Sipas barazisë (13.5), funksioni i korrelacionit të përgjigjes së një pajisjeje jolineare mund të shprehet si më poshtë në termat e funksionit të tranzicionit të kësaj pajisjeje:

Integrali i dyfishtë është i barabartë, siç mund të shihet nga krahasimi me barazinë (4.25), me funksionin e përbashkët karakteristik të sasive të shkruara në funksion të ndryshoreve komplekse. Prandaj,

Shprehja (13.40) është formula kryesore për analizimin e efekteve të rastësishme në pajisjet jolineare duke përdorur metodën e transformimit. Pjesa e mbetur e këtij kapitulli i kushtohet vlerësimit të kësaj shprehjeje për lloje të ndryshme pajisje dhe lloje të ndryshme ndikimet në to.

Në shumë probleme, ndikimi i aplikuar në hyrjen e sistemit është shuma e sinjalit të dobishëm dhe zhurmës:

ku janë funksionet mostër të proceseve probabilistike statistikisht të pavarura. Në raste të tilla, funksioni karakteristik i përbashkët i ndikimit është i barabartë me produktin e funksioneve karakteristike të sinjalit dhe zhurmës, dhe barazia (13.40) merr

ku - funksion i përbashkët karakteristik i sasive - funksion i përbashkët karakteristik i sasive dhe

Zhurma Gaussian në hyrje. Nëse zhurma në hyrjen e pajisjes është një funksion mostër i një Gaussian-i të vërtetë proces probabilistik me pritshmëri matematikore zero, atëherë, sipas barazisë (8.23),

ku funksioni i përgjigjes së korrelacionit në këtë rast merr formën

Nëse funksionet nga dhe funksionet nga tani mund të përfaqësohen si produkte të funksioneve nga ose si shuma të këtyre produkteve, atëherë integrali i dyfishtë në shprehjen e fundit mund të llogaritet si produkt i integraleve. Fakti që një funksion eksponencial mund të përfaqësohet përmes produkteve të funksioneve të dhe rrjedh nga zgjerimi i tij në një seri fuqie

Prandaj, funksioni i korrelacionit të përgjigjes së një pajisjeje jolineare kur zhurma Gaussian aplikohet në hyrjen e saj mund të shkruhet

Sinjalet sinusoidale.

Le të supozojmë tani se sinjali në hyrje të pajisjes është një sinusoid i moduluar, d.m.th.

ku është funksioni i mostrës së një procesi probabilistik me frekuencë të ulët (d.m.th., ai, dendësia spektrale e të cilit është jo zero vetëm në diapazonin e frekuencës ngjitur me frekuencën zero dhe i ngushtë në krahasim me dhe ku ndryshorja e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në interval dhe nuk varet nga sinjali modulues dhe nga zhurma.Funksioni karakteristik i një sinjali të tillë është i barabartë me

Duke zgjeruar eksponencialin në formulën Jacobi-Anger [shprehje (13.20)], marrim

Sepse

ku e marrim atë për një sinjal sinusoidal të moduluar me amplitudë

Funksioni i korrelacionit të përgjigjes së një pajisjeje jolineare kur një sinjal sinusoidal dhe zhurma Gaussian aplikohen në hyrjen e tij tani mund të gjendet duke zëvendësuar (13.47) në (13.45). Le të përcaktojmë funksionin

ku dhe funksioni i korrelacionit

ku mesatarizimi kryhet mbi sinjalin modulues; atëherë funksioni korrelativ i përgjigjes do të jetë i barabartë me

Nëse si sinjali modulues ashtu edhe zhurma janë të palëvizshme, atëherë shprehja (13.50) merr formën

Nëse sinjali i hyrjes është një valë sinusale e pamoduluar

sepse në këtë rast koeficientët janë konstant dhe të barabartë me njëri-tjetrin.

Përbërësit e sinjalit dhe zhurmës në dalje.

Le të shqyrtojmë tani rastin kur zhurma hyrëse ka formën e një sinusoidi të moduluar. Në këtë rast, funksioni i korrelacionit në dalje jepet me shprehjen (13.52). Le ta zgjerojmë këtë shprehje si më poshtë:

Le të shohim përbërësit e tij individualë. Termi i parë korrespondon me komponentin konstant në daljen e pajisjes. Grupi tjetër i termave korrespondon me pjesën periodike të përgjigjes dhe është kryesisht për shkak të ndërveprimit të sinjalit hyrës me vetveten. Termat e mbetur korrespondojnë me luhatjet e rastësishme në përgjigje, d.m.th., zhurma në dalje. Ata nga

këto terma të mbetura për të cilat janë kryesisht për shkak të ndërveprimit të zhurmës hyrëse me vetveten dhe ato për të cilat ndërveprimi i sinjalit dhe zhurmës në hyrje.

Le të imagjinojmë përgjigjen e një pajisjeje jolineare si shuma e vlerës mesatare, komponentëve periodikë dhe një komponenti të rastësishëm:

Atëherë funksioni i përgjigjes së korrelacionit mund të shkruhet si

ku duke krahasuar barazitë (13.53) dhe (13.55), shohim se vlera mesatare e përgjigjes dhe amplituda e përbërësve të saj periodikë mund të shprehet drejtpërdrejt përmes koeficientëve

Përveç kësaj, funksioni i korrelacionit të pjesës së rastësishme të përgjigjes mund të shkruhet si

ku vendosim sipas përkufizimit në përputhje me (13.50)

Duhet të theksohet se, në mënyrë rigoroze, të gjitha këto terma janë funksione të procesit që modulon sinjalin hyrës.

Zgjidhja e pyetjes se cili prej termave në (13.62) përcakton sinjalin e dobishëm të daljes varet, natyrisht, nga qëllimi i pajisjes jolineare. Nëse, për shembull, pajisja përdoret si detektor, atëherë pjesa me frekuencë të ulët të sinjalit të daljes është e dobishme. Në këtë rast, sinjali i dobishëm korrespondon me pjesën funksioni i korrelacionit, të përcaktuara nga barazia

Nga ana tjetër, nëse pajisja përdoret si një përforcues jolinear, atëherë

sepse në këtë rast komponenti i dobishëm i sinjalit është i përqendruar rreth frekuencës bartëse të sinjalit hyrës

Në fazat e hershme të zhvillimit të inxhinierisë radio, çështja e zgjedhjes sinjalet më të mira për disa aplikacione specifike nuk ishte shumë e mprehtë. Kjo ishte për shkak, nga njëra anë, për strukturën relativisht të thjeshtë mesazhet e transmetuara(parcela telegrafike, transmetim radio); me një tjetër, zbatim praktik sinjale formë komplekse në kombinim me pajisje për kodimin, modulimin dhe konvertim i anasjelltë mesazhi doli të ishte i vështirë për t'u zbatuar.

