U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa jednom od najvažnijih i najčešćih tehnika koje se koriste u rešavanju neodređenih integrala - metodom promenljive promene. Za uspješno savladavanje gradiva potrebna su početna znanja i vještine integracije. Ako postoji osjećaj praznog punog čajnika u integralnom proračunu, onda se prvo trebate upoznati s materijalom gdje sam u pristupačnom obliku objasnio što je integral i detaljno analizirao osnovne primjere za početnike.

Tehnički, metoda promjene varijable u neodređenom integralu implementira se na dva načina:

- Zbrajanje funkcije pod predznakom diferencijala;
- Stvarna zamjena varijable.

U suštini, oni su jedno te isto, ali dizajn rješenja izgleda drugačije.

Počnimo s jednostavnijim slučajem.

Dodjela funkcije pod diferencijalnim predznakom

Na lekciji Neodređeni integral. Primjeri rješenja naučili smo kako da otvorimo diferencijal, podsjećam na primjer koji sam dao:

To jest, otvaranje diferencijala je formalno gotovo isto kao i pronalaženje derivacije.

Primjer 1

Provjeri.

Gledamo tablicu integrala i nalazimo sličnu formulu: ... Ali problem je što ispod sinusa nemamo samo slovo "X", već složen izraz. šta da radim?

Dovodimo funkciju pod diferencijalnim predznakom:

Otvaranjem diferencijala lako je provjeriti da:

U stvari i Je zapis o istoj stvari.

No, ipak, ostalo je pitanje kako smo došli do ideje da na prvom koraku svoj integral trebamo napisati upravo ovako: ? Zašto tako, a ne drugačije?

Formula (i sve ostale formule tablice) su važeće i primjenjive NE SAMO za varijablu, već za bilo koji složeni izraz SAMO ARGUMENT FUNKCIJE(- u našem primjeru) I IZRAZ POD ZNAKOM DIFERENCIJALA BILI IDEALNO .

Stoga bi mentalno rezonovanje prilikom rješavanja trebalo biti otprilike ovako: „Moram riješiti integral. Pogledao sam u tabelu i našao sličnu formulu ... Ali imam komplikovanu argumentaciju i ne mogu odmah da upotrebim formulu. Međutim, ako ga uspijem staviti pod znak diferencijala, onda će sve biti u redu. Ako zapišem, onda. Ali u originalnom integralu nema trostrukog faktora, dakle, da se integralan ne bi promijenio, moram ga pomnožiti sa." U toku otprilike takvog mentalnog zaključivanja, rađa se zapis:

Sada možete koristiti tabelarnu formulu :

Spreman

Jedina razlika je što nemamo slovo "X", već složen izraz.

Hajde da proverimo. Otvaramo tabelu izvedenica i razlikujemo odgovor:

Dobija se originalni integrand, što znači da je integral pravilno pronađen.

Napominjemo da smo tokom testa koristili pravilo za razlikovanje složene funkcije . U stvari, dovođenje funkcije pod znak diferencijala i Da li su dva međusobno inverzna pravila.

Primjer 2

Analiziramo funkciju integranda. Ovdje imamo razlomak, a nazivnik je linearna funkcija (sa "x" u prvom stepenu). Gledamo tablicu integrala i nalazimo najsličniju stvar: .

Dovodimo funkciju pod diferencijalnim predznakom:

Oni kojima je teško odmah shvatiti kojim razlomkom da pomnože, mogu brzo otkriti razliku na nacrtu:. Da, ispada, da se ništa ne promijeni, moram pomnožiti integral sa.
Zatim koristimo tabelarnu formulu :

pregled:


Dobija se originalni integrand, što znači da je integral pravilno pronađen.

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral. Provjeri.

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral. Provjeri.

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Odgovor je na kraju lekcije.

Uz određeno iskustvo u rješavanju integrala, ovakvi primjeri će se činiti lakim i kliknuti će kao orasi:

Na kraju ovog odjeljka, također bih se želio zadržati na "slobodnom" slučaju kada varijabla ulazi u linearnu funkciju s jediničnim koeficijentom, na primjer:

Strogo govoreći, rješenje bi trebalo izgledati ovako:

Kao što vidite, stavljanje funkcije pod predznak diferencijala bilo je "bezbolno", bez ikakvog množenja. Stoga se u praksi tako dugo rješenje često zanemaruje i to odmah zapisuje ... Ali budite spremni, ako je potrebno, objasniti učitelju kako ste se odlučili! Pošto u tabeli uopšte nema integrala.

