Ranije smo za datu funkciju, vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli njen derivat. Izvod ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali uz problem pronalaženja brzine iz poznatog zakona kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja iz poznate brzine. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1 Materijalna tačka se kreće duž prave linije, a brzina njenog kretanja u trenutku t data je formulom v=gt. Pronađite zakon kretanja.
Odluka. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s "(t) = v(t). Dakle, da biste riješili problem, potrebno je odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da je \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Zaista
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)
Da bismo problem učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinatu pokretne tačke u nekom trenutku vremena, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0 , onda od jednakost s(t) = (gt 2)/2 + C dobijamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0 . Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena, dolaze sa posebnim oznakama, na primjer: kvadriranje (x 2) i izvlačenje kvadratnog korijena (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) i arksinus (arcsin x) i sl. Poziva se proces nalaženja derivacije u odnosu na datu funkciju diferencijaciju, i inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije po datom izvodu, - integracija.
Sam izraz "derivacija" može se opravdati "na svjetski način": funkcija y = f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y" \u003d f "(x). Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne zovu "roditelj" ili "proizvođač", kažu da je to u odnosu na funkciju y " = f" (x) , primarna slika ili antiderivat.
Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivatom za funkciju y = f(x) na intervalu X ako \(x \in X \) zadovoljava jednakost F"(x) = f(x)
U praksi, interval X obično nije specificiran, već impliciran (kao prirodna domena funkcije).
Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivat za funkciju y = 2x, budući da je za bilo koji x jednakost (x 2) "\u003d 2x istinita
2) Funkcija y = x 3 je antiderivat za funkciju y = 3x 2, budući da je za bilo koji x jednakost (x 3)" = 3x 2 istinita
3) Funkcija y = sin (x) je antiderivat za funkciju y = cos (x), budući da je za bilo koji x jednakost (sin (x)) "= cos (x) istinita
Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.
Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru izvoda. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1 Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2 Ako je F(x) antiderivat za f(x), onda je kF(x) antiderivat za kf(x).
Teorema 1. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x) + C.
Metode integracije
Varijabilna metoda zamjene (metoda zamjene)
Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se praksom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti neodređene integralne formule integracije, dobijamo formulu integracije supstitucije:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integracija izraza kao što je \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ako je m neparan, m > 0, tada je zgodnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparno, n > 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti supstituciju tg x = t.
Integracija po dijelovima
Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabela neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$Integracija supstitucijom (promjena varijable). Neka je potrebno izračunati integral koji nije tabelarni. Suština metode zamjene je da se u integralu varijabla x zamjenjuje varijablom t prema formuli x = q (t), odakle je dx = q "(t) dt.
Teorema. Neka je funkcija x=u(t) definirana i diferencibilna na nekom skupu T i neka je X skup vrijednosti ove funkcije na kojem je definirana funkcija f(x). Tada ako na skupu X funkcija f(x) ima antiderivativ, tada je na skupu T formula tačna:
Formula (1) se naziva promjena formule varijable u neodređenom integralu.
Integracija po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima slijedi iz formule za diferencijal proizvoda dvije funkcije. Neka su u(x) i v(x) dvije diferencibilne funkcije od x. onda:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Integracijom oba dijela jednakosti (3) dobijamo:
Ali od tada:
Relacija (4) se naziva formula integracije po dijelovima. Koristeći ovu formulu, pronađite integral. Preporučljivo je koristiti ga kada je integral na desnoj strani formule (4) lakše izračunati od originalnog.
U formuli (4) nema proizvoljne konstante C, jer desna strana ove formule sadrži neodređeni integral koji sadrži proizvoljnu konstantu.
Predstavimo neke uobičajene vrste integrala izračunatih metodom integracije po dijelovima.
I. Integrali oblika, (P n (x) je polinom stepena n, k je neki broj). Za pronalaženje ovih integrala dovoljno je staviti u=P n (x) i primijeniti formulu (4) n puta.
II. Integrali oblika, (Pn(x) je polinom stepena n u odnosu na x). Oni se mogu naći po čestim, uzimajući za u funkciju koja je faktor na P n (x).
Direktna integracija
Osnovne integracijske formule
| 1. C je konstanta | 1*. | |
2.  , n ≠ –1 | ||
| 3. +C | ||
4.  |  | |
5. |  | |
6.  |  | |
7.  |  | |
8.  |  | |
9.  |  | |
10.  |  |  |
11.  |  |  |
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  |
Računanje integrala direktnom upotrebom tablice najjednostavnijih integrala i osnovnih svojstava neodređenih integrala naziva se direktnu integraciju.
Primjer 1
Primjer 2
Primjer 3
Ovo je najčešći metod integracije složene funkcije, koji se sastoji u transformaciji integrala prelaskom na drugu integracijsku varijablu.
