Razmotrimo prvo koncept varijabilne količine ili jednostavno varijable.

Varijabilna vrijednost X određen je skupom vrijednosti koje može poprimiti u slučaju koji se razmatra. Ovo je mnogo X nazovimo područje promjene vrijednosti varijabli x.

Glavni predmet proučavanja matematike, međutim, nije promjena jedne varijable u sebi, već odnos između dvije ili više varijabli kada se one zajedno mijenjaju. U mnogim slučajevima, varijable ne mogu preuzeti nijedan par vrijednosti iz svog opsega; ako se jednom od njih da određeno značenje, onda to već određuje značenje drugog. Tada se poziva prvi nezavisni , a drugi – zavisan varijabla.

Neka su date dvije varijable x I y sa oblastima promena X I Y. Ako svaki element x X By određeno pravilo f jedan element se podudara y Y, onda to kažu na setu X dato funkcija y = f(x).

Jasno je da je u ovom slučaju varijabla x je nezavisna varijabla. Često je zovu argument funkcije.

Varijabilna y je zavisna varijabla i naziva se vrijednost funkcije, ili jednostavno funkcija.

Gomila X pozvao domenu definicije funkcije i set Y - region ona vrijednosti .

Postoji više načina zadaci funkcija:

A) najjednostavniji - analitički metoda, tj. specificiranje funkcije u obliku formule. Ako je domena funkcije X nije naznačeno, onda pod X višestruka značenja x, za koje formula ima smisla;

b) grafički način. Ova metoda je posebno jasna. Za funkciju jedne varijable y= f(x) koristi se koordinatna ravan ( xy).

Prikupljanje bodova y, odgovarajući date vrijednosti x, određuje graf funkcije na ravni ( xy);

V) tabelarni način. Često se koristi kada je nezavisna varijabla x uzima samo konačan broj vrijednosti.

5.2. Osnovna svojstva funkcija

Razmotrimo glavna svojstva funkcija koja pojednostavljuju njihovo istraživanje:

Paritet. Funkcija y = f(x) se zove čak , ako za bilo koju vrijednost x, koji pripada domeni definicije funkcije X, što znači (- x) takođe pripada X a istovremeno se i sprovodi

f(–x) =f(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija y = f(x) se zove odd , ako postoji x X slijedi (- x) X i gde

f(–x) = –f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Ako je funkcija y = f(x) nije ni paran ni neparan, često se naziva funkcija opšti pogled .

Monotona. Funkcija y = f(x) se zove povećanje u nekom intervalu ( a, b), ako postoji x 1 , x 2 (a, b), takav

Šta x 1 < x 2, iz toga slijedi f(x 1) < f(x 2), i opadajući , Ako f(x 1) >f(x 2).

Povećanje i smanjenje u intervalu ( a,b) funkcije se pozivaju monotono na ovom intervalu, i sam interval ( a,b) - interval monotonosti ovih funkcija.

U nekim udžbenicima se takve funkcije nazivaju strogo monotono, A monotono poziva se funkcija koja nije opadajuća i ne raste na intervalu koji se razmatra (umjesto strogih nejednakosti za funkcije pišu se nestroge nejednakosti).

Ograničenje. Funkcija y = f(x) se zove ograničeno na intervalu ( a, b), ako takav broj postoji WITH> 0, što za bilo koje x (a, b) trebalo bi |f(x)| < C , a inače neograničeno, tj. za bilo koji broj C> 0 takav postoji x (a, b), Šta |f(x)| > C. Na sl. Slika 5.1 prikazuje graf funkcije ograničene na interval ( a, b).

Slična definicija ograničenosti može se dati za bilo koji tip intervala.

Periodičnost. Funkcija y = f(x) se zove periodično, ako takav broj postoji t to za bilo koga x X izvedeno

f(x+t)= f(x).

Najmanji od ovih brojeva t pozvao period funkcije i određen je T.

Karakteristična karakteristika periodičnosti funkcija je prisustvo trigonometrijskih funkcija u njihovom sastavu.

