Praktično je nemoguće stvoriti neki univerzalni model koji zadovoljava različite aspekte njegove primjene. Za dobijanje informacija koje odražavaju određena svojstva upravljani objekt, klasifikacija modela je neophodna. Klasifikacija se zasniva na karakteristikama operatera φ. Čitav niz kontrolnih objekata, na osnovu vremenskih i prostornih karakteristika, može se podijeliti u sljedeće klase: statički ili dinamički; linearne ili nelinearne; kontinuirano ili diskretno u vremenu; stacionarni ili nestacionarni; procesi u toku kojih se mijenjaju njihovi parametri u prostoru i procesi bez prostorne promjene parametara. Budući da su matematički modeli odraz odgovarajućih objekata, karakteriziraju ih iste klase. Puni naziv modela može uključivati kombinaciju navedenih karakteristika. Ovi znakovi poslužili su kao osnova za nazive odgovarajućih tipova modela.
U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu, svi modeli se mogu podeliti na sledeće tipove:
Deterministički modeli- prikazati determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja.
Stohastički modeli– displej probabilistički procesi i događaji; u ovom slučaju se analizira veći broj implementacija slučajnog procesa i procjenjuju prosječne karakteristike.
Stacionarno i nestacionarni modeli. Model se naziva stacionarnim ako se oblik operatora φ i njegovi parametri p ne mijenjaju u vremenu, tj.
φ= φ, tj. y=φ(p,x).
Ako se parametri modela mijenjaju tokom vremena, onda je model
parametarski nestacionarni
Najopštiji oblik nestacionarnosti je kada oblik funkcije takođe zavisi od vremena. Zatim se u zapis funkcije dodaje još jedan argument
Statički i dinamički modeli. Ova podjela tipova modela zasniva se na karakteristikama kretanja predmeta koji se proučava kao materijalnog sistema.
Govoreći o modelima sa stanovišta problema upravljanja, treba napomenuti da se prostor ovdje ne razumije kao geometrijski prostor, već kao prostor stanja - koordinate stanja izlaznih varijabli. at. Vektorski elementi y su obično kontrolisani tehnološki parametri (brzina protoka, pritisak, temperatura, vlažnost, viskozitet itd.). Kompozicija vektorskih elemenata y jer sam objekt može biti širi nego za model ovog objekta, jer modeliranje zahtijeva proučavanje samo dijela svojstava pravi sistem. Kretanje kontrolnog objekta u prostoru stanja iu vremenu se procjenjuje pomoću vektorskog procesa y(t).
Model sistema se zove statički, ako se stanje sistema ne menja, odnosno sistem je u ravnoteži, ali je kretanje povezano sa statičkim stanjem objekta u ravnoteži. Matematički opis u statičkim modelima ne uključuje vrijeme kao varijablu i sastoji se od algebarskih jednadžbi ili diferencijalne jednadžbe u slučaju objekata sa distribuiranim parametrima. Statički modeli su obično nelinearni. Oni precizno odražavaju stanje ravnoteže uzrokovano prelaskom objekta iz jednog režima u drugi.
Dynamic model odražava promjenu stanja objekta tokom vremena. Matematički opis takvih modela nužno uključuje vremenski izvod. Dynamic Models koristeći diferencijalne jednadžbe. Tačna rješenja ovih jednačina poznata su samo za određenu klasu diferencijalnih jednačina. Češće se mora pribjeći upotrebi numeričkih metoda koje su približne.
Za potrebe kontrole, dinamički model je predstavljen kao prijenosna funkcija koja povezuje ulazne i izlazne varijable.
Linearni i nelinearni modeli. Matematička funkcija L(x) - linearno ako
L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).
Isto vrijedi i za funkcije nekoliko varijabli. Linearna funkcija je svojstvena korištenju samo operacija algebarskog sabiranja i množenja varijable konstantnim koeficijentom. Ako postoje nelinearne operacije u izrazu za operator modela, onda model postoji nelinearne, inače model je linearno.
Modeli sa pauširanim i raspoređenim parametrima. Treba napomenuti da bi, uzimajući u obzir uvedenu terminologiju, bilo ispravnije koristiti koncept „koordinate stanja“ umjesto riječi „parametri“ u nazivu modela. Međutim, ovo je ustaljeno ime koje se često nalazi u svim radovima na modeliranju procesa.
Ako se glavne varijable procesa mijenjaju i u vremenu iu prostoru (ili samo u prostoru), tada se modeli koji opisuju takve procese nazivaju modeli sa distribuiran parametri. U ovom slučaju se uvodi geometrijski prostor z=(z1,z2,z3) i jednačine izgledaju ovako:
y(z)=φ, p(z)=ψ.
Njihov matematički opis obično uključuje parcijalne diferencijalne jednadžbe, ili obične diferencijalne jednadžbe u slučaju stacionarnih procesa s jednom prostornom koordinatom.
Ako je moguće zanemariti prostornu neujednačenost vrijednosti koordinata stanja objekta, tj. gradijent , tada je odgovarajući model model sa fokusiran parametri. Za njih se čini da su masa i energija koncentrisane u jednoj tački.
Trodimenzionalni prostor nije uvijek potreban. Na primjer, model zavojnice sa zagrijanim radnim fluidom i sa tankom ljuskom obično polazi od jednodimenzionalnosti objekta - uzima se u obzir samo dužina zavojnice. Istovremeno, proces prijenosa topline na ograničenu zapreminu radnog fluida kroz debeli zid može se opisati jednodimenzionalnim modelom koji uzima u obzir samo debljinu ljuske itd. Za specifične objekte, oblik odgovarajućih jednačina zahtijeva opravdanje.
Modeli su kontinuirani i diskretni u vremenu. Kontinuirani modeli odražavaju kontinuirane procese u sistemima. Modeli koji opisuju stanje objekata u odnosu na vrijeme kao kontinuirani argument − kontinuirano(po vremenu):
y(t)=φ, p(t)=ψ.
Diskretni modeli služe za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni. Diskretni model ne može predvidjeti ponašanje objekta u intervalu između diskretnog brojanja vremena. Ako uvedemo kvantizaciju vremena sa korakom ∆t, onda se razmatra diskretna skala, gdje i=0,1,2…- dobija značenje relativnog vremena. I diskretni model:
y(i)=φ; p(i)=ψ.
Uz ispravan izbor koraka ∆t, može se očekivati rezultat od diskretnog modela sa unaprijed određenom tačnošću. Prilikom promjene ∆t, treba preračunati i koeficijente jednačine razlike.
Diskretno-kontinuirani modeli koriste se za slučajeve kada se želi istaknuti prisutnost i diskretnih i kontinuiranih procesa.
Zahtjevi za matematičke modele: tačnost - svojstvo koje odražava stepen podudarnosti vrijednosti parametara objekta predviđenih korištenjem modela sa njihovim pravim vrijednostima; ekonomičnost mašinskog vremena; univerzalnost - primjenjivost na analizu grupe objekata istog tipa.
Uvod
dinamički model matematički
Dinamički model je teorijska konstrukcija (model) koja opisuje promjenu (dinamiku) stanja objekta. Dinamički model može uključivati opis koraka ili faza, ili dijagram stanja podsistema. Često ima matematički izraz i koristi se uglavnom u društvenim naukama (na primjer, u sociologiji) koje se bave dinamičkim sistemima, ali moderna paradigma nauke doprinosi tome da ovaj model takođe ima široku rasprostranjenost u svim naukama bez izuzetka, uklj. u prirodnom i tehničkom.
Ekonomski i matematički modeli opisuju privredu u razvoju (za razliku od statičkih modela koji karakterišu njeno stanje u određenom trenutku). Postoje dva pristupa za izgradnju dinamičkog modela:
optimizacija (izbor optimalne putanje ekonomskog razvoja iz niza mogućih)
deskriptivna, u čijem središtu je koncept ravnotežne putanje (tj. uravnotežen, uravnotežen rast).
Dinamički međusektorski modeli, ekonomsko-matematički modeli planskih proračuna, koji omogućavaju određivanje obima proizvodnje, kapitalnih ulaganja (kao i puštanje u rad osnovnih sredstava i proizvodnih kapaciteta) po granama materijalne proizvodnje u njihovoj međusobnoj povezanosti po godinama prospektivnog perioda. U dinamičkim međusektorskim modelima, za svaku godinu planskog perioda, obim i struktura „neto“ finalnog proizvoda (osobna i društvena potrošnja, akumulacija obrtnih sredstava i državnih rezervi, izvozno-uvozni bilans, kapitalna ulaganja koja nisu povezana sa povećanjem u proizvodnji u posmatranom periodu), kao i obim i struktura osnovnih sredstava na početku perioda. U dinamičkim međusektorskim modelima, pored koeficijenta direktnih troškova svojstvenih statičkim intersektorskim modelima, uvode se i posebni koeficijenti koji karakterišu materijalnu strukturu kapitalnih ulaganja.
Prema vrsti matematičkog aparata koji se koristi, dinamički intersektorski modeli se dijele na balansne i optimalne. Balansni dinamički intersektorski modeli mogu se predstaviti kako u obliku sistema linearnih jednačina, tako iu obliku linearnih diferencijalnih ili razlika jednačina. Balansne dinamičke međusektorske modele odlikuje i kašnjenje (vremenski jaz između početka izgradnje i puštanja u rad izgrađenog objekta). Optimalne dinamičke intersektorske modele karakteriše prisustvo određenog kriterijuma optimalnosti, zamena sistema linearnih jednačina sistemom nejednakosti i uvođenje posebnih ograničenja na rad i prirodne resurse.
Dinamički fizički i virtuelni objekti postoje objektivno. To znači da ti objekti funkcionišu u skladu sa nekim zakonima, bez obzira da li ih osoba poznaje i razumije ili ne. Na primjer, da biste vozili automobil, uopće nije potrebno znati kako motor radi, šta se u njemu dešava i zašto pokreće automobil ako pritisnete gas ili okrenete volan. Ali ako osoba namjerava ne voziti automobil, već dizajnirati upravljački sistem za njega, tada je poznavanje i razumijevanje procesa dinamike već apsolutno neophodno.
Dinamički objekti i njihovi linearni modeli pomno su proučavani i analizirani više od dva stoljeća od strane mnogih naučnika i inženjera. Rezultati ovih studija i analiza su u nastavku kvalitativno predstavljeni u koncentrisanom obliku, kako ga percipira autor. Prije svega, ovo se odnosi na linearni modeli dinamički sistemi, njihovu klasifikaciju, opis njihovih svojstava i područje konzistentnosti.
Pored toga, neka svojstva nelinearnih sistema razmatraju se u nastavku. Riječi, pojmovi "dinamičan", "dinamičan" su čvrsto i široko ušli u različite oblasti ljudskog znanja, koriste se i u svakodnevnom životu kao emocionalni epitet energetskog kretanja u širem smislu riječi, sinonim. brze promjene. U predloženom radu koristit će se pojam "dinamičan" u užem i direktnom značenju, u značenju "jako", tj. dinamički objekat je objekat koji je podložan spoljašnjem delovanju, što dovodi do kretanja u najširem smislu te reči.
1. Dinamički modeli: koncept, vrste
Dinamički objekt je fizičko tijelo, tehnički uređaj ili proces koji ima ulaze, tačke moguće primjene vanjskih utjecaja, te opaža te utjecaje, a izlaze, tačke, vrijednosti fizičkih veličina u kojima karakterizira stanje objekt. Objekt je u stanju odgovoriti na vanjske utjecaje promjenom svog unutrašnjeg stanja i izlaznih vrijednosti koje karakteriziraju njegovo stanje. Utjecaj na objekt i njegova reakcija u opšti slučaj mijenjaju se tokom vremena, vidljivi su, tj. može se izmeriti odgovarajućim instrumentima. Objekat ima unutrašnju strukturu koja se sastoji od interaktivnih dinamičkih elemenata.
Ako pročitate i razmislite o gornjoj nestriktnoj definiciji, možete vidjeti da odvojeni dinamički objekt u "čistom" obliku, kao stvar za sebe, ne postoji: da bi opisao objekt, model također mora sadržavati 4 izvora uticaja (generatora):
okruženje i mehanizam za snabdijevanje tih uticaja na njega
objekat mora imati opseg u razmacima
funkcija u vremenu
model mora imati mjerne uređaje.
Udar na predmet može biti neka fizička veličina: sila, temperatura, pritisak, električni napon i druge fizičke veličine ili kombinacija više veličina, a reakcija, odgovor predmeta na udar, može biti kretanje u prostoru, tj. na primjer, pomak ili brzina, promjena temperature, jačina struje itd.
Za linearne modele dinamičkih objekata važi princip superpozicije (preklapanja), tj. reakcija na skup uticaja jednaka je zbiru reakcija na svaki od njih, i velika promjena izloženost odgovara proporcionalnoj promeni kao odgovor na nju. Jedna radnja se može primijeniti na nekoliko objekata ili nekoliko elemenata objekta.
Koncept dinamičkog objekta sadrži i izražava uzročnu vezu između utjecaja na njega i njegove reakcije. Na primjer, između sile primijenjene na masivno tijelo i njegovog položaja i kretanja, između električnog napona primijenjenog na element i struje koja teče u njemu.
U opštem slučaju, dinamički objekti su nelinearni, uključujući i mogu imati diskretnost, na primer, mogu brzo da promene strukturu kada uticaj dostigne određeni nivo. Ali obično, većinu vremena rada, dinamički objekti su vremenski kontinuirani, a za male signale su linearni. Stoga će u nastavku glavna pažnja biti posvećena linearnim kontinuiranim dinamičkim objektima.
Primjer kontinuiteta: automobil koji se kreće cestom -objekat koji neprekidno funkcioniše u vremenu, njegov položaj zavisi od vremena neprekidno. Značajan dio vremena automobil se može smatrati linearnim objektom, objektom koji funkcionira linearni način rada. I samo u slučaju nesreća, sudara, kada je, na primjer, automobil uništen, potrebno ga je opisati kao nelinearni objekt.
