تابع F (x) قابل تمایز در یک بازه معین X نامیده می شود ضد مشتق برای عملکرد f (x)، یا انتگرال f (x)، اگر برای هر x ∈X برابری زیر برقرار است:

F "(x) = f (x). (8.1)

یافتن تمام ضد مشتقات برای یک تابع معین، آن نامیده می شود ادغام. انتگرال نامعین یک تابع f (x) در یک بازه معین X مجموعه ای از تمام پاد مشتق ها برای تابع f (x) است. تعیین -

اگر F (x) مقداری ابتدایی برای تابع f (x) باشد، ∫ f (x) dx = F (x) + C، (8.2)

که در آن C یک ثابت دلخواه است.

جدول انتگرال

مستقیماً از تعریف، ویژگی های اصلی انتگرال نامعین و لیست انتگرال های جدولی را به دست می آوریم:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

لیست انتگرال های جدول

1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0، a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = آرکتان x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

جایگزینی متغیر

برای ادغام بسیاری از توابع، از روش تغییر متغیر یا استفاده کنید تعویض ها،امکان کاهش انتگرال ها به شکل جدولی.

اگر تابع f (z) بر روی [α, β] پیوسته باشد، تابع z = g (x) دارای مشتق پیوسته و α ≤ g (x) ≤ β است، سپس

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz، (8.3)

علاوه بر این، پس از ادغام، جایگزینی z = g (x) باید در سمت راست انجام شود.

برای اثبات، کافی است انتگرال اصلی را به شکل زیر بنویسید:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

برای مثال:

یکپارچه سازی توسط قطعات

فرض کنید u = f (x) و v = g (x) توابعی هستند که پیوسته هستند. سپس با توجه به کار،

d (uv)) = udv + vdu یا udv = d (uv) - vdu.

برای عبارت d (uv)، ضد مشتق آشکارا uv خواهد بود، بنابراین فرمول زیر صادق است:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

این فرمول بیانگر قاعده است یکپارچه سازی توسط قطعات... ادغام عبارت udv = uv "dx" را به ادغام عبارت vdu = vu" dx می آورد.

به عنوان مثال، برای یافتن ∫xcosx dx لازم است. قرار دادن u = x، dv = cosxdx، بنابراین du = dx، v = sinx. سپس

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

قاعده ادغام توسط قطعات نسبت به جایگزینی متغیر دامنه محدودتری دارد. اما کلاس های کاملی از انتگرال ها وجود دارد، برای مثال،

∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax و موارد دیگر که با استفاده از ادغام توسط قطعات محاسبه می‌شوند.

انتگرال معین

مفهوم انتگرال معین به شرح زیر معرفی می شود. اجازه دهید تابع f (x) روی قطعه تعریف شود. قطعه [a, b] را به دو قسمت تقسیم می کنیم nقسمت های نقطه a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. مجموع شکل f (ξ i) Δ x i نامیده می شود جمع انتگرالو حد آن به صورت λ = maxΔx i → 0، اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود. انتگرال معینتابع f (x) از آقبل از بو با:

F (ξ i) Δx i (8.5).

تابع f (x) در این حالت فراخوانی می شود قابل ادغام در بخش، اعداد a و b نامیده می شوند حد پایین و بالایی انتگرال.

ویژگی های زیر برای یک انتگرال معین معتبر هستند:

4)، (k = const، k∈R)؛

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

آخرین خاصیت نامیده می شود قضیه ارزش میانگین.

فرض کنید f (x) پیوسته باشد. سپس در این بخش یک انتگرال نامعین وجود دارد

∫f (x) dx = F (x) + C

و صورت می گیرد فرمول نیوتن لایب نیتسوصل کردن یک انتگرال معین با یک نامشخص:

F (b) - F (a). (8.6)

تفسیر هندسی: انتگرال معین مساحت ذوزنقه منحنی است که از بالا با منحنی y = f (x)، خطوط مستقیم x = a و x = b و با پاره محور محدود شده است. گاو نر.

انتگرال های نامناسب

انتگرال با حد نامتناهی و انتگرال توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شوند. نامناسب انتگرال های نادرست نوع اول -این انتگرال ها در یک بازه بی نهایت هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:

(8.7)

اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود انتگرال نادرست همگرا f (x)در بازه [a، + ∞)، و تابع f (x) فراخوانی می شود قابل ادغام در یک بازه بی نهایت[a، + ∞). در غیر این صورت، انتگرال گفته می شود وجود ندارد یا متفاوت است.

انتگرال های نامناسب در بازه های (-∞، b] و (-∞، + ∞) به طور مشابه تعریف می شوند:

اجازه دهید مفهوم انتگرال یک تابع نامحدود را تعریف کنیم. اگر f (x) برای همه مقادیر پیوسته باشد ایکسپاره، به جز نقطه c، که در آن f (x) ناپیوستگی نامتناهی دارد، پس انتگرال نادرست نوع دوم f (x) از a تا bبه نام مقدار:

اگر این حدود وجود داشته باشد و متناهی باشد. تعیین:

نمونه هایی از محاسبه انتگرال ها

مثال 3.30.∫dx / (x + 2) را محاسبه کنید.

راه حل. t = x + 2 را نشان می دهیم، سپس dx = dt، ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + سی.

مثال 3.31... ∫ tgxdx را پیدا کنید.

راه حل.🔻 tgxdx = 🔻sinx / cosxdx = - 🔻dcosx / cosx. بگذارید t = cosx، سپس ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

مثال3.32 ... ∫dx / sinx را پیدا کنید

راه حل.

مثال3.33. پیدا کردن .

راه حل. = .

مثال3.34 ... ∫arctgxdx را پیدا کنید.

راه حل. ما با قطعات ادغام می کنیم. u = arctgx، dv = dx را تنظیم می کنیم. سپس du = dx / (x 2 +1)، v = x، از آنجا ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; زیرا
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

مثال3.35 ... ∫lnxdx را محاسبه کنید.

راه حل.با استفاده از فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات، به دست می آوریم:
u = lnx، dv = dx، du = 1 / x dx، v = x. سپس ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

مثال3.36 ... ∫e x sinxdx را ارزیابی کنید.

