Savremeni način života zahtijeva stalnu dinamiku. Računajući na kalkulatoru, značajno štedimo svoje vrijeme, ne riskiramo da pogriješimo i dobijemo tačan rezultat. Zahvaljujući izumu ovaj uređaj, mnogi ljudi su zaboravili šta su nestašice i greške u proračunu. Međutim, kalkulator se razlikuje od kalkulatora i ako se primitivne računske funkcije mogu izvršiti na matematički model, tada se najsloženiji proračuni mogu izvršiti samo uz pomoć inženjeringa. Od sada, nabavite ovo čudo moderna tehnologija nema potrebe - samo se obratite našem online inženjerskom kalkulatoru za pomoć! Program radi bez dodatna instalacija- samo idi e-stranica i počni da glumiš.
Funkcije inženjerskog kalkulatora na mreži
Kalkulator matematičkog tipa samo će vam pomoći da izvršite primitivne proračune. Sa njim možete raditi ono što su nas učili u osnovnim razredima srednje škole:
- dodatak;
- oduzimanje;
- divizija;
- množenje;
- odbitak kamata;
- podizanje broja na stepen;
- pronalaženje kvadratnog korijena.
Inženjerski kalkulator online uključuje sve ove i dodatne funkcije koje je neophodno sprovesti složene proračune... Sada ne morate trošiti dodatni novac na kupovinu ovog uređaja, jer kalkulacije možete napraviti na našoj web stranici.
Pored navedenog, naš univerzalni kalkulator će vam pomoći da izvršite sljedeće proračune:
nalaz:
- sinusni ugao;
- tangenta;
- kosinus;
- kotangens;
- arcsinus;
- arktangent;
- arccosine;
- arc kotangens.
Interfejs online inženjerskog kalkulatora
Izvođenje svih gore navedenih proračuna je prilično jednostavno. Naš online inženjerski kalkulator ima jasno sučelje, pa je stoga vrlo zgodno raditi s njim. Po svom izgledu u potpunosti imitira pravi kalkulator, tako da nećete morati dugo proučavati funkcije. Uprkos tome, mi se prijavljujemo detaljna uputstva i opis svakog ključa.
Također je korisno koristiti naš program jer se kalkulacije rade trenutno - ne morate osvježavati stranicu stranice, jer kalkulator radi u flash modu. Svaki dan koristimo naš program velika količina ljudi. Među njima su studenti visokoškolskih ustanova, nastavnici, arhitekte-dizajneri, naučnici i drugi ljudi zainteresovani za tačnost proračuna. Online inženjerski kalkulator ne zahtijeva preuzimanje i instaliranje dodatnih dodataka, pa ga možete početi koristiti odmah!
PRI ME R 81. Izračunajte trulež (~ c ~ r); gdje je ~ c konstantni vektor.
rot (~ c ~ r) = ~ c div ~ r ~ r div ~ c + @ ~ r @ ~ c @ ~ r @ ~ c = 3 ~ c ~ c = 2 ~ c:
Ï đ 82. | ñ ê à ë ÿ ð í î é |
ô ó í ê ö è è í à â å ê ò î ð í ó þ. | |
trulež (f ~ a) = r (f ~ a) = r (f ~ a) + r (f ~ a) = |
|
Grad f ~ a + f rot ~ a: | |
Ï 83. |
|
ë ÿ ð í î é ô ó í ê ö è è í à â å ê ò î ð í ó þ. | |
div (f ~ a) = r (f ~ a) = r (f ~ a) + r (f ~ a) = |
|
= ~ a grad f + f div ~ a: | |
PRI ME R 84. Izračunajte div (rn ~ c); gdje je ~ c konstantni vektor.
