Zgjerimi i serisë Furier të një sekuence pulsesh trekëndore. Seritë Furier për sinjalet periodike

Ndër sistemet e ndryshme të funksioneve ortogonale që mund të përdoren si bazë për paraqitje sinjalet e radios, një vend të jashtëzakonshëm zënë funksionet harmonike (sinus dhe kosinus). Rëndësia e sinjaleve harmonike për inxhinierinë radio është për shkak të një sërë arsyesh.

Veçanërisht:

1. Sinjalet harmonike janë të pandryshueshme në lidhje me transformimet e kryera nga lineare stacionare qarqet elektrike. Nëse një qark i tillë ngacmohet nga një burim dridhjet harmonike, atëherë sinjali në dalje të qarkut mbetet harmonik me të njëjtën frekuencë, duke ndryshuar nga sinjali i hyrjes vetëm në amplitudë dhe fazë fillestare.

2. Teknika për gjenerimin e sinjaleve harmonike është relativisht e thjeshtë.

Nëse ndonjë sinjal paraqitet si shumë e lëkundjeve harmonike me frekuenca të ndryshme, atëherë thonë se është kryer zbërthimi spektral i këtij sinjali. Komponentët individualë harmonikë të një sinjali formojnë spektrin e tij.

2.1. Sinjalet periodike dhe seritë Furier

Një model matematikor i një procesi që përsëritet me kalimin e kohës është një sinjal periodik me vetinë e mëposhtme:

Këtu T është periudha e sinjalit.

Detyra është të gjesh zbërthimin spektral të një sinjali të tillë.

Seria Furier.

Le të vendosim në intervalin kohor të konsideruar në kapitullin. I është një bazë ortonormale e formuar nga funksione harmonike me frekuenca të shumta;

Çdo funksion nga kjo bazë plotëson kushtin e periodicitetit (2.1). Prandaj, duke kryer një zbërthim ortogonal të sinjalit në këtë bazë, d.m.th., duke llogaritur koeficientët

marrim zbërthimin spektral

e vlefshme gjatë gjithë pafundësisë së boshtit kohor.

Një seri e formës (2.4) quhet seri Fourier e një sinjali të caktuar. Le të prezantojmë frekuencën themelore të sekuencës që formon sinjalin periodik. Duke llogaritur koeficientët e zgjerimit duke përdorur formulën (2.3), ne shkruajmë serinë Fourier për një sinjal periodik

me shanse

(2.6)

Pra, në rast i përgjithshëm një sinjal periodik përmban një komponent konstante të pavarur nga koha dhe një grup të pafund lëkundjesh harmonike, të ashtuquajturat harmonikë me frekuenca që janë shumëfisha të frekuencës themelore të sekuencës.

Çdo harmonik mund të përshkruhet nga amplituda dhe faza fillestare.Për ta bërë këtë, koeficientët e serisë Fourier duhet të shkruhen në formën

Duke i zëvendësuar këto shprehje në (2.5), marrim një formë tjetër, ekuivalente të serisë Fourier:

e cila ndonjëherë rezulton të jetë më e përshtatshme.

Diagrami spektral i një sinjali periodik.

Kështu e quajnë imazh grafik Koeficientët e serisë Furier për një sinjal specifik. Ekzistojnë diagrame spektrale të amplitudës dhe fazës (Fig. 2.1).

Këtu, boshti horizontal paraqet frekuencat harmonike në një shkallë të caktuar, dhe boshti vertikal përfaqëson amplitudat dhe fazat e tyre fillestare.

Oriz. 2.1. Diagramet spektrale disa sinjale periodike: a - amplitudë; b - faza

Ata janë veçanërisht të interesuar për diagramin e amplitudës, i cili lejon të gjykojë përqindjen e disa harmonikëve në spektrin e një sinjali periodik.

Le të studiojmë disa shembuj specifikë.

Shembulli 2.1. Seria Furier sekuencë periodike impulse video drejtkëndëshe me parametra të njohur, madje në lidhje me pikën t = 0.

