Le të kujtojmë fillimisht se nëse një ndryshore e rastësishme R shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (0,1), atëherë pritshmëria dhe varianca e tij matematikore janë përkatësisht të barabarta (shih Kapitullin XII, § 1, vërejtja 3):
M(R)= 1/2, (*)
D(R)= 1/2. (**)
Le të bëjmë një shumë P variablat e pavarura të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (0,1) Rj(j=1, 2, ..., n):
Për të normalizuar këtë shumë, së pari gjejmë pritshmërinë dhe variancën e saj matematikore.
Dihet se pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave. Shuma (***) përmban P termat, pritshmëria matematikore e secilit prej të cilave për shkak të (*) është e barabartë me 1/2; prandaj, pritshmëria matematikore e shumës ( *** )
Dihet se varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të termave. Shuma (***) përmban n terma të pavarur, shpërndarja e secilit prej të cilave, në bazë të (**), është e barabartë me 1/12; pra varianca e shumës (***)
Prandaj devijimi standard i shumës (***)
Le të normalizojmë shumën në shqyrtim, për të cilën zbresim pritshmërinë matematikore dhe e ndajmë rezultatin me devijimin standard:
Në bazë të teoremës së kufirit qendror, kur p→∞ shpërndarja e kësaj ndryshoreje të rastësishme të normalizuar tenton në normale me parametrat a= 0 dhe σ=1. Në finale P shpërndarja është afërsisht normale. Në veçanti, kur P= 12 marrim një përafrim mjaft të mirë dhe të përshtatshëm për llogaritjet
Rregulli. Për të luajtur vlerën e mundshme x i ndryshore normale e rastësishme X me parametrat a=0 dhe σ=1, duhet të shtoni 12 numra të rastësishëm të pavarur dhe të zbrisni 6 nga shuma që rezulton:
Shembull, a) Luaj 100 vlera të mundshme të vlerës normale X me parametrat a=0 dhe σ=1; b) vlerësoni parametrat e vlerës së luajtur.
Zgjidhje. a) Le të zgjedhim 12 numra të rastësishëm nga rreshti i parë i tabelës *), t'i mbledhim dhe të zbresim 6 nga shuma që rezulton; në fund kemi
x i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.
Në mënyrë të ngjashme, duke zgjedhur 12 numrat e parë nga çdo rresht tjetër i tabelës, do të gjejmë vlerat e mbetura të mundshme X.
b) Pas kryerjes së llogaritjeve, marrim vlerësimet e kërkuara:
Vlerësime të kënaqshme: A* afër zeros, σ* ndryshon pak nga uniteti.
Komentoni. Nëse doni të luani një vlerë të mundshme z i, ndryshore normale e rastësishme Z me pritshmëri matematikore A dhe devijimi standard σ , atëherë, duke luajtur sipas rregullit të këtij paragrafi vlerën e mundshme xi, gjeni vlerën e dëshiruar të mundshme duke përdorur formulën
z i =σx i +a.
Kjo formulë është marrë nga relacioni ( z i -a)/σ=x i.
Detyrat
1. Luaj 6 vlera të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X, ligji i shpërndarjes së të cilit jepet në formë tabele
| X | 3,2 | ||
| fq | 0,18 | 0,24 | 0,58 |
Shënim. Për të qenë të sigurt, supozoni se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0.73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0.53. Reps. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.
2. Luaj 4 prova, secila me një probabilitet për të ndodhur një ngjarje A e barabartë me 0.52.
Shënim. Për të qenë të sigurt, supozoni se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.
Reps. A, , .
3. Janë dhënë probabilitetet e tri ngjarjeve që formojnë një grup të plotë: R(A 1)=0,20, R(A 2)=0,32, R(A 3)= 0,48. Luaj 6 sfida, në secilën prej të cilave shfaqet një nga ngjarjet e dhëna.
Shënim. Për të qenë të sigurt, supozoni se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0.77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0.33.
Reps. A 3,A 1 ,A 2 ,A 2 ,A 3,A 2 .
4. Ngjarjet A dhe B të pavarur dhe bashkëpunues. Luaj 5 sfida, secila me një probabilitet për të ndodhur një ngjarje Aështë e barabartë me 0.5, dhe ngjarjet NË- 0,8.
A 1 =AB, për siguri, merrni numra të rastësishëm: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0.57.
Reps. A 1 ,A 2 ,A 2 ,A 1 ,A 3.
