Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. Na primjer, u numeričkom izrazu \ (5 3 + 7 \), prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \ (5 3 + 7 = 15 + 7 = 22 \). Ali u izrazu \ (5
Primjer.
Proširite zagradu: \ (- (4m + 3) \).
Rješenje
: \ (- (4m + 3) = - 4m-3 \).
Primjer.
Proširite zagradu i dajte slične pojmove \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \).
Rješenje
: \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) = 5-3x-2 + 2 + 3x = 5 \).
Primjer.
Proširite zagrade \ (5 (3-x) \).
Rješenje
: U zagradi imamo \ (3 \) i \ (- x \), a ispred zagrade je petica. Dakle, svaki član zagrade se množi sa \ (5 \) - podsjećam vas na to znak množenja između broja i zagrada nije napisan u matematici da bi se smanjila veličina zapisa.
Primjer.
Proširite zagrade \ (- 2 (-3x + 5) \).
Rješenje
: Kao u prethodnom primjeru, \ (- 3x \) i \ (5 \) se množe sa \ (- 2 \).
Primjer.
Pojednostavite izraz: \ (5 (x + y) -2 (x-y) \).
Rješenje
: \ (5 (x + y) -2 (x-y) = 5x + 5y-2x + 2y = 3x + 7y \).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Kada se zagrada množi zagradom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge:
\ ((c + d) (a-b) = c (a-b) + d (a-b) = ca-cb + da-db \)
Primjer.
Proširite zagrade \ ((2-x) (3x-1) \).
Rješenje
: Imamo proizvod zagrada i može se odmah proširiti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve u koracima.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - svaki njen član množimo sa drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvod zagrade za faktor kao što je gore opisano:
-prvo prvi...
Onda drugi.
Korak 3. Sada množimo i dajemo slične pojmove:
Uopće nije potrebno tako detaljno opisivati sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite otvarati zagrade - pišite detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za ceo odeljak. Zapravo, ne morate pamtiti sva četiri pravila, dovoljno je zapamtiti samo jedno, a to je: \ (c (a-b) = ca-cb \). Zašto? Jer ako u njemu zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \ ((a-b) = a-b \). A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \ (- (a-b) = - a + b \). Pa, ako umjesto c zamijenite drugu zagradu, možete dobiti posljednje pravilo.
Zagrada u zagradi
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).
Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- proširite zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.
U ovom slučaju, važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza jednostavnim prepisivanjem kako jeste.
Uzmimo gornji zadatak kao primjer.
Primjer.
Proširite zagrade i dajte slične pojmove \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).
Rješenje:
Primjer.
Proširite zagrade i dajte slične pojmove \ (- (x + 3 (2x-1 + (x-5))) \).
Rješenje
:
|
\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ (x-5) \) \ ()) \) |
Ovdje je trostruko ugniježđenje zagrada. Počinjemo s najdubljim (označenim zelenom bojom). Ispred nosača je plus, tako da se lako može ukloniti. |
|
|
\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ x-5 \) \ ()) \) |
Sada morate proširiti drugu zagradu, srednju. Ali prije toga pojednostavljujemo izraz sa duhom sličnim terminima u ovoj drugoj zagradi. |
|
|
\ (= - (x \) \ (+ 3 (3x-6) \) \ () = \) |
Sada otvaramo drugu zagradu (označeno plavom bojom). Ispred zagrade je faktor - tako da se svaki pojam u zagradi množi s njim. |
|
|
\ (= - (x \) \ (+ 9x-18 \) \ () = \) |
||
|
I otvaramo posljednju zagradu. Ispred zagrade nalazi se minus - stoga su svi predznaci obrnuti. |
||
Otvaranje zagrada je osnovna matematička vještina. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad tri u 8. i 9. razredu. Stoga vam preporučujem da dobro shvatite ovu temu.
Proširivanje zagrada je vrsta konverzije izraza. U ovom odjeljku ćemo opisati pravila za proširenje zagrada, a također ćemo razmotriti najčešće primjere zadataka.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Šta se naziva proširivim zagradama?
Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je prijeći sa izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Na primjer, zamijenite izraz 2 (3 + 4) izrazom oblika 2 3 + 2 4 bez zagrada. Ova tehnika se naziva proširenje zagrada.
Definicija 1
Proširivanje zagrada se shvata kao tehnika za uklanjanje zagrada i obično se razmatra u odnosu na izraze koji mogu sadržavati:
- znakovi "+" ili "-" ispred zagrada, koji obuhvataju zbrojeve ili razlike;
- proizvod broja, slova ili više slova i zbroja ili razlike koji se stavlja u zagrade.
Ovako smo navikli da razmatramo proces otvaranja zagrada u toku školskog programa. Međutim, niko nas ne brani da na ovu akciju gledamo šire. Proširenjem zagrada možemo nazvati prijelaz iz izraza koji sadrži negativne brojeve u zagradama na izraz koji nema zagrade. Na primjer, možemo ići od 5 + (- 3) - (- 7) do 5 - 3 + 7. U stvari, ovo je također proširenje zagrada.
Slično, proizvod izraza u zagradama oblika (a + b) (c + d) možemo zamijeniti zbirom a c + a d + b c + b d. Ova tehnika također nije u suprotnosti sa značenjem proširenja zagrada.
Evo još jednog primjera. Možemo pretpostaviti da se bilo koji izrazi mogu koristiti umjesto brojeva i varijabli u izrazima. Na primjer, izraz x 2 1 a - x + sin (b) će odgovarati izrazu bez zagrada u obliku x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b).