Linearnost i vremenski kontinuitet izlazne vrijednosti objekta je samo zgodan poseban, ali važan slučaj, koji omogućava jednostavno razmatranje značajnog broja svojstava dinamičkog objekta.
S druge strane, ako objekt karakteriziraju procesi koji se odvijaju u različite skale vremena, onda je u mnogim slučajevima prihvatljivo i korisno zamijeniti najbrži procesi njihova diskretna promjena vremena.
pravi posao posvećena je, prije svega, linearnim modelima dinamičkih objekata pod determinističkim utjecajima. Glatke determinističke akcije proizvoljnog tipa mogu se generirati diskretnim, relativno rijetkim aditivnim djelovanjem na niže derivate djelovanja doziranom deltom -funkcije. Takvi modeli su u skladu sa relativno malim udarima za vrlo široku klasu stvarnih objekata. Na primjer, ovako se formiraju kontrolni signali kompjuterske igrice simulacija upravljanja automobilom ili avionom sa tastature. Slučajni uticaji su još uvijek izvan obima razmatranja.
Konzistentnost linearnog modela dinamičkog objekta određena je, posebno, time da li je izlazna količina dovoljno glatko, tj. da li su on i nekoliko njegovih derivata nižeg vremena kontinuirani. Činjenica je da se izlazne vrijednosti stvarnih objekata mijenjaju prilično glatko u vremenu. Na primjer, avion se ne može trenutno kretati iz jedne tačke u svemiru u drugu. Štaviše, ono, kao i svako masivno tijelo, ne može naglo promijeniti svoju brzinu, to bi zahtijevalo beskonačnu snagu. Ali ubrzanje aviona ili automobila može se naglo promijeniti.
Koncept dinamičkog objekta ne definiše sveobuhvatno fizički objekat. Na primjer, opisivanje automobila kao dinamičnog objekta omogućava odgovaranje na pitanja o tome koliko brzo ubrzava i usporava, koliko se glatko kreće po neravnim putevima i neravninama, kakve će utjecaje imati vozač i putnici u automobilu prilikom vožnje po cesti, koji planina na koju se može popeti, itd. P. Ali kod takvog modela nije bitno koje je boje auto, nije bitna njegova cijena itd., utoliko što ne utiču na ubrzanje automobila. Model treba da odražava glavna svojstva modeliranog objekta sa stanovišta nekog kriterijuma ili skupa kriterijuma i zanemari njegova sekundarna svojstva. U suprotnom će biti pretjerano složen, što će otežati analizu svojstava od interesa za istraživača.
S druge strane, ako istraživača zanima promjena boje automobila tokom vremena, uzrokovana raznim faktorima, poput sunčeve svjetlosti ili starenja, onda se za ovaj slučaj može sastaviti i riješiti odgovarajuća diferencijalna jednačina.
Stvarni objekti, kao i njihovi elementi, koji se mogu smatrati i dinamičkim objektima, ne samo da opažaju udare nekog izvora, već i djeluju na taj izvor, suprotstavljaju mu se. Izlazna vrijednost kontrolnog objekta u mnogim slučajevima je ulaz za drugi, naknadni dinamički objekt, koji zauzvrat također može utjecati na način rada objekta. To. veze dinamičkog objekta sa spoljašnjim svetom, u odnosu na njega, su dvosmerne.
Često se pri rješavanju mnogih problema ponašanje dinamičkog objekta razmatra samo u vremenu, a njegove prostorne karakteristike, u slučajevima kada nisu direktno od interesa za istraživača, se ne razmatraju i ne uzimaju u obzir, s izuzetkom pojednostavljeno razmatranje kašnjenja signala, koje može biti zbog vremena širenja udara u prostoru od izvora do prijemnika.
Dinamički objekti opisuju se diferencijalnim jednadžbama (sistemom diferencijalnih jednačina). U mnogim praktično važnim slučajevima, ovo je linearna, obična diferencijalna jednačina (ODE) ili sistem ODE. Raznolikost tipova dinamičkih objekata određuje veliki značaj diferencijalnih jednadžbi kao univerzalnog matematičkog aparata za njihovo opisivanje, što omogućava izvođenje teorijskih studija (analiza) ovih objekata i na osnovu takve analize konstruisanje modela. i grade sisteme, uređaje i uređaje koji su korisni za ljude, objašnjavaju strukturu svijeta oko nas, najmanje, na skali makrokosmosa (ne mikro i ne mega).
Model dinamičkog objekta je konzistentan ako je adekvatan i ako odgovara stvarnom dinamičkom objektu. Ova korespondencija je ograničena na određeni prostorno-vremenski region i opseg uticaja.
Model dinamičkog objekta je ostvariv ako je moguće konstruisati stvarni objekat čije ponašanje pod uticajem uticaja u određenom prostorno-vremenskom području i za određenu klasu i opseg ulaznih dejstava odgovara ponašanju modela.
Širina klasa, raznolikost struktura dinamičkih objekata može dovesti do pretpostavke da svi oni zajedno imaju nebrojeno mnogo svojstava. Međutim, pokušaj da se zahvate i razumiju ova svojstva i principi rada dinamičkih objekata, u svoj njihovoj raznolikosti, uopće nije tako beznadežan.
Činjenica je da ako su dinamički objekti adekvatno opisani diferencijalnim jednadžbama, a to je upravo slučaj, tada je skup svojstava koja karakteriziraju dinamički objekt bilo koje vrste određen skupom svojstava koja karakteriziraju njegovu diferencijalnu jednadžbu. Može se tvrditi da, barem za linearne objekte, postoji prilično ograničen i relativno mali broj takvih osnovnih svojstava, pa je stoga i skup osnovnih svojstava dinamičkih objekata ograničen. Na osnovu ovih svojstava i kombinovanja elemenata koji ih imaju, možete graditi dinamičke objekte sa širokim spektrom karakteristika.
Dakle, glavna svojstva dinamičkih objekata su izvedena teorijski iz njihovih diferencijalnih jednadžbi i u korelaciji sa ponašanjem odgovarajućih stvarnih objekata.
dinamički objekat -ovo je objekat koji percipira vanjske utjecaje koji se mijenjaju u vremenu i reagira na njih promjenom izlazne vrijednosti. Objekat ima unutrašnju strukturu koja se sastoji od interaktivnih dinamičkih elemenata. Hijerarhija objekata ograničena je odozdo najjednostavnijim modelima i zasniva se na njihovim svojstvima.
Uticaj na predmet, kao i njegova reakcija, su fizičke, mjerljive veličine, a može biti i skup fizičkih veličina, matematički opisanih vektorima.
Kada se opisuju dinamički objekti pomoću diferencijalnih jednadžbi, implicitno se pretpostavlja da svaki element dinamičkog objekta prima i troši onoliko energije (takve snage) koliko mu je potrebno za normalan rad u skladu sa svojom namjenom kao odgovor na dolazne utjecaje. Objekt može primiti dio ove energije od ulazne akcije i to je eksplicitno opisano diferencijalnom jednadžbom, drugi dio može doći iz izvora treće strane i ne pojavljuje se u diferencijalnoj jednadžbi. Ovaj pristup uvelike pojednostavljuje analizu modela bez narušavanja svojstava elemenata i cijelog objekta. Ako je potrebno, proces razmjene energije sa vanjskim okruženjem može se detaljno opisati u eksplicitnom obliku, a to će biti i diferencijalne i algebarske jednačine.
U nekim posebnim slučajevima, izvor sve energije (snage) za izlazni signal objekta je ulazno djelovanje: poluga, ubrzanje masivnog tijela silom, pasivno električno kolo i sl.
U opštem slučaju, uticaj se može smatrati kontrolisanjem energetskih tokova za dobijanje potrebna snaga izlazni signal: sinusno pojačalo, samo savršeno pojačalo i sl.
Dinamički objekti, kao i njihovi elementi, koji se također mogu smatrati dinamičkim objektima, ne samo da percipiraju utjecaj svog izvora, već i sami djeluju na ovaj izvor: na primjer, u klasičnoj mehanici to se izražava principom formuliranim u Newtonovom treći zakon: djelovanje je jednako reakciji. U elektrotehnici, napon izvora je rezultat uspostavljanja dinamičke ravnoteže između izvora i opterećenja. To. veze dinamičkog objekta sa spoljašnjim svetom, u odnosu na njega, su dvosmerne.
U suštini, svi elementi dinamičkog objekta su dvosmjerni, kao i sam objekt u odnosu na vanjske objekte. To proizilazi iz generalizacije trećeg Newtonovog zakona, koji je on formulirao za mehaniku: protusila tijela jednaka je sili djelovanja na njega drugog tijela i usmjerena je prema njemu, a u hemiji se također formulira kao Le Chatelier princip. Sumirajući, možemo reći: uticaj jednog dinamičkog elementa na drugi nailazi na neku vrstu suprotnosti. Na primjer, električno opterećenje izvora napona suprotstavlja mu se strujom, mijenjajući vrijednost napona na izlazu izvora. U općem slučaju, otpor opterećenja utječe na način rada izvora, a njihovo ponašanje je određeno kao rezultat, ako je moguće, prelaskom u neku dinamičku ravnotežu.
U mnogim slučajevima, snaga izvora uticaja je mnogo veća od potrebne ulazne snage prijemnika, koji je dinamički objekat. U ovom slučaju, dinamički objekt praktično ne utječe na način rada izvora (generatora) i veza se može smatrati jednosmjernom od izvora do objekta. Takav jednosmjerni model elementa, zasnovan na racionalnom fizičkom strukturiranju objekta, uvelike pojednostavljuje opis i analizu sistema. Zapravo, mnogi tehnički objekti, iako nipošto svi, grade se upravo po ovom principu, posebno pri projektovanju sistema za rješavanje upravljačkih problema. U drugim slučajevima, na primjer, pri rješavanju problema kada je potrebno postići maksimalnu efikasnost motora, protuakcija se ne može zanemariti.
Detaljnom strukturom dinamičkog objekta može se doći do elementarnih, uslovno ne pojednostavljenih objekata. Takvi objekti opisuju se najjednostavnijim algebarskim i diferencijalnim jednadžbama. Zapravo, takvi elementi, zauzvrat, mogu imati složenu strukturu, ali je prikladnije pri modeliranju percipirati ih kao jedinstvenu cjelinu, čija su svojstva određena ovim relativno jednostavnim jednadžbama koje povezuju reakciju na udar.
1.1 Fizički modeli
Ovo je naziv uvećanog ili smanjenog opisa objekta ili sistema. Karakteristična karakteristika fizičkog modela je da, u određenom smislu, izgleda kao modelirani entitet.
Najpoznatiji primjer fizičkog modela je kopija aviona u izgradnji, napravljena u punom skladu s proporcijama, recimo 1:50. U jednoj od faza razvoja novog dizajna aviona postaje neophodno provjeriti njegove glavne aerodinamičke parametre. U tu svrhu, pripremljena kopija se duva kroz specijalnu (aerodinamičku) cijev, a dobivena očitanja se zatim pažljivo ispituju. Prednost ovakvog pristupa je sasvim očigledna. Zbog toga sve vodeće kompanije za proizvodnju aviona koriste fizičke modele ove vrste u razvoju svakog novog aviona.
Često se male kopije nebodera postavljaju u aerotunel, dok simuliraju ružu vjetrova karakterističnu za područje na kojem bi se trebalo graditi. uživaj fizički modeli i u brodogradnji.
1.2 Matematički modeli
Ovo je naziv modela koji se koriste za opisivanje svojstava i karakteristika objekta ili događaja matematičkih simbola i metode. Ako se neki problem može prenijeti na jezik formula, onda je to uvelike pojednostavljeno. Matematički pristup je također jednostavan jer se pridržava dobro definiranih strogih pravila. ,kojih se ne može odreći dekretom ili na drugi način. Složenost našeg života leži upravo u činjenici da je mnogo toga što se u njemu dešava često oslobođeno konvencija. Matematika se bavi pojednostavljenim opisom pojava. U suštini, bilo koja formula (ili skup formula) je određena faza u izgradnji matematičkog modela. Iskustvo pokazuje da je izgradnja modela (pisanje jednadžbe) prilično jednostavna. Teško je biti u stanju prenijeti suštinu fenomena koji se proučava u ovom modelu i, stoga, u pojednostavljenom obliku.
Bilo koji funkcionalni element realnog objekta ima svoju strukturu, može se, kao i cijeli objekt, mentalno ili fizički podijeliti na elemente koji međusobno djeluju. Elementarni dinamički objekt je racionalno odabran element stvarnog objekta, koji se uslovno smatra nedjeljivim, koji u cjelini posjeduje neko fundamentalno svojstvo, na primjer, inerciju, i opisan s dovoljnim stupnjem tačnosti jednostavnom algebarskom ili diferencijalnom jednadžbom .
Najvažnije, fundamentalno svojstvo dinamičkih objekata je njihova inercija. Fizički, inercija se izražava u tome što objekat ne reaguje odmah, već postepeno reaguje na spoljašnje uticaje, a u nedostatku spoljašnjeg uticaja nastoji da održi svoje stanje i ponašanje. Matematički, inercija se izražava u činjenici da je izlazna vrijednost realnog objekta kontinuirana vrijednost u vremenu. Štaviše, neki niži derivati izlazne količine takođe moraju biti kontinuirani, ne mogu se naglo menjati sa ograničenim uticajima snage, uključujući one koji se naglo menjaju, postupno u vremenu.
