Gdje
su realni brojevi, i - poseban karakter koji se zove imaginarna jedinica . Za imaginarnu jedinicu, po definiciji se pretpostavlja da
.

(4.1) – algebarski oblik kompleksni broj, i
pozvao pravi deo kompleksni broj, i
-imaginarni deo .

Broj
pozvao kompleksni konjugat na broj
.

Neka su data dva kompleksna broja
,
.

1. Iznos
kompleksni brojevi I naziva se kompleksnim brojem

2. Po razlici
kompleksni brojevi I naziva se kompleksnim brojem

3. Posao
kompleksni brojevi I naziva se kompleksnim brojem

4. Privatno od dijeljenja kompleksnog broja na kompleksan broj
naziva se kompleksnim brojem

.

Napomena 4.1. To jest, operacije nad kompleksnim brojevima uvode se prema uobičajenim pravilima aritmetičkih operacija nad doslovni izrazi u algebri.

Primjer 4.1. Dati su kompleksni brojevi. Nađi

.

Rješenje. 1) .

4) Pomnožimo brojilac i imenilac kompleksnim konjugatom imenioca, dobijamo

Trigonometrijski oblik kompleksni broj:

Gdje
- modul kompleksnog broja,
je argument kompleksnog broja. Ugao nije jednoznačno definisano, do termina
:

,
.

- glavna vrijednost argumenta, određena uslovom

, (ili
).

Demonstrativna forma kompleksni broj:

.

Root
th stepen broja Ima različite vrijednosti, koje se nalaze pomoću formule

,

Gdje
.

Bodovi koji odgovaraju vrijednostima
, su vrhovi ispravnog
kvadrat upisan u krug poluprečnika
sa centrom na početku.

Primjer 4.2. Pronađite sve korijenske vrijednosti
.

Rješenje. Zamislimo kompleksan broj
u trigonometrijskom obliku:

,

, gdje
.

Onda
. Dakle, prema formuli (4.2)
ima četiri značenja:

,
.

Believing
, mi nalazimo

,
,

, .

Ovdje smo konvertirali vrijednosti argumenta u njegovu glavnu vrijednost.

Setovi na kompleksnoj ravni

Kompleksni broj
prikazan u avionu
dot
sa koordinatama
. Modul
i argument
odgovaraju polarnim koordinatama tačke
.

Korisno je zapamtiti tu nejednakost
definira krug sa centrom u tački radijus . Nejednakost
definira poluravninu koja se nalazi desno od prave linije
, i nejednakost
- poluravan koja se nalazi iznad prave linije
. Pored toga, sistem nejednakosti
postavlja ugao između zraka
I
proizilaze iz porijekla.

Primjer 4.3. Nacrtaj površinu definisanu nejednačinama:
.

Rješenje. Prva nejednakost odgovara prstenu sa centrom u tački
i dva radijusa 1 i 2, krugovi nisu uključeni u područje (slika 4.1).

Druga nejednakost odgovara kutu između zraka
(simetrala 4. koordinatnog ugla) i
(pozitivan smjer ose
). Sami zraci ne ulaze u region (slika 4.2).

Željena površina je presek dve dobijene oblasti (slika 4.3)

4.2. Funkcije kompleksne varijable

Neka je jednoznačna funkcija
definisano i kontinuirano u regionu
, A - komadno glatka zatvorena ili nezatvorena orijentirana kriva koja leži unutra
. Neka, kao i obično,
,, Gdje
,
- realne funkcije varijabli I .

Izračunavanje integrala funkcije
kompleksna varijabla svodi se na izračunavanje uobičajenih krivolinijskih integrala, naime

.

Ako je funkcija
analitički u jednostavno povezanoj domeni
, koji sadrži tačke I , tada vrijedi Newton-Leibnizova formula:

,

Gdje
- neki antiderivat za funkciju
, to je
u oblasti
.