Još jedna stvar zaslužuje posebnu pažnju koja se tiče posebnosti evidentiranja odluka prilikom otvaranja zagrada. Početni izraz možemo napisati sa zagradama i rezultat koji se dobije nakon proširenja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada, umjesto izraza 3 − (5 − 7) dobijamo izraz 3 − 5 + 7 . Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7.
Izvođenje radnji sa glomaznim izrazima može zahtijevati snimanje međurezultata. Tada će rješenje imati oblik lanca jednakosti. Na primjer, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ili 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Pravila proširenja zagrada, primjeri
Počnimo gledati pravila za proširenje zagrada.
Pojedinačni brojevi u zagradama
Negativni brojevi u zagradama su uobičajeni u izrazima. Na primjer, (- 4) i 3 + (- 4). Pozitivni brojevi u zagradama također imaju svoje mjesto.
Formulirajmo pravilo za proširene zagrade u kojima su zatvoreni pojedinačni pozitivni brojevi. Pretpostavimo da je a bilo koji pozitivan broj. Tada (a) možemo zamijeniti sa a, + (a) sa + a, - (a) sa - a. Ako umjesto a uzmemo određeni broj, tada će prema pravilu: broj (5) biti napisan kao 5 , izraz 3 + (5) bez zagrada poprima oblik 3 + 5 pošto je + (5) zamijenjeno sa + 5 , a izraz 3 + (- 5) je ekvivalentan izrazu 3 − 5 , jer + (− 5) je zamijenjen sa − 5 .
Pozitivni brojevi se obično pišu bez zagrada, jer u ovom slučaju zagrade nisu potrebne.
Sada razmotrite pravilo za proširenje zagrada koje sadrže jedan negativan broj. + (- a) zamenjujemo sa - a, - (- a) se zamjenjuje sa + a. Ako izraz počinje negativnim brojem (- a), koji je napisan u zagradi, onda se zagrade izostavljaju i umjesto (- a) ostaci - a.
Evo nekoliko primjera: (- 5) može se napisati kao - 5, (- 3) + 0, 5 ima oblik - 3 + 0, 5, 4 + (- 3) pretvara se u 4 − 3 , i - (- 4) - (- 3) nakon proširenja zagrada poprima oblik 4 + 3, budući da - (- 4) i - (- 3) zamjenjuje se sa + 4 i + 3.
Treba shvatiti da izraz 3 · (- 5) ne možete napisati kao 3 · - 5. O tome će biti riječi u sljedećim paragrafima.
Hajde da vidimo na čemu se zasnivaju pravila proširenja zagrada.
Prema pravilu, razlika a - b jednaka je a + (- b). Na osnovu svojstava radnji sa brojevima, možemo formirati lanac jednakosti (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = ašto će biti pošteno. Ovaj lanac jednakosti, na osnovu značenja oduzimanja, dokazuje da je izraz a + (- b) razlika a - b.
Na osnovu svojstava suprotnih brojeva i pravila za oduzimanje negativnih brojeva, možemo tvrditi da je - (- a) = a, a - (- b) = a + b.
Postoje izrazi koji se sastoje od broja, znakova minusa i nekoliko parova zagrada. Korištenje gornjih pravila omogućava vam da se dosljedno riješite zagrada, prelazeći s unutrašnjih na vanjske ili u suprotnom smjeru. Primjer takvog izraza bi bio - (- ((- (5)))). Otvorimo zagrade, krećući se iznutra prema van: - (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5. Također, ovaj primjer se može raščlaniti u suprotnom smjeru: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Ispod a i b, ne mogu se razumjeti samo brojevi, već i proizvoljni numerički ili literalni izrazi sa znakom "+" ispred, koji nisu zbroji ili razlike. U svim ovim slučajevima možete primijeniti pravila na isti način kao što smo to učinili za pojedinačne brojeve u zagradama.
Na primjer, nakon proširenja zagrada, izraz - (- 2 x) - (x 2) + (- 1 x) - (2 x y 2: z) ima oblik 2 x - x 2 - 1 x - 2 x y 2: z. Kako smo to uradili? Znamo da je - (- 2 x) + 2 x, a pošto je ovaj izraz na početku, + 2 x se može zapisati kao 2 x, - (x 2) = - x 2, + (- 1 x) = - 1 x i - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.
U produktima dva broja
Počnimo s pravilom za proširenje zagrada u proizvodu dva broja.
Pretvarajmo se to a i b su dva pozitivna broja. U ovom slučaju, proizvod dva negativna broja - a i - b oblika (- a) (- b) možemo zamijeniti sa (a b), a proizvode dva broja sa suprotnim predznacima oblika (- a) b i a (- a b)... Množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao i množenje plusa sa minusom, daje minus.
Ispravnost prvog dijela napisanog pravila potvrđuje se pravilom za množenje negativnih brojeva. Za potvrdu drugog dijela pravila možemo koristiti pravila za množenje brojeva s različitim predznacima.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1
Razmotrimo algoritam za proširenje zagrada u proizvodu dva negativna broja - 4 3 5 i - 2, oblika (- 2) · - 4 3 5. Da biste to učinili, zamijenite originalni izraz sa 2 · 4 3 5. Proširite zagrade i dobijete 2 4 3 5.
A ako uzmemo količnik negativnih brojeva (- 4): (- 2), onda će zapis nakon proširenja zagrada izgledati kao 4: 2
Umjesto negativnih brojeva - a i - b može biti bilo koji izrazi sa predznakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Na primjer, to mogu biti proizvodi, količniki, razlomci, potenci, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije itd.
