Vetitë spektrale dhe të korrelacionit të sinjalit. Shënime leksioni: Korrelacion, autokorrelacion, ndërlidhje

17.06.2019 Këshilla

Sinjalet dhe sistemet lineare. Korrelacioni i sinjaleve

Tema 6. Korrelacioni i sinjaleve

Frika më e madhe dhe entuziazmi më i madh i guximit po shqetësojnë barkun dhe shkaktojnë diarre.

Michel Montaigne. Mendimtari ligjor francez, shekulli i 16-të

Ky është numri! Të dy funksionet janë 100% të ndërlidhura me të tretën dhe janë ortogonale me njëri-tjetrin. Epo, i Plotfuqishmi kishte shaka me krijimin e Botës.

Anatoli Pyshmintsev. Gjeofizikani Novosibirsk i shkollës Ural, shekulli XX

1. Funksionet e autokorrelacionit të sinjaleve. Koncepti i funksioneve të autokorrelacionit (ACF). Sinjalet ACF të kufizuara në kohë. ACF e sinjaleve periodike. Funksionet e autokovariancës (ACF). ACF e sinjaleve diskrete. ACF e sinjaleve të zhurmshme. ACF e sinjaleve të kodit.

2. Funksionet e ndërlidhjes së sinjaleve (CCF). Funksioni i ndërlidhjes (CCF). Ndërlidhja e sinjaleve me zhurmë. CCF e sinjaleve diskrete Vlerësimi i sinjaleve periodike në zhurmë. Funksioni i koeficientit të korrelacionit të kryqëzuar.

3. Dendësitë spektrale të funksioneve të korrelacionit. Dendësia spektrale ACF. Intervali i korrelacionit të sinjalit. Dendësia spektrale e CCF. Llogaritja e funksioneve të korrelacionit duke përdorur FFT.

Prezantimi

Korrelacioni (korrelacioni), dhe rasti i tij i veçantë për sinjalet e përqendruara - kovarianca, është një metodë e analizës së sinjalit. Këtu është një nga opsionet për përdorimin e metodës. Le të supozojmë se ekziston një sinjal s (t), në të cilin mund të ketë (ose nuk mund të ketë) një sekuencë x (t) me gjatësi të kufizuar T, pozicioni kohor i së cilës ne jemi të interesuar. Për të kërkuar këtë sekuencë në një dritare kohore me gjatësi T që rrëshqet përgjatë sinjalit s (t), llogariten produktet skalare të sinjaleve s (t) dhe x (t). Kështu, ne "aplikojmë" sinjalin e dëshiruar x (t) në sinjalin s (t), duke rrëshqitur përgjatë argumentit të tij, dhe me vlerën e produktit me pika vlerësojmë shkallën e ngjashmërisë së sinjaleve në pikat e krahasimit.

Analiza e korrelacionit bën të mundur vendosjen në sinjale (ose në serinë e të dhënave të sinjalit dixhital) praninë e një marrëdhënieje të caktuar midis ndryshimeve në vlerat e sinjaleve në variablin e pavarur, domethënë kur vlera të mëdha të një sinjali (në lidhje me vlerat mesatare të sinjalit) shoqërohen me vlera të mëdha të një sinjali tjetër (korrelacion pozitiv), ose, anasjelltas, vlerat e vogla të njërit sinjal shoqërohen me vlera të mëdha të tjetrit ( korrelacion negativ), ose të dhënat e dy sinjaleve nuk janë të lidhura në asnjë mënyrë (korrelacion zero).

Në hapësirën funksionale të sinjaleve, kjo shkallë e bashkimit mund të shprehet në njësi të normalizuara të koeficientit të korrelacionit, d.m.th. në kosinusin e këndit midis vektorëve të sinjaleve, dhe, në përputhje me rrethanat, do të marrë vlera nga 1 (koincidencë e plotë e sinjaleve) në -1 (plotësisht e kundërta) dhe nuk varet nga vlera (shkalla) e njësive matëse .

Në variantin e autokorrelacionit, produkti skalar i sinjalit s (t) me kopjen e tij që rrëshqet përgjatë argumentit përcaktohet duke përdorur një teknikë të ngjashme. Autokorrelacioni bën të mundur vlerësimin e varësisë mesatare statistikore të leximeve të sinjalit aktual nga vlerat e tij të mëparshme dhe të mëvonshme (e ashtuquajtura rrezja e korrelacionit të vlerave të sinjalit), si dhe zbulimi i pranisë së elementeve që përsëriten periodikisht në sinjal.

Metodat e korrelacionit kanë një rëndësi të veçantë në analizën e proceseve të rastësishme për të identifikuar komponentët jo të rastësishëm dhe për të vlerësuar parametrat jo të rastësishëm të këtyre proceseve.

Vini re se ka një konfuzion për sa i përket "korrelacionit" dhe "kovariancës". Në literaturën matematikore, termi "kovariancë" përdoret për funksionet e përqendruara dhe "korrelacioni" përdoret për funksionet arbitrare. Në literaturën teknike, dhe veçanërisht në literaturën për sinjalet dhe metodat e përpunimit të tyre, shpesh përdoret terminologjia krejtësisht e kundërt. Kjo nuk ka rëndësi thelbësore, por kur njiheni me burimet letrare, duhet t'i kushtoni vëmendje qëllimit të pranuar të këtyre termave.

2.6. Analiza korrelacion-spektrale e sinjaleve deterministe. Qarqet dhe sinjalet inxhinierike radio. Pjesa I

2.6. Analiza korrelacion-spektrale e sinjaleve deterministe

Në shumë probleme të inxhinierisë radio, shpesh është e nevojshme të krahasohet një sinjal dhe kopja e tij, e zhvendosur për ca kohë. Në veçanti, kjo situatë ndodh në radar, ku pulsi i reflektuar nga objektivi arrin në hyrjen e marrësit me një vonesë kohore. Krahasimi i këtyre sinjaleve me njëri-tjetrin, d.m.th. vendosja e marrëdhënies së tyre, gjatë përpunimit, ju lejon të përcaktoni parametrat e lëvizjes së objektivit.

Për të përcaktuar sasinë e marrëdhënies midis sinjalit dhe kopjes së tij të zhvendosur në kohë, paraqitet një karakteristikë

, (2.57)

Që quhet funksioni i autokorrelacionit(ACF).

Për të sqaruar kuptimin fizik të ACF, le të japim një shembull, ku një puls drejtkëndor i kohëzgjatjes dhe amplitudës vepron si sinjal. Në fig. 2.9 përshkruan një impuls, kopjen e tij, të zhvendosur nga një interval kohor dhe produkt ... Natyrisht, integrimi i produktit jep vlerën e zonës së impulsit, që është produkti ... Kur fiksohet, kjo vlerë mund të përfaqësohet si një pikë në koordinata. Kur ndryshohet, marrim një grafik të funksionit të autokorrelacionit.

Le të gjejmë një shprehje analitike. Sepse

më pas duke e zëvendësuar këtë shprehje në (2.57), marrim

. (2.58)

Nëse sinjali zhvendoset në të majtë, atëherë me llogaritje analoge është e lehtë të tregohet kjo

. (2.59)

Pastaj duke kombinuar (2.58) dhe (2.59), marrim

. (2.60)

Nga ky shembull, konkluzionet e mëposhtme të rëndësishme mund të nxirren për format e valëve arbitrare:

1. Funksioni i autokorrelacionit të një sinjali jo periodik zvogëlohet me rritjen (jo domosdoshmërisht në mënyrë monotone për llojet e tjera të sinjaleve). Natyrisht, në ACF gjithashtu priren në zero.

2. ACF arrin vlerën e tij maksimale në. Në këtë rast, është e barabartë me energjinë e sinjalit. Kështu, ACF është energji karakteristikë e sinjalit. Siç do të prisnit, kur sinjali dhe kopja e tij janë plotësisht të ndërlidhura (të ndërlidhura).

3. Krahasimi i (2.58) dhe (2.59) nënkupton që ACF është madje funksion argument, d.m.th.

Një karakteristikë e rëndësishme e sinjalit është intervali i korrelacionit... Intervali i korrelacionit kuptohet si një interval kohor në një zhvendosje me të cilën sinjali dhe kopja e tij bëhen të pakorreluara.

Matematikisht, intervali i korrelacionit përcaktohet nga shprehja e mëposhtme

ose pasi është një funksion çift

. (2.61)

Në fig. 2.10 tregon ACF-në e një forme vale arbitrare. Nëse ndërtoni një drejtkëndësh të barabartë në sipërfaqe me zonën nën kurbë në vlera pozitive (dega e djathtë e kurbës), njëra anë e së cilës është e barabartë, atëherë ana tjetër do të përputhet.

Le të gjejmë intervalin e korrelacionit për një impuls drejtkëndor. Duke zëvendësuar (2.58) në (2.60) pas transformimeve të thjeshta, marrim:

që rrjedh nga Fig. 2.9.

