Pronađite rang matrice: metode i primjeri. Matrix rang

Osnovno nazivaju se sljedeće matrične transformacije:

1) permutacija bilo koja dva reda (ili stupca),

2) množenje reda (ili kolone) brojem koji nije nula,

3) dodavanje u jedan red (ili kolonu) drugog reda (ili kolone) pomnoženog nekim brojem.

Pozivaju se dvije matrice ekvivalentan ako se jedan od njih dobije iz drugog pomoću konačnog skupa elementarnih transformacija.

Ekvivalentne matrice nisu, generalno govoreći, jednake, ali su im rangovi jednaki. Ako su matrice A i B ekvivalentne, onda se piše ovako: A ~ B.

Kanonski matrica je matrica u kojoj se na početku glavne dijagonale nalazi nekoliko jedinica u nizu (čiji broj može biti jednak nuli), a svi ostali elementi su jednaki nuli, na primjer,

Pomoću elementarnih transformacija redova i stupaca, svaka matrica se može svesti na kanonsku. Rang kanonske matrice jednak je broju jedinica na njenoj glavnoj dijagonali.

Primjer 2 Pronađite rang matrice

A =

i dovesti ga u kanonski oblik.

Rješenje. Oduzmite prvu od druge linije i preuredite ove redove:

.

Sada oduzmite prvo od drugog i trećeg reda, pomnoženo sa 2 i 5, respektivno:

;

oduzmi prvi od trećeg reda; dobijamo matricu

B = ,

koja je ekvivalentna matrici A, budući da se iz nje dobija korišćenjem konačnog skupa elementarnih transformacija. Očigledno, rang matrice B je jednak 2, pa je stoga r (A) = 2. Matrica B se lako može svesti na kanonsku. Oduzimanjem prve kolone, pomnožene odgovarajućim brojevima, od svih narednih, pretvaramo u nulu sve elemente prvog reda, osim prvog, a elementi preostalih redova se ne mijenjaju. Zatim, oduzimanjem druge kolone, pomnožene odgovarajućim brojevima, od svih sljedećih, nulimo sve elemente drugog reda, osim drugog, i dobijemo kanonsku matricu:

.

Kroonecker - Capelli teorem- kriterijum kompatibilnosti za sistem linearnih algebarskih jednadžbi:

Da bi linearni sistem bio konzistentan, neophodno je i dovoljno da rang proširene matrice ovog sistema bude jednak rangu njegove glavne matrice.

Dokaz (uslovi kompatibilnosti za sistem)

Need

Neka sistem joint. Zatim postoje brojevi takvi da. Dakle, kolona je linearna kombinacija matričnih stupaca. Kako se rang matrice neće promijeniti ako iz sistema njenih redova (kolona) izbrišemo ili dodijelimo red (kolona) koji je linearna kombinacija drugih redova (kolona) iz toga slijedi.

Adekvatnost

Neka . Uzmimo neki osnovni mol u matrici. Budući da će to biti i bazni mol matrice. Zatim, prema osnovnoj teoremi minor, posljednja kolona matrice će biti linearna kombinacija osnovnih stupaca, odnosno stupaca matrice. Stoga je stupac slobodnih članova sistema linearna kombinacija stupaca matrice.

Posljedice

Broj glavnih varijabli sistemi jednak je rangu sistema.

Joint sistemće biti određen (njegovo rješenje je jedinstveno) ako je rang sistema jednak broju svih njegovih varijabli.

Homogeni sistem jednačina

Rečenica15 . 2 Homogeni sistem jednačina

je uvijek zajedničko.

Dokaz... Za ovaj sistem, skup brojeva,,, je rješenje.

U ovom odeljku koristićemo notaciju sistemske matrice:.

Rečenica15 . 3 Zbir rješenja homogenog sistema linearnih jednačina je rješenje ovog sistema. Rješenje pomnoženo brojem je također rješenje.

Dokaz... Neka služe kao rješenja za sistem. Zatim i. Neka . Onda

Od tada - rešenje.

Neka je proizvoljan broj,. Onda

Od tada - rešenje.

Posljedica15 . 1 Ako homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule, onda ima beskonačno mnogo različitih rješenja.

Zaista, množenjem rješenja različitog od nule različitim brojevima, dobit ćemo različita rješenja.