5.3. Elementarne funkcije i njihovi grafovi

Osnovne funkcije uključuju:

A) najjednostavnije elementarne funkcije

1. Konstantnoy = c, Gdje With- konstantan realni broj za datu funkciju, isti za sve vrijednosti x.

2. Funkcija napajanja, gdje je bilo koji konstantni realni broj osim nule. Tip grafova funkcija za neke pozitivne cijele brojeve ( = n), negativni cijeli brojevi ( = – n) i razlomak ( = 1/ n) vrijednosti su prikazane u nastavku.

4. Logaritamska funkcija y=log sjekira (a > 0; a 1).

5. Trigonometrijske funkcije: y= grijeh x, y=cos x, y= tg x, y=ctg x.

6. Inverzne trigonometrijske funkcije.

y= arcsin x y= arccos x

y= arktan x y= arcctg x

b) složene funkcije

Pored navedenih najjednostavnijih elementarnih funkcija argumenta x elementarne funkcije također uključuju funkcije čiji su argumenti također elementarne funkcije, kao i funkcije dobivene izvođenjem konačnog broja aritmetičkih operacija na elementarne funkcije. Na primjer, funkcija

je također elementarna funkcija.

Pozivaju se funkcije čiji argumenti nisu nezavisne varijable, ali druge funkcije složene funkcije ili superpozicije funkcija. Neka su date dvije funkcije: y= grijeh x I z= dnevnik 2 y. Tada složena funkcija (superpozicija funkcija) može imati oblik

z= log 2 (sin x).

Također možete predstaviti koncept inverzna funkcija .Let y = f(x) je dato u domenu definicije X, A Y- ima mnogo značenja. Odaberimo neku vrijednost y= y 0 i koristite ga za pronalaženje x 0 tako da y 0 je bilo jednako f(x 0).Slične vrijednosti x Može biti nekoliko 0.

Dakle, za svaku vrijednost y od Y dodijeljena je jedna ili više vrijednosti x. Ako je takva vrijednost x samo jedna stvar, onda u oblasti Y funkcija se može definirati x= g(y), koji se zove obrnuto za funkciju y = f(x).

Nađimo npr. inverzna funkcija za eksponencijalnu funkciju y = sjekira. Iz definicije logaritma slijedi da ako je vrijednost data y, zatim vrijednost x, zadovoljavajući uslov y = sjekira, nalazi se po formuli x=log a y. Odnosno, svi y od Y može se dodijeliti jednoj specifičnoj vrijednosti x=log a y.

Dakle, funkcija x=log a y je inverzna funkcija y = sjekira na setovima X I Y. Pošto je uobičajeno označavati nezavisnu varijablu bilo koje funkcije x, onda u ovom slučaju kažu to y = f(x) I y= g(x) su inverzne funkcije.

Grafovi funkcija y = f(x) i njegovu inverznu funkciju y= g(x) su simetrične u odnosu na simetralu 1. i 3. koordinatnog ugla.

Ponovimo pojmove funkcije i njenih svojstava, koji će nam biti potrebni za daljnji prikaz materijala.

Definicija. Funkcija F(X) je pravilo koje dozvoljava da svaka vrijednost xX bude povezana s jednom vrijednošćuY = F(X)Y, gdje je x nezavisna varijabla (argument),Y- zavisna varijabla (vrijednost funkcije). Kažu funkcijaFIma Domain D(F)= XI Raspon vrijednosti R(F) Y.

Definicija. Mnogo parova ((X, F(X)): XD(F)) se zove Funkcijski graf F .

Postoje tri glavna načina za specificiranje funkcije:

 kada Analitička metoda definirajući funkciju, ovisnost između varijabli određuje se formulom;

 kada Tabelarni metod dodjele funkcija se ispisuju određenim redoslijedom, vrijednosti argumenata i odgovarajuće vrijednosti funkcije;

 kada Grafički Kada se specificira funkcija, odnos između varijabli se odražava pomoću grafa.

Pogledajmo neke funkcionalne zavisnosti koje se koriste u ekonomiji:

 Funkcija potražnje- zavisnost od potražnje D za neki proizvod od njegove cijene P;

 Funkcija sugestije- zavisnost od snabdevanja S nekog proizvoda od njegove cijene P;

 Korisna funkcija- subjektivna numerička procjena korisnosti od strane date osobe I i količine X roba za njega;

 Funkcija troškova- zavisnost troškova I za proizvodnju X jedinice proizvodnje;

 Stopa poreza- zavisnost poreske stope N kao procenat godišnjeg prihoda Q.

