Kako odrediti značenje izraza. Pronalaženje značenja izraza, primjera, rješenja

Formula

Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje - aritmetičke operacije (ili aritmetičke operacije ). Ove aritmetičke operacije odgovaraju znakovima aritmetičkih operacija:

+ (čitaj " plus") - znak operacije sabiranja,

- (čitaj " oduzeti") - znak operacije oduzimanja,

∙ (čitaj " umnožiti") - znak operacije množenja,

: (čitaj " podijeliti") je znak operacije podjele.

Poziva se zapis koji se sastoji od brojeva međusobno povezanih aritmetičkim znakovima numerički izraz. Numerički izraz također može sadržavati zagrade.Na primjer, unos 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) je numerički izraz.

Rezultat izvođenja radnji nad brojevima u numeričkom izrazu se poziva vrijednost numeričkog izraza. Izvođenje ovih radnji naziva se izračunavanjem vrijednosti numeričkog izraza. Prije pisanja vrijednosti numeričkog izraza, stavite znak jednakosti"=". U tabeli 1 prikazani su primjeri numeričkih izraza i njihova značenja.

Unos koji se sastoji od brojeva i malih slova latinica, međusobno povezani znakovima aritmetičkih operacija naziva se doslovan izraz. Ovaj unos može sadržavati zagrade. Na primjer, snimite a+b - 3 ∙c je doslovan izraz. Umjesto slova, možete zamijeniti različiti brojevi. U ovom slučaju može se promijeniti značenje slova, pa se nazivaju i slova u slovnom izrazu varijable.

Zamjenom brojeva umjesto slova u doslovni izraz i izračunavanjem vrijednosti rezultirajućeg numeričkog izraza, oni nalaze značenje doslovnog izraza za date vrijednosti slova(za date vrijednosti varijabli). Tabela 2 prikazuje primjere slovnih izraza.

Doslovni izraz možda nema značenje ako se zamjenom vrijednosti slova dobije numerički izraz čija vrijednost za prirodni brojevi nije mogao biti pronađen. Ovaj numerički izraz se zove netačno za prirodne brojeve. Takođe se kaže da je značenje takvog izraza „ nedefinirano" za prirodne brojeve i sam izraz "nema smisla". Na primjer, doslovni izraz a-b nije bitno kada je a = 10 i b = 17. Zaista, za prirodne brojeve minend ne može biti manji od oduzetog. Na primjer, ako imate samo 10 jabuka (a = 10), ne možete dati 17 od njih (b = 17)!

Tabela 2 (kolona 2) prikazuje primjer doslovnog izraza. Po analogiji, popunite tabelu u potpunosti.

Za prirodne brojeve izraz je 10 -17 netačno (nema smisla), tj. razlika 10 -17 ne može se izraziti kao prirodan broj. Drugi primjer: ne možete dijeliti sa nulom, tako da je za bilo koji prirodni broj b količnik b: 0 nedefinisano.

Matematički zakoni, svojstva, neka pravila i odnosi često su zapisani u doslovnom obliku (tj. u obliku doslovnog izraza). U tim slučajevima se naziva doslovni izraz formula. Na primjer, ako su stranice sedmerougla jednake a,b,c,d,e,f,g, zatim formulu (literalni izraz) za izračunavanje njegovog perimetra str ima oblik:

p =a+b+c +d+e+f+g

Sa a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, obim sedmougla p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Sa a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, obim drugog sedmougla p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Blok 1. Rečnik

Napravite rečnik novih pojmova i definicija iz pasusa. Da biste to učinili, u prazne ćelije upišite riječi sa liste pojmova ispod. U tabeli (na kraju bloka) navedite brojeve pojmova u skladu sa brojevima okvira. Preporučuje se da ponovo pažljivo pregledate pasus prije popunjavanja ćelija rječnika.

1. Operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

2. Znakovi “+” (plus), “-” (minus), “∙” (množenje, “ : “ (podijeliti).

3. Zapis koji se sastoji od brojeva koji su međusobno povezani znakovima aritmetičkih operacija i koji može sadržavati i zagrade.

4. Rezultat izvođenja radnji nad brojevima u numeričkom izrazu.

5. Znak koji prethodi vrijednosti numeričkog izraza.

6. Zapis koji se sastoji od brojeva i malih slova latinice, međusobno povezanih znakovima aritmetičkih operacija (mogu biti prisutne i zagrade).