Metoda promjene varijabli u neodređenom integralu

Prelazimo na razmatranje opšteg slučaja – metode promene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral.

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, da bismo riješili integral, svidjela nam se tabelarna formula , i želio bih da svedem na nju.

Ideja iza metode zamjene je da zamijenite složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom.
V u ovom slučaju moli:
Drugo najpopularnije zamjensko pismo je pismo.
U principu, mogu se koristiti i druga slova, ali ćemo se ipak držati tradicije.

dakle:
Ali kod zamjene još uvijek imamo! Vjerovatno su mnogi pretpostavili da ako se napravi prijelaz na novu varijablu, onda u novom integralu sve treba biti izraženo slovom, a za diferencijal nema mjesta.
Slijedi logičan zaključak koji vam je potreban pretvoriti u neki izraz koji zavisi samo od.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo pronašli zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. Sa razlikama, mislim da su svi već uspostavili prijateljstvo.

Od tada

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučujem da prepišete konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam treba:

na kraju:
Na ovaj način:

A ovo je već najtabelarniji integral (tabela integrala naravno vrijedi i za varijablu).

U zaključku, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Zapamtite da.

Spreman.

Konačni izgled razmatranog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pišete primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima, pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

Sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema fundamentalne razlike. Oni su zapravo ista stvar. Ali sa stanovišta dizajna zadatka, metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak je mnogo kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Stvar je u tome da za jedan broj integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod znakom diferencijala.

Primjer 6

Pronađite neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, originalni integral je postao mnogo jednostavniji - sveden na običnu funkciju snage. Ovo je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral stavljajući funkciju pod diferencijalni predznak:

Druga stvar je što takvo rješenje nije očigledno za sve studente. Osim toga, već u ovom primjeru, korištenje metode dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u rješenju.

Primjer 7

Pronađite neodređeni integral. Provjeri.

Primjer 8

Pronađite neodređeni integral.

Zamjena:
Ostaje da se sazna šta će postati

Dobro, izrazili smo to, ali šta da radimo sa "x" preostalim u brojiocu ?!
S vremena na vrijeme, u toku rješavanja integrala, dolazi do sljedećeg trika: izražavamo iz iste zamjene!

Primjer 9

Pronađite neodređeni integral.

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Odgovor je na kraju lekcije.

Primjer 10

Pronađite neodređeni integral.

Sigurno su neki primijetili da u mojoj tabeli za pretraživanje ne postoji pravilo zamjene varijabli. To je urađeno namjerno. Pravilo bi zbunilo objašnjenje i razumijevanje, budući da se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Sada je vrijeme da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijable: integrand mora sadržavati neku funkciju i njenu derivaciju:(funkcije možda neće biti u funkciji)

U tom smislu, prilikom pronalaženja integrala, često se mora pogledati tabela derivacija.

U ovom primjeru imajte na umu da je stepen brojioca jedan manji od stepena nazivnika. U tabeli derivata nalazimo formulu koja samo snižava stepen za jedan. I, stoga, ako odredite za nazivnik, onda su velike šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Prelazimo na razmatranje opšteg slučaja – metode promene varijabli u neodređenom integralu.

Primjer 5

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, da bismo riješili integral, svidjela nam se tabelarna formula , i želio bih da svedem na nju.

Ideja iza metode zamjene je da zamijenite složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom.
U ovom slučaju, traži se:
Drugo najpopularnije zamjensko pismo je pismo.
U principu, mogu se koristiti i druga slova, ali ćemo se ipak držati tradicije.

dakle:
Ali kod zamjene još uvijek imamo! Vjerovatno su mnogi pretpostavili da ako se napravi prijelaz na novu varijablu, onda u novom integralu sve treba biti izraženo slovom, a za diferencijal nema mjesta.
Slijedi logičan zaključak koji vam je potreban pretvoriti u neki izraz koji zavisi samo od .

Radnja je sljedeća. Nakon što smo pronašli zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. Sa razlikama, mislim da su svi već uspostavili prijateljstvo.