Sve ove funkcije, osim posljednje, vrlo je teško analitički izraziti. Ako je potrebno, pronalaze se mukotrpnom analizom. Ova druga funkcija je, naprotiv, obično prilično poznata cijelom društvu i zakonski je odobrena.

Definicija. Funkcija F ( X ) ima ograničenje B , kada x teži ka a, ako su vrijednostiF(X) približite se broju koliko god želiteB, kada se vrijednosti varijable x približe proizvoljno broju a.

Oznaka. .

Treba napomenuti da ova definicija uzima u obzir vrijednosti X, proizvoljno blizu broja A, ali se ne poklapa sa A.

Definicija. Ako je funkcijaF(X) je definirana u tački a i vrijedi jednakost , ToF(X) naziva se kontinuirana funkcija u tački a.

Definicija. Poziva se funkcija koja je neprekidna u svakoj tački svoje domene definicije Kontinuirana funkcija. Inače se poziva funkcija Eksplozivno.

Grafikon kontinuirane funkcije može se nacrtati bez podizanja ruke.

Kontinuirane funkcije imaju sljedeća svojstva:

 zbir ili proizvod kontinuiranih funkcija je kontinuirana funkcija;

 omjer dvije kontinuirane funkcije je kontinuirana funkcija u svim tačkama u kojima nazivnik omjera ne nestaje.

Komentar. Metoda koja je efikasna u analizi kontinuiranih funkcija može biti neučinkovita u proučavanju diskontinuiranih funkcija, iako nije isključeno suprotno.

Definicija. FunkcijaF(X) se zove Povećanje (opadajuće) na setuX, ako iz činjenice daX1 < X2 iz toga slediF(X1 )< F(X2 ) (F(X1 )> F(X2 )). FunkcijaF(X) se zove Neopadajuća (nepovećavajuća) na setuX, ako iz činjenice daX1  X2 , X1 , X2  Xiz toga slediF(X1 ) F(X2 ) (F(X1 ) F(X2 )).

Teorema. Neka funkcijaF(X) je diferencibilan na intervalu (A, B). onda:

 Ako je prvi izvod funkcijeSvugdje u ovom intervalu, funkcija se povećava na njemu;

 Ako je prvi derivatsvuda u ovom intervalu, tada funkcija opada;

 Prvi derivatSvugdje u ovom intervalu, funkcija je konstantna na ovom intervalu.

Definicija. Pozivaju se rastuće, opadajuće, neopadajuće, nerastuće funkcije Monotono.

Komentar. Monotona funkcija ne mora biti kontinuirana.

Primjer 1. Naći intervale monotonosti funkcije F(X)=(1- X2 )3 .

. Pronalaženje izvoda: Hajde da riješimo jednačinu. Dobijamo X1=0, x2=1, x3=-1. Funkcija F(X) definiran i kontinuiran duž cijele brojevne prave. Stoga bodove X1, x2, x3 su kritične tačke. Nema drugih kritičnih tačaka, jer postoji svuda.

Kritične tačke ispitujemo određivanjem predznaka lijevo i desno od svake tačke. Da biste smanjili proračune i radi jasnoće, zgodno je napisati ovu studiju u obliku tabele. 1:

Tabela 1

F(X)	Dob		Dob		Desc.		Desc.

Prvi red sadrži sve kritične tačke po redosledu njihove lokacije na brojevnoj osi; Između njih su umetnute međutačke, koje se nalaze lijevo i desno od kritičnih tačaka. Drugi red sadrži znakove izvedenica u naznačenom međutačke. Treći red sadrži zaključak o ponašanju funkcije na ispitivanim intervalima. Na intervalu (-; 0) funkcija raste, na intervalu (0; +) funkcija opada.

Definicija. FunkcijaF(X) je Unimodal na segmentu [A, B] ako i samo ako je monotona sa obe strane jedine optimalne tačke x* na intervalu koji se razmatra.

