Neka je X Banachov prostor i A ograničeni linearni operator definiran na X s rasponom u Banahovom prostoru Y. Neka je x ÎX i f ÎY *. Tada je definirana vrijednost f (Ax), a nejednadžbe | f (Sjekira) | £ || f ||? || Sjekira || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Ove nejednadžbe pokazuju da je linearni funkcional j (x) definiran jednakošću j (x) = f (Ax) ograničeni funkcional. Dakle, svakom linearnom ograničenom funkcionalu f ÎY uz pomoć operatora A pridružuje se linearni kontinuirani funkcional j ÎX *. Promjenom elementa f dobit ćemo, općenito govoreći, različitih elemenata j; tako dobivamo operator

definiran na Y *, s rasponom u X * prostoru. Ovaj operator A * povezan je s operatorom A jednakošću (A * f) (x) = f (Ax). Ako primijenimo notaciju uvedenu u odjeljku 2 za linearni funkcional f (x) = (x, f), tada će veza između operatora izgledati simetrično:

(Ax, f) = (x, A * f). (jedan)

Operator A * jednoznačno je određen formulom (1) i naziva se operator konjugiran s operatorom A.

Doista, ako za sve x i y vrijede jednakosti

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

onda iz korolarije 4 iz Hahn-Banachovog teorema slijedi da je A 1 * y = A * y za sve y, što znači da je A * = A 1 *.

Teorem 11. Pridruženi operator A * je linearan i.

Dokaz. Dokažimo aditivnost operatora A *. Doista, ako je y, z ÎY *, onda gornje obrazloženje implicira postojanje jedinstvenog elementa (y + z) * ÎX takvog da je (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) za sve x ÎX.

S druge strane, koristeći formulu (1), imamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

oni. (y + z) * = A * x + A * y, odakle je A * (y + z) = A * y + A * z. To dokazuje aditivnost operatora A *. Ujednačenost se također lako provjerava.

Da bismo izračunali normu operatora A *, procjenjujemo

Iz toga slijedi da je operator A * ograničen i.

Operator A *, zauzvrat, ima konjugat - A **, definiran jednakošću sličnom (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

No, budući da je iz (2) A ** x jednoznačno određen za svaki xÎH, iz usporedbe jednakosti (1) i (2) slijedi da

(Ax, y) = (A ** x, y) "xÎX," yÎY.

Na temelju posljedica 4 Hahn-Banachovog teorema, potonji znači da je A ** x = Ax za sve xÎX, tj. A ** = A na prostoru X. Primjenjujući dokazanu nejednakost za normu pridruženog operatora na A * i A **, imamo , što daje traženu jednakost:. Teorem je dokazan.

Teorema. 12. Ako su A i B linearni ograničeni operatori iz Banahovog prostora X u Banahov prostor Y, tada

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λA) * = λA *

3. Pod pretpostavkom X = Y, jednakost (AB) * = B * A * vrijedi.

Dokaz. Gornja svojstva proizlaze iz sljedećih odnosa:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B * ) y);

2. ((λA) x, y) = λ (Ax, y) = λ (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Teorem je dokazan.

Primjer 8. U prostoru L2 razmotrimo Fredholmov integralni operator

s jezgrom s integrabilnim kvadratom. Imamo, koristeći Fubinijev teorem,

, gdje

.

Dakle, prijelaz na pridruženi operator je da se integracija provodi preko prve varijable. Dok u izvornom operatoru slijedi drugi.