Proširite zagrade u izrazu - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5). Prema pravilu možemo izvršiti sljedeće transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Izraz (- 3) 2 može se pretvoriti u izraz (- 3 · 2). Zatim možete proširiti zagrade: - 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
Dijeljenje brojeva s različitim predznacima također može zahtijevati da se zagrade unaprijed prošire: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Pravilo se može koristiti za obavljanje množenja i dijeljenja na izrazima s različitim predznacima. Evo dva primjera.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
U proizvodima od tri ili više brojeva
Prijeđimo na proizvod i količnike, koji sadrže više brojeva. Sljedeće pravilo će se ovdje primjenjivati za proširene zagrade. Za paran broj negativnih brojeva, možete izostaviti zagrade tako što ćete brojeve zamijeniti njihovom suprotnošću. Nakon toga, potrebno je da dobijeni izraz priložite u nove zagrade. Za neparan broj negativnih brojeva, izostavljajući zagrade, zamijenite brojeve suprotnim brojevima. Nakon toga, rezultirajući izraz se mora staviti u nove zagrade i ispred njega staviti znak minus.
Primjer 2
Na primjer, uzmimo izraz 5 · (- 3) · (- 2), koji je proizvod tri broja. Postoje dva negativna broja, stoga izraz možemo napisati kao (5 · 3 · 2), a zatim na kraju otvorite zagrade i dobijete izraz 5 · 3 · 2.
U proizvodu (- 2, 5) · (- 3): (- 2) · 4: (- 1, 25): (- 1) pet brojeva je negativnih. dakle (- 2, 5) (- 3): (- 2) 4: (- 1, 25): (- 1) = (- 2, 5 3: 2 4: 1, 25: 1) ... Na kraju, proširivanjem zagrada, dobijamo −2,5 3: 2 4: 1,25: 1.
Gornje pravilo se može potkrijepiti na sljedeći način. Prvo, možemo prepisati takve izraze kao proizvod, zamjenjujući dijeljenje množenjem recipročnim. Svaki negativan broj predstavljamo kao proizvod množenja i zamjenjujemo - 1 ili - 1 sa (- 1) a.
Koristeći svojstvo pomaka množenja, mijenjamo faktore i prenosimo sve faktore jednake − 1 , na početak izraza. Umnožak parnog broja minus jedinica je 1, a neparan je jednak − 1 , što nam omogućava da koristimo znak minus.
Ako ne bismo koristili pravilo, tada bi lanac akcija za proširenje zagrada u izrazu - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 izgledao ovako:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Gornje pravilo se može koristiti kada se proširuju zagrade u izrazima koji su proizvodi i količniki sa predznakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Uzmite izraz
x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2.
Može se svesti na izraz bez zagrada x 2 x: 1 x x - 3: 2.
Proširene zagrade kojima prethodi znak +
Razmislite o pravilu koje se može primijeniti na proširene zagrade kojima prethodi znak plus, a "sadržaj" tih zagrada nije množen niti djeljiv nikakvim brojem ili izrazom.
Prema pravilu, zagrade zajedno sa likom ispred njih se izostavljaju, dok su znakovi svih pojmova u zagradi sačuvani. Ako ispred prvog člana u zagradama nema znaka, onda morate staviti znak plus.
Primjer 3
Na primjer, dajmo izraz (12 − 3 , 5) − 7 ... Pošto smo izostavili zagrade, predznake pojmova zadržavamo u zagradi i stavljamo znak plus ispred prvog člana. Zapis će izgledati kao (12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. U datom primjeru nije potrebno stavljati znak ispred prvog člana, jer + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Primjer 4
Uzmimo još jedan primjer. Uzmite izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i izvršite radnje s njim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Evo još jednog primjera proširenja zagrada:
Primjer 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Kako se proširuju zagrade, ispred kojih je znak minus
Razmotrite slučajeve u kojima zagradama prethodi znak minus, a koji se ne množe (ili dijele) ni sa jednim brojem ili izrazom. Prema pravilu otvaranja zagrada kojima prethodi znak "-", zagrade sa znakom "-" se izostavljaju, dok su predznaci svih pojmova unutar zagrada obrnuti.
Primjer 6
Na primjer:
1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) = x 2
Izrazi varijable mogu se konvertovati koristeći isto pravilo:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
dobijamo x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2.
Proširivanje zagrada pri množenju broja sa zagradama, izrazi sa zagradama
Ovdje ćemo pogledati slučajeve kada trebate proširiti zagrade koje su pomnožene ili djeljive nekim brojem ili izrazom. Ovdje su formule oblika (a 1 ± a 2 ±… ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ±… ± a n · b) ili b (a 1 ± a 2 ±… ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ±… ± b a n), gdje a 1, a 2,…, a n i b su neki brojevi ili izrazi.
Primjer 7
Na primjer, proširimo zagrade u izrazu (3 - 7) 2... Prema pravilu možemo izvršiti sljedeće transformacije: (3 - 7) 2 = (3 2 - 7 2). Dobijamo 3 2 - 7 2.
Proširujući zagrade u izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobijamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Množenje zagrade zagradom
Razmotrimo proizvod dva zagrada oblika (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Ovo će nam pomoći da dobijemo pravilo za proširenje zagrada kada izvodimo množenje zagrada u zagradu.
Da bismo riješili gornji primjer, označavamo izraz (b 1 + b 2) kao b. Ovo će nam omogućiti da koristimo pravilo za množenje zagrada sa izrazom. Dobijamo (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Reverzna zamjena b pomoću (b 1 + b 2), ponovo primijenimo pravilo množenja izraza zagradama: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 B 2
Zahvaljujući brojnim jednostavnim trikovima, možemo doći do zbroja proizvoda svakog od pojmova iz prve zagrade sa svakim od članova iz druge zagrade. Pravilo se može proširiti na bilo koji broj pojmova unutar zagrada.
