Spektralna i korelaciona svojstva signala. Sažetak predavanja: Korelacija, autokorelacija, unakrsna korelacija

17.06.2019 Savjet

Signali i linearni sistemi. Korelacija signala

Tema 6. Korelacija signala

Najveći strah i najveći žar hrabrosti podjednako uznemiruju želudac i izazivaju proljev.

Michel Montaigne. Francuski pravnik-mislilac, 16. vek.

Evo broja! Dvije funkcije imaju 100% korelaciju s trećom i ortogonalne su jedna prema drugoj. Pa, Svemogući je imao šale tokom stvaranja svijeta.

Anatoly Pyshmintsev. Novosibirski geofizičar Uralske škole, XX vek.

1. Autokorelacijske funkcije signala. Koncept autokorelacionih funkcija (ACF). ACF signala ograničenog u vremenu. ACF periodičnih signala. Autokovarijancijske funkcije (FAK). ACF diskretnih signala. ACF šumnih signala. ACF kodnih signala.

2. Unakrsne korelacijske funkcije signala (CCF). Funkcija unakrsne korelacije (CCF). Unakrsna korelacija šumnih signala. VKF diskretnih signala.Procjena periodičnih signala u šumu. Funkcija koeficijenata međusobne korelacije.

3. Spektralne gustoće korelacijskih funkcija. Spektralna gustina ACF-a. Interval korelacije signala. Spektralna gustina VKF. Proračun korelacijskih funkcija korištenjem FFT-a.

Uvod

Korelacija i njen poseban slučaj za centrirane signale - kovarijansa je metoda analize signala. Evo jedne od opcija za korištenje metode. Pretpostavimo da postoji signal s(t), koji može, ali i ne mora sadržavati neki niz x(t) konačne dužine T, čija nas vremenska pozicija zanima. Za traženje ovog niza u vremenskom prozoru dužine T koji klizi duž signala s(t), izračunavaju se skalarni proizvodi signala s(t) i x(t). Dakle, željeni signal x(t) „primjenjujemo“ na signal s(t), klizeći duž njegovog argumenta, i koristeći vrijednost skalarnog proizvoda, procjenjujemo stepen sličnosti signala u tačkama poređenja.

Korelaciona analiza omogućava da se u signalima (ili u nizu podataka digitalnog signala) utvrdi postojanje određene veze između promene vrednosti signala u smislu nezavisne varijable, odnosno kada su velike vrednosti jednog signala (u odnosu na prosječne vrijednosti signala) povezane su sa velikim vrijednostima drugog signala (pozitivna korelacija), ili, obrnuto, male vrijednosti jednog signala su povezane sa velikim vrijednostima drugog (negativna korelacija), ili podaci dva signala nisu ni na koji način povezani (nulta korelacija).

U funkcionalnom prostoru signala ovaj stepen povezanosti se može izraziti u normalizovanim jedinicama koeficijenta korelacije, tj. u kosinusu ugla između vektora signala, i, prema tome, uzimat će vrijednosti od 1 (potpuna podudarnost signala) do -1 (potpuna suprotnost) i ne ovisi o vrijednosti (skali) mjernih jedinica.

U autokorelacionoj varijanti, korišćenjem slične tehnike, skalarni proizvod signala s(t) se određuje sa sopstvenom kopijom koja klizi duž argumenta. Autokorelacija omogućava procjenu prosječne statističke ovisnosti trenutnih uzoraka signala o njihovim prethodnim i kasnijim vrijednostima (tzv. korelacijski radijus vrijednosti signala), kao i identifikaciju prisutnosti elemenata koji se periodično ponavljaju u signalu.

Korelacione metode su od posebnog značaja u analizi slučajnih procesa da bi se identifikovale neslučajne komponente i procenili neslučajni parametri ovih procesa.

Imajte na umu da postoji određena zbrka u terminima "korelacija" i "kovarijanca". U matematičkoj literaturi, termin "kovarijanca" se primenjuje na centrirane funkcije, a "korelacija" na proizvoljne. U tehničkoj literaturi, a posebno u literaturi o signalima i metodama obrade signala, često se koristi upravo suprotna terminologija. Ovo nije od suštinske važnosti, ali prilikom upoznavanja s književnim izvorima vrijedi obratiti pažnju na prihvaćenu svrhu ovih pojmova.

2.6. Korelaciono-spektralna analiza determinističkih signala. Radiotehnička kola i signali. dio I

2.6. Korelaciono-spektralna analiza determinističkih signala

U mnogim radiotehničkim problemima, često postaje neophodno uporediti signal i njegovu kopiju pomaknutu za neko vrijeme. Konkretno, ova situacija se dešava u radaru, gde impuls reflektovan od cilja stiže na ulaz prijemnika sa vremenskim zakašnjenjem. Poređenje ovih signala međusobno, tj. uspostavljanje njihovog odnosa, tokom obrade, omogućava vam da odredite parametre kretanja mete.

Da bi se kvantifikovao odnos između signala i njegove vremenski pomaknute kopije, uvodi se karakteristika

, (2.57)

Što se zove autokorelacione funkcije(AKF).

Da bismo objasnili fizičko značenje ACF-a, dajemo primjer gdje pravokutni impuls s trajanjem i amplitudom djeluje kao signal. Na sl. 2.9 prikazuje impuls, njegovu kopiju, pomjerenu za vremenski interval i proizvod . Očigledno, integracija proizvoda daje vrijednost površine pulsa, što je proizvod . Ova vrijednost, kada je fiksna, može biti predstavljena točkom u koordinatama. Kada se promijeni, dobićemo graf autokorelacijske funkcije.

Nađimo analitički izraz. Jer

zatim zamjenom ovog izraza u (2.57) dobijamo

. (2.58)

Ako je signal pomaknut ulijevo, onda je sličnim proračunima to lako pokazati

. (2.59)

Tada, kombinujući (2.58) i (2.59), dobijamo

. (2.60)

Iz razmatranog primjera možemo izvući sljedeće važne zaključke koji se odnose na proizvoljne valne oblike:

1. Funkcija autokorelacije neperiodičnih signala opada s rastom (ne nužno monotono za druge vrste signala). Očigledno, na ACF-u takođe teži nuli.

2. ACF dostiže svoju maksimalnu vrijednost na . U ovom slučaju, jednaka je energiji signala. Dakle, ACF je energije karakteristika signala. Kao što se i očekivalo, na , signal i njegova kopija su potpuno korelirani (međusobno povezani).

3. Upoređujući (2.58) i (2.59) slijedi da je ACF ravnomjerna funkcija argument , tj.

Važna karakteristika signala je interval korelacije. Korelacijski interval se podrazumijeva kao vremenski interval, kada se pomakne za koji signal i njegova kopija postaju nekorelirani.

Matematički, interval korelacije je određen sljedećim izrazom

ili pošto je parna funkcija

. (2.61)

Na sl. 2.10 prikazuje ACF signala proizvoljnog valnog oblika. Ako konstruiramo pravougaonik čija je površina jednaka površini ispod krive s pozitivnim vrijednostima (desna grana krive), čija je jedna strana jednaka , tada će druga strana odgovarati .

