Korištenje Wiener filtera. Optimalni Wiener filter

Defokusirani rezultati oporavka slike

Kada je defokusiran, sistem izobličenja je dobro aproksimiran cilindričnom funkcijom širenja tačke (PSF) radijusa r.

Cilindrični FRT

Ispod su rezultati restauracija tri stvarne defokusirane slike istog objekta (stranica knjige). Snimanje je vršeno bez stativa sa udaljenosti od oko 50 cm Stepen defokusiranja objektiva se ručno povećavao od kadra do kadra. Parametri Wienerovog filtera r i omjer signal-šum (SNR) odabrani su ručno na način da se osigura najbolji vizualni kvalitet rekonstrukcije. Da bi se kompenzirali efekti ivica, svjetlina slike na rubovima se postepeno smanjuje.

Slika A

Rezultat rekonstrukcije slike A. r = 53, SNR = 5200

Slika B

Rezultat rekonstrukcije slike B. r = 66, SNR = 4400

Slika C

Rezultat rekonstrukcije slike C. r = 102, SNR = 7100

Vidi se da je i uz značajno defokusiranje čitljivost teksta praktički
je u potpunosti restauriran.

Rezultati oporavka za zamućene slike registarskih tablica

Zamućenje slike nastaje kada se kamera i objekat pomeraju jedan u odnosu na drugi tokom ekspozicije. Razmotrimo samo slučaj kada se objekt koji se snima kreće linearno u odnosu na stacionarnu kameru. U ovom slučaju, sistem distorzije je dobro aproksimiran PSF-om u obliku segmenta koji je usmjeren duž kretanja objekta. Takav PSF je zadan sa dva parametra: L dužina i THETA ugao zamućenja.

PSF sa linearnim podmazivanjem

Ispod je iskrivljena slika dva automobili, dobijen uz nedovoljno kratku ekspoziciju, što je dovelo do pojave primjetnog zamućenja.

Iskrivljena slika dva automobila

Ispod su rezultati vraćanja brojeva oba automobila pomoću Wiener filtera. Vrijednosti parametara L, THETA i SNR odabrane su na način da se obezbijedi najbolji vizuelni kvalitet restauracije broja automobila.

Rezultat vraćanja broja lakog automobila. L=78, THETA=15, SNR=300

Rezultat vraćanja broja tamnog automobila. L=125, THETA=0, SNR=700

Vidi se da je čak i uz značajno zamućenje moguće vratiti čitljivost brojeva
automobili.

Algoritam filtriranja je implementiran u C++ OpenCV kao konzolna aplikacija.
Izvorni kodovi se mogu pronaći na linkovima ispod.

Književnost

1. R.C. Gonzalez, R.E. šume. Osnove digitalne slike. 1987.
2. I.S. Gružman, V.S. Kirichuk, V.P. Kosykh, G.I. Peretyagin, A.A. Spector. digitalna obrada slike u informacioni sistemi. 2000.

Inverzno filtriranje ima nisku otpornost na buku, jer ova metoda ne uzima u obzir šum posmatrane slike. Značajno manje pod utjecajem interferencije i singulariteta zbog nula prijenosne funkcije distorzionog sistema, Wiener filter, jer u njegovoj sintezi, uz vrstu PSF-a, koristi se informacija o spektralnoj gustoći snage slike i šuma.

Spektralna gustina signala određena je relacijom:

gdje je auto korelacione funkcije.

Međusobna spektralna gustina signala određena je relacijom:

, (14)

gdje je funkcija unakrsne korelacije.

Prilikom konstruiranja Wienerovog filtera, zadatak je minimizirati standardnu ​​devijaciju obrađene slike od objekta:

gdje je matematičko očekivanje. Transformacijom ovih izraza može se pokazati da je minimum postignut kada je prijenosna funkcija definirana sljedećim izrazom:

.

Daljnja analiza pokazuje da bi restauraciju slike, čije je formiranje opisano izrazom, trebalo izvršiti pomoću sljedećeg OTF-a pretvarača za oporavak:

Ako na slici nema šuma, tada je spektralna gustoća funkcije šuma jednaka 0 i izraz, koji se zove Wiener filter, pretvara se u običan inverzni filter.