Në inxhinierinë radio, raporti quhet cikli i detyrës së sekuencës. Duke përdorur formulat (2.6) gjejmë

Është i përshtatshëm për të shkruar formulën përfundimtare të serisë Fourier në formë

Në Fig. Figura 2.2 tregon diagramet e amplitudës së sekuencës në shqyrtim në dy raste ekstreme.

Është e rëndësishme të theksohet se një sekuencë e pulseve të shkurtra, që ndjekin njëri-tjetrin mjaft rrallë, ka një përbërje të pasur spektrale.

Oriz. 2.2. Spektri i amplitudës së një sekuence periodike pulsesh video drejtkëndëshe: a - me një cikël të madh pune; b - me cikël të ulët pune

Shembulli 2.2. Seritë Furier të një sekuence periodike pulsesh të formuara sinjal harmonik lloj i kufizuar në nivel (supozohet se ).

Le të prezantojmë një parametër të veçantë - këndin e prerjes, i përcaktuar nga relacioni ku

Në përputhje me këtë, vlera është e barabartë me kohëzgjatjen e një pulsi, e shprehur në masë këndore:

Regjistrimi analitik i pulsit që gjeneron sekuencën në shqyrtim ka formën

Komponent i sekuencës konstante

Faktori i parë i amplitudës harmonike

Në mënyrë të ngjashme, amplituda e komponentëve harmonikë llogariten në

Rezultatet e marra zakonisht shkruhen si kjo:

ku funksionon i ashtuquajturi Berg:

Grafikët e disa funksioneve të Berg janë paraqitur në Fig. 2.3.

Oriz. 2.3. Grafikët e disa funksioneve të para të Bergut

Forma komplekse e serisë Fourier.

Zbërthimi spektral i një sinjali periodik mund të kryhet gjithashtu në një mënyrë disi jonike duke përdorur sistemin funksionet bazë, i përbërë nga eksponenciale me eksponentë imagjinarë:

Është e lehtë të shihet se funksionet e këtij sistemi janë periodike me një periodë ortonormale në intervalin kohor që nga

Seritë Furier të një sinjali periodik arbitrar në në këtë rast merr formën

me shanse

Zakonisht përdoret forma e mëposhtme e shënimit:

Shprehja (2.11) është një seri Furier në formë komplekse.

Spektri i sinjalit, në përputhje me formulën (2.11), përmban përbërës në gjysmëboshtin e frekuencës negative, dhe . Në serinë (2.11), termat me frekuenca pozitive dhe negative kombinohen në çifte, për shembull: dhe shumat e vektorëve ndërtohen - në drejtim të rritjes së këndit të fazës, ndërsa vektorët rrotullohen në drejtim i kundërt. Fundi i vektorit që rezulton në çdo moment të kohës përcakton vlerën aktuale të sinjalit.

Ky interpretim vizual i zbërthimit spektral të një sinjali periodik do të përdoret në paragrafin tjetër.

2.1. Spektra sinjale periodike

Një sinjal periodik (rrymë ose tension) është një lloj ndikimi kur forma e sinjalit përsëritet pas një intervali të caktuar kohor. T, e cila quhet periudha. Forma më e thjeshtë Një sinjal periodik është një sinjal harmonik ose sinusoid, i cili karakterizohet nga amplituda, periudha dhe faza fillestare. Të gjitha sinjalet e tjera do të jenë jo harmonike ose jo sinusoidale. Mund të tregohet, dhe praktika vërteton, se nëse sinjali hyrës i furnizimit me energji elektrike është periodik, atëherë të gjitha rrymat dhe tensionet e tjera në secilën degë (sinjalet e daljes) do të jenë gjithashtu periodike. Në këtë rast, format e sinjalit në degë të ndryshme do të ndryshojnë nga njëra-tjetra.