Pronađite interval korelacije za pravokutni impuls. Zamjenom (2.58) u (2.60) nakon jednostavnih transformacija, dobivamo:

što sledi iz sl. 2.9.

Po analogiji sa autokorelacionom funkcijom, procjenjuje se stepen veze između dva signala i funkcija unakrsne korelacije(VKF)

. (2.62)

Nađimo međusobnu korelaciju dva signala: pravokutnog impulsa s amplitudom i trajanjem

i trokutasti puls iste amplitude i trajanja

Koristeći (2.61) i računajući integrale odvojeno za i , dobijamo:

Grafičke konstrukcije koje ilustruju proračune VKF prikazane su na sl. 2.11

Ovdje isprekidane linije pokazuju početni (na ) položaj trokutastog impulsa.

At izraz (2.61) se transformiše u (2.57). Iz toga slijedi da je ACF poseban slučaj CCF-a sa potpuno podudarnim signalima.

Napominjemo glavna svojstva VKF-a.

1. Baš kao i funkcija autokorelacije, CCF je opadajuća funkcija argumenta. Kod VKF-a teže nuli.

2. Vrijednosti unakrsne korelacijske funkcije za proizvoljne su vrijednosti međusobnu energiju(energija interakcije) signala i .

3. Na , unakrsna korelacija funkcija (za razliku od autokorelacijske funkcije) ne dostiže uvijek svoj maksimum.

4. Ako su signali i opisani parnim funkcijama vremena, onda je CCF također paran. Ako je barem jedan od signala opisan neparnom funkcijom, tada je i CCF neparan. Prvu tvrdnju je lako dokazati ako izračunamo CCF dva pravokutna impulsa suprotnog polariteta

Međusobna korelaciona funkcija takvih signala

, (2.63)

je parna funkcija argumenta .

Što se tiče druge tvrdnje, razmatrani primjer izračunavanja TCF-a pravokutnih i trokutastih impulsa to dokazuje.

U nekim primijenjenim problemima radiotehnike koristi se normalizirani ACF

, (2.64)

i normalizovani VKF

, (2.65)

gdje su i vlastite energije signala i . Za vrijednost normaliziranog VKF pozvao koeficijent unakrsne korelacije. Ako , zatim koeficijent unakrsne korelacije

Očigledno, vrijednosti su između -1 i +1. Ako uporedimo (2.65) sa (1.32), onda možemo vidjeti da koeficijent unakrsne korelacije odgovara vrijednosti kosinusa ugla između vektora iu geometrijskom prikazu signala.

Izračunajmo koeficijent unakrsne korelacije za gornje primjere. Pošto je energija signala pravougaonog impulsa

i trouglasti puls

tada će koeficijent unakrsne korelacije u skladu sa (2.62) i (2.65) biti jednak . Što se tiče drugog primjera, za dva pravokutna impulsa iste amplitude i trajanja, ali suprotnog polariteta, .

Eksperimentalno, ACF i VKF se mogu dobiti pomoću uređaja čiji je blok dijagram prikazan na Sl. 2.12

Kada se ACF ukloni, signal stiže na jedan od ulaza množitelja, a isti signal, ali sa zakašnjenjem, stiže na drugi. Signal proporcionalan proizvodu , prolazi kroz operaciju integracije. Na izlazu integratora formira se napon koji je proporcionalan vrijednosti ACF pri fiksnoj . Promjenom vremena kašnjenja moguće je konstruirati ACF signala.

Za eksperimentalnu konstrukciju VKF-a, signal se dovodi na jedan od ulaza množitelja, a signal se dovodi do uređaja za odlaganje (dolazna kola su prikazana isprekidanom linijom). Inače, uređaj radi na sličan način. Imajte na umu da se opisani uređaj zove korelator i široko se koristi u raznim radio sistemima za prijem i obradu signala.

Do sada smo radili korelacione analize neperiodičnih signala sa konačnom energijom. Istovremeno, potreba za ovakvom analizom često se javlja i za periodične signale, koji teoretski imaju beskonačnu energiju, ali konačnu prosječnu snagu. U ovom slučaju, ACF i CCF se izračunavaju usrednjavanjem tokom perioda i imaju značenje prosječne snage (intrinzične ili uzajamne). Dakle, ACF periodičnog signala:

, (2.66)

i međukorelacijske funkcije dva periodična signala s više perioda:

, (2.67)

gdje je najveća vrijednost perioda.

Naći autokorelacijske funkcije harmonijskog signala

gdje je kružna frekvencija i početna faza.

Zamjenom ovog izraza u (2.66) i izračunavanjem integrala koristeći dobro poznatu trigonometrijsku relaciju:

Iz razmatranog primjera možemo izvući sljedeće zaključke, koji vrijede za svaki periodični signal.

1. ACF periodičnog signala je periodična funkcija sa istim periodom.

2. ACF periodičnog signala je parna funkcija argumenta.

3. Na , vrijednost je prosječna snaga koja se oslobađa pri otporu od 1 ohma i ima dimenziju.

4. ACF periodičnog signala ne sadrži informacije o početnoj fazi signala.

Takođe treba napomenuti da je interval korelacije periodičnog signala .

A sada izračunavamo međusobnu korelaciju dva harmonijska signala iste frekvencije, ali se razlikuju po amplitudama i početnim fazama

i .

U ranim fazama razvoja radiotehnike, pitanje izbora najboljih signala za određene specifične primjene nije bilo previše akutno. To je bilo zbog, s jedne strane, relativno jednostavne strukture poslanih poruka (telegrafske parcele, emitovanje); s druge strane, praktična implementacija signala složenog oblika u kombinaciji sa opremom za njihovo kodiranje, modulaciju i inverznu transformaciju u poruku pokazala se teškom za implementaciju.

Trenutno se situacija radikalno promijenila. U savremenim radio-elektronskim kompleksima izbor signala diktira prvenstveno ne tehničke pogodnosti njihovog generisanja, konverzije i prijema, već mogućnost optimalnog rješavanja problema predviđenih dizajnom sistema. Da biste razumjeli kako se javlja potreba za signalima sa posebno odabranim svojstvima, razmotrite sljedeći primjer.

Poređenje signala pomjerenih u vremenu.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji rada pulsirajućeg radara dizajniranog za mjerenje udaljenosti do snijega. Ovdje je informacija o objektu mjerenja ugrađena u vrijednost - vremensko kašnjenje između sondiranog i primljenog signala. Oblici sondiranja i primljeni i signali su isti za sva kašnjenja.

Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala dizajniranog za određivanje dometa može izgledati kao onaj prikazan na sl. 3.3.

Sistem se sastoji od skupa elemenata koji odlažu "referentni" odaslani signal za neke fiksne vremenske intervale.