Koristeći formulu (3.77), nalazimo
div (rn ~ c) = nrn 2 ~ c ~ r: | ||||||||||||||
PRIMJER 85 Izračunajte div (~ r = r): | ||||||||||||||
div ~ r = ~ r | ||||||||||||||
Ï đ 86. | â å ê ò î ð í î ã î | ï ð î è ç â å- |
||||||||||||
div (~ a b) = r (~ a b) = r (~ a b) + r (~ a b) = |
||||||||||||||
B (r ~ a) ~ a (r b) = | ||||||||||||||
B rot ~ a ~ a trulež b: | ||||||||||||||
182 Poglavlje 3. FUNKCIJE TAČKA
Ovdje smo koristili svojstvo mješovitog proizvoda, koje se ne mijenja cikličkom permutacijom vektora koji se množe, a mijenja predznak s drugim permutacijama.
PRI ME R 87. Izračunajte div (~ c ~ r); gdje je ~ c konstantni vektor.
rot ~ r = 0; rot ~ c = 0, dakle, prema formuli (3.78), imamo
div (~ c ~ r) = 0:
PREMA R 88. Divergencija polja brzina tačaka apsolutno krutog tijela.
Brzina ~ v bilo koje tačke od tt. izražava se u terminima polne brzine O i ugaone brzine! ~ tt. formula
~ v = ~ vO +! ~ ~ r:
Ugaona brzina! ~ Za sve tačke tt. je isti. Stoga (vidi primjer 87) div (! ~ ~ R) = 0; i
div ~ v = div ~ vO + div (! ~ ~ r) = 0:
PREMA R 89. Divergencija polja ubrzanja tačaka apsolutno krutog tijela
~ a = ~ aO +! ~ ~ r +! ~ (! ~ ~ r):
Koristeći rezultate primjera 81 i 87 i formulu (3.78), nalazimo
div ~ a = div ~ aO + div (! ~ ~ r) + div (! ~ (! ~ ~ r)) =
_ _ _
Div ~ a O + ~ r rot! ~! ~ Rot! ~ + (! ~ ~ R) truljenje! ~! ~ Rot (! ~ ~ R) =
0 + 0 0 + 0 2! 2 = 2!2 :
Ï ð 90. | ñ ê à ë ÿ ð í î ã î | ï ð î è ç â å ä å- |
|
grad (~ a b) = r (~ a b) = r (~ a b) + r (~ a b):
Simbolični simboli | |||||||||||
Posljednja dva proizvoda u ovoj formuli nalazimo iz sljedećeg |
|||||||||||
sljedeći omjeri: | |||||||||||
~ a trulež b = ~ a (r b) = r (~ a b) b (~ a r) = r (~ a b) | |||||||||||
b trulež ~ a = b (r ~ a) = r (b ~ a) ~ a (b r) = r (b ~ a) | |||||||||||
Kao rezultat, dobijamo | |||||||||||
grad (~ a b) = ~ a rot b + b rot ~ a + | |||||||||||
Primjer 91. Izračunajte grad (~ c ~ r), gdje je ~ c konstanta |
|||||||||||
Očigledno, curl ~ c = 0, a curl ~ r | 0. Koristeći rezultat |
||||||||||
Primjer 79, po formuli (3.79) nalazimo
grad (~ c ~ r) = ~ c:
5.5. Diferencijalne operacije drugog reda dobijaju se kao rezultat dvostruke primene opera-
torus r u skalarno ili vektorsko polje. | ||
Ï ð 92. | ã ð à ä è å í ò à. | |
div grad U = r rU = r2 U: | ||
Ï ð 93. | ||
div rot P = r (r P) = 0; |
||
budući da je mješoviti proizvod tri vektora jednak nuli ako su dva vektora u njemu ista. V u ovom slučaju vektor r se pojavljuje u mješovitom proizvodu dva puta.
Ï ð 94. ü. | |
rot grad U = r rU = 0: |
Ovaj rezultat odgovara svojstvu vektorskog proizvoda: vektor pomnožen sam sa sobom vektorski daje nulti vektor.