راه حل. u = e x، dv = sinxdx، سپس du = e x dx، v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx را نشان می‌دهیم. انتگرال ∫e x cosxdx نیز با قطعات قابل انتگرال است: u = e x، dv = cosxdx، du = e x dx، v = sinx. ما داریم:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ما رابطه ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx را دریافت کردیم، از آنجا 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

مثال 3.37. J = ∫cos (lnx) dx / x را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که dx / x = dlnx، پس J = ∫cos (lnx) d (lnx). با جایگزینی lnx با t، به انتگرال جدولی J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C می رسیم.

مثال 3.38 ... J = را محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به اینکه = d (lnx)، lnx = t را جایگزین می کنیم. سپس J = .

مثال 3.39 ... انتگرال J = را محاسبه کنید .

راه حل.ما داریم: ... بنابراین =
=
= مانند این sqrt (tan (x / 2)) وارد می شود.

و اگر در پنجره نتیجه در گوشه سمت راست بالای نمایش مراحل را کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

ضمیمه

انتگرال های آنلاین به سایت برای ادغام دانش آموزان و دانش آموزان از مطالب تصویب شده. و مهارت های عملی خود را آموزش دهید. راه حل کامل انتگرال های آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید. هر روشی را به جز جدول انتگرال اعمال کنید. هر انتگرال جدولی به وضوح از مثال داده شده قابل مشاهده نیست؛ گاهی اوقات برای یافتن ضد مشتق باید تابع اصلی را تغییر دهید. در عمل، حل انتگرال ها به تفسیر مسئله یافتن اصل، یعنی پاد مشتق یک خانواده نامتناهی از توابع ختم می شود، اما اگر حدود انتگرال داده شود، طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، وجود دارد. فقط یک تابع واحد که محاسبات برای آن اعمال می شود. انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. انتگرال یک تابع آنلاین مجموع هر عددی است که برای ادغام آنها در نظر گرفته شده است. بنابراین، به طور غیررسمی، انتگرال آنلاین، ناحیه بین نمودار تابع و آبسیسا در داخل ادغام است. نمونه هایی از حل مسائل با انتگرال. اجازه دهید یک انتگرال مختلط را روی یک متغیر محاسبه کنیم و پاسخ آن را به حل بعدی مسئله مرتبط کنیم. همانطور که می گویند می توان انتگرال انتگرال را روی پیشانی پیدا کرد. هر انتگرال با دقت بالا ناحیه محدود شده توسط خطوط شکل را تعیین می کند. این یکی از معانی هندسی آن است. این روش کار را برای دانش آموزان آسان می کند. در واقع چندین مرحله تاثیر زیادی بر تحلیل برداری نخواهد داشت. تابع انتگرال آنلاین مفهوم اساسی حساب انتگرال است.. حل انتگرال های نامعین. با توجه به قضیه اصلی تحلیل، انتگرال گیری یک عملیات معکوس نسبت به تمایز است که به حل معادلات دیفرانسیل کمک می کند. چندین تعاریف مختلف از عملیات یکپارچه سازی وجود دارد که در جزئیات فنی متفاوت است. با این حال، همه آنها سازگار هستند، یعنی هر دو روش ادغام، اگر بتوان آنها را برای یک تابع معین اعمال کرد، نتیجه یکسانی خواهد داشت. ساده ترین انتگرال ریمان است - یک انتگرال معین یا یک انتگرال نامعین. به طور غیررسمی، انتگرال یک تابع از یک متغیر را می توان به عنوان ناحیه زیر نمودار وارد کرد (شکل محصور بین نمودار تابع و محور آبسیسا). هر گونه مشکل فرعی نیاز به محاسبه انتگرال در همان ابتدای یک رویکرد مهم را توجیه می کند. این را فراموش نکنید! در تلاش برای یافتن این ناحیه، می‌توانیم شکل‌هایی متشکل از تعداد معینی مستطیل عمودی را در نظر بگیریم که پایه‌های آن‌ها با هم بخش انتگرال را تشکیل می‌دهند و با تقسیم قطعه به تعداد متناظر قطعات کوچک به دست می‌آیند. راه حل انتگرال آنلاین .. انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. راه حل انتگرال های آنلاین: انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال قطعی آنلاین. ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به طور مفصل و رایگان حل می کند! انتگرال نامعین آنلاین برای یک تابع مجموعه ای از تمام ضد مشتقات یک تابع معین است. اگر یک تابع در یک بازه تعریف شده و پیوسته باشد، یک تابع ضد مشتق (یا یک خانواده از ضد مشتق ها) برای آن وجود دارد. انتگرال فقط یک عبارت را تعریف می کند که شرایط آن توسط شما در صورت بروز چنین نیازی تعیین می شود. بهتر است با دقت به این موضوع بپردازید و از کار انجام شده رضایت درونی را تجربه کنید. اما محاسبه انتگرال به روشی متفاوت از روش کلاسیک، گاهی به نتایج غیرمنتظره ای منجر می شود و نمی توان از این موضوع شگفت زده شد. من خوشحالم که این واقعیت که به آنچه در حال وقوع است پاسخ مثبت خواهد داد. لیست انتگرال های معین و انتگرال های نامعین انتگرال ها با راه حل کامل گام به گام. همه انتگرال ها با یک راه حل دقیق آنلاین. انتگرال نامعین. یافتن انتگرال نامعین آنلاین یک کار بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. روش های اساسی یکپارچه سازی تعریف انتگرال، انتگرال معین و نامعین، جدول انتگرال، فرمول نیوتن لایب نیتس. و دوباره، می توانید انتگرال خود را با استفاده از جدول عبارات انتگرال پیدا کنید، اما هنوز باید به این موضوع برسید، زیرا همه چیز به آن سادگی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست. قبل از اینکه اشتباهی پیدا کنید به ساختمان های تکمیل شده فکر کنید. انتگرال قطعی و روشهای محاسبه آن انتگرال قطعی آنلاین با حد بالایی متغیر. راه حل یکپارچه آنلاین. هر مثالی که به محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول های جدولی کمک کند، راهنمای مفیدی برای اقدام برای دانش آموزان در تمام سطوح مهارت خواهد بود. مهمترین قدم برای پاسخ صحیح .. انتگرال آنلاین. انتگرال های نامعین حاوی توابع نمایی و لگاریتمی. راه حل انتگرال آنلاین - شما یک راه حل دقیق برای انواع مختلف انتگرال دریافت خواهید کرد: نامشخص، معین، نامناسب. ماشین حساب انتگرال معین انتگرال آنلاین قطعی یک تابع را در یک بازه زمانی با استفاده از یکپارچه سازی عددی محاسبه می کند. انتگرال یک تابع آنالوگ مجموع یک دنباله است. به طور غیررسمی، انتگرال معین مساحت قسمتی از نمودار تابع است. راه حل انتگرال آنلاین .. انتگرال آنلاین یک انتگرال نامعین آنلاین و یک انتگرال معین آنلاین است. اغلب، چنین انتگرالی تعیین می کند که یک جسم چقدر سنگین تر از جسمی با همان چگالی در مقایسه با آن است، و مهم نیست که چه شکلی داشته باشد، زیرا سطح آب را جذب نمی کند. راه حل انتگرال آنلاین .. انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. هر دانش آموز خردسال می داند که چگونه انتگرال را به صورت آنلاین پیدا کند. بر اساس برنامه درسی مدرسه، این بخش از ریاضیات نیز مورد مطالعه قرار می