Aktualisht, situata ka ndryshuar rrënjësisht. Në moderne komplekset radio-elektronike zgjedhja e sinjaleve diktohet kryesisht jo nga komoditeti teknik i gjenerimit, konvertimit dhe marrjes së tyre, por nga mundësia zgjidhje optimale detyrat e parashikuara gjatë projektimit të sistemit. Për të kuptuar se si lind nevoja për sinjale me veti të zgjedhura posaçërisht, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Krahasimi i sinjaleve të zhvendosura në kohë.

Le të kthehemi te ideja e thjeshtuar e funksionimit të një radari pulsi të krijuar për të matur distancën nga një këngë. Këtu, informacioni në lidhje me objektin e matjes përmbahet në vlerën - vonesa kohore midis sinjaleve të provës dhe të marra. Format e sondës dhe sinjaleve të marra janë të njëjta për çdo vonesë.

Diagrami bllok i një pajisjeje përpunimi të sinjalit radar të destinuar për matjen e rrezes mund të duket siç tregohet në Fig. 3.3.

Sistemi përbëhet nga një grup elementësh që vonojnë "referencën" sinjali i transmetuar për disa periudha të caktuara kohore

Oriz. 3.3. Pajisja për matjen e kohës së vonesës së sinjalit

Sinjalet e vonuara, së bashku me sinjalin e marrë, furnizohen me pajisjet krahasuese, të cilat funksionojnë në përputhje me parimin: sinjali i daljes shfaqet vetëm nëse të dy lëkundjet hyrëse janë "kopje" të njëra-tjetrës. Duke ditur numrin e kanalit në të cilin ndodh ngjarja e specifikuar, mund të matni vonesën, dhe rrjedhimisht diapazonin e objektivit.

Një pajisje e tillë do të funksionojë sa më saktë, aq më shumë sinjali dhe "kopja" e tij, e zhvendosur në kohë, ndryshojnë nga njëri-tjetri.

Kështu, ne kemi fituar një "ide" cilësore se cilat sinjale mund të konsiderohen "të mira" për një aplikim të caktuar.

Le të kalojmë në formulimin e saktë matematikor të problemit të shtruar dhe të tregojmë se ky varg çështjesh lidhet drejtpërdrejt me teorinë e spektrave energjetik të sinjaleve.

Funksioni i autokorrelacionit të sinjalit.

Për të përcaktuar shkallën e ndryshimit midis një sinjali dhe kopjes së tij të zhvendosur në kohë, është e zakonshme të prezantohet një funksion autokorrelacioni (ACF) i sinjalit të barabartë me produktin skalar të sinjalit dhe kopjes:

Në vijim, do të supozojmë se sinjali në studim ka karakter pulsues të lokalizuar në kohë, kështu që sigurisht ekziston një integral i formës (3.15).

Është menjëherë e qartë se kur funksioni i autokorrelacionit bëhet i barabartë me energjinë e sinjalit:

Ndër vetitë më të thjeshta të një ACF është barazia e tij:

Në të vërtetë, nëse bëjmë një ndryshim të ndryshoreve në integralin (3.15), atëherë

Së fundi, një veti e rëndësishme e funksionit të autokorrelacionit është si vijon: për çdo vlerë të ndërrimit të kohës, moduli ACF nuk e kalon energjinë e sinjalit:

Ky fakt rrjedh drejtpërdrejt nga pabarazia Cauchy-Bunyakovsky (shih Kapitullin 1):

Pra, ACF përfaqësohet nga një kurbë simetrike me një maksimum qendror, i cili është gjithmonë pozitiv. Për më tepër, në varësi të llojit të sinjalit, funksioni i autokorrelacionit mund të ketë një karakter monotonik në rënie ose lëkundje.

Shembulli 3.3. Gjeni ACF-në e një pulsi video drejtkëndëshe.

Në Fig. 3.4a tregon një puls video drejtkëndëshe me amplitudë U dhe kohëzgjatje. Këtu shfaqet edhe "kopja" e tij, e zhvendosur në kohë drejt vonesës me . Integrali (3.15) llogaritet në në këtë rast thjesht bazuar në ndërtimin grafik. Në të vërtetë, produkti dhe dhe është jozero vetëm brenda intervalit kohor kur vërehet mbivendosje e sinjalit. Nga Fig. 3.4, është e qartë se ky interval kohor është i barabartë nëse zhvendosja nuk e kalon kohëzgjatjen e pulsit. Kështu, për sinjalin në shqyrtim

Grafiku i një funksioni të tillë është trekëndëshi i paraqitur në Fig. 3.4, b. Gjerësia e bazës së trekëndëshit është dyfishi i kohëzgjatjes së pulsit.

Oriz. 3.4. Gjetja e ACF-së së një pulsi video drejtkëndëshe

Shembulli 3.4. Gjeni ACF-në e një pulsi radio drejtkëndor.

Ne do të shqyrtojmë një sinjal radio të formës

Duke ditur paraprakisht se ACF është çift, ne llogarisim integralin (3.15), duke vendosur . ku

ku arrijmë lehtësisht

Natyrisht, kur vlera bëhet e barabartë me energjinë e këtij pulsi (shih shembullin 1.9). Formula (3.21) përshkruan ACF-në e një pulsi radio drejtkëndor për të gjitha ndërrimet që ndodhen brenda Nëse vlera absolute e zhvendosjes tejkalon kohëzgjatjen e pulsit, atëherë funksioni i autokorrelacionit do të zhduket në mënyrë identike.

Shembulli 3.5. Përcaktoni ACF-në e një sekuence pulsesh video drejtkëndore.

