RASPIRANJE NA STATIČKI neravnoj površini sa proizvoljnim svojstvima korelacije
V. V. Akhiyarov
MSTU im. N.E. Bauman
Anotacija. R Razmatra se rješenje problema raspršenja na statistički neravnoj površini metodom Monte Carlo. Prikazan je algoritam za formiranje ansambla površina sa potrebnim svojstvima korelacije. Dati su pokazatelji raspršenja na površinama s Gaussovim i eksponencijalnim korelacijskim funkcijama, kao i na višeskalanskoj površini.
Ključne riječi:rasipanje radio talasa, Monte Carlo metoda.
Abstract. T on rešenje rasipanje po statistički hrapavoj površinikoristećithe Monte- Razmatra se Carlo metoda... Formacija prikazana je tehnika statistički hrapavih površina sa specificiranom korelacionom funkcijom.Indikatori raspršenjaza površine sa Prikazane su Gausove i eksponencijalne korelacijske funkcije, kao i za višeskalnu površinu.
Ključne riječi:rasejanje radiotalasa, Monte-Carlo simulacija.
U pravilu se problem raspršenja na statistički neravnoj površini rješava metodama statističke radiofizike (metoda malih perturbacija, metoda tangentne ravni, itd.). U ovom slučaju se pretpostavlja da su nepravilnosti glatke i plitke, što odgovara Gausovoj korelacionoj funkciji površine raspršenja. Ova idealizacija je zgodna, alinije uvek opravdano, jeru realnim uslovima, priroda nepravilnosti može biti proizvoljna. Zbog togatrenutno se za rješavanje problema raspršenja široko koristi mMonte Carlo metoda, koja se sastoji u numeričkom rješavanju problema difrakcije na ansamblu slučajnih površina i statističkoj obradi dobijenih realizacija rasutih talasnih polja. U poređenju sa metodama statističke radiofizike, ovaj pristup je univerzalniji, jer ne nameće stroga ograničenja na statističke karakteristike površine raspršenja.
U ovom radu, radi jednostavnosti, pretpostavlja se da su površinske nepravilnosti cilindrične s generatricijama paralelnim s osi Y (vidi sliku 1). Statističke karakteristike takve površine su standardna devijacija (RMS)su odnosu na prosjek, interval korelacijeli korelacione funkcije.
Slika 1. Geometrija problema.
Svaka moguća implementacija površine raspršenja može se smatrati procesom na izlazu filtera s impulsnim odzivom, koji je povezan s izrazom:
. (1)
Ako se bijeli šum s matematičkim očekivanjem primjenjuje na ulaz filtera i RMS s, tada je funkcija slučajnih visina određena integralom konvolucije:
. (2)
U području prostornih frekvencija, konvolucija (2) odgovara proizvodu spektra impulsnog odziva i bijelog šuma. Stoga je zgodno oblikovati funkciju koristeći Fourierovu transformaciju.
Razmotrimo algoritam za rješavanje problema difrakcije na slučajnoj idealno vodljivoj površini s horizontalnom polarizacijom upadnog polja (TE polarizacija).Za izračunavanje površinske gustine struje koristi se skalarna Fredholmova integralna jednadžba prve vrste [,]:
, (3)
gdje je tražena gustina površinske električne struje, upadno polje na površini raspršenja, je Hankelova funkcija nultog reda druge vrste,x i x¢ - tačke posmatranja i integracije, - talasna impedancija slobodnog prostora, – talasni broj.
U dalekoj zoni, raspršeno polje je određeno izrazom [,]:
, (4)
gdje qs- ugao raspršenja(vidi sliku 1).
Za ograničavanje područja izračunavanja na intervalu integracije 
izvorno polje je modelirano talasnim snopom:
, (5)
gdje qi – upadni ugao (od vertikale),
, (6)
i parametar gse bira u skladu sa uslovom:
,
. (7)
Rješenje problema difrakcije za ansambl raspršenih površina omogućava određivanjefaktor disipacije:
,
(8)
kao i koeficijenti koherentnog i nekoherentno rasipanje:
, (9.a)
... (9.b)
gdje * - složena konjugacija,- disperzija rasutih fluktuacija polja:
.
Razmotrimo rezultate rješavanja problema raspršenja za ansamble površina s Gausovim
(10)
I eksponencijalno
(11)
korelacione funkcije.
Treba napomenuti da upotreba Gaussove krive (10) daje zadovoljavajuće slaganje sa eksperimentom kada se računa rasuto polje samo u blizini uglova ogledala. Korištenje eksponencijalne korelacijske funkcije u nekim slučajevima omogućava postizanje boljeg slaganja između eksperimentalnih i teorijskih rezultata.
Pretpostavlja se da su visine nepravilnosti površina raspršivanja male (na skali talasnih dužina), tj. Rejlejev kriterijum je zadovoljen:
,
(12)
gdje x– visina pojedinačne neravnine.
Na slici 2 prikazana je indikacija raspršenja na površini s Gaussovom korelacijskom funkcijom za upadni ugao (smjer zračenja je ovdje i dalje na svim slikama prikazan strelicom). Svaka površina je formirana u veličini od vrijednosti slučajnih visina, RMSD nepravilnosti, intervala korelacije, usrednjavanje je izvršeno po realizacijama rasejanog polja ( u daljem tekstu pretpostavljamo da je jedinica mjereD, s i lje dužina elektromagnetnog talasa).
Slika 2. Indikatori raspršivanja na površini s Gaussianom
Slika pokazuje da je raspršenje u spekularnom smjeru posljedica koherentne komponente, a oblik indikatrikse nekoherentnog raspršenja je blizak Gaussovom.
