قبلا، ما هستیم یک تابع داده شدهآنها با هدایت فرمول ها و قوانین مختلف، مشتق آن را یافتند. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی سرعت هر فرآیند) است. شیب مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.
اما در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت از یک سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این وظایف را در نظر بگیریم.
مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت حرکت آن در زمان t با فرمول v = gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s (t) قانون مورد نیاز حرکت باشد. مشخص است که s "(t) = v (t). بنابراین برای حل مسئله باید تابع s = s (t) را انتخاب کرد که مشتق آن برابر با gt است. به راحتی می توان حدس زد که \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). در واقع
\ (s "(t) = \ چپ (\ frac (gt ^ 2) (2) \ right)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
پاسخ: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)
فوراً توجه داشته باشید که مثال به درستی اما ناقص حل شده است. ما \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجا که \ (\ چپ (\ فراک (gt ^ 2) (2) + C \ راست) "= gt \)
برای قطعی‌تر کردن مشکل، باید وضعیت اولیه را برطرف می‌کردیم: مختصات یک نقطه متحرک را در یک لحظه از زمان نشان دهید، به عنوان مثال، در t = 0. اگر، مثلا، s (0) = s 0، پس از برابری s (t) = (gt 2) / 2 + C را به دست می آوریم: s (0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور یکتا تعیین می شود: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.
در ریاضیات، عملیات معکوس متقابل تعیین می شود نام های مختلفبا نامگذاری های خاصبه عنوان مثال: مربع کردن (x2) و استخراج ریشه دوم(\ (\ sqrt (x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin x) و غیره. فرآیند یافتن مشتق با توجه به یک تابع داده شده نامیده می شود. تفکیک، آ عملیات معکوس، یعنی فرآیند یافتن یک تابع از یک مشتق معین، - یکپارچه سازی.
خود اصطلاح "مشتق" را می توان "در زندگی روزمره" اثبات کرد: تابع y = f (x) "تولید می کند" عملکرد جدید y "= f" (x). تابع y = f (x) به عنوان "والد" عمل می کند، اما ریاضیدانان، البته، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی نامند، آنها می گویند که این است، در رابطه با تابع y "= f" ( x) تصویر اولیه یا ضد مشتق.
تعریف.تابع y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) در بازه X نامیده می شود اگر برای \ (x \ در X \) برابری F "(x) = f (x) باشد.
در عمل، بازه X معمولاً نشان داده نمی شود، بلکه ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تابع).
در اینجا چند نمونه آورده شده است.
1) تابع y \ u003d x 2 ضد مشتق برای تابع y \ u003d 2x است، زیرا برای هر x برابری (x 2) "= 2x
2) تابع y \ u003d x 3 ضد مشتق برای تابع y \ u003d 3x 2 است، زیرا برای هر x برابری (x 3) "\ u003d 3x 2
3) تابع y = sin (x) ضد مشتق برای تابع y = cos (x) است، زیرا برای هر x برابری (sin (x)) "= cos (x)
هنگام یافتن ضد مشتقات، مانند مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین محاسبه مشتق مربوطه مرتبط هستند.
می دانیم که مشتق جمع برابر است با مجموع مشتقات. این قانون باعث ایجاد قاعده مربوطه برای یافتن ضد مشتقات می شود.
قانون 1.ضد مشتق جمع برابر است با جمع ضد مشتق.
می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون باعث ایجاد قاعده مربوطه برای یافتن ضد مشتقات می شود.
قانون 2.اگر F (x) پاد مشتق f (x) باشد، kF (x) ضد مشتق برای kf (x) است.
قضیه 1.اگر y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y = f (kx + m) تابع \ (y = \ فرک (1) (k) F است. (kx + m) \)
قضیه 2.اگر y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) در بازه X باشد، تابع y = f (x) دارای بی نهایت پاد مشتق است و همه آنها به شکل y = F (x) هستند. + سی.