7. Opšti naziv slova u azbučnom izrazu.

8. Vrijednost numeričkog izraza, koja se dobiva zamjenom varijabli u literalni izraz.

9. Numerički izraz čija se vrijednost za prirodne brojeve ne može pronaći.

10. Numerički izraz čija se vrijednost za prirodne brojeve može pronaći.

11. Matematički zakoni, svojstva, neka pravila i odnosi, napisani u obliku slova.

12. Abeceda čija se mala slova koriste za pisanje alfabetskih izraza.

Blok 2. Utakmica

Poveži zadatak u lijevoj koloni sa rješenjem u desnoj. Napišite svoj odgovor u obliku: 1a, 2d, 3b...

Blok 3. Facetni test. Numerički i abecedni izrazi

Fasetni testovi zamjenjuju zbirke zadataka u matematici, ali se od njih povoljno razlikuju po tome što se mogu riješiti na kompjuteru, rješenja se mogu provjeriti, a rezultat rada može se odmah saznati. Ovaj test sadrži 70 zadataka. Ali probleme možete rješavati po izboru; za to postoji tabela evaluacije koja označava jednostavne i teže zadatke. Ispod je test.

1. Dat je trougao sa stranicama c,d,m, izraženo u cm
2. Dat je četverougao sa stranicama b,c,d,m, izraženo u m
3. Brzina automobila u km/h je b, vrijeme putovanja u satima je d
4. Udaljenost koju je turista prešao u m sati je With km
5. Udaljenost koju turista pređe, krećući se brzinom m km/h je b km
6. Zbir dva broja veći je od drugog broja za 15
7. Razlika je manja od one koja se smanjuje za 7
8. Putnička linija ima dvije palube s istim brojem putničkih sjedišta. U svakom od redova palube m sjedišta, redovi na palubi na n više od sjedišta u nizu
9. Petya ima m godina, Maša ima n godina, a Katya je k godina mlađa od Petje i Maše zajedno
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Značenje dati izraz
2. Doslovni izraz za perimetar je
3. Perimetar izražen u centimetrima
4. Formula za udaljenost s prijeđenu automobilom
5. Formula za brzinu v, kretanje turista
6. Formula za vrijeme t, turističko kretanje
7. Udaljenost koju je automobil prešao u kilometrima
8. Turistička brzina u kilometrima na sat
9. Vrijeme putovanja turista u satima
10. Prvi broj je...
11. Oduzimanje je jednako...
12. Izraz za najveći broj putnika, koji mogu prevoziti liniju za k letovi
13. Najveći broj putnika koji avion može da preveze k letovi
14. Slovni izraz za Katjine godine
15. Katjinih godina
16. Koordinata tačke B, ako je koordinata tačke C t
17. Koordinata tačke D, ako je koordinata tačke C t
18. Koordinata tačke A, ako je koordinata tačke C t
19. Dužina segmenta BD na brojevnoj pravoj
20. Dužina segmenta CA na brojevnoj pravoj
21. Dužina segmenta DA na brojevnoj pravoj

Dakle, ako se numerički izraz sastoji od brojeva i znakova +, −, · i:, onda redom s lijeva na desno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željenu vrijednost izraza.

Dajemo nekoliko primjera za pojašnjenje.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza 14−2·15:6−3.

Rješenje.

Da biste pronašli vrijednost izraza, potrebno je izvršiti sve radnje navedene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja ovih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobijamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sada izvodimo i preostale radnje redom s lijeva na desno: 14−5−3=9−3=6. Ovako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, jednaka je 6.

odgovor:

14−2·15:6−3=6.

Primjer.

Pronađite značenje izraza.

Rješenje.

IN u ovom primjeru prvo treba da uradimo množenje 2·(−7) i deljenje sa množenjem u izrazu . Sjećajući se kako , nalazimo 2·(−7)=−14. I da prvo izvršite radnje u izrazu , onda , i izvršite: .

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz: .

Ali šta ako postoji numerički izraz ispod predznaka korijena? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvođenja radnji. Na primjer, .

U numeričkim izrazima korijene treba shvatiti kao neke brojeve, te je preporučljivo odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.

Primjer.

Pronađite značenje izraza s korijenima.

Rješenje.

Prvo pronađimo vrijednost korijena . Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. I drugo, nalazimo vrijednost korijena.

Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz originalnog izraza: .

Konačno, značenje originalnog izraza možemo pronaći zamjenom korijena njihovim vrijednostima: .

odgovor:

Vrlo često, da bi se pronašlo značenje izraza s korijenima, prvo ga je potrebno transformirati. Pokažimo rješenje primjera.

Primjer.

Šta je značenje izraza .

Rješenje.

Nismo u mogućnosti zamijeniti korijen od tri njegovom tačnom vrijednošću, što nas sprečava da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisan način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formula kvadratne razlike: . Uzimajući u obzir, dobijamo . Dakle, vrijednost originalnog izraza je 1.

odgovor:

.