Definicija15 . 5 Reći ćemo da rješenja sistemski oblik fundamentalni sistem odlučivanja ako kolone formiraju linearno nezavisan sistem i svako rešenje sistema je linearna kombinacija ovih kolona.

Broj r se naziva rangom matrice A ako:
1) matrica A sadrži minor reda r, različit od nule;
2) svi minori reda (r + 1) i više, ako postoje, jednaki su nuli.
Inače, rang matrice je najviši manji poredak različit od nule.
Oznake: rangA, r A ili r.
Iz definicije slijedi da je r pozitivan cijeli broj. Za nultu matricu, rang se smatra nula.

Svrha usluge... Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje rang matrice... U ovom slučaju rješenje se pohranjuje u Word i Excel formatu. vidi primjer rješenja.

Uputstvo. Odaberite dimenziju matrice, kliknite na Next.

Definicija . Neka je data matrica ranga r. Svaki minor matrice osim nule i reda r naziva se osnovnim, a redovi i stupci njenih komponenti nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Prema ovoj definiciji, matrica A može imati nekoliko osnovnih minora.

Rang matrice identiteta E je n (broj redova).

Primjer 1. Date su dvije matrice, i njihove maloljetne osobe , ... Koji se može uzeti kao polazna linija?
Rješenje... Minor M 1 = 0, tako da ne može biti osnovni ni za jednu od matrica. Minor M 2 = -9 ≠ 0 i ima red 2, pa se može uzeti kao bazne matrice A ili / i B, pod uslovom da imaju rang jednak 2. Pošto je detB = 0 (kao determinanta sa dva proporcionalna stupca), onda se rangB = 2 i M 2 mogu uzeti kao bazni minor matrice B. Rang matrice A je 3, pošto je detA = -27 ≠ 0 i , dakle, redoslijed osnovnog minora ove matrice mora biti jednak 3, odnosno M 2 nije bazičan za matricu A. Imajte na umu da matrica A ima jedan osnovni minor, koji je jednak determinanti matrice A.

Teorema (o osnovnom molu). Bilo koji red (kolona) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redova (kolona).
Posljedice iz teoreme.

1. Bilo koji (r + 1) stupac (red) matrice ranga r je linearno zavisan.
2. Ako je rang matrice manji od broja njenih redova (kolona), tada su njeni redovi (kolone) linearno zavisni. Ako je rang A jednak broju njegovih redova (kolona), tada su redovi (kolone) linearno nezavisni.
3. Determinanta matrice A jednaka je nuli ako i samo ako su njeni redovi (kolone) linearno zavisni.
4. Ako na red (kolona) matrice dodamo još jedan red (kolona) pomnožen bilo kojim brojem osim nule, tada se rang matrice neće promijeniti.
5. Ako je red (kolona) u matrici precrtan, što je linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada se rang matrice neće promijeniti.
6. Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
7. Maksimalan broj linearno nezavisnih redova je isti kao i maksimalan broj linearno nezavisnih kolona.

Primjer 2. Pronađite rang matrice .
Rješenje. Na osnovu definicije ranga matrice, tražićemo minor najvišeg reda, osim nule. Prvo transformiramo matricu u jednostavniji oblik. Da biste to učinili, pomnožite prvi red matrice sa (-2) i dodajte drugom, a zatim ga pomnožite sa (-1) i dodajte trećem.

Neka je data neka matrica:

.

Odabiremo u ovoj matrici proizvoljne linije i proizvoljnim stupcima
... Zatim determinanta reda, sastavljena od matričnih elemenata
koji se nalazi na raskrsnici odabranih redova i kolona naziva se manjim matrica -tog reda
.

Definicija 1.13. Po rangu matrice
naziva se najvećim redom minora ove matrice, osim nule.

Da bi se izračunao rang matrice, potrebno je uzeti u obzir sve njene minore najmanjeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, nastaviti sa razmatranjem minore najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili metoda graničnih minora).

Zadatak 1.4. Koristeći metodu graničnih minora, odredite rang matrice
.

.

Razmislite o ivici prvog reda, na primjer
... Zatim prelazimo na razmatranje neke granice drugog reda.

Na primjer,
.

Konačno, analizirajmo graničenje trećeg reda.

.

Dakle, najviši red nenulte minora je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja Zadatka 1.4, može se primijetiti da je broj graničnih minora drugog reda različit od nule. U tom smislu, dolazi do sljedećeg koncepta.