روش های یکپارچه سازی
روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)
روش ادغام با جایگزینی شامل معرفی یک روش جدید است متغیر ادغام(یعنی تعویض ها). در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. هیچ روش کلی برای تطبیق تعویض ها وجود ندارد. توانایی تشخیص صحیح جایگزینی با تمرین به دست می آید.
اجازه دهید محاسبه انتگرال \ (\ textstyle \ int F (x) dx \) لازم باشد. بیایید جایگزین \ (x = \ varphi (t) \) را انجام دهیم که \ (\ varphi (t) \) یک تابع با مشتق پیوسته است.
سپس \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) و بر اساس ویژگی عدم تغییر فرمول انتگرال برای انتگرال نامعین، فرمول انتگرال را با جایگزینی بدست می آوریم:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)
ادغام عباراتی مانند \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)
اگر m فرد باشد، m> 0، بهتر است sin x = t را جایگزین کنیم.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.
ادغام قطعه قطعه
یکپارچه سازی توسط قطعات - استفاده از فرمول زیر برای یکپارچه سازی:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
یا:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)
جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ متن (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ متن (arctg) x + C $$ $$ \ int \ متن (ch) x dx = \ متن (sh) x + C $$$ \ int \ متن (sh) x dx = \ متن (ch) ) x + C $$عملکرد F (ایکس ) تماس گرفت ضد مشتق برای عملکرد f (ایکس) در یک بازه زمانی معین، اگر برای همه ایکس از این فاصله، برابری
اف"(ایکس ) = f(ایکس ) .
به عنوان مثال، تابع F (x) = x 2 f (ایکس ) = 2ایکس ، زیرا
F "(x) = (x 2 )" = 2x = f (x). ◄
خاصیت اصلی ضد مشتق
اگر F (x) - ضد مشتق برای عملکرد f (x) در یک بازه معین، سپس تابع f (x) ضد مشتق های بی نهایت زیادی دارد و همه این ضد مشتق ها را می توان به صورت نوشتاری نوشت F (x) + C، جایی که با یک ثابت دلخواه است.
برای مثال. عملکرد F (x) = x 2 + 1 ضد مشتق تابع است f (ایکس ) = 2ایکس ، زیرا F "(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f (x); عملکرد F (x) = x 2 - 1 ضد مشتق تابع است f (ایکس ) = 2ایکس ، زیرا F "(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f (x) ; عملکرد F (x) = x 2 - 3 ضد مشتق تابع است f (ایکس) = 2ایکس ، زیرا F "(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f (x); هر عملکرد F (x) = x 2 + با ، جایی که با - یک ثابت دلخواه، و تنها چنین تابعی پاد مشتق برای تابع است f (ایکس) = 2ایکس . ◄ |
قوانین محاسبه آنتی مشتقات
- اگر F (x) - ضد مشتق برای f (x) ، آ G (x) - ضد مشتق برای g (x) ، سپس F (x) + G (x) - ضد مشتق برای f (x) + g (x) ... به عبارت دیگر، ضد مشتق جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات .
- اگر F (x) - ضد مشتق برای f (x) ، و ک - ثابت، پس ک · F (x) - ضد مشتق برای ک · f (x) ... به عبارت دیگر، عامل ثابت را می توان به خارج از علامت مشتق منتقل کرد .
- اگر F (x) - ضد مشتق برای f (x) ، و ک,ب- علاوه بر این، دائمی k ≠ 0 ، سپس 1 / ک F (ک x +ب ) - ضد مشتق برای f(ک x + ب) .
انتگرال نامعین
نه یک انتگرال معین از تابع f (x) بیان نامیده می شود F (x) + C، یعنی مجموع همه ضد مشتقات یک تابع معین f (x) ... انتگرال نامعین به صورت زیر نشان داده می شود:
∫ f (x) dx = F (x) + С ,
f (x)- زنگ زدن تابع انتگرال ;
f (x) dx- زنگ زدن یکپارچه ;
ایکس - زنگ زدن متغیر ادغام ;
F (x) - یکی از ضد مشتقاتf (x) ;
با یک ثابت دلخواه است.