Në analogji me funksionin e autokorrelacionit, vlerësohet shkalla e marrëdhënies midis dy sinjaleve dhe funksioni i ndërlidhjes(VKF)

. (2.62)

Le të gjejmë funksionin e ndërsjellë të korrelacionit të dy sinjaleve: një impuls drejtkëndor me amplitudë dhe kohëzgjatje

dhe një puls trekëndor me të njëjtën amplitudë dhe kohëzgjatje

Duke përdorur (2.61) dhe duke llogaritur integralet veçmas për dhe, marrim:

Ndërtimet grafike që ilustrojnë llogaritjet e CCF janë paraqitur në Fig. 2.11

Këtu, vijat me pika tregojnë pozicionin fillestar (at) të pulsit trekëndor.

Në shprehja (2.61) shndërrohet në (2.57). Prandaj, rrjedh se ACF është një rast i veçantë i CCF për sinjale krejtësisht të përputhshme.

Le të vëmë re vetitë kryesore të CCF.

1. Ashtu si funksioni i autokorrelacionit, CCF është një funksion zbritës i argumentit. Në CCF, priren në zero.

2. Vlerat e funksionit të ndërlidhjes në mënyrë arbitrare përfaqësojnë vlerat energji reciproke(energjia e ndërveprimit) sinjalet dhe.

3. Në, funksioni i ndërlidhjes (në ndryshim nga funksioni i autokorrelacionit) nuk arrin gjithmonë maksimumin e tij.

4. Nëse sinjalet dhe përshkruhen nga funksionet çift të kohës, atëherë CCF është gjithashtu i barabartë. Nëse të paktën një nga sinjalet përshkruhet nga një funksion tek, atëherë CCF është gjithashtu tek. Deklarata e parë është e lehtë për t'u vërtetuar nëse llogarisim CCF-në e dy pulseve drejtkëndëshe me polaritet të kundërt

dhe

Funksioni i ndërlidhjes së sinjaleve të tilla

, (2.63)

është një funksion çift i argumentit.

Sa i përket pohimit të dytë, shembulli i konsideruar i llogaritjes së TCF të impulseve drejtkëndëshe dhe trekëndore e vërteton atë.

Në disa probleme të aplikuara, inxhinierët e radios përdorin ACF të normalizuar

, (2.64)

dhe CCF e normalizuar

, (2.65)

ku dhe janë energjitë e brendshme të sinjaleve dhe. Në vlerën e CCF të normalizuar quhen koeficienti i ndërlidhjes... Nëse , pastaj koeficienti i ndërlidhjes

Natyrisht, vlerat janë në rangun nga -1 në +1. Nëse krahasojmë (2.65) me (1.32), atëherë mund të sigurohemi që koeficienti i ndërlidhjes korrespondon me vlerën e kosinusit të këndit ndërmjet vektorëve dhe në paraqitjen gjeometrike të sinjaleve.

Le të llogarisim koeficientin e ndërlidhjes për shembujt e diskutuar më sipër. Meqenëse energjia e sinjalit të një impulsi drejtkëndor është

dhe impulsi trekëndor

atëherë koeficienti i ndërlidhjes në përputhje me (2.62) dhe (2.65) do të jetë i barabartë. Sa për shembullin e dytë, për dy impulse drejtkëndëshe me të njëjtën amplitudë dhe kohëzgjatje, por polaritet të kundërt.

Eksperimentalisht, ACF dhe CCF mund të merren duke përdorur një pajisje, diagrami strukturor i së cilës është paraqitur në Fig. 2.12

Kur hiqet ACF, një sinjal dërgohet në njërën nga hyrjet e shumëzuesit dhe i njëjti sinjal dërgohet në tjetrin, por me vonesë për një kohë. Sinjali proporcional me produktin , i nënshtrohet operacionit të integrimit. Në daljen e integratorit, gjenerohet një tension që është proporcional me vlerën e ACF në një vlerë fikse. Duke ndryshuar kohën e vonesës, mund të ndërtoni ACF-në e sinjalit.

Për ndërtimin eksperimental të CCF, sinjali futet në një nga hyrjet e shumëzuesit, dhe sinjali futet në pajisjen e vonesës (qarqet hyrëse tregohen me vija të ndërprera). Përndryshe, pajisja funksionon në mënyrë të ngjashme. Vini re se pajisja e përshkruar quhet korrelator dhe përdoret gjerësisht në sisteme të ndryshme radio-inxhinierike për marrjen dhe përpunimin e sinjaleve.

Deri më tani, ne kemi kryer një analizë korrelacioni të sinjaleve jo periodike me energji të fundme. Në të njëjtën kohë, nevoja për një analizë të tillë shpesh lind për sinjale periodike, të cilat teorikisht kanë energji të pafundme, por një fuqi mesatare të fundme. Në këtë rast, ACF dhe CCF llogariten me mesataren e periudhës dhe kanë kuptimin e fuqisë mesatare (përkatësisht të brendshme ose të ndërsjellë). Kështu, ACF e një sinjali periodik:

, (2.66)

dhe funksioni i ndërlidhjes së dy sinjaleve periodike me periudha të shumta:

, (2.67)

ku është vlera më e madhe e periudhës.

Gjeni funksionin e autokorrelacionit të sinjalit harmonik

ku është frekuenca këndore, është faza fillestare.

Zëvendësimi i kësaj shprehjeje në (2.66) dhe llogaritja e integralit duke përdorur relacionin e njohur trigonometrik:

Nga shembulli i konsideruar, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme, të cilat janë të vlefshme për çdo sinjal periodik.

1. ACF e një sinjali periodik është një funksion periodik me të njëjtën periudhë.

2. ACF e një sinjali periodik është një funksion çift i argumentit.

3. Kur vlera është fuqia mesatare, e cila lirohet me rezistencën 1 Ohm dhe ka një rregullsi.

4. ACF e një sinjali periodik nuk përmban informacion për fazën fillestare të sinjalit.

Duhet të theksohet gjithashtu se intervali i korrelacionit të sinjalit periodik.

Tani le të llogarisim funksionin e ndërlidhjes së dy sinjaleve harmonikë të së njëjtës frekuencë, por të ndryshme në amplituda dhe faza fillestare

dhe .

Në fazat e hershme të zhvillimit të inxhinierisë radio, çështja e zgjedhjes së sinjaleve më të mira për disa aplikacione specifike nuk ishte shumë akute. Kjo ishte për shkak, nga njëra anë, për strukturën relativisht të thjeshtë të mesazheve të transmetuara (mesazhe telegrafike, transmetim radio); nga ana tjetër, zbatimi praktik i sinjaleve të formës komplekse në kombinim me pajisje për kodimin, modulimin dhe shndërrimin e kundërt të tyre në mesazh rezultoi i vështirë për t'u zbatuar.

Aktualisht, situata ka ndryshuar rrënjësisht. Në komplekset moderne radio-elektronike, zgjedhja e sinjaleve diktohet kryesisht jo nga komoditeti teknik i gjenerimit, konvertimit dhe marrjes së tyre, por nga mundësia e zgjidhjes optimale të problemeve të parashikuara në hartimin e sistemit. Për të kuptuar se si lind nevoja për sinjale me veti të zgjedhura posaçërisht, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Krahasimi i sinjaleve të zhvendosura në kohë.

Le të kthehemi te ideja e thjeshtuar e funksionimit të një radari pulsues të krijuar për të matur diapazonin për të kënduar. Këtu informacioni në lidhje me objektin e matjes përfshihet në vlerë - vonesa kohore midis sinjaleve të provës dhe të marra. Format e sondës dhe sinjalet e marra dhe janë të njëjta në çdo vonesë.

Diagrami bllok i një pajisjeje përpunimi të sinjalit radar të destinuar për matjen e diapazonit mund të duket siç tregohet në Fig. 3.3.

Sistemi përbëhet nga një grup elementësh që vonojnë sinjalin e transmetuar "referencë" për disa intervale kohore fikse.

Oriz. 3.3. Pajisja matëse e kohës së vonesës së sinjalit

Sinjalet e vonuara, së bashku me sinjalin e marrë, futen në pajisjet e krahasimit, duke funksionuar në përputhje me parimin: sinjali i daljes shfaqet vetëm nëse të dy lëkundjet e hyrjes janë "kopje" të njëra-tjetrës. Duke ditur numrin e kanalit në të cilin ndodh ngjarja e specifikuar, është e mundur të matet vonesa, dhe si rrjedhim diapazoni deri në objektiv.

Një pajisje e tillë do të funksionojë sa më saktë, aq më shumë sinjali dhe "kopja" e tij, e zhvendosur në kohë, ndryshojnë nga njëri-tjetri.

Kjo na jep një "ide të mirë se cilat sinjale janë të mira" për një aplikacion të caktuar.

Le të kalojmë në formulimin e saktë matematikor të problemit të shtruar dhe të tregojmë se ky varg çështjesh lidhet drejtpërdrejt me teorinë e spektrave energjetik të sinjaleve.

Funksioni i autokorrelacionit të sinjalit.

Për të përcaktuar shkallën e ndryshimit midis sinjalit dhe kopjes së tij të zhvendosur në kohë, është zakon të prezantohet funksioni i autokorrelacionit (ACF) i sinjalit, i cili është i barabartë me produktin skalar të sinjalit dhe kopjes:

Në vijim, do të supozojmë se sinjali në studim ka një karakter impulsiv të lokalizuar në kohë, kështu që sigurisht ekziston një integral i formës (3.15).

Shihet drejtpërdrejt se në, funksioni i autokorrelacionit bëhet i barabartë me energjinë e sinjalit:

Një nga vetitë më të thjeshta të një ACF është barazia e tij:

Në të vërtetë, nëse bëjmë një ndryshim të ndryshoreve në integralin (3.15), atëherë

Së fundi, një veti e rëndësishme e funksionit të autokorrelacionit është si më poshtë: për çdo vlerë të ndërrimit të kohës, moduli i ACF nuk e kalon energjinë e sinjalit:

Ky fakt rrjedh drejtpërdrejt nga pabarazia Cauchy - Bunyakovsky (shih Kapitullin 1):

Pra, ACF duket të jetë një kurbë simetrike me një maksimum qendror, i cili është gjithmonë pozitiv. Në këtë rast, në varësi të llojit të sinjalit, funksioni i autokorrelacionit mund të ketë karakter monotonik në rënie dhe luhatje.

Shembulli 3.3. Gjeni ACF-në e një pulsi video drejtkëndëshe.

Në fig. 3.4, a tregon një puls video drejtkëndëshe me amplitudë U dhe kohëzgjatje. Këtu është edhe "kopja" e tij, e zhvendosur në kohë në drejtim të vonesës me. Integrali (3.15) llogaritet në këtë rast në mënyrë elementare në bazë të një konstruksioni grafik. Në të vërtetë, prodhimi i dhe dhe është jo zero vetëm brenda intervalit kohor kur vërehet mbivendosje e sinjaleve. Nga fig. 3.4, mund të shihet se ky interval kohor është i barabartë nëse zhvendosja nuk e kalon kohëzgjatjen e pulsit. Kështu, për sinjalin e konsideruar

Grafiku i një funksioni të tillë është një trekëndësh i paraqitur në Fig. 3.4, b. Gjerësia e bazës së trekëndëshit është dyfishi i gjerësisë së pulsit.

Oriz. 3.4. Gjetja e ACF-së së një pulsi video drejtkëndëshe

Shembulli 3.4. Gjeni ACF-në e një pulsi radio drejtkëndor.

Ne do të shqyrtojmë një sinjal radio të formës

Duke ditur paraprakisht se ACF është çift, ne llogarisim integralin (3.15) duke vendosur. ku

prej nga arrijmë lehtësisht

Natyrisht, në, vlera bëhet e barabartë me energjinë e këtij pulsi (shih Shembullin 1.9). Formula (3.21) përshkruan ACF-në e një pulsi radio drejtkëndor për të gjitha ndërrimet që shtrihen brenda kufijve Nëse vlera absolute e zhvendosjes tejkalon kohëzgjatjen e pulsit, atëherë funksioni i autokorrelacionit do të zhduket në mënyrë identike.

Shembulli 3.5. Përcaktoni ACF-në e një sekuence pulsesh video drejtkëndore.

Në radar përdoren gjerësisht sinjalet, të cilat janë pako pulsesh të së njëjtës formë, që ndjekin njëra-tjetrën në të njëjtin interval kohor. Për të zbuluar një shpërthim të tillë, si dhe për të matur parametrat e tij, për shembull, pozicionin në kohë, krijohen pajisje që hardueri zbatojnë algoritme për llogaritjen e ACF.

Oriz. 3.5. ACF e një shpërthimi të tre pulseve video identike: a - një shpërthim pulsesh; b - grafiku ACF

Në fig. 3.5, c tregon një paketë të përbërë nga tre pulse video identike drejtkëndore. Ai gjithashtu tregon funksionin e tij të autokorrelacionit, i llogaritur me formulën (3.15) (Fig. 3.5, b).

Shihet qartë se maksimumi i ACF arrihet në, megjithatë, nëse vonesa rezulton të jetë shumëfish i periudhës së sekuencës (në rastin tonë), vërehen lobet anësore të ACF, të krahasueshme në lartësi me atë kryesore. lob. Prandaj, mund të flasim për papërsosmërinë e njohur të strukturës së korrelacionit të këtij sinjali.

Funksioni i autokorrelacionit të një sinjali të zgjatur pafundësisht.

Nëse kërkohet të merren parasysh sekuencat periodike pafundësisht të zgjatura në kohë, atëherë qasja për studimin e vetive të korrelacionit të sinjaleve duhet të modifikohet disi.

Ne do të supozojmë se një sekuencë e tillë është marrë nga disa të lokalizuara në kohë, d.m.th., impuls, sinjal, kur kohëzgjatja e këtij të fundit priret në pafundësi. Për të shmangur divergjencën e shprehjeve të marra, ne përcaktojmë ACF-në e re si vlerën mesatare të produktit skalar të sinjalit dhe kopjes së tij:

Me këtë qasje, funksioni i autokorrelacionit bëhet i barabartë me fuqinë mesatare të ndërsjellë të këtyre dy sinjaleve.

Për shembull, duke dashur të gjesh ACF për një valë kosinusi të pafund, mund të përdorësh formulën (3.21) të marrë për një puls radio me një kohëzgjatje dhe më pas të shkosh te kufiri i përkufizimit të dhënë (3.22). Si rezultat, ne marrim

Ky ACF është në vetvete një funksion periodik; vlera e tij është e barabartë

Marrëdhënia midis spektrit energjetik të një sinjali dhe funksionit të tij të autokorrelacionit.

Gjatë studimit të materialit të këtij kapitulli, lexuesi mund të mendojë se metodat e analizës së korrelacionit veprojnë si disa teknika të veçanta që nuk kanë asnjë lidhje me parimet e zbërthimit spektral. Megjithatë, nuk është kështu. Është e lehtë të tregohet se ekziston një marrëdhënie e ngushtë midis ACF dhe spektrit energjetik të sinjalit.

Në të vërtetë, në përputhje me formulën (3.15), ACF është një produkt me pika: Këtu, simboli tregon një kopje të sinjalit të zhvendosur në kohë dhe,

Duke iu kthyer formulës së përgjithësuar të Rayleigh (2.42), mund të shkruajmë barazinë

Dendësia spektrale e zhvendosur në kohë

Kështu, arrijmë në rezultatin:

Dihet se katrori i modulit të densitetit spektral përfaqëson spektrin energjetik të sinjalit. Pra, spektri i energjisë dhe funksioni i autokorrelacionit lidhen me transformimin Furier:

Është e qartë se ekziston gjithashtu një marrëdhënie e kundërt:

Këto rezultate janë thelbësisht të rëndësishme për dy arsye. Së pari, rezulton të jetë e mundur të vlerësohen vetitë e korrelacionit të sinjaleve bazuar në shpërndarjen e energjisë së tyre në spektër. Sa më i gjerë të jetë gjerësia e brezit të sinjalit, aq më i ngushtë është lobi kryesor i funksionit të autokorrelacionit dhe aq më i përsosur është sinjali nga pikëpamja e mundësisë së matjes së saktë të momentit të fillimit të tij.

Së dyti, formulat (3.24) dhe (3.26) tregojnë mënyrën për të përcaktuar në mënyrë eksperimentale spektrin e energjisë. Shpesh është më e përshtatshme që së pari të merret funksioni i autokorrelacionit, dhe më pas, duke përdorur transformimin Fourier, të gjendet spektri i energjisë i sinjalit. Kjo teknikë është bërë e përhapur në studimin e vetive të sinjaleve duke përdorur kompjuterë me shpejtësi të lartë në kohë reale.

Prandaj rrjedh se intervali i korrelacionit

rezulton të jetë sa më pak, aq më e lartë është frekuenca e sipërme e ndërprerjes së spektrit të sinjalit.

Kufizimet e vendosura në llojin e funksionit të autokorrelacionit të sinjalit.

Lidhja e gjetur midis funksionit të autokorrelacionit dhe spektrit të energjisë bën të mundur vendosjen e një kriteri interesant dhe në shikim të parë të padukshëm për ekzistencën e një sinjali me vetitë e dhëna korrelacioni. Fakti është se spektri i energjisë i çdo sinjali, sipas përkufizimit, duhet të jetë pozitiv [shih. formula (3.25)]. Ky kusht nuk do të plotësohet për asnjë zgjedhje të FSHF-së. Për shembull, nëse merrni

dhe llogaritni transformimin përkatës të Furierit, atëherë

Ky funksion i alternuar nuk mund të përfaqësojë spektrin e energjisë të asnjë sinjali.

SINJALET dhe LINEAR SISTEMET

Sinjalet dhe sistemet lineare. Korrelacioni i sinjaleve

Tema 6. KORELACIONI I SINJALEVE

Frika më e madhe dhe entuziazmi më i madh i guximit po shqetësojnë barkun dhe shkaktojnë diarre.

Michel Montaigne. Mendimtari ligjor francez, shekulli i 16-të

Ky është numri! Të dy funksionet janë 100% të ndërlidhura me të tretën dhe janë ortogonale me njëri-tjetrin. Epo, i Plotfuqishmi kishte shaka me krijimin e Botës.

Anatoli Pyshmintsev. Gjeofizikani Novosibirsk i shkollës Ural, shekulli XX

2. Funksionet e ndërlidhjes së sinjaleve (CCF). Funksioni i ndërlidhjes (CCF). Ndërlidhja e sinjaleve me zhurmë. VKF e sinjaleve diskrete. Vlerësimi i sinjaleve periodike në zhurmë. Funksioni i koeficientit të korrelacionit të kryqëzuar.

Prezantimi

Korrelacioni (korrelacioni), dhe rasti i tij i veçantë për sinjalet e përqendruara - kovarianca, është një metodë e analizës së sinjalit. Këtu është një nga opsionet për përdorimin e metodës. Le të supozojmë se ekziston një sinjal s (t), në të cilin mund të ketë (ose nuk mund të ketë) një sekuencë x (t) me gjatësi të kufizuar T, pozicioni kohor i së cilës ne jemi të interesuar. Për të kërkuar këtë sekuencë në një dritare kohore me gjatësi T që rrëshqet përgjatë sinjalit s (t), llogariten produktet skalare të sinjaleve s (t) dhe x (t). Kështu, ne "aplikojmë" sinjalin e kërkuar x (t) në sinjalin s (t), duke rrëshqitur përgjatë argumentit të tij, dhe me vlerën e produktit me pika vlerësojmë shkallën e ngjashmërisë së sinjaleve në pikat e krahasimit.

Në hapësirën funksionale të sinjaleve, kjo shkallë e bashkimit mund të shprehet në njësi të normalizuara të koeficientit të korrelacionit, d.m.th., në kosinusin e këndit midis vektorëve të sinjaleve, dhe, në përputhje me rrethanat, do të marrë vlera nga 1 (koincidencë e plotë i sinjaleve) në -1 (e kundërta e plotë) dhe nuk varet nga vlera (shkalla) njësitë matëse.

Vini re se ka një konfuzion për sa i përket "korrelacionit" dhe "kovariancës". Në literaturën matematikore, termi "kovariancë" përdoret për funksionet e përqendruara dhe "korrelacioni" përdoret për funksionet arbitrare. V literaturë teknike, dhe sidomos në literaturën për sinjalet dhe metodat e përpunimit të tyre, shpesh përdoret terminologjia e kundërt. Kjo nuk ka rëndësi thelbësore, por kur njiheni me burimet letrare, duhet t'i kushtoni vëmendje qëllimit të pranuar të këtyre termave.

6.1. Funksionet e autokorrelacionit të sinjaleve.

Koncepti i funksioneve të autokorrelacionit të sinjaleve . Funksioni i autokorrelacionit (ACF, CF - funksioni i korrelacionit) i sinjalit s (t), i fundëm në energji, është një karakteristikë integrale sasiore e formës së sinjalit, duke zbuluar natyrën dhe parametrat e lidhjes së ndërsjellë kohore të mostrave në sinjal, të cilat është gjithmonë rasti për sinjalet periodike, si dhe intervali dhe shkalla e varësisë së vlerave të mostrave në momentet aktuale kohore nga historia e momentit aktual. ACF përcaktohet nga integrali i produktit të dy kopjeve të sinjalit s (t), të zhvendosur në lidhje me njëra-tjetrën sipas kohës t:

Bs (t) = s (t) s (t + t) dt = ás (t), s (t + t) ñ = || s (t) || || s (t + t) || cos j (t). (6.1.1)

Siç del nga kjo shprehje, ACF është produkti skalar i sinjalit dhe kopjes së tij, në varësi të vlerës së ndryshueshme të vlerës së zhvendosjes t. Prandaj, ACF ka dimensionin fizik të energjisë, dhe në t = 0 vlera ACF është drejtpërdrejt e barabartë me energjinë e sinjalit dhe është maksimumi i mundshëm (kosinusi i këndit të ndërveprimit të sinjalit me vetveten është i barabartë me 1):

Bs (0) = s (t) 2 dt = Es.

ACF i referohet funksioneve çift, i cili është i lehtë për t'u verifikuar duke ndryshuar variablin t = t-t në shprehje (6.1.1):

Bs (t) = s (t-t) s (t) dt = Bs (-t).

Maksimumi ACF, i barabartë me energjinë e sinjalit në t = 0, është gjithmonë pozitiv, dhe moduli ACF në çdo vlerë të zhvendosjes së kohës nuk e kalon energjinë e sinjalit. Kjo e fundit rrjedh drejtpërdrejt nga vetitë e produktit skalar (si dhe pabarazia Cauchy-Bunyakovsky):

ás (t), s (t + t) ñ = || s (t) || × || s (t + t) || × cos j (t),

cos j (t) = 1 për t = 0, ás (t), s (t + t) ñ = || s (t) || × || s (t) || = Es,

cos j (t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Si shembull, Fig. 1 tregon dy sinjale - një impuls drejtkëndor dhe një puls radio me të njëjtën kohëzgjatje T, dhe format e tyre ACF që korrespondojnë me këto sinjale. Amplituda e lëkundjeve të pulsit të radios vendoset e barabartë me amplituda e pulsit drejtkëndor, ndërsa energjitë e sinjalit do të jenë gjithashtu të njëjta, gjë që konfirmohet nga vlerat e barabarta të maksimumit qendror të ACF. Në një kohëzgjatje të kufizuar pulsi, kohëzgjatjet e ACF janë gjithashtu të fundme dhe janë të barabarta me dyfishin e kohëzgjatjeve të pulsit (kur kopja e pulsit përfundimtar zhvendoset nga intervali i kohëzgjatjes së tij majtas dhe djathtas, produkti i pulsi me kopjen e tij bëhet i barabartë me zero). Frekuenca e lëkundjeve të ACF të pulsit të radios është e barabartë me frekuencën e lëkundjeve të mbushjes së pulsit të radios (minimumi dhe maksimumi anësor i ACF ndodhin çdo herë me zhvendosje të njëpasnjëshme të kopjes së pulsit të radios për gjysmën e periudhës të lëkundjeve të mbushjes së saj).

Duke pasur parasysh barazinë, paraqitja grafike e ACF zakonisht kryhet vetëm për vlerat pozitive të t. Në praktikë, sinjalet zakonisht specifikohen në intervalin e vlerave të argumenteve pozitive nga 0-T. Shprehja e shenjës + t (6.1.1) do të thotë që me rritjen e vlerave t, kopja e sinjalit s (t + t) zhvendoset majtas përgjatë boshtit t dhe shkon përtej 0. Për sinjalet dixhitale, kjo kërkon një shtrirja përkatëse e të dhënave në rajonin e vlerave negative të argumentit. Dhe meqenëse në llogaritjet intervali i vendosjes t është zakonisht shumë më i vogël se intervali i vendosjes së sinjalit, është më praktike të zhvendoset kopja e sinjalit në të majtë përgjatë boshtit të argumentit, domethënë të përdoret funksioni s (tt ) në shprehjen (6.1.1) në vend të s (t + t ).

Bs (t) = s (t) s (t-t) dt. (6.1.1 ")

Për sinjalet e fundme, me rritjen e vlerës së zhvendosjes t, mbivendosja e përkohshme e sinjalit me kopjen e tij zvogëlohet, dhe, në përputhje me rrethanat, kosinusi i këndit të ndërveprimit dhe produkti skalar në tërësi priren në zero:

ACF e llogaritur nga vlera e përqendruar e sinjalit s (t) është autokovarianca funksioni i sinjalit:

Cs (t) = dt, (6.1.2)

ku ms është vlera mesatare e sinjalit. Funksionet e kovariancës lidhen me funksionet e korrelacionit nga një marrëdhënie mjaft e thjeshtë:

Cs (t) = Bs (t) - ms2.

Sinjalet ACF të kufizuara në kohë. Në praktikë, sinjalet zakonisht hetohen dhe analizohen, të dhëna në një interval të caktuar. Për të krahasuar ACF-në e sinjaleve të dhëna në intervale të ndryshme kohore, një modifikim i ACF me normalizimin e gjatësisë së intervalit gjen zbatim praktik. Kështu, për shembull, kur vendosni një sinjal në interval:

Bs (t) = s (t) s (t + t) dt. (6.1.3)

ACF mund të llogaritet gjithashtu për sinjale të amortizuara dobët me energji të pafundme, si vlera mesatare e produktit skalar të sinjalit dhe kopjes së tij kur intervali i vendosjes së sinjalit priret në pafundësi:

Bs (t) = . (6.1.4)

Sipas këtyre shprehjeve, ACF ka dimensionin fizik të fuqisë, dhe është e barabartë me fuqinë mesatare reciproke të sinjalit dhe kopjes së tij, funksionalisht në varësi të zhvendosjes së kopjes.

ACF e sinjaleve periodike. Energjia e sinjaleve periodike është e pafundme, prandaj, ACF e sinjaleve periodike llogaritet në një periudhë T, me mesataren e produktit me pika të sinjalit dhe kopjen e tij të zhvendosur brenda periudhës:

Bs (t) = (1 / T) s (t) s (t-t) dt. (6.1.5)

Shprehje matematikisht më strikte:

Bs (t) = .

Në t = 0, vlera e ACF e normalizuar në periudhë është e barabartë me fuqinë mesatare të sinjalit brenda periudhës. Në këtë rast, ACF e sinjaleve periodike është një funksion periodik me të njëjtën periudhë T. Pra, për sinjalin s (t) = A cos (w0t + j0) në T = 2p / w0 kemi:

Bs (t) = A cos (w0t + j0) A cos (w0 (t-t) + j0) = (A2 / 2) cos (w0t). (6.1.6)

Rezultati i marrë nuk varet nga faza fillestare e sinjalit harmonik, i cili është tipik për çdo sinjal periodik dhe është një nga vetitë e ACF. Funksionet e autokorrelacionit ju lejojnë të kontrolloni për vetitë periodike në çdo formë vale arbitrare. Një shembull i funksionit të autokorrelacionit të një sinjali periodik është paraqitur në Fig. 6.1.2.

Funksionet e Autokovariancës (ACF) llogariten në mënyrë të ngjashme, bazuar në vlerat e sinjalit të përqendruar. Një tipar i shquar i këtyre funksioneve është lidhja e tyre e thjeshtë me variancë sinjalet ss2 (nga katrori i standardit - devijimi mesatar katror i vlerave të sinjalit nga vlera mesatare). Siç e dini, vlera e dispersionit është e barabartë me fuqinë mesatare të sinjaleve, prej nga vijon:

Cs (t) | ≤ ss2, Cs (0) = ss2 º || s (t) || 2. (6.1.7)

Vlerat ACF të normalizuara në vlerën e variancës janë një funksion i koeficientëve të autokorrelacionit:

rs (t) = Cs (t) / Cs (0) = Cs (t) / ss2 º cos j (t). (6.1.8)

Ky funksion nganjëherë referohet si funksioni "i vërtetë" i autokorrelacionit. Për shkak të normalizimit, vlerat e tij nuk varen nga njësitë (shkalla) e paraqitjes së vlerave të sinjalit s (t) dhe karakterizojnë shkallën e marrëdhënies lineare midis vlerave të sinjalit, në varësi të madhësisë së zhvendosjes. t ndërmjet mostrave të sinjalit. Vlerat rs (t) º cos j (t) mund të variojnë nga 1 (korrelacion i plotë përpara i mostrave) në -1 (korrelacion invers).

Në fig. 3 tregon një shembull të sinjaleve s (k) dhe s1 (k) = s (k) + zhurma me koeficientët përkatës ACF - rs dhe rs1. Siç mund ta shihni në grafikët, FAK zbuloi me besim praninë e luhatjeve periodike në sinjale. Zhurma në sinjalin s1 (k) uli amplituda e lëkundjeve periodike pa ndryshuar periodën. Këtë e vërteton grafiku i kurbës Cs/ss1, pra ACF e sinjalit s (k) me normalizim (për krahasim) me variancën e sinjalit s1 (k), ku shihet qartë se pulsimet e zhurmës, me Pavarësia e plotë statistikore e numërimit të tyre, shkaktoi një rritje të vlerës Сs1 (0) në lidhje me vlerën e Cs (0) dhe "turbulloi" disi funksionin e koeficientëve të autokovariancës. Kjo për faktin se vlera rs (t) e sinjaleve të zhurmës priret në 1 në t ® 0 dhe luhatet në raport me zero në t ≠ 0, ndërsa amplituda e luhatjeve janë statistikisht të pavarura dhe varen nga numri i mostrave të sinjalit ( priren në zero me një rritje të numrit të mostrave).

ACF e sinjaleve diskrete. Kur intervali i kampionimit të të dhënave Dt = const, ACF llogaritet në intervalet Dt = Dt dhe zakonisht shkruhet si një funksion diskret i numrave n të zhvendosjes së mostrave nDt:

Bs (nDt) = Dtsk × sk-n. (6.1.9)

Sinjalet diskrete zakonisht specifikohen në formën e grupeve numerike me një gjatësi të caktuar me numërimin e mostrave k = 0,1, ... K në Dt = 1, dhe llogaritja e ACF diskrete në njësitë e energjisë kryhet në një anë. version, duke marrë parasysh gjatësinë e vargjeve. Nëse përdoret i gjithë grupi i sinjaleve dhe numri i mostrave ACF është i barabartë me numrin e mostrave të grupit, atëherë llogaritja kryhet me formulën:

Bs (n) = sk × sk-n. (6.1.10)

Faktori K / (K-n) në këtë funksion është një faktor korrigjimi për një ulje graduale të numrit të vlerave të shumëzuara dhe të shtuara ndërsa zhvendosja n rritet. Pa këtë korrigjim, për sinjalet jo të përqendruara në vlerat ACF, shfaqet një tendencë e përmbledhjes së vlerave mesatare. Kur matet në njësi të fuqisë së sinjalit, faktori K / (K-n) zëvendësohet me një faktor 1 / (K-n).

Formula (6.1.10) përdoret mjaft rrallë, kryesisht për sinjale përcaktuese me një numër të vogël mostrash. Për sinjalet e rastësishme dhe të zhurmshme, një rënie në emëruesin (K-n) dhe numri i mostrave të shumëzuara me rritjen e kompensimit, çon në një rritje të luhatjeve statistikore në llogaritjen e ACF. Në këto kushte, llogaritja e ACF në njësitë e fuqisë së sinjalit sipas formulës:

Bs (n) = sk × sk-n, sk-n = 0 për k-n< 0, (6.1.11)

domethënë, me normalizim në një faktor konstant 1 / K dhe me një shtrirje të sinjalit me vlera zero (në të majtë me ndërrime k-n ose në të djathtë kur përdorni ndërrime k + n). Ky vlerësim është i njëanshëm dhe ka një variancë pak më të ulët se formula (6.1.10). Dallimi midis normalizimeve sipas formulave (6.1.10) dhe (6.1.11) mund të shihet qartë në Fig. 6.1.4.

Formula (6.1.11) mund të shihet si një mesatare e shumës së produkteve, d.m.th., si një vlerësim i pritshmërisë matematikore:

Bs (n) = M (sk sk-n) @. (6.1.12)

Në praktikë, një ACF diskrete ka të njëjtat veti si një ACF e vazhdueshme. Është gjithashtu çift, dhe vlera e tij në n = 0 është e barabartë me energjinë ose fuqinë e sinjalit diskret, në varësi të normalizimit.

ACF e sinjaleve të zhurmshme ... Sinjali i zhurmshëm shkruhet si shuma v (k) = s (k) + q (k). Në përgjithësi, zhurma nuk duhet të ketë një vlerë mesatare zero, dhe funksioni i autokorrelacionit të normalizuar nga fuqia i një sinjali dixhital që përmban mostra N shkruhet si më poshtë:

Bv (n) = (1 / N) ás (k) + q (k), s (k-n) + q (k-n) ñ =

= (1 / N) [ás (k), s (kn) ñ + ás (k), q (kn) ñ + áq (k), s (kn) ñ + áq (k), q (kn) ñ ] =

Bs (n) + M (sk qk-n) + M (qk sk-n) + M (qk qk-n).

Bv (n) = Bs (n) + + +. (6.1.13)

Me pavarësinë statistikore të sinjalit të dobishëm s (k) dhe zhurmës q (k), duke marrë parasysh zgjerimin e pritshmërisë matematikore

M (sk qk-n) = M (sk) M (qk-n) =

mund të përdoret formula e mëposhtme:

Bv (n) = Bs (n) + 2 +. (6.1.13 ")

Një shembull i një sinjali të zhurmshëm dhe ACF i tij në krahasim me një sinjal të zhurmshëm është paraqitur në Fig. 6.1.5.

Nga formula (6.1.13) rezulton se ACF e një sinjali me zhurmë përbëhet nga ACF e përbërësit të sinjalit të sinjalit të dobishëm me një funksion zhurme të mbivendosur që zbërthehet në një vlerë prej 2 +. Për vlera të mëdha të K, kur → 0, ndodh Bv (n) »Bs (n). Kjo bën të mundur që jo vetëm të dallohen nga sinjalet periodike ACF që janë pothuajse plotësisht të fshehura në zhurmë (fuqia e zhurmës është shumë më e lartë se fuqia e sinjalit), por edhe të përcaktohet me saktësi të lartë periudha dhe forma e tyre brenda periudhës, dhe për sinjale harmonike me një frekuencë, amplituda e tyre duke përdorur shprehjet (6.1.6).

	Sinjali i Barkerit	Sinjali ACF





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Sinjalet e kodit janë një lloj sinjalesh diskrete. Në një interval të caktuar të fjalës së koduar M × Dt, ato mund të kenë vetëm dy vlera amplitude: 0 dhe 1 ose 1 dhe –1. Gjatë nxjerrjes së kodeve në një nivel të konsiderueshëm zhurme, forma e ACF e fjalës së kodit është e një rëndësie të veçantë. Nga ky pozicion, kodet më të mira janë ato, vlerat e lobit anësor ACF të të cilëve janë minimale në të gjithë gjatësinë e intervalit të fjalëve të koduara në vlerën maksimale të majës qendrore. Këto kode përfshijnë kodin Barker të paraqitur në tabelën 6.1. Siç shihet nga tabela, amplituda e majës qendrore të kodit është numerikisht e barabartë me vlerën e M, ndërsa amplituda e lëkundjeve anësore në n ¹ 0 nuk kalon 1.

6.2. Funksionet e ndërlidhjes së sinjaleve.

Funksioni i ndërlidhjes (CCF) i sinjaleve të ndryshme (funksioni i ndërlidhjes, CCF) përshkruan si shkallën e ngjashmërisë së formës së dy sinjaleve, ashtu edhe pozicionin e tyre relativ në lidhje me njëri-tjetrin përgjatë koordinatës (ndryshore e pavarur). Duke përgjithësuar formulën (6.1.1) të funksionit të autokorrelacionit në dy sinjale të ndryshme s (t) dhe u (t), marrim produktin skalar të sinjaleve të mëposhtme:

Bsu (t) = s (t) u (t + t) dt. (6.2.1)

Ndërlidhja e sinjaleve karakterizon një korrelacion të caktuar të fenomeneve dhe proceseve fizike të shfaqura nga këto sinjale dhe mund të shërbejë si masë e "stabilitetit" të kësaj marrëdhënieje kur sinjalet përpunohen veçmas në pajisje të ndryshme. Për sinjalet me energji të fundme, CCF është gjithashtu i kufizuar, me:

| Bsu (t) | £ || s (t) || × || u (t) ||,

që rrjedh nga pabarazia Cauchy-Bunyakovsky dhe pavarësia e normave të sinjalit nga zhvendosja përgjatë koordinatave.

Duke ndryshuar variablin t = t-t në formulën (6.2.1), marrim:

Bsu (t) = s (t-t) u (t) dt = u (t) s (t-t) dt = Autobus (-t).

Nga kjo rrjedh se kushti i barazisë nuk është i plotësuar për CCF, Bsu (t) ¹ Bsu (-t), dhe vlerat CCF nuk duhet të kenë një maksimum në t = 0.

Kjo mund të shihet qartë në Fig. 1, ku jepen dy sinjale identike me qendra në pikat 0.5 dhe 1.5. Llogaritja sipas formulës (6.2.1) me një rritje graduale të vlerave t do të thotë zhvendosje të njëpasnjëshme të sinjalit s2 (t) majtas përgjatë boshtit të kohës (për secilën vlerë të s1 (t) për integrandin , merren vlerat e s2 (t + t)). Në t = 0, sinjalet janë ortogonale dhe vlera B12 (t) = 0. Maksimumi B12 (t) do të vërehet kur sinjali s2 (t) zhvendoset majtas me t = 1, në të cilin sinjalet s1 (t) dhe s2 (t + t) kombinohen plotësisht.

Të njëjtat vlera CCF sipas formulave (6.2.1) dhe (6.2.1 ") vërehen në të njëjtin pozicion të ndërsjellë të sinjaleve: kur sinjali u (t) zhvendoset me intervalin t në lidhje me s (t) në të djathtë përgjatë ordinatës dhe sinjalit s (t) në lidhje me sinjalin u (t) në të majtë, d.m.th., Bsu (t) = Bus (-t).

Në fig. 6.2.2 tregon shembuj të CCF për një sinjal drejtkëndor s (t) dhe dy sinjale trekëndore identike u (t) dhe v (t). Të gjitha sinjalet kanë të njëjtën kohëzgjatje T, me sinjalin v (t) të zhvendosur përpara me intervalin T / 2.

Sinjalet s (t) dhe u (t) janë të njëjta në vendndodhjen e përkohshme dhe zona e "mbivendosjes" së sinjaleve është maksimale në t = 0, e cila fiksohet nga funksioni Bsu. Në të njëjtën kohë, funksioni Bsu është shumë asimetrik, pasi për një sinjal asimetrik formon u (t) për një formë simetrike s (t) ( në raport me qendrën sinjalet) zona e "mbivendosjes" së sinjaleve ndryshon në mënyra të ndryshme në varësi të drejtimit të zhvendosjes (shenja e t kur rritet vlera e t nga zero). Kur pozicioni fillestar i sinjalit u (t) zhvendoset majtas përgjatë ordinatës (përpara sinjalit s (t) - sinjali v (t)), forma CCF mbetet e pandryshuar dhe zhvendoset djathtas me të njëjtën vlerë të vlerës së zhvendosjes - funksioni Bsv në Fig. 6.2.2. Nëse i ndërrojmë shprehjet e funksioneve në (6.2.1), atëherë funksioni i ri Bvs do të jetë funksioni i rrotulluar nga pasqyra Bsv në lidhje me t = 0.

Duke marrë parasysh këto veçori, CCF totale llogaritet, si rregull, veçmas për vonesat pozitive dhe negative:

Bsu (t) = s (t) u (t + t) dt. Autobus (t) = u (t) s (t + t) dt. (6.2.1 ")

Ndërlidhja e sinjaleve me zhurmë ... Për dy sinjale me zhurmë u (t) = s1 (t) + q1 (t) dhe v (t) = s2 (t) + q2 (t), duke zbatuar procedurën për nxjerrjen e formulave (6.1.13) duke zëvendësuar një kopje të sinjali s (t ) në sinjalin s2 (t), është e lehtë të nxirret formula e ndërlidhjes në formën e mëposhtme:

Buv (t) = Bs1s2 (t) + Bs1q2 (t) + Bq1s2 (t) + Bq1q2 (t). (6.2.2)

Tre termat e fundit në anën e djathtë të (6.2.2) zbehen në zero me rritjen e t. Për intervale të mëdha të vendosjes së sinjaleve, shprehja mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Buv (t) = Bs1s2 (t) + + +. (6.2.3)

Me vlera mesatare zero të zhurmës dhe pavarësisë statistikore nga sinjalet, ndodh si më poshtë:

Buv (t) → Bs1s2 (t).

VKF e sinjaleve diskrete. Të gjitha vetitë e CCF të sinjaleve analoge janë gjithashtu të vlefshme për CCF të sinjaleve diskrete, ndërsa veçoritë e sinjaleve diskrete të përcaktuara më sipër për ACF-të diskrete (formula 6.1.9-6.1.12) janë gjithashtu të vlefshme për to. Në veçanti, për Dt = const = 1 për sinjalet x (k) dhe y (k) me numrin e mostrave K:

Bxy (n) = xk yk-n. (6.2.4)

Kur normalizohet në njësitë e fuqisë:

Bxy (n) = xk yk-n @. (6.2.5)

Vlerësimi i sinjaleve periodike në zhurmë ... Sinjali i zhurmshëm mund të vlerësohet me ndërlidhje me sinjalin "referencë" me provë dhe gabim, me funksionin e ndërlidhjes të vendosur në vlerën e tij maksimale.

Për sinjalin u (k) = s (k) + q (k) me pavarësinë statistikore të zhurmës dhe → 0, funksioni i ndërlidhjes (6.2.2) me shabllonin e sinjalit p (k) në q2 (k ) = 0 merr formën:

Bup (k) = Bsp (k) + Bqp (k) = Bsp (k) +.

Dhe meqenëse → 0 me rritje N, atëherë Bup (k) → Bsp (k). Natyrisht, funksioni Bup (k) do të ketë një maksimum kur p (k) = s (k). Duke ndryshuar formën e shabllonit p (k) dhe duke maksimizuar funksionin Bup (k), mund të merret një vlerësim për s (k) në formën e formës optimale p (k).

