Koje se matrice mogu slagati jedna s drugom. inverzna matrica

01.08.2019 Operacijski sustavi

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Veličina matrice m× n naziva se ukupnost m n brojevi raspoređeni u pravokutnu tablicu od m linije i n stupci. Ova se tablica obično nalazi u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, ALI ili NA.

Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako

Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice. Prikladno je opskrbiti elemente matrice s dva indeksa aij: Prvi označava broj retka, a drugi označava broj stupca. Na primjer, a 23– element se nalazi u 2. redu, 3. stupcu.

Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica - njen redoslijed je 1.

Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima, ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jedan stupac.

Poziva se matrica sa samo jednim retkom matrica – redak(ili niz), i matricu koja ima samo jedan stupac, matrica – stupac.

Matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli naziva se ništavan i označava se s (0), ili jednostavno 0. Na primjer,

glavna dijagonala Kvadratna matrica je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedinici singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

DJELOVANJA NA MATRICAMA

Jednakost matrice. Dvije matrice A i B kaže se da su jednaki ako imaju isti broj redaka i stupaca i ako su im odgovarajući elementi jednaki aij = b ij. Pa ako i , onda A=B, ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 i a 22 = b 22.

transpozicija. Promotrimo proizvoljnu matricu A iz m linije i n stupci. Može se povezati sa sljedećom matricom B iz n linije i m stupaca, gdje je svaki redak stupac matrice A s istim brojem (stoga je svaki stupac redak matrice A s istim brojem). Pa ako , onda .

Ova matrica B nazvao transponirano matrica A, i prijelaz iz A do B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redaka i stupaca matrice. Matrica transponirana u matricu A, obično označeno A T.

Komunikacija između matrice A a transponirano se može napisati kao .

Na primjer. Nađi matricu transponiranu na zadanu.

Zbrajanje matrice. Neka matrice A i B sastoje se od istog broja redaka i istog broja stupaca, tj. imati iste veličine. Zatim kako bismo dodali matrice A i B potrebno matrica elemenata A dodati elemente matrice B stojeći na istim mjestima. Dakle, zbroj dviju matrica A i B naziva matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Nađi zbroj matrica:

Lako je provjeriti da zbrajanje matrica poštuje sljedeće zakone: komutativno A+B=B+A i asocijativne ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k treba svaki element matrice A pomnožite s tim brojem. Dakle, proizvod matrice A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koji broj a i b i matrice A i B ispunjene su jednakosti:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova se operacija odvija prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine faktora matrice moraju biti dosljedne. Možete množiti samo one matrice čiji broj stupaca prve matrice odgovara broju redaka druge matrice (tj. duljina prvog retka jednaka je visini drugog stupca). raditi matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element u 1. retku i 3. stupcu od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente retka s odgovarajućim elementima stupca i zbrojiti dobivene umnoške. I ostali elementi matrice umnoška dobivaju se korištenjem sličnog umnoška redaka prve matrice sa stupcima druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (aij) veličina m× n matrica B = (bij) veličina n× str, tada dobivamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij se dobiva kao rezultat produkta elemenata ja redak matrice A na relevantnim elementima j-ti stupac matrice B i njihovo zbrajanje.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, kao rezultat dobivamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica uvijek se može pomnožiti sama sa sobom, tj. ugladiti se.

Drugi važan slučaj je množenje retka matrice sa stupcem matrice, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, kao rezultat dobivamo matricu prvog reda (tj. jedan element). Stvarno,

Primjeri.

Dakle, ovi jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se provjeriti da množenje matrice slijedi asocijativni i distributivni zakon, tj. (AB)C=A(BC) i (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti kod množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda, opet dobivamo matricu A, štoviše AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što je poznato, umnožak 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to ne mora biti slučaj, tj. umnožak 2 različite matrice može biti jednak nultoj matrici.

Na primjer, ako , onda

POJAM DETERMINACIJA

Neka je dana matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva retka i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara ovoj matrici je broj dobiven na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, trebate oduzeti umnožak elemenata duž druge dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara danoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 te svodi izračun determinante trećeg reda na izračun determinanti drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično se mogu uvesti pojmovi odrednica četvrtog, petog itd. reda, snižavajući njihov poredak širenjem preko elemenata 1. reda, dok se znakovi "+" i "-" za pojmove izmjenjuju.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.