برای مثال، ∫ 2 x dx =ایکس 2 + با , ∫ cosx dx =گناه ایکس + با و غیره. ◄
کلمه "انتگرال" از آن گرفته شده است کلمه لاتین عدد صحیح که به معنی "بازسازی" است. با در نظر گرفتن انتگرال نامعین از 2 ایکس، ما به نوعی عملکرد را بازیابی می کنیم ایکس 2 که مشتق آن برابر است با 2 ایکس... بازسازی یک تابع از مشتق آن، یا همان یافتن یک انتگرال نامعین بر روی یک انتگرال معین، نامیده می شود. یکپارچه سازی این تابع ادغام معکوس تمایز است برای بررسی درستی ادغام کافی است نتیجه را متمایز کرده و تابع انتگرال را بدست آوریم.
ویژگی های اساسی انتگرال نامعین
- مشتق انتگرال نامعین برابر انتگرال است:
- عامل ثابت انتگرال را می توان خارج از علامت انتگرال گرفت:
- انتگرال مجموع (تفاوت) توابع برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرال های این توابع:
- اگر ک,ب- علاوه بر این، دائمی k ≠ 0 ، سپس
(∫ f (x) dx )" = f (x) .
∫ ک · f (x) dx = ک · ∫ f (x) dx .
∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .
∫ f ( ک x + ب) dx = 1 / ک F (ک x +ب ) + سی .
جدول پاد مشتق ها و انتگرال های نامعین
| f (x)
| F (x) + C
| ∫
f (x) dx = F (x) + С
|
|
| من. | $$0$$ | $$ C $$ | $$ \ int 0dx = C $$ |
| II. | $$k $$ | $$ kx + C $$ | $$ \ int kdx = kx + C $$ |
| III. | $$ x ^ n ~ (n \ neq-1) $$ | $$ \ فراکس (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ | $$ \ int x ^ ndx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ |
| IV. | $$ \ فراک (1) (x) $$ | $$ \ ln | x | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x) = \ ln | x | + C $$ |
| V. | $$ \ گناه x $$ | $$ - \ cos x + C $$ | $$ \ int \ sin x ~ dx = - \ cos x + C $$ |
| Vi. | $$ \ cos x $$ | $$ \ sin x + C $$ | $$ \ int \ cos x ~ dx = \ sin x + C $$ |
| vii. | $$ \ frac (1) (\ cos ^ 2x) $$ | $$ \ textrm (tg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) = \ textrm (tg) ~ x + C $$ |
| هشتم. | $$ \ frac (1) (\ sin ^ 2x) $$ | $$ - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2x) = - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ |
| IX | $$ e ^ x $$ | $$ e ^ x + C $$ | $$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$ |
| ایکس. | $$ a ^ x $$ | $$ \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ | $$ \ int a ^ xdx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ |
| XI. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C $$ |
| XII. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ |
| سیزدهم. | $$ \ فراک (1) (1 + x ^ 2) $$ | $$ \ textrm (arctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ textrm (arctg) ~ x + C $$ |
| چهاردهم | $$ \ فرک (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$ | $$ \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) = \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ |
| XV. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$ | $$ \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ |
| Xvi. | $$ \ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \ neq0) $$ | $$ \ frac (1) (2a) \ ln \ شروع (vmatrix) \ frac (x-a) (x + a) \ پایان (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) = \ frac (1) (2a) \ ln \ begin (vmatrix) \ frac (xa) (x + a) \ پایان (vmatrix) + C $ $ |
| XVII. | $$ \ textrm (tg) ~ x $$ | $$ - \ ln | \ cos x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (tg) ~ x ~ dx = - \ ln | \ cos x | + C $$ |
| Xviii. | $$ \ textrm (ctg) ~ x $$ | $$ \ ln | \ sin x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (ctg) ~ x ~ dx = \ ln | \ sin x | + C $$ |
| نوزدهم | $$ \ frac (1) (\ sin x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ |
| XX | $$ \ frac (1) (\ cos x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ left (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ right) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos x) = \ ln \ start (vmatrix) \ textrm (tg) \ چپ (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ سمت راست ) \ end (vmatrix) + C $$ |
| پاد مشتق ها و انتگرال های نامعین ارائه شده در این جدول معمولا نامیده می شوند ضد مشتقات جدولی
و انتگرال های جدولی
. |
|||
انتگرال معین
اجازه دهید در فاصله [آ; ب] داده شده عملکرد پیوسته y = f (x) ، سپس انتگرال معین از a تا b کارکرد f (x) افزایش ضد مشتق نامیده می شود F (x) این تابع، یعنی
$$ \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | (_a ^ b) = ~~ F (a) -F (b). $$
شماره آو ببر این اساس نامگذاری شده اند پایین تر و بالا محدودیت های ادغام
قوانین اساسی برای محاسبه یک انتگرال معین
1. \ (\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx = 0 \);
2. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = - \ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \);
3. \ (\ int_ (a) ^ (ب) kf (x) dx = k \ int_ (a) ^ (ب) f (x) dx, \) که در آن ک - مقدار ثابت؛
4. \ (\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \);
5. \ (\ int_ (a) ^ (ب) f (x) dx = \ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \) ;
6. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \)، که در آن f (x) - عملکرد یکنواخت؛
7. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 0 \)، که در آن f (x) یک تابع فرد است.