5. Ngjarjet A, B, C të pavarur dhe bashkëpunues. Luaj 4 teste në secilën prej të cilave jepen probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve: R(A)= 0,4, R(NË)= 0,6, R(ME)= 0,5.
Shënim. Hartoni një grup të plotë ngjarjesh: për siguri, supozoni se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.
Përgjigje A 1 ,A 8,A 4,A 4.
6. Ngjarjet A Dhe NË të varur dhe bashkëpunues. Luaj 4 teste, secila prej të cilave ka dhënë probabilitete: R(A)=0,7, R(NË)=0,6, R(AB)=0,4.
Shënim. Krijo një grup të plotë ngjarjesh: A 1 =AB, për siguri, merrni numra të rastësishëm: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.
Reps. A 1 , A 2 , A 4 , A 3 .
7. Luaj 3 vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, i cili shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe i specifikuar nga funksioni i shpërndarjes F(X)= 1 - e -10 x .
Shënim. Për të qenë të sigurt, supozoni se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0.67; 0,79; 0,91.
Reps. 0,04; 0,02; 0,009.
8. Luaj 4 vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (6,14).
Shënim. Për saktësi, supozojmë se janë zgjedhur numra të rastësishëm: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.
Reps. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.
9. Gjeni formula të qarta për luajtjen e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur metodën e mbivendosjes X, funksioni i dhënë i shpërndarjes
F(x)=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<X<∞.
Reps. x= - (1/2)1p r 2 nëse r 1 < 2/3; X= - (1/3)1p r 2 nëse r 1 ≥2/3.
10. Gjeni një formulë të qartë për të luajtur një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X, duke pasur parasysh densitetin e probabilitetit f(X)=b/(1 +sëpatë) 2 në intervalin 0≤ x≤1/(b-a); jashtë këtij intervali f(x)=0.
Reps. x i= - r i/(b - ar i).
11. Luaj 2 vlera të mundshme të një ndryshoreje normale të rastësishme me parametrat: a) A=0, σ =1; b) A =2, σ =3.
Shënim. Për siguri, pranoni numra të rastësishëm (numri i të qindtave tregohet më poshtë; për shembull, numri 74 korrespondon me një numër të rastësishëm r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.
Reps. A) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.
Kapitulli njëzet e dy
Le të kërkohet të luhet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, d.m.th. merrni një sekuencë të vlerave të tij të mundshme (i=1, 2, ..., n), duke ditur funksionin e shpërndarjes F(x).
Teorema. Nëse është një numër i rastësishëm, atëherë vlera e mundshme e ndryshores së vazhdueshme të rastit të luajtur X me një funksion të caktuar të shpërndarjes F (x), që korrespondon me , është rrënja e ekuacionit.
Rregulli 1. Për të gjetur vlerën e mundshme, një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, duke ditur funksionin e saj të shpërndarjes F (x), ju duhet të zgjidhni një numër të rastësishëm, të barazoni funksionin e tij të shpërndarjes dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton.
Shënim 1. Nëse nuk është e mundur të zgjidhet ky ekuacion në mënyrë eksplicite, atëherë përdorni metoda grafike ose numerike.
Shembulli 1. Luaj 3 vlera të mundshme të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (2, 10).
Zgjidhje: Le të shkruajmë funksionin e shpërndarjes së vlerës X, të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin (a, b): .
Sipas kushtit, a=2, b=10, pra, .
Duke përdorur rregullin 1, do të shkruajmë një ekuacion për të gjetur vlerat e mundshme, për të cilat barazojmë funksionin e shpërndarjes me një numër të rastësishëm:
Nga këtu .
Le të zgjedhim 3 numra të rastësishëm, për shembull, . Le t'i zëvendësojmë këta numra në ekuacionin e zgjidhur në lidhje me ; Si rezultat, marrim vlerat përkatëse të mundshme të X: ; ; .
Shembulli 2. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të specifikuar nga funksioni i shpërndarjes (parametri dihet) (x > 0). Ne duhet të gjejmë një formulë të qartë për të luajtur vlerat e mundshme të X.
Zgjidhje: Duke përdorur rregullën, shkruajmë ekuacionin.
Le ta zgjidhim këtë ekuacion për: , ose .
Numri i rastësishëm gjendet në intervalin (0, 1); prandaj edhe numri është i rastësishëm dhe i përket intervalit (0,1). Me fjalë të tjera, vlerat e R dhe 1-R shpërndahen në mënyrë të barabartë. Prandaj, për ta gjetur atë, mund të përdorni një formulë më të thjeshtë.
Shënim 2. Dihet se.