Najjednostavniji inercijski dinamički objekti -kinedins .Riječ je o elementarnim objektima koji su mentalno ili fizički izolirani od strukture složenog objekta i s dovoljnim stupnjem točnosti pokoravaju se najjednostavnijim diferencijalnim jednadžbama različitog reda. Takvi modeli su konzistentni, barem u nekoj prostorno-vremenskoj regiji iu ograničenom rasponu vrijednosti signala.
Matematički opis inercije dinamičkog objekta, objekta koji odgovara nekoj diferencijalnoj jednadžbi, je da udar utječe na reakciju objekta indirektno, direktno utječe na jedan ili drugi izvod reakcije s obzirom na vrijeme, ili na nekoliko njih. odjednom. To dovodi do činjenice da se reakcija manifestira tek s vremenom.
Zaista, takav opis odgovara ponašanju stvarnih objekata. Na primjer, uz trenutni dovod relativno malog udara na elementarni objekt drugog reda koji se ne mijenja nakon primjene, na primjer, sile na inercijsku masu, predmet ostaje neko, iako malo, vrijeme u isto stanje kao i prije napajanja, ima istu brzinu kao i prije.
Ali drugi derivat, tj. ubrzanje skače u skoku, proporcionalno veličini primijenjene sile. I, stoga, tek s vremenom, a ne odmah, prisutnost druge derivacije očituje se u promjeni brzine, a samim tim i naknadno u položaju tijela u prostoru.
1.3 Analogni modeli
Ovo je naziv modela koji predmet koji proučavamo predstavljaju kao analogni koji se ponaša kao pravi objekt, ali ne liči na njega.
Dajte dva je dovoljno tipični primjeri.
Primjer 1. Grafikon koji ilustruje odnos između uloženog napora i rezultata je analogni model. Grafikon na sl. Slika 1.1 pokazuje kako količina vremena koje student provede pripremajući se za ispit utiče na rezultat ispita.
Rice. 1.1. Grafikon koji ilustruje odnos između napora i rezultata
Primer 2. Pretpostavimo da treba da pronađemo najekonomičniji način da redovno isporučujemo robu u tri grada, tako što ćemo izgraditi samo jedno skladište za to. Glavni zahtjev: mjesto za skladište treba biti takvo da su ukupni troškovi transporta najmanji (smatra se da je trošak svakog transporta jednak umnošku udaljenosti od skladišta do odredišta sa ukupnom težinom roba koja se prevozi i mjeri se u tonskim kilometrima).
Zalijepite kartu područja na list šperploče. Zatim ćemo na lokaciji svakog grada prorezati rupe, provući kroz njih niti i za njih vezati tegove, proporcionalne potražnji za robom u ovom gradu (slika 1.2). Zavežite slobodne krajeve niti u jedan čvor i pustite ih. Pod uticajem gravitacije sistem će doći u stanje ravnoteže. Mjesto na listu šperploče, koje će u ovom slučaju biti zauzeto čvorom, odgovarat će optimalnoj lokaciji skladišta (slika 1.3).
Komentar. Radi jednostavnosti, ne uzimamo u obzir troškove puteva koji će se morati graditi iznova.
Rice. 1.2. Karta područja na listu šperploče
Rice. 1.3. Optimalna lokacija skladišta
2. Konstrukcija matematičkih modela diskretnih objekata
2.1 Model stanovništva
Zanimljivo je da je često prilično lako izgraditi matematički model. Često se za to koriste najjednostavnije i najlakše objašnjive pretpostavke. Opisat ćemo kako se to može učiniti na jednom gotovo stvarnom primjeru. Zamislite sljedeću sliku. Sredinom 18. vijeka Centralna Evropa ,parohija u zaleđu, crkva, parohijani - meštani okolnih sela, paroh primećuje da je hram postao skučen za bogosluženje: povećao se broj parohijana. Sveštenik razmišlja: ako se u budućnosti broj parohijana nastavi povećavati, onda će se morati graditi nova crkva, za šta će biti potrebna sredstva, i to znatna.
Sveštenik razumije da period za koji se hram mora graditi, kao i njegova veličina umnogome zavise od toga kako će se mijenjati broj okolnih stanovnika. I on odlučuje pokušati to izračunati. Pokušajmo također ocrtati mogući tok njegovog razmišljanja, koristeći modernu notaciju i jezik.
Neka x označava broj župljana do kraja n-te godine. Njihov broj u godini, tj. do kraja (n + 1) godine, prirodno je označiti sa x n+1 .Tada se promjena broja za ovu godinu može opisati razlikom
Nastaje iz dva prirodna razloga - ljudi se rađaju i umiru (jednostavno rečeno, pretpostavit ćemo da virus migracija tada nije zahvatio ovo područje). Broj rođenih i umrlih godišnje nije teško odrediti iz parohijskih matičnih knjiga. Brojanje broja rođenih i umrlih u različite godine, sveštenik odlučuje da uporedi primljene brojeve i d1,...,dk sa ukupan broj parohijana ovih godina x1,..,xk, i primjećuje da se omjeri x1,...,xk vrlo malo razlikuju iz godine u godinu. Isto važi i za odnose.
Radi jednostavnosti proračuna, ove omjere ćemo smatrati konstantnim i označiti ih sa? i? respektivno. Dakle, broj rođenih u nth godina ispada da je jednak, broj umrlih je ?xn, a promjena broja zbog prirodnih uzroka je +?xn - ?xn.
Kao rezultat, dolazimo do relacije?xn=?xn - ?xn ili detaljnije:
xn+1=xn+?xn-?xn
Stavimo ?=1 + ? - ?. Tada formula koja nas zanima poprima oblik
Model je napravljen.
Pokušajmo sada da shvatimo šta se dogodilo, tj. analizirajmo konstruisani model. Moguća su tri slučaja:
1)?>1(?=?-?>0 -više se rađa nego umire) a broj župljana raste iz godine u godinu,
2)?=1 (?=?-?=0 -koliko umire koliko se i rađa) a broj župljana ostaje nepromijenjen iz godine u godinu,
3)?<0 (?=?-?<0 -više umire nego što se rađa) i broj parohijana stalno opada.
Budući da je motivacija za izradu modela bila želja da se zna koliko će brzo rasti broj župljana, počnimo s osvrtom na slučaj 1.
Slučaj 1. Dakle, broj parohijana raste. Ali kako, koliko brzo? Došao je trenutak da se ukratko prisjetimo jedne poučne priče (tužna parabola) o nepoznatom izumitelju šaha. Kažu da se igra jako svidjela bogatom i svemoćnom Maharaji, koji je odmah odlučio da nagradi pronalazača i velikodušno se ponudio da sam odabere nagradu. On je, kako se kaže, četkajući figure sa šahovske table, stavio jedno zrno pšenice na 1. ćeliju, na 2. -dva zrna, za 3 -četiri zrna, za 4 -osam zrna (slika 2.1) i predložio maharadži da naredi slugama da rasipaju zrna pšenice po ostalim ćelijama šahovske table prema predloženom zakonu, tj. ovako: 1,2,4,8,16, …,263.
Rice. 2.1. Problem šahovske ploče i nagrada Maharaje
Ovaj jednostavan zahtjev zamalo je uvrijedio maharadžu i on je pristao neće biti urađeno odmah. Ali pronalazač je insistirao. Maharaja je naredio. I sluge su odmah požurile da izvedu ovo "lako" vježbe. Nepotrebno je reći da nisu ispunili Maharadžinu naredbu. Činjenica je da je ukupan broj zrna pšenice na šahovskoj tabli je trebao biti jednak 2 64 - 1,što daleko premašuje ono što se sada uzgaja u cijelom svijetu za godinu dana. Završimo vrlo kratko parabolu: maharadža se našao u neobičnoj poziciji za sebe -javno je dao obećanje i nije ga ispunio. Krivac je, međutim, odmah pronađen. Možda zato istorija nije sačuvala ime pronalazača šaha. Pokušajmo, međutim, da pokažemo na grafikonu koliko brzo raste broj zrna u svakoj sledećoj ćeliji, radi veće jasnoće, povezujući susedne tačke (slika 2.2).
Rice. 2.2-2.3. Eksponencijalna promjena stanovništva
Pravilo koje je predložio izumitelj šaha X n+1 =2x n je poseban slučaj formule (1) za ?=2 i, kao i ona, opisuje zakon, prateći koji dobijamo niz brojeva koji formiraju geometrijsku progresiju. Za bilo koje ?>1slika koja ilustruje x promjenu n ,ima sličan izgled - x n će rasti eksponencijalno. Godine 1820. u Londonu T.R. Malthus je objavio rad „Principi političke ekonomije razmatrani s ciljem njihove praktične primjene“ (u ruskom prijevodu -"Iskustvo o pravu stanovništva..." T. 1-2. SPb., 1868), koji je posebno rekao da zbog bioloških karakteristika ljudi stanovništvo ima tendenciju da se množi prema zakonu geometrijske progresije,
x n=1 =?x n, ?>1,
dok se sredstva za život mogu povećati samo prema zakonu aritmetičke progresije, y n+1 =y n +d ,d>0. Takva razlika u stopi promjene vrijednosti direktno je povezana s problemima opstanka stanovništva (slika 2.3) ,nije mogao proći nezapaženo i izazvao je prilično oštre kritike i vrlo politizirane kontroverze u relevantnim krugovima. Pokušajmo iz same činjenice kritike izvući za nas koristan zaključak o adekvatnosti konstruisanog modela (1). Naravno, kada se pokušava pojednostavljeno opisati situacija, neke okolnosti se moraju zanemariti, smatrajući ih beznačajnim. Međutim, čini se da ne postoji jedinstven pogled na to šta je bitno, a šta nije. Možete, na primjer, zanemariti činjenicu da je počela kiša. Ali morate priznati da je jedno trčati sto metara pod kišom koja kaplje, a sasvim druga. -sat hoda po ovoj kiši bez kišobrana. Nešto slično opažamo i ovdje: kada se računa za 3-4 godine unaprijed, formula (1) radi prilično dobro, ali se dugoročna prognoza zasnovana na njoj ispostavi da je pogrešna.
Važan zaključak. Kada predlažete model koji ste izgradili ili odabrali, morate nužno naznačiti granice do kojih se može koristiti i upozoriti da kršenje ovih ograničenja može dovesti (i najvjerovatnije će dovesti) do ozbiljnih grešaka. Ukratko, svaki model ima svoj vlastiti resurs. Prilikom kupovine bluze ili košulje, navikli smo na prisustvo etiketa koje označavaju maksimalnu dozvoljenu temperaturu peglanja, dozvoljene vrste pranja itd. To, naravno, ni na koji način ne znači da vam je zabranjeno uzimanje usijanog pegla. , da jednom prođem - drugi za tkaninu. Ti to možeš. Ali želite li da nosite bluzu ili košulju nakon takvog peglanja? Slučaj 2. Stanovništvo se ne mijenja (slika 2.4). Slučaj 3. Stanovništvo izumire (slika 2.5).
Rice. 2.4. Grafikon stanovništva sa konstantnom populacijom
Rice. 2.5. Grafikon stanovništva sa opadanjem stanovništva
Namjerno smo se vrlo detaljno zadržali na opisu populacionog modela, prvo, zato što je to jedan od prvih modela ove vrste, i, drugo, da bismo na njegovom primjeru pokazali glavne faze koje rješavanje problema izgradnje kroz koji prolazi matematički model.
Napomena 1. Vrlo često se pri opisu ovog modela populacije koristi njegova diferencijalna verzija: x =?x (ovdje x=x(t) -veličina populacije zavisna od vremena, x" -vremenski derivat, ?-konstantan).
Napomena 2. Za velike vrijednosti x, konkurencija za sredstva za život dovodi do smanjenja ?,a ovaj tvrdi model treba zamijeniti mekšim modelom: x =?(x)x ,u kojoj je koeficijent ?zavisi od populacije. U najjednostavnijem slučaju, ova zavisnost se opisuje na sljedeći način:
?(x)=a-bx
gdje su a i b -konstantnih brojeva, a odgovarajuća jednačina poprima oblik
x=ax-bx 2
I dolazimo do složenijeg, takozvanog logističkog modela, koji prilično dobro opisuje dinamiku stanovništva. Analiza logističke krive (slika 2.6) je vrlo poučna, a njena implementacija može biti radoznala za čitaoca. Logistički model takođe dobro opisuje druge procese, kao što je efikasnost oglašavanja.
Rice. 2.6. logistička kriva
2.2 Model grabežljivac-plijen
Gore smo govorili o nesmetanoj reprodukciji stanovništva. Međutim, u stvarnim okolnostima, populacija koegzistira s drugim populacijama, nalazeći se s njima u različitim odnosima. Ovdje ćemo ukratko pogledati par antagonističkih predatora. -žrtva (ovo može biti par risa -par zeca i bubamare -lisne uši) i pokušajte pratiti kako se broj obje strane u interakciji može promijeniti tokom vremena. Populacija plijena može postojati sama, dok populacija grabežljivaca može postojati samo na račun plijena. Označimo veličinu populacije plijena sa x, a veličinu populacije predatora sa y. U nedostatku grabežljivca, plijen se razmnožava prema jednadžbi x =ax ,a>0 ,a grabežljivac, u nedostatku plijena, umire prema zakonu y =-?y ,?>0.Grabežljivac jede što više plijena, što ga je više i što je brojniji. Stoga, u prisustvu grabežljivca, broj plijena se mijenja u skladu sa zakonom
x =sjekira- ?xy, ?>0
Količina pojedenog plijena doprinosi reprodukciji grabežljivca, što se može zapisati na sljedeći način: y =-?y +?xy , ?>0.
Tako dobijamo sistem jednačina
x=ax- ?xy
y=- ?y +?xy
i x?0, y?0.
Predator model -sagrađena žrtva.