Rezultati proračuna za ansambl površina sa eksponencijalnom korelacionom funkcijom prikazani su na slici 3. Početni podaci su isti kao u prethodnom slučaju:,,,,. Poređenje rezultata prikazanih na slikama 2 i 3 pokazuje da amplituda koherentne komponente u oba slučaja ostaje približno konstantna, a povećanje rasejanja u pravcu ogledala sa eksponencijalnom korelacijom je posledica doprinosa nekoherentnog rasejanja.
Slika 3. Indikatori raspršivanja na površini s eksponencijalom
korelacijske funkcije za i.
Puna linija -, isprekidana linija -, tačke -.
,
(13)
gdje a- proizvoljan neparan broj,.
Na slici 4 prikazani su rezultati proračuna po formuli (13) na i na intervalu. Vidi se da je uvećano područje slično cijeloj funkciji, tj. oblik površine se ne mijenja bilo da je posmatramo izbliza ili izdaleka. Treba napomenuti da je ova funkcija kontinuirana i da se ni u jednom trenutku ne može razlikovati.
Slika 4. Weierstrassova funkcija.
Da bi se formirao ansambl realizacija višerazmjernih površina, potrebno je izračunati korelacijske funkcije izraza (13). Za proračune su odabrane sljedeće vrijednosti:,, i, u ovom slučaju, moguće je ograničiti se na četiri člana serije u formuli (13).
Slika 5 prikazuje moguću implementaciju višeskalne površine raspršenja sa RMS vrijednošću, a slika 6 prikazuje normaliziranu korelaciju (puna kriva je početna funkcija, krugovi su proračuni za ansambl realizacija). Vidi se da se početna funkcija i rezultati simulacije praktično poklapaju.
Slika 5. Moguća izvedba rasipajuće površine.
Slika 6. Normalizovana korelaciona funkcija.
Puna linija je početni podatak, krugovi su rezultat simulacije.
Zatim su izračunati koeficijenti raspršenja za ansambl višesmjernih površina pod upadnim uglovima (sl. 7.a) i (sl. 7.b). Pošto su nepravilnosti male na skali talasnih dužina, primećuje se intenzivno koherentno rasejanje u zrcalnom pravcu.
Slika 7. Indikatori raspršenja za i
i različiti uglovi upada: a -; b -.
Puna linija -, isprekidana linija -, tačke -.
Slika 8. Braggovo raspršivanje na višesmjernoj površini.
Indikatori nekoherentnog rasejanja imaju karakterističnu karakteristiku u vidu dva vrha pomerena u odnosu na spekularni pravac (na slici 7. označeni su brojevima 1 i 2). Poznato je da je m Mehanizam raspršenja na višesmjernoj površini je Braggov, a budući da je originalna Weierstrassova funkcija (13) dobivena zbrajanjem periodičnih funkcija za različite vrijednostin, treba pretpostaviti da odgovara intenzivnom nekoherentnom rasejanju. Slika 8 prikazuje geometriju problema koristeći sljedeću notaciju: g 1, g 2, K 1 i K 2 - odstupanja od pravca ogledala i odgovarajućih talasnih vektora,K- valni vektor u smjeru zrcalnog raspršenja:
. (14)
Vektor je određen omjerom:, formula za određivanje njegovog modula je data u:, onda sa dobivamo. Nadalje, koristeći (14), mogu se odrediti uglovi raspršenja g 1 i g 2 ... Najlakši način da to učinite je za slučaj: 
, što približno odgovara rezultatima prikazanim na slici 7.a.
Osim toga, za uočen je još jedan vrh, označen brojem 3 na slici 7.b. Pošto je njegova amplituda manja od amplituda pikova 1 i 2, može se pretpostaviti da odgovara slučaju, tj. rasipanje višeg reda.
Treba napomenuti da su indikatori rasejanja slični onima prikazanim na slici 7a eksperimentalno uočeni u optičkom opsegu. Eksperimentalni uzorci raspršujućih površina stvoreni su umjetno: staklena ploča je prekrivena fotorezistom, osvijetljena laserom, a zatim je na nastalu spekle strukturu nanesena tanka metalna prevlaka. U toku eksperimenata pod upadnim uglom dobijeni su indikati rasejanja sa tri vrha: centralnim i dva simetrična u odnosu na smer povratnog rasejanja. Simetrični vrhovi su imali manju amplitudu, a njihovo odstupanje od pravca bilo je unutar.
Rezultati prikazani u ovom radu ukazuju na to da je Monte Carlo metoda efikasan alat za numeričko rješavanje problema raspršivanja radiotalasa, a pri njenoj upotrebi praktično nema ograničenja na statističke karakteristike površine.
Književnost
1. Bas F.G., Fuchs I.M. Rasipanje talasa na statistički neravnoj površini. M.: Nauka. 1972.
2. Levin B.R. Teorijske osnove statističke radiotehnike. Knjiga prva. M .: Sov. Radio. 1969.
3. Wagner R.I., Song J., Chew W.C. Monte Carlo simulacija elektromagnetskog raspršenja iz nasumičnih grubih površina s vučnim dimenzijama // IEEE Trans. 1997. V... AP-45. br. 2. P. 235–245.
4. Axline R.M., Fung Adrian K. Numeričko izračunavanje raspršenja od savršeno vodljive slučajne površine // IEEE Trans. 1978. V. AP-26. br. 3. P. 482–488.
5. Fung A.K., Chen M.F. Numerička simulacija raspršenja od jednostavnih i složenih slučajnih površina // J. Opt. Soc. Am. A. 1985. V. 2. br. 12. P.2274-284.
6. Toporkov J.V., Awadallah R.S., Brown G.S. Pitanja vezana za korištenje incidentnog polja sličnog Gaussovu za raspršivanje pod niskim uglom ispaše // J. Opt. Soc. Am. A. 1999. V. 16. br. 1. str., 176-187.
7. Dwight L. J., Sun X. Rasipanje s fraktalno valovite površine // J. Opt. Soc. Am. A. 1990. V. 7. br. 6. P. 1131-1139.
8. O'Donnell K.A., Mendez E.R. Eksperimentalno proučavanje raspršenja s karakteriziranih slučajnih površina // J. Opt. Soc. Am. A. 1987. V. 4. br. 7. str., 1194-1205.