گیرد، اما نه به صورت جزئی، بلکه فقط مبانی چنین مبحث پیچیده و مهمی است. در بیشتر موارد، دانش‌آموزان مطالعه انتگرال‌ها را از یک نظریه گسترده شروع می‌کنند، که مقدم بر آن موضوعات مهمی مانند مشتق و عبور به حد وجود دارد - آنها نیز حد هستند. حل انتگرال ها به تدریج با ابتدایی ترین مثال ها از توابع ساده آغاز می شود و با اعمال بسیاری از رویکردها و قوانین ارائه شده در قرن گذشته و حتی بسیار قبل از آن به پایان می رسد. حساب انتگرال فقط برای مقاصد اطلاعاتی در دبیرستان ها و مدارس، یعنی در موسسات آموزشی متوسطه است. وب سایت ما همیشه به شما کمک می کند و حل انتگرال ها به صورت آنلاین برای شما امری عادی و از همه مهمتر یک کار قابل درک خواهد بود. بر اساس این منبع می توانید به راحتی در این بخش ریاضی به برتری دست یابید. با درک گام به گام قوانین آموخته شده، به عنوان مثال، مانند یکپارچه سازی، در قسمت ها یا استفاده از روش چبیشف، می توانید به راحتی هر آزمونی را برای حداکثر امتیاز حل کنید. پس چگونه می توان با استفاده از جدول شناخته شده انتگرال ها، انتگرال را محاسبه کرد، اما به گونه ای که راه حل صحیح، صحیح و با حداکثر پاسخ دقیق ممکن باشد؟ چگونه می توان این را یاد گرفت و آیا برای یک دانشجوی سال اول معمولی امکان دارد در کمترین زمان ممکن این کار را انجام دهد؟ ما به این سوال پاسخ مثبت خواهیم داد - شما می توانید! در عین حال، شما نه تنها قادر به حل هر مثالی خواهید بود، بلکه به سطح یک مهندس درجه یک خواهید رسید. راز ساده تر از همیشه است - شما باید حداکثر تلاش را انجام دهید، زمان لازم را به آماده سازی خود اختصاص دهید. متأسفانه، هنوز کسی راه دیگری را ارائه نکرده است! اما همه چیز آنقدر که در نگاه اول به نظر می رسد ابری نیست. اگر با این سوال با سایت خدمات ما تماس بگیرید، ما زندگی شما را آسان می کنیم، زیرا سایت ما می تواند انتگرال ها را بصورت آنلاین با جزئیات، با سرعت بسیار بالا و پاسخی بی عیب و نقص محاسبه کند. در اصل، انتگرال تعیین نمی کند که چگونه نسبت آرگومان ها بر ثبات سیستم به عنوان یک کل تأثیر می گذارد. اگر فقط همه چیز متعادل بود. در کنار نحوه یادگیری اصول اولیه این مبحث ریاضی، سرویس می تواند انتگرال هر انتگرال را پیدا کند، اگر این انتگرال را بتوان در توابع ابتدایی حل کرد. در غیر این صورت، برای انتگرال هایی که در توابع ابتدایی گرفته نمی شوند، در عمل نیازی به یافتن پاسخ به صورت تحلیلی یا به عبارت دیگر به صورت صریح نیست. تمام محاسبات انتگرال ها به تعیین پاد مشتق یک انتگرال معین کاهش می یابد. برای انجام این کار، ابتدا انتگرال نامعین را بر روی تمام قوانین ریاضی به صورت آنلاین محاسبه کنید. سپس، در صورت لزوم، مقادیر بالا و پایین انتگرال جایگزین می شوند. اگر نیازی به تعیین یا محاسبه مقدار عددی یک انتگرال نامعین نباشد، یک ثابت به تابع ضد مشتق حاصل اضافه می‌شود و بدین ترتیب یک خانواده از توابع ضد مشتق تعریف می‌شود. جایگاه ویژه ای در علم و به طور کلی در هر زمینه مهندسی، از جمله مکانیک رسانه های پیوسته، یکپارچه سازی کل سیستم های مکانیکی، حرکات آنها و بسیاری موارد دیگر را توصیف می کند. در بسیاری از موارد، انتگرال کامپایل شده قانون حرکت یک نقطه مادی را تعیین می کند. ابزار بسیار مهمی در مطالعه علوم کاربردی است. بر این اساس، نمی توان در مورد محاسبات در مقیاس بزرگ برای تعیین قوانین وجود و رفتار سیستم های مکانیکی گفت. ماشین حساب آنلاین برای حل انتگرال در سایت یک ابزار قدرتمند برای مهندسین حرفه ای است. ما قطعاً می‌توانیم این را برای شما تضمین کنیم، اما تنها زمانی می‌توانیم انتگرال شما را محاسبه کنیم که عبارت صحیح را در دامنه انتگرال وارد کنید. از اشتباه کردن نترسید، همه چیز در این مورد قابل تعمیر است! معمولاً حل انتگرال ها به استفاده از توابع جدول از کتاب های درسی یا دایره المعارف های معروف خلاصه می شود. مانند هر انتگرال نامعین دیگری، با استفاده از فرمول استاندارد بدون انتقاد شدید محاسبه می شود. دانش‌آموزان سال اول به‌راحتی و به‌طور طبیعی، مطالب مورد مطالعه را در پرواز درک می‌کنند، و گاهی اوقات بیش از دو دقیقه طول نمی‌کشد تا انتگرال آن‌ها را بیابند. و اگر دانش آموزی جدول انتگرال ها را یاد گرفته باشد، به طور کلی می تواند پاسخ ها را در ذهن خود تعیین کند. توابع بسط بر حسب متغیرهای نسبت به سطوح در ابتدا به معنای جهت برداری صحیح در نقطه ای از آبسیسا است. رفتار غیرقابل پیش‌بینی خطوط سطحی، انتگرال‌های معینی را به عنوان مبنایی در یک منبع متقابل از توابع ریاضی می‌گیرد. لبه سمت چپ توپ با استوانه ای که دایره در آن حک شده است، وقتی در یک صفحه مشاهده می شود، تماس نمی گیرد. مجموع نواحی کوچک تقسیم شده به صدها تابع پیوسته تکه تکه یک انتگرال آنلاین از یک تابع معین است. معنای مکانیکی انتگرال در بسیاری از مسائل کاربردی از جمله تعیین حجم اجسام و محاسبه جرم بدن نهفته است. انتگرال های سه گانه و دوگانه فقط در این محاسبات دخیل هستند. ما اصرار داریم که راه حل آنلاین انتگرال ها فقط زیر نظر معلمان مجرب و از طریق بررسی های متعدد انجام شود. اغلب از ما در مورد پیشرفت دانش آموزانی که در سخنرانی ها شرکت نمی کنند، بدون دلیل آنها را نادیده می گیرند، می پرسند، چگونه موفق می شوند خود انتگرال را پیدا کنند. ما پاسخ می دهیم که دانش آموزان افرادی آزاد هستند و ممکن است به عنوان یک دانش آموز خارجی آموزش ببینند و در یک محیط خانه راحت برای آزمون یا امتحان آماده شوند. در عرض چند ثانیه، سرویس ما به همه کسانی که می خواهند انتگرال هر تابع معین را با توجه به یک متغیر محاسبه کنند، کمک می کند. نتیجه به دست آمده را با گرفتن مشتق تابع ضد مشتق بررسی کنید. در این حالت، ثابت از محلول انتگرال ناپدید می شود. این قانون برای همه آشکار است. همانطور که عملیات چند جهته توجیه می شود، انتگرال نامعین اغلب به تقسیم منطقه به قطعات کوچک کاهش می یابد. با این حال، برخی از دانش آموزان و دانش آموزان این الزام را نادیده می گیرند. مثل همیشه، انتگرال های آنلاین را می توان با جزئیات توسط وب سایت خدمات ما حل کرد و هیچ محدودیتی در تعداد درخواست ها وجود ندارد، همه چیز رایگان و در دسترس همه است. از این قبیل سایت ها کم نیستند که در عرض چند ثانیه و از همه مهمتر با دقت بالا و به شکلی مناسب پاسخ گام به گام را بدهند. در مثال آخر، در صفحه پنجم تکلیف با یکی از آنها مواجه شدم که نیاز به محاسبه انتگرال را به صورت مرحله به مرحله نشان می دهد. اما فراموش نکنید که چگونه می توان یک انتگرال را با استفاده از یک سرویس آماده پیدا کرد که با زمان آزمایش شده و بر روی هزاران نمونه حل شده آنلاین آزمایش شده است. اینکه چگونه چنین انتگرالی حرکت سیستم را تعیین می کند، به وضوح و به وضوح توسط ماهیت حرکت یک سیال چسبناک، که توسط این سیستم معادلات توصیف شده است، اثبات می شود.

