Ranije jesmo datu funkciju vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli su njegov derivat. Izvod ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih zadataka.
Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, a brzina njenog kretanja u trenutku t data je formulom v = gt. Nađi zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s (t) traženi zakon kretanja. Poznato je da je s "(t) = v (t). Dakle, za rješavanje problema potrebno je odabrati funkciju s = s (t), čiji je izvod jednak gt. Lako je pretpostaviti da je \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \).
\ (s "(t) = \ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) \ desno)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Odgovor: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)
Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \ (\ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ desno) "= gt \)
Da bismo problem učinili preciznijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku vremena, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s (0) = s 0, onda od iz jednakosti s (t) = (gt 2) / 2 + C dobijamo: s (0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno određen: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.
U matematici se zadaju međusobno inverzne operacije različita imena dođi sa posebne oznake npr.: kvadriranje (x 2) i izdvajanje kvadratni korijen(\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x), itd. Proces nalaženja derivacije u odnosu na datu funkciju naziva se diferencijaciju, a obrnuti rad, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije, - integrišući.
Sam izraz "derivacija" može se potkrijepiti "u svakodnevnom životu": funkcija y = f (x) "proizvodi" nova funkcija y "= f" (x). Funkcija y = f (x) se ponaša kao da je "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne zovu "roditelj" ili "proizvođač", oni kažu da jeste, u odnosu na funkciju y "= f" (x) , primarna slika ili antiderivat.
Definicija. Funkcija y = F (x) naziva se antiderivatom za funkciju y = f (x) na intervalu X ako je za \ (x \ u X \) jednakost F "(x) = f (x)
U praksi, interval X obično nije naznačen, već impliciran (kao prirodna domena funkcije).
Evo nekoliko primjera.
1) Funkcija y \ u003d x 2 je antiderivat za funkciju y \ u003d 2x, jer je za bilo koji x jednakost (x 2) "= 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivat za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 3) "= 3x 2
3) Funkcija y = sin (x) je antiderivat za funkciju y = cos (x), jer za bilo koje x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)
Prilikom pronalaženja antiderivata, poput derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima izračunavanja izvedenica.
Znamo da je izvod zbira jednak zbiru izvoda. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2. Ako je F (x) antiderivat za f (x), onda je kF (x) antiderivat za kf (x).
Teorema 1. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x), tada je antiderivat za funkciju y = f (kx + m) funkcija \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)
Teorema 2. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x) na intervalu X, tada funkcija y = f (x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F (x) + C.
Metode integracije
Varijabilna metoda zamjene (metoda zamjene)
Metoda integracije supstitucijom sastoji se u uvođenju novog varijabla integracije(tj. zamjene). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za uparivanje zamjena. Sposobnost da se pravilno identifikuje zamena stiče se praksom.
Neka je potrebno izračunati integral \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). Napravimo zamjenu \ (x = \ varphi (t) \) gdje je \ (\ varphi (t) \) funkcija s kontinuiranim izvodom.
Tada \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)
Integracija izraza kao što je \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)
Ako je m neparan, m> 0, tada je zgodnije zamijeniti sin x = t.
Ako je n neparno, n> 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti supstituciju tg x = t.
Integracija dio po dio
Integracija po dijelovima - Primjena sljedeće formule za integraciju:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
ili:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)
Tabela neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$Funkcija F (x ) pozvao antiderivat za funkciju f (x) na datom intervalu, ako za sve x iz ovog intervala, jednakost
F "(x ) = f(x ) .
Na primjer, funkcija F (x) = x 2 f (x ) = 2X , jer
F "(x) = (x 2 )" = 2x = f (x). ◄
Glavno svojstvo antiderivata
Ako F (x) - antiderivat za funkciju f (x) na datom intervalu, zatim funkciju f (x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi ti antiderivati se mogu zapisati kao F (x) + C, gdje WITH Je proizvoljna konstanta.