Regresiona i korelaciona analiza - statističke metode istraživanja. Ovo su najčešći načini da se pokaže kako parametar zavisi od jedne ili više nezavisnih varijabli.
U nastavku ćemo na konkretnim praktičnim primjerima razmotriti ove dvije analize koje su vrlo popularne među ekonomistima. Takođe ćemo dati primjer dobivanja rezultata kada se kombiniraju.
Regresiona analiza u Excel-u
Pokazuje učinak nekih vrijednosti (nezavisnih, nezavisnih) na zavisnu varijablu. Na primjer, kako broj ekonomski aktivnog stanovništva zavisi od broja preduzeća, veličine plata i drugih parametara. Ili: kako strane investicije, cijene energije itd. utiču na nivo BDP-a.
Rezultat analize vam omogućava da odredite prioritete. I na osnovu glavnih faktora predviđajte, planirajte razvoj prioritetnih oblasti, donosite upravljačke odluke.
Regresija se dešava:
- linearni (y = a + bx);
- parabolični (y = a + bx + cx 2);
- eksponencijalni (y = a * exp (bx));
- snaga (y = a * x ^ b);
- hiperbolično (y = b / x + a);
- logaritamski (y = b * 1n (x) + a);
- eksponencijalni (y = a * b ^ x).
Pogledajmo primjer izgradnje regresijskog modela u Excelu i interpretacije rezultata. Uzmimo tip linearne regresije.
Zadatak. U 6 preduzeća analizirana je prosječna mjesečna plata i broj zaposlenih koji su dali otkaz. Potrebno je utvrditi zavisnost broja zaposlenih koji su dali otkaz od prosječne plate.
Model linearne regresije je sljedeći:
Y = a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.
Gdje je a - koeficijenti regresije, x - utjecajne varijable, k - broj faktora.
U našem primjeru, Y je indikator zaposlenih koji su dali otkaz. Faktor uticaja su plate (x).
Excel ima ugrađene funkcije koje možete koristiti za izračunavanje parametara modela linearne regresije. Ali dodatak Analysis Package će to učiniti brže.
Aktiviramo moćan analitički alat:
Nakon aktivacije, dodatak će biti dostupan na kartici "Podaci".
Sada idemo direktno na regresionu analizu.
Prije svega obratite pažnju na R-kvadrat i koeficijente.
R-kvadrat je koeficijent determinacije. U našem primjeru - 0,755, odnosno 75,5%. To znači da izračunati parametri modela objašnjavaju odnos između proučavanih parametara za 75,5%. Što je veći koeficijent determinacije, to je model bolji. Dobro - iznad 0,8. Loše - manje od 0,5 (takva analiza se teško može smatrati razumnom). U našem primjeru - "nije loše".
Koeficijent 64,1428 pokazuje koliki će biti Y ako su sve varijable u modelu koji se razmatraju jednake 0. Odnosno, na vrijednost analiziranog parametra utiču i drugi faktori koji nisu opisani u modelu.
Koeficijent -0,16285 pokazuje težinu varijable X na Y. To jest, prosječna mjesečna plata u okviru ovog modela utiče na broj ljudi koji odlaze sa težinom od -0,16285 (ovo je mali stepen uticaja). Znak “-” ukazuje na negativan uticaj: što je veća plata, manje je onih koji odustaju. Što je pošteno.
Korelaciona analiza u Excel-u
Korelaciona analiza pomaže da se utvrdi da li postoji veza između indikatora u jednom ili dva uzorka. Na primjer, između vremena rada mašine i troškova popravki, cijene opreme i trajanja rada, visine i težine djece itd.
Ako postoji veza, onda da li povećanje jednog parametra dovodi do povećanja (pozitivna korelacija) ili smanjenja (negativna) u drugom. Korelaciona analiza pomaže analitičaru da utvrdi da li vrednost jednog indikatora može predvideti moguću vrednost drugog.
Koeficijent korelacije je označen sa r. Varira od +1 do -1. Klasifikacija korelacija za različita područja bit će različita. Kada je koeficijent 0, ne postoji linearna veza između uzoraka.
Pogledajmo kako koristiti Excel alate za pronalaženje koeficijenta korelacije.
Za pronalaženje uparenih koeficijenata koristi se CORREL funkcija.
Cilj: Utvrditi postoji li veza između vremena rada tokarilice i troškova njenog održavanja.
Stavljamo kursor u bilo koju ćeliju i pritisnemo dugme fx.
- U kategoriji "Statistički" odaberite funkciju CORREL.
- Argument niza 1 - prvi raspon vrijednosti - vrijeme rada mašine: A2: A14.
- Argument niza 2 - drugi raspon vrijednosti - cijena popravke: B2: B14. Kliknite OK.
Da biste odredili vrstu veze, potrebno je pogledati apsolutni broj koeficijenta (svako polje aktivnosti ima svoju skalu).
Za korelacione analize nekoliko parametara (više od 2) pogodnije je koristiti analizu podataka (dodatak paketa analize). Na listi morate odabrati korelaciju i odrediti niz. Sve.
Dobijeni koeficijenti će biti prikazani u korelacionoj matrici. Volim ovo:
Korelaciono-regresiona analiza
U praksi se ove dvije tehnike često koriste zajedno.
primjer:
Sada su vidljivi i podaci o regresiji.
Plan predavanja:
1. Determinističke i slučajne funkcije.
2. Glavne probabilističke karakteristike stohastičkih procesa.
8.1. Determinističke i slučajne funkcije
Do sada je ponašanje ACS-a ispitivano pod određenim vremenskim specifičnim kontrolama i ometajućim utjecajima (korak funkcija, impulsna funkcija, harmonijsko djelovanje, itd.). Pod ovim uslovima, stanje sistema se može tačno predvideti za bilo koji trenutak unapred. Sistem je potpuno definisan i u tom smislu se naziva determinističkim.