Në radar përdoren gjerësisht sinjalet, të cilat janë pako pulsesh të së njëjtës formë, që ndjekin njëra-tjetrën në të njëjtin interval kohor. Për të zbuluar një shpërthim të tillë, si dhe për të matur parametrat e tij, për shembull, pozicionin e tij në kohë, krijohen pajisje që zbatojnë algoritme harduerike për llogaritjen e ACF.

Oriz. 3.5. ACF e një pakete prej tre pulsesh video identike: a - paketë pulsesh; b - grafiku ACF

Në Fig. 3.5c tregon një paketë të përbërë nga tre pulse video identike drejtkëndore. Funksioni i tij i autokorrelacionit, i llogaritur duke përdorur formulën (3.15) është paraqitur gjithashtu këtu (Fig. 3.5, b).

Shihet qartë se ACF maksimale arrihet në. Megjithatë, nëse vonesa është shumëfish i periudhës së sekuencës (në rastin tonë), vërehen lobe anësore të ACF, të krahasueshme në lartësi me lobin kryesor. Prandaj, mund të flasim për një papërsosmëri të caktuar të strukturës së korrelacionit të këtij sinjali.

Funksioni i autokorrelacionit të një sinjali të zgjatur pafundësisht.

Nëse është e nevojshme të merren parasysh sekuenca periodike me kohëzgjatje të pakufizuar në kohë, atëherë qasja për studimin e vetive të korrelacionit të sinjaleve duhet të modifikohet disi.

Ne do të supozojmë se një sekuencë e tillë është marrë nga një sinjal i lokalizuar në kohë, d.m.th., pulsues, kur kohëzgjatja e këtij të fundit priret në pafundësi. Për të shmangur divergjencën e shprehjeve rezultuese, ne përcaktojmë ACF jonike si vlerën mesatare të produktit skalar të sinjalit dhe kopjes së tij:

Me këtë qasje, funksioni i autokorrelacionit bëhet i barabartë me fuqinë mesatare reciproke të këtyre dy sinjaleve.

Për shembull, nëse dëshironi të gjeni ACF për një valë kosinusi të pakufizuar në kohë, mund të përdorni formulën (3.21) të marrë për një puls radio me kohëzgjatje dhe më pas të shkoni në kufi duke marrë parasysh përkufizimin (3.22). Si rezultat marrim

Ky ACF është në vetvete një funksion periodik; vlera e tij në është e barabartë me

Marrëdhënia midis spektrit energjetik të një sinjali dhe funksionit të tij autokorrelativ.

Gjatë studimit të materialit në këtë kapitull, lexuesi mund të mendojë se metodat e analizës së korrelacionit veprojnë si disa teknika të veçanta që nuk kanë asnjë lidhje me parimet e zbërthimit spektral. Megjithatë, nuk është kështu. Është e lehtë të tregohet se ekziston një lidhje e ngushtë midis ACF dhe spektrit energjetik të sinjalit.

Në të vërtetë, në përputhje me formulën (3.15), ACF është një produkt skalar: Këtu simboli tregon një kopje të sinjalit të zhvendosur në kohë dhe ,

Duke iu kthyer formulës së përgjithësuar të Rayleigh (2.42), mund të shkruajmë barazinë

Dendësia spektrale e sinjalit të zhvendosur në kohë

Kështu, arrijmë në rezultatin:

Moduli në katror i densitetit spektral, siç dihet, është spektri i energjisë sinjal. Pra, spektri i energjisë dhe funksioni i autokorrelacionit lidhen me transformimin Furier:

Është e qartë se ekziston edhe një marrëdhënie e kundërt:

Këto rezultate janë thelbësisht të rëndësishme për dy arsye. Së pari, rezulton të jetë e mundur të vlerësohen vetitë e korrelacionit të sinjaleve bazuar në shpërndarjen e energjisë së tyre në spektër. Sa më i gjerë të jetë brezi i frekuencës së sinjalit, aq më i ngushtë është lobi kryesor i funksionit të autokorrelacionit dhe aq më i përsosur është sinjali për sa i përket mundësisë. matje precize në momentin që filloi.

Së dyti, formulat (3.24) dhe (3.26) tregojnë mënyrën e përcaktimit eksperimental të spektrit të energjisë. Shpesh është më e përshtatshme që së pari të merret funksioni i autokorrelacionit, dhe më pas, duke përdorur transformimin Fourier, të gjendet spektri i energjisë i sinjalit. Kjo teknikë është bërë e përhapur kur studiohen vetitë e sinjaleve duke përdorur kompjuterë me shpejtësi të lartë në kohë reale.

Nga kjo rrjedh se intervali i korrelacionit

rezulton të jetë më i vogël sa më i lartë të jetë pjesa e sipërme frekuenca e ndërprerjes spektri i sinjalit.

Kufizimet e vendosura në formën e funksionit të autokorrelacionit të sinjalit.

Lidhja e gjetur midis funksionit të autokorrelacionit dhe spektrit të energjisë bën të mundur vendosjen e një kriteri interesant dhe, në shikim të parë, jo të qartë për ekzistencën e një sinjali me vetitë e dhëna korrelacioni. Fakti është se spektri i energjisë i çdo sinjali, sipas përkufizimit, duhet të jetë pozitiv [shih. formula (3.25)]. Kjo gjendje nuk do të përmbushet për asnjë zgjedhje të ACF. Për shembull, nëse marrim

dhe llogaritni transformimin përkatës të Furierit, atëherë

Ky funksion i alternuar nuk mund të përfaqësojë spektrin e energjisë të asnjë sinjali.

Shpërndarjet Rayleigh dhe Rice nuk e karakterizojnë plotësisht zbehjen e sinjalit. Në veçanti, ata nuk japin një ide se si procesi i zbehjes së sinjalit ndodh me kalimin e kohës. Le të supozojmë se procesi konsiderohet në dy pika në kohë t Dhe t+t, ku t është vonesa. Pastaj lidhje statistikore zbehja jepet nga funksioni i korrelacionit, i cili përcaktohet si më poshtë.

Le të supozojmë se procesi në shqyrtim është i palëvizshëm. Kjo do të thotë se parametrat e tij statistikorë, si mesatarja, varianca dhe ndërlidhja, nuk varen nga koha. t. Për procesin e brezit të ngushtë (2.3.37) fitojmë funksionin e korrelacionit në formë

Le të prezantojmë funksionet e korrelacionit të sinjaleve kuadratike:

Tani e transformojmë shprehjen (2.3.61) në formë

Për transformim të mëtejshëm (2.3.63) do të përdorim relacionet trigonometrike.