Sa diplomama

Ako su baza i eksponent brojevi, onda se njihova vrijednost izračunava određivanjem stepena, na primjer, 3 2 =3·3=9 ili 8 −1 =1/8. Postoje i unosi gdje su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima potrebno je pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stepena.

Primjer.

Nađi vrijednost izraza sa stepenom forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Rješenje.

U originalnom izrazu postoje dva stepena 2 3·4−10 i (1−1/2) 3,5−2·1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja drugih radnji.

Počnimo sa stepenom 2 3·4−10. Njegov indikator sadrži numerički izraz, izračunajmo njegovu vrijednost: 3·4−10=12−10=2. Sada možete pronaći vrijednost samog stepena: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza i eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 sadrže izraze; izračunavamo njihove vrijednosti da bismo zatim pronašli vrijednost eksponenta. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sada se vraćamo na originalni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koji nam je potreban: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

odgovor:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Vrijedi napomenuti da su češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza sa ovlastima na bazi.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Rješenje.

Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, neće biti moguće dobiti tačne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostaviti izvorni izraz, možda će to pomoći da pronađemo njegovo značenje. Imamo

odgovor:

.

Potencije u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju značenja izraza sa logaritmima u jednom od.

Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima

Numerički izrazi mogu sadržavati razlomke u svojim zapisima. Kada trebate pronaći značenje ovakvog izraza, razlomke osim razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije nego što nastavite s ostatkom koraka.

Brojilac i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj redoslijed se objašnjava činjenicom da razlomak a/b, gdje su a i b neki izrazi, u suštini predstavlja količnik oblika (a):(b), budući da .

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite značenje izraza s razlomcima .

Rješenje.

U originalnom numeričkom izrazu postoje tri razlomka i . Da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, prvo trebamo zamijeniti ove razlomke njihovim vrijednostima. Hajde da to uradimo.

Brojilac i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite traku razlomaka znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: .

U brojiocu razlomka nalazi se izraz 7−2·3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2·3=7−6=1. Dakle, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.

Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, dakle, prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo .

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u originalni izraz i izvršiti preostale radnje: .

odgovor:

.

Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate izvršiti pojednostavljivanje frakcijskih izraza, baziran na izvođenju operacija s razlomcima i redukcijskim razlomcima.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Rješenje.

Korijen od pet se ne može u potpunosti izdvojiti, pa da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: . Nakon toga, originalni izraz će poprimiti oblik . Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost početno zadanog izraza: .

odgovor:

.

Sa logaritmima

Ako numerički izraz sadrži , i ako ih je moguće riješiti, onda se to radi prije izvođenja drugih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4+2·3, logaritam log 2 4 zamjenjuje se njegovom vrijednošću 2, nakon čega se preostale radnje izvode uobičajenim redoslijedom, odnosno log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Kada se pod znakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi nalaze numerički izrazi, prvo se pronalaze njihove vrijednosti, nakon čega se izračunava vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika . U osnovi logaritma i pod njegovim znakom nalaze se numerički izrazi čije vrijednosti nalazimo: . Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo proračune: .

Ako logaritmi nisu precizno izračunati, onda se vrši preliminarno pojednostavljenje pomoću . U ovom slučaju, morate dobro vladati materijalom članka pretvaranje logaritamskih izraza.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s logaritmima .

Rješenje.

Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256) . Pošto je 256=2 8, onda je log 2 256=8, dakle, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupisati. Zbir logaritama log 6 2+log 6 3 jednak je logaritmu proizvoda log 6 (2 3), dakle, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Pogledajmo sada razlomak. Za početak ćemo prepisati bazu logaritma u nazivniku u obliku običnog razlomka kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka:
.

Sve što preostaje je zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti:

odgovor:

Kako pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?

Kada numerički izraz sadrži ili, itd., njihove vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Rješenje.

Ako se okrenemo članku, dobijamo i cosπ=−1 . Ove vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz, on poprima oblik . Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a zatim završiti proračune: .

odgovor:

.

Vrijedi napomenuti da izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahteva prethodno pretvaranje trigonometrijskog izraza.

Primjer.

Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza .

Rješenje.

Pretvorimo originalni izraz pomoću , u u ovom slučaju trebamo kosinusnu formulu dvostrukog ugla i kosinusnu formulu sume:

Transformacije koje smo napravili pomogle su nam da pronađemo značenje izraza.

odgovor:

.

Opšti slučaj

IN opšti slučaj numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, bilo koje funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza sastoji se od izvođenja sljedećih radnji:

• prvi korijeni, potenci, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
• dalje radnje u zagradama,
• a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Navedene radnje se izvode dok se ne dobije konačni rezultat.