Ekziston një teknikë e përgjithshme për studimin e sinjaleve periodike jo-harmonike (ndikimet në hyrje dhe reagimet e tyre) në një qark elektrik, i cili bazohet në zgjerimin e sinjaleve në një seri Furier. Kjo teknikë konsiston në faktin se është gjithmonë e mundur të zgjidhet një seri sinjalesh harmonike (d.m.th., sinusoidale) me amplituda, frekuenca dhe faza fillestare të tilla, shuma algjebrike e ordinatave të të cilave në çdo kohë është e barabartë me ordinatën e sinjal jo sinusoidal në studim. Kështu, për shembull, tensioni u në Fig. 2.1. mund të zëvendësohet nga shuma e sforcimeve dhe , pasi në çdo moment të kohës ekziston një barazi identike: . Secili prej termave është një sinusoid, frekuenca e të cilit lidhet me periudhën T raportet e numrave të plotë.

Për shembullin në shqyrtim, kemi periudhën e harmonisë së parë që përkon me periudhën e sinjalit joharmonik.T 1 = T, dhe periudha e harmonikës së dytë është dy herë më e vogëlT 2 = T/2, d.m.th. vlerat e çastit harmonikat duhet të shkruhen në formën:

Këtu amplituda e lëkundjeve harmonike janë të barabarta me njëra-tjetrën ( ), dhe fazat fillestare janë zero.

Oriz. 2.1. Një shembull i shtimit të harmonikës së parë dhe të dytë

sinjal jo harmonik

Në inxhinierinë elektrike, një komponent harmonik periudha e të cilit është e barabartë me periudhën e një sinjali jo-harmonik quhet së pari ose bazë harmonik i sinjalit. Të gjithë komponentët e tjerë quhen komponentë më të lartë harmonikë. Një harmonik, frekuenca e të cilit është k herë më e madhe se harmoniku i parë (dhe periudha, në përputhje me rrethanat, k herë më pak) quhet

k - th harmonik. Dallohet edhe vlera mesatare e funksionit gjatë periudhës, e cila quhet i pavlefshëm harmonike. Në përgjithësi, seria Fourier shkruhet si një shumë numër i pafund komponentët harmonikë të frekuencave të ndryshme:

ku k është numri harmonik; - frekuenca këndore e kth harmonikës;

ω 1 = ω =2 π / T- frekuenca këndore e harmonikës së parë; - harmonike zero.

Për sinjalet e formave që shfaqen shpesh, zgjerimi i serisë Fourier mund të gjendet në literaturën e specializuar. Tabela 2 tregon zbërthimet për tetë forma valore periodike. Duhet të theksohet se zgjerimet e dhëna në tabelën 2 do të ndodhin nëse origjina e sistemit të koordinatave zgjidhet siç tregohet në figurat në të majtë; kur ndryshon fillimin e kohës t fazat fillestare të harmonikave do të ndryshojnë, por amplituda e harmonikës do të mbetet e njëjtë. Në varësi të llojit të sinjalit që studiohet, V duhet të kuptohet ose si një vlerë e matur në volt, nëse është një sinjal tensioni, ose një vlerë e matur në amper, nëse është një sinjal aktual.

Zgjerimi i serisë Furier të funksioneve periodike

tabela 2

Sinjalet 7 dhe 8 gjenerohen nga një sinusoid nga qarqet që përdorin elementë valvulash.

Bashkësia e komponentëve harmonikë që formojnë një sinjal josinusoidal quhet spektri i këtij sinjali joharmonik. Nga ky grup harmonike, ato veçohen dhe dallohen amplituda Dhe faza varg. Spektri i amplitudës është grupi i amplitudave të të gjitha harmonikave, i cili zakonisht përfaqësohet nga një diagram në formën e një grupi vijash vertikale, gjatësitë e të cilave janë proporcionale (në një shkallë të zgjedhur) me vlerat e amplitudës së harmonikës. komponentët, dhe vendi në boshtin horizontal përcaktohet nga frekuenca (numri harmonik) i këtij komponenti. Në mënyrë të ngjashme, spektrat e fazës konsiderohen si një grup fazat fillestare të gjitha harmonikët; ato tregohen gjithashtu në shkallë si një grup vijash vertikale.