Definicija 1.14. Osnovni minor matrice je svaki minor različit od nule čiji je red jednak rangu matrice.

Teorema 1.2.(Osnovna mala teorema). Osnovni redovi (osnovne kolone) su linearno nezavisni.

Imajte na umu da su redovi (kolone) matrice linearno zavisni ako i samo ako se barem jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 1.3. Broj linearno nezavisnih redova matrice jednak je broju linearno nezavisnih stupaca matrice i jednak je rangu matrice.

Teorema 1.4.(Neophodan i dovoljan uslov za nestajanje determinante). Da bi determinanta -th red bio jednak nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Izračunavanje ranga matrice na osnovu upotrebe njene definicije je previše glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice višeg reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na osnovu primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i upotrebe koncepata ekvivalencije matrica i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
i nazivaju se ekvivalentnim ako su im rangovi jednaki, tj.
.

Ako matrice
i su ekvivalentni, onda zapazite
 .

Teorema 1.5. Rang matrice se ne mijenja od elementarnih transformacija.

Nazvat ćemo elementarne transformacije matrice
bilo koja od sljedećih radnji na matrici:

Zamjena redova kolonama, a stupaca odgovarajućim redovima;

Permutacija redova matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi jednaki nuli;

Množenje niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elemenata jednog reda odgovarajućih elemenata drugog reda pomnoženih istim brojem
.

Korolar teoreme 1.5. Ako je matrica
dobijeno iz matrice koristeći konačan broj elementarnih transformacija, zatim matrice
i su ekvivalentni.

Prilikom izračunavanja ranga matrice, treba je svesti na trapezoidni oblik korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Nazvat ćemo trapezoidni oblik reprezentacije matrice kada u graničnom minoru najvišeg reda različitom od nule svi elementi ispod dijagonalnih nestanu. Na primjer:

.

Evo
, matrični elementi
nestati. Tada će oblik reprezentacije takve matrice biti trapezoidni.

U pravilu se matrice pretvaraju u trapezoidni oblik korištenjem Gaussovog algoritma. Ideja Gaussovog algoritma je da množenjem elemenata prvog reda matrice sa odgovarajućim faktorima postižu da se svi elementi prvog stupca nalaze ispod elementa.
bi nestala. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca sa odgovarajućim faktorima, postižemo da se svi elementi drugog stupca nalaze ispod elementa
bi nestala. Zatim nastavite na isti način.

Zadatak 1.5. Odredite rang matrice svođenjem na trapezoidni oblik.

.

Za praktičnost korištenja Gaussovog algoritma, možete zamijeniti prvi i treći red.








.

Očigledno ovdje
... Međutim, da biste rezultat doveli u elegantniji oblik, možete dalje nastaviti transformacije na stupcima.










.

Rang matrice je važna numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera konzistentnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi. U ovom članku ćemo dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Radi bolje asimilacije gradiva, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije objave definicije ranga matrice, treba dobro razumjeti pojam minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga preporučujemo, ako je potrebno, da se prisjetimo teorije članka, metoda pronalaženja determinante matrice, svojstava determinante.

Uzmite matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n, tj. .

Definicija.

Minor k-tog reda matrice A naziva se determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u prethodno odabranih k redova i k stupaca, a raspored elemenata matrice A je očuvan .

Drugim riječima, ako izbrišemo (p – k) redove i (n – k) stupce u matrici A, i sastavimo matricu od preostalih elemenata, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada će determinanta rezultirajuće matrice je minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrite matricu .

Napišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara umanju prvog reda ... Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, precrtali smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa napravili determinantu. Ako odaberemo prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor .

Ilustrujmo postupak za dobijanje razmatranih maloletnika prvog reda
i .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Prikazujemo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva reda i dvije kolone. Na primjer, uzmimo prvi i drugi red i treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloletnika drugog reda ... Ovaj minor se također može formirati brisanjem trećeg reda, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je.

Ilustrujmo konstrukciju ovih minora drugog reda
i .

Slično se mogu naći i minori trećeg reda matrice A. Pošto u matrici A postoje samo tri reda, biramo sve. Ako za ove redove odaberemo prve tri kolone, dobićemo minor trećeg reda

Također se može konstruirati brisanjem posljednje kolone matrice A.