Kao i kod prethodnog modela, najveće interesovanje za nas predstavlja tačku ravnoteže (x*, y*), gdje je x* i y* -različito od nule rješenje sistema jednačina
ax-?xy =0
Y+ ?xy =0
Ili x(a- ?y )=0, y(- ?+?x )=0
Ovaj sistem se dobija iz uslova stabilnosti broja obe populacije x=0, y =0
Koordinate tačaka ravnoteže -to je tačka preseka linija
a-?y =0 (2)
?+?x =0 (3)
lako izračunati:
, (slika 2.7).
Rice. 2.7. Rješavanje sistema jednačina
Početak koordinata O(0,0) leži u pozitivnoj poluravni u odnosu na horizontalnu liniju datu jednadžbom (2), a u odnosu na vertikalnu liniju datu jednačinom (3), u negativnoj poluravni (sl. 2.8). Dakle, prva četvrtina (a nas samo zanima, budući da je x>0 i y>0) podijeljena je na četiri regije, koje se zgodno označavaju na sljedeći način: 1-(+,+), 2-(-,+ ), 3-( -,-), 4-(+,-).
Rice. 2.8. Podjela domene odlučivanja na kvadrante
Neka je početno stanje Q(x0,y0) u području IV. Tada su nejednačine?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0,y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.
Analizirajući ponašanje x i y u područjima 2, 3 i 4 na sličan način, na kraju ćemo dobiti sliku prikazanu na Sl. 2.9.
Rice. 2.9. Promjena x i y po kvadrantima
Dakle, početno stanje Q dovodi do periodičnih fluktuacija u broju i plijena i predatora, tako da se nakon nekog vremena sistem vraća u stanje Q (slika 2.10).
Rice. 2.10. Ciklične fluktuacije u broju grabežljivaca i plijena
Kako zapažanja pokazuju, uprkos svojoj jednostavnosti, predloženi model kvalitativno ispravno odražava oscilatornu prirodu obilja u sistemu grabežljivac-plijen (slika 2.11).
Rice. 2.11. Oscilacije sistema Zec - Ris i Aphid - Bubamara
Prava zapažanja. Ometanje delovanja nama neshvatljivih zakona prirode ponekad je prilično opasno. -upotreba insekticida (osim ako nisu gotovo potpuno istrijebljeni) na kraju dovodi do povećanja populacije onih insekata koje kontroliraju drugi insekti grabežljivci. Uš koja je slučajno došla u Ameriku ugrozila je cjelokupnu proizvodnju agruma. Ubrzo je tamo doveden njen prirodni neprijatelj. -bubamare, koja je odmah prionula na posao i uvelike smanjila populaciju lisnih uši. Kako bi ubrzali proces iskorjenjivanja, farmeri su koristili DDT, ali se kao rezultat povećao broj lisnih uši, što, gledajući na sl. 2.11 ,lako predvidjeti.
2.3 Model mobilizacije
Izraz politička ili društvena mobilizacija odnosi se na uključivanje ljudi u stranku ili među njene pristalice, u bilo koji društveni pokret, itd. Zbog činjenice da je trenutni nivo mobilizacije usko povezan sa njenim prošlim nivoom, a buduća mobilizacija zavisi od Današnje uspješne propagandne kampanje, jasno je da je prilikom izgradnje odgovarajućeg modela potrebno uzeti u obzir vremenski faktor. Drugim riječima, morate shvatiti da željeni model mora biti dinamičan.
Formulacija problema .Odraziti logiku promjena u nivou mobilizacije u datom regionu između dvije susjedne tačke u vremenu, recimo za mjesec (za godinu, sedmicu, dan, itd.).
Izgradnja modela .Uzmimo kao jedinicu onaj dio stanovništva za koji ova vrsta mobilizacije ima smisla. Neka M n -udio mobiliziranog stanovništva u vrijeme t n =n .Tada će udio nemobiliziranog stanovništva biti jednak 1-Mn (Sl. 2.12).
Rice. 2.12. Odnos mobilisanog i nemobilizovanog stanovništva
Tokom mjeseca, nivo mobilizacije se može promijeniti iz dva glavna razloga:
) dio stanovništva je mogao dodatno privući; jasno je da je ta vrijednost veća što je veći udio još neupućenog stanovništva u trenutku t n =n ,i stoga se može smatrati jednakim ?(1-M n ),(ovdje ?>0- koeficijent agitacije, konstantan za dati region);
2) dio populacije je opao (prema različitih razloga); jasno je da ovo smanjuje udio uznemirenog stanovništva utoliko više što je taj udio bio veći u vrijeme tn=n, pa se stoga gubici povezani s osipanjem mogu smatrati jednakim (ovdje? > 0 je konstantna stopa napuštanja). Naglašavamo da su numerički parametri? i? odražavaju proporcionalnu promjenu u interesima, stavovima i namjerama relevantnih dijelova stanovništva regiona koji se razmatra. Dakle, promjena nivoa mobilizacije po jedinici vremena jednaka je razlici između udjela dodatno regrutovanog stanovništva i udjela uznemirenog stanovništva koje je otišlo:
Ovo je jednačina procesa mobilizacije. Izgrađen je model mobilizacije.
Posljednja relacija se lako pretvara u sljedeći oblik:
Komentar. Pomoćni parametar? ne može biti veći od 1 zbog činjenice da su početni parametri? i? su pozitivni. Rezultirajuća jednačina (4) naziva se linearna razlika jednačina sa konstantnim koeficijentima.
Jednačine ove vrste mogu se susresti u raznim, uglavnom, najjednostavnijim verzijama.
Jedan od njih (kada?=1) opisuje pravilo prema kojem se svaki član niza, počevši od drugog, dobija od prethodnog sabiranjem sa nekim konstantnim brojem: Mn+1=?+Mn, tj. aritmetrijska progresija.
Drugi (kada?=0) opisuje pravilo prema kojem se svaki član niza, počevši od drugog, dobija od prethodnog množenjem sa nekim konstantnim brojem: Mn+1=?Mn, tj. geometrijskom progresijom .
Pretpostavimo da je početni udio privučene populacije M0 poznat. Tada se jednačina (4) lako rješava (radi određenosti pretpostavljamo da). Imamo:
Primjena modela.
Pokušajmo analizirati mogućnosti ovog modela (sagrađenog na osnovu najjednostavnijih razmatranja).
Počnimo sa slučajem |?|<1.
Da bismo to učinili, prepisujemo posljednju relaciju u obliku gdje M* označava sljedeću količinu:
Komentar. Isti rezultat se dobija ako u jednačinu (4) stavimo Mn+1=Mn=M*.
Zaista, onda dobijamo M*=?+?M*, odakle
Pronađena vrijednost M* ne ovisi o početnoj vrijednosti M0, izražava se kroz početne parametre? i? prema formuli
i stoga ispunjava uslov 0 Da bismo rezultirajuću formulu učinili jasnijom, ponovo koristimo koordinatnu metodu. Na sl. 2.13 prikazuje raspon mogućih vrijednosti pomoćnog parametra?, na sl. 2.14 - početni parametri? i?, a na sl. 2.15-17 - odgovarajući skupovi vrijednosti Mn za različite n, M0 i M* (radi lakše percepcije, susjedne točke (n, Mn) i (n + l, Mn + 1) povezane su ravnim segmentima) . Događa se?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18. Naravno, ove slike predstavljaju kvalitetnu sliku. Ali ništa nas ne sprječava da uzmemo sasvim specifične vrijednosti M0, ? i? i detaljno izračunati odgovarajuću situaciju. Rice. 2.13.opseg mogućih vrijednosti? 2.14.početni parametri? i? Rice. 2.15 - 2.16 Rice. 2.17 2.18. Događa se?<1 Na primjer, za, imamo ,… (Sl. 2.19) Rice. 2.19. Mobilizacija kod, Zanimljivo je napomenuti da konstruisani model, uprkos jednostavnosti pristupa i rezonovanja, prilično dobro odražava stvarne procese. Tako je predloženi model mobilizacije korišten za proučavanje dinamike broja glasova za Demokratsku stranku u Lake Country-u (SAD) u periodu 1920-1968. godine i pokazalo se da prilično dobro opisuje kvalitativne karakteristike procesa mobilizacije. . 2.4 Model trke u naoružanju Razmotrimo konfliktnu situaciju u kojoj se dvije zemlje mogu naći; radi definicije, nazvat ćemo zemlje X i Y. Označimo sa x=x(t) izdatke za naoružanje zemlje X i sa y=y(t) izdatke za naoružanje zemlje Y u datom trenutku. Pretpostavka 1. Država X se naoružava, plašeći se potencijalne ratne prijetnje od strane zemlje Y, koja, zauzvrat, znajući za povećanje cijene naoružavanja zemlje X, također povećava svoju potrošnju na oružje. Svaka zemlja mijenja stopu rasta (ili smanjenja) naoružanja srazmjerno nivou rashoda druge. U najjednostavnijem slučaju, ovo se može opisati na sljedeći način: gdje ?i ?-pozitivne konstante. Međutim, napisane jednačine imaju očigledan nedostatak - nivo naoružanja nije ničim ograničen. Prema tome, desne strane ovih jednačina trebaju prirodnu korekciju. Pretpostavka 2. Što je viši trenutni nivo potrošnje jedne zemlje za odbranu, to je sporija stopa njenog rasta. Ovo vam omogućava da napravite sljedeće promjene na prethodnom sistemu: x= ?y -?x y= ?x -?y ako ova država ne ugrozi postojanje ove. Označimo odgovarajuće tvrdnje sa a i b (a i b su pozitivne konstante). Ako su konstante a i b negativne, mogu se nazvati koeficijentima dobre volje. Na osnovu sve tri pretpostavke, rezultat je sljedeći sistem jednačina: x=?y-?x+a y=?x-?y+b Napravljen je model utrke u naoružanju. Rješenje rezultirajućeg sistema su funkcije x(t) i y(t) određene za date početne uslove x 0?0 i y 0?0 (početno stanje trke u naoružanju). Analizirajmo rezultujući sistem, pod pretpostavkom da nivoi izdataka obe zemlje na naoružanje ne zavise od vremena (oni su stacionarni). To znači x =0, y=0, ili drugačije: Y- ?x +a=0 X- ?y +b=0 Razmotrimo konkretan primjer. Primjer. Neka sistem utrke u naoružanju ima sljedeći oblik: x=3y-5x+15 y=3x-4y+12 Ako su stope promjene x i y jednake nuli, tada su ove veličine nužno vezane uvjetima: Svaka od ovih jednačina opisuje pravu na ravni (x, y), a tačka preseka ovih pravih nalazi se u prvoj četvrtini (slika 2.20) Prava data jednačinom (a) dijeli ravan, a početna tačka O(0,0) leži u pozitivnoj poluravni. U slučaju koji se razmatra, isto važi i za pravu liniju datu jednačinom (b) (slika 2.21). Dakle, prva četvrtina (a nas samo to zanima, pošto je uvijek x? 0 i y? 0) podijeljena je na četiri oblasti, koje se zgodno označavaju na sljedeći način: I-(+, +), II-(-, +), III- (-,-), IV-(+,-). Neka početno stanje (x 0,y 0) je u području I. Tada vrijede sljedeće nejednakosti: (a): 3y0 -5x 0+15>0,
(b): 3x 0-4g 0+12>0,
iz čega slijedi da su brzine x "i y" u ovoj tački pozitivne: x "\u003e 0, y"\u003e 0 i, prema tome, obje veličine (x i y) moraju rasti (slika 2.22). Rice. 2.22 .povećanje x i y Dakle, tokom vremena u regionu I, rešenje dolazi do tačke ravnoteže. Analizirajući na sličan način moguće lokacije početnog stanja u regijama II, III i IV, zaključujemo da se stabilno stanje (ravnoteža snaga) postiže bez obzira na početne nivoe naoružanja zemalja X i Y. Jedina razlika je da ako prelazak u stacionarno stanje iz oblasti I bude praćen istovremenim povećanjem nivoa naoružanja, onda iz oblasti III -njihovo istovremeno smanjenje; za regione II i IV situacija je drugačija -jedna strana gradi svoje oružje dok se druga razoružava. Mogući su i drugi slučajevi (slika 2.23). Rice. 2.23 . drugim slučajevima Zanimljivo je napomenuti da su mogućnosti konstruisanog modela testirane na realnoj situaciji. -trka u naoružanju prije Prvog svjetskog rata. Sprovedena istraživanja su pokazala da, uprkos svojoj jednostavnosti, ovaj model prilično pouzdano opisuje stanje stvari u Evropi 1909-1913. Na kraju ovog odjeljka citiraćemo izjavu T. Saatyja o ovom modelu: „Model se čini mnogo uvjerljivijim ako, umjesto naoružanja, proučavamo probleme prijetnji na njemu, budući da ljudi reagiraju na apsolutni nivo neprijateljstva prema njima. od strane drugih i doživljavaju osjećaj anksioznosti u stepenu proporcionalnom nivou neprijateljstva koji sami doživljavaju." Zaključak Danas nauka sve više pažnje posvećuje pitanjima organizacije i upravljanja, što dovodi do potrebe da se složeni svrsishodni procesi analiziraju sa stanovišta njihove strukture i organizacije. Potrebe prakse oživjele su posebne metode koje su zgodno grupisane pod nazivom "operativno istraživanje". Ovaj termin se odnosi na upotrebu matematičkih, kvantitativnih metoda za opravdanje odluka u svim oblastima svrsishodne ljudske aktivnosti. Svrha operativnog istraživanja je identificiranje najboljeg pravca djelovanja za rješavanje određenog problema. Glavna uloga je matematičkom modeliranju. Da bi se izgradio matematički model, potrebno je striktno razumjeti svrhu funkcionisanja sistema koji se proučava i imati informacije o ograničenjima koja određuju raspon prihvatljivih vrijednosti. Cilj i ograničenja trebaju biti predstavljeni kao funkcije. U modelima istraživanja operacija, varijable od kojih zavise ograničenja i ciljna funkcija mogu biti diskretne (najčešće cjelobrojne) i kontinualne (kontinuirane). Zauzvrat, ograničenja i ciljna funkcija se dijele na linearne i nelinearne. Postoje različite metode za rješavanje ovih modela, a najpoznatije i najefikasnije od njih su metode linearnog programiranja, kada su funkcija cilja i sva ograničenja linearni. Za rješavanje matematičkih modela drugih vrsta namijenjene su metode dinamičkog programiranja (koje su razmatrane u ovom predmetnom projektu), cjelobrojno programiranje, nelinearno programiranje, višekriterijumska optimizacija i metode mrežnih modela. Gotovo sve metode istraživanja operacija generiraju računske algoritme koji su iterativni po prirodi. To podrazumijeva da se problem rješava sekvencijalno (iterativno), kada na svakom koraku (iteraciji) dobijemo rješenje koje postepeno konvergira do optimalnog rješenja. Iterativna priroda algoritama obično dovodi do velikih proračuna istog tipa. To je razlog zašto su ovi algoritmi razvijeni uglavnom za kompjutersku implementaciju. Konstrukcija modela zasniva se na značajnom pojednostavljenju situacije koja se proučava i ,stoga, zaključke koji se iz njega izvlače treba tretirati sa dovoljnim oprezom. -model ne može sve. Istovremeno, čak i vrlo gruba idealizacija često omogućava da se dublje prodre u suštinu problema. Pokušavajući nekako utjecati na parametre modela (odabrati ih, kontrolirati), dobivamo priliku da proučavani fenomen podvrgnemo kvalitativnoj analizi i izvučemo opšte zaključke. Dinamičko programiranje je matematički aparat koji omogućava optimalno planiranje procesa u više koraka koji zavise od vremena. Kako procesi u problemima dinamičkog programiranja zavise od vremena, za svaku fazu se pronalazi niz optimalnih rješenja koja osiguravaju optimalan razvoj cjelokupnog procesa u cjelini. Koristeći planiranje korak po korak, dinamičko programiranje omogućava ne samo pojednostavljenje rješavanja problema, već i rješavanje onih na koje se metode matematičke analize ne mogu primijeniti. Svakako ,vredi napomenuti ,da je ova metoda dosta dugotrajna pri rješavanju problema sa velikim brojem varijabli. Bibliografija 1.Akulich I.L. Matematičko programiranje u primjerima i zadacima: Proc. dodatak - M.: Viša škola, 2009 .Berezhnaya E.V., Berezhnoy V.I. Matematičke metode modeliranja. - M.: Posao i usluge, 2009 .Intriligator M. Metode matematičke optimizacije i ekonomska teorija. - M.: Iris-Press, 2008 .Kurbatov V.I., Ugolnitsky G.A. Matematičke metode društvenih tehnologija. - M.: Univerzitetska knjiga, 2011 .Monakhov A.V. Matematičke metode ekonomske analize. - Sankt Peterburg: Petar, 2007 .Orlova I.V., Polovnikov V.A. Ekonomsko-matematičke metode i modeli. - M.: Vuzovski udžbenik, 2008 .Popov I.I., Partyka T.L. Matematičke metode. - M.: INFRA-M, 2007 .Popova N.V. Matematičke metode. - M.: Ankil, 2007 Trebate pomoć u učenju teme?
Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju. Kontinuirani i diskretni modeli kontinuirano modeli odražavaju kontinuirane procese koji se dešavaju, posebno, u vremenu. Vrijednosti nezavisne varijable (argumenta) pripadaju skupu kontinuuma. Kontinualni skup ima svojstvo da se između bilo koje proizvoljno bliske tačke skupa uvijek mogu naći još bliže točke. Vrlo često se ovaj karakter promjene pripisuje vremenu. Kontinuirani modeli prilično precizno opisuju takve stvarne procese kao što su promjena jačine struje u određenoj tački električnog kola, promjena ugaone brzine na izlazu električnog pogona, skup linearne brzine tokom ubrzanja vozila, otjecanje plina ili tečnost iz rezervoara itd. Diskretno modeli opisuju diskretne, tj. povremeni procesi. Takvi se procesi dešavaju, na primjer, u diskretnim upravljačkim sistemima koji sadrže impulsni element (ključ) koji periodično zatvara krug nakon konstantnog perioda takta. T. Diskretni modeli prilično precizno opisuju takve stvarne procese kao što su štancanje dijelova, prodaja sitne robe uz pomoć mašine, rad mikroprocesora itd. Postoje također kombinovano– diskretno-kontinuirani modeli, u kojima je obično moguće odvojiti kontinuirani dio od diskretnog. Statički naziva se model objekta koji odražava original u nekom određenom trenutku, tj. "snimka" objekta. Na primjer, doslovno fotografija ili dijagram. Sa fotografijom (sl. 1.11) sve je jasno, što se tiče kola, čak i ako je strukturni dijagram koji pokazuje prijenosne funkcije karika, sa nje se jasno ne vidi kako se model mijenja tokom vremena (slika 1.12). ). Sl.1.11. Fotografija kao primjer statičkog modela Rice. 1.12. Strukturni dijagram sistema Još jedan očigledan i poznat primjer statičkog modela je statička karakteristika, tj. zavisnost izlazne varijable objekta (sistema) od ulazne varijable u Stabilno stanje, tj. at t®∞: y(∞)=F(Sl. 1.13) .
Rice. 1.13. Statički odgovor sistema” Sistem” Dynamic model, za razliku od statičkog, uzima u obzir promjene koje se dešavaju u sistemu tokom vremena. Ovo se može izraziti kao zavisnost ulaznih, izlaznih i međupromenljivih o vremenu. Primjer su prijelazne funkcije - reakcije sistema na jednu postupnu ulaznu akciju (slika 1.14). Rice. 1.14. tranzicijska funkcija h(t) sistemi" Sistem” Tranzicione funkcije se obično dobijaju kao rezultat: 1) analitičkog rešenja; 2) numerička integracija diferencijalnih jednačina koje opisuju sistem koji se proučava; 3) inverzna Laplasova transformacija iz prenosne funkcije sistema, podeljena sa s. Model u obliku diferencijalnih jednačina (DE) je široko korišten dinamički model. Primjer. Neka sistem bude opisan modelom u obliku diferencijalne jednadžbe: radnja unosa x(t)= 1[t]- jednostruko (kao na slici 1.14), a početni uslovi su: y(t= 0) =
0, tj. proces počinje od početka. Analitičko rješenje. Ovo je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda sa konstantnim koeficijentima (stacionarna). Njegovo rješenje se sastoji od dva pojma - općih i posebnih rješenja: Opšte rješenje se traži u obliku: gdje A je nepoznati koeficijent određen iz početnih uslova; l je korijen karakteristične jednadžbe, koja u ovom slučaju izgleda ovako: gdje l=– 2. U standardnom obliku, originalna jednadžba mora imati y(t) koeficijent jednak jedan. Da bismo to učinili, originalnu jednačinu podijelimo sa 4 i dobijemo: Konkretno rješenje ovisi o obliku desne strane DE; u ovom primjeru, jer x(t)= 1[t], određeno rješenje će biti jednako konstanti: Sveukupno rješenje će izgledati ovako: Sada, zamjena u rješenje y(t) početni uslov (postoji samo jedan za jednačinu 1. reda), možete pronaći vrijednost koeficijenta A: gdje A = - 1,25.
Konačno rješenje izgleda ovako: Budući da je ulazna akcija bila jedan korak, rezultirajuće rješenje je prijelazna funkcija i označava se, kao i obično, h(t). Grafikon ove funkcije prikazan je na sl. 1.15. Rice. 1.15. tranzicijska funkcija h(t)– DE rješenje iz primjera Sviđa mi se h(t) karakter (sa različitim greškama) su procesi kao što su ubrzanje automobila, zagrijavanje tekućine, akumulacija znanja u određenoj predmetnoj oblasti, povećanje populacije životinja, povećanje proizvodnje (pod određenim uvjetima) i mnogi drugi . Ovo je jedno od najvažnijih svojstava matematičkih modela – njihova univerzalnost. Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni. Hostirano na http://www.allbest.ru/ Razvoj neuronskih mreža, mikrosistemsko inženjerstvo, nanotehnologija uneo je mnogo novih stvari u metode modeliranja procesa i sistema, što je takođe dalo efikasan alat za preliminarno rešavanje projektnih problema u matematičkom obliku na modelima i njihovo numeričko proučavanje na modelima. kompjuteri. Upotreba modeliranja je posebno efikasna u proučavanju projektovanih sistema u cilju proučavanja i predviđanja različitih pojava i procesa u tim sistemima. Približavanje realnim uslovima rada projektovanih sistema vrši se stohastičkim modeliranjem, kada se uslovima simulacije dodaju slučajne promene parametara sistema, poremećaji i merni šum fizičkih veličina. U instrumentaciji je važno modelirati zadatke upravljanja, prijema, prijenosa i pretvaranja informacija. Istovremeno, moderni modeli svuda koriste diferencijalne jednadžbe i linearne matrične transformacije za opisivanje procesa i sistema. Razvojem savremenih metoda modeliranja stvoreni su preduslovi za stvaranje i proučavanje visoko efikasnih sistema, koji su, po pravilu, fokusirani na algoritme za digitalnu obradu informacija, koristeći savremene mikroprocesore, neuroračunare, fuzzy logičke procesore i druga moderna tehnološka dostignuća. 1
.
Teorijski dio
Dinamički sistemi su sistemi koji pod uticajem spoljašnjih i unutrašnjih sila menjaju svoja stanja tokom vremena. Ideje o dinamičkim sistemima nastale su kao generalizacija koncepta mehaničkog sistema, čije ponašanje je opisano Newtonovim zakonima dinamike. U savremenoj nauci koncept dinamičkog sistema obuhvata sisteme gotovo bilo koje prirode: fizičke, hemijske, biološke, ekonomske, društvene, itd. Istovremeno, sisteme karakteriše drugačija unutrašnja organizacija – rigidno određena, stohastička, nelinearna, sistemi sa elementima samoorganizacije, samoorganizovanja. Najvažnije svojstvo dinamičkih sistema je njihova stabilnost, odnosno da sistem zadržava svoju osnovnu strukturu i glavne funkcije koje se obavljaju određeno vreme i uz relativno male i raznovrsne spoljašnje uticaje i unutrašnje poremećaje. Stabilnost je unutrašnje svojstvo sistema, a ne rezultat spoljašnjih uticaja. Ideje o razvoju ovih sistema odražavaju takve promjene u njihovoj strukturnoj organizaciji, koje dovode do efikasnijeg obavljanja sistema njegovih glavnih funkcija. Kvalitativne reorganizacije sistema analiziraju se u teoriji katastrofa, koja se smatra granom opšte teorije dinamičkih sistema. Razvoj ideja o dinamičkim sistemima povezan je sa prelaskom na znanje sve složenijih sistema. U ovom slučaju, proučavanje dinamike unutrašnjih svojstava sistema dobija posebnu ulogu. U slučaju mehaničkih sistema, djelovanje unutrašnjih faktora je svedeno na sile inercije. Kako sistemi postaju složeniji, povećava se važnost unutrašnjih faktora. U prvi plan dolaze problemi proučavanja izvora unutrašnje aktivnosti sistema i prirode njihovog svrsishodnog funkcionisanja i ponašanja. Matematičkim modelom dinamičkog sistema obično se naziva skup matematičkih simbola koji na jedinstven način određuju razvoj procesa u sistemu, tj. njeno kretanje. Istovremeno, ovisno o korištenim simbolima, razlikuju se analitički i grafičko-analitički modeli. Analitički modeli se grade pomoću abecednih simbola, dok grafičko-analitički modeli dozvoljavaju upotrebu grafičkih simbola. U zavisnosti od vrste signala razlikuju se kontinuirani i diskretni modeli sistema. U zavisnosti od operatora koji se koriste - linearni i nelinearni, kao i vremenski i frekventni modeli. Temporalni modeli uključuju modele u kojima je argument (kontinuirano ili diskretno) vrijeme. Ovo su diferencijalne i diferencijalne jednadžbe napisane eksplicitno ili u obliku operatora. Frekvencijski modeli predviđaju upotrebu operatora čiji je argument frekvencija odgovarajućeg signala, tj. Laplaceovi operatori, Fourierovi operatori itd. Moderna matematika koristi predstavljanje dinamičkih procesa i sistema diferencijalnim jednačinama u prostoru stanja. Ovakav opis procesa i sistema olakšava izvođenje njihovog digitalnog modeliranja upotrebom konačne razlike i dizajniranje univerzalnih algoritama za obradu informacija u svrhu dalje optimalne procjene parametara sistema i procesa. Za organizaciju kontrole u sistemima neophodne su optimalne procjene automatska kontrola savremenim metodama, te u informaciono-mjernim sistemima za dobijanje pouzdanih podataka o izmjerenim fizičkim veličinama, za predviđanje ponašanja proučavanih pojava i sistema, za povećanje otpornosti na greške obrade informacija. Jedna od metoda za dobijanje matematičkog modela sistema ili procesa je identifikacija. Identifikacija dinamičkog sistema je dobijanje ili usavršavanje matematičkog modela (numeričkih parametara) ovog sistema ili procesa, izraženog pomoću jednog ili drugog matematičkog aparata, na osnovu eksperimentalnih podataka. U prostoru stanja koriste se sljedeći osnovni matematički modeli. Kontinuirani deterministički stohastički dinamički sistem (DS) je sistem opisan linearnim diferencijalnim jednačinama stanja prvog reda i linearnom izlaznom jednadžbom. U matričnom obliku: X "(t) \u003d A * X (t) + B * U (t) + D * V (t), Y (t) \u003d CX (t), gdje je H"(t) - n-dimenzionalni vektor stanja sistema; V(t) - r-dimenzionalni vektor Gausovih šuma sa nultom srednjom i korelacionom matricom E=Q(t) simulacija matrice fazne putanje (E - operator očekivanja); Y(t) - m-dimenzionalni izlazni vektor; A, B, D - matrice stanja (matrice koeficijenata); C je matrica linearne transformacije veličine m x n. Diskretni deterministički stohastički dinamički sistem (DS) je sistem opisan diferencijskim jednačinama stanja prvog reda i diskretnom izlaznom jednačinom. Matrični prikaz odgovara jednadžbi: X(k+1)=F*X(k)+G*U(k)+T*V(k), Y(k)=CX(k), gdje su F, G, T prelazne matrice. Matrice F, G, T se izračunavaju u terminima A, B, D kao: F=I+A*y*dt, G=y*B*dt, T=y*D*dt, gdje je I matrica identiteta; dt - period diskretnosti sistema (procesa). Diskretni period dt se bira na osnovu propusnog opsega DS u skladu sa teoremom o impulsu. DS je deterministički ako nema perturbacionih šuma i stohastičkih procesa (ili se svi ovi faktori mogu zanemariti). Čisto stohastički DS nema deterministički vektor ulaznih signala. Determinističko-stohastički sistem sadrži i determinističke uticaje i stohastičke procese. Objekti posmatranja dinamičkih sistema su: informacioni procesi (IP), kontrolni objekti (OC), primarni informacioni senzori (DPI), aktuacioni uređaji (ID). Primarni model objekta posmatranja tipa IP je spektralna ili korelaciona funkcija. Primarni model objekta posmatranja kao što su OS, DPI i IE je diferencijalna jednačina (ili ekvivalentna funkcija prijenosa) koja povezuje ulaz i izlaz. Primarni informacijski senzor je element uređaja koji pretvara informacije o fizičkoj veličini u signal koji je pogodan za korištenje i obradu. Zadana je diferencijalnom jednadžbom ili prijenosnom funkcijom. Prijenosna funkcija DPI je omjer Laplaceove transformacije izlaznog procesa DPI prema Laplacevoj transformaciji ulaznog procesa pri nultim početnim uvjetima. Kretanje sistema je fizički proces promjene njegovih varijabli u vremenu i prostoru. Izlazne varijable Y(t), kontrolni ulaz U(t) i uznemirujući ulaz V(t) smatraju se odgovarajućim vektorima, koji se zapisuju kao matrice stupaca: 1.