تابع غیر منطقی یک متغیر تابعی است که از یک متغیر و ثابت های دلخواه با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع، تفریق، ضرب (بالا بردن به یک عدد صحیح)، تقسیم و استخراج ریشه ها تشکیل می شود. یک تابع غیر منطقی با یک تابع منطقی تفاوت دارد زیرا تابع غیرمنطقی شامل عملیات استخراج ریشه است.

سه نوع اصلی از توابع غیر منطقی وجود دارد که انتگرالهای نامعین آنها به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابد. اینها انتگرال هایی هستند که ریشه های درجات اعداد صحیح دلخواه از یک تابع کسری خطی را شامل می شوند (ریشه ها می توانند درجات مختلفی داشته باشند، اما از یک تابع کسری خطی یکسان). انتگرال های دو جمله ای دیفرانسیل و انتگرال های با جذر سه جمله ای مربع.

یادداشت مهم. ریشه ها مبهم است!

هنگام محاسبه انتگرال های حاوی ریشه، عباراتی از شکل، جایی که تابعی از متغیر ادغام است، اغلب مواجه می شوند. باید در نظر داشت که. یعنی برای t> 0, | t | = t... در تی< 0, | t | = - t.بنابراین، هنگام محاسبه چنین انتگرال هایی، لازم است موارد t> را جداگانه در نظر بگیرید 0 و تی< 0 ... این کار را می توان با نوشتن علائم یا در صورت لزوم انجام داد. با فرض اینکه علامت بالا به حالت t> اشاره دارد 0 ، و پایین تر - به مورد t< 0 ... با تغییر بیشتر، این علائم، به عنوان یک قاعده، یکدیگر را خنثی می کنند.