Međutim, u mnogim slučajevima, priroda utjecaja je takva da se ne može smatrati određenom funkcijom vremena. Utjecaj može poprimiti širok raspon nasumičnih vrijednosti tokom vremena. U takvim slučajevima možemo samo procijeniti vjerovatnoću da se određeni oblik uticaja dogodi u datom trenutku. To je zato što je sama priroda stvarne kontrole ili uznemirujućeg efekta takva da njena veličina u svakom trenutku vremena i proces njene promjene tokom vremena zavise od niza različitih veličina koje se mogu nasumično kombinirati jedna s drugom.
Strogo optimalno ponašanje sistema u prisustvu slučajnih uticaja nije izvodljivo. Međutim, možemo govoriti o najvjerojatnijem pristupu jednom ili drugom optimumu. Ovo obično uključuje neki kompromis.
Slučajna funkcija se razlikuje od regularne funkcije po tome što ne možemo tvrditi da će imati određenu vrijednost u datom trenutku. Možemo govoriti samo o vjerovatnoći da u ovom trenutku t = t vrijednost funkcije x (t) leži između vrednosti x i x + x... Koncept slučajne funkcije je generalizirani koncept i mi, u suštini, trenutno ne možemo govoriti o značenju funkcije. Međutim, u specifično posmatranoj krivulji slučajnog procesa, ove vrijednosti postoje. Konkretno posmatrana kriva slučajnog procesa naziva se implementacija slučajne funkcije. Implementacije mogu imati i specifična značenja i specifične derivate (slika 8.1). Mnogo različitih implementacija i generaliziran je konceptom "slučajne funkcije".
Rice. 8.1. Odvojene implementacije slučajne funkcije vremena
Ako se graf porodice realizacija slučajne funkcije isječe okomitom linijom, onda dobijamo slučajnu vrijednost x (t i) za dati trenutak u vremenu t i.
8.2. Osnovne probabilističke karakteristike
slučajni procesi
8.2.1. funkcija distribucije i gustina vjerovatnoće
Funkcije raspodjele vjerovatnoće i funkcije gustoće vjerovatnoće koriste se za karakterizaciju slučajne funkcije.
Ispod funkcija raspodjele vjerovatnoće, koji se često naziva kumulativni zakon distribucije, shvata se kao vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od određene fiksne vrijednosti.
Izvod funkcije raspodjele vjerovatnoće naziva se gustina vjerovatnoće ili zakon diferencijalne raspodjele.
Jednodimenzionalna funkcija distribucije vjerovatnoće odnosi se na samo jedan bilo koji dio slučajne funkcije:
Pokazuje vjerovatnoću da je trenutna vrijednost slučajne funkcije x (t) trenutno t = t 1 manja od navedene vrijednosti NS 1 .
Prema tome, jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće p 1 (x 1, t 1) je derivat kumulativne distribucije vjerovatnoće F 1 (x 1, t 1) i ima oblik:
. (8.2)
Količina izražava vjerovatnoću da je slučajna funkcija x (t) trenutno t = t 1 je u rasponu od x prije .
Razmotrite sada sve moguće parove vrijednosti NS, dobijeno u dva različita vremena: t 1 i t 2. Bivarijantna distribucija vjerovatnoće je:
Bivarijantna distribucija vjerovatnoće odnosi se na dva proizvoljna rezanja x (t 1), x (t 2) slučajnu funkciju i izražava vjerovatnoću da u trenutku vremena t 1 slučajna funkcija x (t) manji x 1, i trenutno t 2- manji x 2. Odgovarajuća dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće ima oblik
. (8.4)
Neke vrste stohastičkih procesa u potpunosti karakteriziraju jednodimenzionalne ili dvodimenzionalne gustoće vjerovatnoće. Na primjer, takozvani čisto slučajni proces ili “ Bijeli šum»U potpunosti je karakteriziran jednodimenzionalnom gustinom vjerovatnoće.
Vrijednosti x (t) u ovom procesu, snimljeno u različitim vremenskim trenucima t 1, t 2,... su potpuno nezavisni jedno od drugog. Vjerovatnoća podudarnosti događaja koja se sastoji u pronalaženju x (t) između x 1 i u momentu t = t 1 i između x 2 i u momentu t = t 2 jednak je proizvodu vjerovatnoća svakog od ovih događaja. Zbog toga
to jest, sve gustine verovatnoće su određene jednodimenzionalnim gustinama.
Primjer procesa koji je u potpunosti karakteriziran dvodimenzionalnom gustinom vjerovatnoće je Markov slučajni proces... Ovo je proces za koji je vjerovatnoća nalaženja x (t) u datom intervalu (x n, x n + dx n) u momentu t = t n, zavisi samo od stanja u prethodnom trenutku t n -1 i potpuno je nezavisna od države u drugim vremenima, tj. iz dublje pozadine.
Stacionarni slučajni proces postoji analog stabilnog procesa u determinističkom sistemu. Statistička priroda stacionarnog procesa ostaje nepromijenjena tokom vremena.
U strogom smislu, stacionarni slučajni proces je proces u kojem funkcije raspodjele svih redova ne zavise od položaja početka vremena, tj.
Iz ovih odnosa slijedi da jednodimenzionalna funkcija raspodjele i gustoća vjerovatnoće stacionarnog procesa uopće ne zavise od vremena, tj.
(8.7)
Funkcije raspodjele i gustoća vjerovatnoće drugog reda za stacionarni slučajni proces sa istim x 1 i x 2 ostaju nepromijenjeni ako je razlika razmatranih trenutaka vremena konstanta:
(8.8)
Za procjenu tačnosti linearnog ACS-a pri rješavanju mnogih primijenjenih problema dovoljno je poznavati prva dva momenta procesa: matematičko očekivanje i korelacijske funkcije. Ove karakteristike su neslučajne funkcije ili veličine i rezultat su vjerovatnoćeg prosječenja različitih funkcija slučajnih procesa.