Primjer 2. Evo primjera grafova unimodalnih funkcija:

 na sl. 6 kontinuirana funkcija;

 na sl. 7 - diskontinuirana funkcija;

 na sl. 8 - diskretna funkcija.

Skup funkcija koje su unimodalne na intervalu [ A; B] , označićemo

Q[ A; B] .

Za provjeru unimodalnosti funkcije F(X) u praksi se obično koriste sljedeći kriteriji:

1) ako je funkcija F(X) diferencibilan na intervalu [ A; B] i onda se derivat ne smanjuje na ovom segmentu F(X) Q[ A; B] ;

2) ako je funkcija F(X) dvaput diferencibilan na intervalu [ A; B] i kada X[A; B] , To F(X) Q[ A; B] .X=-0,5. Stoga, Ako H-0,5 a posebno kada X. Koristeći drugi kriterijum unimodalnosti, dobijamo to F(X) Q .

Definicija. Razmotrite set SR. Možemo odrediti korespondenciju po kojoj svaka tačka XS dodjeljuje se jedna brojčana vrijednost. Ova korespondencija se zove Skalarna funkcijaF, definisano na setuS.

Definicija. U teoriji optimizacijeFpozvao Objektivna funkcija, AS - Prihvatljivo područje , skup tačaka koje zadovoljavaju ograničenja, ili raspon dozvoljenih vrijednosti x.

Jedna varijabla funkcija

Funkcije jedne varijable.

Uvod

U matematici, osnovni pojmovi su koncept skupa, element skupa. Matematička analiza se prvenstveno bavi numeričkim skupovima.

U nastavku ćemo koristiti sljedeću simboliku:

N - skup prirodnih brojeva;

Z - skup cijelih brojeva;

Q - skup racionalnih brojeva;

R - skup realnih brojeva;

C – set kompleksni brojevi;

Î -	oznaka pripadnosti: XÎ X – element X pripada skupu X, XÏ X – X ne pripada skupu X;
Ì -	znak inkluzije: X Ì Y – skup X je podskup od Y;
È -	znak unije: X È Y – skup čiji elementi pripadaju X ili Y;
Ç -	znak preseka skupova: X Ç Y – skup čiji elementi pripadaju i X i Y u isto vreme;
\ -	znak za oduzimanje skupova: X\Y – skup koji se sastoji od elemenata skupa X koji ne pripadaju Y;
" -	kvantifikator univerzalnosti, glasi: “za bilo koga”, “za sve”, “svako”, “svako” itd.;
$ -	kvantifikator postojanja, glasi: “postoji”, “naći će se”;
Ù -	logičko “i” (veznik);
Ú -	logičko "ili" (dizjunkcija);
Þ -	znak posledice, glasi: “slijedi”, “sprovodi se”, “povlači”;
Û -	znak ekvivalencije, glasi: “tada i samo tada”, “potrebno i dovoljno”;
| ili:	- opisni (dešifrirajući) znakovi, glasi: „takvo da...“, „za koje se provodi...“ itd.

Na primjer, simbolička notacija " X ON$ y UKLJUČENO: ( y> x Ú y< x) glasi “za bilo koji prirodan broj X tamo će biti prirodni broj at nešto slično tome y> x, ili y< x».

Kao što znate, svaki realan broj povezan je s jednom tačkom na brojevnoj pravoj. Stoga ćemo se u budućnosti dogovoriti da identifikujemo pojmove „pravi broj“ i „tačka“ brojevne prave. Za numeričke intervale koristićemo sljedeću notaciju:

[a; b] ili a£ x £ b– zatvorena praznina ili linijski segment počevši od tačke A i završiti u jednom trenutku b;

(a; b) ili a< x < b– otvoreni prostor ili interval;

(a; b] ili a< x £ b,

[a; b) ili a£ x < b

– poluotvoreni prostori ili poluintervali;

[a; +¥) ili x³ a , (–¥; b] ili x £ b– zraci;

(a; +¥) ili x> a , (–¥ ; b) ili x < b– otvoreni zraci;

(–¥ ; +¥) ili –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

U nauci i praksi imamo posla razne vrste količine. Neki od njih, pod određenim uslovima, ostaju nepromenjeni (konstantni), drugi se menjaju (varijable). Na primjer, obim publike, banke su konstantne, a obim balon– promenljiva.