Formulirajmo pravila za množenje zagrade zagradom: da bismo pomnožili dva zbroja između sebe, potrebno je pomnožiti svaki od članova prvog zbroja sa svakim od članova drugog zbroja i sabrati dobijene rezultate.
Formula će izgledati ovako:
(a 1 + a 2 +... + a m) · (b 1 + b 2 +... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 +. ... ... + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. ... ... + a 2 b n + +. ... ... + + a m b 1 + a m b 1 +. ... ... a m b n
Proširimo zagrade u izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) To je proizvod dva zbroja. Zapišimo rješenje: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Odvojeno, vrijedi se zadržati na onim slučajevima kada je znak minus prisutan u zagradama zajedno sa znakovima plus. Na primjer, uzmimo izraz (1 - x) · (3 · x · y - 2 · x · y 3).
Prvo, predstavljamo izraze u zagradama kao zbrojeve: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3))... Sada možemo primijeniti pravilo: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)) = (1 3 x y + 1 (- 2 x Y 3) + (- x) 3 xy + (- x) (- 2 xy 3))
Proširite zagrade: 1 3 x y - 1 2 x y 3 - x 3 x y + x 2 x y 3.
Proširenje zagrada u proizvodima više zagrada i izraza
Ako u izrazu postoje tri ili više izraza u zagradama, zagrade se moraju proširiti uzastopno. Potrebno je započeti transformaciju stavljanjem prva dva faktora u zagrade. Unutar ovih zagrada možemo izvršiti transformacije prema pravilima o kojima smo raspravljali gore. Na primjer, zagrade u izrazu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8).
Izraz sadrži tri faktora odjednom (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8). Proširićemo zagrade redom. Stavimo prva dva faktora u još jednu zagradu, koju ćemo učiniti crvenim radi jasnoće: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
U skladu s pravilom za množenje zagrade brojem, možemo izvršiti sljedeće radnje: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8).
Pomnožite zagradu sa zagradom: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 ...
Zagrada u prirodnom stepenu
Stupnjevi, čije su osnove neki izrazi ispisani u zagradama, sa prirodnim pokazateljima mogu se smatrati proizvodom nekoliko zagrada. Štaviše, prema pravilima iz prethodna dva stava, mogu se pisati i bez ovih zagrada.
Razmotrite proces pretvaranja izraza (a + b + c) 2. Može se napisati kao proizvod dvije zagrade (a + b + c) (a + b + c)... Pomnožimo zagradu sa zagradom i dobićemo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Uzmimo još jedan primjer:
Primjer 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Podijelite zagradu brojem, a zagrade zagradom
Dijeljenje zagrade brojem pretpostavlja da morate podijeliti sve pojmove u zagradama brojem. Na primjer, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4.
Dijeljenje se može prethodno zamijeniti množenjem, nakon čega možete koristiti odgovarajuće pravilo za proširenje zagrada u proizvodu. Isto pravilo vrijedi kada se zagrada dijeli zagradom.
Na primjer, trebamo proširiti zagrade u izrazu (x + 2): 2 3. Da biste to učinili, prvo zamijenite dijeljenje množenjem obrnutim brojem (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Pomnožite zagradu brojem (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3.
Evo još jednog primjera dijeljenja zagradama:
Primjer 9
1 x + x + 1: (x + 2).
Zamijenite dijeljenje množenjem: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Izvršite množenje: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2.
Redoslijed proširenja nosača
Sada razmotrimo redoslijed primjene pravila o kojima smo gore govorili u općim izrazima, tj. u izrazima koji sadrže zbrojeve sa razlikama, proizvode sa količnikima, zagrade u prirodnom stepenu.
Procedura za izvođenje radnji:
- prvi korak je podizanje zagrada do prirodnog stepena;
- u drugoj fazi otvaraju se zagrade u radnim i privatnim;
- posljednji korak je proširenje zagrada u zbrojima i razlikama.
Razmotrimo proceduru za izvođenje radnji na primjeru izraza (- 5) + 3 · (- 2): (- 4) - 6 · (- 7). Pretvorimo iz izraza 3 (- 2): (- 4) i 6 (- 7), koji bi trebali imati oblik (3 2: 4) i (- 6 7). Zamjenom dobijenih rezultata u originalni izraz dobijamo: (- 5) + 3 (- 2): (- 4) - 6 (- 7) = (- 5) + (3 2: 4) - (- 6 7 ). Otvaramo zagrade: - 5 + 3 2: 4 + 6 7.
Kada se radi o izrazima koji sadrže zagrade u zagradama, zgodno je transformirati se iznutra prema van.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako se njihova složenost povećava. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijene, posebne matematičke znakove, stupnjeve, funkcije itd. Čitava teorija će, prema tradiciji, biti opskrbljena obiljem i detaljnim primjerima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kako mogu pronaći vrijednost numeričkog izraza?
Numerički izrazi, između ostalog, pomažu da se opiše stanje problema matematičkim jezikom. Općenito, matematički izrazi mogu biti ili vrlo jednostavni, koji se sastoje od para brojeva i aritmetičkih znakova, ili vrlo složeni, koji sadrže funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. U okviru zadatka često je potrebno pronaći značenje izraza. Kako to učiniti bit će riječi u nastavku.
Najjednostavniji slučajevi
To su slučajevi kada izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.
Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove "+", "·", "-", "÷", tada se radnje izvode s lijeva na desno sljedećim redoslijedom: prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje. Evo nekoliko primjera.