Više o temi 6. Konjugirani operator. Uvjeti postojanja pridruženog operatora. Zatvorenost pridruženog operatora. Adjugentni operator ograničenom operatoru i njegovoj normi .:

1. 2. Schauderov teorem o potpunom kontinuitetu pridruženog operatora. Jednadžbe prve i druge vrste s potpuno kontinuiranim operatorima. Teorem o zatvorenosti raspona vrijednosti operatora
2. 1. Linearni operatori u normiranim linearnim prostorima. Ekvivalencija kontinuiteta i ograničenosti linearnog operatora. Pojam norme ograničenog operatora. Razne formule za izračun normi. Primjeri linearno ograničenih operatora.
3. 4. Jezgra operatera. Kriterij omeđenosti za inverzni operator. Teoremi inverznog operatora
4. 2. Prostor linearnih kontinuiranih operatora i njegova kompletnost s obzirom na uniformnu konvergenciju operatora
5. 5. Primjeri inverznih operatora. Invertibilnost operatora oblika (I - A) i (A - C).
6. 1. Potpuno kontinuirani operatori i njihova svojstva. Fredholm i Hilbert-Schmidt operatori
7. 6. Operatorski graf i zatvoreni operatori. Kriterij zatvaranja. Banachov teorem o zatvorenom grafu. Teorem otvorenog preslikavanja

Element različit od nule x GV naziva se vlastita vrijednost linearnog operatora A: VV ako postoji takav broj A - vlastita vrijednost linearnog operatora A takva da je Primjer 1. Svaki polinom nultog stupnja je vlastita vrijednost operatora diferencijacije; odgovarajuća svojstvena vrijednost je nula: Primjer 2. Operator diferencijacije Vlastite vrijednosti i vlastitih elemenata... Konjugirani operator. nema vlastitih elemenata. Neka neki trigonometrijski polinom a cos t + 0 sin t nakon diferencijacije postane proporcionalan: To znači da ili, što je isto, Posljednja jednakost vrijedi ako i samo ako iz toga slijedi da je a = p = 0 i, stoga, polinom može samo biti nula. Teorem 6. Realni broj A je vlastita vrijednost linearnog operatora A ako i samo ako je taj broj korijen njegovog karakterističnog polinoma: x (A) = 0. Nužnost. Neka je A vlastita vrijednost operatora A. Tada postoji element x koji nije nula za koji je Ax = Ax. Neka bude osnova prostora. Tada se posljednja jednakost može prepisati u ekvivalentnom matričnom obliku ili, što je isto, A ovo, da je x pravi element, slijedi da je njegov koordinatni stupac x (c) različit od nule. To znači da linearni sustav (1) ima rješenje različito od nule. Potonje je moguće samo pod uvjetom ili, što je isto, Dostatnost. Način za izgradnju vlastitog elementa. Neka je A korijen polinoma. Razmotrimo homogeni linearni sustav s matricom A (c) - AI: Prema uvjetu (2), ovaj sustav ima rješenje različito od nule. Konstruirajmo element x prema pravilu Koordinatni stupac x (c) ovog elementa zadovoljava uvjet ili, što je također, potonji je ekvivalent činjenici da je ili, detaljnije, Prema tome, x je vlastita vrijednost linearni operator A, a A je njegova odgovarajuća vlastita vrijednost. Komentar. Da bismo pronašli sve svojstvene vrijednosti koje odgovaraju zadanoj svojstvenoj vrijednosti A, potrebno je konstruirati FSR sustava (3). Primjer 1. Odrediti svojstvene vektore linearnog operatora koji djeluje prema pravilu (operator projekcije) (slika 6). M Razmotrimo djelovanje linearnog operatora P na bazne vektore. Imamo Napišimo matricu operatora: Vlastite vrijednosti i svojstvene vrijednosti. Konjugirani