Od tada

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučujem da prepišete konačni rezultat što je kraće moguće:
Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam treba:

na kraju:
Na ovaj način:

A ovo je već najtabelarniji integral (tabela integrala naravno vrijedi i za varijablu).

U zaključku, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Zapamtite da.

Spreman.

Konačni izgled razmatranog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pišete primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima, pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

Sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema fundamentalne razlike. Oni su zapravo ista stvar. Ali sa stanovišta dizajna zadatka, metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak je mnogo kraća.

Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Stvar je u tome da za jedan broj integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod znakom diferencijala.

Primjer 6

Pronađite neodređeni integral.

Napravimo zamjenu: (ovdje je teško smisliti drugu zamjenu)

Kao što vidite, kao rezultat zamjene, originalni integral je postao mnogo jednostavniji - sveden na običnu funkciju snage. Ovo je svrha zamjene - pojednostaviti integral.

Lijeni napredni ljudi mogu lako riješiti ovaj integral stavljajući funkciju pod diferencijalni predznak:

Druga stvar je što takvo rješenje nije očigledno za sve studente. Osim toga, već u ovom primjeru, korištenje metode dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak značajno povećava rizik od zabune u rješenju.

Primjer 7

Pronađite neodređeni integral. Provjeri.

Primjer 8

Pronađite neodređeni integral.

Zamjena:
Ostaje da se sazna šta će postati

Dobro, izrazili smo to, ali šta da radimo sa "x" preostalim u brojiocu ?!
S vremena na vrijeme, u toku rješavanja integrala, dolazi do sljedećeg trika: izražavamo iz iste zamjene!

Primjer 9

Pronađite neodređeni integral.

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Odgovor je na kraju lekcije.

Primjer 10

Pronađite neodređeni integral.

Sigurno su neki primijetili da u mojoj tabeli za pretraživanje ne postoji pravilo zamjene varijabli. To je urađeno namjerno. Pravilo bi zbunilo objašnjenje i razumijevanje, budući da se ne pojavljuje eksplicitno u gornjim primjerima.

Sada je vrijeme da razgovaramo o osnovnoj premisi korištenja metode zamjene varijable: integrand mora sadržavati neku funkciju i njen derivat : (funkcije možda neće biti u funkciji)

U tom smislu, prilikom pronalaženja integrala, često se mora pogledati tabela derivacija.

U ovom primjeru imajte na umu da je stepen brojioca jedan manji od stepena nazivnika. U tabeli derivata nalazimo formulu koja samo snižava stepen za jedan. I, stoga, ako odredite za nazivnik, onda su velike šanse da će se brojnik pretvoriti u nešto dobro.

Zamjena:

Usput, ovdje nije tako teško dovesti funkciju pod diferencijalni predznak:

Treba napomenuti da za razlomke poput, takav trik više neće raditi (tačnije, bit će potrebno primijeniti ne samo tehniku ​​zamjene). Možete naučiti kako integrirati neke razlomke u lekciji. Integracija nekih razlomaka.

Evo još par tipičnih primjera za nezavisno rješenje iz iste opere:

Primjer 11

Pronađite neodređeni integral.

Primjer 12

Pronađite neodređeni integral.

Rješenja na kraju lekcije.

Primjer 13

Pronađite neodređeni integral.

Gledamo tablicu derivacija i nalazimo naš arkosinus: ... U našem integrandu imamo inverzni kosinus i nešto slično njegovom derivatu.

Opće pravilo:
Per označava samu funkciju(a ne njegov derivat).

U ovom slučaju: . Ostaje da saznamo u šta će se pretvoriti ostatak integranda.

U ovom primjeru ću detaljno opisati nalaz budući da je to složena funkcija.

Ili kraće:
Prema pravilu proporcije izražavamo ostatak koji nam je potreban:

Na ovaj način:

Ovdje više nije tako lako dovesti funkciju pod diferencijalni predznak.

Primjer 14

Pronađite neodređeni integral.

Primjer za nezavisno rješenje. Odgovor je vrlo blizu.

