Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A * A -1 = E, gdje je E jedinična matrica n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Svrha usluge... Uz pomoć ove usluge na mreži možete pronaći algebarske komplemente, transponovanu matricu A T, adjuint matricu i inverznu matricu. Rješenje se provodi direktno na web stranici (online) i besplatno je. Rezultati proračuna se prikazuju u Word izvještaju iu Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Uputstvo. Za dobivanje rješenja potrebno je postaviti dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A.
Vidi također Inverzna matrica korištenjem Jordan-Gaussove metode
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Pronalaženje transponirane matrice A T.
- Definicija algebarskih komplementa. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice od algebarskih sabiranja: svaki element rezultirajuće matrice se dijeli determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Odredite da li je matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednako nuli, nastavljamo sa rješenjem, u suprotnom inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih komplementa.
- Popunjavanje matrice unije (recipročne, adjuint) C.
- Sastavljanje inverzne matrice od algebarskih komplementa: svaki element adjunktirane matrice C dijeli se determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Provjerava se: originalna i rezultirajuća matrica se množe. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Primjer br. 1. Zapišimo matricu na sljedeći način:
Algebarski komplementi.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Onda inverzna matrica može se napisati kao:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Dajemo još jednu šemu za pronalaženje inverzne matrice.- Naći determinantu date kvadratne matrice A.
- Naći algebarske komplemente svim elementima matrice A.
- Zapisujemo algebarske komplemente elemenata reda u stupce (transpozicija).
- Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.
Poseban slučaj: Inverzna matrica identiteta E je matrica identiteta E.
Na takvim matricama se izvode razne akcije: množe se jedna s drugom, pronalaze determinante itd. Matrix- poseban slučaj niza: ako niz može imati bilo koji broj dimenzija, tada se samo dvodimenzionalni niz naziva matrica.
U programiranju, matrica se naziva i dvodimenzionalni niz. Bilo koji niz u programu ima ime kao da je jedna varijabla. Da bi se razjasnilo na koju se od ćelija niza misli, kada se ona spomene u programu, zajedno sa promenljivom, koristi se i broj ćelije u njoj. I dvodimenzionalna matrica i n-dimenzionalni niz u programu mogu sadržavati ne samo numeričke, već i simboličke, stringove, logičke i druge informacije, ali uvijek iste informacije unutar cijelog niza.
Matrice su označene velikim slovima A: MxN, gdje je A naziv matrice, M broj redova u matrici, a N broj kolona. Elementi - odgovarajuća mala slova sa indeksima koji označavaju njihov broj u redu i koloni a (m, n).
Najčešće su matrice pravougaone, iako su u dalekoj prošlosti matematičari smatrali i trouglastim. Ako je broj redova i stupaca matrice isti, naziva se kvadrat. Štaviše, M = N već ima ime reda matrice. Matrica sa samo jednim redom naziva se red. Matrica sa samo jednim stupcem naziva se kolona. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su samo elementi koji se nalaze na dijagonali različiti od nule. Ako su svi elementi jednaki jedan, matrica se naziva identičnost, ako je nula - nula.
Ako se redovi i stupci zamijene u matrici, ona postaje transponirana. Ako se svi elementi zamijene kompleksno-konjugatom, on postaje kompleksno-konjugat. Osim toga, postoje i druge vrste matrica, koje su određene uvjetima koji su nametnuti elementima matrice. Ali većina ovih uslova odnosi se samo na one kvadratne.
Povezani video zapisi
Ova tema će pokriti operacije kao što su sabiranje i oduzimanje matrice, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom, transpozicija matrice. Svi simboli koji se koriste na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.
Sabiranje i oduzimanje matrica.
Zbir $ A + B $ matrica $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ i $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $ naziva se matrica $ C_ (m \ puta n) = (c_ (ij)) $, gdje je $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ za sve $ i = \ overline (1, m) $ i $ j = \ overline ( 1, n) $.
Slična definicija je uvedena za razliku matrica:
Razlika $ AB $ matrica $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ i $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $ je matrica $ C_ (m \ puta n ) = ( c_ (ij)) $, pri čemu je $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ za sve $ i = \ nadcrt (1, m) $ i $ j = \ nadcrt (1, n ) $.