Na primjer. Funkcija F (x) = x 2 + 1 je antiderivat funkcije f (x ) = 2X , jer F "(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f (x); funkcija F (x) = x 2 - 1 je antiderivat funkcije f (x ) = 2X , jer F "(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f (x) ; funkcija F (x) = x 2 - 3 je antiderivat funkcije f (x) = 2X , jer F "(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f (x); bilo koju funkciju F (x) = x 2 + WITH , gdje WITH - proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivat za funkciju f (x) = 2X . ◄ |
Pravila obračuna antiderivata
- Ako F (x) - antiderivat za f (x) , a G (x) - antiderivat za g (x) , onda F (x) + G (x) - antiderivat za f (x) + g (x) ... Drugim riječima, antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata .
- Ako F (x) - antiderivat za f (x) , i k - konstantno, onda k · F (x) - antiderivat za k · f (x) ... Drugim riječima, konstantni faktor se može pomjeriti izvan predznaka derivacije .
- Ako F (x) - antiderivat za f (x) , i k,b- štaviše trajno k ≠ 0 , onda 1 / k F ( k x + b ) - antiderivat za f(k x + b) .
Neodređeni integral
Ne definitivni integral od funkcije f (x) naziva ekspresijom F (x) + C, odnosno ukupnost svih antiderivata date funkcije f (x) ... Neodređeni integral se označava na sledeći način:
∫ f (x) dx = F (x) + S ,
f (x)- zovi integrand funkcija ;
f (x) dx- zovi integrand ;
x - zovi varijabla integracije ;
F (x) - jedan od antiderivatif (x) ;
WITH Je proizvoljna konstanta.
Na primjer, ∫ 2 x dx =X 2 + WITH , ∫ cosx dx = grijeh X + WITH itd. ◄
Reč "integral" dolazi od latinska riječ cijeli broj što znači "renoviran". Uzimajući u obzir neodređeni integral od 2 x, mi nekako vraćamo funkciju X 2 čiji je izvod jednak 2 x... Rekonstrukcija funkcije iz njenog izvoda, ili, što je isto, pronalaženje neodređenog integrala nad datim integrandom, naziva se integrišući ovu funkciju. Integracija je inverzna diferencijaciji.Da bi se provjerilo da li je integracija ispravna, dovoljno je diferencirati rezultat i dobiti funkciju integranda.
Osnovna svojstva neodređenog integrala
- Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu:
- Konstantni faktor integranda može se uzeti izvan predznaka integrala:
- Integral zbira (razlike) funkcija jednak je zbiru (razlici) integrala ovih funkcija:
- Ako k,b- štaviše trajno k ≠ 0 , onda
(∫ f (x) dx )" = f (x) .
∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .
∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .
∫ f ( k x + b) dx = 1 / k F ( k x + b ) + C .
Tabela antiderivata i neodređenih integrala
| f (x)
| F (x) + C
| ∫
f (x) dx = F (x) + S
|
|
| I. | $$0$$ | $$ C $$ | $$ \ int 0dx = C $$ |
| II. | $$ k $$ | $$ kx + C $$ | $$ \ int kdx = kx + C $$ |
| III. | $$ x ^ n ~ (n \ neq-1) $$ | $$ \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ | $$ \ int x ^ ndx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ |
| IV. | $$ \ frac (1) (x) $$ | $$ \ ln | x | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x) = \ ln | x | + C $$ |
| V. | $$ \ sin x $$ | $$ - \ cos x + C $$ | $$ \ int \ sin x ~ dx = - \ cos x + C $$ |
| Vi. | $$ \ cos x $$ | $$ \ sin x + C $$ | $$ \ int \ cos x ~ dx = \ sin x + C $$ |
| Vii. | $$ \ frac (1) (\ cos ^ 2x) $$ | $$ \ textrm (tg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) = \ textrm (tg) ~ x + C $$ |
| VIII. | $$ \ frac (1) (\ sin ^ 2x) $$ | $$ - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2x) = - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ |
| IX. | $$ e ^ x $$ | $$ e ^ x + C $$ | $$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$ |
| X. | $$ a ^ x $$ | $$ \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ | $$ \ int a ^ xdx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ |
| XI. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C $$ |
| XII. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ |
| XIII. | $$ \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ | $$ \ textrm (arctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ textrm (arctg) ~ x + C $$ |
| XIV. | $$ \ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$ | $$ \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) = \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ |
| XV. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$ | $$ \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ |
| Xvi. | $$ \ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \ neq0) $$ | $$ \ frac (1) (2a) \ ln \ početak (vmatrix) \ frac (x-a) (x + a) \ kraj (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) = \ frac (1) (2a) \ ln \ begin (vmatrix) \ frac (xa) (x + a) \ end (vmatrix) + C $$ |