Ako je teško svesti integral na tabelarni pomoću elementarnih transformacija, onda se u ovom slučaju koristi metoda zamjene. Suština ove metode leži u činjenici da je uvođenjem nove varijable moguće dati integral svesti na novi integral, koji je relativno lako direktno uzeti.
Za integraciju metodom zamjene koristi se shema rješenja:
2) naći diferencijal iz oba dela zamene;
3) Izraziti ceo integrand u vidu nove varijable (nakon čega treba dobiti tabelarni integral);
4) naći dobijeni tabelarni integral;
5) izvršite obrnutu zamjenu.
Pronađite integrale:
Primjer 1 . Zamjena:cosx=t,-sinxdx=dt,
Odluka:
Primjer 2∫e -x3 x 2 dx Zamjena:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Odluka:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C
Primjer 3
Zamjena: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,
Odluka: .
ODJELJAK 1.5. Definitivni integral, metode njegovog izračunavanja.
p.1 Koncept određenog integrala
Zadatak. Naći prirast antiderivata funkcije za funkciju f(x), prilikom prosljeđivanja argumenta x od vrijednosti a cijeniti b.
Odluka. Pretpostavimo da je integracija pronašla: ∫ (x)dx = F(x)+C.
Onda F(x)+C1, gdje Od 1- bilo koji dati broj, će biti jedan od antiderivata za datu funkciju f(x). Pronađite njegov prirast kada argument prijeđe iz vrijednosti a cijeniti b. Dobijamo:
x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)
Kao što vidimo, u izrazu za prirast antiderivativne funkcije F(x)+C1 nema konstantne vrijednosti C1. I od pod C1 bilo koji dati broj se podrazumijeva, dobijeni rezultat dovodi do sljedećeg zaključka: prilikom prenošenja argumenta x od vrijednosti x=a cijeniti x=b sve funkcije F(x)+C, antiderivati za datu funkciju f(x), imaju isti prirast jednak F(b)-F(a).
Ovaj prirast se naziva definitivnim integralom. i označava se simbolom: i čita se: integral od a prije b funkcije f(x) nad dx ili, ukratko, integral od a prije b iz f(x)dx.
Broj a pozvao donja granica integracija, broj b - top; segment a ≤ x ≤ b – interval integracije. Također se pretpostavlja da je integrand f(x) kontinuirano za sve vrijednosti x ispunjava uslove: a x b
Definicija. Prirast antiderivativnih funkcija F(x)+C prilikom prenošenja argumenta x od vrijednosti x=a cijeniti x=b, jednako razlici F(b)-F(a), naziva se definitivnim integralom i označava se simbolom: tako da ako ∫ (x)dx = F(x)+C, zatim = F(b)-F(a) - dato jednakost se zove Newton-Leibnizova formula.
str.2 Osnovna svojstva određenog integrala
Sva svojstva su formulirana u propoziciji da su razmatrane funkcije integrabilne u odgovarajućim intervalima.
str.3 Direktno izračunavanje određenog integrala
Za izračunavanje određenog integrala, kada se odgovarajući neodređeni integral može pronaći, koristi se Newton-Leibnizova formula
one. definitivni integral jednak je razlici između vrijednosti bilo koje antiderivativne funkcije na gornjoj i donjoj granici integracije.
Iz ove formule možete vidjeti redoslijed kojim se izračunava definitivni integral:
1) naći neodređeni integral date funkcije;
2) u rezultirajućem antiderivatu umjesto argumenta zamijeniti prvo gornju, a zatim donju granicu integrala;
3) od rezultata zamene gornje granice oduzeti rezultat zamene donje granice.
Primjer 1: 
Izračunaj integral:
Primjer 2: Izračunaj integral:
str.4 Izračunavanje određenog integrala metodom supstitucije
Izračunavanje definitivnog integrala metodom supstitucije je kako slijedi:
1) zameniti deo integrala novom promenljivom;
2) pronaći nove granice određenog integrala;
3) naći diferencijal iz oba dela zamene;
4) izraziti ceo integrand u vidu nove varijable (nakon čega treba dobiti tabelarni integral); 5) izračunati rezultujući definitivni integral.
Primjer 1: Izračunaj integral:
Zamjena: 1+cosx=t,-sinxdx=dt, 
ODJELJAK 1.6. Geometrijsko značenje određenog integrala.
Površina krivolinijskog trapeza:
Poznato je da je definitivni integral na segmentu površina krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije f(x).
Područje figure ograničene nekim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe ovih linija.
Neka na segmentu [a; b] data je kontinuirana funkcija y = ƒ(x) ≥ 0. Pronađite površinu ovog trapeza.