Primjer 1. Vrijednost numeričkog izraza
Neka je potrebno pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Uradimo prvo množenje i dijeljenje. Dobijamo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Sada oduzimamo i dobijamo konačni rezultat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Primjer 2. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Prvo vršimo konverziju razlomaka, dijeljenje i množenje:
0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Sada uradimo sabiranje i oduzimanje. Hajde da grupišemo razlomke i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Vrijednost koju ste tražili je pronađena.
Izrazi sa zagradama
Ako izraz sadrži zagrade, onda oni određuju redoslijed akcija u ovom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to na primjeru.
Primjer 3. Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).
Izraz sadrži zagrade, pa prvo izvršimo operaciju oduzimanja u zagradi, a tek onda množenje.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.
Značenje izraza koji sadrže zagrade u zagradi slijedi isti princip.
Primjer 4. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Radnje ćemo izvoditi počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na vanjske.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
U pronalaženju vrijednosti izraza sa zagradama, glavna stvar je pratiti redoslijed radnji.
Ukorijenjeni izrazi
Matematički izrazi za koje trebamo pronaći vrijednosti mogu sadržavati znakove korijena. Štaviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Šta treba učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izdvojiti korijen iz rezultirajućeg broja. Kad god je moguće, bolje je riješiti se korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući from numeričkim vrijednostima.
Primjer 5. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Prvo izračunavamo radikalne izraze.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Sada možete procijeniti vrijednost cijelog izraza.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5
Često pronalaženje značenja ukorijenjenog izraza često zahtijeva prvo pretvaranje originalnog izraza. Objasnimo ovo još jednim primjerom.
Primjer 6. Vrijednost numeričkog izraza
Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1
Kao što vidite, ne postoji način da zamijenimo korijen točnom vrijednošću, što komplikuje proces izračunavanja. Međutim, u u ovom slučaju možete primijeniti skraćenu formulu množenja.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
ovako:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Izrazi moći
Ako izraz sadrži stupnjeve, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nego što se nastavi sa svim drugim radnjama. Događa se da su eksponent sam po sebi ili baza stepena izrazi. U ovom slučaju se prvo izračunava vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stepena.
Primjer 7. Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Počinjemo računati po redu.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Ostaje samo izvršiti operaciju sabiranja i saznati vrijednost izraza:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Takođe je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stepena.
Primjer 8. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.
Eksponenti su opet takvi da se ne mogu dobiti njihove točne numeričke vrijednosti. Hajde da pojednostavimo originalni izraz da pronađemo njegovo značenje.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Razlomci
Ako izraz sadrži razlomke, tada prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju biti predstavljeni kao obični razlomci i izračunati njihove vrijednosti.
Ako postoje izrazi u brojniku i nazivniku razlomka, tada se prvo izračunavaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka upisuje. Aritmetičke operacije se izvode na standardni način. Razmotrimo rješenje na primjeru.
Primjer 9. Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Kao što vidite, u originalnom izrazu postoje tri razlomka. Izračunajmo prvo njihove vrijednosti.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1
Često je pri pronalaženju vrijednosti izraza prikladno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije nego što se pronađe njegova vrijednost, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, svodeći sve proračune na najjednostavnije slučajeve.
Primjer 10. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne možemo u potpunosti izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti originalni izraz tako što ćemo ga transformirati.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Originalni izraz ima oblik:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Izračunajmo vrijednost ovog izraza:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Izrazi sa logaritmima
Kada su u izrazu prisutni logaritmi, njihova se vrijednost, ako je moguće, računa od samog početka. Na primjer, u izraz log 2 4 + 2 · 4, možete odmah upisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobijamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Pod znakom logaritma iu njegovoj osnovi mogu se naći i brojčani izrazi. U ovom slučaju, prvi korak je pronaći njihove vrijednosti. Uzmite izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Ako nije moguće izračunati tačnu vrijednost logaritma, pojednostavljivanje izraza pomaže vam da pronađete njegovu vrijednost.
Primjer 11. Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.
Po svojstvu logaritama:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.
Ponovo primjenjujući svojstva logaritama, za posljednji razlomak u izrazu dobijamo:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti originalnog izraza.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Izrazi s trigonometrijskim funkcijama
Dešava se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i funkcije koje su njima inverzne. Vrijednosti se izračunavaju prije nego što se izvedu sve druge aritmetičke operacije. Inače, izraz je pojednostavljen.
Primjer 12. Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija uključenih u izraz.
sin - 5 π 2 = - 1
Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Pronađena vrijednost izraza.
Često, da bi se pronašla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, on se mora prvo transformirati. Objasnimo na primjeru.
Primjer 13. Vrijednost numeričkog izraza
Potrebno je pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Za transformaciju ćemo koristiti trigonometrijske formule za kosinus dvostrukog ugla i kosinus zbira.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Opšti slučaj numeričkog izraza
Općenito, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore navedene elemente: zagrade, stupnjeve, korijene, logaritme, funkcije. Formulirajmo opće pravilo za pronalaženje vrijednosti takvih izraza.
Kako pronaći značenje izraza
- Korijeni, stepeni, logaritmi itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima.
- Radnje u zagradama se izvode.
- Preostale radnje se izvode redom s lijeva na desno. Prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje.
Pogledajmo primjer.
Primjer 14. Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali baš takav primjer, pokušavajući da u njega uklopimo sve gore opisane slučajeve. Kako pronalazite značenje takvog izraza?
Poznato je da se prilikom izračunavanja vrijednosti složenog oblika razlomka, prvo, vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka nalaze odvojeno, respektivno. Dosljedno ćemo transformirati i pojednostavljivati ovaj izraz.
