Neka je X Banachov prostor, a A ograničen linearni operator, definiran na X, s rasponom u Banachovu prostoru Y. Neka su x OH i f OY*. Zatim se odredi vrijednost f(Ax), a nejednakosti | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Ove nejednakosti pokazuju da je linearni funkcional j(x), definiran s j(x) = f(Ax), ograničeni funkcional. Dakle, uz pomoć operatora A, svakom linearnom ograničenom funkcionalu f OY pridružuje se linearni kontinuirani funkcional j OH*. Promjenom elementa f dobit ćemo, općenito govoreći, različite elemente j; tako dobivamo operator

definiran na Y*, s rasponom u prostoru X*. Ovaj operator A* povezan je s operatorom A jednakošću (A*f)(x) = f(Ax). Ako primijenimo oznaku uvedenu u paragrafu 2 za linearni funkcional f(x) = (x, f), tada će veza između operatora izgledati simetrično:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Operator A* jednoznačno je određen formulom (1) i naziva se operatorom konjugiranim s operatorom A.

Doista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

tada, prema korolariji 4 iz Hahn-Banachovog teorema, slijedi da je A 1 *y= A*y za sve y, što znači da je A*=A 1 *.

Teorem 11. Adjungirani operator A* je linearan i .

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A*. Zaista, ako je y, z OY*, tada iz gornjeg zaključivanja slijedi da postoji jedinstveni element (y + z)* OX, takav da je (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) za sve x OX.

S druge strane, korištenjem formule (1) imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

oni. (y+z)* = A*x + A*y, odakle A*(y+z)=A*y+A*z. Time je dokazana aditivnost operatora A*. Ujednačenost je također lako provjeriti.

Za izračunavanje norme operatora A* provodimo procjene

Slijedi da je operator A* ograničen i .

Operator A*, zauzvrat, ima adjung – A**, definiran jednakošću sličnom (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

No, budući da je iz (2) A**x određeno jedinstveno za svaki xOH, tada iz usporedbe jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A**x, y) "hOH, "yOY.

Korolarom 4 iz Hahn-Banachovog teorema, potonji znači da je A**x=Ax za sve xÎX, tj. A**= A na prostoru X. Primjenom dokazane nejednakosti za normu adjungiranog operatora na A* i A** imamo , što daje traženu jednakost: . Teorem je dokazan.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banachovog prostora X u Banachov prostor Y, tada

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. Pod pretpostavkom X = Y vrijedi jednakost (AB)*=B*A*.

Dokaz. Gornja svojstva proizlaze iz sljedećih odnosa:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*) )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorem je dokazan.

Primjer 8. U prostoru L 2 promatramo Fredholmov integralni operator

s jezgrom koja ima integrabilni kvadrat. Imamo, koristeći Fubinijev teorem,

, Gdje

.

Dakle, prijelaz na konjugirani operator sastoji se u činjenici da se integracija provodi preko prve varijable. Dok se u izvornom operatoru provodi prema drugom.

Više o temi 6. Konjugirani operator. Uvjeti postojanja konjugiranog operatora. Zatvorenost adjungiranog operatora. Konjugirani operator s ograničenim operatorom i njegova norma:

1. 2. Schauderov teorem o potpunom kontinuitetu adjungiranog operatora. Jednadžbe prve i druge vrste s potpuno kontinuiranim operatorima. Teorem o zatvorenosti raspona vrijednosti operatora
2. 1. Linearni operatori u linearno normiranim prostorima. Ekvivalencija neprekidnosti i ograničenosti linearnog operatora. Pojam norme ograničenog operatora. Razne formule za izračunavanje normi. Primjeri linearnih ograničenih operatora.
3. 4. Operatorska jezgra. Kriterij ograničenosti inverznog operatora. Teoremi o inverznom operatoru
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova cjelovitost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholmovi i Hilbert-Schmidtovi operatori
7. 6. Operatorski graf i zatvoreni operatori. Kriterij zatvorenosti. Banachov teorem o zatvorenom grafu. Teorem o otvorenom preslikavanju

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezana uz koncept ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Najprije dokažemo sljedeće svojstvo: ako A I B – linijski operateri koji rade u n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , da ) = (x , Po ), x , g V, To A = B .

Zapravo, stavljanje u jednakost ( x , da ) = (x , Po ) Û ( x , (A – B )g ) = 0 vektor x = (A – B )g , dobivamo (( A –B )g , (A – B )g ) = ||(A – B )g || 2 = 0, g V, što je ekvivalentno jednakosti ( A – B )g = 0 , g V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * pozvani konjugirati operater A , Ako

(Sjekira , g ) = (x , A * g ), x , g V. (11.1)

Prirodno se postavlja pitanje: za dati operator, ne A konjugirati?