Objašnjenje unosa $ i = \ overline (1, m) $: prikaži \ sakriti
Oznaka "$ i = \ overline (1, m) $" znači da se parametar $ i $ kreće od 1 do m. Na primjer, zapis $ i = \ overline (1,5) $ kaže da parametar $ i $ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.
Treba napomenuti da su operacije sabiranja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, sabiranje i oduzimanje matrica su intuitivno jasne operacije, jer zapravo znače samo sabiranje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.
Primjer br. 1
Date su tri matrice:
$$ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) \; \; B = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno); \; \; F = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ kraj (niz) \ desno). $$
Možete li pronaći matricu $ A + F $? Pronađite matrice $ C $ i $ D $ ako je $ C = A + B $ i $ D = A-B $.
$ A $ matrica sadrži 2 reda i 3 stupca (drugim riječima, veličina matrice $ A $ je $ 2 \ puta 3 $), a $ F $ matrica sadrži 2 reda i 2 stupca. Veličine matrice $ A $ i $ F $ se ne poklapaju, pa ih ne možemo sabirati, tj. operacija $ A + F $ za date matrice je nedefinisana.
Veličine matrica $ A $ i $ B $ su iste, tj. matrični podaci sadrže jednak broj redova i stupaca, tako da je operacija sabiranja primjenjiva na njih.
$$ C = A + B = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) + \ lijevo (\ početak (niz ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ kraj (niz) \ desno) $$
Pronađite matricu $D = A-B $:
$$ D = AB = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ kraj (niz) \ desno) - \ lijevo (\ početak (niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ kraj (niz) \ desno) = \\ = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ kraj (niz) \ desno) $$
Odgovori: $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ kraj (niz) \ desno) $, $ D = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ kraj (niz) \ desno) $.
Množenje matrice brojem.
Proizvod matrice $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ po broju $ \ alpha $ je matrica $ B_ (m \ puta n) = (b_ (ij)) $, gdje je $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ za sve $ i = \ overline (1, m) $ i $ j = \ overline (1, n) $.
Jednostavno rečeno, množenje matrice određenim brojem znači množenje svakog elementa date matrice tim brojem.
Primjer br. 2
Matrica je data: $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite matrice $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ i $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak ( niz) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ kraj (niz) \ desno). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ kraj (niz) \ desno). $$
$ -A $ notacija je skraćenica za $ -1 \ cdot A $. To jest, da biste pronašli $ -A $, potrebno je da pomnožite sve elemente matrice $ A $ sa (-1). U suštini, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $ A $ promijeniti u suprotno:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $$
Odgovori: $ 3 \ cdot A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ kraj (niz) \ desno); \; -5 \ cdot A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ kraj (niz) \ desno); \; -A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $.
Proizvod dvije matrice.
Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nerazumljiva. Stoga ću prvo navesti opštu definiciju, a zatim ćemo detaljno analizirati šta to znači i kako s tim raditi.
Matrica $ C_ (m \ puta k) = (c_ ( ij)) $, za koju je svaki element od $ c_ (ij) $ jednak zbiru proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog reda matrica $ A $ elementima j-te kolone matrice $ B $: $$ c_ (ij) = \ suma \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ \; i = \ nadcrt (1, m), j = \ nadcrt (1, n).