رویکرد دوم نیز امکان پذیر است که در آن می توان انتگرال و نتیجه ادغام را به عنوان توابع پیچیده متغیرهای مختلط در نظر گرفت. سپس شما نمی توانید علائم را در عبارات رادیکال دنبال کنید. این رویکرد در صورتی قابل اجرا است که انتگرال، تحلیلی باشد، یعنی تابعی قابل تفکیک از یک متغیر مختلط. در این حالت، هم انتگرال و هم انتگرال آن، توابع چند ارزشی هستند. بنابراین، پس از ادغام، هنگام جایگزینی مقادیر عددی، لازم است یک شاخه تک مقداری (سطح ریمان) از انتگرال انتخاب شود و برای آن شاخه مربوطه از نتیجه انتگرال گیری انتخاب شود.

غیر منطقی خطی کسری

اینها انتگرال هایی با ریشه های تابع کسری خطی یکسان هستند:
,
که در آن R یک تابع گویا است، اعداد گویا، m 1، n 1، ...، m s، n s اعداد صحیح هستند، α، β، γ، δ اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی با جایگزینی به انتگرال یک تابع گویا کاهش می یابد:
، که در آن n مخرج مشترک اعداد r 1، ...، r s است.

ممکن است ریشه ها لزوما از یک تابع کسری خطی نباشند، بلکه از یک تابع خطی نیز باشند (γ = 0، δ = 1، یا روی متغیر ادغام x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
, .

انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل

انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل عبارتند از:
,
که در آن m، n، p اعداد گویا هستند، a، b اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی در سه حالت به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابند.

1) اگر p یک عدد صحیح باشد. جایگزینی x = t N، که در آن N مخرج مشترک کسرهای m و n است.
2) اگر - کل. جایگزینی a x n + b = t M، که در آن M مخرج p است.
3) اگر - کل. جایگزینی a + b x - n = t M، که در آن M مخرج p است.

در موارد دیگر، چنین انتگرال هایی بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند.

گاهی اوقات می توان چنین انتگرال هایی را با استفاده از فرمول های کاهش ساده کرد:
;
.

انتگرال های حاوی جذر یک مثلث مربع

این انتگرال ها به شکل زیر هستند:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. چندین روش حل برای هر یک از این انتگرال ها وجود دارد.
1) با کمک تبدیل ها به انتگرال های ساده تری منتهی شوید.
2) جایگزین های مثلثاتی یا هذلولی را اعمال کنید.
3) جایگزین های اویلر را اعمال کنید.

بیایید نگاهی دقیق تر به این روش ها بیندازیم.

1) تبدیل انتگرال

با اعمال فرمول و انجام تبدیل های جبری، انتگرال را به شکل زیر می آوریم:
,
که در آن φ (x)، ω (x) توابع گویا هستند.

نوع I

انتگرال فرم:
,
که در آن P n (x) چند جمله ای درجه n است.

چنین انتگرال هایی با روش ضرایب تعریف نشده با استفاده از هویت یافت می شوند:

.
با افتراق این معادله و معادل سازی ضلع چپ و راست، ضرایب A i را پیدا می کنیم.

نوع دوم

انتگرال فرم:
,
که در آن P m (x) چند جمله ای درجه m است.

جایگزینی t = (x - α) -1این انتگرال به نوع قبلی کاهش می یابد. اگر m ≥ n باشد، کل قسمت کسر باید انتخاب شود.

نوع III

در اینجا ما جایگزین را انجام می دهیم:
.
سپس انتگرال به شکل زیر در می آید:
.
علاوه بر این، ثابت‌های α، β باید طوری انتخاب شوند که ضرایب t در مخرج ناپدید شوند:
B = 0، B 1 = 0.
سپس انتگرال به مجموع انتگرال های دو نوع تجزیه می شود:
,
,
که با جایگزینی ادغام می شوند:
u 2 = A 1 t 2 + C 1،
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) جانشینی های مثلثاتی و هذلولی

برای انتگرال های فرم، a > 0 ,
ما سه جایگزین اصلی داریم:
;
;
;

برای انتگرال ها، a > 0 ,
ما جایگزین های زیر را داریم:
;
;
;

و در نهایت برای انتگرال ها الف > 0 ,
تعویض ها به شرح زیر است:
;
;
;

3) تعویض های اویلر

همچنین، انتگرال ها را می توان به انتگرال توابع گویا یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، برای a> 0;
، برای c> 0;
، که در آن x 1 ریشه معادله a x 2 + b x + c = 0 است. اگر این معادله ریشه واقعی داشته باشد.

انتگرال های بیضوی

در پایان، انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. به چنین انتگرال هایی بیضوی می گویند. به طور کلی، آنها بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با این حال، مواردی وجود دارد که روابط بین ضرایب A، B، C، D، E وجود دارد که در آن چنین انتگرال هایی بر حسب توابع ابتدایی بیان می شوند.

در زیر یک مثال مربوط به چند جمله ای های برگشتی آورده شده است. محاسبه چنین انتگرال هایی با استفاده از جایگزین ها انجام می شود:
.

مثال

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

تعویض می کنیم.

.
اینجا، برای x> 0 (u> 0 ) علامت بالایی "+" را می گیریم. برای x< 0 (u< 0 ) - پایین " - ".

.

پاسخ

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

انتگرال های مختلط

این مقاله مبحث انتگرال های نامعین را کامل می کند و شامل انتگرال هایی است که به نظر من بسیار دشوار است. این درس به درخواست مکرر بازدیدکنندگانی که آرزوهای خود را بیان کردند ایجاد شد که نمونه های دشوارتر نیز در سایت تجزیه و تحلیل شدند.

فرض بر این است که خواننده این متن به خوبی آماده است و می داند که چگونه تکنیک های اساسی یکپارچه سازی را به کار گیرد. آدمک ها و افرادی که خیلی به انتگرال ها اطمینان ندارند باید به اولین درس مراجعه کنند - انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها ، جایی که می توانید به صورت عملی از ابتدا به موضوع مسلط شوید. دانش آموزان با تجربه تر می توانند با تکنیک ها و روش های ادغام که هنوز در مقالات من با آنها برخورد نشده است آشنا شوند.

چه انتگرال هایی در نظر گرفته خواهند شد؟

ابتدا انتگرال هایی را با ریشه در نظر می گیریم که برای حل آنها به طور متوالی از آنها استفاده می کنیم جایگزینی متغیر و یکپارچه سازی توسط قطعات ... یعنی در یک مثال دو تکنیک به طور همزمان با هم ترکیب می شوند... و حتی بیشتر.