(2.3.64)

Si rezultat e marrim atë

Meqenëse procesi është i palëvizshëm, funksioni i korrelacionit nuk duhet të varet nga koha. Kjo kërkesë mund të plotësohet nëse termat e dytë dhe të katërt në (2.3.65) janë të barabarta me zero, gjë që, nga ana tjetër, është e mundur nëse funksionet e korrelacionit të sinjaleve kuadratike plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Kështu, funksioni korrelacion i normales stacionare sinjal me brez të ngushtë e barabartë me

Le të tregojmë se funksioni i korrelacionit është një funksion tek i t. Për këtë kemi parasysh që

Le të zëvendësojmë (2.3.68) në formulën e dytë në (2.3.66) dhe të gjejmë se

. (2.3.69)

Kështu, funksioni i ndërlidhjes së sinjaleve kuadratike është tek. Nga kjo rrjedh një rezultat i rëndësishëm: në të njëjtin moment në kohë, sinjalet kuadratike nuk janë të ndërlidhura, d.m.th. .

Le të shqyrtojmë tani korrelacionin e amplitudës komplekse

Nga përkufizimi i funksionit të korrelacionit, ne mund ta shkruajmë atë

. (2.3.71)

Funksioni është kompleks dhe ka vetinë e simetrisë, d.m.th.

. (2.3.72)

Le të zëvendësojmë (2.3.70) me (2.3.71) dhe të marrim parasysh (2.3.62). Pastaj (2.3.71) merr formën

Nëse marrim parasysh (2.3.66), atëherë kjo formulë thjeshtohet ndjeshëm:

Funksioni i korrelacionit (2.3.67) i një sinjali me brez të ngushtë dhe funksioni i korrelacionit (2.3.74) i amplitudës së tij komplekse janë të ndërlidhura. Kjo lidhje zbulohet lehtësisht nga një krahasim i (2.3.67) dhe (2.3.74). Si rezultat do të kemi

Vetitë e korrelacionit të një sinjali janë të lidhura ngushtë me vetitë e tij spektrale. Në veçanti, densiteti spektral i fuqisë gjendet duke përdorur transformimin Furier të funksionit të korrelacionit dhe është i barabartë me

. (2.3.76)

Le të tregojmë se është një funksion real, ndërsa funksioni i korrelacionit është kompleks. Për ta bërë këtë, marrim konjugatin kompleks nga shprehja (2.3.76) dhe marrim parasysh vetinë e simetrisë (2.3.72) të funksionit të korrelacionit. Si rezultat e marrim atë

Duke krahasuar (2.3.77) me (2.3.76) kemi se . Kjo dëshmon se spektri kompleks i amplitudës është një funksion real.

Më poshtë do të tregohet se spektri i amplitudës komplekse të sinjalit që përshkruan zbehjen në një kanal me shumë rrugë është edhe reale funksioni i frekuencës, d.m.th. . Atëherë funksioni i korrelacionit bëhet i vlefshëm. Për ta vërtetuar këtë, ne shkruajmë funksionin e korrelacionit si transformim i anasjelltë Furier i densitetit spektral të fuqisë në formë

. (2.3.78)

Le të marrim konjugimin kompleks të shprehjes (2.3.78) dhe të marrim parasysh paritetin e funksionit. Ne e kuptojmë atë

Duke krahasuar (2.3.79) me (2.3.78) kemi se . Kjo dëshmon se funksioni korrelativ i amplitudës komplekse me spektrin real në formën e një funksioni çift është një funksion real.

Duke marrë parasysh realitetin e funksionit të korrelacionit, nga (2.3.74) konstatojmë se

. (2.3.80)

Duke përdorur (2.3.75), marrim funksionin e korrelacionit të sinjalit të brezit të ngushtë në formën

Tani le të vendosim detyrën për të gjetur në formë të qartë funksionin e spektrit dhe korrelacionit që përshkruajnë zbehjen e sinjalit në një kanal me shumë rrugë. Konsideroni përsëri dy momente në kohë t Dhe t+t. Nëse gjatë kohës t transmetuesi, marrësi dhe rireflektorët nuk ndryshojnë vendndodhjen e tyre dhe ruajnë parametrat e tyre, atëherë sinjali total në marrës nuk ndryshon. Që të ndodhë zbehja e sinjalit, është e nevojshme lëvizja e ndërsjellë e transmetuesit, marrësit dhe (ose) reflektorëve. Vetëm në këtë rast ka një ndryshim në amplitudat dhe fazat e sinjaleve të përmbledhura në hyrjen e antenës marrëse. Sa më shpejt të ndodhë kjo lëvizje, aq më shpejt zbehet sinjali dhe, për rrjedhojë, aq më i gjerë duhet të jetë spektri i tij.

Ne do të supozojmë se marrësi lëviz me një shpejtësi v, dhe transmetuesi mbetet i palëvizshëm. Nëse antena e transmetuesit lëshon një sinjal harmonik të një frekuence të caktuar f, atëherë për shkak të efektit Doppler marrësi regjistron një sinjal të një frekuence të ndryshme. Dallimi midis këtyre frekuencave quhet zhvendosja e frekuencës Doppler. Për të gjetur vlerën e zhvendosjes së frekuencës, merrni parasysh Fig. 2.16, i cili tregon transmetuesin, marrësin, vektorin e valës k valë e rrafshët dhe vektor v shpejtësia e marrësit.

Oriz. 2.16. Drejt përcaktimit të zhvendosjes së frekuencës Doppler

Ekuacionin e lëvizjes uniforme të marrësit e shkruajmë në formë

Atëherë faza e sinjalit të marrë do të jetë në funksion të kohës

ku q është këndi ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe vektorit të valës.