Rice. 3.3. Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Odgođeni signali, zajedno sa primljenim signalom, dovode se do komparatora koji rade po principu da se signal pojavljuje na izlazu samo ako su obje ulazne oscilacije "kopije" jedna druge. Poznavajući broj kanala u kojem se događa navedeni događaj, moguće je izmjeriti kašnjenje, a time i domet do cilja.

Takav uređaj će raditi točnije, što se signal i njegova vremenski pomaknuta "kopija" više razlikuju jedan od drugog.

Tako smo dobili kvalitativno "razumijevanje koji se signali mogu smatrati" dobrim" za datu primjenu.

Okrenimo se tačnoj matematičkoj formulaciji postavljenog problema i pokažemo da je ovaj niz pitanja direktno povezan sa teorijom energetskih spektra signala.

Autokorelaciona funkcija signala.

Da bi se kvantitativno odredio stepen razlike između signala i njegove kopije sa vremenskim pomakom, uobičajeno je da se uvede funkcija autokorelacije (ACF) signala jednaka skalarnom proizvodu signala i kopije:

U nastavku ćemo pretpostaviti da ispitivani signal ima pulsni karakter lokalizovan u vremenu, tako da integral oblika (3.15) svakako postoji.

Direktno se vidi da na , autokorelacija funkcija postaje jednaka energiji signala:

Među najjednostavnijim svojstvima ACF-a je njegov paritet:

Zaista, ako izvršimo promjenu varijabli u integralu (3.15), onda

Konačno, važno svojstvo autokorelacijske funkcije je sljedeće: za bilo koju vrijednost vremenskog pomaka, ACF modul ne prelazi energiju signala:

Ova činjenica proizilazi direktno iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky (vidi Poglavlje 1):

Dakle, ACF je predstavljen simetričnom krivom sa centralnim maksimumom, koji je uvijek pozitivan. U ovom slučaju, ovisno o vrsti signala, autokorelacija može imati i monotono opadajući i oscilirajući karakter.

Primjer 3.3. Pronađite ACF pravokutnog video impulsa.

Na sl. 3.4,a prikazan je pravougaoni video puls sa amplitudom U i trajanjem. Ovdje je i njegova "kopija", pomjerena u vremenu u smjeru kašnjenja za . Integral (3.15) se u ovom slučaju izračunava elementarno na osnovu grafičke konstrukcije. Zaista, proizvod i i je različit od nule samo unutar vremenskog intervala kada se posmatra superpozicija signala. Od sl. 3.4, može se vidjeti da je ovaj vremenski interval jednak ako pomak ne prelazi trajanje impulsa. Dakle, za razmatrani signal

Grafikon takve funkcije je trokut prikazan na sl. 3.4b. Širina osnove trokuta je dvostruko veća od trajanja impulsa.

Rice. 3.4. Pronalaženje ACF-a pravokutnog video impulsa

Primjer 3.4. Pronađite ACF pravokutnog radio impulsa.

Razmotrit ćemo radio signal u obliku

Znajući unaprijed da je ACF paran, izračunavamo integral (3.15), postavljajući . Gde

odakle lako dolazimo

Naravno, na , vrijednost postaje jednaka energiji ovog impulsa (vidi primjer 1.9). Formula (3.21) opisuje ACF pravokutnog radio impulsa za sve pomake koji se nalaze unutar Ako apsolutna vrijednost pomaka premašuje trajanje impulsa, tada će funkcija autokorelacije identično nestati.

Primjer 3.5. Odredite ACF sekvence pravokutnih video impulsa.

U radaru se široko koriste signali, koji su rafali impulsa istog oblika, koji slijede jedan za drugim u istom vremenskom intervalu. Za detekciju takvog paketa, kao i za mjerenje njegovih parametara, na primjer, položaja u vremenu, kreiraju se uređaji koji implementiraju algoritme za izračunavanje ACF-a u hardveru.

Rice. 3.5. ACF paketa od tri identična video impulsa: a - paket impulsa; b - ACF graf

Na sl. 3.5, prikazan je paket koji se sastoji od tri identična pravougaona video impulsa. Takođe predstavlja svoju autokorelaciju, izračunatu po formuli (3.15) (slika 3.5, b).

Jasno se vidi da je maksimum ACF postignut pri. Međutim, ako je kašnjenje višekratnik perioda sekvence (at u našem slučaju), uočavaju se bočni režnjevi ACF, uporedive po visini sa glavnim režnjem. Stoga se može govoriti o dobro poznatoj nesavršenosti korelacione strukture ovog signala.

Autokorelacija funkcija beskonačno proširenog signala.

Ako je potrebno uzeti u obzir periodične sekvence koje su vremenski neograničene, onda pristup proučavanju korelacijskih svojstava signala treba donekle modificirati.

Pretpostavićemo da se takav niz dobija iz nekog vremenski lokalizovanog, odnosno impulsa, signala, kada trajanje potonjeg teži beskonačnosti. Da bismo izbjegli divergenciju rezultirajućih izraza, definirajmo novi ACF kao prosječnu vrijednost skalarnog proizvoda signala i njegove kopije:

Ovim pristupom, autokorelacija funkcija postaje jednaka prosječnoj međusobnoj snazi ova dva signala.

Na primjer, ako želite pronaći ACF za kosinusni val koji je vremenski neograničen, možete koristiti formulu (3.21) dobivenu za radio impuls s trajanjem, a zatim ići na granicu uzimajući u obzir definiciju (3.22 ). Kao rezultat, dobijamo

Ovaj ACF je sam po sebi periodična funkcija; njegova vrijednost je jednaka

Odnos između energetskog spektra signala i njegove autokorelacione funkcije.

Prilikom proučavanja materijala ovog poglavlja, čitalac može pomisliti da metode korelacione analize deluju kao neke posebne tehnike koje nemaju veze sa principima spektralnih proširenja. Međutim, nije. Lako je pokazati da postoji bliska veza između ACF-a i energetskog spektra signala.

Zaista, u skladu s formulom (3.15), ACF je skalarni proizvod: Ovdje simbol označava vremenski pomaknutu kopiju signala i ,

Okrenuvši se generaliziranoj Rayleigh formuli (2.42), možemo napisati jednakost

Spektralna gustina vremenski pomaknutog signala

Tako dolazimo do rezultata:

Kvadrat modula spektralne gustine, kao što je poznato, je energetski spektar signala. Dakle, energetski spektar i funkcija autokorelacije povezani su Fourierovom transformacijom:

Jasno je da postoji i inverzna relacija:

Ovi rezultati su od fundamentalnog značaja iz dva razloga. Prvo, pokazalo se da je moguće procijeniti svojstva korelacije signala na osnovu distribucije njihove energije po spektru. Što je širina signala širina, to je uži glavni režanj autokorelacione funkcije i savršeniji je signal u smislu mogućnosti preciznog mjerenja trenutka njegovog početka.

