Množenje matrice realnim brojem. Množenje matrice brojem

Ovaj priručnik će vam pomoći da naučite kako to izvoditi operacije sa matricama: sabiranje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.

Pokušaću da minimiziram teorijske proračune, ponegde su moguća objašnjenja „na prste“ i upotreba nenaučnih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molim vas da se ne upuštate u kritiku, naš zadatak je nauči da izvodi operacije sa matricama.

Za SUPER BRZU pripremu na temu (ko gori) postoji intenzivni pdf kurs Matrica, determinanta i test!

Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. As elementi razmatraćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Preporučljivo je zapamtiti termin, često će se pojavljivati, nije slučajno što sam koristio podebljan font da ga istaknem.

Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

primjer: Razmotrite matricu dva po tri:

Ova matrica se sastoji od šest elementi:

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju:

To je samo tabela (skup) brojeva!

I mi ćemo se složiti nemojte preuređivati brojeva, osim ako je drugačije navedeno u objašnjenjima. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne može se miješati!

Matrica u pitanju ima dva reda:

i tri kolone:

STANDARD: kada govorimo o veličinama matrice, onda kao prvo označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri.

Ako je broj redova i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, Na primjer: – matrica tri po tri.

Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se takve matrice također nazivaju vektori.

U stvari, koncept matrice poznajemo još od škole; uzmite u obzir, na primjer, tačku sa koordinatama “x” i “y”: . U suštini, koordinate tačke se upisuju u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je red brojeva bitan: a to su dvije potpuno različite tačke na ravni.

A sada pređimo na učenje operacije sa matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerovatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stanovišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa i jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOG elementa matrice:

Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja; nula je također nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Hajde da unesemo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOGA elementa matrice:

Pa, ispalo je mnogo ljepše. I, što je najvažnije, biće LAKŠE izvršiti sve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa, to je više zabune i grešaka.

2) Drugi čin. Množenje matrice brojem.

primjer:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, trebate svaki matrični element pomnožen datim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice sa razlomkom

Prvo da pogledamo šta da radimo NO NEED:

NEMA POTREBE unositi razlomak u matricu; prvo, to samo komplikuje dalje radnje sa matricom, a drugo, nastavniku otežava provjeru rješenja (posebno ako – konačni odgovor zadatka).

a posebno, NO NEED podijelite svaki element matrice sa minus sedam:

Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sjećamo se da u višoj matematici na svaki mogući način pokušavaju izbjeći decimalne razlomke sa zarezima.

Jedina stvar je poželjno Ono što treba učiniti u ovom primjeru je dodati minus u matricu:

Ali ako samo SVE matrični elementi su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

primjer:

U ovom slučaju, možete NEED TO pomnožite sve elemente matrice sa , jer su svi brojevi matrice djeljivi sa 2 bez traga.

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept “podjele”. Umjesto da kažete “ovo podijeljeno s onim”, uvijek možete reći “ovo pomnoženo s razlomkom”. Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Treći čin. Matrix Transpose.

Da biste transponovali matricu, potrebno je da njene redove upišete u kolone transponovane matrice.

primjer:

Transponovana matrica

Ovdje je samo jedan red i po pravilu ga treba pisati u stupac:

– transponovana matrica.

Transponovana matrica se obično označava superskriptom ili prostim brojem u gornjem desnom uglu.

Korak po korak primjer:

Transponovana matrica

Prvo prepisujemo prvi red u prvu kolonu:

Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac:

I konačno, prepisujemo treći red u treću kolonu:

Spreman. Grubo rečeno, transponovanje znači okretanje matrice na stranu.

4) Četvrti čin. Zbir (razlika) matrica.

Zbir matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SAVIJATI. Za obavljanje sabiranja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se može dodati samo sa matricom dva po dva i ničim drugim!

primjer:

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

primjer:

Pronađite razliku matrice ,

Kako možete lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa; da biste to učinili, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept „oduzimanja“. Umjesto da kažete „oduzmi ovo od ovoga“, uvijek možete reći „ovome dodajte negativan broj“. Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj sabiranja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje matrice se mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila sa matricom, neophodno je tako da je broj kolona matrice jednak broju redova matrice.

primjer:
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

To znači da se matrični podaci mogu množiti.

Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Dakle, množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke sa trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očigledno nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, moguće su i množenje i množenje

1. godina viša matematika, studiranje matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo osnovne operacije koje se mogu izvesti sa matricama. Gdje započeti upoznavanje s matricama? Naravno, od najjednostavnijih stvari - definicija, osnovnih pojmova i jednostavnih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svi koji im posvete barem malo vremena!

Definicija matrice

Matrix je pravougaona tabela elemenata. Pa, jednostavno rečeno – tabela brojeva.

Obično se matrice označavaju velikim latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B i tako dalje. Matrice mogu biti različitih veličina: pravougaone, kvadratne, a postoje i matrice redova i kolona koje se nazivaju vektori. Veličina matrice je određena brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutnu matricu veličine m on n , Gdje m – broj linija, i n – broj kolona.

Predmeti za koje i=j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice i nazivaju se dijagonalom.

Šta možete učiniti sa matricama? Dodaj/Oduzmi, pomnožite brojem, umnožavaju među sobom, transponovati. Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.

Matrične operacije sabiranja i oduzimanja

Odmah da vas upozorimo da možete dodati samo matrice iste veličine. Rezultat će biti matrica iste veličine. Dodavanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno - samo treba da saberete njihove odgovarajuće elemente . Dajemo primjer. Izvršimo sabiranje dvije matrice A i B veličine dva po dva.

Oduzimanje se vrši po analogiji, samo sa suprotnim predznakom.

Bilo koja matrica se može pomnožiti sa proizvoljnim brojem. Da biste to učinili, potrebno je da pomnožite svaki njegov element ovim brojem. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera brojem 5:

Operacija množenja matrice

Ne mogu se sve matrice pomnožiti zajedno. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu množiti jedna s drugom samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B. U ovom slučaju svaki element rezultirajuće matrice, koji se nalazi u i-tom redu i j-tom stupcu, bit će jednak zbroju proizvoda odgovarajućih elemenata u i-tom redu prvog faktora i j-tog stupca drugi. Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:

I primjer sa realnim brojevima. Pomnožimo matrice:

Operacija transponovanja matrice

Transpozicija matrice je operacija u kojoj se zamjenjuju odgovarajući redovi i stupci. Na primjer, transponirajmo matricu A iz prvog primjera:

Matrična determinanta

Determinanta ili determinanta je jedan od osnovnih koncepata linearne algebre. Nekada su ljudi smišljali linearne jednačine, a nakon njih su morali smisliti odrednicu. Na kraju krajeva, na vama je da se nosite sa svim ovim, tako da, zadnji pritisak!

Determinanta je numerička karakteristika kvadratne matrice koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Da biste izračunali determinantu najjednostavnije kvadratne matrice, morate izračunati razliku između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.

Determinanta matrice prvog reda, odnosno koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.

Šta ako je matrica tri sa tri? Ovo je teže, ali se možete snaći.

Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju proizvoda elemenata glavne dijagonale i proizvoda elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim s glavnom dijagonalom, iz kojeg je proizvod oduzimaju se elementi sekundarne dijagonale i proizvod elemenata koji leže na trokutima sa licem paralelne sekundarne dijagonale.

Srećom, u praksi je rijetko potrebno izračunati determinante matrica velikih veličina.

Ovdje smo pogledali osnovne operacije na matricama. Naravno, u stvarnom životu možda nikada nećete naići ni na nagoveštaj matričnog sistema jednačina, ili, naprotiv, možete se susresti sa mnogo složenijim slučajevima kada zaista morate da se namučete. Za takve slučajeve postoje profesionalni studentski servisi. Zatražite pomoć, dobijte kvalitetno i detaljno rješenje, uživajte u akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.

Ova tema će pokriti operacije kao što su dodavanje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom i transponovanje matrice. Svi simboli koji se koriste na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.

Sabiranje i oduzimanje matrica.

Zbir $A+B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ naziva se matrica $C_(m \times n) =(c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline( 1,n) $.