Svojstva stohastičkih procesa, određena prve dvije tačke, proučavaju se korištenjem teorije korelacije. Pored korelacione analize zasnovane na direktnom razmatranju slučajnih signala u vremenu, postoji i metoda zasnovana na razmatranju frekvencijskih komponenti slučajnih signala, spektralna analiza. Korelaciona i spektralna analiza se široko koriste u inženjerskoj praksi.
8.2.2. Matematičko očekivanje, varijansa
i korelacijske funkcije slučajnog procesa
Poznavajući jednodimenzionalnu distribuciju vjerovatnoće, možete odrediti matematičko očekivanje m (t) slučajna funkcija x (t) ili jednodimenzionalni moment prvog reda:
(8.9)
gdje P 1 (x, t) - gustina vjerovatnoće, x (t) - slučajna funkcija.
Matematičko očekivanje ili prosječna (preko skupa) vrijednost slučajne funkcije x (t) su pozvani aritmetička sredina beskonačnog skupa realizacija, to jest, ovo je takva neslučajna funkcija m x (t), oko koje se grupišu sve realizacije datog slučajnog procesa i koja je u potpunosti određena jednodimenzionalnim zakonom raspodjele.
Razlika 
su pozvani centrirana slučajna funkcija.
Matematičko očekivanje centrirane slučajne funkcije je identično nuli:
.
U nastavku ćemo razmatrati samo centrirane slučajne funkcije i krug iznad NS ide dole.
U praksi se matematičko očekivanje može odrediti iz realizacija. Za ovo je vrijednost argumenta fiksna t. Zatim u t = t 1 vrijednost implementacija x 1 (t 1), x 2 (t 1), ..., x N (t 1) je obična slučajna varijabla. Matematičko očekivanje slučajne varijable nalazimo kao aritmetičku sredinu:
(8.10)
gdje i = 1, 2,..., n - fiksna vremenska vrijednost; = 1, 2, ..., N- broj implementacije.
Na osnovu kalkulacija izvršenih za razne t = t i, možete napraviti graf m x (t i).
Prosječna vrijednost ne karakteriše u potpunosti slučajni proces. Uz jednake srednje vrijednosti, procesi mogu imati različita odstupanja. Stoga, da bi se okarakterizirao slučajni proces, uvodi se koncept varijanse.
Disperzija slučajna funkcija x (t) pozvati neslučajnu i nenegativnu funkciju argumenta t, predstavljanje srednja vrijednost kvadrata razlike između slučajne funkcije i njene srednje vrijednosti, ili srednja vrijednost kvadrata odstupanja slučajne funkcije od njene srednje vrijednosti.
Karakterizira intenzitet odstupanja od srednje vrijednosti i, kao i matematičko očekivanje, određen je jednodimenzionalnim zakonom raspodjele. Dimenzija varijanse jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable. Varijanca regularne funkcije je nula.
Standardna devijacija je jednaka kvadratnom korijenu varijanse:
. (8.12)
Uvedeni koncepti su ilustrovani na Sl. 8.2. Matematičko očekivanje slučajnog procesa x (t) predstavlja neku prosječnu krivu oko koje se nalaze sve moguće pojedinačne realizacije ovog procesa i varijansu D x (t) ili standardna devijacija karakteriše rasipanje pojedinačnih mogućih realizacija oko ove prosečne krive. Općenito, standardna devijacija se mijenja tokom vremena. Specificirane karakteristike m (t) i D (t) za svaki dati trenutak vremena su prosjek za skup.
Rice. 8.2. Promjena srednjih i individualnih realizacija
nasumični proces:
a - sa jakom vezom između vrijednosti slučajne funkcije;
b - sa slabom vezom
Prilikom obrade rezultata testa, varijansa slučajne funkcije se izračunava iz realizacija pomoću formule
. (8.13)
Za slučajnu funkciju, jednodimenzionalna raspodjela vjerovatnoće i karakteristike dobijene na njenoj osnovi (matematičko očekivanje i varijansa) još nisu dovoljne za evaluaciju slučajnog procesa u vremenu.
Potrebno je uspostaviti vezu između vrijednosti slučajnog procesa u različitim vremenskim trenucima. Na sl. 8.2 prikazuje realizacije dvije slučajne funkcije koje imaju jednaka matematička očekivanja i varijanse, ali se po prirodi razlikuju jedna od druge. Ako je slučajna funkcija (vidi sliku 8.2, a) za neke t poprimila gornju vrijednost m (t), onda se može tvrditi da će najbliža vrijednost implementacije slučajne funkcije proći iznad m (t). U drugom slučaju (sl. 8.2, b) možda i nije. To znači da se razlika između razmatranih slučajnih funkcija očituje u prirodi odnosa između vrijednosti slučajne funkcije za različite argumente t 1 i t 2.
Poznavanje funkcije dvodimenzionalne distribucije p 2 (x 1, t 1; x 2, t 2), moguće je odrediti ne samo matematičko očekivanje m x (t) i varijansu D (t), ali i trenutak drugog reda koji karakterizira odnos između vrijednosti slučajne funkcije u različitim vremenima.
Matematičko očekivanje proizvoda vrijednosti centrirane slučajne funkcije uzete u dva puta t 1 i t 2 naziva se korelacija ili autokorelacija funkcija:
U ovom izrazu P 2 (x 1, t 1; x 2, t 2) određuje vjerovatnoću da u trenutku vremena t 1 vrijednost slučajnog procesa je unutar 
,
i u trenutku vremena t 2-unutar .