Duhet të theksohet se fazat fillestare në inxhinierinë elektrike zakonisht maten në intervalin nga –180 0 deri në +180 0. Spektrat që përbëhen nga vija individuale quhen lineare ose diskrete. Vijat spektrale janë në një distancë f nga njëri-tjetri, ku f- intervali i frekuencës, e barabartë me frekuencën së pari harmonike f. Kështu, spektra diskrete sinjalet periodike kanë komponentë spektralë me frekuenca të shumta - f, 2f, 3f, 4f, 5f etj.

Shembulli 2.1. Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës për një sinjal drejtkëndor kur kohëzgjatja e sinjaleve pozitive dhe negative janë të barabarta dhe vlera mesatare e funksionit gjatë periudhës është zero

Për sinjalet e formave të thjeshta, të përdorura shpesh, këshillohet të gjeni një zgjidhje duke përdorur tabela.

Oriz. 2.2. Spektri i amplitudës së linjës së një sinjali drejtkëndor

Nga zgjerimi i serisë Furier të një sinjali drejtkëndor (shih tabelën 2 - 1) rezulton se seria harmonike përmban vetëm harmonikë tek, ndërsa amplituda e harmonikëve zvogëlohet në raport me numrin harmonik. Spektri i vijës së amplitudës së harmonikëve është paraqitur në Fig. 2.2. Gjatë ndërtimit, supozohet se amplituda e harmonikut të parë (tensioni këtu) është e barabartë me një volt: B; atëherë amplituda e harmonikës së tretë do të jetë e barabartë me B, e pestës - B, etj. Fazat fillestare të të gjitha harmonikave të sinjalit janë të barabarta me zero, prandaj, spektri fazor ka vetëm vlera zero ordinate.

Problemi është zgjidhur.

Shembulli 2.2.Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës për një tension që ndryshon sipas ligjit: në - T/4<t<T/4; u(t) = 0 në T/4<t<3/4T. Një sinjal i tillë gjenerohet nga një sinusoid duke eliminuar (me anë të qarkut duke përdorur elementë të valvulës) pjesën negative të sinjalit harmonik.

a)b)

Oriz. 2.3. Spektri i linjës së një sinjali korrigjues gjysmëvalë: a) amplituda; b) faza

Për një sinjal korrigjues gjysmëvalë të tensionit sinusoidal (shih tabelat 2 - 8), seria Fourier përmban një komponent konstant (zero harmonik), harmoninë e parë dhe më pas një grup vetëm harmonikësh çift, amplituda e të cilave zvogëlohet shpejt me rritja e numrit harmonik. Nëse, për shembull, vendosim vlerën V = 100 V, atëherë duke shumëzuar çdo term me faktorin e përbashkët 2V/π, gjejmë(2.2)

Amplituda dhe spektri fazor i këtij sinjali janë paraqitur në Fig. 2.3a, b.

Problemi është zgjidhur.

Në përputhje me teorinë e serisë Furier, barazia e saktë e një sinjali jo-harmonik me shumën e harmonikëve ndodh vetëm për një numër pafundësisht të madh harmonike. Llogaritja e komponentëve harmonikë në një kompjuter ju lejon të analizoni çdo numër harmonike, i cili përcaktohet nga qëllimi i llogaritjes, saktësia dhe forma e efektit jo-harmonik. Nëse kohëzgjatja e sinjalitt pavarësisht nga forma e saj, shumë më pak se periudha T, atëherë amplituda e harmonikave do të ulen ngadalë dhe për një përshkrim më të plotë të sinjalit është e nevojshme të merret parasysh një numër i madh i termave të serisë. Kjo veçori mund të gjurmohet për sinjalet e paraqitura në tabelën 2 - 5 dhe 6, nëse kushti plotësohet τ <<T. Nëse një sinjal jo-harmonik është afër formës me një sinusoid (për shembull, sinjalet 2 dhe 3 në tabelën 2), atëherë harmonikët zvogëlohen shpejt dhe për një përshkrim të saktë të sinjalit mjafton të kufizojmë veten në tre deri në pesë. harmonike të serisë.

Ku, - frekuenca e harmonikës themelore, ;

() – harmonika më të larta; (duke përfshirë ) dhe janë koeficientët Fourier.