Matrica dimenzija se naziva tablica brojeva koja sadrži retke i stupce. Brojevi se nazivaju elementi ove matrice, gdje je broj retka, broj stupca na čijem se sjecištu nalazi ovaj element. Matrica koja sadrži retke i stupce izgleda ovako: .

Vrste matrica:

1) u - kvadrat , i zovu matrični poredak ;

2) kvadratna matrica u kojoj su svi nedijagonalni elementi jednaki nuli

– dijagonala ;

3) dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki

jedinica - singl i označava se sa ;

4) na - pravokutan ;

5) at - matrica-red (vektor-red);

6) at - matrica-stupac (vektor-stupac);

7) za sve je nula matrica.

Imajte na umu da je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice njezina determinanta. Determinanta koja odgovara matrici th reda također ima th red.

Determinanta matrice 1. reda naziva se broj.

Determinanta matrice 2. reda nazvao broj . (1.1)

Determinanta matrice 3. reda nazvao broj . (1.2)

Navedimo definicije potrebne za daljnje izlaganje.

Maloljetna M i J element a i J matrice n- reda A naziva se determinanta matrice ( n-1)- red dobiven iz matrice A brisanjem ja-th line i j-ti stupac.

Algebarski komplement A i J element a i J matrice n- reda A naziva se minor ovog elementa, uzet sa predznakom .

Formulirajmo glavna svojstva determinanti koja su svojstvena determinantama svih redova i pojednostavimo njihov izračun.

1. Prilikom transponiranja matrice njena se determinanta ne mijenja.

2. Kada se dva retka (stupca) matrice zamijene, njena determinanta mijenja predznak.

3. Determinanta koja ima dva proporcionalna (jednaka) retka (stupca) jednaka je nuli.

4. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka (stupca) determinante može se izbaciti iz predznaka determinante.

5. Ako su elementi bilo kojeg retka (stupca) determinante zbroj dva člana, tada se determinanta može rastaviti na zbroj dviju odgovarajućih determinanti.

6. Determinanta se neće promijeniti ako se elementi bilo kojeg njezina retka (stupca) dodaju odgovarajućim elementima njezina drugoga retka (stupca), prethodno pomnoženim bilo kojim brojem.

7. Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg od njegovih redaka (stupaca) i algebarskih komplemenata tih elemenata.

Objasnimo ovo svojstvo na primjeru determinante 3. reda. U ovom slučaju svojstvo 7 znači da – proširenje determinante elementima 1. reda. Imajte na umu da je redak (stupac) u kojem ima nula elemenata odabran za proširenje, budući da članovi koji im odgovaraju u proširenju nestaju.

Svojstvo 7 je Laplaceov teorem o dekompoziciji determinante.

8. Zbroj umnoška elemenata bilo kojeg retka (stupca) determinante i algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata njezina drugog retka (stupca) jednak je nuli.

Potonje svojstvo često se naziva pseudodekompozicija determinante.

Pitanja za samoispitivanje.

1. Što se zove matrica?

2. Koja se matrica naziva kvadratnom? Što se podrazumijeva pod njegovim redoslijedom?

3. Koja se matrica naziva dijagonalom, identitetom?

4. Koja se matrica naziva matricom reda i matricom stupca?

5. Koja je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice?

6. Koji se broj naziva determinantom 1., 2. i 3. reda?

7. Što se naziva minor i algebarski komplement elementa matrice?

8. Koja su glavna svojstva determinanti?

9. Koje se svojstvo može koristiti za izračunavanje determinante bilo kojeg reda?

Matrix radnje(shema 2)

Na skupu matrica definiran je niz operacija, a glavne su sljedeće:

1) transpozicija – zamjena redaka matrice stupcima, a stupaca redovima;

2) množenje matrice brojem izvodi se element po element, tj , gdje , ;

3) zbrajanje matrica, definirano samo za matrice iste dimenzije;

4) množenje dviju matrica, definirano samo za konzistentne matrice.