operator. konstruiramo karakterističan polinom i pronalazimo njegove korijene. Imamo Construct homogene linearni sustavi s matricama: Dobivamo, odnosno: Nalazimo temeljne sustave rješenja za svaki od ovih sustava. Imamo 1 Dakle, svojstveni vektori ovog operatora projekcije su: vektor k s vlastitom vrijednošću 0 i bilo koji vektor s vlastitom vrijednošću Primjer 2. Pronađite vlastite vrijednosti linearnog diferencirajućeg operatora V koji djeluje u prostoru Afj polinoma stupnja najviše dva: Matrica D danog operatora u bazi I, t, O ima oblik karakterističan polinom -A3 ima točno jedan korijen A = 0. Rješenje sustava je skup 1,0,0, što odgovara na polinom nultog stupnja. §5. Konjugirani operator U euklidskom prostoru nad linearnim operatorima možemo uvesti jednu radnju - operaciju konjugacije. Neka je V n-dimenzionalni euklidski prostor. Sa svakim linearnim operatorom koji djeluje u ovom prostoru; drugi linearni operator konjugiran s danim je prirodno povezan. Definicija. Linearni operator (čitaj: "i sa zvjezdicom") naziva se konjugat linearni operator A: V - * V ako za bilo koje elemente x i y iz prostora V vrijedi jednakost. Linearni operator A *, konjugiran ovog operatera Ah, uvijek postoji. Neka je c = (et, ..., en) ortobaza prostora V i neka je A = A (c) = (o ^) matrica linearnog operatora A u ovoj bazi, odnosno izravnim proračunima može se provjeriti da je za linearnog operatora A": V -» V, definiranog pravilom, jednakost (1) zadovoljena za bilo koje i y. Podsjetimo da je, prema teoremu 1, da bi se konstruirao linearni operator, potrebno dovoljno da specificira svoje djelovanje na osnovne elemente.Primjer. linearni prostor M \ polinomi s realnim koeficijentima stupnja najviše prva operacija skalarnog množenja s obzirom na slijedeće pravilo... Recimo Dakle, M \ je dvodimenzionalni euklidski prostor. Neka je V: M \ - M \ operator diferencijacije: V (a + d »f) = b. Konstruirajmo pridruženi operator. Matrica operatora V u ovoj bazi ima oblik. Tada je matrica adjugantnog operatora V, koja djeluje prema pravilu: Za proizvoljni polinom dobivamo Svojstva operacije konjugacije 1. Za svaki linearni operator postoji operator koji mu je točno pridružen. Neka su B i C operatori konjugirani danom operatoru A. To znači da za sve elemente x i y iz prostora V vrijede jednakosti. Otuda slijedi da su svojstvene vrijednosti i svojstveni elementi. Konjugirani operator. i, nadalje, proizvoljnošću izbora elementa x zaključujemo da je element Vu-Su ortogonan na bilo koji element prostora V, a posebno na sebe. Potonje je moguće samo u slučaju kada je By - Cy = 0 i, prema tome, By = C y. Zbog činjenice da je y proizvoljan element, dobivamo B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, gdje je a proizvoljan realni broj. Neka su A: V - + V i B: V - + V linearni operatori. Tada svojstva 2-5 lako slijede iz jedinstvenosti pridruženog operatora. 6. Neka je c ortobaza prostora V. Da bi operatori A: V V i B: V - »V bili međusobno konjugirani, tj. jednakosti B = A ", A = B * su zadovoljene, potrebno je i dovoljno da se njihove matrice A = A (c) i B = B (c) dobiju jedna od druge transpozicijom. Napomena. Naglašavamo da je svojstvo 6 vrijedi samo za matricu, 7. Ako je linearni operator A nedegeneriran, tada je i operator A * konjugiran s njim također nedegeneriran i jednakost