Është i përshtatshëm për të llogaritur komponentin konstant (vlerën mesatare) të funksionit duke përdorur një shprehje të veçantë të marrë nga:

Natyrisht, nëse sinjali është një funksion i barabartë i kohës, atëherë në paraqitjen trigonometrike të serisë Fourier (1.14) mbeten vetëm komponentët kosinus, pasi koeficientët shkojnë në zero. Për një sinjal të përcaktuar nga një funksion tek i kohës, përkundrazi, koeficientët kthehen në zero, dhe seria përmban përbërës sinusoidalë

Shpesh është e përshtatshme të përfaqësohet shprehja (1.15) në një formë tjetër, ekuivalente të serisë Fourier:

ku është amplituda, - faza fillestare - oh harmonika.

Në Fig. Figura 1.10 tregon grafikët që ilustrojnë paraqitjen e një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe me një numër të kufizuar termash () të serisë Fourier.

Për funksionin (Fig. 1.10), zgjerimi ka formën

Një sekuencë periodike e pulseve drejtkëndore përfaqësohet si rezultat i shtimit të një komponenti konstant dhe sinjaleve sinusoidale me frekuenca, dhe periudha e sinusoidit me frekuencë përkon me periudhën e sekuencës së pulsit. Për lehtësi, mund të përfaqësohet në formën .

Bashkësia e të gjithë përbërësve harmonikë të zgjerimit të serisë Furier të një funksioni quhet spektri i funksionit.

Prania e përbërësve individualë harmonikë të spektrit dhe madhësia e amplitudave mund të tregohet qartë duke përdorur një diagram spektral (Fig. 1.11), në të cilin boshti horizontal shërben si bosht i frekuencës dhe boshti vertikal si bosht amplitudë.

Pikat në boshtin e frekuencës shfaqin amplitudat e komponentëve harmonikë përkatës të zgjerimit të funksionit.

Është e lehtë të vërehet se grafiku i shumës së dy termave të parë të zgjerimit (1.16) riprodhon formën e grafikut të funksionit shumë përafërsisht, vetëm në tiparet e tij kryesore. Marrja parasysh e termit të tretë përmirëson ndjeshëm përputhjen e shumës me funksionin. Kështu, me një rritje të numrit të harmonikave të marra parasysh, saktësia e paraqitjes rritet.

Në praktikë, diagramet spektrale quhen më shkurt - spektri amplitudë, spektri fazor. Më shpesh njerëzit janë të interesuar për spektrin e amplitudës (Fig. 1.11). Mund të përdoret për të vlerësuar përqindjen e harmonikave, praninë dhe nivelet e përbërësve individualë harmonikë të spektrit.

Shembulli 1.1. Le të zgjerojmë në një seri Fourier një sekuencë periodike të pulseve video drejtkëndore me parametra të njohur (, , ) (Fig. 1.12), madje edhe në lidhje me pikën:

.

Për të paraqitur këtë sinjal, ne do të përdorim formën e serisë Fourier në formën (1.12). Për paraqitjen spektrale të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe, këshillohet të merret pika e referencës në mes të pulsit. Në të vërtetë, në këtë rast, vetëm komponentët kosinus do të mbeten në zgjerim, pasi integralet e funksioneve tek gjatë një periudhe janë të barabartë me zero bk=0.

Duke përdorur formulat (1.14) gjejmë koeficientët:

, ,

duke na lejuar të shkruajmë serinë Fourier:

,

ku është cikli i detyrës së sekuencës së pulsit.

Për të ndërtuar diagrame spektrale për të dhëna numerike specifike, supozojmë dhe llogarisim koeficientët harmonikë. Rezultatet e llogaritjes së tetë komponentëve të parë të spektrit në , , dhe 8 janë përmbledhur në Tabelën. 1.1 dhe diagramet spektrale të ndërtuara në Fig. 1.13.

Tabela 1.1. Amplituda e komponentëve spektralë për një sekuencë periodike të pulseve drejtkëndore

Nga shembulli i mësipërm rezulton se me rritjen e ciklit të punës, numri i komponentëve spektralë rritet dhe amplituda e tyre zvogëlohet.