Frekuenca e menjëhershme përcaktohet si derivat i fazës. Prandaj, duke diferencuar (2.3.83) dhe duke marrë parasysh se numri i valës , do të kemi

. (2.3.84)

Me lëvizje uniforme të marrësit, siç vijon nga (2.3.84), një zhvendosje frekuence e barabartë me

Për shembull, le të supozojmë se shpejtësia v=72 km/h = 20 m/s, frekuenca e transmetuesit f=900 MHz, dhe këndi q=0. Gjatësia e valës l dhe frekuenca f lidhur me shpejtësinë e dritës Me raport Me=fl. Nga këtu kemi se l= c/f=0.33 m Tani nga (2.3.85) gjejmë se zhvendosja e frekuencës Doppler f d=60 Hz.

Zhvendosja e frekuencës Doppler (2.3.85) pranon edhe pozitive edhe vlerat negative, në varësi të këndit q ndërmjet vektorit të shpejtësisë dhe vektorit të valës. Madhësia e zhvendosjes Doppler nuk e kalon vlera maksimale, të barabartë f max=v/l. Formula (2.3.85) mund të përfaqësohet lehtësisht në formë

. (2.3.86)

Kur ka shumë rireflektorë, është e natyrshme të supozohet se ata janë të vendosur në mënyrë të barabartë rreth marrësit, për shembull, në një rreth, siç tregohet në Fig. 2.17. Ky model reflektorësh quhet modeli Clark.

Oriz. 2.17. Vendndodhja e reflektorëve në modelin Clark

Dendësia spektrale e fuqisë në rastin e modelit Clark përcaktohet në mënyrën e mëposhtme. Le të zgjedhim intervalin e frekuencës df d afër frekuencës f d. Fuqia e marrë që përmbahet në këtë interval është e barabartë me . Kjo fuqi është për shkak të zhvendosjes së frekuencës Doppler (2.3.86). Fuqia e shpërndarë në lidhje me ndarjen këndore d q, është e barabartë me , ku është dendësia këndore e fuqisë së shpërndarë. Vini re se i njëjti zhvendosje Doppler f d vërehet për rireflektorët me koordinata këndore ±q. Kjo nënkupton barazinë e mëposhtme të pushteteve

Ne do të supozojmë se fuqia totale e shpërndarë është e barabartë me unitetin dhe shpërndahet në mënyrë uniforme në interval.

Oriz. 2.18. Spektri i Jakes Doppler për f max= 10 Hz

Për të përcaktuar funksionin e korrelacionit (2.3.71) të amplitudës komplekse, është e nevojshme të zëvendësohet shprehja (2.3.90) e marrë për densitetin e fuqisë spektrale në (2.3.78). Si rezultat e marrim atë

Moduli i funksionit të korrelacionit (2.3.91) i amplitudës komplekse për dy frekuencat maksimale Doppler f max=10 Hz (kurba e ngurtë) dhe f max=30 Hz (kurba e ndërprerë) janë paraqitur në Fig. 2.19. Nëse vlerësojmë kohën e korrelacionit të zbehjes së sinjalit në një kanal në një nivel prej 0.5, atëherë është e barabartë me . Kjo jep 24ms për f max=10 Hz dhe 8 ms për f max= 30 Hz.

Oriz. 2.19. Moduli i funksionit të korrelacionit për f max= 10 dhe 30 Hz (lakore të ngurta dhe me pika,
përkatësisht).

NË rast i përgjithshëm spektri Doppler mund të ndryshojë nga spektri i Jakes (2.3.90). Gama e vlerave D f d, në të cilën ai ndryshon ndjeshëm nga zero quhet Shpërndarja e Dopplerit në kanal. Meqenëse lidhet me transformimin Furier, atëherë koha e koherencës t coh kanali është vlera t coh"1/D f d, i cili karakterizon shkallën e ndryshimit në vetitë e kanalit.

Kur nxirren (2.3.90) dhe (2.3.91), supozohet se fuqia mesatare e sinjalit të shpërndarë është e barabartë me unitetin. Kjo rrjedh edhe nga (2.3.91) dhe (2.3.71), pasi

Koeficienti i korrelacionit e barabartë me raportin funksionet e korrelacionit me fuqinë mesatare. Prandaj, në këtë rast shprehja (2.3.91) jep edhe koeficientin e korrelacionit.

Nga (2.3.81) gjejmë funksionin e korrelacionit të sinjalit të brezit të ngushtë të barabartë me

Në praktikë, vetitë e korrelacionit të ndryshoreve të tilla të rastësishme si amplituda A dhe fuqia e menjëhershme P=A 2. Këto sasi zakonisht regjistrohen, për shembull, në daljen e një detektori linear ose kuadratik. Vetitë e tyre të korrelacionit janë në një mënyrë të caktuar të lidhura me vetitë e korrelacionit të amplitudës komplekse Z(t).

Koeficienti i korrelacionit të fuqisë së menjëhershme lidhet me koeficientin kompleks të korrelacionit të amplitudës me një lidhje të thjeshtë të formës:

. (2.3.94)

Le të japim një provë të kësaj formule. Bazuar në përcaktimin e koeficientit të korrelacionit, mund të shkruajmë se

, (2.3.95)

ku është funksioni i korrelacionit të fuqisë.

Le të supozojmë se nuk ka asnjë komponent përcaktues të sinjalit dhe amplitudës A ka një shpërndarje Rayleigh. Pastaj<P>=<A 2 >=2σ 2 . Sasia e përfshirë në (2.3.95) . Duke përdorur ligjin e shpërndarjes Rayleigh, ne e gjejmë atë

. (2.3.96)

Duke marrë parasysh (2.3.96), ne gjejmë funksionin e korrelacionit të fuqisë nga (2.3.95) duke përdorur transformime të thjeshta algjebrike. Ne e kuptojmë atë

. (2.3.97)

Funksionin e korrelacionit të fuqisë mund ta shprehim edhe në terma të komponentëve të kuadraturës në formë

Duke kryer shumëzimin dhe mesataren në anën e djathtë të barazisë (2.3.98), marrim termat që përfaqësojnë momentet e rendit të katërt vijues:

Kështu, ne duhet të llogarisim momentet e rendit të katërt. Le të kemi parasysh se komponentët e kuadraturës I Dhe P janë variabla të rastësishme Gaussian me mesatare zero dhe variancë identike σ 2 dhe përdorin rregullin e njohur për zhbllokimin e momenteve të rendit të katërt. Sipas tij, nëse janë katër variablat e rastësishëm a, b, c, Dhe d, atëherë formula e mëposhtme është e vlefshme:

Duke zbatuar këtë rregull, ne llogarisim momentet e rendit të katërt në (2.3.99). Si rezultat do të kemi

(2.3.101)

Nëse marrim parasysh (2.3.96), (2.3.66) dhe (2.3.74), atëherë (2.3.98) mund të shkruhet si

Tani është e nevojshme të merret parasysh kjo . Si rezultat, marrim shprehjen e mëposhtme për funksionin e korrelacionit të fuqisë:

Duke krahasuar formulën që rezulton me (2.3.97), ne jemi të bindur për vlefshmërinë e (2.3.94).

