovim, dakle, posljednjim trzajem!
Determinanta je numerička karakteristika kvadratne matrice koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Da biste izračunali determinantu najjednostavnije kvadratne matrice, morate izračunati razliku između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.
Determinanta matrice prvog reda, odnosno koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.
Što ako je matrica tri puta tri? Ovo je kompliciranije, ali možete se nositi.
Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju umnožaka elemenata glavne dijagonale i umnožaka elemenata koji leže na trokutima s bridom paralelnim s glavnom dijagonalom, iz kojeg je proizvod elemenata dijagonale sekundarna dijagonala i umnožak elemenata koji leže na trokutima s bridom paralelne sekundarne dijagonale se oduzimaju.
Srećom, u praksi je rijetko potrebno izračunati determinante velikih matrica.
Ovdje smo pokrili osnovne operacije nad matricama. Naravno, u stvarnom životu nikada ne možete naići ni na nagovještaj matričnog sustava jednadžbi, ili obrnuto – suočiti se s puno težim slučajevima kada morate stvarno razbiti glavu. Upravo za takve slučajeve postoji stručna studentska služba. Zatražite pomoć, nabavite kvalitetno i detaljno rješenje, uživajte u akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.