3
Simulacija kontinuiranog sistema upravljanja Upravljački sistem je dizajniran za mjerenje i izdavanje informacija o kontrolisanom procesu h(t), koji sadrži prosječnu (determinističku) komponentu i stohastičku (slučajnu) g(t). Mjerenje se odvija pod utjecajem aditivnog šuma n(t). Senzor sa kojim se vrše mjerenja je dinamička veza (u ovom slučaju drugog reda). Ekvivalentno kolo kontrolnog sistema prikazano je na slici 1 Slika 1 - Šema upravljačkog sistema Slučajna komponenta g(t) mjerenog procesa data je spektralnom gustinom Sg(w); deterministički - signalom u(t); h(t)=g(t)+u(t) - kompletan informacioni proces; f(t)=h(t)+n(t) - mjerenje procesa h(t) sa aditivnim šumom n(t) (zadana je spektralna gustina šuma - Sn(w)); h(t) - izlazni signal DPI (primarni informacioni senzor); W(S) - DPI prijenosna funkcija. Determinističko ulazno djelovanje je dato zbrojem koraka i harmonijskih funkcija. Za simulaciju upravljačkog sistema u Matlabu izrađuje se simulacijski dijagram koji je prikazan na slici 2. Slika 2 - Šema simulacije upravljačkog sistema 1.4 Matematički opis sistema kontinuiranog praćenja Spektralna gustina kontrolisanog procesa je data: Prijenosna funkcija objekta promatranja: Intenzitet šuma mjerenja R=17 (prilikom mjerenja izlaznog signala objekta posmatranja). Faktorizacijom iz modela u obliku spektralne gustine dobijamo funkciju prenosa filtera za oblikovanje ulaznog procesora: Matrični model objekta posmatranja nalazi se metodom pomoćne varijable. Jednačina stanja u ovom slučaju je: Proces h(t) na izlazu objekta posmatranja izračunava se u matričnom obliku: U ovom primjeru dobijamo sljedeću vrstu matrica: Model matričnog senzora: Izlaz objekta promatranja h=C 0 *X 0 . Kompletna jednadžba kontrolnog objekta sadrži jednadžbu stanja ulaznog procesa i jednačinu stanja objekta: gdje su matrice A, B i D sastavljene na osnovu diferencijalnih jednadžbi procesa i kontrolnog objekta, koje imaju oblik: Ili u odnosu na puni vektor: : Matrice A, B, C, D u ovom slučaju imaju sljedeći oblik: 2
.
Praktični dio 2.1 Dovršavanje zadatka 1 Algoritam za obavljanje posla u Simulink okruženju. 1. Pokrenite Matlab (verzija R2012b) i izaberite stavku menija "New > Simulink Model" (slika 3). Slika 3 – Proces kreiranja novog modela u Simulink-u 2. Otvorite biblioteku funkcionalnih blokova "Simulink". Da biste to uradili, kliknite levim tasterom miša na kontrolnoj tabli na ikonu "Simulink Library" (Slika 4). Slika 4 – Proces kreiranja novog modela u Simulink-u 3. Kao rezultat, otvoriće se meni Simulink biblioteke, čiji je glavni prikaz prikazan na slici 5. Slika 5 - Glavni prozor "Simulink Library" 4. Izvlačimo sve potrebne funkcionalne blokove iz Simulink biblioteke. Da biste to učinili, koristite pretragu gornji panel prozor "Simulink Lybrary Browser", koji je prikazan na slici 6. Slika 6 - Pronalaženje bloka u "Simulink biblioteci" 5. Za simulaciju kontinuiranog sistema upravljanja trebat će nam sljedeći blokovi: Blokovi "Sine Wave", "Step" i "Random number" sa kartice "Sources"; Tri bloka "Podsistema" i blok "Opseg" sa kartice "Često korišteni blokovi"; Blokirajte "Sum" na kartici "Matematičke operacije"; Blokirajte "Fcn" na kartici "Korisnički definirana funkcija"; Blok "State-space" sa kartice "Continuous". 6. Napravimo kolo vrhunski nivo modeli sistema kontinuiranog nadzora (slika 7), koristeći funkcionalne blokove navedene u klauzuli 5: Slika 7 - Dijagram gornjeg nivoa upravljačkog sistema 7. Pogledajmo bliže blokove "Podsistema": "Objekat", "Senzor", "Filter". 8. Blok "Objekat" je objekat posmatranja sistema i dinamički je sistem koji sadrži stohastički proces (blok "State-Space") i senzor ("State-Space 1" blok). Funkcionalni dijagram dinamički sistem "Objekat" prikazan je na slici 8. Slika 8 - Dinamički sistem "Objekat" 9. Postavljanje blokova jednačine stanja "State-Space" i "State-Space 1" prikazano je na slikama 9 i 10, respektivno. Slika 9 - Postavljanje parametara bloka "State-Space" Slika 10 - Postavljanje parametara bloka "State-Space 1" 10. Funkcionalni blokovi h(t)=C 0 X i g(u)=C g X, postavljeni su funkcijama prikazanim u prozoru parametara (slika 11). Slika 11 - Postavljanje funkcijskih blokova h(t) i g(u) 11. Blok "Senzor" (senzor) mjeri ulazni signal i predstavlja kombinaciju korisnog signala h(t) i smetnje n(t): Model senzora je prikazan na slici 12. Blok "Random Number" se koristi kao generator bijelog šuma intenziteta 0,4. Slika 12 - Model senzora (Senzor) 12. Blok "Filter" (filter) na osnovu senzorskih mjerenja daje procjenu izlaznog parametra objekta posmatranja - h^(t). Matrice A, B, C odgovaraju matricama punog modela. Matrica C u bloku "State Space" je jednostruka. Model filtera je prikazan na slici 13. Slika 13 - Model filtera (Filter) Postavljanje parametara bloka "State Space" i funkcionalnog bloka f(u) prikazano je na slici 14. Slika 14 - Postavljanje parametara blokova "State-Space" i "f(u)" 13. Rezultati sistemskih procesa se snimaju osciloskopom (blok "Scope"). Konfigurirajmo parametre bloka "Scope". Da biste to učinili, kliknite desni klik kliknite na blok i odaberite "Parametri bloka" u dijaloškom okviru. Zatim, u području prozora koji se pojavi, kliknite desnom tipkom miša i odaberite "Svojstva osi" (slika 15). U dijaloškom okviru koji se pojavi postavite raspon vrijednosti (Y) za svaki od tri grafikona (slika 16). Slika 15 - Podešavanje parametara bloka "Scope". Slika 16 - Podešavanje raspona Y 14. Na alatnoj traci Matlab na vrhu ekrana možete konfigurisati broj ciklusa rada sistema, nakon čega matlab rad stani. Podešavanje ovog parametra prikazano je na slici 17. Slika 17 - Podešavanje radnih ciklusa sistema 15. Ovim se završava konfiguracija modela sistema kontinuiranog nadzora. Zatim pokrenite sistem klikom na lijevu tipku miša na ikonu "Run" na traci sa alatkama na vrhu ekrana (Slika 18). Slika 18 - Pokretanje sistema za izvršenje 16. Rezultati rada sistema se odražavaju u bloku "Scope" i prikazani su na slici 19. Slika 19 - Rezultati sistema 2.2 Završetak zadatka 2 Oscilacije nelinearnog oscilatora su opisane sljedećom jednačinom: Koristeći ovu diferencijalnu jednačinu, potrebno je: 1. Kreirati model mehaničkog sistema; 2. Izračunati numeričku vrijednost koordinate oscilatora u trenutku t=5 i prikazati rezultat na displeju; 3. Izgraditi grafove koordinata i brzine u odnosu na vrijeme; 4. Konstruirati faznu putanju sistema. Originalnu jednačinu pišemo kao sistem jednačina prvog reda. Ovaj sistem rješavamo korištenjem Simulink paketa, komponujući blok model. Kao poseban blok u opštem modelu, formiraćemo podmodel (podsistemski blok): (Bibliotečki portovi i podsistemi). Podmodel je fragment modela, dizajniran kao poseban blok. Korištenje podmodela prilikom sastavljanja modela ima sljedeće prednosti: 1) smanjuje broj istovremeno prikazanih blokova na ekranu, što olakšava percepciju modela; 2) omogućava vam da zasebno kreirate i otklanjate greške u fragmentima modela, što povećava obradivost kreiranja modela; 3) omogućava sinhronizaciju paralelnih operativnih podsistema. Koristeći kreirani podmodel, vrijednosti i u glavnom modelu su povezane sa odgovarajućim ulazima podmodela, a izlaz podmodela je pridružen sabiraču. Signal sa izlaza sabirača se dovodi na ulaz prvog integratora, zatvarajući integraciono kolo. U Simulink-u je opisana procedura prikazana na slikama 20 i 21: Slika 20 - Osnovni model Slika 21 - Podmodel Ako dvaput kliknete na blok obim(y(t)) u blok dijagramu oscilatora, pojavit će se grafički prozor sa grafikonom y koordinate u odnosu na vrijeme. Rezultat očitavanja bloka "Scope" prikazan je na slici 22. Slika 22 - Očitavanja bloka Scope U ovom modelu, za izgradnju fazne putanje sistema, koristi se blok - graf ploter, koji prikazuje jedan signal kao funkciju drugog (graf oblika Y (X)). Blok ima dva ulaza. Gornji ulaz je namijenjen za dovod signala, koji je argument (X), donji ulaz je za isporuku funkcijskih vrijednosti (Y). Zavisnost X od Y prikazana je na slici 23. Slika 23 - Zavisnost X od Y Analiza dinamičkih procesa u sistemu zasnovana na upotrebi izg analitički model. Simulacija pomoću paketa proširenja Symbolic Math Tolbox. Izgradnja modela u obliku sistema diferencijalnih jednačina napisanih u Cauchyjevom obliku. seminarski rad, dodan 21.06.2015 Izrada signalnog grafa i blok dijagrama upravljačkog sistema. Proračun prijenosne funkcije sistema korištenjem Mejsonove formule. Analiza stabilnosti po Ljapunovljevom kriteriju. Sinteza filtera za oblikovanje. Kontrola kvaliteta ekvivalentno kolo po prijelaznoj funkciji. seminarski rad, dodan 20.10.2013 Matematički modeli tehničkih objekata i metode za njihovu implementaciju. Analiza električnih procesa u kolu drugog reda korištenjem kompjuterskih matematičkih sistema MathCAD i Scilab. Matematički modeli i modeliranje tehničkog objekta. seminarski rad, dodan 08.03.2016 Simulacija ulaznog datog signala, iscrtavanje, amplituda i fazni spektar. Modeliranje buke sa Rayleighovim zakonom raspodjele vjerovatnoće, procjena varijanse uzoraka buke i provjera adekvatnosti modela buke korištenjem Pearsonovog kriterija. seminarski rad, dodan 25.11.2011 Rješenje diferencijalnih jednadžbi matematičkog modela sistema sa i bez apsorbera. Statički proračun izolacije vibracija. Određivanje prirodnih frekvencija sistema, konstrukcija amplitudno-frekventnih karakteristika i zavisnost pomaka od vremena. kontrolni rad, dodano 22.12.2014 Blok dijagram Karaaslanovog modela, sistem diferencijalnih jednadžbi, metode rješenja. Blokovi i biohemijski zakoni sistema Solodjanikov, prelaz između faza. Modeliranje patologija, grafikoni eksperimenata. Izgradnja kompleksnog modela hemodinamike. disertacije, dodato 24.09.2012 Izrada projekta automatskog upravljačkog sistema za kolica koja se kreću u bočnoj ravni. Opis i analiza kontinuiranog sistema, kreiranje njegovih matematičkih modela u prostoru stanja i "ulaz-izlaz" modela. Konstrukcija grafova reakcija objekta. seminarski rad, dodan 25.12.2010 Matematičko modeliranje zadaci komercijalne djelatnosti na primjeru modeliranja procesa izbora proizvoda. Metode i modeli linearnog programiranja (određivanje dnevnog plana proizvodnje proizvoda koji obezbeđuju maksimalni prihod od prodaje). test, dodano 16.02.2011 Neki matematički problemi u teoriji održavanja složenih sistema. Organizacija servisa sa ograničenim informacijama o pouzdanosti sistema. Algoritmi za siguran rad sistema i pronalaženje vremena za planirano preventivno održavanje sistema. sažetak, dodan 19.06.2008 Operatori transformacije varijable, klase, metode konstrukcije i karakteristike strukturnih modela upravljačkih sistema. Linearni i nelinearni modeli i karakteristike upravljačkih sistema, ulazno-izlazni modeli, konstrukcija njihovih vremenskih i frekvencijskih karakteristika. Uvod ................................................................. ................................................ .. 3 1. Model međusektorskog bilansa ................................................. ................. 4 1. 1. Dinamički model Leontjeva ........................................ ........... 