Ako su argumenti korelacijske funkcije međusobno jednaki (t 1 = t 2 = t), onda
(8.15)
odnosno korelacija za isti presek jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata slučajne funkcije. Za centriranu funkciju x (t) at t 1 = t 2 = tće imati
odnosno korelacija je jednaka varijansi slučajne funkcije.
Za karakterizaciju statističkog odnosa različitih slučajnih funkcija koje djeluju na isti sistem koriste se koncepti zajedničke distribucije vjerovatnoće i unakrsne korelacijske funkcije. Za funkcije f (t) a zajednička funkcija raspodjele vjerovatnoće ima oblik
i znači vjerovatnoću da u trenutku vremena t = t 1 značenje f (t 1) manji f, i u trenutku vremena t = t 2 vrijednost je manja. Zajednička gustoća vjerovatnoće
. (8.17)
U skladu s tim, unakrsna korelacijske funkcije dvije nasumično centrirane funkcije f a matematičko očekivanje proizvoda ovih funkcija uzetih u različito vrijeme naziva se:
Pozivaju se slučajne funkcije u korelaciji, ako njihova međusobna korelacija nije identično nula, i nekorelirano ako je jednak nuli.
8.3. Stacionarni stohastički procesi.
Ergodična hipoteza
Plan predavanja:
1. Stacionarni stohastički procesi.
2. Ergodički stohastički procesi.
8.3.1. Stacionarni stohastički procesi
Prema stepenu zavisnosti njihovih statističkih karakteristika od vremena, dijele se različiti slučajni procesi stacionarno i nestacionarni.
Najjednostavnije je analizirati slučajne procese čije statističke karakteristike ne zavise od trenutnog vremena. Takvi procesi se nazivaju stacionarni.
Realni fizički procesi se u većoj ili manjoj mjeri približavaju stacionarnim procesima. Mnogi od njih, na primjer, toplinski šum, mogu se smatrati stacionarnim s visokom preciznošću. Stacionarne vibracije takođe uključuju vibracije aviona u odnosu na stabilan horizontalni let, buku u radio elektronskoj opremi, naginjanje broda itd.
Rezultati dobiveni proučavanjem stacionarnih procesa primjenjuju se na mnoge nestacionarne procese. U praksi se analiziraju samo realizacije sa konačnim trajanjem, a ako se u tim vremenskim intervalima procesi koji se proučavaju malo razlikuju od stacionarnih, onda se na njih može primijeniti teorija stacionarnih procesa.
Razlikovati stacionarnost u užem i širem smislu.
Stacionarni u užem smislu pozovite proces x (t), ako njegov n-dimenzionalna gustina vjerovatnoće za bilo koji n zavisi samo od veličine intervala t 2 - t 1, ..., t n - t 1 i ne zavisi od položaja ovih intervala u opsegu varijacije argumenta t.
Stacionarni u širem smislu pozovite proces x (t),čije je matematičko očekivanje konstantno:
i korelacijske funkcije R x (t 1, t 2) zavisi samo od razlike; u ovom slučaju je označena korelacija
Prilikom istraživanja pitanja zavisnost ili nezavisnost dva ili više poprečnih presjeka slučajnih procesa znajući samo matematičko očekivanje i varijansu r.p. nije dovoljno.
Za određivanje odnosa između različitih slučajnih procesa koristi se koncept korelacijske funkcije - analog koncepta kovarijanse slučajnih varijabli (vidi T.8)
Korelacija (kovarijanca, autokovarijansa, autokorelacija) funkcija slučajnog procesa 
pozvao
neslučajna funkcija
dva argumenta 
jednak je korelacionom momentu odgovarajućih poprečnih preseka 
i 
:
ili (uzimajući u obzir notaciju centrirane slučajne funkcije 
) imamo
Evo glavnih svojstva korelacione funkcije
slučajni proces 
.
1. Funkcija korelacije za iste vrijednosti argumenata jednaka je varijansi s.p. 
stvarno,
Ovo svojstvo nam omogućava da izračunamo M.O. i korelacione funkcije, koje su glavne karakteristike slučajnog procesa, nema potrebe za izračunavanjem varijanse.
2. Funkcija korelacije se ne mijenja u odnosu na zamjenu argumenata, tj. je simetrična funkcija u odnosu na svoje argumente:.
Ovo svojstvo je direktno izvedeno iz definicije korelacione funkcije.
3. Ako slučajnom procesu dodamo neslučajnu funkciju, tada se funkcija korelacije ne mijenja, tj. ako 
, onda. Drugim riječima
je periodična funkcija u odnosu na bilo koju neslučajnu funkciju.
Zaista, iz lanca rasuđivanja
sledi to. Tako dobijamo traženo svojstvo 3.
4. Modul korelacione funkcije ne prelazi umnožak rms, tj.
Dokaz imovine 4. provodi se na isti način kao u Odjeljku 12.2. (Teorema 12..2), uzimajući u obzir prvo svojstvo korelacione funkcije r.p. 
.
5. Prilikom množenja s.p. 
neslučajnim faktorom 
njegova korelaciona funkcija se množi umnoškom 
, tj. ako 
, onda
5.1. Normalizovana korelaciona funkcija
Zajedno sa korelacionom funkcijom s.p. takođe se razmatra normalizovana korelaciona funkcija(ili autokorelacijafunkcija)
definisane jednakošću
.
Posljedica. Na osnovu svojstva 1, jednakost
.
U svom značenju 
je sličan koeficijentu korelacije za r.v., ali nije konstantna vrijednost, već zavisi od argumenata 
i 
.
Mi listamo svojstva normalizirane korelacijske funkcije:
1.
2.
3.
.
Primjer 4. Neka s.p. određuje se formulom, tj. 
s.v.,
distribuira u skladu sa uobičajenim zakonom sa 
Pronađite korelaciju i normalizirane funkcije slučajnog procesa 
Rješenje. Po definiciji imamo
one. 