Primjer.

Pronađite značenje izraza .

Rješenje.

Forma ovog izraza je prilično složena. U ovom izrazu vidimo razlomke, korijene, stepene, sinus i logaritme. Kako pronaći njegovu vrijednost?

Krećući se kroz zapis s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme . Znamo da kada radimo sa složenim razlomcima, moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno nazivnika i na kraju pronaći vrijednost razlomka.

U brojiocu imamo korijen forme . Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza . Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza . Ovo možemo učiniti: . Onda odakle i odakle .

Imenilac je jednostavan: .

dakle, .

Nakon zamjene ovog rezultata u originalni izraz, on će poprimiti oblik . Rezultirajući izraz sadrži stepen . Da bismo pronašli njegovu vrijednost, prvo moramo pronaći vrijednost indikatora, koju imamo .

Dakle, .

odgovor:

.

Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, snaga itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema navedenoj shemi.

Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza

Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i tačnost. Da, morate pratiti redoslijed radnji zabilježenih u prethodni paragrafi, ali ne morate to raditi naslijepo i mehanički. Pod ovim mislimo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, određena svojstva operacija s brojevima mogu značajno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.

Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u proizvodu jednak nuli, tada je vrijednost proizvoda nula. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) jednako je nuli. Ako bismo slijedili standardni redoslijed operacija, prvo bismo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, što bi oduzelo dosta vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.

Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako od broja oduzmete jednak broj, rezultat je nula. Ovo svojstvo se može posmatrati šire: razlika između dva identična numerička izraza je nula. Na primjer, bez izračunavanja vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), jednak je nuli, pošto je originalni izraz razlika identičnih izraza.

Transformacije identiteta mogu olakšati racionalno izračunavanje vrijednosti izraza. Na primjer, grupiranje pojmova i faktora može biti korisno; stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada nije manje često korišteno. Dakle, vrijednost izraza 53·5+53·7−53·11+5 je vrlo lako pronaći nakon što se faktor 53 izvuče iz zagrada: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Direktno izračunavanje bi potrajalo mnogo duže.

Da zaključimo ovu stvar, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - identični faktori u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, smanjivanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka omogućava vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je jednaka 1/2.

Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama

Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli. To je, mi pričamo o tome o pronalaženju vrijednosti literalnog izraza za date vrijednosti slova ili o pronalaženju vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.

Pravilo pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza sa varijablama za date vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: trebate zamijeniti date vrijednosti slova ili varijabli u originalni izraz i izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza; to je željena vrijednost.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza 0,5·x−y pri x=2,4 i y=5.

Rješenje.

Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo morate zamijeniti date vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

odgovor:

−3,8 .

Kao konačna napomena, ponekad izvođenje konverzija literalnih i varijabilnih izraza će dati njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x+3−x može se pojednostaviti, nakon čega će poprimiti oblik 3. Iz ovoga možemo zaključiti da je vrijednost izraza x+3−x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti (APV). Drugi primjer: vrijednost izraza je 1 za sve pozitivne vrijednosti x, dakle površina prihvatljive vrijednosti varijabla x u originalnom izrazu je skup pozitivni brojevi, a jednakost važi u ovom regionu.

Bibliografija.

• Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 7. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Odredite tok akcije. Izvedite prvu radnju u unutrašnjim zagradama 489–296=193. Zatim pomnožite 193∙8=1544 i 34∙10=340. Sljedeća akcija: 340+1544=1884. Zatim podijelite 1884:4=461, a zatim oduzmite 461–410=60. Pronašli ste značenje ovog izraza.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Pojednostavite ovaj izraz. Da biste to učinili, koristite formulu tg α∙ctg α=1. Dobiti: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Poznato je da je sin 30º=1/2 i cos 30º=√3/2. Dakle, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Pronašli ste značenje ovog izraza.

Vrijednost algebarskog izraza iz . Da biste pronašli vrijednost algebarskog izraza s obzirom na varijable, pojednostavite izraz. Zamijenite određene vrijednosti za varijable. Dovršite potrebne korake. Kao rezultat, dobićete broj, koji će biti vrijednost algebarskog izraza za date varijable.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza 7(a+y)–3(2a+3y) sa a=21 i y=10. Pojednostavite ovaj izraz i dobijete: a–2y. Zamijenite odgovarajuće vrijednosti varijabli i izračunajte: a–2y=21–2∙10=1. Ovo je vrijednost izraza 7(a+y)–3(2a+3y) sa a=21 i y=10.