IN matematička analiza zanimaće nas samo numerički izraz ove ili one veličine, a ne njena priroda, tj. razmotrićemo apstraktno količine. Stoga ćemo konstantnom vrijednošću nazvati onu vrijednost koja poprima fiksnu, specifičnu (čak nepoznatu) vrijednost. Ovo ćemo označiti: X– konst. Najčešće se konstante označavaju početnim slovima. latinica: a, b, c, ... ili grčki a, b, e, l, ... .

Smatramo da je varijabla ona koja može biti proizvoljna numeričke vrijednosti iz nekog skupa brojeva. Varijable se najčešće označavaju slovima s kraja latinične abecede: X, at, z, t,... . Skup iz kojeg varijabla uzima vrijednosti naziva se domenom definicije ove varijable i piše se: xÎD.

Jedna varijabla funkcija

Uz pojam skupa i element skupa, osnovni pojmovi matematike uključuju i pojam korespondencije. Određena vrsta korespondencije naziva se funkcija.

Neka je skup X zadan sa elementima X i skup Y koji se sastoji od elemenata at(skupovi X i Y nisu prazni, njihovi elementi mogu biti bilo koje prirode).

Definicija 1.1 Ako svaki element X OH po nekom zakonu(pravilo) f jedan element se podudara at O U, onda kažu da je skup X dat funkcija y = f(x), X OH ili displej f: X → Y postavite X u skup Y.

Usvojena je sljedeća terminologija:

X– nezavisna varijabla ili argument,

X je domen definicije funkcije i svakog elementa X OH – vrijednost argumenta,

at– zavisna varijabla ili funkcija argumenta X,

Y je raspon vrijednosti funkcije i svakog elementa at OU je takva da
y = f(x) za neke X OH se naziva vrijednost funkcije.

Ovisno o skupovima X i Y, funkcije imaju specifična imena i oznake:

ako su X, Y podskupovi skupa realnih brojeva R, onda funkcija at = f (x) naziva se realna funkcija realnog argumenta ili funkcija jedne varijable;

ako HÌR, UUS – složena funkcija pravi argument je označen z = f(x);

ako je XOS, Y OS je složena funkcija složenog argumenta, označena w = f(z);

ako je XÌN, UÌR je funkcija prirodnog argumenta ili niza y n = f(P);

ako je XÌR 2 (tj. skup tačaka ( x, at) avion), UÌR, z OU – realna funkcija dvije varijable z = f(x, at);

ako XÌR P (P-dimenzionalni aritmetički prostor), UÌR – realna funkcija P varijable I =f(x 1 ,X 2 , …, x n). Ova i gore navedene funkcije se pozivaju numerički funkcije;

ako je XM R, UM V 2 (skup geometrijskih vektora na ravni) vektorska funkcija skalarnog argumenta, ` r(t)= x(t) +y(t) ;

ako je XÌ R 2, UÌ V 2 vektorska funkcija dva skalarna argumenta, `F(x, y) = P( x, y) + Q( x, y) ;

U matematičkoj analizi uglavnom se proučavaju numeričke funkcije. Razmotrimo prvo realnu funkciju jedne varijable. Budući da su i argument i funkcija stvarna numerička vrijednost, često ćemo je koristiti u ženskom rodu: nezavisna varijabla, zavisna varijabla.

U ovom slučaju, definicija 1.1 se može preformulisati na sljedeći način:

Definicija 1.2 Ako svaka vrijednost varijable X iz skupa brojeva XÌR prema nekom zakonu f dodijeljen određenom stvarnom broju at, onda kažu da na skupu X data je numerička funkcija = f (x). Gde X pozvao nezavisni varijabla (argument), at – zavisan varijabla (funkcija), X je domen definicije funkcije i označava se sa X = D( f) .

Mnogobrojne vrijednosti koje su potrebne at, zvao opseg funkcija i označava se sa E( f) . Pismo f simbolizira pravilo po kojem se uspostavlja korespondencija između X I at. Zajedno sa pismom f Koriste se i druga slova: y = g(x), y = h(x), y = u(x) . Funkcija se također može označiti z= j( t), x = f (z) , s = S ( str) itd., tj. i nezavisna varijabla i zavisna varijabla mogu se označiti bilo kojim slovima latinice.