Pogledajmo korak po korak množenje matrice koristeći primjer. Međutim, odmah treba obratiti pažnju na činjenicu da se sve matrice ne mogu pomnožiti. Ako želimo da pomnožimo matricu $ A $ sa matricom $ B $, onda prvo moramo biti sigurni da je broj stupaca matrice $ A $ jednak broju redova matrice $ B $ (takve matrice se često nazivaju pristao). Na primjer, matrica $ A_ (5 \ puta 4) $ (matrica sadrži 5 redova i 4 stupca) ne može se pomnožiti sa matricom $ F_ (9 \ puta 8) $ (9 redova i 8 stupaca), pošto je broj kolona matrice $ A $ nije jednako broju redova u $ F $ matrici, tj. 4 $ \ neq 9 $. Ali možete pomnožiti matricu $ A_ (5 \ puta 4) $ sa matricom $ B_ (4 \ puta 9) $, pošto je broj stupaca u matrici $ A $ jednak broju redova u matrici $ B $. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $ A_ (5 \ puta 4) $ i $ B_ (4 \ puta 9) $ bit će matrica $ C_ (5 \ puta 9) $, koja sadrži 5 redova i 9 stupaca:
Primjer br. 3
Matrice su date: $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ kraj (niz) \ desno) $ i $ B = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ kraj (niz) \ desno) $. Pronađite matricu $ C = A \ cdot B $.
Prvo, hajde da odmah odredimo veličinu matrice $ C $. Pošto je $ A $ $ 3 \ puta 4 $ i $ B $ je $ 4 \ puta 2 $, veličina $ C $ je $ 3 \ puta 2 $:
Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $ A $ i $ B $, trebali bismo dobiti matricu $ C $, koja se sastoji od tri reda i dva stupca: $ C = \ lijevo (\ begin (niz) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (niz) \ desno) $. Ako oznake elemenata pokreću pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje matričnih elemenata. Naš cilj je pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $ C $.
Počnimo sa $ c_ (11) $. Da biste dobili element $ c_ (11) $, potrebno je pronaći zbir proizvoda elemenata prvog reda matrice $ A $ i prve kolone matrice $ B $:
Da biste pronašli sam element $ c_ (11) $, potrebno je da pomnožite elemente prvog reda matrice $ A $ sa odgovarajućim elementima prve kolone matrice $ B $, tj. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sumiramo dobijene rezultate:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Nastavimo s rješenjem i nađimo $ c_ (12) $. Da biste to učinili, morate pomnožiti elemente prvog reda matrice $ A $ i drugog stupca matrice $ B $:
Slično kao i prethodni, imamo:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Svi elementi prvog reda $ C $ su pronađeni. Pređite na drugi red, koji počinje sa $ c_ (21) $. Da biste ga pronašli, morate pomnožiti elemente drugog reda matrice $ A $ i prvog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
Sljedeći element $ c_ (22) $ nalazi se množenjem elemenata drugog reda matrice $ A $ sa odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Da bismo pronašli $ c_ (31) $, pomnožimo elemente trećeg reda matrice $ A $ sa elementima prvog stupca matrice $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
I, konačno, da biste pronašli element $ c_ (32) $, morat ćete pomnožiti elemente trećeg reda matrice $ A $ sa odgovarajućim elementima druge kolone matrice $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Svi elementi matrice $ C $ su pronađeni, ostaje samo da napišemo da je $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz ) \ desno) $ ... Ili, da napišem u potpunosti:
$$ C = A \ cdot B = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ kraj (niz) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz) \ desno). $$
Odgovori: $ C = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ kraj (niz) \ desno) $.
Inače, često nema razloga da se detaljno opiše nalaz svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:
Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da općenito $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Samo za neke vrste matrica koje se pozivaju permutacija(ili komutiranje), jednakost $ A \ cdot B = B \ cdot A $ je tačna. Upravo na osnovu nekomutativnosti množenja, potrebno je naznačiti kako tačno množimo izraz ovom ili onom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, izraz "pomnožimo obje strane jednakosti $ 3E-F = Y $ matricom $ A $ na desnoj strani" znači da trebamo dobiti sljedeću jednakost: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transponirano u odnosu na matricu $ A_ (m \ puta n) = (a_ (ij)) $ naziva se matrica $ A_ (n \ puta m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , za elemente koji su $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
Jednostavno rečeno, da biste dobili transponiranu matricu $ A ^ T $, trebate zamijeniti stupce u originalnoj matrici $ A $ odgovarajućim redovima prema sljedećem principu: ako je prvi red bio, prvi stupac će postati ; postojao je drugi red - drugi stupac će postati; postojao je treći red - biće i treća kolona i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $ A_ (3 \ puta 5) $:
Prema tome, ako je originalna matrica bila $ 3 \ puta 5 $, tada je transponirana matrica $ 5 \ puta 3 $.