Veçanërisht, .
Nga kjo rrjedh se nëse dihet densiteti i probabilitetit, atëherë për të luajtur X, në vend të ekuacioneve, mund të zgjidhet për ekuacionin .
Rregulli 2. Për të gjetur vlerën e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, duke ditur densitetin e probabilitetit të saj, është e nevojshme të zgjidhni një numër të rastësishëm dhe të zgjidhni për të ekuacionin ose ekuacionin, ku a është vlera më e vogël e mundshme përfundimtare e X.
Shembulli 3. Është dhënë dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X në interval; jashtë këtij intervali. Ne duhet të gjejmë një formulë të qartë për të luajtur vlerat e mundshme të X.
Zgjidhje: Le të shkruajmë ekuacionin në përputhje me rregullin 2.
Pas kryerjes së integrimit dhe zgjidhjes së ekuacionit kuadratik që rezulton për , më në fund do ta marrim.
18.7 Lojë e përafërt e një ndryshoreje normale të rastësishme
Le të kujtojmë fillimisht se nëse një ndryshore e rastësishme R shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (0, 1), atëherë pritshmëria dhe varianca e saj matematikore janë përkatësisht të barabarta: M(R)=1/2, D(R)=1/12.
Le të përpilojmë shumën e n variablave të rastësishme të pavarura, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (0, 1): .
Për të normalizuar këtë shumë, së pari gjejmë pritshmërinë dhe variancën e saj matematikore.
Dihet se pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave. Shuma përmban n terma, pritshmëria matematikore e secilit prej të cilave, për shkak të M(R) = 1/2, është e barabartë me 1/2; pra, pritshmëria matematikore e shumës
Dihet se varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të termave. Shuma përmban n terma të pavarur, varianca e secilit prej të cilëve, për shkak të D(R) = 1/12, është e barabartë me 1/12; pra varianca e shumës
Prandaj devijimi standard i shumës
Le të normalizojmë shumën në shqyrtim, për të cilën zbresim pritshmërinë matematikore dhe rezultatin e ndajmë me devijimin standard: .
Në bazë të teoremës së kufirit qendror, shpërndarja e kësaj ndryshoreje të rastësishme të normalizuar tenton në normale me parametrat a = 0 dhe . Për n të fundme, shpërndarja është afërsisht normale. Në veçanti, për n=12 marrim një përafrim mjaft të mirë dhe të përshtatshëm për llogaritjet.
Vlerësimet janë të kënaqshme: afër zeros, pak më ndryshe nga një.
Lista e burimeve të përdorura
1. Gmurman V.E. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. – M.: Shkolla e Lartë, 2001.
2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistikat e matematikës. – M.: Shkolla e Lartë, 2001.
3. Gmurman V.E. Një udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. – M.: Shkolla e Lartë, 2001.
4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. – M.:FORUM:INFRA-M, 2003.
5. Agapov G.I. Libër problemash mbi teorinë e probabilitetit. – M.: Shkolla e lartë, 1994.
6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. – M.: INFRA-M, 2001.
7. Ventzel E.S. Teoria e probabilitetit. – M.: Shkolla e Lartë, 2001.
Përkufizimi 24.1.Numra të rastësishëm emërtoni vlerat e mundshme r ndryshore e vazhdueshme e rastësishme R, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (0; 1).
1. Luajtja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.
Supozoni se duam të luajmë një ndryshore të rastësishme diskrete X, domethënë, merrni një sekuencë të vlerave të mundshme të tij, duke ditur ligjin e shpërndarjes X:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r fq .
Konsideroni një variabël të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme në (0, 1) R dhe ndani intervalin (0, 1) me pika me koordinata R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r fq-1 në P intervale të pjesshme gjatësitë e të cilave janë të barabarta me probabilitetet me të njëjtat indekse.
Teorema 24.1. Nëse çdo numri të rastësishëm që bie në interval i caktohet një vlerë e mundshme, atëherë vlera që luhet do të ketë një ligj të caktuar shpërndarjeje:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r fq .
Dëshmi.
Vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme që rezulton përkojnë me grupin X 1 , X 2 ,… x n, pasi numri i intervaleve është i barabartë P, dhe kur goditet r j në një interval, një ndryshore e rastësishme mund të marrë vetëm një nga vlerat X 1 , X 2 ,… x n.
Sepse R shpërndahet në mënyrë uniforme, atëherë probabiliteti që ai të bjerë në çdo interval është i barabartë me gjatësinë e tij, që do të thotë se çdo vlerë korrespondon me probabilitetin p i. Kështu, ndryshorja e rastësishme që luhet ka një ligj të caktuar shpërndarjeje.