Bilješka

Postoje algebarski izrazi koji nemaju smisla za neke vrijednosti varijabli. Na primjer, izraz x/(7–a) nema smisla ako je a=7, jer u ovom slučaju, nazivnik razlomka postaje nula.

Izvori:

• pronaći najmanju vrijednost izraza
• Pronađite značenje izraza za c 14

Naučiti pojednostaviti izraze u matematici jednostavno je neophodno kako bi se pravilno i brzo rješavali problemi i razne jednadžbe. Pojednostavljivanje izraza uključuje smanjenje broja koraka, što olakšava proračune i štedi vrijeme.

Instrukcije

Naučite izračunati snage c. Množenjem stepena c dobija se broj čija je baza ista, a eksponenti se sabiraju b^m+b^n=b^(m+n). Prilikom dijeljenja potencija sa istim osnovama dobija se stepen broja čija baza ostaje ista, a eksponenti potencija se oduzimaju, a eksponent djelitelja b^m oduzima se od eksponenta dividende : b^n=b^(m-n). Prilikom podizanja stepena na stepen dobija se stepen broja čija baza ostaje ista, a eksponenti se množe (b^m)^n=b^(mn) Prilikom podizanja na stepen, svaki faktor (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorski polinomi, tj. zamislite ih kao proizvod nekoliko faktora - i monoma. Izvadite zajednički faktor iz zagrada. Naučite osnovne formule za skraćeno množenje: razlika kvadrata, razlika na kvadrat, zbir, razlika kocki, kocka zbira i razlika. Na primjer, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Ove formule su glavne u pojednostavljenju. Koristite metodu izolacije savršenog kvadrata u trinomu oblika ax^2+bx+c.

Skraćujte razlomke što je češće moguće. Na primjer, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ali zapamtite da možete smanjiti samo množitelje. Ako se brojnik i imenilac algebarskog razlomka pomnože sa istim brojem koji nije nula, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti. Izraze možete pretvoriti na dva načina: ulančano i putem akcija. Druga metoda je poželjnija, jer lakše je provjeriti rezultate međudjelovanja.

Često je potrebno izdvojiti korijene u izrazima. Parni korijeni se izdvajaju samo iz nenegativnih izraza ili brojeva. Neparni korijeni se mogu izdvojiti iz bilo kojeg izraza.

Izvori:

• pojednostavljivanje izraza sa potencijama

Trigonometrijske funkcije su se prvo pojavile kao apstraktni alati. matematičkih proračuna ovisnosti vrijednosti oštrih uglova u pravokutnom trokutu o dužinama njegovih stranica. Sada se vrlo široko koriste u naučnim i tehničkim oblastima ljudske aktivnosti. Za praktična izračunavanja trigonometrijskih funkcija datih argumenata možete koristiti različiti instrumenti- U nastavku je opisano nekoliko najpristupačnijih.

Instrukcije

Koristite, na primjer, onu koja je standardno instalirana sa operativni sistem kalkulatorski program. Otvara se odabirom stavke "Kalkulator" u mapi "Uslužni programi" iz pododjeljka "Standard", smještenog u odjeljku "Svi programi". Ovaj odjeljak se može otvoriti klikom na dugme “Start” u glavni operativni meni. Ako koristite Windows verzija 7, onda možete jednostavno uneti "Kalkulator" u polje "Pronađi programe i datoteke" glavnog menija, a zatim kliknuti na odgovarajući link u rezultatima pretrage.

Izbrojite količinu neophodne radnje i razmislite o redosledu kojim treba da se rade. Ako ti je teško ovo pitanje, imajte na umu da se prvo izvode operacije navedene u zagradama, zatim dijeljenje i množenje; a oduzimanje se vrši posljednje. Da biste lakše zapamtili algoritam izvršenih radnji, u izrazu iznad svakog znaka operatora akcije (+,-,*,:) tankom olovkom upišite brojeve koji odgovaraju izvršenju radnji.

Nastavite s prvim korakom, pridržavajući se uspostavljen red. Računajte u svojoj glavi da li je radnje lako izvesti verbalno. Ako su potrebni proračuni (u koloni), upišite ih ispod izraza, označavajući serijski broj akcije.

Jasno pratite redoslijed izvršenih radnji, procijenite šta treba oduzeti od čega, podijeliti na šta itd. Vrlo često je odgovor u izrazu netačan zbog grešaka napravljenih u ovoj fazi.

Prepoznatljiva karakteristika izraz je prisustvo matematičkih operacija. Označava se određenim znakovima (množenje, dijeljenje, oduzimanje ili sabiranje). Redoslijed izvođenja matematičkih operacija se po potrebi koriguje zagradama. Izvršiti matematičke operacije znači pronaći .