TAČKE FUNKCIJE |
|||||
Ï ð 95. ü. | |||||
trulež trulež P = r (rP) = r (r P) P (r r) = r (r P) r P = |
|||||
Grad div P r P: | |||||
101. Pronađite div | (r) ~ r: Koja bi funkcija trebala biti | ||||
tako da je div (r) ~ r = 0? | |||||
~ Pronađi: 1) | 2) div; div h ~ a (~ r b) i; |
||||
gdje su ~ a, b, ~ c konstantni vektori. | |||||
Dajemo izbor formula za osnovne diferencijalne operacije u nekim od najčešće korišćenih krivolinijskih ortogonalnih koordinatnih sistema. Pretpostavićemo to
U i P su skalarne i vektorske funkcije tačke, respektivno.
Funkcije grad U, div P, rot P u proizvoljnom krivolinijskom ortogonalnom koordinatnom sistemu određene su, respektivno, formulama (3.18), (3.62), (3.40). Opet ćemo ih dati ovdje:
~ e2 + | ~ e3; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H1 @ q1 | H3 @ q3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@ (P1 H2 H3) | @ (P2 H3 H1) | @ (P3 H1 H2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
div P ~ = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H1 H2 H3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@ (P3 H3) | @ (P2 H2) | ~ e1 + | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rot P ~ = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H2 H3 | ~ e2 + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H 3 H 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@ (P1 H1) | @ (P3 H3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@ (P2 H2) | @ (P1 H1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H1 H2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Da biste pronašli r | staviti u formulu (3.80) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Uzimajući u obzir formule (3.18) i (3.62), imamo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H2 H3 @U | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 U = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H1 H2 H3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ÿ 6. Neki ortogonalni koordinatni sistemi | |||||||||
+ @ q2 H2 | @ q3 H3 | ||||||||
@ H3 H1 | @ H1 H2 | ||||||||
Iz (3.18), (3.62), (3.40) i (3.84) slijede, posebno, formule (3.19), (3.63), (3.41), (3.71) za gradijent, divergenciju, vrtlog i Laplaceov operator u kartezijanskom koordinatnom sistemu...
6.1. Cilindrični koordinatni sistem. Cilindrične koordinate "i z su povezane sa kartezijanskim koordinatama x, y, z relacijama (vidi sliku 60)
x = cos "; y = sin"; z = z:
Koordinatne površine ovog sistema: kružni cilindri sa osom rotacije Oz, ravni okomite na osu Oz i poluravnine koje prolaze kroz Oz. Jednačine koordinatnih površina u Dekartovom i cilindričnom koordinatnom sistemu su
x 2+ y 2 = 2; | |
Lame koeficijenti: H = 1; H "=; Hz = 1. Kvadrat elementa dužine je
ds2 = d2 +2 d "2 + dz2:
Prema formulama (3.18), (3.62), (3.40) i (3.84) dobijamo
~ e "+ | ~ ez; | |||||||||||||||||
1 P " | ||||||||||||||||||
1 @Pz | ||||||||||||||||||||||||||||||
rot P ~ = | ~ e "+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
P "+ | ~ ez; | |||||||||||||||||||||||||||||
r2 U = | 1 @U @ 2 U 1 @ 2 U @ 2 U | |||||||||||||||||||||||||||||
6.2. Sferni koordinatni sistem. Sferne koordinate r, "(Slika 61) su povezane sa Dekartovim jednakostima
x = r sin cos "; y = r sin sin"; z = r cos:
Koordinatne površine: sfere poluprečnika r sa centrom u tački O
x2 + y2 + z2 r2 = 0; r = const;
kružni stošci sa vrhom O, čiji generatori čine ugao sa Oz osom,
x2 + y2 = z2 tg2; = const;
i poluravni koje prolaze kroz Oz pod uglom "na xOz ravan,
y = x = tg ";" = const:
Lame koeficijenti: Hr = 1; H = r; H "= r sin. Kvadratni element dužine
ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 sin2 d "2;
i osnovne diferencijalne operacije
~ e "; | ||||||||||||||||||||||||
r sin | ||||||||||||||||||||||||
1 P " | ||||||||||||||||||||||||
r tg | r sin | |||||||||||||||||||||||
rot P ~ = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r tg | r sin | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 @Pr | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ e "; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 U = | 2 @U @ 2 U | 1 @U 1 @ 2 U | 1 @ 2 U | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 tg | r2 sin2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fig. 92
6.3. Sistem paraboličkih cilindričnih koordinata. Koordinate z se odnose na kartezijanske koordinate
dinatira odnosima
(2 2); z = z: |
||
Na sl. 92 prikazuje parabole dvije porodice međusobno ortogonalnih konfokalnih (fokus na
y na početku koordinata m. O) parabole. Osa Oz je okomita na Oxy ravan. Ako pomaknete parabole prikazane na slici tako da njihovi fokusi ostanu na Oz osi,
x tada dobijamo dva sistema međusobno op-
togonalni parabolični cilindri (sa generatrisama paralelnim sa z-osi).