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Opći linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$- linearni prostori, i $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$ su konjugirani linearni prostori (prostori linearnih funkcionala definirani na $E,\; \backslash ,\; L$). Zatim za bilo koji linearni operator $A\; \backslash \; dvotočka\; E\; \backslash \; do\; L$ i svaki linearni funkcionalni $g\; \backslash \; u\; L\; ^\; *$ definiran je linearni funkcional $f\; \backslash \; u\; E\; ^\; *$- superpozicija $g$ i $A$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... Prikaz $g\; \backslash \; mapsto\; f$ naziva se pridruženi linearni operator i označava se $A\; ^\; *\; \backslash \; dvotočka\; L\; ^\; *\; \backslash \; do\; E\; ^\; *$.

Ukratko, dakle $(A\; ^\; *\; g,\; x)\; =\; (g,\; Ax)$, gdje $(B,\; x)$- funkcionalno djelovanje $B$ po vektoru $x$.

Topološki linearni prostor

Neka $E,\; \backslash ,\; L$ su topološki linearni prostori, i $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$- konjugirani topološki linearni prostori (prostori stalan linearne funkcionalnosti definirane na $E,\; \backslash ,\; L$). Za bilo koji kontinuirani linearni operator $A\; \backslash \; dvotočka\; E\; \backslash \; do\; L$ i svaki kontinuirani linearni funkcional $g\; \backslash \; u\; L\; ^\; *$ definiran je kontinuirani linearni funkcional $f\; \backslash \; u\; E\; ^\; *$- superpozicija $g$ i $A$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... Lako je provjeriti da li je mapiranje $g\; \backslash \; mapsto\; f$ linearno i kontinuirano. Zove se pridruženi operator i također se označava $A\; ^\; *\; \backslash \; dvotočka\; L\; ^\; *\; \backslash \; do\; E\; ^\; *$.

Banachov prostor

Neka $A\; \backslash \; dvotočka\; X\; \backslash \; do\; Y$ je kontinuirani linearni operator koji djeluje iz Banachovog prostora $x$ u Banachov prostor $Y$ Pusti to $X\; ^\; *,\; Y\; ^\; *$- konjugirani prostori. Označavamo $\backslash \; za\; sve\; x\; \backslash \; u\; X,\; f\; \backslash \; u\; Y\; ^\; *\; =\; f\; (Ax)$... Ako $f$- popravljeno, dakle $$ je linearni kontinuirani funkcional u $X,\; \backslash \; u\; X\; ^\; *$... Dakle, za $\backslash \; za\; sve\; f\; \backslash \; u\; Y\; ^\; *$ linearni kontinuirani funkcional iz $X\; ^\; *$, stoga je operator definiran $A\; ^\; *\; \backslash \; dvotočka\; Y\; ^\; *\; \backslash \; do\; X\; ^\; *$ takav da $=$.

$A\; ^\; *$ pozvao konjugirani operator... Slično, može se definirati pridruženi operator linearnom neograničenom operatoru, ali on neće biti definiran na cijelom prostoru.

Za $A\; ^\; *$ sljedeća svojstva su istinita:

• Operater $A\; ^\; *$- linearni.
• Ako $A$ je dakle kontinuirani linearni operator $A\; ^\; *$ također linearni kontinuirani operator.
• Neka $O$ je nulti operator, i $E$- jedan operater. Zatim $O\; ^\; *\; =\; O,\; E\; ^\; *\; =\; E$.
• $(A\; +\; B)\; ^\; *\; =\; A\; ^\; *\; +\; B\; ^\; *$.
• $\backslash \; forall\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; C,\; (\backslash \; alpha\; A)\; ^\; *\; =\; \backslash \; bar\; (\backslash \; alpha)\; A\; ^\; *$.
• $(AB)\; ^\; *\; =\; B\; ^\; *\; A\; ^\; *$.
• $(A\; ^\; (-\; 1))\; ^\; *\; =\; (A\; ^\; *)\; ^\; (-\; 1)$.

Hilbertov prostor

U Hilbertovom prostoru $H$ Rieszov teorem identificira prostor s njegovim dualom, dakle, za operator $A\; \backslash \; dvotočka\; H\; \backslash \; do\; H$ jednakost $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A\; ^\; *\; y)$ definira pridruženi operator $A\; ^\; *\; \backslash \; dvotočka\; H\; \backslash \; do\; H$... Ovdje $(x,\; y)$- točkasti proizvod u prostoru $H$.

vidi također

Napišite recenziju na članak "Konjugirani operator"

Bilješke (uredi)

Književnost

• Schaefer H. Topološki vektorski prostori. - M .: Mir, 1971.
• Vorovič I.I. , Lebedev L.P. Funkcionalna analiza i njegove primjene u mehanici kontinuuma. - M .: Sveučilišna knjiga,. - 320 str.
• Trenogin V.A. Funkcionalna analiza. - M .: Znanost,. - 495 str.
• Funkcionalna analiza / urednik S.G. Kerin. - 2., revidiran i proširen. - M .: Znanost,. - 544 str. - (Matematička referentna knjižnica).
• Halmos P. Konačnodimenzionalni vektorski prostori. - M .: Fizmatgiz,. - 264 str.
• Shilov G.E. Matematička analiza(funkcije jedne varijable), dio 3. - M.: Znanost,. - 352 str.

Izvod koji karakterizira konjugirani operator

Ađutanti su galopirali ispred njega u dvorište. Kutuzov je, nestrpljivo gurajući svog konja, hodajući pod njegovom težinom, i neprestano kimajući glavom, stavio ruku na nevolju kape konjaničke garde (s crvenom trakom i bez vizira) koja je bila na njemu. Približivši se počasnoj gardi hrabrih grenadira, većinom kavalira koji su mu salutirali, šutke ih je minutu gledao tvrdoglavim zapovjedničkim pogledom i okrenuo se prema gomili generala i časnika koji su stajali oko njega. Lice mu je odjednom poprimilo nježan izraz; slegnuo je ramenima s gestom zbunjenosti.
- A s takvim finim momcima sve za povlačenje i povlačenje! - On je rekao. "Pa, zbogom, generale", dodao je i povukao konja kroz kapiju, pokraj kneza Andreja i Denisova.
- Ura! Ura! Ura! - viknu iza njega.
Otkako ga princ Andrej nije vidio, Kutuzov se udebljao, mlohav i natekao od masti. Ali poznato bijelo oko, i rana, i izraz umora na njegovom licu i figuri bili su isti. Bio je odjeven u uniformu fraku (na tankom pojasu visio mu je bič preko ramena) i u bijelu konjičku kapu. On je, jako raširen i njišući se, sjedio na svom skakućem konju.
- Fju ... fju ... fju ... - zazviždao je gotovo čujno ulazeći u dvorište. Njegovo lice izražavalo je radost smirivanja čovjeka koji se namjerava odmoriti nakon misije. Izvukao je lijevu nogu iz stremena, pavši cijelim tijelom i grimaseći od napora, s mukom je donio na sedlo, oslonio se na koljeno, zagunđao i spustio se u naručje kozacima i pobočnikima koji su ga podržavali.
Oporavio se, pogledao oko sebe suženih očiju i, bacivši pogled na princa Andreja, očito ga ne prepoznajući, svojim ronilačkim hodom otišao do trijema.
- Fyu ... fyu ... fyu, - zazviždao je i ponovno se osvrnuo na princa Andreja. Dojam lica princa Andreja tek nakon nekoliko sekundi (kao što je često slučaj kod starih ljudi) povezivao se s sjećanjem na njegovu osobnost.
“I, zdravo, prinče, zdravo, draga, idemo…” rekao je umorno, osvrćući se oko sebe i snažno ušao u trijem škripući pod njegovom težinom. Otkopčao je i sjeo na klupu na trijemu.
- Pa, što je s ocem?
"Jučer sam dobio vijest o njegovoj smrti", kratko je rekao princ Andrej.
Kutuzov je uplašeno otvorenih očiju pogledao kneza Andreja, a zatim skinuo kapu i prekrižio se: „Kraljevstvo mu nebesko! Božja volja nad svima nama! ” Uzdahnuo je teško, svim grudima i šutio. – Voljela sam ga i poštovala i suosjećam s tobom svim srcem. Zagrlio je princa Andriju, pritisnuo ga na svoja debela prsa i dugo ga nije puštao. Kad ga je pustio, princ Andrej je vidio da Kutuzovljeve zamućene usne drhte i da su mu u očima bile suze. Uzdahnuo je i objema rukama uhvatio klupu kako bi ustao.
“Dođi, dođi k meni, razgovarat ćemo”, rekao je; ali u to vrijeme Denisov, koji se jednako malo plašio svojih nadređenih kao i neprijatelja, unatoč tome što su ga ađutanti na trijemu ljutitim šapatom zaustavili, hrabro, udarajući ostrugama po stepenicama, ušao je na trijem. . Kutuzov je, ostavljajući ruke na klupi, s nezadovoljstvom pogledao Denisova. Denisov je, predstavivši se, objavio da mora obavijestiti svoje gospodstvo o stvari od velike važnosti za dobro domovine. Kutuzov je umornim pogledom počeo gledati Denisova i dosadnom kretnjom, uzevši ga za ruke i sklopivši ih na trbuhu, ponovio: „Za dobro domovine? Što je? Govori." Denisov je pocrvenio kao djevojka (bilo je tako čudno vidjeti boju na ovom brkatom, starom i pijanom licu) i hrabro je počeo iznositi svoj plan za presjecanje neprijateljske operativne linije između Smolenska i Vjazme. Denisov je živio u ovim krajevima i dobro je poznavao to područje. Njegov se plan činio nedvojbeno dobrim, posebno zbog snage uvjerenja koja je bila u njegovim riječima. Kutuzov je pogledao u svoja stopala i povremeno se osvrnuo na dvorište susjedne kolibe, kao da odatle očekuje nešto neugodno. Iz kolibe, u koju je gledao, doista, tijekom Denisovljeva govora, pojavio se general s aktovkom ispod ruke.
- Što? - rekao je Kutuzov usred izlaganja Denisova. - Spreman?
"Spremni, vaša milosti", rekao je general. Kutuzov je odmahnuo glavom, kao da govori: "Kako jedan čovjek može uspjeti sve ovo", i nastavio slušati Denisova.
„Dajem poštenu plemenitu riječ časnika guss“, rekao je Denisov, „da sam ja bog Napoleonove poruke.