Dakle, uzimajući u obzir definiciju normalizovane korelacione funkcije i rezultate rešavanja prethodnih primera, dobijamo 
= 1, tj. 
.
5.2. Unakrsna korelaciona funkcija slučajnog procesa
Odrediti stepen zavisnosti presjeci dva slučajna procesa koriste funkciju korelacije veze ili funkciju unakrsne korelacije.
Međusobna korelacija dva slučajna procesa 
i 
naziva se neslučajna funkcija 
dva nezavisna argumenta 
i 
, što za svaki par vrijednosti 
i 
jednak je korelacionom momentu dva preseka 
i 
Dva s.p. 
i 
su pozvani nekorelirano, ako je njihova međusobna korelacija identično nula, tj. ako za bilo koji 
i 
javlja 
Ako za bilo koji 
i 
ispostaviće se 
, zatim slučajni procesi 
i 
su pozvani u korelaciji(ili vezan).
Razmotrimo svojstva unakrsne korelacione funkcije, koja su direktno izvedena iz njene definicije i svojstva korelacionog momenta (vidi 12.2):
1.Uz istovremenu permutaciju indeksa i argumenata, unakrsna korelacija se ne mijenja, tj.
2. Modul međusobne korelacione funkcije dva slučajna procesa ne prelazi proizvod njihovih standardnih devijacija, tj.
3. Funkcija korelacije se neće promijeniti ako se slučajni procesi 
i 
dodati neslučajne funkcije 
i 
odnosno, tj 
gdje, respektivno 
i 
4. Neslučajni faktori 
može se izvaditi iz predznaka korelacije, odnosno ako 
i onda
5. Ako 
, onda.
6. Ako su slučajni procesi 
i 
nekorelirano, tada je korelaciona funkcija njihovog zbira jednaka zbroju njihovih korelacionih funkcija, tj.
Za procjenu stepena zavisnosti poprečnih presjeka dva s.s. koristiti takođe normalizovana unakrsna korelacija 
definisano jednakošću:
Funkcija
ima ista svojstva kao i funkcija
ali imovina 2
zamjenjuje se sljedećom dvostrukom nejednakošću 
, tj. modul normalizovane unakrsne korelacione funkcije ne prelazi jedan.
Primjer 5. Nađite međukorelacijske funkcije dva r.p. 
i 
, gdje 
slučajna varijabla, dok 
Rješenje. Jer,.
Savez sovjetskih saeshishpaiRESPUBLIKA drzava oblas moze biti vanin sluach automat S: .80;, 3 dshsh 4 006 6 cijalna kontrola, identifikacija itd. Svrha izuma je da proširi funkcionalnost određivanjem niza nekoreliranih diskretnih vrijednosti istraživanog slučajnog procesa. Cilj je postignut uvođenjem generatora sinhronizovanih impulsa, analogno-digitalnih i digitalno-analognih pretvarača, prvog i drugog tastera, brojača i jedinice za upoređivanje u poznati uređaj.Pronalazak se odnosi na oblast računarske tehnologije i može se koristiti u proučavanju slučajnih procesa čaja u zadacima automatske kontrole identifikacije itd. Svrha izuma je da proširi funkcionalne mogućnosti određivanjem niza nekoreliranih diskretnih vrijednosti istraživanog slučajnog procesa. prikazuje strukturni dijagram uređaja, Uređaj sadrži pojačalo-graničnik 1, blok 2 prosječnog broja sjecišta, blok 3 eksponencijalnog glađenja, kanalni korelator 4, računski blok 5, blok b eksponencijacije, blok 7 množenja, podjelna jedinica 8, jedinica poređenja 9, digitalno-analogni pretvarač 10, brojač 11, prvikl 1 och 12, analogno-digitalni pretvarač 13, drugi ključ 14, generator sinhro impulsa 15, izlaz 1 b nekorelirane vrijednosti slučajnog Uređaj radi na sledeći način, Pojačalo -graničnik 1 konvertuje ispitivani slučajni proces u signalni signal, U bloku 2 prosečnog broja prelaza meri se prosečan broj prelaza nultog nivoa koji se poklapa sa parametar slabljenja b tačno na koeficijent proporcionalnosti: eksponencijalno-kosinusna korelacija (ECCF) aproksimirajuća korelacionoj funkciji istraživanog slučajnog procesa. Signal predznaka je podvrgnut eksponencijalnom izglađivanju u bloku. 3, a korelator 4 određuje korelacijski moment signala na izlazu bloka eksponencijalnog izravnavanja 3. Poznato je da je signal do 1) ovako uključenog relatora p proporcionalan prvom koeficijentu ekspanzije. korelacijske funkcije u Laguerreovom nizu iz argumenata, gdje je parametar opadanja eksponencijalnog filtera za izravnavanje. U proračunu buha 5, prema signalu iz bloka 2 i korelatora 4, procjenjuje se koeficijent koji određuje frekvenciju oscilacije korelacijske funkcije prema formuli: Narame: p" dolazi sa izlaza računske jedinice 5 do ulaz bloka - d: izračunavanje vrijednosti / uz pomoć dizanja 9 na stepen 0,05 Iz signala se dovodi na prvi ulaz bloka množenja 1, čiji drugi ulaz prima procjenu parametra F sa izlaza bloka 2 prosječnog broja raskrsnica M, koji se šalje na ulaz bloka 8. podjele, gdje je razlika podjela konstantnom vrijednošću jednaka 0, b 1, u vezi sa otvorom 1 dijeljenja sa formulom c = O, b 1 / K / 3. Byggislepns vrijednost korelacionog intervala ots ZK 1 M se dovodi na prvi ulaz jedinice za poređenje 9. Sa informacijskog ulaza uređaja, ispitivani nasumični proces se preko analogno-digitalnog pretvarača 13 dovodi na upravljački ulaz prvog ključa 12, dok se analogni napon, odn. Odgovarajuća vrijednost sa izlaza jedinice podjele 8 se dovodi na prvi ulaz jedinice za poređenje 9. Drugi ulaz jedinice za poređenje 9 napaja se sa izlaza digitalno-analognog pretvarača 1 O analognim naponom koji odgovara trenutnom vremenu slučaja n 1 procesa t,. U ovom slučaju, odbrojavanje trenutnog "vremena t.," vrši se na brojaču 11, koji očitava periodični niz sinhronizacionih impulsa. 14. Taster 14 otvara dizalicu, ako postoji slučajni proces koji se istražuje na Pošto je period ponavljanja impulsa: s konstantan i poznat, broj očitanih impulsa daje informaciju o trenutnom vremenu slučajnog procesa. Izlaz brojača 11 je povezan na ulaz digitalno-na analogni pretvarač, iz čijeg je izlaza analogni E. Efimova M. Khadanich Sastavio S. Patrusheva Tech. 73/52 Tiraž 671 VNIIPI Država za pronalaske i 11303 5, Moskva, Zh, Raushs Projektovani, 4 log napona, koji odgovara trenutnom vremenu, dovodi se na drugi ulaz uporedne jedinice 9 i upoređuje se sa analognom vrednošću uređaja i istovremeno na ulaz za podešavanje nule brojača 11 na resetujte ga. Formula i s akvizicije5 Uređaj za određivanje parametara eksponencijalno-kosinusne korelacijske funkcije prema autoru St. slučajnog procesa, dodatno uključuje generator plavih impulsa, analogno-digitalni pretvarač, digitalno-digitalni pretvarač. analogni pretvarač, prvi ključ, drugi ključ, brojač i jedinica za upoređivanje, čiji je izlaz jednakosti povezan sa kontrolnim ulazom prvog ključa, čiji je informacijski ulaz povezan sa izlazom analogno-na- digitalni pretvarač čiji je ulaz informacijski ulaz uređaja i povezan je sa kontrolnim ulazom drugog ključa, čiji je informacijski ulaz spojen na izlaz generatora sinkroniziranih impulsa, izlaz drugog ključa je spojen na brojeći ulaz brojača čiji je izlaz spojen na ulaz digitalno-analognog pretvarača, čiji je izlaz spojen na prve informacijske ulaze jedinica za poređenje, čiji je drugi informacijski ulaz povezan sa izlazom jedinice za podjelu, izlaz prvog ključa povezan je sa ulazima za podešavanje nule brojača i predstavlja izlaz nekorelirane vrijednosti slučajnog procesa uređaja.
Aplikacija
3853239, 24.10.1984
VOJNOVAZDUHOPLOVNA TEHNIKA ORDENA LENJINA I ORDENA OKTOBARSKE REVOLUCIJE AKADEMIJA CRVENOG SIGNALA IME. PROF. N. E. ZHUKOVSKY
BURBA ALEKSANDAR ALEKSIJEVIČ, MONSIK VLADISLAV BORISOVIĆ, OPARIŠEV VALERI VLADIMIROVIĆ
IPC / Tagovi
Referentni kod
Uređaj za određivanje parametara eksponencijalne kosinusne korelacijske funkcije
Slični patenti
Sa atmosferom, au mrtvoj komori je ugrađena opruga. 1 prikazuje pneumatsku uporednu jedinicu; na sl. 2 je blok dijagram kada je jedinica ograničenja izrađena u obliku prigušnice; 20 na Sl. 3 je blok dijagram kada je granična jedinica izvedena u obliku veze jednomembranskog elementa s prigušnicama; na sl. 4 - granična jedinica u obliku jednomembranskog elementa sa nepovratnim ventilom, 25 Pneumatska jedinica za upoređivanje (slika 11 sadrži ulazni jednomembranski element 1, čije su komore spojene na ulazne kanale P i P , a mlaznica kroz blok 2, ograničenje i prigušnica 3 - do atmosfere i sa gluhim 30 4. Protočna komora elementa b je povezana sa izvorom direktno sa izlaza P, m, do vrijednosti dovoda Ako je Pr) P 2, onda membrana elementa 1 ...
Regulator 9 protoka ONOMER, direktno na inverznu vezu drugog okidača 42 1, respektivno, sa kontrolnim ulazima tastera 35 i 36, čiji su ulazi povezani i peti su ulazi jedinice za poređenje, koja je spojen na izlaz drugog regulatora 1 koncentracije monomera u osovini, a izlazi ključeva 35 i 36 povezani su u korelaciji sa 1 stnenomts vchadamk trećim 39 i četvrtim 40 uporednim elementima, čiji su drugi ulazi povezani sa šesti ulazi jedinice za poređenje, koji je povezan sa ulazom povratne brzine protoka rastvarača 22, 5 Teški izlaz trećeg okidača 43 je izlaz jedinice za poređenje povezan je sa prvim 1 i drugim 2 nkhads ključa sa ulazom drugog elementa ILI 28,55 Glavni elementi automatskog uređaja ...
Onaj koji se napaja u zdzhn,) y 1, ulazi preko kola 2 (i u prisustvu nd ss drugog ulaza razlucnog potencijala) u linearni analogno-digitalni pretvarac Gel 3 i direktno u analogno-digitalni kvadrat 11, Pri svakom startu se vrši izlaz i 1 metak ( Ohm shcm 1 I av 113 nsni 51, transformator 3 prsb) razue napon proporcionalno) broj osa i 1 ny 1013 (koeficijent pronacionalnosti K). d nd se pojavljuje izlaz kvadratora 11 i) januli, od kojih su proporcionalni CBDDRT) NsNR 5 Isto 1131 I Unesled) cm 010 sl) Jasan proces Sa izlaza pretvarača 3 impulsa se dovode u kolo 4, i od izlaza kvadratnog 11 do kola 12 i može proći kroz ova kola samo kada je okidač 16 n 1 u jednom položaju. 11 sličnosti...