Shembull. Luaj 10 vlera të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X, ligji i shpërndarjes së të cilit ka formën: X 2 3 6 8
R 0,1 0,3 0,5 0,1
Zgjidhje. Le ta ndajmë intervalin (0, 1) në intervale të pjesshme: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 - (0.9; 1). Le të shkruajmë 10 numra nga tabela e numrave të rastësishëm: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0.34. Numrat e parë dhe të shtatë shtrihen në intervalin D 1, prandaj, në këto raste, ndryshorja e rastësishme e luajtur mori vlerën X 1 = 2; numrat e tretë, të katërt, të tetë dhe të dhjetë ranë në intervalin D 2, që korrespondon me X 2 = 3; numrat e dytë, të pestë, të gjashtë dhe të nëntë ishin në intervalin D 3 - në këtë rast X = x 3 = 6; Nuk kishte numra në intervalin e fundit. Pra, vlerat e mundshme u luajtën X janë: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.
2. Veprimtaria e ngjarjeve të kundërta.
Le të kërkohet të luhen teste, në secilën prej të cilave një ngjarje A shfaqet me një probabilitet të njohur R. Konsideroni një ndryshore të rastësishme diskrete X, duke marrë vlerën 1 (nëse ngjarja A ka ndodhur) me probabilitet R dhe 0 (nëse A nuk ka ndodhur) me probabilitet q = 1 – fq. Pastaj ne do të luajmë këtë ndryshore të rastësishme siç sugjerohet në paragrafin e mëparshëm.
Shembull. Luaj 10 sfida, secila me një ngjarje A shfaqet me probabilitet 0.3.
Zgjidhje. Për një ndryshore të rastësishme X me ligjin e shpërndarjes X 1 0
R 0,3 0,7
marrim intervalet D 1 – (0; 0.3) dhe D 2 – (0.3; 1). Ne përdorim të njëjtin mostër të numrave të rastësishëm si në shembullin e mëparshëm, për të cilin numrat nr. 1, 3 dhe 7 bien në intervalin D 1, dhe pjesa tjetër - në intervalin D 2. Prandaj, mund të supozojmë se ngjarja A ndodhi në provën e parë, të tretë dhe të shtatë, por nuk ndodhi në sprovat e mbetura.
3. Luajtja e një grupi të plotë ngjarjesh.
Nëse ngjarjet A 1 , A 2 , …, Një fq, probabilitetet e të cilit janë të barabarta R 1 , R 2 ,… r fq, formoni një grup të plotë, pastaj për lojë (d.m.th., modelimi i sekuencës së paraqitjeve të tyre në një seri testesh), mund të luani një ndryshore të rastësishme diskrete X me ligjin e shpërndarjes X 1 2 … P, duke e bërë këtë në të njëjtën mënyrë si në pikën 1. Në të njëjtën kohë, ne besojmë se
r r 1 R 2 … r fq
Nëse X merr vlerën x i = i, atëherë në këtë test ka ndodhur ngjarja A i.
4. Luajtja e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.
a) Metoda e funksioneve të anasjellta.
Supozoni se duam të luajmë një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X, domethënë, merrni një sekuencë të vlerave të tij të mundshme x i (i = 1, 2, …, n), duke ditur funksionin e shpërndarjes F(x).
Teorema 24.2. Nëse r iështë një numër i rastësishëm, pastaj vlera e mundshme x i luajtur ndryshore të vazhdueshme të rastit X me një funksion të caktuar shpërndarjeje F(x), përkatëse r i, është rrënja e ekuacionit
F(x i) = r i. (24.1)
Dëshmi.
Sepse F(x) rritet në mënyrë monotonike në intervalin nga 0 në 1, atëherë ekziston një vlerë (dhe unike) e argumentit x i, në të cilën funksioni i shpërndarjes merr vlerën r i. Kjo do të thotë se ekuacioni (24.1) ka një zgjidhje unike: x i= F -1 (r i), Ku F-1 - funksioni i kundërt me F. Le të vërtetojmë se rrënja e ekuacionit (24.1) është një vlerë e mundshme e ndryshores së rastësishme në shqyrtim X. Së pari, le të supozojmë se x iështë vlera e mundshme e disa ndryshoreve të rastësishme x, dhe vërtetojmë se probabiliteti që x të bjerë në intervalin ( s, d) është e barabartë me F(d) – F(c). Në të vërtetë, për shkak të monotonitetit F(x) dhe ajo F(x i) = r i. Pastaj
Prandaj, Pra, probabiliteti që x të bjerë në intervalin ( c, d) është e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes F(x) në këtë interval, pra, x = X.
Luaj 3 vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (5; 8).
F(x) = dmth është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni.Le të zgjedhim 3 numra të rastësishëm: 0.23; 0.09 dhe 0.56 dhe zëvendësojini ato në këtë ekuacion. Le të marrim vlerat e mundshme përkatëse X:
b) Metoda e mbivendosjes.
Nëse funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme që luhet mund të përfaqësohet si një kombinim linear i dy funksioneve të shpërndarjes:
atëherë, që kur X®¥ F(x) ® 1.
Le të prezantojmë një ndryshore të rastësishme diskrete ndihmëse Z me ligjin e shpërndarjes
Z 12 . Le të zgjedhim 2 numra të rastësishëm të pavarur r 1 dhe r 2 dhe luani të mundshmen
p C 1 C 2
kuptimi Z sipas numrit r 1 (shih pikën 1). Nëse Z= 1, atëherë ne kërkojmë vlerën e dëshiruar të mundshme X nga ekuacioni, dhe nëse Z= 2, atëherë zgjidhim ekuacionin .
Mund të vërtetohet se në këtë rast funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme që luhet është i barabartë me funksionin e dhënë të shpërndarjes.
c) Lojë e përafërt e një ndryshoreje normale të rastësishme.
Që për R, të shpërndara në mënyrë uniforme në (0, 1), pastaj për shumën P variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (0,1). Pastaj, në bazë të teoremës së kufirit qendror, ndryshorja e rastësishme e normalizuar në P® ¥ do të ketë një shpërndarje afër normales, me parametrat A= 0 dhe s =1. Në veçanti, një përafrim mjaft i mirë arrihet kur P = 12:
Pra, për të luajtur vlerën e mundshme të ndryshores normale të rastit të normalizuar X, ju duhet të shtoni 12 numra të rastësishëm të pavarur dhe të zbrisni 6 nga shuma.
Nga të gjitha variablat e rastësishëm, më e lehtë për t'u luajtur (modeli) është një variabël i shpërndarë në mënyrë uniforme. Le të shohim se si bëhet kjo.
Le të marrim një pajisje, dalja e së cilës ka të ngjarë të përmbajë numrat 0 ose 1; paraqitja e një numri ose një tjetër duhet të jetë e rastësishme. Një pajisje e tillë mund të jetë një monedhë e hedhur, një zare (çift - 0, tek - 1) ose një gjenerator i veçantë i bazuar në numërimin e numrit të prishjeve radioaktive ose shpërthimeve të zhurmës së radios për një kohë të caktuar (çift ose tek).
Le të shkruajmë y si një thyesë binare dhe të zëvendësojmë shifrat e njëpasnjëshme me numrat e prodhuar nga gjeneratori: për shembull, . Meqenëse shifra e parë mund të përmbajë 0 ose 1 me probabilitet të barabartë, ky numër ka të ngjarë të qëndrojë në gjysmën e majtë ose të djathtë të segmentit. Meqenëse në shifrën e dytë 0 dhe 1 janë gjithashtu njësoj të mundshme, numri qëndron me probabilitet të barabartë në secilën gjysmë të këtyre gjysmave, etj. Kjo do të thotë që një fraksion binare me shifra të rastësishme merr në të vërtetë çdo vlerë në intervalin me probabilitet të barabartë
Në mënyrë rigoroze, vetëm një numër i kufizuar shifrash k mund të luhet. Prandaj, shpërndarja nuk do të kërkohet plotësisht; pritshmëria matematikore do të jetë më e vogël se 1/2 për një vlerë (sepse vlera është e mundur, por vlera është e pamundur). Për të parandaluar që ky faktor të ndikojë tek ju, duhet të merrni numra shumëshifrorë; Vërtetë, në metodën e testimit statistikor, saktësia e përgjigjes zakonisht nuk kalon 0.1% -103, dhe kushti jep që në kompjuterët modernë të tejkalohet me një diferencë të madhe.