اظهار نظر ... در تمام موارد، فرض بر این است که انتگرال‌ها در بازه‌های عددی قابل ادغام هستند که مرزهای آن حدود یکپارچه‌سازی است.
معنای هندسی و فیزیکی یک انتگرال معین
| معنی هندسی انتگرال معین | حس فیزیکی
انتگرال معین |
 |  |
مربع اسذوزنقه منحنی (شکل محدود شده با نمودار مثبت پیوسته در بازه [آ; ب] کارکرد f (x) ، محور گاو نر و مستقیم x = a , x = b ) با فرمول محاسبه می شود $$ S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx $$ | مسیر س، که نقطه مادی بر آن غلبه کرده است و در یک خط مستقیم با سرعت متغیر مطابق قانون حرکت می کند v (t)
، برای بازه زمانی a ;
ب]، سپس مساحت شکل، توسط نمودارهای این توابع و خطوط مستقیم محدود شده است x = a
, x = b
، با فرمول محاسبه می شود $$ S = \ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$ |
 | برای مثال. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید y = x 2 و y = 2- ایکس . اجازه دهید نمودارهای این توابع را به صورت شماتیک به تصویر بکشیم و شکلی را که مساحت آن با رنگ دیگری یافت می شود برجسته کنیم. برای یافتن حدود ادغام، معادله را حل می کنیم: ایکس 2 = 2- ایکس ; ایکس 2 + ایکس - 2 = 0 ; ایکس 1 = -2، ایکس 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$ |
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ چپ (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ راست ) \ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ فراک (1) (2). $$ ◄ |
|
حجم یک بدنه انقلاب
 | اگر جسم در نتیجه چرخش حول محور به دست آید گاو نر ذوزنقه منحنی محدود شده توسط نمودار پیوسته و غیر منفی در فاصله [آ; ب] کارکرد y = f (x) و مستقیم x = aو x = b سپس نامیده می شود بدنه انقلاب . حجم یک بدنه چرخشی با فرمول محاسبه می شود $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ اگر بدنه چرخش در نتیجه چرخش شکلی به دست آید که در بالا و پایین توسط نمودارهای توابع محدود شده است. y = f (x) و y = g (x) ، به ترتیب، پس از آن $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$ |
 | برای مثال. حجم یک مخروط را با شعاع محاسبه می کنیم r
و ارتفاع ساعت
. مخروط را در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دهید تا محور آن با محور منطبق باشد. گاو نر
، و مرکز پایه در مبدا بود. چرخش ژنراتور ABمخروط را تعریف می کند. از آنجایی که معادله AB $$ \ frac (x) (h) + \ frac (y) (r) = 1, $$ $$ y = r- \ frac (rx) (h) $$ |
| و برای حجم مخروط داریم $$ V = \ pi \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( x) (h)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2h \ چپ (0- \ frac (1) (3) \ right) = \ frac (\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄ |
|