Zbroj (razlika) dviju matrica zove se takva rezultirajuća matrica, čiji je svaki element jednak zbroju (razlici) odgovarajućih elemenata članova matrice.

Dvije matrice su tzv dogovoren ako je broj stupaca prvog jednak broju redaka drugog. Umnožak dviju konzistentnih matrica a tako dobivena matrica se naziva , što , (1.4)

gdje , . Slijedi da je element -tog retka i -tog stupca matrice jednak zbroju parnih umnožaka elemenata -tog retka matrice i elemenata -tog stupca matrice. matrica .

Umnožak matrica nije komutativan, tj. A . B B . A. Izuzetak je npr. umnožak kvadratnih matrica s identitetom A . E = E . ALI.

Primjer 1.1. Pomnožite matrice A i B ako:

Riješenje. Budući da su matrice konzistentne (broj stupaca matrice jednak je broju redaka matrice), koristimo formulu (1.4):

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koje se akcije izvode na matricama?

2. Kako se naziva zbroj (razlika) dviju matrica?

3. Kako se naziva umnožak dviju matrica?

Cramerova metoda za rješavanje kvadratnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi(shema 3)

Navedimo nekoliko potrebnih definicija.

Sustav linearnih jednadžbi naziva se heterogena , ako je barem jedan od njegovih slobodnih članova različit od nule, i homogena ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Rješavanje sustava jednadžbi naziva se uređeni skup brojeva koji, zamjenjujući varijable u sustavu, svaku od svojih jednadžbi pretvara u identitet.

Sustav jednadžbi naziva se spojnica ako ima barem jedno rješenje, i nekompatibilan ako nema rješenja.

Zglobni sustav jednadžbi naziva se određeni ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjestan ako ima više od jednog rješenja.

Razmotrimo nehomogeni kvadratni sustav linearnih algebarskih jednadžbi, koji ima sljedeći opći oblik:

. (1.5) Glavna matrica sustava linearna algebarska jednadžba naziva se matrica sastavljena od koeficijenata u nepoznanicama: .

Determinanta glavne matrice sustava naziva se glavna odrednica i označava se.

Pomoćna determinanta se dobiva iz glavne determinante zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova.

Teorem 1.1 (Cramerov teorem). Ako je glavna determinanta kvadratnog sustava linearnih algebarskih jednadžbi različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje izračunato po formulama:

Ako je glavna determinanta , tada sustav ili ima beskonačan skup rješenja (za sve nulte pomoćne determinante) ili uopće nema rješenja (ako se barem jedna od pomoćnih determinanti razlikuje od nule)

U svjetlu gornjih definicija, Cramerov teorem može se drugačije formulirati: ako je glavna determinanta sustava linearnih algebarskih jednadžbi različita od nule, tada je sustav zajednički definiran i, štoviše, ; ako je glavna determinanta nula, tada je sustav ili konzistentan neodređen (za sve ) ili nekonzistentan (ako je barem jedan različit od nule).

Nakon toga treba provjeriti dobivenu otopinu.

Primjer 1.2. Riješite sustav Cramerovom metodom

Riješenje. Budući da je glavna odrednica sustava

je različit od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje. Izračunajte pomoćne determinante

Koristimo Cramerove formule (1.6): , ,

Pitanja za samoispitivanje.

1. Što se naziva rješenjem sustava jednadžbi?

2. Koji sustav jednadžbi nazivamo kompatibilnim, nekompatibilnim?

3. Koji sustav jednadžbi nazivamo određenim, neodređenim?

4. Koja se matrica sustava jednadžbi naziva glavnom?

5. Kako izračunati pomoćne determinante sustava linearnih algebarskih jednadžbi?

6. Što je bit Cramerove metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi?

7. Što može biti sustav linearnih algebarskih jednadžbi ako mu je glavna determinanta jednaka nuli?

Rješavanje kvadratnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi metodom inverzne matrice(shema 4)

Matrica koja ima determinantu različitu od nule naziva se nedegeneriran ; ima determinantu jednaku nuli - degenerirati .