U integralima funkcija kompleksne varijable može se izvršiti promjena varijable, a integracija po dijelovima je slična onome kako se radi pri izračunavanju integrala funkcija realne varijable.

Imajte na umu da ako je put integracije dio prave koja izlazi iz tačke , ili dio kruga sa centrom u tački , tada je korisno napraviti promjenjivu zamjenu forme
. U prvom slučaju
, A - stvarna varijabla integracije; u drugom slučaju
, A - stvarna varijabla integracije.

Primjer 4.4. Izračunati
parabolom
od tačke
do tačke
(Slika 4.4).

Rješenje. Prepišimo integrand u obliku Onda , . Primijenimo formulu (4.3): Jer , To , . Zbog toga

Primjer 4.5. Izračunaj integral
, Gdje - luk kruga
,
(Sl. 4.5) .

Rješenje. Recimo , Onda , , . Dobijamo:

Funkcija
, jednoznačan i analitičan u ringu
, raspada se u ovom prstenu na Laurent serija

U formuli (4.5) serija
pozvao glavni dio Laurentova serija, i serija
pozvao desni deo Laurent serija.

Definicija 4.1. Dot pozvaoizolovana singularna tačka funkcije
, ako postoji susjedstvo ove točke u kojoj je funkcija
analitički svuda osim same tačke .

Funkcija
u blizini tačke može se proširiti u Laurent seriju. U ovom slučaju moguća su tri različita slučaja kada je Laurent serija:

1) ne sadrži pojmove sa negativnim moćima razlike
, to je

(Laurentova serija ne sadrži glavni dio). U ovom slučaju pozvao uklonjiva singularna tačka funkcije
;

2) sadrži konačan broj članova sa negativnim moćima razlike
, to je

,

i
. U ovom slučaju, poenta pozvao stub reda funkcije
;

3) sadrži beskonačan broj pojmovi sa negativnim moćima:

.

U ovom slučaju, poenta pozvao u suštini posebna tačka funkcije
.

Prilikom određivanja karaktera izolirane singularne točke nije potrebno tražiti proširenje Lorentovog niza. Možete koristiti različita svojstva izolovanih singularnih tačaka.

1) je uklonjiva singularna tačka funkcije
, ako postoji konačan limit funkcije
u tački :

.

2) je pol funkcije
, Ako

.

3) je suštinski singularna tačka funkcije
, ako na
funkcija nema ograničenja, ni konačna ni beskonačna.

Definicija 4.2. Dot pozvaonula
prva narudžba (ili višestrukost ) funkcije
, ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

…,

.

Napomena 4.2. Dot ako i samo ako je nula
prva narudžba funkcije
, kada u nekoj okolini ove tačke vrijedi jednakost

,

gdje je funkcija
analitički u jednom trenutku I

4) tačka je stub reda (
) funkcije
, ako je ova tačka nultog reda za funkciju
.

5) neka - izolovana singularna tačka funkcije
, Gdje
- analitičke funkcije u jednoj tački . I pusti poentu je nultog reda funkcije
i nulti red funkcije
.

At
dot je stub reda
funkcije
.

At
dot je uklonjiva singularna tačka funkcije
.

Primjer 4.6. Pronađite izolirane točke i odredite njihov tip za funkciju
.

Rješenje. Funkcije
I
- analitički u cijeloj ravni kompleksa. To znači da su singularne tačke funkcije
su nule nazivnika, odnosno tačke u kojima
. Takvih tačaka ima beskonačno mnogo. Prije svega, ovo je poenta
, kao i tačke koje zadovoljavaju jednačinu
. Odavde
I
.

Razmotrite poentu
. U ovom trenutku dobijamo:

,
,

,
.

Red nula je
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Dakle, tačka
je pol drugog reda (
).

. Onda

,
.

Red brojnika nula je
.

,
,
.

Red od nule nazivnika je
. Dakle, bodovi
at
su polovi prvog reda ( jednostavni stupovi ).