Drugo, formule (3.24) i (3.26) ukazuju na način eksperimentalnog određivanja energetskog spektra. Često je zgodnije prvo dobiti funkciju autokorelacije, a zatim, koristeći Fourierovu transformaciju, pronaći energetski spektar signala. Ova tehnika je postala široko rasprostranjena u proučavanju svojstava signala pomoću računara velike brzine u realnom vremenu.

Iz toga slijedi da je interval korelacije

ispostavilo se da je manja, veća je gornja granična frekvencija spektra signala.

Ograničenja nametnuta obliku autokorelacione funkcije signala.

Pronađen odnos između autokorelacione funkcije i energetskog spektra omogućava da se ustanovi zanimljiv i na prvi pogled neočigledan kriterijum za postojanje signala sa datim korelacionim svojstvima. Činjenica je da energetski spektar bilo kog signala, po definiciji, mora biti pozitivan [vidi. formula (3.25)]. Ovaj uslov neće biti zadovoljen ni za jedan izbor ACF-a. Na primjer, ako uzmemo

i onda izračunajte odgovarajuću Fourierovu transformaciju

Ova funkcija promjene znaka ne može predstavljati energetski spektar bilo kojeg signala.

SIGNALI i LINEAR SISTEMI

Signali i linearni sistemi. Korelacija signala

Tema 6. KORELACIJA SIGNALA

Najveći strah i najveći žar hrabrosti podjednako uznemiruju želudac i izazivaju proljev.

Michel Montaigne. Francuski pravnik-mislilac, 16. vek.

Evo broja! Dvije funkcije imaju 100% korelaciju s trećom i ortogonalne su jedna prema drugoj. Pa, Svemogući je imao šale tokom stvaranja svijeta.

Anatoly Pyshmintsev. Novosibirski geofizičar Uralske škole, XX vek.

2. Unakrsne korelacijske funkcije signala (CCF). Funkcija unakrsne korelacije (CCF). Unakrsna korelacija šumnih signala. VKF diskretnih signala. Procjena periodičnih signala u šumu. Funkcija koeficijenata međusobne korelacije.

3. Spektralne gustoće korelacijskih funkcija. Spektralna gustina ACF-a. Interval korelacije signala. Spektralna gustina VKF. Proračun korelacijskih funkcija korištenjem FFT-a.

uvod

Korelaciona analiza omogućava da se u signalima (ili u nizu podataka digitalnog signala) utvrdi postojanje određene veze između promene vrednosti signala u smislu nezavisne varijable, odnosno kada su velike vrednosti jednog signala (u odnosu na prosječne vrijednosti signala) povezane su s velikim vrijednostima drugog signala (pozitivna korelacija), ili, obrnuto, male vrijednosti jednog signala su povezane s velikim vrijednostima drugog (negativna korelacija), ili podaci dva signala nisu ni na koji način povezani (nulta korelacija).

U funkcionalnom prostoru signala, ovaj stepen povezanosti može se izraziti u normalizovanim jedinicama koeficijenta korelacije, odnosno u kosinusu ugla između vektora signala, i, shodno tome, poprimiće vrednosti od 1 (potpuna podudarnost od signali) do -1 (potpuna suprotnost) i ne zavisi od vrijednosti (skale) mjerne jedinice.

Korelacione metode su od posebnog značaja u analizi slučajnih procesa da bi se identifikovale neslučajne komponente i procenili neslučajni parametri ovih procesa.

Imajte na umu da postoji određena zbrka u terminima "korelacija" i "kovarijanca". U matematičkoj literaturi, termin "kovarijanca" se primenjuje na centrirane funkcije, a "korelacija" na proizvoljne. V tehnička literatura, a posebno u literaturi o signalima i metodama obrade signala, često se koristi upravo suprotna terminologija. Ovo nije od suštinske važnosti, ali prilikom upoznavanja s književnim izvorima vrijedi obratiti pažnju na prihvaćenu svrhu ovih pojmova.

6.1. Autokorelacijske funkcije signala.

Koncept autokorelacionih funkcija signala . Autokorelaciona funkcija (ACF, CF - korelaciona funkcija) signala s(t), konačnog u energiji, je kvantitativna integralna karakteristika oblika signala, koja otkriva prirodu i parametre međusobnog vremenskog odnosa uzoraka u signalu, koji uvijek se odvija za periodične signale, kao i interval i stepen zavisnosti očitanih vrijednosti u trenutnim trenucima vremena od praistorije trenutnog trenutka. ACF je određen integralom proizvoda dvije kopije signala s(t), pomaknute jedna u odnosu na drugu za vrijeme t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cosj(t). (6.1.1)

Kao što slijedi iz ovog izraza, ACF je skalarni proizvod signala i njegove kopije u funkcionalnoj ovisnosti o vrijednosti varijable vrijednosti pomaka t. Prema tome, ACF ima fizičku dimenziju energije, a pri t = 0 vrijednost ACF je direktno jednaka energiji signala i maksimalno je moguća (kosinus ugla interakcije signala sa samim sobom jednak je 1):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF se odnosi na parne funkcije, što je lako provjeriti promjenom varijable t = t-t u izrazu (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Maksimalni ACF, jednak energiji signala pri t=0, uvijek je pozitivan, a ACF modul ne prelazi energiju signala ni za jednu vrijednost vremenskog pomaka. Ovo posljednje izravno slijedi iz svojstava skalarnog proizvoda (kao i nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 za t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cosj(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Kao primjer, na sl. 6.1.1 prikazuje dva signala - pravougaoni impuls i radio impuls istog trajanja T, i oblike njihovih ACF koji odgovaraju ovim signalima. Amplituda oscilacija radio impulsa postavlja se jednakom amplitudi pravokutnog impulsa, dok će energije signala također biti iste, što potvrđuju jednake vrijednosti centralnih maksimuma ACF-a. Sa konačnim trajanjem impulsa, trajanja ACF-a su također konačne i jednake su dvostrukom trajanju impulsa (kada se kopija konačnog impulsa pomakne za interval njegovog trajanja i ulijevo i udesno, proizvod puls sa njegovom kopijom postaje jednak nuli). Frekvencija oscilovanja ACF radio impulsa jednaka je frekvenciji oscilovanja punjenja radio impulsa (lateralni minimumi i maksimumi ACF se javljaju svaki put kada se kopija radio impulsa sukcesivno pomera za polovinu perioda oscilovanja od njegovo punjenje).