Matrica se naziva inverzna za zadanu kvadratnu matricu, ako se množenjem matrice s njezinim inverzom i s desne i s lijeve strane dobije matrica identiteta, tj. (1.7)

Uočimo da je u ovom slučaju umnožak matrica i komutativan.

Teorem 1.2. Nužan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice za zadanu kvadratnu matricu je razlika od nule determinante zadane matrice

Ako se pokazalo da je glavna matrica sustava degenerirana tijekom verifikacije, tada za nju ne postoji inverzna i metoda koja se razmatra ne može se primijeniti.

Ako je glavna matrica nesingularna, to jest, determinanta je 0, tada za nju možete pronaći inverznu matricu pomoću sljedećeg algoritma.

1. Izračunajte algebarske komplemente svih elemenata matrice.

2. Na transponiranu matricu ispišite pronađene algebarske dodatke.

3. Sastavite inverznu matricu prema formuli: (1.8)

4. Provjeriti ispravnost pronađene matrice A-1 prema formuli (1.7). Imajte na umu da se ova provjera može uključiti u završnu provjeru samog rješenja sustava.

Sustav (1.5) linearnih algebarskih jednadžbi može se prikazati kao matrična jednadžba: , gdje je glavna matrica sustava, je stupac nepoznanica, a je stupac slobodnih članova. Množimo ovu jednadžbu s lijeve strane s inverznom matricom, dobivamo:

Budući da prema definiciji inverzne matrice, jednadžba ima oblik ili . (1.9)

Dakle, da biste riješili kvadratni sustav linearnih algebarskih jednadžbi, trebate pomnožiti stupac slobodnih članova s lijeve strane s matricom inverznom za glavnu matricu sustava. Nakon toga treba provjeriti dobiveno rješenje.

Primjer 1.3. Riješite sustav metodom inverzne matrice

Riješenje. Izračunajte glavnu determinantu sustava

. Dakle, matrica je nesingularna i njena inverzna matrica postoji.

Nađite algebarske komplemente svih elemenata glavne matrice:

Zapisujemo algebarske dodatke transponirane u matricu

. Za pronalaženje rješenja sustava koristimo formule (1.8) i (1.9).

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koja se matrica naziva degenerirana, nedegenerirana?

2. Koja se matrica naziva inverznom za danu? Koji je uvjet za njegovo postojanje?

3. Koji je algoritam za pronalaženje inverzne matrice za zadanu?

4. Kojoj je matričnoj jednadžbi ekvivalentan sustav linearnih algebarskih jednadžbi?

5. Kako riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi korištenjem inverzne matrice za glavnu matricu sustava?

Proučavanje nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi(shema 5)

Proučavanje bilo kojeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi počinje transformacijom njegove proširene matrice Gaussovom metodom. Neka je dimenzija glavne matrice sustava .

Matrica nazvan produženi matrica sustava , ako uz koeficijente nepoznanica sadrži i stupac slobodnih članova. Stoga je dimenzija .

Gaussova metoda temelji se na elementarne transformacije , koji uključuju:

– permutacija redaka matrice;

– množenje redaka matrice brojem koji se razlikuje od upravljača;

– elementno zbrajanje redaka matrice;

- brisanje nulte linije;

– transpozicija matrice (u ovom slučaju transformacije se izvode po stupcima).

Elementarne transformacije dovode izvorni sustav u njemu ekvivalentan sustav. Sustavi nazivaju se ekvivalentima ako imaju isti skup rješenja.

Rang matrice je najviši red svojih minora različitih od nule. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.

Sljedeći teorem odgovara na pitanje ima li nehomogen sustav linearnih jednadžbi rješenja.

Teorem 1.3 (Kronecker-Capellijev teorem). Nehomogeni sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sustava jednak rangu njegove glavne matrice, tj.

Označimo broj redaka preostalih u matrici nakon Gaussove metode kao (odnosno, sustav ostaje jednadžbe). ove linije matrice se nazivaju Osnovni, temeljni .

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje (zajednički je definiran), njegova matrica se elementarnim transformacijama reducira na trokutasti oblik. Takav sustav može se riješiti Cramerovom metodom, korištenjem inverzne matrice ili univerzalnom Gaussovom metodom.

Ako je (broj varijabli u sustavu veći od jednadžbi), matrica se elementarnim transformacijama svodi na stepenasti oblik. Takav sustav ima mnogo rješenja i zajedno je neodređen. U ovom slučaju, za pronalaženje rješenja sustava potrebno je izvršiti niz operacija.

1. Ostavite u lijevom dijelu jednadžbi sustava nepoznanica ( bazne varijable ), premjestite preostale nepoznanice na desnu stranu ( slobodne varijable ). Nakon podjele varijabli na osnovne i slobodne, sustav poprima oblik:

. (1.10)

2. Od koeficijenata kod osnovnih varijabli napravite minor ( osnovni mol ), koja mora biti različita od nule.

3. Ako je osnovni minor sustava (1.10) jednak nuli, tada se jedna od osnovnih varijabli zamjenjuje slobodnom; provjeriti dobiveni minor baze za različit od nule.

4. Primjenom formula (1.6) Cramerove metode, smatrajući desne strane jednadžbi njihovim slobodnim članovima, naći izraz osnovnih varijabli preko slobodnih u općem obliku. Rezultirajući uređeni skup varijabli sustava je njegov zajedničko rješenje .

5. Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim varijablama u (1.10), izračunajte odgovarajuće vrijednosti osnovnih varijabli. Poziva se dobiveni uređeni skup vrijednosti svih varijabli privatna odluka sustavi koji odgovaraju zadanim vrijednostima slobodnih varijabli. Sustav ima beskonačan broj partikularnih rješenja.

6. Nabavite osnovno rješenje sustav je posebno rješenje dobiveno pri nultim vrijednostima slobodnih varijabli.

Uočimo da je broj baznih skupova varijabli sustava (1.10) jednak broju kombinacija elemenata po elementima. Kako svaki osnovni skup varijabli ima svoje osnovno rješenje, stoga i sustav ima osnovna rješenja.

Homogeni sustav jednadžbi je uvijek kompatibilan, jer ima barem jedno - nulto (trivijalno) rješenje. Da bi homogeni sustav linearnih jednadžbi s varijablama imao rješenja različita od nule, potrebno je i dovoljno da njegova glavna determinanta bude jednaka nuli. To znači da je rang njegove glavne matrice manji od broja nepoznanica. U tom se slučaju proučavanje homogenog sustava jednadžbi za opća i posebna rješenja provodi slično proučavanju nehomogenog sustava. Rješenja homogenog sustava jednadžbi imaju važno svojstvo: ako su poznata dva različita rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi, tada je i njihova linearna kombinacija rješenje tog sustava. Lako je provjeriti valjanost sljedećeg teorema.

Teorem 1.4. Opće rješenje nehomogenog sustava jednadžbi je zbroj općeg rješenja odgovarajućeg homogenog sustava i nekog partikularnog rješenja nehomogenog sustava jednadžbi

Primjer 1.4.

Istražite dati sustav i pronađite jedno određeno rješenje:

Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i na nju primijenimo elementarne transformacije:

. Kako je i , tada je prema teoremu 1.3 (Kronecker-Capelli) zadani sustav linearnih algebarskih jednadžbi kompatibilan. Broj varijabli , tj. , znači da je sustav neodređen. Broj baznih skupova varijabli sustava jednak je

. Prema tome, 6 skupova varijabli mogu biti osnovni: . Razmotrimo jedan od njih. Tada se sustav dobiven kao rezultat Gaussove metode može prepisati u obliku

. Glavna odrednica . Cramerovom metodom tražimo opće rješenje sustava. Pomoćne odrednice

Prema formulama (1.6) imamo

. Ovaj izraz osnovnih varijabli kroz slobodne je opće rješenje sustava:

Za specifične vrijednosti slobodnih varijabli iz općeg rješenja dobivamo partikularno rješenje sustava. Na primjer, određeno rješenje odgovara vrijednostima slobodnih varijabli . Za dobivamo osnovno rješenje sustava

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koji sustav jednadžbi nazivamo homogenim, nehomogenim?

2. Koja se matrica naziva proširenom?

3. Nabrojati osnovne elementarne transformacije matrica. Koja se metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi temelji na ovim transformacijama?

4. Što se naziva rang matrice? Na koji se način može izračunati?