Teorem 11.1. Svaki linijski operater A ima jedan konjugirani operator A * .

Dokaz. Birajmo u prostoru V ortonormirana baza u 1 , u 2 ,…, u n. Svaki linijski operater A : V® V u ovoj osnovi matrica odgovara A = , ja, j = 1, 2,..., n. Neka je matrica dobivena iz matrice A transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B . Zatim

(Au j, u ja) = (A 1 ju 1 + A 2 ju 2 +…+ a nju n, u ja) = i ij;

(u j, Bu ja) = (u j, i ja 1 u 1 + i ja 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u ja) = (u j, Bu ja), ja, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Neka dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n I g = na 1 u 1 + na 2 u 2 +…+ y nu n– bilo koja dva vektora iz V. Razmotrimo skalarne produkte ( Sjekira , g ) i ( x , Po ):

(Sjekira , g ) = (Au j, u ja),

(x , Po ) = (u j, Bu ja).

Uspoređujući ove izraze uzimajući u obzir jednakost (11.2) i gore navedeno svojstvo, dobivamo jednakost ( Sjekira , g ) = (x , Po ), x , g V, tj. B = A * .

Dakle, dokazano je da za svaki linearni operator A u konačnodimenzionalnom euklidskom prostoru postoji njemu konjugiran operator A * , čija je matrica u bilo kojoj ortonormiranoj bazi transponirana u odnosu na matricu operatora A . Jedinstvenost operatora A * proizlazi iz definicije konjugiranog operatora i gore dokazanog svojstva.¨

Lako je provjeriti da operater A * konjugiran na linearni operator A , je linearan.

Dakle operater A * je linearan i ima odgovarajuću matricu A*. Stoga matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(Ax , g ) = (x , A * g ), x , g V.

Konjugirani operatori imaju sljedeća svojstva:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( A ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost svojstava 1°–5° proizlazi iz svojstava transpozicije matrice.

Provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka A –1 postoji. Zatim iz jednakosti A.A. –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da je ( A.A. –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( A.A. –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , tj. da ( A –1) * = (A *) -1. Odavde dobivamo još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1. Neka A – rotacija euklidske ravnine R 2 po kutu j s matricom

u ortonormalnoj bazi ja , j . Tada je matrica adjungiranog operatora u ovoj bazi

= .