Kako se spektralna gustina snage originalne slike smanjuje, funkcija prijenosa Wienerovog filtera teži nuli. Za slike je to tipično za visoke frekvencije.

Na frekvencijama koje odgovaraju nulama prijenosne funkcije formirajućeg sistema, prijenosna funkcija Wienerovog filtera je također jednaka nuli. Time je riješen problem singularnosti filtera za rekonstrukciju.

Rice. 1. Primjeri filtera

Primjeri oporavka pokazuju da Wiener filter mnogo bolje potiskuje buku. Oscilirajući šum na rezultatima rekonstrukcije slike uzrokovan je efektima rubova. Očigledno je da je njegov nivo znatno niži nego kod inverznog filtriranja, međutim, Wiener filter samo djelimično kompenzuje rubne efekte, što kvalitet rekonstrukcije čini nezadovoljavajućim. Kompenzacija rubnih efekata je posebno obrađena. Međutim, ove metode nisu optimalne i ne obezbeđuju uvek efektivnu kompenzaciju distorzije i istovremeno eliminaciju ivičnih efekata.

Koncepti optimalne linearne procjene su fundamentalni u svakom razmatranju adaptivni filteri. Proces adaptivnog filtriranja uključuje dva koraka procjene: 1) procjenu željenog izlaza filtera i 2) procjenu težine filtera potrebnih za postizanje gore navedenog cilja. Drugi od ova dva koraka je neophodan jer, u slučaju adaptivnog filtriranja, karakteristike ulaznog signala nisu poznate a priori.

Najčešći tip adaptivne strukture filtera je onaj koji koristi arhitekturu konačnog impulsnog odziva (FIR). Ovi filteri moraju konvergirati rješenju korištenjem optimalnog nerekurzivnog estimatora, sa rješenjem datim Wiener–Hopf jednačinom.

Sinteza FIR i IIR estimatora značajno zavisi od definicije funkcije troškova, prema kojoj se kvalitet estimatora karakteriše razlikom između izlaznog signala estimatora i pravog parametra koji se procenjuje:

Evo e(n)– greška u procjeni; x(n) – slučajna vrijednost, koji treba procijeniti i koji može biti deterministički, a procjena je napravljena korištenjem našeg sistema procjene, i

one. x(n) – linearna funkcija sekvence ulaznog signala y(n) i set utega filtera h(n). Uočeni niz signala y(n) v opšti pogled može se predstaviti kao originalni niz x(n), izobličen adaptivnim bijelim šumom v(n) sa varijansom σ v 2:

. (5.26)

Najčešće korištena u izvođenju optimalne procjene je metoda najmanjih kvadrata (LSM). Srednja kvadratna greška je definisana kao

Minimizira se u odnosu na težine procjenitelja kako bi se dobila optimalna procjena OLS-a. Treba napomenuti da je moguće primijeniti ne samo opisanu funkciju troškova. Alternativne funkcije će biti kao što su apsolutna vrijednost greške i nelinearna funkcija praga. Takva funkcija greške se koristi kada postoji prihvatljiv interval greške (tj. postoji data podnošljiva greška). Kada se koristi test najmanje efektivne vrijednosti, male greške doprinose manje od velikih grešaka (za razliku od testa apsolutna vrijednost greške, što daje istu težinu za sve greške).

Rice. 5.9. Generalizirani nerekurzivni filter ili estimator.

U nerekurzivnom estimatoru, rezultat x(n) je definiran kao konačni linearni polinom y(n):

, (5.28)

gdje h k su pojedinačne težine u strukturi nerekurzivnog FIR filtera prikazanog na sl. 5.9. Izraz (5.28) se može prepisati u notaciji matrice-vektora:

I ,

a superscript T označava transpoziciju matrice. Tada funkcija srednje kvadratne greške poprima oblik

Ovaj izraz opisuje standardnu ​​kvadratnu površinu greške sa jednim minimumom. Diferencijacija (5.30) daje

. (5.31)

i uz pretpostavku da je (5.31) jednako nuli, imamo

(5.32)

Uz pretpostavku da su vektor težine i vektor signala Y(n) nije u korelaciji, dobijamo

Očekivani članovi u (5.33) mogu se definirati na sljedeći način:

P= E(x(n)Y(n)) – unakrsna korelacija između ulaznog signala i procijenjenog parametra;

R= E(Y(n)Y T (n)) je matrica autokorelacije sekvence ulaznog signala.