Teorema 4.1. (Cauchyjev teorem o ostacima ). Ako je funkcija
je analitičan na granici region
i svuda unutar regiona, osim konačnog broja singularnih tačaka
, To

.

Prilikom izračunavanja integrala, vrijedno je pažljivo pronaći sve singularne točke funkcije
, zatim nacrtajte konturu i singularne točke, a nakon toga odaberite samo one točke koje spadaju unutar konture integracije. Često je teško napraviti pravi izbor bez slike.

Metoda za obračun odbitka
zavisi od tipa singularne tačke. Stoga, prije izračunavanja ostatka, morate odrediti vrstu singularne točke.

1) ostatak funkcije u tački jednak koeficijentu za minus prvi stepen u Lorentovom proširenju
u blizini tačke :

.

Ova tvrdnja je tačna za sve vrste izolovanih tačaka, pa stoga u ovom slučaju nije potrebno određivati ​​tip singularne tačke.

2) ostatak u singularnoj tački koja se može ukloniti jednak je nuli.

3) ako je jednostavan pol (pol prvog reda), a funkcija
može se predstaviti u obliku
, Gdje
,
(imajte na umu da u ovom slučaju
), tada je ostatak u tački jednaki

.

Konkretno, ako
, To
.

4) ako - Obična motka, onda

5) ako - motka
funkcija reda
, To

Primjer 4.7. Izračunaj integral
.

Rješenje. Pronalaženje singularnih tačaka integranda . Funkcija ima dvije singularne tačke I Samo jedna tačka pada unutar konture (Sl. 4.6). Dot - stub drugog reda, pošto je nula višestrukog broja 2 za funkciju .

Zatim, koristeći formulu (4.7), nalazimo ostatak u ovoj tački:

Po teoremi 4.1 nalazimo

Funkcije kompleksne varijable.
Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Ovaj članak započinje niz lekcija koje ću pogledati tipični zadaci, vezano za teoriju funkcija kompleksne varijable. Da biste uspješno savladali primjere, morate ih imati osnovno znanje o kompleksnim brojevima. Da biste konsolidirali i ponovili materijal, samo posjetite stranicu. Također će vam trebati vještine za pronalaženje parcijalni derivati ​​drugog reda. Evo ih, ovih parcijalnih derivata...i sad sam se malo iznenadio koliko se često javljaju...

Tema koju počinjemo ispitivati ​​ne predstavlja nikakve posebne poteškoće, a u funkcijama složene varijable, u principu, sve je jasno i dostupno. Glavno je pridržavati se osnovnog pravila, koje sam eksperimentalno izveo. Čitajte dalje!

Pojam funkcije kompleksne varijable

Prvo, osvježimo naše znanje o školskoj funkciji jedne varijable:

Jedna varijabla funkcija je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable (iz domene definicije) odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije. Naravno, “x” i “y” su realni brojevi.

IN složen slučaj funkcionalna zavisnost je specificirano na sličan način:

Jednovrijedna funkcija kompleksne varijable- ovo je pravilo po kojem svi sveobuhvatan vrijednost nezavisne varijable (iz domena definicije) odgovara jednoj i samo jednoj sveobuhvatan vrijednost funkcije. Teorija također razmatra viševrijedne i neke druge vrste funkcija, ali radi jednostavnosti fokusirat ću se na jednu definiciju.

Koja je razlika između funkcije kompleksne varijable?

Glavna razlika: kompleksni brojevi. Nisam ironičan. Takva pitanja često ostavljaju ljude u stuporu; na kraju članka ću vam ispričati smiješnu priču. Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke razmatrali smo kompleksan broj u obliku . Od sada je slovo “z” postalo varijabla, tada ćemo ga označiti na sljedeći način: , dok “x” i “y” mogu biti različiti validan značenja. Grubo govoreći, funkcija kompleksne varijable ovisi o varijablama i , koje poprimaju “obične” vrijednosti. Od ovu činjenicu Logično slijedi sljedeća poenta:

Funkcija kompleksne varijable može se napisati kao:
, gdje su i dvije funkcije od dva validan varijable.