Inverzni operator

Neka je V linearni prostor nad poljem P, A operator (ne nužno linearan) koji djeluje u V.

Definicija. Operator A nazivamo inverzibilnim ako postoji operator B koji djeluje u V tako da je BA = AB = I.

Definicija. Operator B koji zadovoljava uvjet BA = AB = I naziva se inverznim prema A i označava se.

Dakle, operator inverzan operatoru A zadovoljava uvjet A = A = I. Za inverzibilni operator A, jednakosti Ax = y i y = x su ekvivalentne. Doista, neka je Ax = y, tada je y = (Ax) = (A) x = Ix = x.

Ako je y = x, onda

Ax = A (y) = (A) y = Iy = y.

Teorema. Ako je linearni operator invertibilan, onda je i njegov inverzni operator linearan.

Dokaz. Neka je A invertibilni linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru V nad poljem P, operator inverzan A. Uzmite proizvoljne vektore i brojeve. Tada je A =, A =. Zbog linearnosti operatora A

Odavde dobijamo:

= = ,

To jest, operator je linearan.

Konjugirani linearni operator

Neka su dana dva unitarna prostora X, Y.

Definicija. Operator A * koji djeluje od Y do X naziva se konjugiranim u odnosu na operator A koji djeluje od X do Y ako je za bilo koji vektor xX, yY jednakost

(Ax, y) = (x, A * y). (jedan)

Teorema. Za bilo koji linearni operator A postoji pridruženi operator A *, i štoviše, samo jedan.

Dokaz. Odaberimo neku ortonormalnu bazu u X. Za bilo koji vektor xX, dekompozicija

Ako operator A * postoji, onda, prema ovoj formuli, za bilo koji vektor yY imamo

Ili po definiciji

Ali to znači da ako operator A * postoji, onda je jedini.

Ovako konstruiran operator A * je linearan. Također zadovoljava jednakost (Ax, y) = (x, A * y). Doista, uzimajući u obzir ortonormalnost sustava i uzimajući u obzir (1), (2), dobivamo za sve vektore xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A * y) = (A) =

Teorem je dokazan.