Pronicljivi čitaoci će primijetiti da sam pogledao nekoliko primjera sa trigonometrijskim funkcijama. I to nije slučajno, jer je posebna lekcija posvećena integralima trigonometrijskih funkcija. Štaviše, ova lekcija pruža neke korisne smjernice za promjenu varijable, što je posebno važno za lutke koji ne razumiju uvijek i ne razumiju odmah kakvu zamjenu treba izvršiti u određenom integralu. Također, neke vrste zamjena mogu se naći u članku Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Iskusniji studenti mogu se upoznati sa tipičnom zamjenom u integralima sa iracionalnim funkcijama. Zamjena kod integracije korijena je specifična, a tehnika njenog izvođenja se razlikuje od one o kojoj smo raspravljali u ovoj lekciji.

Želim vam uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje:

Primjer 4: Rješenje:

Primjer 7: Rješenje:

Primjer 9: Rješenje:

Zamjena:

Primjer 11: Rješenje:

Zamenimo:

(vidi članak Metoda promjene varijabli u neodređenom integralu ) ili je integral samo uključen metoda integracije po dijelovima.

Kao i uvek, trebalo bi da imate pri ruci: Integralna tablica i Tabela derivata... Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje web stranice: Matematičke formule i tabele... Neću se umoriti od ponavljanja - bolje je sve odštampati. Trudiću se da sav materijal predstavim dosljedno, jednostavno i lako, nema posebnih poteškoća u integraciji po dijelovima.

Koji problem rješava metoda integracije po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućava vam da integrišete neke funkcije koje nedostaju u tabeli, rad

3) , , - trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4), - inverzne trigonometrijske funkcije ("lukovi"), "lukovi", pomnoženi nekim polinomom.

Također, neki razlomci su uzeti u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Ranije smo za datu funkciju, vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli njen izvod. Izvod ima brojne primjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih zadataka.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, a brzina njenog kretanja u trenutku t data je formulom v = gt. Nađi zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s (t) traženi zakon kretanja. Poznato je da je s "(t) = v (t). Dakle, za rješavanje problema potrebno je odabrati funkciju s = s (t), čiji je izvod jednak gt. Lako je pretpostaviti da je \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \).
\ (s "(t) = \ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) \ desno)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Odgovor: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \ (\ lijevo (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ desno) "= gt \)

Da bismo problem učinili preciznijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinatu pokretne tačke u nekom trenutku vremena, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s (0) = s 0, onda od iz jednakosti s (t) = (gt 2) / 2 + C dobijamo: s (0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno određen: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.

U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena, dolaze sa posebnim oznakama, na primjer: kvadrat (x 2) i kvadratni korijen (\ (\ sqrt (x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x) i sl. Poziva se proces nalaženja derivacije u odnosu na datu funkciju diferencijaciju, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije je integrišući.

Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnom životu“: funkcija y = f (x) „proizvodi“ novu funkciju y „= f“ (x). Funkcija y = f (x) se ponaša kao da je "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne zovu "roditelj" ili "proizvođač", već kažu da jeste, u odnosu na funkciju y "= f" (x) , primarna slika ili antiderivat.

Definicija. Funkcija y = F (x) naziva se antiderivatom za funkciju y = f (x) na intervalu X ako je za \ (x \ u X \) jednakost F "(x) = f (x)

U praksi, interval X obično nije naznačen, već impliciran (kao prirodna domena funkcije).

Evo nekoliko primjera.
1) Funkcija y \ u003d x 2 je antiderivat za funkciju y \ u003d 2x, jer je za bilo koji x jednakost (x 2) "= 2x
2) Funkcija y \ u003d x 3 je antiderivat za funkciju y \ u003d 3x 2, jer je za bilo koji x jednakost (x 3) "\ u003d 3x 2
3) Funkcija y = sin (x) je antiderivat za funkciju y = cos (x), jer za bilo koje x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)

Prilikom pronalaženja antiderivata, poput derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima izračunavanja izvedenica.

Znamo da je izvod zbira jednak zbiru izvoda. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo dovodi do odgovarajućeg pravila za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F (x) antiderivat za f (x), onda je kF (x) antiderivat za kf (x).

Teorema 1. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x), tada je antiderivat za funkciju y = f (kx + m) funkcija \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)

Teorema 2. Ako je y = F (x) antiderivat za funkciju y = f (x) na intervalu X, tada funkcija y = f (x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F (x) + C.