Për modeli i kanalit Clark, kemi gjetur se koeficienti i korrelacionit përcaktohet nga (2.3.91). Duke marrë parasysh (2.3.94), koeficienti i korrelacionit të fuqisë në rastin e modelit Clark do të jetë i barabartë me

. (2.3.104)

Vetitë e korrelacionit të amplitudës A janë hetuar duke përdorur një aparat matematikor shumë më kompleks dhe nuk janë konsideruar këtu. Megjithatë, duhet theksuar se koeficienti i korrelacionit të amplitudës A plotëson barazinë e përafërt të mëposhtme.

2.6. Analiza korrelacion-spektrale e sinjaleve deterministe. Qarqet e radios dhe sinjale. Pjesa I

2.6. Analiza korrelacion-spektrale e sinjaleve deterministe

Në shumë probleme të inxhinierisë radio, shpesh lind nevoja për të krahasuar një sinjal dhe kopjen e tij, të zhvendosur me ca kohë. Në veçanti, kjo situatë ndodh në radar, ku pulsi i reflektuar nga objektivi arrin në hyrjen e marrësit me një vonesë kohore. Krahasimi i këtyre sinjaleve me njëri-tjetrin, d.m.th. Vendosja e marrëdhënies së tyre gjatë përpunimit lejon që dikush të përcaktojë parametrat e lëvizjes së objektivit.

Për të përcaktuar sasinë e marrëdhënies midis një sinjali dhe kopjes së tij të zhvendosur në kohë, paraqitet një karakteristikë

, (2.57)

Që quhet funksioni i autokorrelacionit(AKF).

Për të shpjeguar kuptimin fizik të ACF, japim një shembull ku sinjali është një impuls drejtkëndor me kohëzgjatje dhe amplitudë. Në Fig. 2.9 tregon një impuls, kopja e tij e zhvendosur nga një interval kohor dhe produkti . Natyrisht, integrimi i produktit jep vlerën e zonës së pulsit, që është produkti . Kjo vlerë, kur fiksohet, mund të përfaqësohet nga një pikë në koordinata. Kur ndryshojmë, do të marrim një grafik të funksionit të autokorrelacionit.

Ne do të gjejmë shprehje analitike. Sepse

më pas duke e zëvendësuar këtë shprehje në (2.57), marrim

. (2.58)

Nëse e zhvendosni sinjalin në të majtë, atëherë duke përdorur llogaritje të ngjashme është e lehtë ta tregoni këtë

. (2.59)

Pastaj duke kombinuar (2.58) dhe (2.59), marrim

. (2.60)

Nga shembulli i shqyrtuar, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme të rëndësishme që zbatohen për sinjalet: formë të lirë:

1. Funksioni i autokorrelacionit të një sinjali jo periodik zvogëlohet me rritjen (jo domosdoshmërisht në mënyrë monotonike për llojet e tjera të sinjaleve). Natyrisht, ACF gjithashtu tenton në zero.

2. ACF e arrin vlerën maksimale në . Në këtë rast, është e barabartë me energjinë e sinjalit. Kështu, ACF është energji karakteristikë e sinjalit. Siç mund të pritej, sinjali dhe kopja e tij janë plotësisht të ndërlidhura (të ndërlidhura).

3. Nga një krahasim i (2.58) dhe (2.59) rezulton se ACF është madje funksion argument, d.m.th.

.

Një karakteristikë e rëndësishme e sinjalit është intervali i korrelacionit. Intervali i korrelacionit kuptohet si intervali kohor, kur zhvendoset me të cilin sinjali dhe kopja e tij bëhen të pakorreluara.

Matematikisht, intervali i korrelacionit përcaktohet nga shprehja e mëposhtme

,

ose pasi është një funksion çift

. (2.61)

Në Fig. Figura 2.10 tregon ACF-në e një forme vale arbitrare. Nëse ndërtoni një drejtkëndësh me një sipërfaqe të barabartë me zonën nën kurbë për vlera pozitive (dega e djathtë e kurbës), njëra anë e së cilës është e barabartë me , atëherë ana e dytë do të korrespondojë me .

Le të gjejmë intervalin e korrelacionit për një impuls drejtkëndor. Duke zëvendësuar (2.58) në (2.60) pas transformimeve të thjeshta, marrim:

,

siç vijon nga Fig. 2.9.

Në analogji me funksionin e autokorrelacionit, vlerësohet shkalla e marrëdhënies midis dy sinjaleve funksioni i ndërlidhjes(VKF)

. (2.62)

Le të gjejmë funksionin e ndërlidhjes së dy sinjaleve: një impuls drejtkëndor me amplitudë dhe kohëzgjatje

Dhe pulsi trekëndor të njëjtën amplitudë dhe kohëzgjatje

Duke përdorur (2.61) dhe duke llogaritur integralet veçmas për dhe, marrim:

Grafikët grafikë që ilustrojnë llogaritjet e VCF janë paraqitur në Fig. 2.11

Këtu vija me pika tregohet pozicioni fillestar (at) i pulsit trekëndor.

Në shprehja (2.61) shndërrohet në (2.57). Nga kjo rezulton se ACF është një rast i veçantë i CCF me sinjale plotësisht të përputhshme.

Le të vëmë re vetitë kryesore të VKF.

1. Ashtu si funksioni i autokorrelacionit, VCF është një funksion zbritës i argumentit. Kur VKF tenton në zero.

2. Vlerat e funksionit të ndërlidhjes në mënyrë arbitrare janë vlerat energji reciproke(energjia e ndërveprimit) sinjalet dhe .