7 1. 2. Konstrukcija dinamičkog modela Leontjeva ................................ 12 2. Neumannov model ................................................. .................................................... šesnaest Zaključak................................................................ ............................................ dvadeset Reference ................................................... ............................................ 21 Dinamički modeli privrede su modeli koji opisuju privredu u razvoju (za razliku od statičnih modela koji karakterišu njeno stanje u određenom trenutku). Model je dinamičan ako barem jedna od njegovih varijabli pripada različitom vremenskom periodu od ostalih varijabli. V opšti pogled dinamički modeli privrede svode se na opisivanje sledećih ekonomskih fenomena: početno stanje privrede, tehnološke metode proizvodnje (svaka „metoda“ kaže da je iz skupa resursa x moguće proizvesti skup proizvoda y unutar jedinica vremena), kao i kriterijum optimalnosti. Matematički opis dinamičkih modela privrede vrši se korišćenjem sistema diferencijalnih jednačina (u modelima sa kontinuiranim vremenom), razlika jednačina (u modelima sa diskretnim vremenom), kao i sistema običnih algebarskih jednačina. Uz pomoć dinamičkih modela, posebno se rješavaju sljedeći zadaci planiranja i predviđanja ekonomskih procesa: određivanje putanje ekonomski sistem, njegova stanja u datim vremenima, analiza stabilnosti sistema, analiza strukturnih promjena. Sa stanovišta teorijske analize veliki značaj nabavio dinamički von Neumann model. Kao za praktična primjena dinamičkih modela ekonomije, onda je još u ranoj fazi: proračuni zasnovani na modelu koji je barem donekle blizak realnosti su izuzetno složeni. Ali razvoj u ovom pravcu se nastavlja. Posebno se koriste multisektorski (multisektorski) dinamički modeli ekonomskog razvoja koji uključuju dinamičke modele input-output bilansa, kao i proizvodne funkcije, te teoriju ekonomskog rasta. Međusektorsko modeliranje je dio makroekonomije modeliranje i služi za analizu i procjenu stanja opšte ekonomske ravnoteže nacionalne ekonomije. National privredu u input-output bilansu predstavlja niz čistih industrija, međusobno povezani finansijski tokovi od prodaje proizvoda, radovi i usluge. Čiste industrije su uslovne industrije koje predstavljaju proizvodnja jednog ili više homogenih proizvoda. Dinamički modeli input-output balansa - poseban slučaj dinamički modeli privrede; zasnivaju se na principu međusektorskog bilansa, u kojem se dodatno uvode jednačine koje karakterišu promjene međusektorskih odnosa tokom vremena na osnovu pojedinačnih pokazatelja: na primjer kapitalnih ulaganja i osnovnih sredstava (što omogućava stvaranje kontinuiteta između bilansa stanja pojedinih perioda). Glavne pretpostavke modela međusektorske ravnoteže su: Svaka industrija proizvodi tačno jedan proizvod Svaki proizvod proizvodi tačno jedna industrija Broj proizvoda jednak je broju industrija Intenzitet industrije se može mjeriti obimom proizvodnje odgovarajućeg proizvoda. cijena bilo kojeg proizvoda u svakoj industriji je direktno proporcionalna njegovom intenzitetu Input-output bilans je ekonomsko-matematički model formiran ukrštanjem redova i kolona tabele, odnosno bilansa distribucije proizvoda i troškova proizvodnje povezanih rezultatima. Glavni indikatori ovdje su koeficijenti ukupnih i direktnih troškova. Dinamički model input-output bilansa karakteriše proizvodne odnose nacionalne privrede tokom niza godina, odražava proces reprodukcije u dinamici. Prema input-output modelu bilansa vrše se dvije vrste proračuna: prvi, kada se na osnovu datog nivoa finalne potrošnje izračunava uravnoteženi obim proizvodnje i distribucije proizvoda; drugi tip, uključujući mješovita naselja, kada prema date sveske proizvodnje za neke sektore (proizvode) i datu finalnu potrošnju u drugim sektorima, izračunava se bilans proizvodnje i distribucije proizvoda u cijelosti. Najviše se koristi matrični ekonomsko-matematički model međusektorske ravnoteže. To je pravougaona tabela (matrica), čiji elementi odražavaju odnose ekonomskih objekata. Kvantitativne vrijednosti ovih objekata izračunavaju se prema pravilima utvrđenim u teoriji matrica. Matrični model odražava strukturu troškova proizvodnje i distribucije i novostvorenu vrijednost. Tabela input-output bilansa proizvodnje i distribucije proizvoda, radova i usluga Prvi kvadrant odražava podatke o međusobnim isporukama proizvoda, radovi, usluge između industrija. Prvi kvadrant se zove kvadrant međupotrošnja i karakteriše međupotrošnja (troškovi) ili međupotražnja industrija u proizvodnji proizvoda, radovi, usluge: X
ij- trošak proizvoda i industrije, isporučeno u j-th industrija u tokom godine, odnosno troškove proizvodnje i-th industrija potrošena j th industrija tokom godine; i-th linija - međupotrošnja proizvoda i industriju od svih industrije; j-th kolona - potrošnja (troškovi) u j th industrijske proizvode od svih industrije u proizvodnji svojih proizvoda; X
i- vrijednost proizvedenog bruto proizvoda i industriju u tokom godine. Drugi kvadrant se zove kvadrant krajnje upotrebe. (potrošnja) ili konačna potražnja. Predstavlja krajnju upotrebu proizvoda industrije, podijeljenu na finalnu potrošnju ( WITH
i), investicije ( I
i), izvoz ( E
i) i uvoz ( M
i), spoljnotrgovinski bilans ( E
i
– M
i). Finalna potrošnja uključuje potrošnju domaćinstava (stanovništva), državnih i neprofitnih organizacija. Treći kvadrant se naziva kvadrant dodane vrijednosti. .
U njemu predstavlja dodanu vrijednost troškovima u industrijama proizvodi drugih industrija u proizvodnji proizvoda, radova, usluga. Dodata vrednost proizvedena u sektorima nacionalne privrede, uključuje: plate ( V
j), amortizacija (potrošnja osnovnog kapitala) (C
j), neto prihod ( m
j). Četvrti kvadrant nije popunjen. Struktura industrija u IOB-u uključuje industrije materijalne proizvodnje: industrija (energetika, mašinstvo, laka i prehrambena industrija, građevinarstvo, poljoprivreda) i industrije nematerijalne usluge (stambeno-komunalne usluge, bankarstvo, zdravstvo, obrazovanje, nauka, itd.). Realni međusektorski bilans obuhvata oko 30 industrija. Međusektorski bilans za prošlu godinu naziva se izvještajni međusektorski bilans. Input-output bilans je poznat u nauci i praksi kao input-output metoda koju je razvio V.V. Leontiev. Ova metoda se svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina, gdje su parametri faktori troškova proizvodnje. Koeficijenti izražavaju odnose između sektora privrede (koeficijenti tekućih materijalnih troškova), stabilni su i predvidljivi. Rješenje sistema jednadžbi omogućava vam da odredite koliki bi trebao biti učinak i troškovi u svakoj industriji kako bi se osigurala proizvodnja konačnog proizvoda date zapremine i strukture. Za to se sastavlja tabela međugranskih tokova robe. Nepoznate su proizvodnja i troškovi robe proizvedene i korištene u svakoj industriji. Njihovo izračunavanje uz pomoć koeficijenata znači obim proizvodnje koji osigurava opštu ravnotežu. U slučaju nesrazmjera, uzimajući u obzir narudžbe potrošača, uključujući i državne, izrađuje se plan-matrica za puštanje svih vrsta materijalnih dobara i troškove njihove proizvodnje. Input-output metoda je postala univerzalni način predviđanje i planiranje u uslovima kako tržišne tako i direktivne ekonomije. Koristi se u sistemu UN, u SAD i drugim zemljama za predviđanje i planiranje privrede, strukture proizvodnje i međusektorskih odnosa. Dinamički modeli odražavaju proces ekonomskog razvoja. U njima proizvodna kapitalna ulaganja su odvojena od finalnih proučavaju se proizvodi, njihova struktura i uticaj na rast obima proizvodnje. Shema dinamičkog balansa ulaz-izlaz prikazana je u tabeli Tabela sadrži dvije matrice. Elementi druge matrice pokazuju koliko proizvoda i-th industrija poslata u tekućem periodu u j industrija kao proizvodna kapitalna ulaganja u osnovna i obrtna sredstva. U dinamičkoj shemi, konačni proizvod at
i uključuje proizvode ja- industrija, odlazak u ličnu i javnu potrošnju, akumulacija neproizvodna sfera, izgradnja u toku, za izvoz. Sve indikatori su dati u obliku troškova. Sljedeći omjeri bilansa su izvedeni u tabeli: Međusektorski tokovi kapitalnih investicija odnose se na period (t-
1,t). Dinamika je data dodatnim relacijama: Ekonomski smisao koeficijenata ϕ
ij = Kij /ΔHj sledeće: oni pokazati koliko proizvoda i-u industriju treba ulagati j-th industrija da poveća proizvodnju svojih proizvoda po jedinici po smatrane mernim jedinicama. Odds ϕ
ij pozvao koeficijenti kapitalnih ulaganja ili stope rasta kapitalni intenzitet. Sistem jednačina (1), uzimajući u obzir (2), može se zapisati kao: Predstavimo (3) u matričnom obliku: Iz (4) slijedi da Model (3) naziva se Leontijev diskretni dinamički model ravnoteže ulaz-izlaz. Sistem jednačina (3) je sistem linearnih razlika jednačina 1. reda. Za proučavanje ovog modela potrebno je u početni trenutak postaviti vektore X
(0
) i Y
(t) za t
= 1, 2, …, T. Rješenje modela će biti vrijednosti vektora X
(t), K
(t), t
= 1, 2, …, T. Uslov za rješivost sistema (3) u odnosu na vektor X
(t) je zahtjev det ( E
− A
− F) ≠ 0 U ovom modelu pretpostavlja se povećanje proizvodnje u periodu (t
– 1, t) nastaje zbog kapitalnih ulaganja izvršenih u istom periodu. Za kratke periode, ova pretpostavka je nerealna, jer postoji vremenski kašnjenja (vremenski odmaci) između ulaganja u proizvodna sredstva i povećanje proizvodnje. modeli, uzimajući u obzir zaostajanje kapitalnih investicija, formiraju posebnu grupu dinamički modeli međusektorske ravnoteže. Ako prijeđemo na kontinuirano vrijeme, tada će jednadžbe (3) biti prepisane u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi 1. reda sa konstantnim koeficijentima: Da se to riješi, pored matrica koeficijenata trenutnih linija materijalni troškovi A=
(a
ij) i omjere troškova kapitala F
= (ϕ ij) potrebno je znati nivoe bruto proizvodnje u početnom trenutku t
= 0 (x(0)) i zakon promjene vrijednosti konačnog proizvoda y
(t) na segmentu .
Rješenje sistema jednadžbi (6) će biti vrijednosti vektorske funkcije x
(t) na segmentu .
Uslov rješivosti za sistem (6) je det F
≠ 0 . Općenitiji dinamički međuindustrijski model je onaj uzimajući u obzir proizvodne kapacitete industrija. U nastavku je predstavljen u obliku sljedećih omjera: Stanje privrede u godini t karakteriše u dinamici sledeće varijable: X
t– kolonski vektor bruto proizvoda industrije; v
t–vektor ulaznih kapaciteta filijala; γ je dijagonalna matrica penzionisanja kapaciteta; x
t– kolonski vektor industrijskih kapaciteta (maksimalni mogući outputi); l
t
=
(l 1
, l 2
,..., l
n)t vektor radnog intenziteta industrijske proizvodnje, može zavisiti od vremena; L
t
–
obim radnih resursa u privredi. Vrijeme u modelu je diskretno i mijenja se u intervalima jednakim jednoj godini (t
= 1, 2, …, T).
Koeficijenti matrice direktnih troškova A = ║aij║ i matrice kapitalni intenzitet rasta proizvodnih kapaciteta F = ║Fij║ svibanj zavisi od vremena. Egzogeno data vektorska funkcija Y
t i numerička funkcija L
t
.