Neka svojstva operacija nad matricama.
Ovdje se pretpostavlja da su $ \ alpha $, $ \ beta $ neki brojevi, a $ A $, $ B $, $ C $ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji sa prva četiri.
- $ A + B = B + A $ (adiciona komutativnost)
- $ A + (B + C) = (A + B) + C $ (asocijacija na zbrajanje)
- $ (\ alpha + \ beta) \ cdot A = \ alpha A + \ beta A $ (distributivnost množenja matrice s obzirom na sabiranje brojeva)
- $ \ alpha \ cdot (A + B) = \ alpha A + \ alpha B $ (množenje brojem u odnosu na sabiranje matrice)
- $ A (BC) = (AB) C $
- $ (\ alfa \ beta) A = \ alfa (\ beta A) $
- $ A \ cdot (B + C) = AB + AC $, $ (B + C) \ cdot A = BA + CA $.
- $ A \ cdot E = A $, $ E \ cdot A = A $, gdje je $ E $ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
- $ A \ cdot O = O $, $ O \ cdot A = O $, gdje je $ O $ nulta matrica odgovarajuće veličine.
- $ \ lijevo (A ^ T \ desno) ^ T = A $
- $ (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T $
- $ (AB) ^ T = B ^ T \ cdot A ^ T $
- $ \ lijevo (\ alfa A \ desno) ^ T = \ alfa A ^ T $
U narednom dijelu ćemo razmotriti operaciju podizanja matrice na nenegativan cijeli broj, a također ćemo riješiti primjere u kojima je potrebno izvršiti nekoliko operacija nad matricama.
Matrično rješenje- koncept generalizirajućih operacija na matricama. Matematička matrica je tabela elemenata. Za slična tabela sa m redova i n kolona kaže se da je m-by-n matrica.
Opšti pogled na matricu
Glavni elementi matrice:
Glavna dijagonala... Sastoji se od elemenata a 11, i 22 ... ..a mn
Bočna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 1n, i 2n-1… ..a m1.
Prije nego što pređete na rješavanje matrica, razmotrite glavne vrste matrica:
Square- u kojoj je broj redova jednak broju kolona (m = n)
Nula - svi elementi ove matrice su jednaki 0.
Transpose Matrix- matrica B dobijena iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
Single- svi elementi glavne dijagonale su jednaki 1, svi ostali su 0.
inverzna matrica- matrica, kada se pomnoži s kojom originalna matrica rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična oko glavne i bočne dijagonale. To jest, ako je a 12 = a 21, a 13 = a 31,… .a 23 = a 32…. a m-1n = a mn-1. tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice su simetrične.
Pređimo sada direktno na pitanje kako riješiti matrice.
Sabiranje matrica.
Matrice se mogu algebarski dodavati ako imaju istu dimenziju. Za dodavanje matrice A sa matricom B potrebno je dodati element prvog reda prve kolone matrice A sa prvim elementom prvog reda matrice B, dodati element drugog stupca prvog reda matricu A na element druge kolone prvog reda matrice B, itd.
Svojstva preklapanja
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Množenje matrice.
Matrice se mogu množiti ako su konzistentne. Matrice A i B se smatraju konzistentnim ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B.
Ako je A m sa n, B je n sa k, tada će matrica C = A * B biti m sa k i bit će sastavljena od elemenata 
Gdje je C 11 zbir papar proizvoda elemenata reda matrice A i stupca matrice B, odnosno, element je zbir proizvoda elementa prvog stupca prvog reda matrice A sa elementom prve kolone prvog reda matrice B, elementom druge kolone prvog reda matrice A sa elementom prve kolone matrice drugog reda B, itd.
Prilikom množenja važan je redoslijed množenja. A * B nije jednako B * A.
Pronalaženje determinante.
Bilo koja kvadratna matrica može generirati determinantu ili determinantu. Piše det. Ili | matrični elementi |
Za matrice dimenzija 2 sa 2. Odrediti da postoji razlika između umnoška elemenata glavne i elemenata bočne dijagonale. 