3. Kur funksioni i ndërlidhjes (ndryshe nga funksioni i autokorrelacionit) nuk arrin gjithmonë një maksimum.

4. Nëse sinjalet përshkruhen nga funksionet çift të kohës, atëherë CCF është gjithashtu i barabartë. Nëse të paktën një nga sinjalet përshkruhet nga një funksion tek, atëherë CCF është gjithashtu tek. Deklarata e parë është e lehtë për t'u vërtetuar nëse llogaritni CCF-në e dy pulseve drejtkëndëshe me polaritet të kundërt

Dhe

Funksioni i ndërlidhjes së sinjaleve të tilla

, (2.63)

është një funksion çift i argumentit.

Sa i përket pohimit të dytë, shembulli i konsideruar i llogaritjes së CCF të pulseve drejtkëndëshe dhe trekëndore e vërteton atë.

Ne disa problemet e aplikuara inxhinierët e radios përdorin ACF të normalizuar

, (2.64)

dhe VKF e normalizuar

, (2.65)

ku dhe janë energjitë e brendshme të sinjaleve dhe . Kur vlera e VKF-së së normalizuar thirrur koeficienti i korrelacionit të kryqëzuar. Nëse , pastaj koeficienti i ndërlidhjes

.

Natyrisht, vlerat variojnë nga -1 në +1. Nëse krahasojmë (2.65) me (1.32), mund të verifikojmë që koeficienti i ndërlidhjes korrespondon me vlerën e kosinusit të këndit ndërmjet vektorëve dhe në paraqitjen gjeometrike të sinjaleve.

Le të llogarisim koeficientin e ndërlidhjes për shembujt e diskutuar më sipër. Meqenëse energjia e sinjalit të pulsit drejtkëndor është

dhe një puls trekëndor

atëherë koeficienti i ndërlidhjes në përputhje me (2.62) dhe (2.65) do të jetë i barabartë me . Sa për shembullin e dytë, për dy impulse drejtkëndëshe me të njëjtën amplitudë dhe kohëzgjatje, por polaritet të kundërt, .

Eksperimentalisht, ACF dhe VCF mund të merren duke përdorur një pajisje skema strukturore e cila është paraqitur në Fig. 2.12

Kur hiqni ACF, një sinjal merret në njërën nga hyrjet e shumëzuesit dhe i njëjti sinjal merret në të dytin, por me vonesë për një kohë. Sinjali proporcional i produktit , i nënshtrohet operacionit të integrimit. Në daljen e integratorit, gjenerohet një tension që është proporcional me vlerën ACF në një fiks. Duke ndryshuar kohën e vonesës, mund të ndërtoni ACF-në e sinjalit.

Për të ndërtuar eksperimentalisht një VCF, sinjali futet në një nga hyrjet e shumëzuesit dhe sinjali futet në pajisjen e vonesës (qarqet hyrëse tregohen në vija me pika). Përndryshe pajisja funksionon në te njejtën mënyrë. Vini re se pajisja e përshkruar quhet korrelator dhe përdoret gjerësisht në sisteme të ndryshme radio për marrjen dhe përpunimin e sinjaleve.

Deri më tani, ne kemi kryer analiza korrelacioni të sinjaleve jo periodike që kanë energji të fundme. Në të njëjtën kohë, nevoja për një analizë të tillë shpesh lind për sinjale periodike, të cilat teorikisht kanë energji të pafund, por fuqi mesatare të fundme. Në këtë rast, ACF dhe CCF llogariten me mesataren e periudhës dhe kanë kuptimin e fuqisë mesatare (përkatësisht të veta ose të ndërsjellë). Kështu, ACF e një sinjali periodik është:

, (2.66)

dhe funksioni i ndërlidhjes së dy sinjaleve periodike me periudha të shumta:

, (2.67)

ku është vlera më e madhe e periudhës.

Le të gjejmë funksionin e autokorrelacionit sinjal harmonik

,

ku është frekuenca rrethore dhe është faza fillestare.

Zëvendësimi i kësaj shprehjeje në (2.66) dhe llogaritja e integralit duke përdorur relacionin e njohur trigonometrik:

.

Nga shembulli i shqyrtuar, mund të nxjerrim përfundimet e mëposhtme, të cilat janë të vlefshme për çdo sinjal periodik.

1. ACF e një sinjali periodik është një funksion periodik me të njëjtën periudhë.

2. ACF e një sinjali periodik është një funksion çift i argumentit.

3. Kur vlera përfaqëson fuqinë mesatare që lirohet në rezistencën 1 om dhe ka një dimension.

4. ACF e një sinjali periodik nuk përmban informacion për fazën fillestare të sinjalit.

Duhet të theksohet gjithashtu se intervali i korrelacionit të një sinjali periodik.

Tani le të llogarisim funksionin e ndërlidhjes së dy sinjaleve harmonike të njëjtën frekuencë, por të ndryshme në amplituda dhe faza fillestare

Dhe .

Funksionet e korrelacionit të sinjalit përdoren për vlerësime sasiore integrale të formave të sinjalit dhe shkallës së ngjashmërisë së tyre me njëra-tjetrën.

Funksionet e autokorrelacionit (ACF) të sinjaleve (funksioni i korrelacionit, CF). Aplikuar në sinjale përcaktuese me energji të fundme, ACF është një karakteristikë integrale sasiore e formës së sinjalit dhe përfaqëson integralin e produktit të dy kopjeve të sinjalit s(t), të zhvendosur në lidhje me njëra-tjetrën me kohën t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Siç del nga kjo shprehje, ACF është produkti skalar i sinjalit dhe kopjimi i tij në varësia funksionale nga vlera e ndryshimit të ndryshores t. Prandaj, ACF ka dimensionin fizik të energjisë, dhe në t = 0 vlera e ACF është drejtpërdrejt e barabartë me energjinë e sinjalit:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Funksioni ACF është i vazhdueshëm dhe i barabartë. Kjo e fundit është e lehtë për t'u verifikuar duke zëvendësuar variablin t = t-t në shprehjen (2.25):

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")

Duke marrë parasysh barazinë, paraqitja grafike e ACF prodhohet vetëm për vlerat pozitive të t. Në praktikë, sinjalet zakonisht specifikohen në intervalin e vlerave të argumentit pozitiv nga 0-T. Shenja +t në shprehjen (2.25) do të thotë që me rritjen e vlerave të t, një kopje e sinjalit s(t+t) zhvendoset majtas përgjatë boshtit t dhe shkon përtej 0, gjë që kërkon një shtrirje përkatëse të sinjali në rajonin e vlerave negative të argumentit. Dhe meqenëse në llogaritjet intervali për specifikimin e t është, si rregull, shumë më i vogël se intervali për specifikimin e sinjalit, është më praktike të zhvendoset kopja e sinjalit majtas përgjatë boshtit të argumentit, d.m.th. duke përdorur funksionin s(t-t) në vend të s(t+t) në shprehjen (2.25).