سپس با یک جالب و اصلی آشنا می شویم روش کاهش انتگرال به خودش ... انتگرال های کمی به این شکل حل نمی شوند.

شماره سوم برنامه خواهد رفت انتگرال کسرهای مرکبکه در مقالات قبلی باکس آفیس را پشت سر گذاشت.

چهارم، جدا خواهد شد انتگرال های مکمل توابع مثلثاتی... به طور خاص، روش هایی وجود دارد که از زمان بر بودن جلوگیری می کند جایگزینی مثلثاتی جهانی.

(2) در انتگرال، صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم می کنیم.

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در آخرین انتگرال بلافاصله تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم .

(4) انتگرال های باقی مانده را بگیرید. توجه داشته باشید که از پرانتز می توان در لگاریتم استفاده کرد، نه مدول.

(5) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم و از جایگزینی مستقیم "te" بیان می کنیم:

دانش آموزان مازوخیست می توانند پاسخ را متمایز کنند و انتگرال اصلی را همانطور که من انجام دادم بدست آورند. نه، نه، من چک را به معنای درست انجام دادم =)

همانطور که می بینید، در مسیر حل، حتی بیش از دو روش حل باید مورد استفاده قرار می گرفت، بنابراین، برای مقابله با چنین انتگرال هایی، به مهارت های یکپارچه سازی مطمئن و نه کوچکترین تجربه نیاز است.

در عمل، البته، ریشه دوم رایج تر است، در اینجا سه ​​مثال برای یک راه حل مستقل وجود دارد:

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این نمونه ها از یک نوع هستند، بنابراین راه حل کامل در پایان مقاله فقط برای مثال 2، در مثال های 3-4 - یک پاسخ خواهد بود. فکر می کنم در ابتدای راه حل ها از کدام جایگزین استفاده کنیم واضح است. چرا نمونه هایی از همین نوع را انتخاب کردم؟ آنها اغلب در نقش خود ملاقات می کنند. اغلب، شاید، فقط چیزی شبیه به .

اما نه همیشه، زمانی که ریشه یک تابع خطی در زیر توابع متقاطع، سینوس، کسینوس، توان و سایر توابع یافت می‌شود، چندین روش باید در آن واحد اعمال شود. در تعدادی از موارد می توان "به راحتی پیاده شد"، یعنی بلافاصله پس از تعویض، یک انتگرال ساده به دست می آید که می توان آن را به صورت ابتدایی گرفت. ساده ترین کار ارائه شده در بالا، مثال 4 است که در آن، پس از جایگزینی، یک انتگرال نسبتا ساده به دست می آید.

با تقلیل انتگرال به خودش

یک روش مبتکرانه و زیبا. بیایید بلافاصله به کلاسیک های این ژانر نگاهی بیندازیم:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک دوجمله ای مربعی زیر ریشه وجود دارد، و هنگام تلاش برای ادغام این مثال، کتری می تواند ساعت ها آسیب ببیند. چنین انتگرالی تکه تکه گرفته می شود و به خود تقلیل می یابد. در اصل، سخت نیست. اگر می دانید چگونه.

اجازه دهید انتگرال مورد نظر را با یک حرف لاتین نشان دهیم و راه حل را شروع کنیم:

ما قطعه به قطعه ادغام می کنیم:

(1) یک تابع انتگرال برای تقسیم ترم آماده کنید.

(2) انتگرال را بر ترم تقسیم می کنیم. شاید همه متوجه نشوند، من با جزئیات بیشتری خواهم نوشت:

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(4) آخرین انتگرال را بگیرید (لگاریتم "طولانی").

اکنون به همان ابتدای راه حل نگاه می کنیم:

و در پایان:

چی شد؟ در نتیجه دستکاری های ما، انتگرال به خودش کاهش یافته است!

ابتدا و انتها را با هم برابر می کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ حرکت کنید:

و دوس را به سمت راست حمل می کنیم. در نتیجه:

ثابت، به طور دقیق، باید قبلا اضافه می شد، اما آن را در پایان اضافه می کرد. اکیداً توصیه می کنم آنچه را که در اینجا سخت است بخوانید:

توجه داشته باشید: به طور دقیق تر، مرحله نهایی راه حل به این صورت است:

به این ترتیب:

ثابت را می توان دوباره طراحی کرد. چرا می توانید دوباره تعیین کنید؟ چون هنوز قبول میکنه هرمقادیر، و از این نظر هیچ تفاوتی بین ثابت و.
در نتیجه:

یک ترفند طراحی مجدد ثابت مشابه به طور گسترده در مورد استفاده قرار می گیرد معادلات دیفرانسیل ... و در آنجا سختگیر خواهم بود. و در اینجا چنین آزادی فقط برای اینکه شما را با چیزهای غیرضروری اشتباه نگیرم و روی روش ادغام تمرکز کنم مجاز است.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک انتگرال معمولی دیگر برای یک راه حل مستقل. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. تفاوت با جواب مثال قبل خواهد بود!

اگر یک مثلث مربع زیر ریشه مربع وجود داشته باشد، در هر صورت راه حل به دو مثال تحلیل شده کاهش می یابد.

به عنوان مثال، انتگرال را در نظر بگیرید ... تنها کاری که باید انجام دهید این است که از قبل انجام دهید مربع کامل را انتخاب کنید :
.
علاوه بر این، یک جایگزینی خطی انجام می شود که "بدون هیچ عواقبی" کنار گذاشته می شود:
، منجر به یک انتگرال می شود. یک چیز آشنا، درست است؟

یا چنین مثالی با یک دوجمله ای مربعی:
یک مربع کامل را انتخاب کنید:
و پس از جایگزینی خطی، یک انتگرال به دست می آوریم که آن نیز مطابق الگوریتم در نظر گرفته شده حل می شود.

دو مثال معمولی دیگر از چگونگی کاهش یک انتگرال به خود را در نظر بگیرید:
- انتگرال توان ضرب در سینوس.
آیا انتگرال توان در کسینوس ضرب می شود.