Područje figure ograničeno osom 0 x, dvije okomite linije x=a, x=b a graf funkcije y \u003d ƒ (x) (slika), određen je formulom:
Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.
Primjer 1:
Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = x 2. + 2, y = 0, x = -2, x = 1.
Odluka: Napravimo crtež (imajte na umu da jednačina y=0 definira x-osu).
odgovor: S = 9 jedinica 2
Primjer 2:
Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d - e x, x \u003d 1 i koordinatne osi.
Rješenje: Napravimo crtež.
Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod x-ose, tada se njegova površina može naći po formuli:
U ovom slučaju: 
Pažnja! Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.
ODJELJAK 1.7. Primjena određenog integrala
str.1 Izračunavanje zapremine tela obrtanja
Ako je krivolinijski trapez susjedni osi Ox, a prave linije y = a, y = b i graf funkcije y= F(x) (Sl.1), tada je zapremina tela obrtanja određena formulom koja sadrži integral.
Zapremina tijela revolucije je:
primjer:
Odrediti zapreminu tijela ograničenu površinom rotacije linije oko x-ose za 0 ≤ x ≤ 4.
Odluka: V
jedinice 3 . Odgovor: jedinica 3.
ODJELJAK 3.1. Obične diferencijalne jednadžbe
p.1 Koncept diferencijalne jednadžbe
Definicija. diferencijalna jednadžba naziva se jednadžba koja sadrži funkciju skupa varijabli i njihovih izvoda.
Opšti oblik takve jednačine 
=0, gdje je F poznata funkcija njegovih argumenata, data u fiksnoj oblasti; x - nezavisna varijabla (po kojoj se diferencira) y - zavisna varijabla (ona od koje se uzimaju derivati i ona koju treba odrediti); je izvod zavisne varijable y u odnosu na nezavisnu varijablu x.
stavka 2. Osnovni pojmovi diferencijalne jednadžbe
red diferencijalna jednadžba naziva se red najveće derivacije uključene u nju.
Na primjer:
Jednačina drugog reda, - jednačina prvog reda.
Poziva se svaka funkcija koja povezuje varijable i pretvara diferencijalnu jednadžbu u pravu jednakost odluka diferencijalna jednadžba.
Opšte rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija i proizvoljna konstanta C koja ovu jednačinu pretvara u identitet u .
Poziva se opće rješenje zapisano u implicitnom obliku =0 zajednički integral.
Privatna odluka Jednačina =0 naziva se rješenje dobiveno iz općeg rješenja pri fiksnoj vrijednosti - fiksnom broju.
Problem nalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe n-tog reda (n= 1,2,3,…) koje zadovoljava početne uslove oblika
pozvao Cauchyjev problem.
str.3 Diferencijalne jednadžbe prvog reda sa odvojivim varijablama
Diferencijalna jednačina prvog reda naziva se jednadžba varijable koja se može odvojiti ako se može predstaviti kao 
može se prepisati u formu 
. Ako a 
. integrišemo: 
.
Za rješavanje jednačine ove vrste:
1. Odvojene varijable;
2. Integracijom jednačine sa odvojenim varijablama pronaći opšte rješenje ove jednačine;
3. Pronađite određeno rješenje koje zadovoljava početne uslove (ako su dati).
Primjer 1 Riješite jednačinu. Naći određeno rješenje koje zadovoljava uvjet y=4 za x=-2.
Odluka: Ovo je jednačina odvojene varijable. Integrirajući, nalazimo opće rješenje jednadžbe: . Da bismo dobili jednostavnije opšte rješenje, predstavljamo konstantni član na desnoj strani u obliku C/2. Imamo ili jeste generalno rješenje. Zamjenom vrijednosti y=4 i x=-2 u opšte rješenje, dobijamo 16=4+S, odakle je S=12.
Dakle, određeno rješenje jednačine koje zadovoljava ovaj uvjet ima oblik
Primjer 2 Naći određeno rješenje jednačine ako .
Odluka: 
, 
, 
, 
, 
, 
zajednička odluka.
Zamjenjujemo vrijednosti x i y u određenom rješenju: , , 
privatna odluka.
Primjer 3 Naći opće rješenje jednačine . Odluka: ,, 
, 
- zajednička odluka.
str.4 Diferencijalne jednadžbe većeg reda od prve
Jednadžba oblika ili se rješava dvostrukom integracijom: , , odakle . Nakon integracije ove funkcije, dobijamo novu funkciju od f(x), koju označavamo sa F(x). Dakle, ; 
. Integrirajmo ponovo: ili y=F(h) . Dobili smo opće rješenje jednadžbe koje sadrži dvije proizvoljne konstante i .
Primjer 1 Riješite jednačinu.