S obzirom na paritet, grafički prikaz ACF-a se obično radi samo za pozitivne vrijednosti t. U praksi se signali obično postavljaju na interval pozitivnih vrijednosti argumenata od 0-T. Znak +t u izrazu (6.1.1) znači da kako se vrijednosti t povećavaju, kopija signala s(t+t) se pomiče ulijevo duž t ose i prelazi 0. Za digitalne signale, ovo zahtijeva odgovarajuće proširenje podataka u područje negativnih vrijednosti argumenta. A kako je u proračunima interval za postavljanje t obično mnogo manji od intervala za postavljanje signala, praktičnije je pomaknuti kopiju signala ulijevo duž ose argumenata, tj. koristiti funkciju s(tt) u izraz (6.1.1) umjesto s(t + t).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Za konačne signale, kako se vrijednost pomaka t povećava, vremensko preklapanje signala sa njegovom kopijom se smanjuje, i, prema tome, kosinus ugla interakcije i skalarni proizvod u cjelini teže nuli:

ACF izračunat iz centrirane vrijednosti signala s(t) je autokovarijanca signalna funkcija:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

gdje je ms prosječna vrijednost signala. Funkcije kovarijanse povezane su s korelacijskim funkcijama prilično jednostavnim odnosom:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF signala ograničenog u vremenu. U praksi se obično istražuju i analiziraju signali dati u određenom intervalu. Da bi se uporedio ACF signala datih u različitim vremenskim intervalima, modifikacija ACF-a sa normalizacijom na dužinu intervala nalazi praktičnu primenu. Tako, na primjer, kada postavljate signal na interval:

Bs(t)=s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

ACF se također može izračunati za slabo prigušene signale sa beskonačnom energijom, kao prosječna vrijednost skalarnog proizvoda signala i njegove kopije kada interval podešavanja signala teži beskonačnosti:

Bs(t) = . (6.1.4)

ACF prema ovim izrazima ima fizičku dimenziju snage, i jednaka je prosječnoj međusobnoj snazi signala i njegove kopije u funkcionalnoj zavisnosti od pomaka kopije.

ACF periodičnih signala. Energija periodičnih signala je beskonačna, pa se ACF periodičnih signala izračunava za jedan period T, usrednjavajući skalarni proizvod signala i njegove pomerene kopije unutar perioda:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Matematički rigorozniji izraz:

Bs(t) = .

Kod t=0, vrijednost ACF-a normalizirana na period jednaka je prosječnoj snazi signala unutar perioda. U ovom slučaju, ACF periodičnih signala je periodična funkcija sa istim periodom T. Dakle, za signal s(t) = A cos(w0t+j0) na T=2p/w0 imamo:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Dobiveni rezultat ne zavisi od početne faze harmonijskog signala, što je tipično za bilo koje periodične signale i jedno je od svojstava ACF-a. Koristeći autokorelacijske funkcije, možete provjeriti prisustvo periodičnih svojstava u bilo kojem proizvoljnom signalu. Primjer autokorelacijske funkcije periodičnog signala prikazan je na sl. 6.1.2.

Autokovarijancijske funkcije (ACV) izračunavaju se na sličan način, centriranim vrijednostima signala. Izvanredna karakteristika ovih funkcija je njihov jednostavan odnos sa disperzija ss2 signali (po kvadratu standarda - standardna devijacija vrijednosti signala od prosječne vrijednosti). Kao što je poznato, vrijednost disperzije jednaka je prosječnoj snazi signala, iz čega slijedi:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Vrijednosti FAC normalizirane na vrijednost disperzije su funkcija koeficijenata autokorelacije:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Ova funkcija se ponekad naziva "prava" funkcija autokorelacije. Na osnovu normalizacije, njegove vrijednosti ne ovise o jedinicama (skali) reprezentacije vrijednosti signala s(t) i karakteriziraju stupanj linearne veze između vrijednosti signala u zavisnosti od pomaka t između uzoraka signala. Vrijednosti rs(t) º cos j(t) mogu varirati od 1 (potpuna direktna korelacija očitavanja) do -1 (inverzna korelacija).

Na sl. 6.1.3 prikazuje primjer signala s(k) i s1(k) = s(k)+šum sa FAC koeficijentima koji odgovaraju ovim signalima - rs i rs1. Kao što se može vidjeti na grafikonima, FAC je pouzdano otkrio prisustvo periodičnih fluktuacija u signalima. Šum u signalu s1(k) smanjio je amplitudu periodičnih oscilacija bez promjene perioda. Ovo potvrđuje dijagram krivulje Cs/ss1, odnosno FAC signala s(k) sa normalizacijom (za poređenje) na vrijednost disperzije signala s1(k), gdje se jasno može vidjeti da šum pulsira , uz potpunu statističku nezavisnost njihovih uzoraka, izazvalo je povećanje vrijednosti Cs1(0) u odnosu na vrijednost Cs(0) i donekle "zamaglilo" funkciju koeficijenata autokovarijance. To je zbog činjenice da vrijednost rs(t) signala šuma teži 1 pri t ® 0 i fluktuira u odnosu na nulu pri t ≠ 0, dok su amplitude fluktuacije statistički nezavisne i zavise od broja uzoraka signala (oni teže nuli kako se broj uzoraka povećava).

ACF diskretnih signala. Sa intervalom uzorkovanja podataka Dt = const, izračunavanje ACF-a se izvodi u intervalima Dt = Dt i obično se zapisuje kao diskretna funkcija brojeva n pomaka uzorka nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Diskretni signali se obično specificiraju u obliku numeričkih nizova određene dužine sa numeracijom uzoraka k = 0,1, ... K pri Dt = 1, a proračun diskretne ACF u jedinicama energije se izvodi u jednostranoj verziji. , uzimajući u obzir dužinu nizova. Ako se koristi cijeli niz signala i broj ACF uzoraka je jednak broju uzoraka niza, tada se proračun vrši prema formuli:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Faktor K/(K-n) u ovoj funkciji je faktor korekcije za postepeno smanjenje broja pomnoženih i zbrojenih vrijednosti kako se pomak n povećava. Bez ove korekcije za necentrirane signale, u ACF vrijednostima se pojavljuje trend sumiranja prosječnih vrijednosti. Prilikom mjerenja u jedinicama snage signala, faktor K/(K-n) zamjenjuje se faktorom 1/(K-n).

Formula (6.1.10) se koristi prilično rijetko, uglavnom za determinističke signale s malim brojem uzoraka. Za slučajne i šumne signale, smanjenje nazivnika (K-n) i broja pomnoženih uzoraka kako se pomak povećava dovodi do povećanja statističkih fluktuacija u proračunu ACF-a. Veću pouzdanost u ovim uslovima pruža izračunavanje ACF-a u jedinicama snage signala prema formuli:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 za k-n< 0, (6.1.11)

tj. sa normalizacijom za konstantan faktor 1/K i sa proširenjem signala za nulte vrijednosti (na lijevu stranu kada se pomaci k-n ili na desnu stranu kada se koriste pomaci k+n). Ova procjena je pristrasna i ima nešto manju disperziju nego prema formuli (6.1.10). Razlika između normalizacija prema formulama (6.1.10) i (6.1.11) može se jasno vidjeti na Sl. 6.1.4.

Formula (6.1.11) se može posmatrati kao usrednjavanje zbira proizvoda, odnosno kao procena matematičkog očekivanja:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

U praksi, diskretni ACF ima ista svojstva kao i kontinuirani ACF. Takođe je paran, a njegova vrijednost pri n = 0 jednaka je energiji ili snazi diskretnog signala, ovisno o normalizaciji.