Tada se (5.33) može prepisati kao

P T = H T opt R. (5.34)

Jednačina (5.34) je dobro poznata Wiener-Hopfova jednačina koja daje optimalno (najmanji kvadrat) Wienerovo rješenje za H.

Adaptive Processing

signale

2012 / 13 akademske godine

Optimalno

Wiener filter

vanr. Shchetinin Yu.I.

Novosibirski državni tehnički univerzitet

Odjel za sisteme za prikupljanje i obradu podataka

Fakultet automatike i računarstva

Odjel za sisteme za prikupljanje i obradu podataka

Wiener filter

Svrha predavanja je razmatranje Wienerovog filtera. Zadatak je dobiti prijenosnu funkciju filtera koja osigurava najbolje filtriranje korisnog signala u smislu kriterija minimalne srednje kvadratne greške kada je izložen aditivnom slučajnom šumu. Adaptivni filteri, koji su osnovni sadržaj ovog predmeta, mogu se smatrati približnom, lakšom za praksu implementacijom linearnog optimalnog Wienerovog filtera.

Problem su prvo samostalno riješila dva naučnika:

Američki matematičar N. Wiener, koji je objavio rezultat 1949. godine u članku "The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stacionary Time Series with Engineering Applications", J. Wiley, New York, USA, 1949. Ali sam rezultat je dobiven ranije 1942. godine u MIT Radiation Laboratory Report.

Stoga se odgovarajući optimalni filteri nazivaju Wiener-Kolmogorov filteri. I ovo ime se nalazi u mnogim publikacijama. Ali češće se koristi naziv "Wiener filteri". Očigledno, razlozi za takvu terminologiju su činjenica da je članak A. Kolmogorova teorijski rad naučnik - matematika. Za inženjere-praktičare, pokazalo se da je to malo dostupno. Osim toga, ruski je rjeđi od engleskog. Stoga su rezultati rada N. Wienera naišli na širu slavu i razumijevanje, iako su kasnije objavljeni.

Opšti pogled na Wiener filter je prikazan ispod na Sl.

Referentni ulaz

Problem je u filtriranju signala y(k) izobličenog aditivnim šumom n1(k). Filter prima dva signala: x k- (šum, smetnje) i y k - (zbir korisnog signala i šuma). Istovremeno, iznos y k sadrži dvije komponente - koristan signal s(k),što nije u korelaciji sa x k i komponentu buke n1(k), korelirano (statistički povezano) sa x k. Wiener filter bi trebao imati takve funkcija sistema(frekventni odziv), koji daje procjenu koreliranog dijela signala (šuma) na izlazu y k. Ovaj rezultat se oduzima od y k i izlaz (greška) filtera e k - to najbolja procjena koristan signal. Dakle, Wiener filter daje optimalnu procjenu korisnog signala pomiješanog s aditivnim šumom, prema kriteriju minimalne srednje kvadratne greške min M(e 2 (k)). Manja vrijednost srednje kvadratne greške nego u Wienerovom filteru ne može se dobiti ni u jednom linearnom filteru.

U slučajevima kada je sistemski ulaz automatska kontrola(vidi sliku 9.16) postoji koristan signal i smetnja koji su međusobno nepomično povezani slučajni procesi With nula prosječne vrijednosti, optimalna impulsna prolazna funkcija sistema koja zadovoljava uslov fizičke izvodljivosti na i daje minimum srednje kvadratne greške mora zadovoljiti sljedeću integralnu jednačinu:

pri čemu je korelaciona funkcija ukupnog ulaznog signala unakrsna korelaciona funkcija reprodukovanog izlaznog signala i ukupnog ulaznog signala

Jednačinu (9.124) je dobio N. Wiener 1949. godine i naziva se Wiener-Hopf integralna jednačina.