در انتگرال های فهرست شده بر اساس قطعات، باید دو بار قبلاً ادغام کنیم:

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید

انتگرال برابر با سینوس است.

ما دو بار توسط قطعات ادغام می کنیم و انتگرال را به خودش کاهش می دهیم:

در نتیجه ادغام مضاعف توسط قطعات، انتگرال به خود کاهش می یابد. ابتدا و انتهای راه حل را با هم برابر می کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ حرکت کنید و انتگرال ما را بیان کنید:

آماده. در طول مسیر، توصیه می شود سمت راست را شانه کنید، یعنی. نما را خارج از پرانتز قرار دهید و در پرانتز سینوس و کسینوس را به ترتیب "زیبا" ترتیب دهید.

حالا بیایید به ابتدای مثال یا بهتر است بگوییم به ادغام بر اساس قطعات برگردیم:

زیرا ما غرفه‌دار را تعیین کرده‌ایم. این سوال پیش می آید که دقیقاً نشانگر همیشه باید با؟ لازم نیست. در واقع در انتگرال در نظر گرفته شده است اساسا فرقی نمی کنه، برای چه چیزی مشخص شود، می توان از راه دیگر رفت:

چرا این امکان وجود دارد؟ از آنجا که توان به خود تبدیل می شود (هم در حین تمایز و هم در حین ادغام)، سینوس و کسینوس متقابلاً به یکدیگر تبدیل می شوند (دوباره، هم در حین تمایز و هم در حین ادغام).

یعنی می توانید یک تابع مثلثاتی نیز تعیین کنید. اما، در مثال در نظر گرفته شده، این کمتر منطقی است، زیرا کسری ظاهر می شود. در صورت تمایل می توانید سعی کنید این مثال را به روش دوم حل کنید، پاسخ ها باید یکسان باشد.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. قبل از تصمیم گیری، به این فکر کنید که در این مورد چه چیزی برای تعیین تابع توان یا مثلثاتی سودآورتر است؟ حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

و البته به خاطر داشته باشید که اکثر پاسخ های این درس به اندازه کافی آسان هستند که تفکیک شوند!

نمونه ها سخت ترین نبودند. در عمل، انتگرال ها رایج تر هستند، جایی که ثابت هم در توان و هم در آرگومان تابع مثلثاتی است، به عنوان مثال:. بسیاری از مردم باید در چنین انتگرالی گم شوند و من خودم اغلب گیج می شوم. واقعیت این است که احتمال ظاهر شدن کسری در محلول زیاد است و از دست دادن چیزی با بی توجهی بسیار آسان است. علاوه بر این، احتمال خطا در علائم زیاد است، توجه داشته باشید که توان دارای علامت منفی است و این مشکل اضافی را ایجاد می کند.

در مرحله نهایی، اغلب چیزی شبیه به موارد زیر ظاهر می شود:

حتی در پایان راه حل، شما باید بسیار مراقب باشید و با شایستگی با کسری برخورد کنید:

ادغام کسرهای مرکب

کم کم داریم به خط استوای درس نزدیک می شویم و شروع به در نظر گرفتن انتگرال کسری می کنیم. باز هم، همه آنها فوق العاده پیچیده نیستند، فقط به یک دلیل یا آن مثالها در مقالات دیگر کمی "خارج از موضوع" بودند.

ادامه موضوع ریشه ها

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در مخرج زیر ریشه، مثلث مربع به علاوه خارج از ریشه "ضمیمه" به شکل "x" است. یک انتگرال از این نوع با استفاده از یک جایگزین استاندارد حل می شود.

ما تصمیم گرفتیم:

جایگزینی ساده است:

ما به زندگی پس از جایگزینی نگاه می کنیم:

(1) پس از جایگزینی، اصطلاحات زیر ریشه را به یک مخرج مشترک می آوریم.
(2) از زیر ریشه بیرون می آوریم.
(3) صورت و مخرج را کاهش دهید. در همان زمان، در زیر ریشه، من شرایط را به ترتیبی راحت مرتب کردم. با کمی تجربه، مراحل (1)، (2) را می توان با انجام اعمال نظر به صورت شفاهی نادیده گرفت.
(4) انتگرال حاصل، همانطور که از درس به یاد دارید ادغام برخی کسرها ، حل کرد با روش انتخاب مربع کامل... یک مربع کامل انتخاب کنید.
(5) ادغام یک لگاریتم معمولی "طولانی" دریافت می کنیم.
(6) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. اگر در ابتدا، سپس بازگشت:.
(7) عمل نهایی با هدف مدل موی نتیجه انجام می شود: در زیر ریشه، دوباره شرایط را به یک مخرج مشترک می آوریم و آنها را از زیر ریشه خارج می کنیم.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. در اینجا یک ثابت به Lonely X اضافه شده است و جایگزینی تقریباً یکسان است:

تنها کاری که باید انجام شود، بیان "x" از جایگزین است:

حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

گاهی اوقات در چنین انتگرالی ممکن است یک دوجمله ای مربع زیر ریشه وجود داشته باشد، این راه حل را تغییر نمی دهد، حتی ساده تر خواهد بود. تفاوت را احساس کنید:

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل ها و پاسخ های مختصر در پایان درس. لازم به ذکر است که مثال 11 دقیقا می باشد انتگرال دو جمله ای، که روش حل آن در درس در نظر گرفته شد انتگرال توابع غیر منطقی .

انتگرال یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر با درجه 2

(چند جمله ای در مخرج)

شکل انتگرال نادرتر است، اما، با این وجود، در مثال های عملی با آن مواجه می شویم.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید

اما برگردیم به مثال با شماره خوش شانس 13 (راستش درست حدس زدم). این انتگرال نیز از دسته مواردی است که اگر ندانید چگونه آن را حل کنید، می توانید تا حد زیادی خود را عذاب دهید.

راه حل با یک تبدیل مصنوعی شروع می شود:

من فکر می کنم همه قبلاً می دانند که چگونه صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم کنند.

انتگرال حاصل قطعه به قطعه گرفته می شود:

برای یک انتگرال از فرم (یک عدد طبیعی است)، عود کنندهفرمول کاهش مدرک:
، جایی که - انتگرال یک درجه پایین تر.

اجازه دهید اعتبار این فرمول را برای انتگرال حل شده بررسی کنیم.
در این مورد:،، از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، پاسخ ها یکسان است.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. محلول نمونه از فرمول فوق دو بار متوالی استفاده می کند.

اگر زیر مدرک وجود دارد تجزیه ناپذیرمثلث مربع، سپس با انتخاب یک مربع کامل، راه حل به یک دو جمله ای کاهش می یابد، به عنوان مثال:

اگر یک چند جمله ای اضافی در صورتگر وجود داشته باشد چه؟ در این حالت از روش ضرایب تعریف نشده استفاده می شود و انتگرال به مجموع کسرها بسط می یابد. اما در عمل من از چنین مثالی هرگز ملاقات نکردند، بنابراین من از این مورد در مقاله صرف نظر کردم انتگرال های یک تابع گویا کسری ، اکنون از آن می گذرم. اگر چنین انتگرالی هنوز رخ می دهد، به کتاب درسی مراجعه کنید - همه چیز در آنجا ساده است. گنجاندن مطالبی (حتی ساده) را مناسب نمی دانم که احتمال ملاقات با آنها به صفر می رسد.

ادغام توابع مثلثاتی پیچیده

برای بیشتر نمونه‌ها، صفت «مشکل» دوباره تا حد زیادی مشروط است. بیایید با مماس ها و کوتانژانت ها در درجات بالا شروع کنیم. از نقطه نظر روش های مورد استفاده برای حل مماس و کتانژانت، تقریباً یکسان هستند، بنابراین در مورد مماس بیشتر صحبت خواهم کرد، به این معنی که روش نشان داده شده برای حل انتگرال برای کتانژانت نیز معتبر است.

در درس بالا نگاه کردیم جایگزینی مثلثاتی جهانیبرای حل نوع خاصی از انتگرال های توابع مثلثاتی. نقطه ضعف جایگزینی مثلثاتی جهانی این است که هنگام استفاده از آن، اغلب انتگرال های دست و پا گیر با محاسبات دشوار به وجود می آیند. و در برخی موارد، می توان از جایگزینی مثلثاتی جهانی جلوگیری کرد!

مثال متعارف دیگری را در نظر بگیرید، انتگرال وحدت تقسیم بر سینوس:

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در اینجا می توانید از جایگزینی مثلثاتی عمومی استفاده کنید و پاسخ را دریافت کنید، اما راه منطقی تری وجود دارد. من یک راه حل کامل با نظرات برای هر مرحله ارائه خواهم کرد:

(1) از فرمول مثلثاتی سینوسی زاویه دوتایی استفاده می کنیم.
(2) ما یک تبدیل مصنوعی انجام می دهیم: در مخرج تقسیم و ضرب در.
(3) طبق فرمول معروف در مخرج، کسر را به مماس تبدیل می کنیم.
(4) تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(5) انتگرال را بگیرید.

چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 18

انتگرال نامعین را پیدا کنید

نکته: اولین قدم استفاده از فرمول ریخته گری است و مراحل مشابه مثال قبل را با دقت انجام دهید.

مثال 19

انتگرال نامعین را پیدا کنید

خوب، این یک مثال بسیار ساده است.

راه حل ها و پاسخ ها را در پایان درس کامل کنید.

من فکر می کنم اکنون هیچ کس با انتگرال ها مشکلی نخواهد داشت:
و غیره.

ایده پشت این روش چیست؟ ایده این است که فقط مماس ها و مشتق مماس در انتگرال را با استفاده از تبدیل ها، فرمول های مثلثاتی سازماندهی کنیم. یعنی ما در مورد جایگزینی صحبت می کنیم: ... در مثال‌های 17-19، ما در واقع این جایگزینی را اعمال کردیم، اما انتگرال‌ها به قدری ساده بودند که موضوع با یک عمل معادل بررسی شد - با قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

استدلال مشابهی، همانطور که قبلاً ذکر کردم، می تواند برای کوتانژانت نیز انجام شود.

همچنین یک پیش نیاز رسمی برای اعمال جایگزینی فوق وجود دارد:

مجموع توان های کسینوس و سینوس یک عدد صحیح منفی زوج است، مثلا:

برای یک انتگرال - یک عدد صحیح منفی EVEN.

! توجه داشته باشید : اگر انتگرال حاوی ONLY یک سینوس یا فقط یک کسینوس باشد، انتگرال نیز برای یک درجه فرد منفی گرفته می شود (ساده ترین موارد در مثال های شماره 17، 18 است).

برای این قانون چند کار معنادارتر را در نظر بگیرید:

مثال 20

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مجموع توان های سینوس و کسینوس: 2 - 6 = -4 یک عدد صحیح زوج است، به این معنی که انتگرال را می توان به مماس و مشتق آن کاهش داد:

(1) مخرج را تبدیل کنید.
(2) طبق فرمول معروف به دست می آوریم.
(3) مخرج را تبدیل کنید.
(4) ما از فرمول استفاده می کنیم .
(5) تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(6) ما جایگزینی را انجام می دهیم. دانش آموزان با تجربه تر ممکن است جایگزینی را انجام ندهند، اما باز هم بهتر است مماس را با یک حرف جایگزین کنید - خطر سردرگمی کمتری وجود دارد.

مثال 21

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

صبر کنید، دور قهرمانی شروع می شود =)

غالباً در انتگرال یک "Hodgepodge" وجود دارد:

مثال 22

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این انتگرال در ابتدا حاوی یک مماس است که بلافاصله یک فکر آشنا را برمی انگیزد:

دگرگونی مصنوعی در همان ابتدا و بقیه مراحل را بدون نظر می گذارم، زیرا همه چیز قبلاً در بالا گفته شده است.

چند مثال خلاقانه برای حل خود:

مثال 23

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 24

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بله، در آنها، البته، می توانید درجات سینوس، کسینوس را کاهش دهید، از جایگزینی مثلثاتی جهانی استفاده کنید، اما راه حل اگر از طریق مماس ها انجام شود بسیار کارآمدتر و کوتاه تر خواهد بود. راه حل و پاسخ کامل در پایان درس