Zgjedhja e numrit të komponentëve spektralë varet nga forma e sinjalit dhe saktësia e paraqitjes së tij nga seria Fourier. Një ndryshim i qetë në formën e valës do të kërkojë më pak harmonikë për të njëjtën saktësi paraqitjeje sesa një formë valore e papritur. Për një paraqitje të përafërt të pulseve drejtkëndore, në praktikë zakonisht konsiderohet se mjaftojnë tre deri në pesë harmonikë.

A) Sekuenca drejtkëndore e pulsit .

Figura 2. Sekuenca e pulseve drejtkëndore.

Ky sinjal është një funksion i barabartë dhe është i përshtatshëm për t'u përdorur forma sinus-kosinus Seria Fourier:

. (17)

Kohëzgjatja e pulseve dhe periudha e përsëritjes së tyre përfshihen në formulën që rezulton në formën e një raporti, i cili quhet cikli i detyrës së sekuencës së pulsit :.

. (18)

Vlera e termit konstant të serisë, duke marrë parasysh korrespondon:

.

Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe në formën e një serie Furier ka formën:

. (19)

Grafiku i funksionit ka një model lobi. Boshti horizontal është i graduar në numra dhe frekuenca harmonike.

Fig 3. Paraqitja e një sekuence pulsesh drejtkëndëshe

në formën e një serie Furier.

Gjerësia e petalit, e matur në numrin e harmonikave, është e barabartë me ciklin e punës (në , kemi , nëse ). Kjo nënkupton një veti të rëndësishme të spektrit të një sekuence pulsesh drejtkëndëshe - në të nuk ka harmonikë me numra që janë shumëfish të ciklit të detyrës . Distanca e frekuencës ndërmjet harmonikave ngjitur është e barabartë me frekuencën e përsëritjes së pulsit. Gjerësia e lobeve, e matur në njësi të frekuencës, është e barabartë me, d.m.th. është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohëzgjatjen e sinjalit. Mund të konkludojmë: sa më i shkurtër të jetë pulsi, aq më i gjerë është spektri .

b) Sinjali i rampës .

Fig 4. Vala e rampës.

Një sinjal i dhëmbit sharrë brenda një periudhe përshkruhet nga një funksion linear

, . (20)

Ky sinjal është një funksion tek, prandaj seria e tij Fourier në formën sinus-kosinus përmban vetëm përbërës sinus:

Seria Fourier e sinjalit të sharrës ka formën:

Për spektrat e sinjaleve drejtkëndëshe dhe të sharrës, është karakteristikë që amplituda e harmonikëve me numra në rritje ulet proporcionalisht .

V) Sekuenca trekëndore e pulsit .

Seria Fourier ka formën:

Figura 5. Sekuenca e pulseve trekëndore.

Siç mund ta shohim, në kontrast me një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe dhe sharrë, për një sinjal periodik trekëndor, amplituda e harmonikëve zvogëlohet në përpjesëtim me fuqinë e dytë të numrave harmonikë. Kjo për faktin se shkalla e zbërthimit të spektrit varet nga shkalla e butësisë së sinjalit.

Leksioni nr.3. Transformimi Furier.

Vetitë e transformimit të Furierit.

Sinjalet periodike mund të zgjerohen në një seri Fourier. Për më tepër, ato paraqiten si një shumë e funksioneve harmonike, ose eksponenciale komplekse me frekuenca që formojnë një progresion aritmetik. Në mënyrë që të ekzistojë një dekompozim i tillë, një fragment sinjali që zgjat një periudhë duhet të plotësojë kushtet e Dirichlet:

1. Nuk duhet të ketë ndërprerje të llojit të dytë (me degët e funksionit që shkojnë në pafundësi).

2. Numri i ndërprerjeve të llojit të parë (kërcimeve) duhet të jetë i fundëm.

Numri i ekstremeve duhet të jetë i kufizuar.