5. Što kaže Kronecker-Capellijev teorem?

6. Na koji oblik se može svesti sustav linearnih algebarskih jednadžbi kao rezultat njegovog rješavanja Gaussovom metodom? Što to znači?

7. Koji se redovi matrice nazivaju osnovnim?

8. Koje varijable sustava nazivamo osnovnim, a koje slobodnim?

9. Koje rješenje nehomogenog sustava nazivamo privatnim?

10. Koje se rješenje naziva osnovnim? Koliko osnovnih rješenja ima nehomogeni sustav linearnih jednadžbi?

11. Koje rješenje nehomogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi nazivamo općim? Formulirajte teorem o općem rješenju nehomogenog sustava jednadžbi.

12. Koja su glavna svojstva rješenja homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi?

Dodjela usluge. Matrični kalkulator dizajniran za rješavanje matričnih izraza kao što su 3A-CB 2 ili A -1 +B T .

Uputa. Za online rješenje morate navesti matrični izraz. U drugoj fazi bit će potrebno razjasniti dimenzije matrica.

Važeće operacije: množenje (*), zbrajanje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1) , stepenovanje (A^2 , B^3), transpozicija matrice (A^T).

Važeće operacije: množenje (*), zbrajanje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1) , stepenovanje (A^2 , B^3), transpozicija matrice (A^T).
Za izvođenje popisa operacija upotrijebite razdjelnik točka-zarez (;). Na primjer, za izvođenje tri operacije:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
morat će se napisati ovako: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica je pravokutna numerička tablica s m redova i n stupaca, tako da se matrica može shematski prikazati kao pravokutnik.
Nulta matrica (nulta matrica) naziva se matrica čiji su svi elementi jednaki nuli i označavaju 0.
Matrica identiteta naziva se kvadratna matrica oblika

Dvije matrice A i B su jednake ako su iste veličine i ako su im odgovarajući elementi jednaki.
Singularna matrica naziva se matrica čija je determinanta jednaka nuli (Δ = 0).

Idemo definirati osnovne operacije na matricama.

Zbrajanje matrice

Definicija . Zbroj dviju matrica iste veličine je matrica istih dimenzija čiji se elementi nalaze prema formuli

. Označava se C = A+B.

Primjer 6 . .
Operacija zbrajanja matrice proširuje se na slučaj bilo kojeg broja članova. Očito je A+0=A.
Još jednom naglašavamo da se mogu dodavati samo matrice iste veličine; za matrice različitih veličina operacija zbrajanja nije definirana.

Oduzimanje matrice

Definicija . Razlika B-A matrica B i A iste veličine je matrica C takva da je A + C = B.

Množenje matrice

Definicija . Umnožak matrice s brojem α je matrica dobivena iz A množenjem svih njezinih elemenata s α, .
Definicija . Neka su zadane dvije matrice

i , a broj stupaca A jednak je broju redaka B. Umnožak A i B je matrica čiji se elementi nalaze formulom

.
Označava se C = A B.
Shematski, operacija množenja matrice može se prikazati na sljedeći način:

i pravilo za izračunavanje elementa u proizvodu:

Još jednom naglašavamo da umnožak A B ima smisla ako i samo ako je broj stupaca prvog faktora jednak broju redaka drugog, a u tom slučaju umnožak daje matricu čiji je broj redaka jednak broj redaka prvog faktora, a broj stupaca jednak je broju stupaca drugog. Rezultat množenja možete provjeriti putem posebnog online kalkulatora.

Primjer 7. Matrični podaci i . Nađite matrice C = A·B i D = B·A.
Riješenje. Prije svega, primijetite da proizvod A B postoji jer je broj stupaca u A jednak broju redaka u B.

Primijetimo da u općem slučaju A·B≠B·A , tj. umnožak matrica je antikomutativan.
Nađimo B·A (množenje je moguće).

Primjer 8. S obzirom na matricu . Pronađite 3A 2 - 2A.
Riješenje.

.
; .
.
Primjećujemo sljedeću zanimljivu činjenicu.
Kao što znate, umnožak dva broja različita od nule nije jednak nuli. Za matrice se takva okolnost možda neće dogoditi, to jest proizvod matrica različitih od nule može se pokazati jednakim matrici nula.