Šta nije izraz

Ne može se svaka matematička notacija klasifikovati kao izraz.

Jednakosti nisu izrazi. Nije bitno da li su matematičke operacije prisutne u jednakosti ili ne. Na primjer, a=5 je jednakost, a ne izraz, ali 8+6*2=20 se također ne može smatrati izrazom, iako sadrži množenje. I ovaj primjer spada u kategoriju jednakosti.

Koncepti izražavanja i jednakosti se međusobno ne isključuju; prvi je uključen u drugi. Znak jednakosti povezuje dva izraza:
5+7=24:2

Ova jednačina se može pojednostaviti:
5+7=12

Izraz uvijek pretpostavlja da se matematičke operacije koje predstavlja mogu izvesti. 9+:-7 nije izraz, iako ovdje ima znakova matematičkih operacija, jer je nemoguće izvršiti ove radnje.

Postoje i matematički koji su formalno izrazi, ali nemaju značenje. Primjer takvog izraza:
46:(5-2-3)

Broj 46 mora biti podijeljen rezultatom radnji u zagradama i jednak je nuli. Ne možete dijeliti sa nulom; radnja se smatra zabranjenom.

Numerički i algebarski izrazi

Postoje dvije vrste matematičkih izraza.

Ako izraz sadrži samo brojeve i simbole matematičkih operacija, takav izraz se naziva numeričkim. Ako u izrazu, uz brojeve, postoje varijable označene slovima, ili ih uopće nema, izraz se sastoji samo od varijabli i simbola matematičkih operacija, naziva se algebarskim.

Osnovna razlika između numeričke vrijednosti i algebarske vrijednosti je u tome što numerički izraz ima samo jednu vrijednost. Na primjer, vrijednost numeričkog izraza 56–2*3 uvijek će biti jednaka 50; ništa se ne može promijeniti. Algebarski izraz može imati mnogo vrijednosti, jer bilo koji broj može biti zamijenjen. Dakle, ako u izrazu b–7 zamijenimo 9 sa b, vrijednost izraza će biti 2, a ako je 200, bit će 193.

Izvori:

• Numerički i algebarski izrazi

Djeca po pravilu počinju da uče algebru u osnovnoj školi. Nakon savladavanja osnovnih principa rada s brojevima rješavaju primjere sa jednom ili više nepoznatih varijabli. Pronalaženje značenja ovakvog izraza može biti prilično teško, ali ako ga pojednostavite znanjem iz osnovne škole, sve će se riješiti brzo i lako.

Šta je značenje izraza

Numerički izraz je algebarski zapis koji se sastoji od brojeva, zagrada i znakova ako ima smisla.

Drugim riječima, ako je moguće pronaći značenje izraza, onda unos nije bez značenja, i obrnuto.

Primjeri sljedećih unosa su valjane numeričke konstrukcije:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Jedan broj će također predstavljati numerički izraz, poput broja 18 iz gornjeg primjera.
Primjeri netačnih konstrukcija brojeva koji nemaju smisla:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Netačno numeričke primjere Oni su samo skup matematičkih simbola i nemaju nikakvo značenje.

Kako pronaći vrijednost izraza

Budući da takvi primjeri sadrže aritmetičke znakove, možemo zaključiti da nam omogućavaju proizvodnju aritmetičkim proračunima. Za izračunavanje znakova ili, drugim riječima, za pronalaženje značenja izraza, potrebno je izvršiti odgovarajuće aritmetičke manipulacije.

Kao primjer, razmotrite sljedeću konstrukciju: (120-30)/3=30. Broj 30 će biti vrijednost numeričkog izraza (120-30)/3.

Instrukcije:

Koncept numeričke jednakosti

Brojčana jednakost je situacija u kojoj su dva dijela primjera odvojena znakom “=”. Odnosno, jedan dio je potpuno jednak (identičan) drugom, čak i ako je prikazan u obliku drugih kombinacija simbola i brojeva.
Na primjer, bilo koja konstrukcija poput 2+2=4 može se nazvati numeričkom jednakošću, jer čak i ako se dijelovi zamijene, značenje se neće promijeniti: 4=2+2. Isto vrijedi i za složenije konstrukcije koje uključuju zagrade, dijeljenje, množenje, operacije s razlomcima itd.

Kako ispravno pronaći vrijednost izraza

Da biste ispravno pronašli vrijednost izraza, potrebno je izvršiti proračune prema određenom redoslijedu radnji. Ovaj red se uči na časovima matematike, a kasnije i na časovima algebre u osnovna škola. Poznat je i kao aritmetički koraci.

Aritmetički koraci:

1. Prva faza je sabiranje i oduzimanje brojeva.
2. U drugoj fazi se vrši dijeljenje i množenje.
3. Treća faza - brojevi su na kvadrat ili kocku.