Dvije funkcije jednaka ako i samo ako imaju isti domen definicije i za svaku vrijednost argumenta uzimaju istu vrijednost.

Definirati funkciju znači specificirati pravilo uz pomoć kojeg se za svaku vrijednost argumenta može pronaći odgovarajuća vrijednost funkcije.

Osnovni načini specificiranja funkcije:

1) Analitički– korištenjem jedne ili više formula, na primjer

y= sin3 x + x 2 , ,

(zadnje dvije funkcije se ponekad nazivaju podjelno analitičkim ili koraknim funkcijama). Ako je funkcija određena analitički (formulom), tada se domen definicije razumije kao skup vrijednosti argumenta X, za koji datu formulu možete izračunati odgovarajuću vrijednost at(tj. sve operacije navedene u formuli su izvodljive).

Ako je u formuli koja opisuje funkciju zavisna varijabla izražena kroz nezavisnu varijablu, tada se takva funkcija naziva očigledno dato. Gore navedene funkcije su eksplicitno specificirane.

Ako jednakost koja opisuje funkciju nije riješena u odnosu na zavisnu varijablu, tada se funkcija naziva implicitno dato, Na primjer

X 2 + 3xy – at 3 = 1 ili ln( x+3y) = y 2 .

Implicitna funkcija može biti predstavljena u obliku

Gdje t– parametar koji uzima vrijednosti iz određenog skupa. Ova funkcija se zove parametarski datu funkciju . Na primjer,

, t O R definira funkciju y =(X –1) 2 ,

definira funkciju .

Parametrijska specifikacija funkcije se široko koristi u mehanici: if X = X(t) I at = at(t) zakone za promjenu koordinata pokretne tačke, zatim definiram jednačine putanja pokreta.

2) Verbalno. Na primjer, "cijeli dio broja" je najveći cijeli broj koji ne prelazi X. Ova funkcija je označena at = [x].

3) Tabelarni. Na primjer

X	X 1	X 2	X 3	...
at	at 1	at 2	at 3	...

Ovako se specificiraju funkcije, obično dobijene iz rezultata iskustva, eksperimenta ili proračuna.

4) Graphic.

Definicija 1.3. Funkcijski graf at = f (x) je geometrijsko mjesto tačaka koordinatne ravni XOU s koordinatama ( X, f(x)), Gdje X OD( f).

Slika funkcionalna zavisnost u obliku linije (grafa) i je grafički specificirajući funkciju. Na primjer, očitavanja osciloskopa, elektrokardiograma itd. - Ovo grafički prikaz zavisnosti između proučavanih veličina.

Imajte na umu da za jednovrijednu funkciju njen graf ima samo jednu točku presjeka s bilo kojom linijom X = A, A O D( f).

Svojstva funkcija.

I. Funkcija at = f (x), xÎD, zv ograničeno na skupu D ako postoje realni brojevi A, B tako da " x OD uslov A £ f(x) £ B. Graf takve funkcije nalazi se u nekom horizontalna traka između pravih linija at= A i at= B (slika 1a). Ako takvi brojevi A i B ne postoje, onda se kaže da je funkcija neograničena na skupu D.

ako " xÎD Þ f(x) £ B, zatim funkcija omeđen iznad(Sl. 1 b).

ako " xÎD Þ f(x) ³ A, zatim funkcija ograničen ispod(Sl. 1c).

Funkcije su ograničene u svom opsegu definicije at= grijeh x I y=cos x, jer za sve vrednosti X izvedeno

–1 £sin x£ 1 i –1 £ kos x£1.

Funkcija je ograničena odozgo, jer za sve stvarne vrednosti X uslov je ispunjen at£ 1. Primjer funkcije ograničene odozdo je eksponencijalna funkcija at= , jer > 0 za sve realne vrijednosti X.

II. Funkcija at = f (x), xÎD, zv povećanje, ako za bilo koju vrijednost argumenta X 1 , X 2 OD tako da X 1 < X 2, uslov je ispunjen f(x 1) < f(x 2) (tj. veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, slika 2a).