Funksioni i koeficientit të ndërlidhjes (CCF) është një tregues sasior i shkallës së ngjashmërisë së sinjaleve s (t) dhe u (t). Ngjashëm me funksionin e koeficientëve të autokorrelacionit, ai llogaritet përmes vlerave të përqendruara të funksioneve (për të llogaritur kovariancën e ndërsjellë, mjafton të përqendrohet vetëm një nga funksionet) dhe normalizohet në produktin e vlerave. të standardeve të funksioneve s (t) dhe v (t):

rsu (t) = Csu (t) / sssv. (6.2.6)

Intervali i ndryshimeve në vlerat e koeficientëve të korrelacionit në ndërrime t mund të ndryshojë nga -1 (korrelacion i plotë invers) në 1 (ngjashmëri e plotë ose korrelacion qind për qind). Në ndërrimet t në të cilat vërehen vlerat zero rsu (t), sinjalet janë të pavarura nga njëri-tjetri (të pakorreluara). Koeficienti i ndërlidhjes bën të mundur vendosjen e pranisë së një lidhjeje midis sinjaleve, pavarësisht nga vetitë fizike të sinjaleve dhe madhësia e tyre.

Kur llogaritni TCF-në e sinjaleve diskrete të zhurmshme me gjatësi të kufizuar duke përdorur formulën (6.2.4), ekziston një probabilitet që vlerat | rsu (n) | > 1.

Për sinjalet periodike, koncepti i CCF zakonisht nuk zbatohet, përveç sinjaleve me të njëjtën periudhë, për shembull, sinjalet hyrëse dhe dalëse kur studiohen karakteristikat e sistemeve.

6.3. Dendësia spektrale e funksioneve të korrelacionit.

Dendësia spektrale ACF mund të përcaktohet nga konsideratat e mëposhtme të thjeshta.

Në përputhje me shprehjen (6.1.1), ACF është funksioni i produktit skalar të sinjalit dhe kopjes së tij, i zhvendosur me intervalin t, për - ¥< t < ¥:

Bs (t) = ás (t), s (t-t) ñ.

Produkti me pika mund të përcaktohet në termat e densitetit spektral të sinjalit dhe kopjeve të tij, produkti i të cilit është densiteti spektral i fuqisë reciproke:

ás (t), s (t-t) ñ = (1 / 2p) S (w) St * (w) dw.

Zhvendosja e sinjalit përgjatë boshtit të abshisës me intervalin t shfaqet në paraqitjen spektrale duke shumëzuar spektrin e sinjalit me exp (-jwt), dhe për spektrin e konjuguar me faktorin exp (jwt):

St * (w) = S * (w) exp (jwt).

Me këtë në mendje, marrim:

Bs (t) = (1 / 2p) S (w) S * (w) exp (jwt) dw =

= (1 / 2p) | S (w) | 2 exp (jwt) dw. (6.3.1)

Por shprehja e fundit është transformimi i anasjelltë i Furierit i spektrit të energjisë së sinjalit (densiteti i energjisë spektrale). Rrjedhimisht, spektri i energjisë i sinjalit dhe funksioni i tij i autokorrelacionit janë të lidhura me transformimin Furier:

Bs (t) Û | S (w) | 2 = Ws (w). (6.3.2)

Kështu, dendësia spektrale e ACF nuk është gjë tjetër veçse densiteti i fuqisë spektrale të sinjalit, i cili, nga ana tjetër, mund të përcaktohet nga transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit përmes ACF:

| S (w) | 2 = Bs (t) exp (-jwt) dt. (6.3.3)

Shprehja e fundit vendos kufizime të caktuara në formën e ACF dhe metodologjinë e kufizimit të tyre në kohëzgjatje.

Oriz. 6.3.1. Spektri i një ACF joekzistente

Spektri energjetik i sinjaleve është gjithmonë pozitiv, fuqia e sinjaleve nuk mund të jetë negative. Rrjedhimisht, ACF nuk mund të ketë formën e një impulsi drejtkëndor, pasi transformimi Furier i një pulsi drejtkëndor është një sinus integral i alternuar. Nuk duhet të ketë ndërprerje të llojit të parë (kërkime) në ACF, pasi duke marrë parasysh njëtrajtësinë e ACF, çdo kërcim simetrik përgjatë koordinatës ± t gjeneron një "ndarje" të ACF në shumën e një funksioni të caktuar të vazhdueshëm. dhe një impuls drejtkëndor me kohëzgjatje 2t me pamjen përkatëse të vlerave negative në spektrin e energjisë. Një shembull i kësaj të fundit është paraqitur në Fig. 1 (grafikët e funksioneve tregohen, siç është zakon për funksionet çift, vetëm nga ana e tyre e djathtë).

ACF-të e sinjaleve mjaft të zgjeruar zakonisht janë të kufizuara në madhësi (intervalet e kufizuara të korrelacionit të të dhënave nga –T/2 në T/2 janë hetuar). Sidoqoftë, shkurtimi i ACF është shumëzimi i ACF me një puls përzgjedhjeje drejtkëndëshe me kohëzgjatje T, e cila në domenin e frekuencës shfaqet nga konvolucioni i spektrit aktual të fuqisë me një funksion të alternuar të sinusit integral (wT / 2) . Nga njëra anë, kjo shkakton një zbutje të caktuar të spektrit të fuqisë, e cila shpesh është e dobishme, për shembull, kur ekzaminoni sinjale në një nivel të konsiderueshëm zhurme. Por, nga ana tjetër, një nënvlerësim domethënës i madhësisë së majave të energjisë mund të ndodhë nëse sinjali përmban ndonjë komponent harmonik, si dhe shfaqjen e vlerave negative të fuqisë në pjesët skajore të majave dhe kërcimeve. Një shembull i manifestimit të këtyre faktorëve është paraqitur në Fig. 6.3.2.

Oriz. 6.3.2. Llogaritja e spektrit të energjisë së sinjalit me ACF me gjatësi të ndryshme.

Siç dihet, spektri i fuqisë së sinjaleve nuk ka një karakteristikë fazore dhe sinjalet nuk mund të rindërtohen prej tyre. Rrjedhimisht, ACF e sinjaleve, si një paraqitje kohore e spektrave të fuqisë, gjithashtu nuk ka informacion për karakteristikat fazore të sinjaleve, dhe rindërtimi i sinjaleve nga ACF është i pamundur. Sinjalet e zhvendosura në kohë të së njëjtës formë kanë të njëjtën ACF. Për më tepër, sinjalet e formave të ndryshme mund të kenë ACF të ngjashme nëse kanë spektra të ngjashëm fuqie.

E rishkruajmë ekuacionin (6.3.1) në formën e mëposhtme

s (t) s (t-t) dt = (1 / 2p) S (w) S * (w) exp (jwt) dw,

dhe zëvendësoni vlerën t = 0 në këtë shprehje. Barazia që rezulton është e njohur dhe quhet Barazia e Parsevalit

s2 (t) dt = (1 / 2p) | S (w) | 2 dw.

Kjo ju lejon të llogaritni energjinë e një sinjali, si në kohë ashtu edhe në domenin e frekuencës së përshkrimit të sinjalit.

Intervali i korrelacionit të sinjalit është një parametër numerik për vlerësimin e gjerësisë së ACF dhe shkallës së korrelacionit të rëndësishëm të vlerave të sinjalit nga argumenti.

Nëse supozojmë se sinjali s (t) ka një spektër energjetik përafërsisht uniform me një vlerë W0 dhe me një frekuencë të sipërme të ndërprerjes deri në ww (forma e një impulsi drejtkëndor të përqendruar, siç është sinjali 1 në Fig. 6.3.3 me fw = 50 Hz në një paraqitje të njëanshme ), atëherë ACF e sinjalit përcaktohet nga shprehja:

Bs (t) = (Wo / p) cos (wt) dw = (Woww / p) sin (wwt) / (wwt).

Intervali i korrelacionit të sinjalit tc është gjerësia e pikut qendror të ACF nga maksimumi në kalimin e parë të vijës zero. Në këtë rast, për një spektër drejtkëndor me një frekuencë të sipërme të ndërprerjes ww, kryqëzimi i parë i zeros korrespondon me sinc (wwt) = 0 në wwt = p, prej nga:

tк = p / wв = 1 / 2fв. (6.3.4)

Sa më e lartë të jetë frekuenca e sipërme e ndërprerjes së spektrit të sinjalit, aq më i vogël është intervali i korrelacionit. Për sinjalet me prerje të qetë përgjatë frekuencës së sipërme të ndërprerjes, roli i parametrit ww luhet nga gjerësia mesatare spektrale (sinjali 2 në Fig. 6.3.3).