Posmatranje slijedeći pravila, uvijek možete ispravno odrediti značenje izraza:

1. Izvršite radnje počevši od trećeg koraka, završavajući s prvim, ako u primjeru nema zagrada. Odnosno, prvo kvadrat ili kocku, zatim podijelite ili množite, pa tek onda zbrojite i oduzmite.
2. U konstrukcijama sa zagradama prvo izvršite radnje u zagradama, a zatim slijedite gore opisani redoslijed. Ako postoji nekoliko zagrada, također koristite proceduru iz prvog pasusa.
3. U primjerima u obliku razlomka prvo saznajte rezultat u brojniku, zatim u nazivniku, a zatim podijelite prvi s drugim.

Pronalaženje značenja izraza nije teško ako steknete osnovno znanje početni kursevi algebra i matematika. Vođeni gore opisanim informacijama, možete riješiti bilo koji problem, čak i veće složenosti.

Saznajte lozinku iz VK-a, znajući prijavu

Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako se njihova složenost povećava. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijene, posebne matematičkih znakova, stepeni, funkcije itd. Po tradiciji, pružit ćemo cijelu teoriju s obiljem i detaljnim primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako pronaći vrijednost numeričkog izraza?

Numerički izrazi, između ostalog, pomažu da se matematičkim jezikom opiše stanje problema. Uopšte matematički izrazi može biti ili vrlo jednostavan, koji se sastoji od para brojeva i aritmetičkih simbola, ili vrlo složen, koji sadrži funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. Kao dio zadatka, često je potrebno pronaći značenje određenog izraza. Kako to učiniti i razgovaraćemo ispod.

Najjednostavniji slučajevi

To su slučajevi u kojima izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.

Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tada se radnje izvode s lijeva na desno sljedećim redoslijedom: prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje. Navedimo primjere.

Primjer 1: Vrijednost numeričkog izraza

Neka trebate pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Uradimo prvo množenje i dijeljenje. Dobijamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Sada izvodimo oduzimanje i dobijamo konačni rezultat:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Primjer 2: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Prvo vršimo konverziju razlomaka, dijeljenje i množenje:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Sada uradimo sabiranje i oduzimanje. Hajde da grupišemo razlomke i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Tražena vrijednost je pronađena.

Izrazi sa zagradama

Ako izraz sadrži zagrade, one definiraju redoslijed operacija u tom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to na primjeru.

Primjer 3: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza 0,5 · (0,76 - 0,06).

Izraz sadrži zagrade, tako da prvo izvodimo operaciju oduzimanja u zagradi, a tek onda množenje.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Značenje izraza koji sadrže zagrade unutar zagrada nalazi se po istom principu.

Primjer 4: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Radnje ćemo izvoditi počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na vanjske.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Prilikom pronalaženja značenja izraza sa zagradama, glavna stvar je pratiti redoslijed radnji.

Izrazi s korijenima

Matematički izrazi čije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati znakove korijena. Štaviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Šta učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izdvojiti korijen iz broja dobivenog kao rezultat. Ako je moguće, bolje je da se riješite korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući iz sa numeričke vrijednosti.

Primjer 5: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Prvo izračunavamo radikalne izraze.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Sada možete izračunati vrijednost cijelog izraza.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Često pronalaženje značenja izraza s korijenima često zahtijeva prvo transformaciju originalnog izraza. Objasnimo ovo još jednim primjerom.

Primjer 6: Vrijednost numeričkog izraza

Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Kao što vidite, nemamo priliku zamijeniti korijen točnom vrijednošću, što komplikuje proces brojanja. Međutim, u ovom slučaju možete primijeniti skraćenu formulu množenja.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

ovako:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izrazi sa potencijama

Ako izraz sadrži ovlasti, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nego što se nastavi sa svim drugim radnjama. Dešava se da su eksponent ili baza samog stepena izrazi. U ovom slučaju se prvo izračunava vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stepena.

Primjer 7: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Počnimo s računanjem po redu.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Sve što ostaje je izvršiti operaciju sabiranja i saznati značenje izraza:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Takođe je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stepena.

Primjer 8: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti su opet takvi da se ne mogu dobiti njihove točne numeričke vrijednosti. Pojednostavimo originalni izraz da pronađemo njegovu vrijednost.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izrazi sa razlomcima

Ako izraz sadrži razlomke, onda prilikom izračunavanja takvog izraza, svi razlomci u njemu moraju biti predstavljeni kao obični razlomci i njihove vrijednosti se moraju izračunati.