Za matrice dimenzija 3 puta 3 ili više. Operacija pronalaženja determinante je složenija.
Hajde da predstavimo koncepte:
Element minor- je determinanta matrice dobijene iz originalne matrice brisanjem reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Algebarski komplement element matrice naziva se umnožak minora ovog elementa sa -1 na potenciji zbira reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Determinanta bilo koje kvadratne matrice jednaka je zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg reda matrice odgovarajućim algebarskim komplementima.
Inverzija matrice
Inverzija matrice je proces pronalaženja inverzne matrice koju smo definirali na početku. Inverzna matrica je također označena kao originalna sa postscriptom stepena -1.
Pronađite inverznu matricu po formuli.
A -1 = A * T x (1 / | A |)
Gdje je A * T transponirana matrica algebarskih komplementa.
Napravili smo primjere rješavanja matrica u obliku video tutorijala
:
Ako želite da razumete, tražite svakako.
Ovo su osnovne operacije za rješavanje matrica. Ako imate dodatnih pitanja o kako riješiti matrice, slobodno pišite u komentarima.
Ako to ipak niste mogli shvatiti, pokušajte kontaktirati stručnjaka.
Matrix, upoznajte se sa njegovim osnovnim konceptima. Definirajući elementi matrice su njene dijagonale - i bočna. Glavni počinje od elementa u prvom redu, prvoj koloni, i nastavlja se do elementa u posljednjoj koloni, posljednjem redu (to jest, ide slijeva na desno). Bočna dijagonala počinje obrnuto u prvom redu, ali u zadnjoj koloni i nastavlja se na element koji ima koordinate prvog stupca i posljednjeg reda (ide s desna na lijevo).
Da biste prešli na sljedeće definicije i algebarske operacije nad matricama, proučite vrste matrica. Najjednostavniji od njih su kvadrat, jedinica, nula i inverzni. Broj kolona i redova je isti. Transponovana matrica, nazovimo je B, dobija se iz matrice A zamenom kolona sa redovima. U jednom, svi elementi glavne dijagonale su jedinice, a ostali su nule. A u nuli, čak i elementi dijagonala su nula. Inverzna matrica je ona na kojoj originalna matrica dolazi u jedinični oblik.
Također, matrica može biti simetrična oko glavne ili bočne ose. To jest, element sa koordinatama a (1; 2), gdje je 1 broj reda, a 2 kolona, jednak je a (2; 1). A (3; 1) = A (1; 3) i tako dalje. Matrice konzistentne su one kod kojih je broj kolona jedne jednak broju redova druge (takve matrice se mogu množiti).
Glavne radnje koje se mogu izvesti sa matricama su sabiranje, množenje i pronalaženje determinante. Ako su matrice iste veličine, odnosno imaju isti broj redova i kolona, onda se mogu dodati. Potrebno je dodati elemente koji se nalaze na istim mjestima u matricama, odnosno dodati a (m; n) sa u (m; n), gdje su m i n odgovarajuće koordinate kolone i reda. Prilikom sabiranja matrica važi glavno pravilo običnog aritmetičkog sabiranja - kada se mijenjaju mjesta članova, zbir se ne mijenja. Dakle, ako umjesto jednostavnog elementa a postoji izraz a + b, onda se on može dodati elementu iz druge srazmjerne matrice prema pravilima a + (b + c) = (a + b) + c.
Možete pomnožiti uparene matrice date gore. U ovom slučaju se dobija matrica, gde je svaki element zbir parno pomnoženih elemenata reda matrice A i kolone matrice B. Prilikom množenja veoma je važan redosled radnji. m * n nije jednako n * m.
Također, jedna od glavnih radnji je pronalaženje. Takođe se naziva determinanta i označava se kao det. Ova vrijednost je određena modulom, odnosno nikada nije negativna. Najlakši način da pronađete determinantu je za kvadratnu matricu 2x2. Da biste to učinili, pomnožite elemente glavne dijagonale i oduzmite od njih pomnožene elemente sekundarne dijagonale.