Odluka:, 
, ,
Primjer 2 riješi jednačinu . Odluka: 
, , 
.
ODJELJAK 3.2. Brojčani niz, njegovi članovi
Definicija 1.Numeričke serije naziva se izraz oblika ++…++…, (1)
gdje , , …, , … - brojevi koji pripadaju nekom specifičnom brojevnom sistemu.
Dakle, može se govoriti o pravim serijama za koje R, o složenim serijama za koje C,i= 1, 2, …, n, …
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim licima
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.
Promjena varijable u neodređenom integralu. Formula za transformaciju diferencijala. Primjeri integracije. Primjeri linearnih supstitucija.
Varijabilna metoda zamjene
Uz pomoć promjene varijable možete izračunati jednostavne integrale i, u nekim slučajevima, pojednostaviti izračunavanje složenijih.
Metoda zamjene varijable je da idemo od originalne integracione varijable, neka bude x, do druge varijable, koju označavamo kao t. Istovremeno, pretpostavljamo da su varijable x i t povezane nekom relacijom x = x (t), ili t = t (x). Na primjer x = log t, x = sin t, t = 2 x + 1, itd. Naš zadatak je odabrati takav odnos između x i t tako da se originalni integral ili svodi na tabelarni ili postaje jednostavniji.
Formula za promjenu osnovne varijable
Razmotrimo izraz koji je pod predznakom integrala. Sastoji se od proizvoda integranda, koji ćemo označiti sa f (x) i diferencijal dx : . Prijeđimo na novu varijablu t odabirom neke relacije x = x (t). Tada moramo izraziti funkciju f (x) i diferencijal dx u smislu varijable t .
Za izražavanje integranda f (x) kroz varijablu t, samo trebate zamijeniti odabrani omjer x = x umjesto varijable x (t).
Diferencijalna transformacija se radi ovako:
.
To jest, diferencijal dx je jednak proizvodu derivacije od x u odnosu na t i diferencijal dt.
Onda
.
U praksi je najčešći slučaj kada izvršimo zamjenu odabirom nove varijable kao funkcije stare: t = t (x). Ako smo pogodili da se integrand može predstaviti kao
,
gdje je t′ (x) onda je derivacija od t u odnosu na x
.
Dakle, osnovna formula promjene varijable može se predstaviti u dva oblika.
(1)
,
gdje je x funkcija od t.
(2)
,
gdje je t funkcija od x.
Važna napomena
U tabelama integrala varijabla integracije se najčešće označava kao x. Međutim, vrijedno je uzeti u obzir da se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom. Štaviše, bilo koji izraz se može koristiti kao varijabla integracije.
Kao primjer, razmotrite integral tablice
.
Ovdje se x može zamijeniti bilo kojom drugom varijablom ili funkcijom varijable. Evo primjera mogućih opcija:
;
;
.
U posljednjem primjeru morate uzeti u obzir da se prilikom prelaska na integracijsku varijablu x, diferencijal transformira na sljedeći način:
.
Onda
.
Ovaj primjer je suština integracije zamjene. Odnosno, to moramo pretpostaviti
.
Nakon toga, integral se svodi na tabelarni.
.
Možete izračunati ovaj integral koristeći promjenu varijable, primjenom formule (2)
. Neka je t = x 2+x. Onda
;
;
.
Primjeri integracije promjenom varijable
1)
Računamo integral
.
Primećujemo to (sin x)′ = cos x. Onda
.
Ovdje smo primijenili supstituciju t = sin x.
2)
Računamo integral
.
Primećujemo to. Onda
.
Ovdje smo izvršili integraciju promjenom varijable t = arctg x.
3)
Hajde da se integrišemo
.
Primećujemo to. Onda
. Ovdje, tokom integracije, promjena varijable t = x 2 + 1
.
Linearne zamjene
Možda su najčešće linearne zamjene. Ovo je zamjena varijable forme
t = ax + b
gdje su a i b konstante. Pod takvom promjenom, diferencijali su povezani relacijom
.
Primjeri integracije linearnim supstitucijama
A) Izračunaj integral
.
Odluka.
.
b) Pronađite integral
.
Odluka.
Koristimo svojstva eksponencijalne funkcije.
.
U 2- je konstanta. Računamo integral.
.
c) Izračunaj integral
.
Odluka.
Kvadratni polinom u nazivniku razlomka dovodimo do sume kvadrata.
.
Računamo integral.
.
D) Pronađite integral
.
Odluka.
Transformiramo polinom ispod korijena.
.
Integriramo korištenjem metode promjene varijabli. 
.
Prethodno smo dobili formulu
.
Odavde
.
Zamjenom ovog izraza dobijamo konačni odgovor.