Prije svega izračunavamo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Sada možete saznati vrijednost sinusa:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Sa nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:
Sada možemo zapisati vrijednost cijelog razlomka:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Imajući to na umu, napišimo cijeli izraz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Konačan rezultat:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
U ovom slučaju uspjeli smo izračunati točne vrijednosti korijena, logaritma, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete pokušati da ih se riješite matematičkim transformacijama.
Izračunavanje vrijednosti izraza na racionalne načine
Izračunajte numeričke vrijednosti dosljedno i precizno. Ovaj proces se može racionalizirati i ubrzati korištenjem različitih svojstava radnji s brojevima. Na primjer, poznato je da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući ovo svojstvo u obzir, odmah možemo reći da je izraz 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 jednak nuli. U ovom slučaju uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.
Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja bilo kakve radnje, možete odrediti da vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također bude jednaka nuli.
Druga tehnika koja vam omogućava da ubrzate proces je upotreba identičnih transformacija kao što je grupisanje pojmova i faktora i uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza sa razlomcima je smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku.
Na primjer, uzmite izraz 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Bez izvođenja radnji u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3.
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Značenje abecednog izraza i izraza sa varijablama nalazi se za određene specificirane vrijednosti slova i varijabli.
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti navedene vrijednosti slova i varijabli u originalni izraz, a zatim izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza.
Primjer 15. Vrijednost izraza s varijablama
Procijenite vrijednost izraza 0,5 x - y s obzirom na x = 2, 4 i y = 5.
Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:
0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.
Ponekad možete transformirati izraz na takav način da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.
Na primjer, izraz x + 3 - x očigledno ima vrijednost 3 i ne morate znati vrijednost x da biste izračunali ovu vrijednost. Vrijednost ovog izraza je jednaka tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona važećih vrijednosti.
Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedinici za sve pozitivne x.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Dakle, ako je numerički izraz sastavljen od brojeva i znakova +, -, · i:, onda redom s lijeva na desno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željeni vrijednost izraza.
Dajemo rješenje primjera za pojašnjenje.
Primjer.
Procijenite vrijednost izraza 14−2 · 15: 6−3.
Rješenje.
Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvršiti sve radnje naznačene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja ovih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobijamo 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Sada, također, redom s lijeva na desno, izvodimo preostale radnje: 14−5−3 = 9−3 = 6. Tako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, to je 6.
odgovor:
14-215: 6-3 = 6.
Primjer.
Pronađite značenje izraza.
Rješenje.
U ovom primjeru prvo trebamo izvršiti množenje 2 · (−7) i dijeljenje i množenje u izrazu. Sjećajući se kako se to radi, nalazimo 2 (−7) = - 14. I prvo da izvršite radnje u izrazu 
, onda 
, i izvršite: 
.
Zamijenite dobivene vrijednosti u originalni izraz:.
Ali šta ako postoji numerički izraz ispod predznaka korijena? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvršavanja radnji. Na primjer, .
U numeričkim izrazima korijene treba shvatiti kao neke brojeve, a preporučljivo je odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s korijenima.
Rješenje.
Prvo, nalazimo vrijednost korijena 
... Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... I drugo, nalazimo vrijednost korijena.
Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz originalnog izraza:.
Konačno, možemo pronaći vrijednost originalnog izraza zamjenom korijena njihovim vrijednostima:.
odgovor:
Često, da biste omogućili pronalaženje vrijednosti izraza s korijenima, prvo ga morate transformirati. Pokažimo rješenje na primjeru.
Primjer.
Šta je značenje izraza 
.
Rješenje.
Ne možemo zamijeniti korijen od tri njegovom tačnom vrijednošću, što nam ne dozvoljava da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisan način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formule razlike kvadrata:. Uzimajući u obzir, dobijamo 
... Dakle, vrijednost originalnog izraza je 1.
odgovor:
.
Sa diplomama
Ako su baza i eksponent brojevi, onda se njihova vrijednost izračunava prema definiciji eksponenta, na primjer, 3 2 = 3 · 3 = 9 ili 8 −1 = 1/8. Postoje i zapisi kada su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima potrebno je pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stepena.
Primjer.
Nađi vrijednost izraza sa stepenom forme 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4.
Rješenje.
U originalnom izrazu, dva stepena su 2 3 4-10 i (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja bilo kojih drugih koraka.
Počnimo sa stepenom 2 3 4−10. U njegovom indikatoru nalazi se numerički izraz, izračunavamo njegovu vrijednost: 3 4-10 = 12-10 = 2. Sada možete pronaći vrijednost samog stepena: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.
U osnovi i eksponentu (1-1/2) 3,5-2 Imamo (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.
Sada se vraćamo na originalni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koja nam je potrebna: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.
odgovor:
2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.
Vrijedi napomenuti da su češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza sa ovlastima na bazi.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, ne mogu se dobiti tačne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostaviti izvorni izraz, možda će to pomoći da pronađemo njegovo značenje. Imamo 
odgovor:
.
Stepeni u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju vrijednosti izraza s logaritmima u jednom od.
Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima
Numerički izrazi u svojoj notaciji mogu sadržavati razlomke. Kada trebate pronaći značenje takvog izraza, razlomke osim običnih razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije izvođenja ostalih koraka.
Brojnik i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj poredak se objašnjava činjenicom da je razlomak a / b, gdje su a i b neki izrazi, u suštini količnik oblika (a) :(b), budući da.
Razmotrimo rješenje na primjeru.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s razlomcima 
.
Rješenje.
U originalnom numeričkom izrazu, tri razlomka 
i . Da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, prvo nam trebaju ovi razlomci, zamijeniti ih vrijednostima. Hajde da to uradimo.