Slična definicija je uvedena za razliku matrica:

Razlika između $A-B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times n)=( c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1, n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oznaka "$i=\overline(1,m)$" znači da parametar $i$ varira od 1 do m. Na primjer, notacija $i=\overline(1,5)$ označava da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Vrijedi napomenuti da su operacije sabiranja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, sabiranje i oduzimanje matrica su operacije koje su intuitivno jasne, jer u suštini znače samo zbrajanje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.

Primjer br. 1

Date su tri matrice:

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \desno); \;\; F=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(niz) \desno). $$

Da li je moguće pronaći matricu $A+F$? Pronađite matrice $C$ i $D$ ako je $C=A+B$ i $D=A-B$.

Matrica $A$ sadrži 2 reda i 3 stupca (drugim riječima, veličina matrice $A$ je $2\puta 3$), a matrica $F$ sadrži 2 reda i 2 stupca. Veličine matrica $A$ i $F$ se ne poklapaju, pa ih ne možemo dodati, tj. operacija $A+F$ nije definirana za ove matrice.

Veličine matrica $A$ i $B$ su iste, tj. Podaci matrice sadrže jednak broj redaka i stupaca, tako da je operacija sabiranja primjenjiva na njih.

$$ C=A+B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)+ \left(\begin(niz ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \right)=\\= \left(\begin(niz) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(niz) \desno) $$

Nađimo matricu $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)- \left(\begin(niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(niz) \desno)$.

Množenje matrice brojem.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ brojem $\alpha$ je matrica $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdje je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Jednostavno rečeno, množenje matrice određenim brojem znači množenje svakog elementa date matrice tim brojem.

Primjer br. 2

Matrica je data: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Pronađite matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ i $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin( niz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(niz) \desno)= \left(\begin(niz) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno). $$

Oznaka $-A$ je skraćena notacija za $-1\cdot A$. To jest, da biste pronašli $-A$ potrebno je da pomnožite sve elemente matrice $A$ sa (-1). U suštini, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $A$ promijeniti u suprotno:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)= \ lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $3\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno);\; -5\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno);\; -A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \right)$.

Proizvod dvije matrice.

Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nejasna. Stoga ću prvo navesti opštu definiciju, a zatim ćemo detaljno analizirati šta to znači i kako s njim raditi.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ sa matricom $B_(n\times k)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times k )=(c_( ij))$, za koji je svaki element $c_(ij)$ jednak zbiru proizvoda odgovarajućih elemenata i-tog reda matrice $A$ po elementima j -ti stupac matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pogledajmo množenje matrice korak po korak koristeći primjer. Međutim, odmah treba napomenuti da se sve matrice ne mogu pomnožiti. Ako želimo da pomnožimo matricu $A$ sa matricom $B$, onda prvo moramo biti sigurni da je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $B$ (takve se matrice često nazivaju ugovoren). Na primjer, matrica $A_(5\times 4)$ (matrica sadrži 5 redova i 4 stupca) ne može se pomnožiti sa matricom $F_(9\times 8)$ (9 redova i 8 stupaca), jer je broj kolona matrice $A $ nije jednako broju redova matrice $F$, tj. $4\neq 9$. Ali možete pomnožiti matricu $A_(5\times 4)$ sa matricom $B_(4\times 9)$, pošto je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $ B$. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ bit će matrica $C_(5\times 9)$, koja sadrži 5 redova i 9 stupaca:

Primjer br. 3

Zadate matrice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (niz) \desno)$ i $ B=\left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) $. Pronađite matricu $C=A\cdot B$.

Prvo, hajde da odmah odredimo veličinu matrice $C$. Pošto matrica $A$ ima veličinu $3\puta 4$, a matrica $B$ ima veličinu $4\puta 2$, tada je veličina matrice $C$: $3\puta 2$:

Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $A$ i $B$, trebali bismo dobiti matricu $C$, koja se sastoji od tri reda i dva stupca: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(niz) \desno)$. Ako označavanje elemenata postavlja pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje matričnih elemenata. Naš cilj: pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $C$.