Još jedan maloljetnik trećeg reda je

dobijeno brisanjem treće kolone matrice A.

Ovdje je crtež koji prikazuje konstrukciju ovih maloljetnika trećeg reda.
i .

Za datu matricu A, minori reda višeg od trećeg ne postoje, jer.

Koliko minora k-tog reda matrice A reda postoji?

Broj minora reda k može se izračunati kao, gdje i - broj kombinacija od p do k i od n do k, respektivno.

Kako konstruisati sve minore reda k matrice A reda p po n?

Treba nam mnogo brojeva redova matrice i mnogo brojeva kolona. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A kada se konstruiše minor reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redova sukcesivno dodajemo sve kombinacije od n elemenata sa k brojeva kolona. Ovi skupovi kombinacija brojeva redova i brojeva kolona matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Rješenje.

Budući da je redoslijed originalne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije brojeva 3 sa 2 redova matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva kolone 3 sa 2 su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmite prvi i drugi red matrice A. Odabirom u ove redove prve i druge kolone, prve i treće kolone, druge i treće kolone, dobijamo sporedne redove, redom

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom kolona, ​​imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, svih devet minora drugog reda matrice A je pronađeno.

Sada možete prijeći na određivanje ranga matrice.

Definicija.

Matrix rang To je najviši red različitog od nule minor u matrici.

Rang matrice A se naziva rang (A). Takođe možete pronaći oznake Rg (A) ili Rang (A).

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice najmanje jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda grube sile... Ova metoda se zasniva na određivanju ranga matrice.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rang matrice A reda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam rješavanje ovog problema nabrajanjem maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice koji je različit od nule, tada je rang matrice najmanje jednak jedan (pošto postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim iteriramo preko minora drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo preko minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od brojeva p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Rješenje.

Pošto je matrica različita od nule, njen rang je najmanje jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na nabrajanje maloljetnika trećeg reda. Svi oni stvari.

Svi maloljetnici trećeg reda su nula. Dakle, rang matrice je dva.

odgovor:

Rang (A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućavaju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna takva metoda je granični minor metod.

Hajde da se pozabavimo graniči minor.

Kaže se da manji M ok (k + 1)-tog reda matrice A graniči sa manjim M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara manjem M ok "sadrži" matricu koja odgovara maloljetni M.

Drugim riječima, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.

Na primjer, razmotrite matricu i uzeti maloljetnika drugog reda. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda graničnih minora potkrijepljena je sljedećom teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p sa n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, da bi se pronašao rang matrice, nije potrebno iterirati preko svih minora koji su dovoljno granični. Broj minora koji se graniči sa minorom k-tog reda matrice reda A nalazi se po formuli ... Imajte na umu da minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A nisu veći od minora (k + 1)-tog reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva upotreba metode graničnih maloljetnika isplativija od jednostavnog nabrajanja svih maloljetnika.

Nastavimo sa pronalaženjem ranga matrice metodom graničnih minora. Hajde da ukratko opišemo algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A osim nule. Uzmite u obzir njegove granične maloljetnike. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je dva), onda nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, tada je rang (A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je tri), onda smatramo njegove granične minore. itd. Kao rezultat, rang (A) = k, ako su svi granični minori (k + 1)-tog reda matrice A jednaki nuli, ili rang (A) = min (p, n), ako postoji nenula minor graniči s molom reda (min (p, n) - 1).

Analizirajmo metodu graničnih minora za pronalaženje ranga matrice koristeći primjer.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničenja maloljetnika.

Rješenje.

Pošto je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

Pronađen granični minor drugog reda, osim nule. Hajde da sredimo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji se graniče sa minorom drugog reda jednaki su nuli, pa je rang matrice A jednak dva.

odgovor:

Rang (A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice korištenje graničnih maloljetnika.

Rješenje.

Kao minor koji nije nula prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Bočni minor drugog reda nije nula. Ovaj maloletnik je omeđen maloletnikom trećeg reda.
... Pošto nije jednaka nuli i za nju ne postoji niti jedan granični minor, rang matrice A je jednak tri.

odgovor:

Rang (A) = 3.

Pronalaženje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).