Seria Fourier mund të përdoret për të përfaqësuar jo vetëm sinjale periodike, por edhe sinjale me kohëzgjatje të kufizuar. Në këtë rast, specifikohet një interval kohor për të cilin ndërtohet seria Fourier, dhe në raste të tjera sinjali konsiderohet i barabartë me zero. Për të llogaritur koeficientët e një serie, kjo qasje në të vërtetë nënkupton vazhdimin periodik të sinjalit përtej kufijve të intervalit të konsideruar.

Metodat Furier përdoren për të analizuar qarqet ose sistemet lineare: për të parashikuar reaksionin (përgjigjen) e sistemit; për të përcaktuar funksionin e transferimit; për të vlerësuar rezultatet e testit.

Një sinjal periodik arbitrar shprehet përmes një numri të pafund harmonish me frekuenca në rritje:

Periudha e funksionit
duhet të barabartë 2π ose një shumëfish i vlerës; për më tepër funksion
duhet të jenë të paqarta Seria Fourier mund të konsiderohet si një “recetë për përgatitjen” e çdo sinjali periodik nga komponentët sinusoidalë. Që kjo seri të ketë rëndësi praktike, duhet të konvergojë, d.m.th. shumat e pjesshme të një serie duhet të kenë një limit.

Procesi i krijimit të një sinjali periodik arbitrar nga koeficientët që përshkruajnë përzierjen e harmonikëve quhet sintezë. Procesi i kundërt i llogaritjes së koeficientëve quhet analizë. Llogaritja e koeficientëve bëhet më e lehtë nga fakti se mesatarja e produkteve kryq të valës sinus dhe kosinusit (dhe anasjelltas) është e barabartë me 0.

Le të prezantojmë një bazë në hapësirën e Hilbertit:
Për thjeshtësi, do të supozojmë se është ortonormale.

Pastaj çdo funksion
nga Hilberti hapësira mund të paraqitet përmes projeksioneve vektoriale X në boshtin bazë nga një seri e përgjithësuar Furier:

Seritë Furier janë veçanërisht të dobishme në përshkrimin e sinjaleve periodike arbitrare me energji të fundme në çdo periudhë. Për më tepër, ato mund të përdoren për të përshkruar sinjale jo periodike që kanë energji të fundme në një interval të fundëm. Në praktikë, integrali Fourier përdoret për të përshkruar sinjale të tilla.

konkluzionet

1. Seria Fourier përdoret gjerësisht për të përshkruar sinjalet periodike. Integrali Fourier përdoret për të përshkruar sinjalet jo periodike.

konkluzioni

1. Mesazhet, sinjalet dhe zhurma si vektorë (pika) në hapësirën lineare mund të përshkruhen përmes një grupi koordinatash në një bazë të caktuar.

2. Për termocentralet, hapësira euklidiane n-dimensionale është me interes më të madh kur shfaq sinjale
, hapësira e pafund Hilbert
dhe hapësirë ​​diskrete Hamming 2 n. Në këto hapësira prezantohet koncepti i produktit skalar të dy vektorëve (x, y) .

3. Çdo funksion i vazhdueshëm i kohës si element mund të përfaqësohet nga një seri e përgjithësuar e Furierit mbi një bazë të caktuar ortonormale.

Letërsia

Kryesor:

Teoria e komunikimit elektrik: Libër mësuesi. Për universitetet / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Korzhik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovsky. – M.: Radio dhe komunikime, 1998. – 433 f.

Shtesë:

Prokis J. Komunikimi dixhital: Trans. nga anglishtja / Ed. D.D. Klovsky. – M.: Radio dhe komunikime, 2000. – 800 f.

Bernard Sklar. Komunikimi dixhital. Bazat teorike dhe zbatimi praktik: Trans. nga anglishtja – M.: Shtëpia Botuese Williams, 2003. – 1104 f.

Sukhorukov A.S. Teoria e komunikimit elektrik: Shënime leksioni. Pjesa 1. – M.: MTUSI, QENDRA DO, 2002. – 65 f.

Sukhorukov A.S. Teoria e komunikimeve dixhitale: Libër mësuesi. Pjesa 2. – M.: MTUSI, 2008. – 53 f.