Funkcija at = f (x), xÎD, zv opadajući, Ako " X 1 ,X 2 OD tako da X 1 < X 2, uslov ( f(x 1) > f(x 2) (veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, slika 2b). Pozivaju se rastuće i opadajuće funkcije monotono funkcije. Ako se stroge nejednakosti zamijene nestrogim, onda će se funkcija prema tome zvati neopadajuća i nerastuća.

III. Funkcija at = f (x), xÎD, zv čak, Ako

" XÎD Þ (– XÎD and f (–x) =f (x)).

Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na osu op-amp (slika 3a).

Funkcija at = f (x), xÎD, zv odd, Ako

" XÎD Þ (– XÎD and f (–x) =f (x)).

Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 3b).

IV. Funkcija at= f (x), xÎD, zv periodično, Ako

$T > 0: " XÎD Þ ( X± TÎD i f (x) = f (x± T)).

at

Broj T naziva se period funkcije. Na bilo koja dva susedna segmenta OX ose dužine T, graf periodične funkcije ima isti oblik (slika 4).

Ako je svaki element x skupa X (x ê X) povezan s dobro definiranim elementom y skupa Y (y ê Y), onda kažu da je funkcija y = f(x) specificirana na skupu X . U ovom slučaju x ime. nezavisna varijabla (ili argument), y je zavisna varijabla, a slovo f označava zakon korespondencije. Postavite X ime. domenu definicije, a skup Y je domen vrijednosti funkcije.

Metode za specificiranje funkcija.

a) analitičke, ako je funkcija data formulom y = f(x)

b) tabelarni metod. Sastoji se od činjenice da je funkcija specificirana tablicom koja sadrži vrijednosti argumenta x i odgovarajuće vrijednosti funkcije f(x).

c) grafički. Sastoji se od prikaza grafa funkcije - skupa tačaka (x, y) ravnine, čije su apscise vrijednosti argumenta x, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcije f (x).

d) logično

3 . Jednostrano ograničenje. Postojanje granice u tački.

Broj imena jednostrana granica lijevo od funkcije f(x) u kondenzacijskoj točki x 0, ako je za ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x )

Broj imena jednostrana granica na desnoj strani funkcije f(x) u točki kondenzacije x 0, ako je ∀ε>0

∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0 ] => f(x)

Broj imena jednostrano ograničenje desno od funkcije f(x) u točki kondenzacije x 0, ako je ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x ∈[ x 0, x 0 + δ) =>

Suština granice je u jednoj tački. Broj A se zove. granica funkcije f(x) kako x teži x 0 (ili tački x 0), ako za bilo koji, čak i proizvoljno mali, pozitivan broj ε>0 postoji takav pozitivan brojδ>0 (u zavisnosti od ε, δ=δ(ε)), da je za sve x koje nije jednako x 0 i zadovoljava uslov , nejednakost je zadovoljena

Označeno sa ili

2. Granica funkcije i njena svojstva.

Ograničite precizno zadebljanje skupa A naziva se tačka x 0 ako u bilo kojoj okolini ove tačke postoje skupovi različiti od x 0 .

Određivanje Cauchyjeve granice. Funkcija y=f(x), definirana u A, ima granicu C u kondenzacijskoj točki x 0 ako je ∀ε>0 ∃δ>0, tako da je x∈(x 0 -δ, x 0) ∪(x 0 , x 0 +δ) ⇒ f(x)∈(C-ε, C+ε). Postojanje granice se zapisuje kao lim x → x 0 f(x)=C ili |x-x 0 |<δ⇒|f(x)-C|< ε.

Određivanje granice prema Heineu. Ako za različite nizove (x n) koji teže x 0, niz vrijednosti funkcije (f(x n)) konvergira do određenog broja C, tada se ovaj broj naziva granicom funkcije f(x).

Cauchyjeva definicija se koristi da opravda postojanje granice, a Heinova definicija se koristi da opravda odsustvo granice.

Svojstva granice: granica je jedinstvena i funkcija je ograničena u određenom susjedstvu granične točke.

1) Granica konstantne vrijednosti

Granica konstantne količine jednaka je samoj konstantnoj količini.