Počnimo s elementom $c_(11)$. Da biste dobili element $c_(11)$, potrebno je pronaći zbir proizvoda elemenata prvog reda matrice $A$ i prve kolone matrice $B$:

Da biste pronašli sam element $c_(11)$, potrebno je da pomnožite elemente prvog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima prve kolone matrice $B$, tj. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sumiramo dobijene rezultate:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Nastavimo s rješenjem i nađimo $c_(12)$. Da biste to učinili, morat ćete pomnožiti elemente prvog reda matrice $A$ i drugog stupca matrice $B$:

Slično kao i kod prethodnog, imamo:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Svi elementi prvog reda matrice $C$ su pronađeni. Pređimo na drugi red, koji počinje elementom $c_(21)$. Da biste ga pronašli, morat ćete pomnožiti elemente drugog reda matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Sljedeći element $c_(22)$ nalazimo množenjem elemenata drugog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Da biste pronašli $c_(31)$, pomnožite elemente trećeg reda matrice $A$ sa elementima prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

I konačno, da biste pronašli element $c_(32)$, morat ćete pomnožiti elemente trećeg reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima druge kolone matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Svi elementi matrice $C$ su pronađeni, ostaje samo da napišemo da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( niz) \desno)$ . Ili, da napišem u potpunosti:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno). $$

Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno)$.

Inače, često nema razloga da se detaljno opiše lokacija svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:

Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da je u opštem slučaju $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za neke vrste matrica koje se nazivaju permutable(ili commuting), jednakost $A\cdot B=B\cdot A$ je tačna. Upravo na osnovu nekomutativnosti množenja treba da naznačimo kako tačno množimo izraz određenom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, izraz "pomnožite obje strane jednakosti $3E-F=Y$ matricom $A$ na desnoj strani" znači da želite da dobijete sljedeću jednakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponirana u odnosu na matricu $A_(m\times n)=(a_(ij))$ je matrica $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente koji su $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednostavno rečeno, da biste dobili transponiranu matricu $A^T$, trebate zamijeniti stupce u originalnoj matrici $A$ odgovarajućim redovima prema ovom principu: postojao je prvi red - postojat će prvi stupac ; postojao je drugi red - bit će drugi stupac; postojao je treći red - postojaće i treći stupac i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $A_(3\times 5)$:

Prema tome, ako je originalna matrica imala veličinu $3\puta 5$, tada transponovana matrica ima veličinu $5\puta 3$.

Neka svojstva operacija nad matricama.

Ovdje se pretpostavlja da su $\alpha$, $\beta$ neki brojevi, a $A$, $B$, $C$ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji sa prva četiri.

1. $A+B=B+A$ (komutativnost sabiranja)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asocijativnost sabiranja)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivnost množenja matricom u odnosu na sabiranje brojeva)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivnost množenja brojem u odnosu na sabiranje matrice)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, gdje je $E$ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, gdje je $O$ nulta matrica odgovarajuće veličine.
10. $\levo(A^T \desno)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

U sljedećem dijelu ćemo razmotriti operaciju podizanja matrice na nenegativan cijeli broj, a također ćemo riješiti primjere u kojima je potrebno izvršiti nekoliko operacija nad matricama.

Predavanje br. 1

MATRICE

Definicija i vrste matrica

Definicija 1.1.Matrix veličina T P je pravokutna tablica brojeva (ili drugih objekata) koja sadrži m linije i n kolone.

Matrice su označene velikim slovima latinice, na primjer, A, B, C,... Pozivaju se brojevi (ili drugi objekti) koji čine matricu elementi matrice. Elementi matrice mogu biti funkcije. Za označavanje elemenata matrice koriste se mala slova latinice s dvostrukim indeksiranjem: aij, gdje je prvi indeks i(čitaj – i) – broj reda, drugi indeks j(čitaj – zhi) – broj kolone.

Definicija 1.2. Matrica se zove kvadrat p- prvog reda ako je broj njegovih redova jednak broju kolona i jednak istom broju P

Za kvadratnu matricu uvode se koncepti glavni i sekundarni dijagonale.

Definicija 1.3.Glavna dijagonala kvadratna matrica se sastoji od elemenata koji imaju iste indekse, tj. Ovo su elementi: a 11,a 22,…

Definicija 1.4. dijagonala, ako su svi elementi osim onih na glavnoj dijagonali nula

Definicija 1.5. Kvadratna matrica se zove trouglasti, ako su svi njegovi elementi koji se nalaze ispod (ili iznad) glavne dijagonale jednaki nuli.

Definicija 1.6. Kvadratna matrica P- reda, u kojem su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedan, a ostali jednaki nuli, naziva se single matrica n-ti red, a označava se slovom E.

Definicija 1.7. Poziva se matrica bilo koje veličine null, ili nulta matrica, ako su svi njegovi elementi jednaki nuli.

Definicija 1.8. Poziva se matrica koja se sastoji od jednog reda matrica redova.

Definicija 1.9. Poziva se matrica koja se sastoji od jednog stupca matrica-kolona.

A = (a 11 A 12 ... A 1n) – matrica-red;

Definicija 1.10. Dvije matrice A I IN nazivaju se identične veličine jednaka ako su svi odgovarajući elementi ovih matrica međusobno jednaki, tj. aij = bij za bilo koji i= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, n.

Operacije na matricama

Brojne operacije se mogu izvesti nad matricama, kao i nad brojevima. Glavne operacije na matricama su sabiranje (oduzimanje) matrica, množenje matrice brojem, množenje matrica. Ove operacije su slične operacijama nad brojevima. Posebna operacija je matrična transpozicija.

Množenje matrice brojem

Definicija 1.11.Proizvod matrice A po brojuλ se naziva matrica B = A,čiji se elementi dobijaju množenjem elemenata matrice A brojem λ .

Primjer 1.1. Pronađite matrični proizvod A= do broja 5.

Rješenje. .◄ 5A=

Pravilo za množenje matrice brojem: Da biste pomnožili matricu brojem, potrebno je da pomnožite sve elemente matrice tim brojem.

Posljedica.

1. Zajednički faktor svih elemenata matrice može se izvaditi iz predznaka matrice.

2. Matrični proizvod A za broj 0 postoji nula matrica: A· 0 = 0 .

Sabiranje matrice

Definicija 1.12.Zbir dvije matrice A i B iste veličine t n zove se matrica WITH= A+ IN, čiji se elementi dobijaju dodavanjem odgovarajućih matričnih elemenata A i matrice IN, tj. cij = aij + bij Za i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(tj. matrice se dodaju element po element).

Posljedica. Matrica zbira A sa nultom matricom jednaka je originalnoj matrici: A + O = A.

1.2.3. Oduzimanje matrica

Razlika dvije matrice iste veličine određuje se kroz prethodne operacije: A – B = A + (– 1)IN.

Definicija 1.13. Matrix –A = (– 1)A pozvao suprotno matrica A.

Posljedica. Zbir suprotnih matrica jednak je nultoj matrici : A + (–A) = O.

Množenje matrice

Definicija 1.14.Množenje matrice A sa matricom B definirano kada je broj stupaca prve matrice jednak broju redova druge matrice. Onda proizvod matrica takva matrica se zove , čiji svaki element cij jednak zbiru proizvoda elemenata i th red matrice A na odgovarajuće elemente j th kolona matrice B.

Primjer 1.4. Izračunajte matrični proizvod A · B, Gdje

A=

=

Primjer 1.5. Pronađite matrične proizvode AB I VA, Gdje

Bilješke. Iz primjera 1.4–1.5 proizlazi da operacija množenja matrice ima neke razlike od množenja brojeva:

1) ako je proizvod matrica AB postoji, zatim nakon preuređivanja faktora, proizvod matrica VA možda ne postoji. Zaista, u primjeru 1.4 matrični proizvod AB postoji, ali matrični proizvod BA ne postoji;

2) čak i ako radi AB I VA postoje, onda rezultat proizvoda mogu biti matrice različitih veličina. U slučaju kada oba rade AB I VA postoje obje matrice iste veličine (ovo je moguće samo kada se množe kvadratne matrice istog reda), tada komutativni (komutativni) zakon množenja još uvijek ne vrijedi, one. A B U A, kao u primjeru 1.5;

3) međutim, ako pomnožite kvadratnu matricu A na matricu identiteta E istog reda, dakle AE = EA = A.

Dakle, matrica identiteta igra istu ulogu u množenju matrice kao i broj 1 u množenju brojeva;

4) proizvod dvije matrice različite od nule može biti jednak nultoj matrici, tj. A B= 0, to ne slijedi A = 0 ili B= 0.