Numra pseudorandom. Gjeneruesit real të numrave të rastësishëm nuk janë të lirë nga gabimet sistematike: asimetria e monedhës, zhvendosja zero, etj. Prandaj, cilësia e numrave që prodhojnë kontrollohet me teste speciale. Testi më i thjeshtë është llogaritja e shpeshtësisë së shfaqjes së një zero për secilën shifër; nëse frekuenca është dukshëm e ndryshme nga 1/2, atëherë ka një gabim sistematik, dhe nëse është shumë afër 1/2, atëherë numrat nuk janë të rastësishëm - ekziston një lloj modeli. Testet më komplekse janë duke llogaritur koeficientët e korrelacionit të numrave të njëpasnjëshëm
ose grupe shifrash brenda një numri; këta koeficientë duhet të jenë afër zeros.
Nëse një sekuencë numrash i plotëson këto teste, atëherë ai mund të përdoret në llogaritjet duke përdorur metodën e testit statistikor, pa u interesuar për origjinën e tij.
Janë zhvilluar algoritme për ndërtimin e sekuencave të tilla; ato simbolikisht shkruhen me formula të përsëritura
Numra të tillë quhen pseudorandom dhe llogariten në një kompjuter. Kjo zakonisht është më e përshtatshme sesa përdorimi i gjeneratorëve specialë. Por çdo algoritëm ka numrin e vet kufizues të termave të sekuencës që mund të përdoren në llogaritjet; me një numër më të madh termash, natyra e rastësishme e numrave humbet, për shembull, zbulohet periodiciteti.
Algoritmi i parë për marrjen e numrave pseudorandom u propozua nga Neumann. Le të marrim një numër nga shifrat (për të qenë specifik, dhjetor) dhe ta katrorojmë atë. Ne do të lëmë shifrat e mesme të katrorit, duke hedhur poshtë të fundit dhe (ose) të parën. E vendosim sërish në katror numrin që rezulton, etj. Vlerat fitohen duke i shumëzuar këta numra me Për shembull, le të vendosim dhe zgjedhim numrin fillestar 46; atëherë marrim
Por shpërndarja e numrave Neumann nuk është mjaftueshëm uniforme (mbizotërojnë vlerat, gjë që shihet qartë në shembullin e dhënë), dhe tani ato përdoren rrallë.
Algoritmi më i përdorur tani është një algoritëm i thjeshtë dhe i mirë që lidhet me zgjedhjen e pjesës fraksionale të produktit.
ku A është një konstante shumë e madhe (kllapa kaçurrelë tregon pjesën thyesore të numrit). Cilësia e numrave pseudo të rastësishëm varet fuqishëm nga zgjedhja e vlerës së A: ky numër në shënimin binar duhet të jetë mjaftueshëm "i rastësishëm" edhe pse shifra e fundit e tij duhet të merret si një. Vlera ka pak efekt në cilësinë e sekuencës, por është vërejtur se disa vlera dështojnë.
Duke përdorur eksperimente dhe analiza teorike, janë studiuar dhe rekomanduar vlerat e mëposhtme: për BESM-4; për BESM-6. Për disa kompjuterë amerikanë, këta numra rekomandohen dhe lidhen me numrin e shifrave në mantisa dhe renditjen e numrit, kështu që ato janë të ndryshme për çdo lloj kompjuteri.
Vërejtje 1. Në parim, formula si (54) mund të japin sekuenca shumë të gjata të mira nëse shkruhen në formë jo-përsëritëse dhe të gjitha shumëzimet kryhen pa rrumbullakim. Rrumbullakimi konvencional në një kompjuter degradon cilësinë e numrave pseudorandom, por megjithatë, anëtarët e sekuencës janë zakonisht të përshtatshëm.
Vërejtje 2. Cilësia e sekuencës përmirësohet nëse në algoritmin (54) futen shqetësime të vogla të rastësishme; për shembull, pas normalizimit të një numri, është e dobishme të dërgoni rendin binar të numrit në shifrat e fundit binare të mantisës së tij
Në mënyrë të rreptë, modeli i numrave pseudorandom duhet të jetë i padukshëm në lidhje me aplikacionin e veçantë të kërkuar. Prandaj, në problematika të thjeshta ose të formuluara mirë, mund të përdoren sekuenca me cilësi jo shumë të mirë, por kërkohen kontrolle të veçanta.
Shpërndarja e rastësishme. Për të luajtur një ndryshore të rastësishme me një shpërndarje të pabarabartë, mund të përdorni formulën (52). Le të luajmë y dhe të përcaktojmë nga barazia
Nëse integrali merret në formën e tij përfundimtare dhe formula është e thjeshtë, atëherë kjo është mënyra më e përshtatshme. Për disa shpërndarje të rëndësishme - Gaussian, Poisson - nuk merren integralet përkatëse dhe janë zhvilluar metoda të veçanta të lojës.