Funkcija se poziva pravi deo funkcije
Funkcija se poziva imaginarni deo funkcije

To jest, funkcija kompleksne varijable ovisi o dvije realne funkcije i . Da konačno sve razjasnimo, pogledajmo praktične primjere:

Primjer 1

Rješenje: Nezavisna varijabla "zet", kao što se sjećate, napisana je u obliku , dakle:

(1) V originalna funkcija uramljeno

(2) Za prvi član korištena je skraćena formula za množenje. U terminu su otvorene zagrade.

(3) Pažljivo na kvadrat, ne zaboravljajući to

(4) Preuređenje pojmova: prvo prepisujemo pojmove , u kojoj nema zamišljene jedinice(prva grupa), zatim termini gdje ih ima (druga grupa). Treba napomenuti da miješanje termina nije potrebno, a ovaj korak se može preskočiti (u stvari usmeno).

(5) Za drugu grupu vadimo iz zagrada.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je naša funkcija predstavljena u obliku

odgovor:
– pravi dio funkcije.
– imaginarni dio funkcije.

Kakve su se to funkcije pokazale? Najčešće funkcije dvije varijable iz kojih možete pronaći tako popularne parcijalni derivati. Bez milosti ćemo ga naći. Ali malo kasnije.

Ukratko, algoritam za riješeni problem može se napisati na sljedeći način: zamjenjujemo , u originalnu funkciju, vršimo pojednostavljenja i dijelimo sve pojmove u dvije grupe - bez imaginarne jedinice (stvarni dio) i sa imaginarnom jedinicom (imaginarni dio) .

Primjer 2

Pronađite stvarni i imaginarni dio funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Prije nego što požurite u bitku na složenom avionu s izvučenim damama, dozvolite mi da vam dam najviše važan savjet na ovu temu:

BUDI PAZLJIV! Morate biti oprezni, naravno, svuda, ali u složenim brojevima trebali biste biti oprezniji nego ikad! Zapamtite to, pažljivo otvorite zagrade, nemojte ništa izgubiti. Prema mojim zapažanjima, najčešća greška je gubitak znaka. Ne žuri!

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sada kocka. Koristeći skraćenu formulu množenja, izvodimo:
.

Formule su vrlo zgodne za korištenje u praksi, jer značajno ubrzavaju proces rješenja.

Diferencijacija funkcija kompleksne varijable.

Imam dvije vijesti: dobru i lošu. Počeću sa onim dobrim. Za funkciju kompleksne varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Dakle, derivacija se uzima na potpuno isti način kao u slučaju funkcije realne varijable.

Loše vijesti je da za mnoge funkcije kompleksne varijable derivacija uopće ne postoji, i treba se otkriti da li se može razlikovati jednu ili drugu funkciju. A "shvatiti" kako se vaše srce osjeća povezano je s dodatnim problemima.

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable. Da bi ovu funkciju bio diferenciran potreban i dovoljan:

1) Tako da postoje parcijalni derivati ​​prvog reda. Odmah zaboravite na ove notacije, jer se u teoriji funkcija kompleksne varijable tradicionalno koristi druga notacija: .

2) Za obavljanje tzv Cauchy-Riemann uslovi:

Samo u ovom slučaju će derivat postojati!

Primjer 3

Rješenje podijeljen je u tri uzastopne faze:

1) Nađimo stvarni i imaginarni dio funkcije. Ovaj zadatak je razmatran u prethodnim primjerima, pa ću ga zapisati bez komentara:

Od tada:

ovako:

– imaginarni dio funkcije.

Zaustaviću se još na jednom tehnička tačka: kojim redosledom napisati pojmove u realnom i imaginarnom dijelu? Da, u principu, nije bitno. Na primjer, pravi dio se može napisati ovako: , a onu imaginarnu – ovako: .

2) Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ima ih dvoje.

Počnimo sa provjerom stanja. Mi nalazimo parcijalni derivati:

Dakle, uslov je zadovoljen.