Me rritjen e vlerës së zhvendosjes t për sinjalet e fundme, mbivendosja e përkohshme e sinjalit me kopjen e tij zvogëlohet dhe produkti skalar tenton në zero.

Shembull. Në intervalin (0,T) një impuls drejtkëndor me vlera e amplitudës, e barabartë me A. Llogaritni funksionin e autokorrelacionit të impulsit.

Kur kopja e pulsit zhvendoset përgjatë boshtit t djathtas, në 0≤t≤T sinjalet mbivendosen në intervalin nga t në T. Produkti me pikë:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Kur zhvendosni një kopje të pulsit në të majtë, në -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

Në |t| > T sinjali dhe kopja e tij nuk kanë pika kryqëzimi dhe produkti skalar i sinjaleve është zero (sinjali dhe kopja e tij e zhvendosur bëhen ortogonale).

Duke përmbledhur llogaritjet, mund të shkruajmë:

B s (t) = .

Në rastin e sinjaleve periodike, ACF llogaritet për një periudhë T, me mesataren e produktit skalar dhe kopjen e tij të zhvendosur brenda periudhës:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

Në t=0, vlera e ACF në këtë rast është e barabartë jo me energjinë, por me fuqinë mesatare të sinjaleve brenda intervalit T. ACF e sinjaleve periodike është gjithashtu një funksion periodik me të njëjtën periudhë T. Për një sinjal harmonik me një ton, kjo është e qartë. Vlera e parë maksimale ACF do të korrespondojë me t=0. Kur kopja e sinjalit zhvendoset me një të katërtën e një periudhe në krahasim me origjinalin, funksionet e integrandit bëhen ortogonale me njëri-tjetrin (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) dhe japin vlerë zero AKF. Kur zhvendoset me t=T/2, kopja e sinjalit bëhet e kundërt në drejtim me vetë sinjalin dhe produkti skalar arrin vlerë minimale. Me një rritje të mëtejshme të zhvendosjes, fillon procesi i kundërt i rritjes së vlerave të produktit skalar, duke kaluar zeron në t=3T/2 dhe duke përsëritur vlerën maksimale në t=T=2p/w o (cos w o t-2p kopjet e sinjalit º cos w o t). Një proces i ngjashëm ndodh për sinjalet periodike me formë arbitrare (Fig. 2.11).

Vini re se rezultati i marrë nuk varet nga faza fillestare sinjal harmonik, i cili është tipik për çdo sinjal periodik dhe është një nga vetitë e ACF.

Për sinjalet e dhëna në një interval të caktuar, ACF llogaritet me normalizimin e gjatësisë së intervalit:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Autokorrelacioni i një sinjali mund të vlerësohet gjithashtu nga funksioni i koeficientëve të autokorrelacionit, të cilët llogariten duke përdorur formulën (bazuar në sinjalet e përqendruara):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Funksioni i ndërlidhjes (CCF) i sinjaleve (funksioni i ndërlidhjes, CCF) tregon shkallën e ngjashmërisë në formën e dy sinjaleve dhe të tyre marrëveshje reciproke në lidhje me njëri-tjetrin përgjatë koordinatës (ndryshore e pavarur), për të cilën përdoret e njëjta formulë (2.25) si për ACF, por nën integral ka produktin e dy sinjaleve të ndryshëm, njëri prej të cilëve zhvendoset me kohën t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

Kur zëvendësojmë variablin t = t-t në formulën (2.4.3), marrim:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Oriz. 2.12. Sinjalet dhe VKF

Nga kjo rrjedh se kushti i barazisë nuk është i kënaqur për CCF, dhe vlerat CCF nuk kërkohet të kenë një maksimum në t = 0. Kjo mund të shihet qartë në Fig. 2.12, ku jepen dy sinjale identike me qendra në pikat 0.5 dhe 1.5. Llogaritja duke përdorur formulën (2.27) me një rritje graduale të vlerave t nënkupton zhvendosje të njëpasnjëshme të sinjalit s2(t) majtas përgjatë boshtit të kohës (për secilën vlerë të s1 (t), vlerat s2(t+ t) merren për shumëzim integrand).

Në t=0 sinjalet janë ortogonale dhe vlera e B 12 (t)=0. Maksimumi B 12 (t) do të vërehet kur sinjali s2(t) zhvendoset majtas me vlerën t=1, në të cilën sinjalet s1(t) dhe s2(t+t) kombinohen plotësisht. Gjatë llogaritjes së vlerave të B 21 (-t), një proces i ngjashëm kryhet duke zhvendosur në mënyrë të njëpasnjëshme sinjalin s1(t) në të djathtë përgjatë boshtit të kohës me një rritje graduale të vlerave negative prej t, dhe në përputhje me rrethanat vlerat e B 21 (-t) janë një pasqyrë (në lidhje me boshtin t=0) e vlerave B 12 (t) dhe anasjelltas. Në Fig. 2.13 kjo mund të shihet qartë.

Oriz. 2.13. Sinjalet dhe VKF

Kështu, për të llogaritur formë e plotë Boshti numerik VCF t duhet të përfshijë vlera negative dhe ndryshimi i shenjës t në formulën (2.27) është ekuivalent me rirregullimin e sinjaleve.

Për sinjalet periodike, koncepti i CCF zakonisht nuk zbatohet, me përjashtim të sinjaleve me të njëjtën periudhë, për shembull, sinjalet hyrëse dhe dalëse të sistemeve kur studiohen karakteristikat e sistemeve.

Funksioni i koeficientëve të ndërlidhjes së dy sinjaleve llogaritet me formulën (bazuar në sinjalet e përqendruara):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Vlera e koeficientëve të ndërlidhjes mund të ndryshojë nga -1 në 1.