Razmotrite još jedan način pronalaženja ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

• permutacija redova (ili stupaca) matrice;
• množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice sa proizvoljnim brojem k koji nije nula;
• dodajući elementima bilo kojeg reda (kolone) odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Matrica B se naziva ekvivalentnom matrici A ako se B dobije iz A upotrebom konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalencija matrica se označava simbolom "~", odnosno napisano A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija matrice zasniva se na tvrdnji: ako je matrica B dobijena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je rang (A) = rang (B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

• Kada se redovi (ili stupci) matrice preurede, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, onda nakon permutacije redova (kolona) ostaje jednak nuli.
• Kada se svi elementi bilo kojeg reda (stupca) matrice pomnože sa proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta originalne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
• Dodavanje elementima nekog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) matrice, pomnoženih nekim brojem k, ne menja njenu determinantu.

Suština metode elementarnih transformacija sastoji se u reduciranju matrice, čiji rang treba da nađemo, na trapezoidnu (u konkretnom slučaju, na gornji trokut) pomoću elementarnih transformacija.

Zašto se to radi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednako je broju linija koje sadrže najmanje jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja tokom elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang originalne matrice.

Evo nekoliko ilustracija matrica, od kojih jednu treba dobiti nakon transformacije. Njihov oblik zavisi od reda matrice.

Ove ilustracije su šabloni u koje ćemo transformisati matricu A.

Hajde da opišemo algoritam metoda.

Pretpostavimo da treba da pronađemo rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog reda matrice A sa. U ovom slučaju, dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je sa A (1):

Elementima drugog reda rezultirajuće matrice A (1) dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa. Elementima trećeg reda dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa. I tako dalje do p-te linije. Dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je sa A (2):

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice, koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog, jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, pa je, prema tome, rang originalne matrice jednako jednom.

Ako postoji barem jedan element različit od nule u redovima od drugog do pth, onda nastavljamo s izvođenjem transformacija. Štaviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo s dijelom matrice A označenim na slici (2)

Ako, onda preuređujemo redove i (ili) stupce matrice A (2) tako da “novi” element postane različit od nule.

Dakle, . Svaki element drugog reda matrice A (2) množimo sa. Dobijamo ekvivalentnu matricu A (3):

Elementima trećeg reda rezultirajuće matrice A (3) dodajemo odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa. Elementima četvrtog reda dodajte odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa. I tako dalje do p-te linije. Dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je sa A (4):

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice, koji se nalaze u redovima od trećeg do p-tog, jednaki nuli, tada je rang ove matrice dva, a samim tim i rang (A) = 2.

Ako postoji barem jedan element različit od nule u redovima od trećeg do pth, onda nastavljamo s izvođenjem transformacija. Štaviše, djelujemo na apsolutno isti način, ali samo s dijelom matrice označenim na slici

Element je različit od nule, tako da možemo pomnožiti elemente drugog reda matrice A (2) sa:

Elementima trećeg reda rezultirajuće matrice dodajte odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa; na elemente četvrtog reda - elemente drugog reda, pomnožene sa; na elemente petog reda - elemente drugog reda, pomnožene sa:

Svi elementi trećeg, četvrtog i petog reda rezultirajuće matrice jednaki su nuli. Dakle, koristeći elementarne transformacije, matricu A smo sveli na trapezni oblik, iz čega se vidi da je Rank (A (4)) = 2. Stoga je rang originalne matrice također dva.

Ovo pretvara prvu kolonu u željeni prikaz.

Element u rezultirajućoj matrici je različit od nule. Pomnožimo elemente drugog reda sa:

Drugi stupac rezultirajuće matrice ima željeni oblik, jer je element već jednak nuli.

Pošto, a, zamijenit ćemo pozicije treće i četvrte kolone:

Pomnožimo treći red rezultirajuće matrice sa:

Time je transformacija završena. Dobijamo rang (A (5)) = 3, dakle, rang (A) = 3.

odgovor:

Rang originalne matrice je tri.

Sažmite.

Ispitali smo koncept ranga matrice i razmotrili tri načina da ga pronađemo:

• utvrđeno metodom popisivanja svih maloljetnika;
• metodom graničenja maloljetnika;
• metodom elementarnih transformacija.

Uvijek je preporučljivo koristiti metodu elementarnih transformacija pri pronalaženju ranga matrice, jer to dovodi do rezultata s manje izračunavanja od metode graničnih minora, a još više u poređenju s metodom nabrajanja svih minora matrice. matrica.