| XVII. | $$ \ textrm (tg) ~ x $$ | $$ - \ ln | \ cos x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (tg) ~ x ~ dx = - \ ln | \ cos x | + C $$ |
| XVIII. | $$ \ textrm (ctg) ~ x $$ | $$ \ ln | \ sin x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (ctg) ~ x ~ dx = \ ln | \ sin x | + C $$ |
| XIX. | $$ \ frac (1) (\ sin x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ |
| XX. | $$ \ frac (1) (\ cos x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ lijevo (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ desno) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ lijevo (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ desno ) \ end (vmatrix) + C $$ |
| Antiderivati i neodređeni integrali dati u ovoj tabeli obično se nazivaju tabelarni antiderivati
i tabelarni integrali
. |
|||
Definitivni integral
Neka u intervalu [a; b] dato kontinuirana funkcija y = f (x) , onda definitivni integral od a do b funkcije f (x) naziva se prirast antiderivata F (x) ovu funkciju, tj
$$ \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | (_a ^ b) = ~~ F (a) -F (b). $$
Brojevi a i b su imenovani u skladu s tim niže i top granice integracije.
Osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala
1. \ (\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx = 0 \);
2. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = - \ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \);
3. \ (\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx = k \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \) gdje je k - konstantan;
4. \ (\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \);
5. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = \ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \) ;
6. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \), gdje je f (x) - ravnomjerna funkcija;
7. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 0 \), gdje je f (x) Je čudna funkcija.
Komentar ... U svim slučajevima pretpostavlja se da su integrandi integrabilni na numeričkim intervalima čije su granice granice integracije.
Geometrijsko i fizičko značenje određenog integrala
| Geometrijsko značenje definitivni integral | Fizički osećaj
definitivni integral |
 |  |
Square S krivolinijski trapez (figura ograničena grafikom kontinuiranog pozitiva u intervalu [a; b] funkcije f (x) , osa Ox i ravno x = a , x = b ) se izračunava po formuli $$ S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx | Put s, koju je materijalna tačka savladala, krećući se pravolinijski brzinom koja varira u skladu sa zakonom v (t)
, za vremenski interval a ;
b], zatim područje figure, ograničeno grafovima ovih funkcija i ravnim linijama x = a
, x = b
, izračunato po formuli $$ S = \ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$ |
 | Na primjer. Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x 2 i y = 2- x . Oslikajmo shematski grafikone ovih funkcija i istaknemo oblik čija se površina nalazi drugom bojom. Da bismo pronašli granice integracije, rješavamo jednačinu: x 2 = 2- x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$ |
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ lijevo (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ desno ) \ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ frac (1) (2). $$ ◄ |
|
Volumen tijela revolucije
 | Ako se tijelo dobije kao rezultat rotacije oko ose Ox krivolinijski trapez omeđen grafom kontinuiranog i nenegativnog u intervalu [a; b] funkcije y = f (x) i ravno x = a i x = b onda se zove tijelo revolucije . Zapremina tijela okretanja izračunava se po formuli $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Ako se tijelo okretanja dobije kao rezultat rotacije figure ograničene odozgo i odozdo grafovima funkcija y = f (x) i y = g (x) , odnosno, onda $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$ |
 | Na primjer. Izračunavamo zapreminu konusa sa radijusom r
i visina h
. Postavite konus u pravougaoni koordinatni sistem tako da se njegova os poklapa sa osom Ox
, a centar baze je bio na početku. Rotacija generatora AB definiše konus. Pošto jednačina AB $$ \ frac (x) (h) + \ frac (y) (r) = 1, $$ $$ y = r- \ frac (rx) (h) $$ |
| a za zapreminu konusa imamo $$ V = \ pi \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( x) (h)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2h \ lijevo (0- \ frac (1) (3) \ desno) = \ frac (\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄ |
|