Na osnovu rješenja jednadžbe (9.124), N. Wiener je predložio opću formulu za pronalaženje ostvarive optimalne funkcije prijenosa frekvencije (optimalni Wiener filter)

gdje je međusobna spektralna gustina reprodukovanog izlaznog signala i ukupnog ulaznog signala, i

Treba napomenuti da u (9.125) donja granica vanjskog integrala mora biti jednaka nuli.

Ako ne postoji korelacija između upravljačkog signala i šuma, tada pri primjeni (9.125) treba uzeti u obzir da

Na osnovu opšta formula(9.125) kao posebni slučajevi mogu se dobiti izrazi za optimalne funkcije prijenosa frekvencije sistema (optimalnih filtera) koji, u prisustvu smetnji, reproduciraju korisni signal, statističko napredovanje (predviđenje), diferencijaciju i druge linearne transformacije upravljanja. signal u skladu sa (9.107).

Na primjer, ako uzmemo u obzir problem reprodukcije korisnog signala u prisustvu smetnji, tada operator transformacije tada

U ovom slučaju (9.125) se može predstaviti u jednostavnijem obliku:

Da bismo pronašli brojilac izraza (9.128), rastavljamo na jednostavne razlomke:

gdje se nalaze polovi u gornjoj poluravni; - stupovi koji se nalaze u donjoj poluravni; - nule.

Zatim, odbacujući članove koji imaju polove u donjoj poluravni, dobijamo

gdje su koeficijenti određeni formulom

Formule (9.129) i (9.131) odnose se na slučaj kada omjer nema više polova.

Ako ovaj omjer ima više polova, onda postupak određivanja ostaje isti, ali će formule za proširenje u jednostavne razlomke biti različite.

Poseban, ali vrlo važan i uobičajen u praksi je slučaj kada je smetnja bijeli šum sa spektralnom gustinom, a spektralna gustoća kontrolnog signala opisana je razlomkom racionalne funkcije

gdje narudžba premašuje narudžbu

Korisno je zapamtiti da se u ovom slučaju optimalna funkcija prijenosa frekvencije može odrediti na sljedeći način:

Primjer 9.7. Uslovi su postavljeni isti kao u primjeru 9.6. Odrediti optimalnu funkciju prijenosa frekvencije sistema.

Budući da je spektralna gustina interferencije

i spektralnu gustinu korisnog signala

tada se optimalna funkcija prijenosa frekvencije može odrediti iz

Zamjena u izrazu za vrijednost

pronađeno u primjeru 9.6, dobijamo

Budući da (vidi primjer 9.6)

tada je drugi imaginarni član jednak nuli i stoga je optimalna funkcija prijenosa frekvencije sistema

Pronađeni izraz za, očekivano, potpuno se poklapa sa rezultatom dobijenim u primjeru 9.6.

Osnovni rezultati N. Wienera dobijeni su za slučaj kada je input linearni sistem Primjenjuju se stacionarne slučajne akcije sa nultim srednjim vrijednostima (centrirani slučajni procesi).

Kao rezultat dalji razvoj i generalizacije metoda sinteze dinamički sistemi pod slučajnim uticajima, na primer, metode sinteze pod slučajnim uticajima primenjene u različite tačke sistemi; metode sinteze sa istovremenim uticajem na sistem regularnih i slučajnih signala; metode za sintezu sistema sa ograničenim trajanjem prolaznog procesa (sa "konačnom memorijom"); metode za sintezu sistema koji sadrže slučajne parametre; metode za sintezu sistema za nestacionarne slučajne

uticaji; metode za sintezu nelinearnih sistema, uključujući i one koji koriste digitalne kompjuteri, itd.

V U poslednje vreme pri proračunu sistema koji su pod uticajem slučajnih (uključujući i nestacionarnih) procesa, teorija optimalnih filtera koju su razvili R. Kalman i R. Busey našla je široku primenu,