ACF šumnih signala . Šumni signal se zapisuje kao zbir v(k) = s(k)+q(k). U općem slučaju, šum ne mora imati nultu srednju vrijednost, a snaga normalizirana autokorelacija funkcija digitalnog signala, koji sadrži N uzoraka, zapisuje se u sljedećem obliku:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(kn)ñ + ás(k), q(kn)ñ + áq(k), s(kn)ñ + áq(k), q(kn)ñ ]=

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Uz statističku nezavisnost korisnog signala s(k) i šuma q(k), uzimajući u obzir proširenje matematičkog očekivanja

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

može se koristiti sljedeća formula:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Primjer šumnog signala i njegovog ACF-a u poređenju sa nešumnim signalom prikazan je na Sl. 6.1.5.

Iz formule (6.1.13) slijedi da se ACF šumnog signala sastoji od ACF komponente signala korisnog signala sa nametnutom funkcijom šuma koja opada na vrijednost 2+. Za velike vrijednosti K, kada je → 0, imamo Bv(n) » Bs(n). Ovo omogućava ne samo da se ACF-om izoluju periodični signali koji su gotovo potpuno skriveni u šumu (snaga šuma je mnogo veća od snage signala), već i da se sa velikom preciznošću odrede njihov period i oblik unutar perioda, a za jednofrekventni harmonijski signali, njihova amplituda pomoću izraza (6.1.6).

	Barker signal	signal ACF





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

kodni signali su vrsta diskretnih signala. U određenom intervalu kodne riječi M×Dt, oni mogu imati samo dvije vrijednosti amplitude: 0 i 1 ili 1 i –1. Prilikom izdvajanja kodova na značajnom nivou šuma, oblik ACF kodne riječi je od posebne važnosti. Sa ove pozicije, najbolji kodovi su oni čije su ACF bočne vrijednosti minimalne na cijeloj dužini intervala kodne riječi na maksimalnoj vrijednosti centralnog vrha. Ovi kodovi uključuju Barkerov kod prikazan u tabeli 6.1. Kao što se vidi iz tabele, amplituda centralnog vrha koda je numerički jednaka vrednosti M, dok amplituda bočnih oscilacija za n ¹ 0 ne prelazi 1.

6.2. Međusobne korelacijske funkcije signala.

Funkcija unakrsne korelacije (CCF) različitih signala (funkcija unakrsne korelacije, CCF) opisuje kako stepen sličnosti oblika dva signala, tako i njihov relativni položaj jedan u odnosu na drugi duž koordinata (nezavisna varijabla). Generalizujući formulu (6.1.1) autokorelacione funkcije na dva različita signala s(t) i u(t), dobijamo sledeći skalarni proizvod signala:

Bsu(t)=s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Međusobna korelacija signala karakteriše određenu korelaciju pojava i fizičkih procesa prikazanih ovim signalima i može poslužiti kao mjera „stabilnosti“ ovog odnosa kada se signali obrađuju zasebno u različitim uređajima. Za signale konačne energije, CCF je također konačan, dok:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

što proizilazi iz nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky i nezavisnosti normi signala od pomaka u koordinatama.

Promjenom varijable t = t-t u formuli (6.2.1) dobijamo:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Ovo implicira da CCF ne zadovoljava uslov parnosti, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), a CCF vrijednosti ne moraju imati maksimum pri t = 0.

To se može jasno vidjeti na sl. 6.2.1, gdje su data dva identična signala sa centrima u tačkama 0.5 i 1.5. Izračunavanje po formuli (6.2.1) uz postepeno povećanje vrijednosti t znači uzastopne pomake signala s2(t) ulijevo duž vremenske ose (za svaku vrijednost s1(t), vrijednosti od s2(t+t) uzimaju se za množenje integrala). Pri t=0, signali su ortogonalni i vrijednost B12(t)=0. Maksimalni B12(t) će se uočiti kada se signal s2(t) pomakne ulijevo za vrijednost t=1, pri čemu su signali s1(t) i s2(t+t) potpuno kombinovani.

Iste CCF vrijednosti prema formulama (6.2.1) i (6.2.1") uočavaju se na istom međusobnom položaju signala: kada je signal u(t) pomjeren za interval t u odnosu na s(t ) desno duž y-ose i signal s(t) u odnosu na signal u(t) lijevo, tj. Bsu(t) = Bus(-t).

Na sl. 6.2.2 prikazuje primjere VKF-a za pravougaoni signal s(t) i dva identična trouglasta signala u(t) i v(t). Svi signali imaju isto trajanje T, dok je signal v(t) pomaknut naprijed za interval T/2.

Signali s(t) i u(t) su isti u smislu vremenske lokacije, a područje "preklapanja" signala je maksimalno pri t=0, što je fiksirano Bsu funkcijom. Istovremeno, funkcija Bsu je oštro asimetrična, jer sa asimetričnim oblikom signala u(t) za simetričan oblik s(t) ( u odnosu na centar signali) područje "preklapanja" signala varira različito ovisno o smjeru pomaka (znak t kako vrijednost t raste od nule). Kada se početni položaj signala u(t) pomakne ulijevo duž ordinatne ose (ispred signala s(t) - signal v(t)) oblik VCF ostaje nepromijenjen i pomiče se udesno za ista vrijednost pomaka - funkcija Bsv na sl. 6.2.2. Ako se izrazi funkcija u (6.2.1) zamijene, tada će nova funkcija Bvs biti zrcalna funkcija Bsv u odnosu na t=0.

Uzimajući u obzir ove karakteristike, ukupni CCF se u pravilu izračunava odvojeno za pozitivna i negativna kašnjenja:

Bsu(t)=s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6.2.1")

Unakrsna korelacija šumnih signala . Za dva šumna signala u(t) = s1(t) + q1(t) i v(t) = s2(t) + q2(t), primjenom metode izvođenja formula (6.1.13) zamjenom a kopiju signala s(t ) u signal s2(t), lako je izvesti formulu unakrsne korelacije u sljedećem obliku:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Posljednja tri člana na desnoj strani (6.2.2) opadaju na nulu kako t raste. Za velike intervale podešavanja signala, izraz se može napisati u sljedećem obliku:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Pri nultim prosječnim vrijednostima šuma i statističke neovisnosti od signala, događa se sljedeće:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VKF diskretnih signala. Sva svojstva VKF analognih signala vrijede i za VKF diskretnih signala, dok za njih vrijede i gore opisane karakteristike diskretnih signala za diskretne ACF (formule 6.1.9-6.1.12). Konkretno, kod Dt = const =1 za signale x(k) i y(k) sa brojem uzoraka K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Kada se normalizira u jedinicama snage:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Procjena periodičnih signala u šumu . Šumni signal se može procijeniti za međukorelaciju sa "referentnim" signalom pokušajem i greškom, pri čemu je funkcija unakrsne korelacije podešena na svoju maksimalnu vrijednost.