Brojilac i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite liniju razlomaka znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: 
.
Brojač razlomka sadrži izraz 7−2 · 3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Dakle, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.
Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo 
.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u originalni izraz i izvršiti preostale radnje:.
odgovor:
.
Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate učiniti pojednostavljenje frakcijskih izraza baziran na izvođenju radnji sa razlomcima i redukciji razlomaka.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Korijen od pet nije u potpunosti izvučen, pa da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo osloboditi se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: 
... Nakon toga, originalni izraz će poprimiti oblik 
... Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost inicijalno specificiranog izraza:.
odgovor:
.
Sa logaritmima
Ako numerički izraz sadrži i ako ih je moguće riješiti, to se radi prije izvođenja ostalih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4 + 2 + 6 = 8.
Kada postoje numerički izrazi pod znakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi, prvo se pronađu njihove vrijednosti, nakon čega se izračuna vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika 
... U osnovi logaritma i pod njegovim znakom nalaze se numerički izrazi, nalazimo njihove vrijednosti:. Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo proračune:.
Ako logaritmi nisu tačno izračunati, onda pojednostavljivanje početnog izraza pomoću njega može pomoći da se pronađe vrijednost originalnog izraza. Istovremeno, morate dobro vladati materijalom članka. pretvaranje logaritamskih izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza s logaritmima 
.
Rješenje.
Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256). Kako je 256 = 2 8, onda je log 2 256 = 8, dakle log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.
Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupisati. Zbir logaritama log 6 2 + log 6 3 jednak je logaritmu proizvoda log 6 (2 3), pa log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Sada se pozabavimo razlomkom. Za početak, prepisujemo bazu logaritma u nazivniku kao običan razlomak kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka: 
.
Ostaje samo zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti: 
odgovor:
Kako mogu pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?
Kada numerički izraz sadrži ili, itd., njihove vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Pozivajući se na članak, dobijamo 
i cosπ = −1. Ove vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz, on poprima oblik 
... Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a zatim završiti proračune:.
odgovor:
.
Treba napomenuti da se izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahteva prethodno pretvaranje trigonometrijskog izraza.
Primjer.
Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza 
.
Rješenje.
Transformiramo originalni izraz koristeći, u ovom slučaju, trebamo formulu za kosinus dvostrukog ugla i formulu za kosinus sume: 
Izvršene transformacije su nam pomogle da pronađemo značenje izraza.
odgovor:
.
Opšti slučaj
Općenito, numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza je sljedeće:
- prvi korijeni, potenci, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
- dalje radnje u zagradama,
- a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.
Navedene radnje se izvode dok se ne dobije konačni rezultat.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Forma ovog izraza je prilično komplikovana. U ovom izrazu vidimo razlomak, korijene, stupnjeve, sinus i logaritam. Kako pronalazite njegovo značenje?
Krećući se po zapisu s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme 
... Znamo da kada radimo sa složenim razlomcima, moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno - nazivnik, i, konačno, pronaći vrijednost razlomka.
U brojiocu imamo korijen oblika 
... Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza 
... Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza 
... Možemo ovo:. Zatim, odakle i 
.
Imenilac je jednostavan:.
dakle, 
.
Nakon zamjene ovog rezultata u originalni izraz, on će poprimiti oblik. Rezultirajući izraz sadrži stepen. Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate pronaći vrijednost indikatora, imamo 
.
Dakle, .
odgovor:
.
Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, stupnjeva itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema naznačenoj shemi.
Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza
Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i pažnju. Da, morate se pridržavati redoslijeda radnji napisanih u prethodnim paragrafima, ali ne morate to raditi slijepo i mehanički. Pod ovim podrazumijevamo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, neka svojstva radnji s brojevima mogu značajno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.
Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u proizvodu nula, tada je vrijednost proizvoda nula. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) jednako je nuli. Ako bismo se pridržavali standardnog redoslijeda izvođenja radnji, tada bismo prvo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, a to bi oduzelo dosta vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.
Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako oduzmete jednak broj od broja, rezultat će biti nula. Ovo svojstvo se može posmatrati šire: razlika između dva identična numerička izraza je nula. Na primjer, bez procjene vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), jednak je nuli, jer je originalni izraz razlika istih izraza.
Identične transformacije mogu doprinijeti racionalnom izračunavanju vrijednosti izraza. Na primjer, grupiranje pojmova i faktora može biti korisno, a često se koriste i zagrade. Dakle, vrijednost izraza 53 5 + 53 7−53 11 + 5 vrlo je lako pronaći nakon što se faktor 53 stavi izvan zagrada: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Direktno izračunavanje bi potrajalo mnogo duže.
U zaključku ovog paragrafa, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - isti faktori u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, poništavanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka 
omogućava vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je 1/2.
Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama
Značenje abecednog izraza i izraza sa varijablama nalazi se za određene specificirane vrijednosti slova i varijabli. Odnosno, govorimo o pronalaženju vrijednosti literalnog izraza za date vrijednosti slova ili o pronalaženju vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.
Pravilo Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza sa varijablama za date vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: trebate zamijeniti ove vrijednosti slova ili varijabli u originalni izraz i izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza, to je željena vrijednost.
Primjer.
Procijenite izraz 0,5 x − y pri x = 2,4 i y = 5.
Rješenje.
Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo trebate zamijeniti ove vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = −3,8.
odgovor:
−3,8 .