Treći koordinatni sistem površina, ortogonalnih na naznačene paraboloide, sastoji se od ravni paralelnih sa Oxy. Jednačine koordinatnih površina su:
x 2 = c 2 2 | 2 c + 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
x 2 = c 2 2 | 2 2 s | |||||||||||||||||||||||||||||
Lame koeficijenti: H = H | ||||||||||||||||||||||||||||||
kvadrat elementa dužine je | ||||||||||||||||||||||||||||||
ds2 = c2 (2 +2) (d2 + d2) + dz2; | ||||||||||||||||||||||||||||||
i osnovne diferencijalne operacije: | ||||||||||||||||||||||||||||||
~ ez; | ||||||||||||||||||||||||||||||
div P ~ = | ||||||||||||||||||||||||||||||
TAČKE FUNKCIJE |
||||||||||||||||||||||||||||
rot P ~ = | ||||||||||||||||||||||||||||
1 @Pz | ||||||||||||||||||||||||||||
@ ~ ez; | ||||||||||||||||||||||||||||
C 2 (P P) + c | ||||||||||||||||||||||||||||
r2 U = | ||||||||||||||||||||||||||||
c 2 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
gdje smo koristili notaciju = | 2 + 2: | |||||||||||||||||||||||||||
paraboloidne koordinate. | ||||||||||||||||||||||||||||
6.4. Sistem | ||||||||||||||||||||||||||||
dinati se odnose na kartezijanske koordinate po
2 2 : |
||
x = c cos; y = c sin; z = 2 |
||
Koordinatne površine su dva sistema međusobno ortogonalnih paraboloida, koji se dobijaju rotacijom figure na sl. 92 oko ose Oy, i poluravnine koje prolaze kroz os rotacije:
x 2+ y 2 = c 2 2 | c + 2 | ||||||||||||
x 2+ y 2 = c 2 2 | 2 2 s | ||||||||||||
Lame koeficijenti: H = H | |||||||||||||
2 + 2 | |||||||||||||
kvadrat elementa dužine je | |||||||||||||
ds2 = c2 (2 +2) (d2 + d2) + c2 2 2 d2:
Stavljamo = 2 +2, tada se glavne diferencijalne operacije mogu zapisati u obliku
~ ez; | ||||||||||||||||||||||||||
rot P ~ = | ||||||||||||||||||||||||||
1 @Pz | ||||||||||||||||||||||||||
~ ez; |
||||||||||||||||||||||||||
C 2 (P P) + c |
||||||||||||||||||||||||||
r2 U = | ||||||||||||||||||||||||||
c 2 2 | ||||||||||||||||||||||||||
6.5. Eliptični cilindrični koordinatni sistem. Na sl. 93 prikazuje jednog predstavnika dvije međusobno ortogonalne porodice konfokalnih elipsa i hi-
Perbola sa Ox i Oy sjekirama.
Uz paralelnu translaciju duž okomice na ravan figure y (duž ose Oz), razmatrane elipse i hiperbole opisuju eliptične i hiperbolične cilindre, tvoreći dva sistema međusobno ortogonalnih ko-
x ordinatne površine. Treći koordinatni sistem je
Sastoji se od ravni paralelnih sa ravninom Oxy.