Za signal u(k)=s(k)+q(k) sa statističkom nezavisnošću od šuma i → 0, unakrsna korelaciona funkcija (6.2.2) sa šablonom signala p(k) sa q2(k) =0 poprima oblik:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

A pošto je → 0 kako N raste, onda Bup(k) → Bsp(k). Očigledno, funkcija Bup(k) će imati maksimum kada je p(k) = s(k). Promjenom oblika šablona p(k) i maksimiziranjem funkcije Bup(k), možemo dobiti procjenu s(k) u obliku optimalnog oblika p(k).

Funkcija koeficijenata unakrsne korelacije (VKF) je kvantitativni pokazatelj stepena sličnosti signala s(t) i u(t). Slično funkciji koeficijenata autokorelacije, izračunava se kroz centrirane vrijednosti funkcija (za izračunavanje međusobne kovarijance dovoljno je centrirati samo jednu od funkcija), a normalizira se na proizvod vrijednosti standardi funkcija s(t) i v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Interval promjene vrijednosti koeficijenata korelacije na pomacima t može varirati od –1 (potpuna inverzna korelacija) do 1 (potpuna sličnost ili stopostotna korelacija). Kod pomaka t na kojima se uočavaju nulte vrijednosti rsu(t), signali su nezavisni jedan od drugog (nekorelirani). Koeficijent unakrsne korelacije omogućava vam da utvrdite prisutnost veze između signala, bez obzira na fizička svojstva signala i njihovu veličinu.

Prilikom izračunavanja CCF šumnih diskretnih signala ograničene dužine pomoću formule (6.2.4), postoji vjerovatnoća da će vrijednosti |rsu(n)| > 1.

Za periodične signale, koncept CCF se obično ne koristi, osim za signale sa istim periodom, na primjer ulazni i izlazni signali kada se proučavaju karakteristike sistema.

6.3. Spektralne gustine korelacionih funkcija.

Spektralna gustina ACF-a može se odrediti iz sljedećih jednostavnih razmatranja.

U skladu s izrazom (6.1.1), ACF je funkcija skalarnog proizvoda signala i njegove kopije, pomjerene za interval t, na -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Skalarni proizvod se može definirati u smislu spektralne gustine signala i njegovih kopija, čiji je proizvod međusobna spektralna gustoća snage:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Pomak signala duž apscise za interval t prikazuje se u spektralnom prikazu množenjem spektra signala sa exp(-jwt), a za konjugirani spektar sa faktorom exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Imajući ovo na umu, dobijamo:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Ali posljednji izraz je inverzna Fourierova transformacija energetskog spektra signala (spektralna gustina energije). Stoga su energetski spektar signala i njegova autokorelacija povezani Fourierovom transformacijom:

Bs(t) w |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Dakle, spektralna gustoća ACF-a nije ništa drugo nego spektralna gustoća snage signala, koja se, zauzvrat, može odrediti direktnom Fourierovom transformacijom kroz ACF:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Posljednji izraz nameće određena ograničenja na oblik ACF-a i način njihovog ograničenja u trajanju.

Rice. 6.3.1. Spektar nepostojećeg ACF-a

Energetski spektar signala je uvijek pozitivan, snaga signala ne može biti negativna. Prema tome, ACF ne može imati oblik pravokutnog impulsa, budući da je Fourierova transformacija pravokutnog impulsa integralni sinus sa naizmjeničnim znakom. Na ACF-u ne bi trebalo biti diskontinuiteta prve vrste (skokova), jer, uzimajući u obzir parnost ACF-a, svaki simetrični skok duž koordinate ±t generiše “razdvajanje” ACF-a u zbir određenog kontinuiranog funkciju i pravokutni impuls trajanja 2t sa odgovarajućom pojavom negativnih vrijednosti u energetskom spektru. Primjer potonjeg prikazan je na Sl. 6.3.1 (grafovi funkcija dati su, kao što je uobičajeno za parne funkcije, samo sa njihovom desnom stranom).

ACF-ovi dovoljno proširenih signala obično su ograničene veličine (proučavaju se ograničeni intervali korelacije podataka od –T/2 do T/2). Međutim, skraćivanje ACF-a je množenje ACF-a pravokutnim selekcionim impulsom trajanja T, koji se u frekvencijskom domenu prikazuje konvolucijom stvarnog spektra snage sa predznakom promjenjivom integralnom sinusnom funkcijom sinc(wT/2) . S jedne strane, to uzrokuje određeno izglađivanje spektra snage, što je često korisno, na primjer, kada se proučavaju signali na značajnom nivou šuma. Ali, s druge strane, može doći i do značajnog podcjenjivanja veličine energetskih vrhova ako signal sadrži bilo koju harmonijsku komponentu, kao i do pojave negativnih vrijednosti snage na rubnim dijelovima vrhova i skokova. Primjer manifestacije ovih faktora prikazan je na sl. 6.3.2.

Rice. 6.3.2. Proračun energetskog spektra signala iz ACF različitih dužina.

Kao što je poznato, spektri snage signala nemaju faznu karakteristiku i nemoguće je povratiti signale iz njih. Shodno tome, ACF signala, kao temporalni prikaz spektra snage, također nema informacije o faznim karakteristikama signala, te je nemoguće vratiti signale iz ACF-a. Signali istog oblika, pomjereni u vremenu, imaju isti ACF. Štaviše, signali različitih oblika mogu imati slične ACF ako imaju bliske spektre snage.

Prepišimo jednačinu (6.3.1) u sljedećem obliku

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

i zamijenite vrijednost t=0 u ovaj izraz. Rezultirajuća jednakost je dobro poznata i naziva se parseval equality

s2(t)dt = (1/2p)|S(w)|2dw.

Omogućava vam da izračunate energiju signala, kako u vremenskom tako i u frekvencijskom domenu opisa signala.

Interval korelacije signala je numerički parametar za procjenu širine ACF-a i stepena značajne korelacije vrijednosti signala po argumentu.

Ako pretpostavimo da signal s(t) ima približno ujednačen energetski spektar sa vrijednošću W0 i sa gornjom graničnom frekvencijom do wb (oblik centriranog pravokutnog impulsa, kao što je signal 1 na slici 6.3.3 sa fb=50 Hz u jednostranom prikazu), tada je ACF signala određen izrazom:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowv/p) sin(wvt)/(wvt).

Interval korelacije signala tc je vrijednost širine centralnog vrha ACF-a od maksimuma do prvog prelaska nulte linije. U ovom slučaju, za pravougaoni spektar sa gornjom graničnom frekvencijom wv, prvi prelaz nule odgovara sinc(wvt) = 0 na wvt = p, odakle:

tk = p/wv =1/2fv. (6.3.4)

Korelacijski interval je manji što je gornja granična frekvencija spektra signala veća. Za signale sa glatkim presekom duž gornje granične frekvencije, ulogu parametra wv igra prosečna širina spektra (signal 2 na slici 6.3.3).