U zaključku, napominjemo da ponekad izvođenje transformacija literalnih izraza i izraza s varijablama omogućava da dobijete njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x + 3 − x može se pojednostaviti, nakon čega postaje 3. Dakle, možemo zaključiti da je vrijednost izraza x + 3 − x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti (ODV). Drugi primjer: vrijednost izraza je jednaka 1 za sve pozitivne vrijednosti x, tako da je raspon važećih vrijednosti varijable x u originalnom izrazu skup pozitivnih brojeva, a jednakost se odvija u ovom domet.
Bibliografija.
- Matematika: udžbenik. za 5 cl. opšte obrazovanje. institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosina, 2007.-- 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje. institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, Rev. - M.: Mnemosina, 2008.-- 288 str.: Il. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: studija. za 7 cl. opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: studija. za 8 cl. opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. opšte obrazovanje. institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Numerički izraz Je li bilo koji zapis brojeva, aritmetičkih znakova i zagrada. Numerički izraz se može sastojati od samo jednog broja. Podsjetimo da su glavne aritmetičke operacije “sabiranje”, “oduzimanje”, “množenje” i “dijeljenje”. Ove radnje odgovaraju znakovima "+", "-", "∙", ":".
Naravno, da bismo dobili numerički izraz, zapis brojeva i aritmetičkih znakova mora biti smislen. Tako, na primjer, takav zapis 5: + ∙ ne može se nazvati numeričkim izrazom, jer je riječ o nasumičnom skupu znakova koji nema značenje. Naprotiv, 5 + 8 ∙ 9 je već pravi numerički izraz.
Vrijednost numeričkog izraza.
Recimo odmah da ako izvršimo radnje naznačene u numeričkom izrazu, onda ćemo kao rezultat dobiti broj. Ovaj broj se zove vrijednost numeričkog izraza.
Pokušajmo izračunati što ćemo dobiti kao rezultat izvođenja radnji našeg primjera. Prema redosledu kojim se izvode aritmetičke operacije, prvo izvodimo operaciju množenja. Pomnožite 8 sa 9. Dobijte 72. Sada dodajte 72 i 5. Dobijte 77.
Dakle 77 - značenje numerički izraz 5 + 8 ∙ 9.
Brojčana jednakost.
Možete to napisati na sljedeći način: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Ovdje smo prvo koristili znak "=" ("Jednako"). Takva notacija, u kojoj su dva numerička izraza odvojena znakom "=", naziva se brojčana jednakost... Štoviše, ako se vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti poklapaju, tada se jednakost naziva vjerni... 5 + 8 ∙ 9 = 77 - tačna jednakost.
Ako zapišemo 5 + 8 ∙ 9 = 100, onda će već biti lažna jednakost, budući da se vrijednosti lijeve i desne strane ove jednakosti više ne poklapaju.
Treba napomenuti da u numeričkom izrazu možemo koristiti i zagrade. Zagrade utiču na redosled izvođenja radnji. Dakle, na primjer, modificirajmo naš primjer dodavanjem zagrada: (5 + 8) ∙ 9. Sada, prvo treba da saberemo 5 i 8. Dobijamo 13. A onda pomnožimo 13 sa 9. Dobijamo 117. Dakle, ( 5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – značenje numerički izraz (5 + 8) ∙ 9.
Da biste ispravno pročitali izraz, morate odrediti koja se radnja izvodi posljednja da biste izračunali vrijednost datog numeričkog izraza. Dakle, ako je posljednja radnja oduzimanje, onda se izraz naziva "razlika". Prema tome, ako je posljednja radnja zbir - "zbir", dijeljenje - "količnik", množenje - "proizvod", stepenovanje - "stepen".
Na primjer, numerički izraz (1 + 5) (10-3) glasi ovako: "proizvod zbira brojeva 1 i 5 na razliku između brojeva 10 i 3".
Primjeri numeričkih izraza.
Evo primjera složenijeg numeričkog izraza:
\ [\ lijevo (\ frac (1) (4) +3,75 \ desno): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) \]
Ovaj numerički izraz koristi proste brojeve, razlomke i decimale. Koriste se i znaci sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Razlomka također zamjenjuje znak dijeljenja. Uprkos naizgled složenosti, prilično je lako pronaći vrijednost ovog numeričkog izraza. Glavna stvar je biti u stanju izvoditi operacije s razlomcima, kao i pažljivo i precizno izvršiti proračune, poštujući redoslijed izvođenja radnji.
U zagradi imamo izraz $ \ frac (1) (4) + 3,75 $. Pretvorite decimalni broj 3,75 u razlomak.
$ 3,75 = 3 \ frac (75) (100) = 3 \ frac (3) (4) $
dakle, $ \ frac (1) (4) + 3,75 = \ frac (1) (4) +3 \ frac (3) (4) = 4 $
Dalje, u brojiocu razlomka \ [\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) \] imamo izraz 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Da bismo pojednostavili ovaj izraz, primjenjujemo zakon pomaka sabiranja, koji kaže: "Zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova." To jest, 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 = 6 + 2 = 8.
U nazivniku razlomka, izraz $ 4 \ centerdot 0,5 = 4 \ centerdot \ frac (1) (2) = 4: 2 = 2 $
Dobijamo $ \ lijevo (\ frac (1) (4) +3,75 \ desno): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) = 4: \ frac (8) (2) = 4: 4 = 1 $
Kada su numerički izrazi besmisleni?
Uzmimo još jedan primjer. U nazivniku razlomka $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ vrijednost izraza $ 3 \ centerdot 3-9 $ je 0. A, kao što znamo, dijeljenje sa nulom je nemoguće. Dakle, razlomak $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ nema vrijednost. Za numeričke izraze koji nemaju značenje se kaže da su "besmisleni".
Ako u numeričkom izrazu, pored brojeva, koristimo slova, onda ćemo već dobiti