Stoga, A * – zakret ravnine za kut j u suprotnom smjeru.·

Element koji nije nula x G V naziva se svojstvenim elementom linearnog operatora A: V V ako postoji broj A - svojstvena vrijednost linearnog operatora A takav da Primjer 1. Svaki polinom nultog stupnja je svojstveni element operatora diferenciranja, odgovarajuća svojstvena vrijednost jednaka je nuli: Primjer 2. Operator diferenciranja Svojstvene vrijednosti I vlastite elemente. Konjugirani operator. nema svoje elemente. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t nakon diferencijacije postane proporcionalan: To znači da ili, što je isto, Zadnja jednakost je zadovoljena ako i samo ako iz nje slijedi da je a = p = 0 i, To znači da je polinom može biti samo nula. Teorem 6. Realni broj A je svojstvena vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je taj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x(A) = 0. Nužnost. Neka je A svojstvena vrijednost operatora A. Tada postoji element x različit od nule za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u obliku ekvivalentne matrice ili, što je isto, A budući da je x pravi element, slijedi da njegov koordinatni stupac x(c) nije nula. To znači da linearni sustav (1) ima rješenje različito od nule. Potonje je moguće samo pod uvjetom ili, što je isto, dostatnosti. Način da izgradite vlastiti element. Neka je korijen polinoma A. Promotrimo homogeni linearni sustav s matricom A(c) - AI: Zbog uvjeta (2) ovaj sustav ima rješenje različito od nule. Konstruirajmo element x prema pravilu: Koordinatni stupac x(c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također isto. Potonje je ekvivalentno činjenici da je ili, detaljnije, Dakle, x je svojstveni element linearnog operatora A, a A je odgovarajuća svojstvena vrijednost. Komentar. Da bi se pronašli svi svojstveni elementi koji odgovaraju zadanoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sustava (3). Primjer 1. Odrediti vlastite vektore linearnog operatora koji djeluje prema pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo djelovanje linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo. Zapišimo matricu operatora: Svojstvene vrijednosti i svojstvene elemente. Konjugirani operator. Konstruirajmo karakteristični polinom i pronađimo mu korijene. Imamo Konstruirajmo homogene linearni sustavi s matricama: Dobivamo, odnosno: Nađimo temeljne sustave rješenja za svaki od ovih sustava. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k sa svojstvenom vrijednošću 0 i bilo koji vektor sa svojstvenom vrijednošću Primjer 2. Nađite svojstvene elemente operatora linearne diferencijacije V koji djeluje u prostoru Afj polinoma najvišeg stupnja dva: Matrica D zadanog operatora u bazi I, t, O ima oblik karakterističnog polinoma -A3 ima točno jedan korijen A = 0. Rješenje sustava je skup 1,0,0, koji odgovara polinomu nultog stupnja. §5. Konjugirani operator U euklidskom prostoru nad linearnim operatorima može se uvesti jedna radnja - operacija konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; Još jedan linearni operator konjugiran s ovim je prirodno pridružen. Definicija. Za linearni operator (čitaj: “a sa zvjezdicom”) kaže se da je konjugiran linearnom operatoru A: V -* V ako za bilo koje elemente x i y iz prostora V vrijedi jednakost Linearni operator A*, konjugiran ovom operateru Ah, uvijek postoji. Neka je c = (et,..., en) ortobaza prostora V i A = A(c) = (o^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, tj. izravnim izračunima možemo provjeriti da je za linearni operator A": V -" V, određen pravilom, jednakost (1) zadovoljena za bilo koji x i y. Podsjetimo se da je prema teoremu 1, da bi se konstruirao linearni operator, dovoljno specificirati njegovo djelovanje na osnovnim elementima Primjer Uvedimo u linearni prostor M\ polinoma s realnim koeficijentima stupnja ne većim od prve operacije skalarnog množenja s sljedeće pravilo. Pretpostavimo stoga da je M\ dvodimenzionalni euklidski prostor. Neka je V: M\ - M\ operator diferenciranja: V(a + d»f) = b. Konstruirajmo konjugirani operator. Matrica operatora V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica konjugiranog operatora V, koja djeluje prema pravilu: Za proizvoljan polinom dobivamo Svojstva operacije konjugacije 1. Za svaki linearni operator postoji točno jedan operator koji mu je konjugiran. Neka su B i C operatori konjugirani s danim operatorom A. To znači da za bilo koje elemente x i y iz prostora V vrijede jednakosti. Iz toga slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Konjugirani operator. i, nadalje, Zbog proizvoljnosti izbora elementa x, zaključujemo da je element Wu-Su ortogonalan na bilo koji element prostora V, a posebno na samog sebe. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobivamo B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, gdje je a proizvoljan realan broj. Neka su A:V -+ V i B:V -+ V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti adjungiranog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V -» V bili medusobno konjugirani, t j . ispunjene jednakosti B = A", A = B* potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A(c) i B = B(c) dobiju jedna iz druge transpozicijom. Napomena: Naglašavamo da je svojstvo 6. vrijedi samo za matricu konstruiranu u ortonormiranoj bazi. Za proizvoljnu bazu ne vrijedi 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, tada je i njemu konjugiran operator A* također nedegeneriran i vrijedi jednakost

Inverzni operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P, neka je A operator (ne nužno linearan) koji djeluje u V.

Definicija. Operator A se naziva invertibilnim ako postoji operator B koji djeluje u V tako da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uvjet BA = AB = I nazivamo inverznim A i označavamo.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uvjet A = A = I. Za invertibilni operator A, jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Doista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Ako je y = x, tada

Ax = A(y) = (A)y = Iy = y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, tada je i njegov inverzni operator također linearan.

Dokaz. Neka je A invertibilni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P; neka je A operator inverzan A. Uzmimo proizvoljne vektore i brojeve. Postavimo . Tada je A=, A=. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobivamo:

= = ,

Odnosno, operator je linearan.

Konjugirani linearni operator

Neka su dana dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A*, koji djeluje od Y do X, naziva se konjugiranim u odnosu na operator A, koji djeluje od X do Y, ako za bilo koje vektore hH, yY vrijedi jednakost

(Ax, y) = (x, A*y). (1)

Teorema. Za svaki linearni operator A postoji adjungirani operator A*, i to samo jedan.

Dokaz. Odaberimo neku ortonormiranu bazu u X. Za svaki vektor xX imamo ekspanziju

Ako operator A* postoji, tada, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A* postoji, onda je on jedini.

Ovako konstruiran operator A* je linearan. Također zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A*y). Doista, uzimajući u obzir ortonormiranost sustava i uzimajući u obzir (1), (2), dobivamo za bilo koje vektore hH, yY

(Ah, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =

Teorem je dokazan.

Konjugirani operator A* povezan je s operatorom A određenim relacijama. Napomenimo neke od njih:

Dokaz. Promotrimo proizvoljni operator A i njegov konjugirani operator A*. S druge strane, za operator A* konjugiran će biti operator (A*)*. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A*)*x) = (A*y,x) == = (y,Ax).