Metode integracije

Varijabilna metoda zamjene (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom sastoji se u uvođenju nove varijable integracije (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za uparivanje zamjena. Sposobnost da se pravilno identifikuje zamena stiče se praksom.
Neka je potrebno izračunati integral \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). Napravimo zamjenu \ (x = \ varphi (t) \) gdje je \ (\ varphi (t) \) funkcija s kontinuiranim izvodom.
Tada \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)

Integracija izraza kao što je \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)

Ako je m neparan, m> 0, tada je zgodnije zamijeniti sin x = t.
Ako je n neparno, n> 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti supstituciju tg x = t.

Integracija dio po dio

Integracija po dijelovima - Primjena sljedeće formule za integraciju:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
ili:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)

Tabela neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

Ako funkcija x = φ (t) ima kontinuirani izvod, tada se u datom neodređenom integralu ∫f (x) dx uvijek može prijeći na novu varijablu t po formuli

∫f (x) dx = ∫f (φ (t)) φ "(t) dt

Zatim pronađite integral s desne strane i vratite se na originalnu varijablu. Štaviše, integral na desnoj strani ove jednakosti može se pokazati jednostavnijim od integrala na lijevoj strani ove jednakosti, ili čak tabelarni. Ovaj način pronalaženja integrala naziva se metoda promjene varijabli.

Primjer 7. ∫x√x-5dx

Da bismo se riješili korijena, stavljamo √x-5 = t. Dakle, x = t 2 +5 i, prema tome, dx = 2tdt. Izvršavajući zamjenu, redom imamo:

∫x√x-5dx = ∫ (t 2 +5) 2tdt = ∫ (2t 4 + 10t 2) dt = 2∫t 4 dt + 10∫t 2 dt =

III. Integracija po dijelovima

Metoda integracije po dijelovima zasniva se na sljedećoj formuli:

∫udv = uv-∫vdu

gdje su u (x), v (x) kontinuirano diferencibilne funkcije. Formula se zove formula za integraciju po dijelovima. Ova formula pokazuje da integral ∫udv vodi do integrala ∫vdu, koji se može pokazati jednostavnijim od originalnog, ili čak tabelarnog.

Primjer 12. Naći neodređeni integral ∫xe -2x dx

Koristimo metodu integracije po dijelovima. Stavite u = x, dv = e -2x dx. Tada je du = dx, v = ∫xe -2x dx = -e -2x + C Dakle, po formuli imamo: ∫xe -2x dx = x (-e -2x) -∫- -2 dx = -e - 2x -e -2x + C

23 . Racionalni razlomak je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi.

Racionalni razlomci. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Bilo koja racionalna funkcija može se predstaviti kao racionalni razlomak, odnosno kao omjer dva polinoma:

Ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika, tada se razlomak naziva ispravan, inače se zove razlomak pogrešno.

Ako je razlomak netačan, onda, dijeljenjem brojnika sa nazivnikom (prema pravilu dijeljenja polinoma), ovaj razlomak možete predstaviti kao zbir polinoma i nekog pravilnog razlomka: , gdje M (x) - polinom, ali pravilan razlomak.

primjer: Neka je dat netačan racionalni razlomak.

Onda , budući da pri dijeljenju uglom dobijemo ostatak (4x-6).

Pošto integracija polinoma ne predstavlja fundamentalne poteškoće, glavna poteškoća u integraciji racionalnih razlomaka je integracija pravilnih racionalnih razlomaka.

Postoji nekoliko vrsta racionalnih razlomaka:

II. Pogled: (k-pozitivan cijeli broj ³2).

IY. Pogledaj: (k-cijeli broj ³2).

Razmotrimo integrale najjednostavnijih racionalnih razlomaka.

I. .

II. =A .

24 .Integracija racionalnih razlomaka

Neka je integrand racionalni razlomak gdje su i polinomi (polinomi) stupnjeva k i n respektivno. Bez gubljenja uopštenosti, možemo to pretpostaviti k < n, jer se inače brojilac uvijek može predstaviti u obliku P (x) = Q (x) R (x) + S (x) gdje su R (x) i S (x) polinomi, koji se obično nazivaju, kao u slučaju realni brojevi, količnik i ostatak, a stepen polinoma S (x) je manji od n... Onda