Dendësia spektrale e fuqisë së zhurmës statistikore në një matje të vetme është një funksion i rastësishëm Wq (w) me një vlerë mesatare Wq (w) Þ sq2, ku sq2 është varianca e zhurmës. Në kufi, me një shpërndarje uniforme spektrale të zhurmës nga 0 në ¥, ACF e zhurmës tenton në vlerën Bq (t) Þ sq2 në t Þ 0, Bq (t) Þ 0 në t ¹ 0, d.m.th., zhurma statistikore nuk është i ndërlidhur (tc Þ 0).

Llogaritjet praktike të ACF të sinjaleve të fundme zakonisht kufizohen në intervalin e ndërrimeve t = (0, (3-5) tk), në të cilin, si rregull, përqendrohet informacioni kryesor mbi autokorrelacionin e sinjaleve.

Dendësia spektrale e CCF mund të merret në bazë të të njëjtave konsiderata si për ROS, ose drejtpërdrejt nga formula (6.3.1) duke zëvendësuar densitetin spektral të sinjalit S (w) me densitetin spektral të sinjalit të dytë U (w):

Bsu (t) = (1 / 2p) S * (w) U (w) exp (jwt) dw. (6.3.5)

Ose, kur ndryshoni rendin e sinjaleve:

Bus (t) = (1 / 2p) U * (w) S (w) exp (jwt) dw. (6.3.5 ")

Produkti S * (w) U (w) është spektri i ndërsjellë i energjisë Wsu (w) i sinjaleve s (t) dhe u (t). Prandaj, U * (w) S (w) = Wus (w). Rrjedhimisht, si ACF, funksioni i ndërlidhjes dhe dendësia spektrale e fuqisë reciproke të sinjaleve lidhen me njëra-tjetrën nga transformimet Furier:

Bsu (t) Û Wsu (w) º W * us (w). (6.3.6)

Autobus (t) Û Wus (w) º W * su (w). (6.3.6 ")

Në rastin e përgjithshëm, me përjashtim të spektrave të funksioneve çift, rrjedh nga kushti i barazisë për funksionet TCF se spektrat e ndërsjellë të energjisë janë funksione komplekse:

U (w) = Au (w) + j Bu (w), V (w) = Av (w) + j Bv (w).

Wuv = AuAv + BuBv + j (BuAv - AuBv) = Re Wuv (w) + j Im Wuv (w),

Në fig. 4, ju mund të shihni qartë tiparet e formimit të CCF në shembullin e dy sinjaleve të së njëjtës formë, të zhvendosur në lidhje me njëri-tjetrin.

Oriz. 6.3.4. Formimi i ICF.

Forma e sinjaleve dhe pozicioni i tyre relativ tregohen në A. Moduli dhe argumenti i spektrit të sinjalit s (t) tregohen në B. Moduli i spektrit u (t) është identik me modulin S (w). E njëjta pamje tregon modulin e spektrit të ndërsjellë të fuqisë së sinjaleve S (w) U * (w). Siç e dini, gjatë shumëzimit të spektrave komplekse, moduli i spektrit shumëzohet, dhe këndet e fazës shtohen, ndërsa për spektrin e konjuguar U * (w), këndi i fazës ndryshon shenjën. Nëse sinjali i parë në formulën për llogaritjen e CCF (6.2.1) është sinjali s (t), dhe sinjali u (tt) në boshtin e ordinatave është përpara s (t), atëherë këndet e fazës S ( w) rritet drejt këndeve të vlerave negative (pa marrë parasysh rivendosjen periodike të vlerave me 2p), dhe këndet e fazës U * (w) në vlera absolute janë më të vogla se këndet e fazës s (t) dhe rriten ( për shkak të konjugimit) drejt vlerave pozitive. Rezultati i shumëzimit të spektrave (siç mund të shihet në Fig. 6.3.4, forma C) është zbritja e vlerave të këndeve U * (w) nga këndet fazore S (w), ndërsa këndet fazore të spektrit S (w) U * (w) mbeten në rajonin e vlerave negative, gjë që siguron një zhvendosje të të gjithë funksionit CCF (dhe vlerave të tij të pikut) në të djathtë nga zero përgjatë boshtit t me një sasi të caktuar (për sinjale identike, nga diferenca midis sinjaleve përgjatë boshtit të ordinatave). Kur pozicioni fillestar i sinjalit u (t) zhvendoset drejt sinjalit s (t), këndet e fazës S (w) U * (w) zvogëlohen, në kufirin në vlera zero me regjistrimin e plotë të sinjaleve, ndërsa funksioni Bsu (t) kalon në vlerat zero t, në kufirin përpara se të kthehet në ACF (për të njëjtat sinjale s (t) dhe u (t)).

Siç dihet për sinjalet deterministe, nëse spektrat e dy sinjaleve nuk mbivendosen dhe, në përputhje me rrethanat, energjia e ndërsjellë e sinjaleve është zero, sinjale të tilla janë ortogonale me njëri-tjetrin. Marrëdhënia midis spektrave të energjisë dhe funksioneve të korrelacionit të sinjalit tregon një anë tjetër të ndërveprimit të sinjalit. Nëse spektrat e sinjalit nuk mbivendosen dhe spektri i tyre i ndërsjellë i energjisë është zero në të gjitha frekuencat, atëherë për çdo zhvendosje kohore t në lidhje me njëri-tjetrin, CCF e tyre është gjithashtu zero. Kjo do të thotë se sinjale të tilla janë të pakorreluara. Kjo është e vërtetë si për sinjalet dhe proceset përcaktuese dhe të rastit.

Llogaritja e funksioneve të korrelacionit duke përdorur FFT është, veçanërisht për seri të gjata numrash, metodë dhjetëra dhe qindra herë më e shpejtë se zhvendosjet e njëpasnjëshme në domenin kohor me intervale të mëdha korrelacioni. Thelbi i metodës rrjedh nga formula (6.3.2) për ACF dhe (6.3.6) për CCF. Duke marrë parasysh që ACF mund të konsiderohet si një rast i veçantë i CCF për të njëjtin sinjal, ne do të shqyrtojmë procesin e llogaritjes duke përdorur shembullin e CCF për sinjalet x (k) dhe y (k) me numrin e mostrave K. përfshin:

1. Llogaritja e spektrave FFT të sinjaleve x (k) → X (k) dhe y (k) → Y (k). Me një numër të ndryshëm mostrash, rreshti më i shkurtër është i mbushur me zero në madhësinë e rreshtit më të madh.

2. Llogaritja e spektrit të densitetit të fuqisë Wxy (k) = X * (k) Y (k).

3. Inverse FFT Wxy (k) → Bxy (k).

Le të vëmë re disa veçori të metodës.

Në rastin e një FFT të anasjelltë, siç dihet, llogaritet konvolucioni ciklik i funksioneve x (k) ③ y (k). Nëse numri i mostrave të funksioneve është i barabartë me K, numri i mostrave komplekse të spektrave të funksioneve është gjithashtu i barabartë me K, siç është numri i mostrave të produktit të tyre Wxy (k). Prandaj, numri i mostrave Bxy (k) me FFT të anasjelltë është gjithashtu i barabartë me K dhe përsëritet ciklikisht me një periudhë të barabartë me K. dimensioni i dyanshëm është 2K pika. Rrjedhimisht, me FFT-në e kundërt, duke marrë parasysh konvolucionin ciklik, periudhat anësore të CCF do të mbivendosen në periudhën kryesore të CCF, si në konvolucionin e zakonshëm ciklik të dy funksioneve.

Në fig. 5 tregon një shembull të dy sinjaleve dhe vlerave CCF të llogaritura nga konvolucioni linear (B1xy) dhe konvolucioni ciklik përmes FFT (B2xy). Për të eliminuar efektin e periudhave anësore të mbivendosjes, është e nevojshme të plotësohen sinjalet me zero, në kufi, derisa numri i mostrave të dyfishohet, ndërsa rezultati FFT (grafiku B3xy në figurën 6.3.5) përsërit plotësisht rezultatin e linjës. konvolucioni (duke marrë parasysh normalizimin në një rritje të numrit të mostrave).

Në praktikë, numri i zerave të zgjatjes së sinjalit varet nga natyra e funksionit të korrelacionit. Numri minimal i zerove zakonisht merret si i barabartë me pjesën e rëndësishme të informacionit të funksioneve, d.m.th., në rendin e intervaleve të korrelacionit (3-5).

letërsi

1. Qarqet dhe sinjalet e Baskakovit: Libër mësuesi për universitetet. - M .: Shkolla e lartë, 1988.

19. Carried R., Enoxon L. Analiza e Aplikuar seritë kohore... - M .: Mir, 1982 .-- 428 f.

25. Përpunimi i sinjalit Sergienko. / Libër mësuesi për universitetet. - SPb .: Peter, 203 .-- 608 f.

33. Aificher E., Jervis B. Përpunimi dixhital i sinjalit. Një qasje praktike. / M., "Williams", 2004, 992 f.

Për gabimet e vërejtura, gabimet dhe sugjerimet për shtesa: ***** @ *** ru.