>> Matrice

4.1 Matrice. Matrične operacije

Pravokutna matrica veličine mxn je zbirka od mxn brojeva raspoređenih u pravokutnu tablicu koja sadrži m redaka i n stupaca. Zapisat ćemo to u obrazac

ili skraćeno A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j , nazivaju se njegovim elementima; prvi indeks pokazuje na broj retka, drugi indeks na broj stupca. A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine nazivamo jednakima ako su im elementi na istim mjestima po parovima jednaki, odnosno A = B ako je a i j = b i j .

Matrica koja se sastoji od jednog retka ili jednog stupca naziva se vektor -reda ili stupca. Vektori stupaca i vektori reda jednostavno se nazivaju vektori.

S tim se brojem poistovjećuje matrica koja se sastoji od jednog broja. A veličine mxn, čiji su svi elementi jednaki nuli, nazivamo nula i označavamo s 0. Elemente s istim indeksima nazivamo elementima glavne dijagonale. Ako je broj redaka jednak broju stupaca, tj. m = n, tada se kaže da je matrica kvadrat reda n. Kvadratne matrice u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule nazivaju se dijagonalne matrice i pišu se na sljedeći način:

Ako su svi elementi a i i dijagonale jednaki 1, tada se ona naziva jedinicom i označava se slovom E:

Kvadratna matrica naziva se trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija u kojoj se retci i stupci mijenjaju uz zadržavanje svojih brojeva. Transpozicija je označena slovom T na vrhu.

Ako u (4.1) retke presložimo stupcima, tada dobivamo

koji će biti transponiran u odnosu na A. Konkretno, transponiranje vektora stupca rezultira vektorom reda i obrnuto.

Umnožak A s brojem b je matrica čiji se elementi dobivaju iz odgovarajućih elemenata A množenjem s brojem b: b A = (b a i j).

Zbroj A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine je C = (c i j) iste veličine, čiji su elementi određeni formulom c i j = a i j + b i j .

Umnožak AB definiran je pod pretpostavkom da je broj stupaca u A jednak broju redaka u B.

Umnožak AB, gdje je A = (a i j) i B = (b j k), gdje je i = , j= , k= , dan u određenom redoslijedu AB, je C = (c i k), čiji su elementi određeni sljedeće pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Drugim riječima, element umnoška AB definiran je na sljedeći način: element i-tog retka i k-tog stupca C jednak je zbroju umnožaka elemenata i-tog retka A s odgovarajući elementi k-tog stupca B.

Primjer 2.1. Nađi umnožak od AB i .

Riješenje. Imamo: A veličine 2x3, B veličine 3x3, tada produkt AB = C postoji i elementi iz C su jednaki.

S 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, s 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, s 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, a proizvod BA ne postoji.

Primjer 2.2. U tablici je prikazan broj jedinica proizvoda koji se dnevno otpremaju iz mljekara 1 i 2 u trgovine M 1, M 2 i M 3, a dostava jedinice proizvodnje iz svake mljekare u trgovinu M 1 košta 50 den. jedinica, u trgovini M 2 - 70, au M 3 - 130 den. jedinice Izračunajte dnevne troškove prijevoza svake biljke.

mliječni proizvodi

Riješenje. Označimo s A matricu koja nam je dana u uvjetu, a s
B - matrica koja karakterizira trošak isporuke jedinice proizvodnje u trgovine, tj.

Tada će matrica troškova prijevoza izgledati ovako:

Dakle, prvi pogon troši 4750 den dnevno na transport. jedinice, drugi - 3680 den.un.

Primjer 2.3. Poduzeće za šivanje proizvodi zimske kapute, demi-sezonske kapute i kabanice. Planirani učinak za jedno desetljeće karakterizira vektor X = (10, 15, 23). Koriste se četiri vrste tkanina: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tablica prikazuje stope potrošnje tkanine (u metrima) za svaki proizvod. Vektor C = (40, 35, 24, 16) određuje cijenu metra tkanine svake vrste, a vektor P = (5, 3, 2, 2) - cijenu prijevoza metra tkanine svake vrste. tip.