, (1.1)

i možemo izračunati integral polinoma R (x). Pokažimo na primjeru kako se može dobiti ekspanzija (1.1). Neka je P (x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q (x) = x + 3x 2 + x-2. Podijelite polinom P (x) sa polinomom Q (x) na isti način kao što dijelimo realne brojeve (rješenje se dobija pomoću kalkulatora dugih podjela). Tako smo dobili cijeli broj razlomka (količnik dijeljenja polinoma P polinomom Q) R (x) = x 4 + 2x 2 - 4x + 7 i ostatak S (x) = 9x 2 - 14x + 12 iz ove divizije. Prema glavnoj teoremi algebre, svaki polinom se može razložiti na jednostavne činioce, odnosno predstaviti u obliku, gdje su korijeni polinoma Q (x) ponovljeni onoliko puta koliko je njihova višestrukost. Neka polinom Q (x) ima n različitih korijena. Tada se tačan racionalni razlomak može predstaviti kao , gdje se trebaju odrediti brojevi. Ako je korijen višestrukosti α, onda u proširenju na elementarne razlomke odgovara α članovima ... Ako je x j kompleksni korijen višestrukosti polinoma sa realnim koeficijentima, tada je kompleksni konjugirani broj također korijen višestrukosti α ovog polinoma. Kako se ne bi bavili kompleksnim brojevima pri integraciji racionalnih razlomaka, članovi u ekspanziji pravilnog racionalnog razlomka, koji odgovaraju parovima kompleksno konjugiranih korijena, kombinuju se i zapisuju u jedan član oblika, ako - korijeni višestrukosti jedan. Ako su korijeni višestrukosti, onda im pojmovi odgovaraju i odgovarajuća ekspanzija ima oblik

Dakle, integracija regularnih racionalnih razlomaka je svedena na integraciju najjednostavnijih razlomaka, od kojih su tabelarni, mogu se naći po rekurzivnoj formuli, koja se dobija integracijom po dijelovima. Integrali, u slučaju kada nazivnik ima kompleksne korijene (diskriminant), svode se, odvajanjem punog kvadrata, na integrale, zamjenom. Jedan od načina za pronalaženje koeficijenata u ekspanziji ispravnog racionalnog razlomka je sljedeći. Desna strana rezultujuće ekspanzije sa nedefinisanim koeficijentima vodi do zajedničkog nazivnika. Pošto su imenioci desne i lijeve strane jednaki, brojnici, koji su polinomi, također moraju biti jednaki. Izjednačavajući koeficijente na istim stepenima (pošto su polinomi jednaki ako su koeficijenti na istim stepenima jednaki), dobijamo sistem linearnih jednačina za određivanje ovih koeficijenata.

25. Integracija iracionalnih funkcija – Opšti princip integracije iracionalnih izraza je da se promeni promenljiva da bi se uklonili koreni u integrandu. Za neke klase funkcija, ovaj cilj se postiže korištenjem standardnih zamjena.

Integrali oblika .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili.

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili.

26 ... Integracija iracionalnih funkcija – Opšti princip integracije iracionalnih izraza je da se promeni promenljiva da bi se uklonili koreni u integrandu. Za neke klase funkcija, ovaj cilj se postiže korištenjem standardnih zamjena.

Integrali oblika , gdje je racionalna funkcija njegovih argumenata, izračunavaju se zamjenom .

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili.

Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili. Integrali oblika izračunavaju se zamjenom ili.

A načini svođenja integrala na tabelarne za vas smo naveli:

varijabilna metoda zamjene;

način integracije po dijelovima;

Metoda direktne integracije

načini predstavljanja neodređenih integrala u terminima tabelarnih integrala za integrale racionalnih razlomaka;

metode za predstavljanje neodređenih integrala u terminima tabelarnih integrala za integrale iracionalnih izraza;

načini izražavanja neodređenih integrala u terminima tabelarnih integrala za trigonometrijske funkcije.

Neodređeni integral funkcije stepena

Neodređeni integral eksponencijalne funkcije

Ali neodređeni integral logaritma nije tabelarni integral, umjesto toga tabela je formula:

Neodređeni integrali trigonometrijskih funkcija: Integrali sinusnog kosinusa i tangente

Neodređeni integrali s inverznim trigonometrijskim funkcijama

Svođenje na tabelarni prikaz ili metoda direktne integracije... Uz pomoć identičnih transformacija integranda, integral se svodi na integral, na koji su primenljiva osnovna pravila integracije i može se koristiti tabela osnovnih integrala.