Jednačine koordinatnih površina u Dekartovom i eliptičnom cilindričnim sistemima imaju oblik
a2 ch2 | a2 sh2 | ||||||||
@ "~ e z; |
||
6.6. Sistem izduženih elipsoidnih koordinata. Kada se porodice konfokalnih elipsa i hiperbola rotiraju (Sl. 93) oko ose Ox, dobijaju se međusobno ortogonalne porodice izduženih elipsoida obrtanja i dvolisnih hiperboloida obrtanja, respektivno. Treći koordinatni sistem poluravninskih površina koje prolaze kroz os rotacije.
Jednadžbe koordinatnih površina u kartezijanskim (x; y; z) i elipsoidnim (, ",) koordinatnim sistemima imaju oblik
x 2+ y 2 | |||||||||||
a 2sh 2 | a 2ch 2 |
||||||||||
x 2+ y 2 | |||||||||||
a2 sin2 " | a2 cos2 " |
||||||||||
Prijevod: Vlad Merzhevich
Postoji mnogo skrivenih dragulja u modulima CSS3 specifikacije. U ovom članku ćemo pogledati calc () - nevjerovatno korisno svojstvo to može promijeniti vaš pristup izgledu web stranice.
Funkcija CSS3 calc () prvenstveno se koristi za izračunavanje dužine, brojeva, uglova, vremena prelaza ili animacije i frekvencije zvuka. Međutim, omogućava vam da miješate tipove vrijednosti - moćna ideja u CSS-u.
Razmislite o izgledu stranice koji sadrži dva plutajuća elementa. Želite da oba elementa budu iste širine i razdvojena horizontalnom marginom od 60px. Zvuči jednostavno? Nije problem fiksni dizajn; ako je stranica široka 960px, tada će oba elementa biti široka 450px.
Šta kažete na gumu ili responsive layout? Ne postoji način da se definiše širina stranice, pa bi većina programera postavila širinu svakog elementa na, recimo, 45%. Uvlačenje od 10% će biti 60px sa širinom stranice od 600px; povećanje ili smanjenje prozora pretraživača će povećati ili smanjiti marginu.
srećom, nova funkcija calc () nam omogućava da izračunamo širinu. U našem slučaju želimo da širina svakog elementa bude 50% minus 30px.
# element1, # element2 (float: lijevo; širina: calc (50% - 30px);) # element2 (margin-left: 60px;)
Možda želite dopunu veličine fonta kao što je 4em? Nema problema.
# element1, # element2 (širina: kalc (50% - 2em);)
Ili želite okvir od 2px oko svakog elementa.
# element1, # element2 (širina: kalc (50% - 2em - 4px); ivica: 2px čvrsta # 000;)
# element1, # element2 (širina: izračunati ((50% + 2em) / 2 + 14px);)
Podrška za pretraživač
Funkcija calc () pripada W3C smjernicama, sada pogodite koji pretraživač ima izvornu podršku?
Ne pogađam. U vrijeme pisanja ovog teksta, ovo je Internet Explorer 9. Firefox također podržava sa prefiksom: -moz-calc (). Još nije implementiran u webkit (Chrome i Safari) i Opera, ali zbog korisnosti, pretpostavljam da nećemo morati dugo čekati ( već implementirano - cca. per.).
Srećom, možete koristiti progresivno poboljšanje u svojim stilovima.
# element1, # element2 (širina: 45%; / * svi pretraživači * / širina: -moz-calc (50% - 30px); / * Firefox 4+ * / širina: calc (50% - 30px); / * IE9 + i budući pretraživači * /)
min () i max ()
Ako vam se svidio calc (), svidjet će vam se funkcije min() i max (). Uzimaju dvije ili više vrijednosti odvojenih zarezima i vraćaju, na primjer, minimum ili maksimum.
#myelement (širina: max (300px, 30%, 30em); veličina fonta: min (10px, 0,6em);)
Ove funkcije su posebno korisne kada se koristi relativna veličina fonta teksta tako da ne postane prevelik ili mali.
Nažalost, min () i max () nisu podržani ni od jednog ni od drugog najnoviji pretraživači... Nadajmo se da će to uskoro učiniti.