Naravno, dobra vijest je da su parcijalni derivati ​​gotovo uvijek vrlo jednostavni.

Provjeravamo ispunjenost drugog uslova:

Rezultat je isti, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe ispunjen.

Cauchy-Riemannovi uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna.

3) Nađimo derivaciju funkcije. Izvod je također vrlo jednostavan i nalazi se prema uobičajenim pravilima:

Imaginarna jedinica se smatra konstantom tokom diferencijacije.

odgovor: – pravi dio, – imaginarni dio.
Cauchy-Riemann uvjeti su zadovoljeni, .

Postoje još dva načina za pronalaženje izvedenice, oni se, naravno, rjeđe koriste, ali informacije će biti korisne za razumijevanje druge lekcije - Kako pronaći funkciju kompleksne varijable?

Izvod se može naći pomoću formule:

IN u ovom slučaju:

Dakle

Moramo riješiti inverzni problem - u rezultirajućem izrazu trebamo izolirati . Da biste to učinili, potrebno je u terminima i van zagrada:

Obrnutu radnju, kao što su mnogi primijetili, nešto je teže izvesti; za provjeru, uvijek je bolje uzeti izraz na nacrt ili usmeno otvoriti zagrade, pazeći da je rezultat tačan

Formula ogledala za pronalaženje izvoda:

U ovom slučaju: , Zbog toga:

Primjer 4

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Ako su ispunjeni Cauchy-Riemann uvjeti, pronađite derivaciju funkcije.

Quick Solution I približan uzorak završava na kraju lekcije.

Da li su Cauchy-Riemann uvjeti uvijek zadovoljeni? Teoretski, one se ne ispunjavaju češće nego što se ispunjavaju. Ali unutra praktični primjeri Ne sjećam se slučaja da nisu ispunjeni =) Dakle, ako se vaši parcijalni derivati ​​"ne konvergiraju", onda s vrlo velikom vjerovatnoćom možete reći da ste negdje pogriješili.

Zakomplikujmo naše funkcije:

Primjer 5

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati

Rješenje: Algoritam rješenja je u potpunosti sačuvan, ali na kraju će se dodati nova tačka: pronalaženje derivacije u tački. Za kocku potrebna formula već izlaz:

Definirajmo stvarne i imaginarne dijelove ove funkcije:

Ponovo pažnja i pažnja!

Od tada:


ovako:
– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Provjera drugog uslova:

Rezultat je isti, ali sa suprotnim predznacima, odnosno uslov je takođe ispunjen.

Cauchy-Riemann uvjeti su zadovoljeni, stoga je funkcija diferencibilna:

Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj tački:

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni,

Funkcije s kockama su uobičajene, pa evo primjera za pojačanje:

Primjer 6

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Izračunati.

Rješenje i primjer završetka na kraju lekcije.

U teoriji kompleksne analize definiraju se i druge funkcije kompleksnog argumenta: eksponent, sinus, kosinus itd. Ove funkcije imaju neobična, pa čak i bizarna svojstva - i ovo je zaista zanimljivo! Zaista želim da vam kažem, ali ovde, kako to biva, nije reč o priručniku ili udžbeniku, već o rešenju, pa ću razmotriti isti problem sa nekim uobičajenim funkcijama.

Prvo o tzv Ojlerove formule:

Za bilo koga validan brojeva, važeće su sljedeće formule:

Takođe ga možete kopirati u svoju bilježnicu kao referentni materijal.

Strogo govoreći, postoji samo jedna formula, ali radi praktičnosti obično pišu poseban slučaj sa minusom u indikatoru. Parametar ne mora biti jedno slovo, može biti složen izraz, funkcije, važno je samo da prihvate samo važi značenja. Zapravo, ovo ćemo vidjeti upravo sada:

Primjer 7

Pronađite izvod.

Rješenje: Generalna linija partije ostaje nepokolebljiva - potrebno je razlikovati stvarni i imaginarni dio funkcije. Dovest ću te detaljno rješenje, a u nastavku ću komentirati svaki korak:

Od tada:

(1) Umjesto toga zamijenite “z”.

(2) Nakon zamjene, potrebno je odabrati stvarni i imaginarni dio prvi u indikatoru izlagači. Da biste to učinili, otvorite zagrade.

(3) Grupiramo imaginarni dio indikatora, stavljajući imaginarnu jedinicu van zagrada.

(4) Koristimo školsku akciju sa diplomama.

(5) Za množitelj koristimo Eulerovu formulu i .

(6) Otvorite zagrade, što rezultira:

– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Dalje radnje su standardni, provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Primjer 9

Odredite stvarne i imaginarne dijelove funkcije . Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova. Neka bude tako, nećemo naći derivat.

Rješenje: Algoritam rješenja je vrlo sličan prethodna dva primjera, ali ima vrlo važne tačke, Zbog toga Prva faza Opet ću komentarisati korak po korak:

Od tada:

1) Umjesto toga zamijenite "z".

(2) Prvo odabiremo stvarni i imaginarni dio unutar sinusa. U ove svrhe otvaramo zagrade.

(3) Koristimo formulu i .

(4) Upotreba paritet hiperboličkog kosinusa: I neparnost hiperboličkog sinusa: . Hiperbolika, iako izvan ovog svijeta, na mnogo načina podsjeća na slične trigonometrijske funkcije.

na kraju:
– pravi dio funkcije;
– imaginarni dio funkcije.

Pažnja! Znak minus se odnosi na imaginarni dio i ni u kom slučaju ga ne smijemo izgubiti! Radi jasne ilustracije, gore dobijeni rezultat može se prepisati na sljedeći način:

Provjerimo ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova:

Cauchy-Riemann uslovi su zadovoljeni.

odgovor:, , Cauchy-Riemannovi uslovi su zadovoljeni.

Dame i gospodo, hajde da to sami shvatimo:

Primjer 10

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Namjerno sam odabrao teže primjere, jer se čini da se svako može nositi s nečim, poput oljuštenog kikirikija. Istovremeno ćete trenirati svoju pažnju! Kreker za orahe na kraju lekcije.

Pa, u zaključku, razmotriću još jednu zanimljiv primjer, kada je složeni argument u nazivniku. Desilo se to par puta u praksi, pogledajmo nešto jednostavno. Eh, starim...

Primjer 11

Odredite stvarni i imaginarni dio funkcije. Provjerite ispunjenost Cauchy-Riemannovih uslova.

Rješenje: Opet je potrebno razlikovati stvarni i imaginarni dio funkcije.
Ako onda

Postavlja se pitanje šta učiniti kada je “Z” u nazivniku?

Sve je jednostavno - standardni će vam pomoći metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom, već je korišteno u primjerima lekcije Kompleksni brojevi za lutke. Prisjetimo se školske formule. Već imamo u nazivniku, što znači da će konjugirani izraz biti . Dakle, morate pomnožiti brojilac i imenilac sa:

Federalna agencija za obrazovanje

___________________________________

St. Petersburg State

Elektrotehnički univerzitet "LETI"

_______________________________________

Teorija funkcija kompleksne varijable

Smjernice

na praktičnu nastavu

u višoj matematici

Sankt Peterburg

Izdavačka kuća SPbSETU "LETI"

UDK 512.64(07)

TFKP: Metodološka uputstva za rešavanje problema / sastavili: V. G. Djumin, A. M. Kotočigov, N. N. Sosnovskij. Sankt Peterburg: Izdavačka kuća Sankt Peterburgskog državnog elektrotehničkog univerziteta "LETI", 2010. 32 str.

Odobreno

Uređivačko-izdavačko vijeće Univerziteta

as metodološka uputstva

© SPbSETU "LETI", 2010

Funkcije kompleksne varijable ,, in opšti slučaj razlikuju od preslikavanja u realne ravni
samo po sebi samo oblikom snimanja. Važan i izuzetno koristan objekat je klasa funkcija kompleksne varijable,

imaju isti izvod kao funkcije jedne varijable. Poznato je da funkcije više varijabli mogu imati parcijalne i usmjerene izvode, ali, po pravilu, derivacije u odnosu na različitim pravcima ne poklapaju se i nije moguće govoriti o izvodu u jednoj tački. Međutim, za funkcije kompleksne varijable moguće je opisati uslove pod kojima one dozvoljavaju diferencijaciju. Proučavanje svojstava diferencijabilnih funkcija kompleksne varijable je sadržaj metodoloških uputstava. Uputstva imaju za cilj da pokažu kako se svojstva takvih funkcija mogu koristiti za rješavanje raznih problema. Uspješno savladavanje prikazanog gradiva nemoguće je bez osnovnih vještina u računanju s kompleksnim brojevima i poznavanja najjednostavnijih geometrijskih objekata definisanih u terminima nejednačina koje povezuju realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja, kao i njegovog modula i argumenta. Sažetak svih informacija potrebnih za to možete pronaći u smjernicama.

Standardni aparat matematičke analize: granice, izvodnice, integrali, nizovi se široko koristi u tekstu uputstava. Tamo gdje ovi pojmovi imaju svoje specifičnosti, u poređenju sa funkcijama jedne varijable, daju se odgovarajuća objašnjenja, ali je u većini slučajeva dovoljno odvojiti stvarni i imaginarni dio i na njih primijeniti standardni aparat realne analize.

1. Elementarne funkcije kompleksne varijable

Prirodno je započeti raspravu o uslovima diferencijabilnosti funkcija kompleksne varijable pronalaženjem koje elementarne funkcije imaju ovo svojstvo. Iz očiglednog odnosa

Iz toga slijedi da je svaki polinom diferencijabilan. A budući da se niz stepena može diferencirati pojam po član unutar svog kruga konvergencije,

tada je bilo koja funkcija diferencibilna u tačkama u čijoj blizini se može proširiti u Taylorov red. Ovo je dovoljan uslov, ali, kako će uskoro postati jasno, i neophodan. Pogodno je podržati proučavanje funkcija jedne varijable u odnosu na njihov izvod praćenjem ponašanja grafa funkcija. Ovo nije moguće za funkcije kompleksne varijable. Tačke grafa leže u prostoru dimenzije 4, .

Međutim, neki grafički prikaz funkcije može se dobiti razmatranjem slika prilično jednostavnih skupova u složenoj ravni
, koji nastaje pod uticajem date funkcije. Na primjer, razmotrimo nekoliko jednostavnih funkcija s ove tačke gledišta.

Linearna funkcija

Ovo jednostavne funkcije je vrlo važno, budući da je svaka diferencijabilna funkcija lokalno slična linearnoj. Razmotrimo radnju funkcije maksimalno detaljno

Evo
-- modul kompleksnog broja I -- njegov argument. Dakle, linearna funkcija vrši istezanje, rotaciju i translaciju. Prema tome, linearno preslikavanje vodi bilo koji skup u sličan skup. Konkretno, pod utjecajem linearnog preslikavanja, ravne se pretvaraju u prave, a kružnice u kružnice.

Funkcija

Ova funkcija je sljedeća najsloženija nakon linearne. Teško je očekivati ​​da će ona transformirati bilo koju pravu u pravu, a kružnicu u kružnicu; jednostavni primjeri pokazuju da se to ne događa, međutim, može se pokazati da ova funkcija pretvara skup svih pravih i kružnica u sebe. Da biste to provjerili, zgodno je otići na pravi (koordinatni) opis mapiranja

Za dokaz je potreban opis inverznog preslikavanja

Razmotrite jednačinu ako
, tada dobijamo opštu jednačinu prave. Ako
, To

Stoga, kada
dobija se jednadžba proizvoljnog kruga.