Rješenje modela su vektori X
t i x
t, zadovoljavajući sistem nejednačina (7)-(10). Nejednačine (7) pokazuju da je vektor bruto proizvoda X
t mora podmiriti tekuće troškove proizvodnje AH
t, troškovi proizvodnje za puštanje u rad proizvodnih objekata FV
t i neproizvodnu potrošnju Y t. Nejednakosti (8) ograničavaju bruto proizvodnju industrija na raspoložive kapacitete, nejednakosti (9) su industrijski bilansi promjena u proizvodnim kapacitetima, uzimajući u obzir njihovo penzionisanje i puštanje u rad, nejednakosti (10) pokazuju da je ukupna zaposlenost ograničena raspoloživim radnim resursima. Odredimo vrijednosti koje karakteriziraju promjene u bruto proizvodnji 5 industrija u 7 vremenskih intervala. Sada reproducirajmo matricu D. Koeficijent dij matrica D jednaka je količini proizvoda industrije i koja je potrebna za povećanje za jednu jedinicu (vrednosno izraženo) fonda industrije j. Odds dij nazivaju se koeficijenti kapitalnog intenziteta rasta OPF-a. Krajnji proizvod Y Bruto proizvodnja Konstruirajmo matricu K koeficijenata kapitalnih troškova ili koeficijenata kapitala. Hajde sada da definišemo Neka je F 0 =0, Dakle, imamo prvi vektor Tabele za t = 2, 3, 4, 5, 6 dobijaju se na sličan način. Predstavlja Neumannov model n proizvodi i m načine da proizvodnja. Svaki j- put je dat vektorom kolone troškova proizvoda a
j i vektor stupca izdanja proizvoda b
j po jedinici intenzitet procesa: To znači da pri jediničnim intenzitetima j th proizvodni proces potrošene vektorske proizvode a
j i proizvedenih proizvoda b
j. Vektori (1) se razmatraju u prirodnim jedinicama ili u stalnim cijenama. Vektori troškova i izlaza formiraju matrice troškova A i izdanja V sa nenegativnim faktorima troškova a
ij i izdanja b
ij
: matrice A i V imaju sljedeća svojstva: 1) 2) što znači: u svakom od m načine 3) što znači: svaki proizvod proizveden najmanje jednom metodom proizvodnje; Dakle, svaki stupac matrice A i svaki red matrice V mora imati barem jedan pozitivan element. Preko puta X
(t) označavaju vektor stupaca intenziteta Onda SJEKIRA
(t) je vektor troškova, BX
(t) je vektor pitanja za datu vektor X
(t) intenziteti procesa. Neumannov model je generalizacija dinamičkog modela input-output Leontijevska ravnoteža, budući da omogućava proizvodnju jednog proizvoda na više načina proizvodnje, a poklapa se s njim ako B = E. U Neumannom modelu se odvijaju sljedeće relacije: Relacije (2) znače da u proizvodnji proizvoda u godini (t+ 1) utrošeni proizvodi proizvedeni u godini t. Vector str
(t)=(str
1 (t), str
2 (t),..., str
n
(t))≥0 se naziva vektor cijene proizvodi proizvedeni u godini t ako zadovoljava sljedeće odnose: Ako su matrični koeficijenti A i V onda su vrijednosti vrijednosti u stalnim cijenama R
(t) će biti vektor indeksa cijena. Prva vektorska nejednakost u (3) znači da je trošak proizvodnje proizvoda za svaki tehnološki način proizvodnje godišnje t+ 1 ne može biti veći od troška troškova u cijenama godine t. Iz (2) i (3) proizilazi da se odvijaju sljedeće relacije: Prva relacija u (4) znači da je cijena i-ti proizvod godišnje t je nula ako je izdanje u godini t biće više od svojih troškova godišnje ( t
+ 1).
Druga relacija (4) to znači j th tehnološki proces godišnje t neće se primjenjivati (intenzitet je nula) ako je trošak potrošnje na njega u godini t više od troškova njegovog izdavanja u godini ( t
+ 1).
Definicija. Vektori X
(t) i str
(t), t
= 1, 2, …, T zove trajektorija uravnotežen rast u Neumannovom modelu ako zadovoljavaju uslovi: Ovdje je λ stopa, ρ je stopa uravnoteženog procenta rasta. Iz (5) proizilazi da su u stanju uravnoteženog rasta vrijednosti vektorskih komponenti X
(t) proporcionalno rastu, a vektori str
(t) se smanjuju. U ovom slučaju dolazi do sljedećih odnosa: gdje X(0) i R
(0) – početne vrijednosti vektora godišnje t
= 0. Iz (5), (6) proizilazi da relacije moraju biti zadovoljene na putanji uravnoteženog rasta. Razrješava se pitanje postojanja uravnoteženih putanja rasta sljedeće teoreme. Neumannova prva teorema. Ako matrice A i B zadovoljavaju svojstva 1-3, onda sistem nejednačina (7) ima rješenje X (t), p (t),λ ,ρ , one. u Neumannovom modelu postoje putanje uravnoteženog rasta. Neumannova druga teorema. Postoji rješenje X
* (t), str
* (t),λ * ,ρ * sistema (7), koji će imati maksimalnu brzinu rasta λ * ≥λ i minimalna kamatna stopa ρ * ≤ ρ u odnosu na druga rješenja. U ovom slučaju, relacija je ispunjena: Ovo rješenje se zove autoput, ili putanja maksimalno uravnotežen rast u Neumannovom modelu. Neumannov model je ne-izračunljiv, čisto teorijski model. Pristup praktičnim rezultatima se ostvaruje kroz dinamički model V. Leontieva, koji je poseban slučaj Neumanovog modela. Cijene dobijene na osnovu dinamičkog bilansa imaju svojstva cijena Neumannovog modela. Leontijevski model koristi podatke iz dinamičke ravnoteže ulaz-izlaz. Na osnovu dinamičke ravnoteže, takođe je moguće konstruisati Neumannov zrak maksimalno uravnoteženog ekonomskog rasta i izračunati cene koje odgovaraju ovom zraku, koje odražavaju oportunitetni trošak. Razlika između dinamičkog međuindustrijskog modela i Neumannova modela je u tome što se zasniva na pretpostavci da je u svakoj industriji moguć jedan i samo jedan proizvodni proces. Dakle, izbor rješenja za svaku industriju svodi se samo na određivanje intenziteta načina proizvodnje. U zaključku, napominjemo da uz pomoć input-output bilansa odlučujemo sljedeće zadatke: 1. Prema tabeli input-output bilansa pronaći matricu direktnih i ukupnih troškova. 2. Nakon postavljanja vektora finalne proizvodnje, odrediti vektor bruto proizvodnje. 3. Nakon što ste postavili vektor bruto proizvodnje, odredite vektor finalne proizvodnje. 4. Sa novim vrijednostima dodane vrijednosti pronađite indekse cijena i napravite novu tabelu input-output bilansa. 5. Pronađite vektore bruto proizvodnje, dodane vrijednosti, troškova, udio troškova i dodane vrijednosti u bruto proizvodu, međusektorski nabavku proizvoda, sastaviti tabelu input-output bilansa. Analitička metoda "input-output" ispunila je teoriju opšte ekonomske ravnoteže praktičnim sadržajem, doprinijela je unapređenju matematičkog aparata. Metodu Leontijeva odlikuje jasnoća i jednostavnost, univerzalnost i globalnost, drugim riječima, pogodnost za privredu pojedinih zemalja i regiona, za svjetsku ekonomiju u cjelini. Leontijevov input-output model zasniva se na input-output šemi, pod pretpostavkom da svaka industrija proizvodi jedan i samo svoj proizvod koristeći proizvode drugih industrija i koristeći linearnu tehnologiju. Pomaže u analizi protoka robe između industrija i odgovara na pitanje: da li je moguće zadovoljiti konačnu potražnju stanovništva za robom u uslovima ove tehnologije? Glavna putanja je Neumannova zraka. Glavno pitanje teorije okretišta je analiza blizine putanja optimizacijskih modela odgovarajućim autoputevima. Optimalne trajektorije u dinamičkim modelima Leontjeva i Neumana imaju ova svojstva pod određenim dodatnim uslovima. 1. Kolemaev V.A. "Ekonomsko-matematičko modeliranje" UNITI-DANA, 2005 295 str. 2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. "Ekonomski i matematički modeli i metode" Tutorial za studente ekonomskih specijalnosti, 2003. - 94 str. 3. Ekonomski i matematički modeli i metode / Ed. A.V. Kuznetsova. - Minsk: BSEU, 2000. 4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm 5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
Tutoring
Pošaljite prijavu naznačivši temu odmah da saznate o mogućnosti dobijanja konsultacija.
Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod
1.1 Koncept dinamičkih sistema
1.2 Modeli dinamičkih sistema i procesa
Zaključak
Prilikom izvođenja ovog posla riješeni su sljedeći zadaci:
1) modelira se kontinuirani sistem praćenja na osnovu matričnog modela objekta posmatranja;
2) dobijena je i konstruisana prenosna funkcija filtera za oblikovanje ulaznog procesa;
3) sastavljen je i izgrađen matrični model senzora i izlazne funkcije za objekat posmatranja;
4) na osnovu diferencijalnih jednačina procesa i objekta upravljanja formira se potpuna jednačina kontrolnog objekta;
5) grafikoni su iscrtani za izlazni parametar filtera h(t), za izlaz objekta posmatranja h(t) i izlaz senzora (senzora) y(t);
6) projektovan je model mehaničkog sistema;
7) konstruisan je grafik zavisnosti koordinate i brzine od vremena, kao i fazne putanje sistema.
Spisak korištenih izvora
1. Volkov, V.L. Modeliranje procesa i sistema. Proc. dodatak /V.L. Volkov. - N.Novgorod; NGTU, 1997. -80 str.
2. Lebedev, A.N. Modeliranje u naučnim i tehničkim istraživanjima. - M.: Radio i komunikacija, 1989.
3. Prokhorov, S.A. Matematički opis i modeliranje slučajni procesi. - Samara. Samara State vazduhoplovstvo un-t, 2001. -209 str.
4. Modeliranje procesa i sistema. Stohastički i deterministički dinamički sistemi i informacioni procesi. Laboratorijski radovi. Metodička uputstva/ Sastavili: Volkov V.L., Gushchin O.G., Pozdyaev V.I. - N.Novgorod. NSTU, 1998. -32 str.
Hostirano na Allbest.ru
Slični dokumenti
(4)
(6)
(7)
(9)Riba
-25056
-46023
-27579
-9222
18357
-22098
-79866
Logistika
101607
-1499
56461
8932
226650
-181033
-583399
Popravka brodova
-7076
29510
9728
55934
-35028
15280
-432869
hrana
10100
11822
39809
-54373
12350
35889
-532456
Mašine i instrumenti
11706
2156
16085
-97206
36989
9201
-543768
Proizvodnja, B
Potrošnja proizvoda
Riba
Logistika
Popravka brodova
hrana
Mašine i instrumenti
Riba
1
5,5
1,5
5
6
56700
101964
Logistika
6
1
5
4,5
3
56430
204324
Popravka brodova
4,5
5
1
6
6
390860
508326
hrana
5
5
5
1
6
787890
1289754
Mašine i instrumenti
4
4
5
4
1
323630
734563
Proizvodnja, B
Potrošnja proizvoda
Krajnji proizvod Y
Bruto proizvodnja
Riba
Logistika
Popravka brodova
hrana
Mašine i instrumenti
Riba
0,8
4,4
1,2
4
4,8
56700
101964
Logistika
4,8
0,8
4
3,6
2,4
56430
204324
Popravka brodova
3,6
4
0,8
4,8
4,8
390860
508326
hrana
4
4
4
0,8
4,8
787890
1289754
Mašine i instrumenti
3,2
3,2
4
3,2
0,8
323630
734563
(Matrica A - matrica direktnih troškova)Industrija
x na t=1
F na t=1
y na t=1
Riba
191487
-20044,8
-3,601*10^4
Logistika
372281
81285,6
7,575*10^4
Popravka brodova
364521
-5660,8
2,697*10^3
hrana
476859
8080
1,824*10^4
Mašine i instrumenti
564837
9364,8
-8,428*10^3
Industrija
x na t=2
F na t=2
y na t=2
Riba
166431
-56863,2
-6,808*10^4
Logistika
473888
80086,4
-6,632*10^3
Popravka brodova
357445
17947,2
2,495*10^4
hrana
486959
17537,6
2,816*10^4
Mašine i instrumenti
576543
11089,6
5,698*10^3
Industrija
x na t=3
F na t=3
y na t=3
Riba
120408
-78926,4
-4,702*10^4
Logistika
472389
125255,2
2,757*10^4
Popravka brodova
386955
25729,6
8,966*10^3
hrana
498781
49384,8
3,867*10^4
Mašine i instrumenti
578699
23957,6
-3,451*10^3
Industrija
x na t=4
F na t=4
y na t=4
Riba
92829
-86304
-4,489*10^4
Logistika
528850
132400,8
5,323*10^4
Popravka brodova
396683
70476,8
3,166*10^4
hrana
538590
5886,4
-3,038*10^4
Mašine i instrumenti
594784
-53807,2
-6,271*10^4
Industrija
x na t=5
F na t=5
y na t=5
Riba
83607
-71618,4
8,141*10^3
Logistika
537782
313720,8
1,671*10^5
Popravka brodova
452617
42454,4
-2,388*10^4
hrana
484217
15766,4
-2,626*10^3
Mašine i instrumenti
497578
-24216
-2,208*10^4
Industrija
x na t=6
F na t=6
y na t=6
Riba
101964
-89296,8
-9,557*10^3
Logistika
764432
168894,4
-1,595*10^5
Popravka brodova
417589
54678,4
1,239*10^4
hrana
496567
44477,6
3,563*10^4
Mašine i instrumenti
534567
-16855,2
3,836*10^4
(1)
a
ij
≥0 ,b
ij≥0, tj. svi elementi matrice su nenegativni;
proizvodnja troši najmanje jedan proizvod;
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