Spektralna gustina snage statističkog šuma u jednom mjerenju je slučajna funkcija Wq(w) sa srednjom vrijednošću Wq(w) Þ sq2, gdje je sq2 varijansa šuma. U granici, sa ujednačenom spektralnom distribucijom buke od 0 do ¥, šum ACF teži vrijednosti Bq(t) Þ sq2 pri t Þ 0, Bq(t) Þ 0 pri t ¹ 0, tj. statistički šum nije u korelaciji (tc Þ 0).

Praktični proračuni ACF konačnih signala obično su ograničeni na interval pomaka t = (0, (3-5)tk), u kojem su, po pravilu, koncentrisane glavne informacije o autokorelaciji signala.

Spektralna gustina VKF može se dobiti na osnovu istih razmatranja kao i za ROS, ili direktno iz formule (6.3.1) zamjenom spektralne gustoće signala S(w) sa spektralnom gustinom drugog signala U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Ili, kada promijenite redoslijed signala:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Proizvod S*(w)U(w) je međusobni energetski spektar Wsu(w) signala s(t) i u(t). Prema tome, U*(w)S(w) = Wus(w). Stoga su, kao i ACF, unakrsna korelacija i spektralna gustoća međusobne snage signala međusobno povezani Fourierovim transformacijama:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

U općem slučaju, s izuzetkom spektra parnih funkcija, iz uvjeta nepoštovanja parnosti za VKF funkcije slijedi da su međusobni energetski spektri složene funkcije:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

Na sl. 6.3.4 možete jasno vidjeti karakteristike formiranja VCF-a na primjeru dva signala istog oblika, pomaknutih jedan u odnosu na drugi.

Rice. 6.3.4. Formiranje VKF-a.

Oblik signala i njihov međusobni raspored prikazani su u pogledu A. Modul i argument spektra signala s(t) prikazani su u pogledu B. Modul spektra u(t) je identičan modulu S(w ). Isti prikaz prikazuje modul uzajamnog spektra snaga signala S(w)U*(w). Kao što je poznato, kada se kompleksni spektri množe, moduli spektra se množe, a fazni uglovi se sabiraju, dok za konjugovani spektar U*(w) fazni ugao menja predznak. Ako je prvi signal u formuli za izračunavanje CCF (6.2.1) signal s(t), a signal u(tt) je ispred s(t) na y-osi, tada su fazni uglovi S( w) raste prema negativnim vrijednostima kako frekvencija povećava uglove (bez uzimanja u obzir periodičnog resetiranja vrijednosti za 2p), a fazni uglovi U*(w) u apsolutnim vrijednostima su manji od faznih uglova s (t) i povećanje (zbog konjugacije) prema pozitivnim vrijednostima. Rezultat množenja spektra (kao što se vidi na slici 6.3.4, pogled C) je oduzimanje vrijednosti uglova U*(w) od faznih uglova S(w), dok su fazni uglovi spektra S(w)U*(w) ostaju u području negativnih vrijednosti, što obezbjeđuje pomak cijele CCF funkcije (i njenih vršnih vrijednosti) udesno od nule duž t ose za određeni iznos ( za identične signale, razlikom između signala duž ordinatne ose). Kada se početni položaj signala u(t) pomakne prema signalu s(t), fazni uglovi S(w)U*(w) opadaju, u granicama, na nulte vrijednosti uz potpunu superpoziciju signala , dok je funkcija Bsu(t) pomjerena na nulte vrijednosti t, u granici prije konverzije u ACF (za identične signale s(t) i u(t)).

Kao što je poznato za determinističke signale, ako se spektri dva signala ne preklapaju i, shodno tome, međusobna energija signala je jednaka nuli, takvi su signali ortogonalni jedan prema drugom. Odnos između energetskih spektra i korelacionih funkcija signala pokazuje drugu stranu interakcije signala. Ako se spektri signala ne preklapaju i njihov međusobni energetski spektar je jednak nuli na svim frekvencijama, tada je za bilo koje vremenske pomake t jedan u odnosu na drugi njihov CCF također jednak nuli. To znači da takvi signali nisu u korelaciji. Ovo vrijedi i za determinističke i za slučajne signale i procese.

Računanje korelacionih funkcija pomoću FFT-a je, posebno za duge numeričke serije, desetine i stotine puta brži od uzastopnih pomaka u vremenskom domenu u velikim intervalima korelacije. Suština metode proizilazi iz formula (6.3.2) za ACF i (6.3.6) za VKF. S obzirom da se ACF može smatrati posebnim slučajem CCF za isti signal, razmotrit ćemo proces proračuna na primjeru CCF za signale x(k) i y(k) sa brojem uzoraka K. To uključuje:

1. Proračun FFT spektra signala x(k) → X(k) i y(k) → Y(k). Za različit broj uzoraka, kraći red je dopunjen nulama do veličine većeg reda.

2. Proračun spektra gustine snage Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverzni FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Napominjemo neke karakteristike metode.

Sa inverznim FFT, kao što je poznato, izračunava se ciklična konvolucija funkcija x(k) ③ y(k). Ako je broj očitavanja funkcija jednak K, broj kompleksnih očitavanja spektra funkcija je također jednak K, kao i broj očitavanja njihovog proizvoda Wxy(k). U skladu s tim, broj uzoraka Bxy(k) sa inverznim FFT je također jednak K i ciklički se ponavlja s periodom jednakim K. U međuvremenu, uz linearnu konvoluciju kompletnih nizova signala prema formuli (6.2.5) , veličina samo jedne polovine VKF-a je K poena, a puna veličina dupleksa je 2K tačaka. Shodno tome, s inverznim FFT, uzimajući u obzir cikličnost konvolucije, glavni period VKF-a će biti superponiran sa svojim bočnim periodima, kao u slučaju uobičajene cikličke konvolucije dvije funkcije.

Na sl. 6.3.5 prikazuje primjer dva signala i VKF vrijednosti izračunate linearnom konvolucijom (B1xy) i cikličkom konvolucijom kroz FFT (B2xy). Da bi se eliminisao efekat preklapanja bočnih perioda, potrebno je signale dopuniti nulama, u granici, sve do udvostručenja broja uzoraka, dok FFT rezultat (B3xy dijagram na slici 6.3.5) u potpunosti ponavlja rezultat linearnog konvolucija (uzimajući u obzir normalizaciju za povećanje broja uzoraka).

U praksi, broj nula proširenja signala zavisi od prirode korelacione funkcije. Minimalni broj nula obično se uzima jednak značajnom informacionom delu funkcija, odnosno oko (3-5) intervala korelacije.

književnost

1. Baškakovski lanci i signali: udžbenik za univerzitete. - M.: Viša škola, 1988.

19. Otnes R., Enokson L. Primijenjena analiza vremenske serije. – M.: Mir, 1982. – 428 str.

25. Sergienko obrada signala. / Udžbenik za univerzitete. - Sankt Peterburg: Petar, 203. - 608 str.

33. Ayficher E., Jervis B. Digitalna obrada signala. Praktičan pristup. / M., "Williams", 2004, 992 str.

O uočenim greškama u kucanju, greškama i prijedlozima za dopunu: *****@***ru.