Pridruženi operator A * povezan je s operatorom A određenim relacijama. Napomenimo neke od njih:

Dokaz. Razmotrimo proizvoljni operator A i njegov konjugirani operator A *. Zauzvrat, operator (A *) * će biti konjugiran za operator A *. Sada za bilo koje xX, yY koje imamo

(y, (A *) * x) = (A * y, x) == = (y, Ax).

Proučimo dodatna svojstva linearnih operatora vezana uz pojam ortogonalnosti u euklidskom prostoru. Prvo dokazujemo sljedeće svojstvo: ako A i B - linearni operatori koji djeluju u n-dimenzionalni euklidski prostor V, i ( x , Ay ) = (x , Po ), x , y V, onda A = B .

Doista, stavljajući u jednakost ( x , Ay ) = (x , Po ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , dobivamo (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, što je ekvivalentno jednakosti ( A – B )y = 0 , y V, tj. A – B = O , ili A = B .

Definicija 11.1. Linearni operator A * nazvao konjugirati operater A , ako

(Sjekira , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Postavlja se prirodno pitanje: postoji li za dati operator A konjugirati?

Teorem 11.1. Svaki linearni operator A ima jedan pridruženi operator A * .

Dokaz. Birajmo u svemiru V ortonormalna baza u 1 , u 2 ,…, u n... Svakom linearnom operatoru A : V® V u ovoj bazi odgovara matrica A = , i, j = 1, 2,..., n... Neka je matrica dobivena iz matrice A transpozicija. Odgovara linearnom operatoru B ... Zatim

(Au j, u i) = (a 1 ju 1 + a 2 ju 2 +…+ i nju n, u i) = i ij;

(u j, Bu i) = (u j, i ja 1 u 1 + i ja 2 u 2 +…+ i uu n) = i ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Pustite dalje x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n i y = na 1 u 1 + na 2 u 2 +…+ kod nu n- bilo koja dva vektora iz V... Razmotrimo točkaste produkte ( Sjekira , y ) i ( x , Po ):

(Sjekira , y ) = (Au j, u i),

(x , Po ) = (u j, Bu i).

Uspoređujući ove izraze uzimajući u obzir jednakost (11.2) i prethodno navedeno svojstvo, dobivamo jednakost ( Sjekira , y ) = (x , Po ), x , y V, tj. B = A * .

Dakle, dokazano je da za svaki linearni operator A u konačnodimenzionalnom euklidskom prostoru postoji operator konjugiran s njim A *, čija matrica u bilo kojem ortonormalna baza transponira se u odnosu na matricu operatora A ... Jedinstvenost operatera A * proizlazi iz definicije pridruženog operatora i prethodno dokazanog svojstva.

Lako je provjeriti da je operater A * konjugirati s linearnim operatorom A , je linearan.

Dakle operater A * je linearan i odgovara matrici A*. Prema tome, matrična relacija koja odgovara formuli (11.1) ima oblik

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Konjugirani operatori imaju sljedeća svojstva:

1 °. E * = E .

2 °. ( A *) * = A .

3 °. ( A + B ) * = A * + B * .

4 °. ( A ) * = A * , R.

5 °. ( AB ) * = B * A * .

6 °. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valjanost svojstava 1 ° –5 ° proizlazi iz svojstava transpozicije matrice.

Provjerimo valjanost svojstva 6°. Neka A -1 postoji. Zatim iz jednakosti AA –1 = A –1 A = E i svojstva 1°, 5° slijedi da ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E i ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) *, odnosno da ( A –1) * = (A *) -jedan . To nam daje još jedno važno svojstvo transpozicije matrice:

(A –1) * = (A *) –1 .

Primjer 1. Neka A - rotacija euklidske ravnine R 2 na uglu j s matricom

u ortonormalnoj bazi i , j ... Tada je matrica pridruženog operatora u ovoj bazi

= .

Stoga, A * - rotacija ravnine pod kutom j u suprotnom smjeru.·