Imajte na umu da ako
I
, tada kružnica prolazi kroz ishodište. Ako
I
, tada dobijete pravu liniju koja prolazi kroz ishodište.

Pod dejstvom inverzije, jednačina koja se razmatra biće prepisana u obliku

, (
)

ili . Može se vidjeti da je ovo također jednadžba koja opisuje ili kružnice ili prave linije. Činjenica da su koeficijenti u jednadžbi I
zamijenjena mjesta znači da će se tokom inverzije prave linije koje prolaze kroz 0 pretvoriti u kružnice, a krugovi koji prolaze kroz 0 u prave.

Funkcije napajanja

Glavna razlika između ovih funkcija i onih o kojima smo ranije govorili je da one nisu jedna-na-jedan (
). Možemo reći da je funkcija
transformiše kompleksnu ravan u dve kopije iste ravni. Tačna obrada ove teme zahtijeva upotrebu glomaznog aparata Riemannovih površina i izlazi iz okvira pitanja koja se ovdje razmatraju. Važno je shvatiti da se kompleksna ravan može podijeliti na sektore, od kojih je svaki jedan prema jedan preslikan na kompleksnu ravan. Ovo je pregled funkcije
izgleda ovako: Na primjer, gornja poluravnina je jedan prema jedan preslikana na kompleksnu ravan pomoću funkcije
. Geometrijska izobličenja za takve slike teže je opisati nego u slučaju inverzije. Kao vježbu, možete pratiti u što se mreža pravokutnih koordinata gornje poluravnine pretvara pri prikazivanju

Može se vidjeti da se mreža pravokutnih koordinata transformira u familiju parabola koje formiraju sistem krivolinijskih koordinata u ravnini
. Gore opisana podjela ravni je takva da je funkcija
prikazuje svaki od sektora preko cele ravni. Opis mapiranja naprijed i nazad izgleda ovako

Dakle, funkcija
Ima razne inverzne funkcije,

specificirano u različitim sektorima aviona

U takvim slučajevima se kaže da je mapiranje višeslojno.

Funkcija Žukovskog

Funkcija ima svoje ime jer je činila osnovu teorije krila aviona, koju je kreirao Žukovski (opis ovog dizajna može se naći u knjizi). Funkcija ima niz zanimljivih svojstava, fokusirajmo se na jedno od njih - saznajte na koje skupove ova funkcija djeluje jedan na jedan. Uzmite u obzir jednakost

, gdje
.

Prema tome, funkcija Žukovskog je jedan-na-jedan u bilo kojoj domeni u kojoj za bilo koji I njihov proizvod nije jednak jedinici. To su, na primjer, otvoreni jedinični krug
i komplement zatvorenog jediničnog kruga
.

Razmotrimo onda djelovanje funkcije Žukovskog na kružnicu

Razdvajanjem realnog i imaginarnog dijela dobijamo parametarsku jednačinu elipse

,
.

Ako
, tada ove elipse ispunjavaju cijelu ravan. Na sličan način se može provjeriti da su slike segmenata hiperbole

.

Eksponencijalna funkcija

Funkcija se može proširiti u niz stepena koji je apsolutno konvergentan u cijeloj kompleksnoj ravni, stoga je svugdje diferenciran. Hajde da opišemo skupove na kojima je funkcija jedan prema jedan. Očigledna jednakost
pokazuje da se ravan može podijeliti u porodicu traka, od kojih je svaka mapirana jedan-na-jedan pomoću funkcije na cijelu kompleksnu ravan. Ova particija je neophodna za razumijevanje kako inverzna funkcija funkcionira, preciznije inverzne funkcije. Na svakoj od pruga postoji prirodno definisano inverzno preslikavanje

Inverzna funkcija u ovom slučaju je također multivalentna, a broj inverznih funkcija je beskonačan.

Geometrijski opis mapiranja je prilično jednostavan: prave linije
pretvoriti u zrake
, segmenti

pretvoriti u krugove
.