Primjer

Vježba. Pronađite integral

Rješenje. Koristićemo svojstva integrala i dovesti ovaj integral u tabelarni oblik.

Odgovori.

Tehnički varijabilna metoda zamjene u neodređenom integralu se ostvaruje na dva načina:

– Dovođenje funkcije pod diferencijalni predznak. - Stvarna zamjena varijable.

Dodjela funkcije pod diferencijalnim predznakom

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral. Provjeri.

Analiziramo funkciju integranda. Ovdje imamo razlomak, a nazivnik je linearna funkcija (sa "x" u prvom stepenu). Gledamo tablicu integrala i nalazimo najsličniju stvar:.

Dovodimo funkciju pod diferencijalnim predznakom:

Oni kojima je teško odmah shvatiti kojim razlomkom da pomnože, mogu brzo otkriti razliku na nacrtu:. Da, ispada, da se ništa ne promijeni, moram pomnožiti integral sa. Zatim koristimo tabelarnu formulu:

pregled: Dobija se originalni integrand, što znači da je integral pravilno pronađen.

Metoda promjene varijabli u neodređenom integralu

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral.

Kao primjer uzeo sam integral koji smo razmatrali na samom početku lekcije. Kao što smo već rekli, da bismo riješili integral, svidjela nam se tabelarna formula , i želio bih da svedem na nju.

Ideja iza metode zamjene je da zamijenite složeni izraz (ili neku funkciju) jednim slovom. U ovom slučaju se nameće samo od sebe: Drugo najpopularnije zamjensko pismo je pismo. U principu, mogu se koristiti i druga slova, ali ćemo se ipak držati tradicije.

dakle: Ali kod zamjene još uvijek imamo! Vjerovatno su mnogi pretpostavili da ako se napravi prijelaz na novu varijablu, onda u novom integralu sve treba biti izraženo slovom, a za diferencijal nema mjesta. Slijedi logičan zaključak koji vam je potreban pretvoriti u neki izraz koji zavisi samo od.

Radnja je sljedeća. Nakon što smo pronašli zamjenu, u ovom primjeru, moramo pronaći diferencijal. Sa razlikama, mislim da su svi već uspostavili prijateljstvo.

Od tada

Nakon obračuna s diferencijalom, preporučujem da prepišete konačni rezultat što je kraće moguće: Sada, prema pravilima proporcije, izražavamo ono što nam treba:

na kraju: Na ovaj način: A ovo je već najtabelarniji integral (tabela integrala naravno vrijedi i za varijablu).

U zaključku, ostaje izvršiti obrnutu zamjenu. Zapamtite da.

Spreman.

Konačni izgled razmatranog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

“

Zamenimo:

“

Ikona nema nikakvo matematičko značenje, znači da smo prekinuli rješenje za međuobjašnjenja.

Kada pišete primjer u bilježnici, bolje je nadpisati obrnutu zamjenu jednostavnom olovkom.

Pažnja! U sljedećim primjerima, pronalaženje diferencijala neće biti detaljno opisano.

Sada je vrijeme da se prisjetimo prvog rješenja:

Koja je razlika? Nema fundamentalne razlike. Oni su zapravo ista stvar. Ali sa stanovišta dizajna zadatka, metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak je mnogo kraća. Postavlja se pitanje. Ako je prvi način kraći, zašto onda koristiti metodu zamjene? Stvar je u tome da za jedan broj integrala nije tako lako "uklopiti" funkciju pod znakom diferencijala.

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Integrali logaritama

Primjer 1

Pronađite neodređeni integral.

Classic. S vremena na vrijeme, ovaj integral se može naći u tabelama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, jer učitelj ima proljetni nedostatak vitamina i snažno će psovati. Zato što razmatrani integral nikako nije tabelarni - uzima se dio po dio. Odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu za integraciju po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo na lijevu stranu:. Očigledno, u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti za, a nešto za.

U integralima tipa koji se razmatra zauvijek označena logaritmom.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, u stupac pišemo:

To jest, jer smo označili logaritam, a za - preostali dio integrand izraz.

Sljedeći korak: pronađite diferencijal:

Diferencijal je skoro isti kao i derivat, kako ga pronaći, već smo analizirali u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Da bi se pronašla funkcija, potrebno je integrirati desna strana niža jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule:. Usput, evo uzorka konačnog rješenja sa malim napomenama.