Ako brojnik i nazivnik razlomka sadrže izraze, tada se prvo izračunavaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se zapisuje. Aritmetičke operacije se izvode standardnim redoslijedom. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer 9: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kao što vidite, u originalnom izrazu postoje tri razlomka. Prvo izračunajmo njihove vrijednosti.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Često je pri pronalaženju značenja izraza zgodno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije nego što se pronađe njegova vrijednost, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, svodeći sve proračune na najjednostavnije slučajeve.

Primjer 10: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Ne možemo u potpunosti izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti originalni izraz kroz transformacije.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Originalni izraz ima oblik:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Izračunajmo vrijednost ovog izraza:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izrazi sa logaritmima

Kada su logaritmi prisutni u izrazu, njihova vrijednost se računa od početka, ako je moguće. Na primjer, u izrazu log 2 4 + 2 · 4, možete odmah zapisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobijamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Brojčani izrazi se također mogu naći ispod samog znaka logaritma iu njegovoj osnovi. U ovom slučaju, prvo što treba učiniti je pronaći njihova značenja. Uzmimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ako je nemoguće izračunati tačnu vrijednost logaritma, pojednostavljivanje izraza pomaže da se pronađe njegova vrijednost.

Primjer 11: Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Po svojstvu logaritama:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Ponovo koristeći svojstva logaritama, za zadnji razlomak u izrazu dobijamo:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti originalnog izraza.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Izrazi s trigonometrijskim funkcijama

Dešava se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i njihove inverzne funkcije. Vrijednost se izračunava prije izvođenja svih ostalih aritmetičkih operacija. Inače, izraz je pojednostavljen.

Primjer 12: Vrijednost numeričkog izraza

Pronađite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija uključenih u izraz.

sin - 5 π 2 = - 1

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Vrijednost izraza je pronađena.

Često, da bi se pronašla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, mora se prvo pretvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 13: Vrijednost numeričkog izraza

Trebamo pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Za konverziju ćemo koristiti trigonometrijske formule za kosinus dvostrukog ugla i kosinus zbroja.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Opšti slučaj numeričkog izraza

Općenito, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore opisane elemente: zagrade, potencije, korijene, logaritme, funkcije. Hajde da formulišemo opšte pravilo pronalaženje značenja takvih izraza.

Kako pronaći vrijednost izraza

1. Korijeni, potenci, logaritmi, itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima.
2. Radnje u zagradama se izvode.
3. Preostale radnje se izvode redom s lijeva na desno. Prvo - množenje i dijeljenje, zatim - sabiranje i oduzimanje.

Pogledajmo primjer.

Primjer 14: Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali baš takav primjer, pokušavajući u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronaći značenje takvog izraza?

Poznato je da se prilikom izračunavanja vrijednosti složenog oblika razlomka vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka prvo pronalaze odvojeno, respektivno. Ovaj izraz ćemo sekvencijalno transformisati i pojednostaviti.

Prije svega, izračunajmo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Sada možete saznati vrijednost sinusa:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Sa nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:

Sada možemo napisati vrijednost cijelog razlomka:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Uzimajući to u obzir, pišemo cijeli izraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konačan rezultat:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

U ovom slučaju, uspjeli smo izračunati točne vrijednosti korijena, logaritma, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete pokušati da ih se riješite matematičkim transformacijama.

Izračunavanje vrijednosti izraza korištenjem racionalnih metoda

Numeričke vrijednosti moraju se izračunavati dosljedno i precizno. Ovaj proces može se pojednostaviti i ubrzati upotrebom razna svojstva radnje sa brojevima. Na primjer, poznato je da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući ovo svojstvo u obzir, odmah možemo reći da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jednak nuli. Istovremeno, uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.

Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja ikakvih radnji, možete odrediti da vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također bude nula.

Druga tehnika za ubrzavanje procesa je upotreba transformacija identiteta kao što su grupisanje pojmova i faktora i oduzimanje zajednički množitelj van zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza sa razlomcima je smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku.

Na primjer, uzmite izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Bez izvođenja operacija u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3 .

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli.

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate izvršiti zamjenu postavljene vrijednosti slova i varijable, a zatim izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza.

Primjer 15: Vrijednost izraza s varijablama

Izračunajte vrijednost izraza 0, 5 x - y s obzirom na x = 2, 4 i y = 5.

Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Ponekad možete transformirati izraz tako da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.

Na primjer, izraz x + 3 - x očigledno ima vrijednost 3, a za izračunavanje ove vrijednosti nije potrebno znati vrijednost varijable x. Vrijednost ovog izraza jednaka je tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti.

Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedinici za sve pozitivne x.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter