جدول انتگرال های نامعین توابع ابتدایی. ضد مشتق

در این صفحه خواهید یافت:

1. در واقع، جدول ضد مشتقات - می توان آن را دانلود کرد فرمت PDFو چاپ کنید؛

2. ویدئو در مورد نحوه استفاده از این جدول.

3. دسته ای از مثال های محاسبه ضد مشتق از کتاب های درسی و تست های مختلف.

در خود ویدیو، ما بسیاری از مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در آن شما باید ضد مشتقات توابع را محاسبه کنید، اغلب بسیار پیچیده هستند، اما مهمتر از همه، آنها توابع قدرت نیستند. تمام توابع خلاصه شده در جدول پیشنهادی در بالا، مانند مشتقات، باید به طور خلاصه شناخته شوند. بدون آنها، مطالعه بیشتر انتگرال ها و کاربرد آنها برای حل مسائل عملی غیرممکن است.

امروز ما به مطالعه اصول اولیه ادامه می دهیم و به موضوع کمی پیچیده تر می رویم. اگر دفعه قبل فقط به ضد مشتق‌های توابع قدرت و ساختارهای کمی پیچیده‌تر نگاه کردیم، امروز به مثلثات و موارد دیگر خواهیم پرداخت.

همانطور که در درس گذشته گفتم، ضد مشتقات، بر خلاف مشتقات، هرگز با استفاده از قوانین استاندارد "فورا" حل نمی شوند. علاوه بر این، خبر بداین است که بر خلاف مشتق، یک ضد مشتق ممکن است اصلاً در نظر گرفته نشود. اگر به طور مطلق بنویسیم تابع تصادفیو سعی می کنیم مشتق آن را پیدا کنیم، سپس با احتمال بسیار زیاد موفق خواهیم شد، اما ضد مشتق تقریباً هرگز در این مورد محاسبه نمی شود. اما همچنین وجود دارد خبر خوب: دسته نسبتاً بزرگی از توابع به نام توابع ابتدایی وجود دارد که محاسبه ضد مشتقات آن بسیار آسان است. و تمام ساختارهای پیچیده‌تر دیگری که در انواع تست‌ها، تست‌ها و امتحانات مستقل داده می‌شوند، در واقع از این توابع ابتدایی از طریق جمع، تفریق و سایر اقدامات ساده تشکیل شده‌اند. نمونه های اولیه چنین توابعی مدت هاست که محاسبه و در جداول ویژه جمع آوری شده اند. این توابع و جداول هستند که امروز با آنها کار خواهیم کرد.

اما ما مثل همیشه با یک تکرار شروع می کنیم: بیایید به یاد بیاوریم که ضد مشتق چیست، چرا تعداد بی نهایت آنها وجود دارد و چگونه آنها را تعریف کنیم. فرم کلی. برای انجام این کار، من دو مشکل ساده را انتخاب کردم.

حل مثال های آسان

مثال شماره 1

اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ و به طور کلی وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ بلافاصله به ما اشاره می کند که ضد مشتق مورد نیاز تابع مربوط به مثلثات است. و در واقع، اگر به جدول نگاه کنیم، متوجه خواهیم شد که $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ چیزی بیش از $\text(arctg)x$ نیست. پس بیایید آن را بنویسیم:

برای پیدا کردن، باید موارد زیر را یادداشت کنید:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

مثال شماره 2

همچنین اینجا ما در مورددر مورد توابع مثلثاتی اگر به جدول نگاه کنیم، در واقع، این چیزی است که اتفاق می افتد:

ما باید در بین کل مجموعه ضد مشتقات موردی را پیدا کنیم که از نقطه مشخص شده عبور می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

در نهایت آن را بنویسیم:

ساده است. تنها مشکل این است که به منظور شمارش ضد مشتقات توابع ساده، باید جدول آنتی مشتق ها را یاد بگیرید. با این حال، پس از مطالعه جدول مشتق برای شما، فکر می کنم این مشکلی نخواهد داشت.

حل مسائل حاوی تابع نمایی

برای شروع، بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((e)^(x))\به ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

بیایید ببینیم این همه در عمل چگونه کار می کند.

مثال شماره 1

اگر به محتویات براکت ها نگاه کنیم، متوجه می شویم که در جدول آنتی مشتق ها چنین عبارتی وجود ندارد که $((e)^(x))$ در یک مربع باشد، بنابراین این مربع باید گسترش یابد. برای این کار از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می کنیم:

بیایید پاد مشتق را برای هر یک از اصطلاحات پیدا کنیم:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

حالا بیایید تمام اصطلاحات را در یک عبارت جمع کنیم و آنتی مشتق کلی را بدست آوریم:

مثال شماره 2

این بار درجه بزرگتر است، بنابراین فرمول ضرب اختصاری بسیار پیچیده خواهد بود. پس بیایید پرانتزها را باز کنیم:

حالا بیایید سعی کنیم ضد مشتق فرمول خود را از این ساختار بگیریم:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در ضد مشتقات تابع نمایی وجود ندارد. همه آنها از طریق جداول محاسبه می شوند، اما دانش آموزان با دقت احتمالا متوجه خواهند شد که ضد مشتق $((e)^(2x))$ بسیار نزدیکتر به $((e)^(x))$ است تا $((a) )^(x))$. بنابراین، شاید یک قانون خاص تری وجود داشته باشد که با دانستن ضد مشتق $((e)^(x))$، اجازه می دهد $((e)^(2x))$ را پیدا کنید؟ بله، چنین قانونی وجود دارد. و علاوه بر این، بخشی جدایی ناپذیر از کار با جدول ضد مشتقات است. اکنون با استفاده از همان عباراتی که به عنوان مثال با آنها کار کردیم، آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قوانین کار با جدول ضد مشتقات

بیایید دوباره تابع خود را بنویسیم:

در مورد قبلی از فرمول زیر برای حل استفاده کردیم:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

اما اکنون اجازه دهید این کار را کمی متفاوت انجام دهیم: به یاد بیاوریم که بر چه مبنایی $((e)^(x))\ به ((e)^(x))$. همانطور که قبلاً گفتم، چون مشتق $((e)^(x))$ چیزی بیش از $((e)^(x))$ نیست، بنابراین ضد مشتق آن برابر با همان $((e) ^ خواهد بود. (x)) دلار. اما مشکل این است که ما $((e)^(2x))$ و $((e)^(-2x))$ داریم. حالا بیایید سعی کنیم مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \راست))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

بیایید دوباره ساختمان را بازنویسی کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac((((e)^(2x)))(2) \راست))^(\prime ))\]

این بدان معنی است که وقتی ما ضد مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا می کنیم، به شکل زیر می رسیم:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

همانطور که می بینید، ما همان نتیجه قبلی را گرفتیم، اما از فرمول برای پیدا کردن $((a)^(x))$ استفاده نکردیم. اکنون ممکن است احمقانه به نظر برسد: چرا وقتی یک فرمول استاندارد وجود دارد محاسبات را پیچیده کنیم؟ با این حال، کمی بیشتر عبارات پیچیدهخواهید دید که این تکنیک بسیار موثر است، یعنی. استفاده از مشتقات برای یافتن ضد مشتقات.

به عنوان گرم کردن، بیایید ضد مشتق $((e)^(2x))$ را به روشی مشابه پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(-2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \راست)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \راست))^(\prime ))\]

هنگام محاسبه، ساخت ما به صورت زیر نوشته می شود:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ما دقیقاً همان نتیجه را گرفتیم، اما مسیر دیگری را در پیش گرفتیم. این مسیر است که اکنون برای ما کمی پیچیده تر به نظر می رسد که در آینده برای محاسبه آنتی مشتق های پیچیده تر و استفاده از جداول موثرتر خواهد بود.

توجه داشته باشید! این خیلی نکته مهم: ضد مشتقات را می توان مانند مشتقات یک مجموعه در نظر گرفت به طرق مختلف. اما اگر همه محاسبات و محاسبات برابر باشند، پاسخ یکسان خواهد بود. ما به تازگی این را با مثال $((e)^(-2x))$ مشاهده کردیم - از یک طرف، ما این ضد مشتق را "راست از طریق" محاسبه کردیم، با استفاده از تعریف و محاسبه آن با استفاده از تبدیل، از سوی دیگر، ما به یاد آوردیم که $ ((e)^(-2x))$ را می توان به صورت $((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))$ نشان داد و فقط پس از آن استفاده کردیم ضد مشتق برای تابع $( (a)^(x))$. با این حال، پس از همه تحولات، نتیجه همان بود که انتظار می رفت.

و اکنون که همه اینها را فهمیدیم، وقت آن است که به چیز مهمتری برویم. اکنون دو ساختار ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، اما تکنیکی که در هنگام حل آنها استفاده می شود، قدرتمندتر است و ابزار مفید، به جای "اجرای" ساده بین پاد مشتق های همسایه از جدول.

حل مسئله: یافتن پاد مشتق یک تابع

مثال شماره 1

بیایید مقدار موجود در اعداد را به سه کسر جداگانه تقسیم کنیم:

این یک انتقال نسبتاً طبیعی و قابل درک است - اکثر دانش آموزان با آن مشکلی ندارند. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

حالا بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

در مورد ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

برای خلاص شدن از شر همه این کسرهای سه طبقه، پیشنهاد می کنم موارد زیر را انجام دهید:

مثال شماره 2

بر خلاف کسر قبلی، مخرج یک حاصل ضرب نیست، بلکه یک جمع است. در این حالت، دیگر نمی‌توانیم کسر خود را به مجموع چند کسر ساده تقسیم کنیم، اما باید به نحوی تلاش کنیم که صورت‌گر تقریباً همان عبارت مخرج را داشته باشد. که در در این موردانجام این کار بسیار ساده است:

این نماد، که در زبان ریاضی به آن "جمع یک صفر" می گویند، به ما امکان می دهد دوباره کسر را به دو قسمت تقسیم کنیم:

حالا بیایید آنچه را که دنبالش بودیم پیدا کنیم:

تمام محاسبات همین است. علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر نسبت به مشکل قبلی، مقدار محاسبات حتی کمتر بود.

تفاوت های ظریف راه حل

و اینجاست که مشکل اصلی کار با ضد مشتقات جدولی نهفته است، این به ویژه در کار دوم قابل توجه است. واقعیت این است که برای انتخاب برخی از عناصر که به راحتی از طریق جدول محاسبه می شوند، باید بدانیم دقیقاً به دنبال چه چیزی هستیم و در جستجوی این عناصر است که کل محاسبه ضد مشتقات را تشکیل می دهد.

به عبارت دیگر، فقط به خاطر سپردن جدول ضد مشتقات کافی نیست - شما باید بتوانید چیزی را ببینید که هنوز وجود ندارد، اما منظور نویسنده و گردآورنده این مشکل چیست. به همین دلیل است که بسیاری از ریاضیدانان، معلمان و استادان دائماً استدلال می کنند: "مصرف ضد مشتقات یا ادغام چیست - آیا این فقط یک ابزار است یا یک هنر واقعی است؟" در واقع، به نظر شخصی من، یکپارچگی اصلاً یک هنر نیست - هیچ چیز عالی در آن وجود ندارد، فقط تمرین است و تمرین بیشتر. و برای تمرین، بیایید سه مثال جدی دیگر را حل کنیم.

ما در عمل یکپارچه سازی را آموزش می دهیم

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

بیایید موارد زیر را بنویسیم:

مشکل شماره 2

بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

کل ضد مشتق برابر خواهد بود با:

مشکل شماره 3

دشواری این کار این است که بر خلاف توابع قبلیهیچ متغیری $x$ در بالا اصلا وجود ندارد، i.e. برای ما روشن نیست که چه چیزی را اضافه یا کم کنیم تا حداقل چیزی شبیه آنچه در زیر آمده است به دست آوریم. با این حال، در واقع، این عبارت حتی ساده تر از هر عبارتی از ساخت های قبلی در نظر گرفته می شود، زیرا این تابعرا می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اکنون ممکن است بپرسید: چرا این توابع برابر هستند؟ بیایید بررسی کنیم:

بیایید دوباره آن را بنویسیم:

بیایید بیان خود را کمی تغییر دهیم:

و وقتی همه اینها را برای شاگردانم توضیح می‌دهم، تقریباً همیشه همین مشکل پیش می‌آید: با تابع اول همه چیز کم و بیش روشن است، با عملکرد دوم نیز می‌توانید با شانس یا تمرین آن را بفهمید، اما چه نوع آگاهی جایگزینی دارید. برای حل مثال سوم باید داشته باشید؟ در واقع، نترسید. تکنیکی که ما هنگام محاسبه آخرین ضد مشتق استفاده کردیم "تجزیه یک تابع به ساده ترین آن" نامیده می شود و این یک تکنیک بسیار جدی است و یک درس ویدیویی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

در همین حال، من پیشنهاد می کنم به آنچه که اخیراً مطالعه کردیم، یعنی به توابع نمایی برگردیم و مشکلات محتوای آنها را تا حدودی پیچیده کنیم.

مسائل پیچیده تر برای حل توابع نمایی ضد مشتق

وظیفه شماره 1

به موارد زیر توجه کنیم:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \راست))^(x))=((10)^(x) )\]

برای یافتن ضد مشتق این عبارت، به سادگی از فرمول استاندارد - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ استفاده کنید.

در مورد ما، ضد مشتق به این صورت خواهد بود:

البته، در مقایسه با طرحی که به تازگی حل کرده ایم، این طرح ساده تر به نظر می رسد.

مشکل شماره 2

باز هم، به راحتی می توان فهمید که این تابع را می توان به راحتی به دو عبارت جداگانه تقسیم کرد - دو کسر جداگانه. بیایید بازنویسی کنیم:

باقی مانده است که ضد مشتق هر یک از این اصطلاحات را با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا پیدا کنیم:

با وجود پیچیدگی زیاد ظاهری توابع نماییدر مقایسه با توان، حجم کلی محاسبات و محاسبات بسیار ساده تر بود.

البته، برای دانش‌آموزان آگاه، آنچه که اخیراً مورد بحث قرار گرفتیم (مخصوصاً در پس زمینه آنچه قبلاً بحث کردیم) ممکن است عباراتی ابتدایی به نظر برسد. با این حال، هنگام انتخاب این دو مشکل برای درس ویدیویی امروز، هدفم این نبود که تکنیک پیچیده و پیچیده دیگری را به شما بگویم - تنها چیزی که می‌خواستم به شما نشان دهم این است که از استفاده از تکنیک‌های جبر استاندارد برای تبدیل توابع اصلی نترسید. .

استفاده از تکنیک "مخفی"

در پایان، من می خواهم یک مورد دیگر را مورد بحث قرار دهم تکنیک جالب، که از یک سو فراتر از آنچه امروز عمدتاً مورد بحث قرار گرفتیم است، اما از سوی دیگر، اولاً اصلاً پیچیده نیست، یعنی. حتی دانش‌آموزان مبتدی نیز می‌توانند به آن تسلط پیدا کنند، و ثانیاً، اغلب در انواع تست‌ها و تست‌ها یافت می‌شود. کار مستقل، یعنی آگاهی از آن علاوه بر آگاهی از جدول آنتی مشتقات بسیار مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1

بدیهی است که ما چیزی بسیار شبیه به تابع قدرت داریم. در این صورت باید چکار کنیم؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم: $x-5$ تفاوت زیادی با $x$ ندارد - آنها فقط $-5$ را اضافه کردند. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \راست))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

بیایید سعی کنیم مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((\left(x-5 \راست))^(5)) \راست))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست))^(4))\]

این دلالت می کنه که:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ راست))^(\prime ))\]

چنین مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین ما اکنون خودمان با استفاده از این فرمول استخراج کرده ایم فرمول استانداردضد مشتق برای تابع توان. جواب را اینگونه بنویسیم:

مشکل شماره 2

بسیاری از دانش آموزانی که به راه حل اول نگاه می کنند ممکن است فکر کنند که همه چیز بسیار ساده است: فقط $x$ را در تابع power با یک عبارت خطی جایگزین کنید، و همه چیز در جای خود قرار می گیرد. متأسفانه همه چیز به این سادگی نیست و اکنون این را خواهیم دید.

با قیاس با عبارت اول، موارد زیر را می نویسیم:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\cdot ((\چپ(4-3x \راست))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \راست))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\]

با بازگشت به مشتق خود، می توانیم بنویسیم:

\[((\left(((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \راست) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \راست))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \راست))^(10)))(-30) \راست))^(\prime ))\]

این بلافاصله به شرح زیر است:

تفاوت های ظریف راه حل

لطفاً توجه داشته باشید: اگر بار گذشته اساساً چیزی تغییر نکرد ، در حالت دوم به جای -10 دلار ، -30 دلار ظاهر شد. تفاوت بین -10 دلار و -30 دلار چیست؟ بدیهی است که با ضریب 3- دلار. سوال: از کجا آمده است؟ اگر دقت کنید، می بینید که در نتیجه محاسبه مشتق یک تابع مختلط گرفته شده است - ضریبی که برابر با $x$ بود در ضد مشتق زیر ظاهر می شود. این خیلی قانون مهم، که در ابتدا قصد نداشتم در آموزش ویدیویی امروز به آن بپردازم، اما بدون آن ارائه آنتی مشتقات جدولی ناقص خواهد بود.

پس بیایید دوباره این کار را انجام دهیم. اجازه دهید تابع قدرت اصلی ما وجود داشته باشد:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

حال به جای $x$، عبارت $kx+b$ را جایگزین می کنیم. آن وقت چه خواهد شد؟ باید موارد زیر را پیدا کنیم:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k)\]

بر چه اساسی این ادعا را داریم؟ بسیار ساده. بیایید مشتق ساختار نوشته شده در بالا را پیدا کنیم:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \راست))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k) \راست))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \راست))^ (n))\cdot k=((\چپ(kx+b \راست))^(n))\]

این همان عبارتی است که در ابتدا وجود داشت. بنابراین، این فرمول نیز صحیح است و می توان از آن برای تکمیل جدول ضد مشتقات استفاده کرد یا بهتر است به سادگی کل جدول را حفظ کرد.

نتیجه گیری از تکنیک "secret:"

• هر دو تابعی که اکنون به آنها نگاه کردیم، در واقع می‌توانند با گسترش درجه‌ها به پاد مشتق‌های نشان‌داده‌شده در جدول تقلیل یابند، اما اگر بتوانیم کم و بیش به نحوی با درجه چهارم کنار بیاییم، آنگاه حتی درجه نهم را هم در نظر نمی‌گیرم. جرات کرد فاش کرد
• اگر درجات را گسترش می دادیم، آنقدر حجم محاسبات به دست می آمد که یک کار ساده ما را به اندازه کافی نمی برد. تعداد زیادی اززمان.
• به همین دلیل است که چنین مسائلی که حاوی عبارات خطی هستند، نیازی به حل "سرسخت" ندارند. به محض اینکه با یک پاد مشتق روبرو شدید که فقط با وجود عبارت $kx+b$ در داخل آن با نمونه موجود در جدول متفاوت است، فوراً فرمول نوشته شده در بالا را به خاطر بسپارید، آن را با آنتی مشتق جدول خود جایگزین کنید، و همه چیز بسیار خوب خواهد شد. سریع تر و راحت تر

طبیعتاً به دلیل پیچیدگی و جدی بودن این تکنیک، بارها در درس‌های ویدیویی آینده به بررسی آن برمی‌گردیم، اما این همه برای امروز است. امیدوارم این درس واقعا به آن دسته از دانش‌آموزانی که می‌خواهند آنتی‌مشتق‌ها و ادغام را درک کنند، کمک کند.

در بیشتر مواد اولیهموضوع یافتن مشتق مورد توجه قرار گرفت و کاربردهای مختلف آن نشان داده شد: محاسبه ضریب زاویه ای مماس بر یک نمودار، حل مسائل بهینه سازی، مطالعه توابع برای یکنواختی و اکسترم. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$

تصویر 1.

مشکل یافتن سرعت لحظه ای $v(t)$ با استفاده از مشتق در طول مسیری که قبلاً شناخته شده بود، که با تابع $s(t)$ بیان شده بود نیز در نظر گرفته شد.

شکل 2.

مشکل معکوس نیز بسیار رایج است، زمانی که شما باید مسیر $s(t)$ را که توسط یک نقطه در زمان $t$ طی شده است، با دانستن سرعت نقطه $v(t)$ پیدا کنید. اگر به خاطر بیاوریم، سرعت لحظه ای $v(t)$ به عنوان مشتق تابع مسیر $s(t)$ پیدا می شود: $v(t)=s’(t)$. یعنی برای حل مشکل معکوس، یعنی محاسبه مسیر، باید تابعی را پیدا کنید که مشتق آن برابر تابع سرعت باشد. اما می دانیم که مشتق مسیر سرعت است، یعنی: $s’(t) = v(t)$. سرعت برابر است با زمان شتاب: $v=at$. به راحتی می توان تعیین کرد که تابع مسیر مورد نظر به شکل: $s(t) = \frac(at^2)(2)$ باشد. اما این یک راه حل کاملاً کامل نیست. راه حل کاملاین شکل را خواهد داشت: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$، که $C$ مقداری ثابت است. چرا این چنین است بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت. در حال حاضر، بیایید صحت راه حل پیدا شده را بررسی کنیم: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

شایان ذکر است که یافتن مسیر بر اساس سرعت، معنای فیزیکی یک پاد مشتق است.

تابع حاصل $s(t)$ ضد مشتق تابع $v(t)$ نامیده می شود. بسیار جالب و نام غیر معمول، مگه نه. حاوی معانی زیادی است که ماهیت را توضیح می دهد این مفهومو به درک آن می انجامد. متوجه خواهید شد که شامل دو کلمه "اول" و "تصویر" است. خودشان حرف می زنند. یعنی این همان تابعی است که برای مشتقی که داریم، اولیه است. و با استفاده از این مشتق به دنبال تابعی هستیم که در ابتدا، "first"، "first image" بود، یعنی ضد مشتق. گاهی اوقات به آن تابع اولیه یا ضد مشتق نیز می گویند.

همانطور که می دانیم، فرآیند یافتن مشتق، تمایز نامیده می شود. و فرآیند یافتن پاد مشتق را ادغام می نامند. عملیات ادغام معکوس عملیات تمایز است. عکس آن نیز صادق است.

تعریف.یک ضد مشتق برای یک تابع $f(x)$ در یک بازه معین، یک تابع $F(x)$ است که مشتق آن برابر با این تابع $f(x)$ برای همه $x$ از بازه مشخص شده است: $F' (x)=f (x)$.

ممکن است کسی سوالی داشته باشد: اگر در ابتدا در مورد $s(t)$ و $v(t)$ صحبت می‌کردیم، $F(x)$ و $f(x)$ از کجا آمده‌اند. واقعیت این است که $s(t)$ و $v(t)$ موارد خاصی از تعیین تابع هستند که در این مورد معنای خاصی دارند، یعنی به ترتیب تابع زمان و تابع سرعت هستند. در مورد متغیر $t$ هم همینطور است - نشان دهنده زمان است. و $f$ و $x$ به ترتیب نوع سنتی تعیین کلی یک تابع و یک متغیر هستند. ارزش پرداخت را دارد توجه ویژهبه تعیین ضد مشتق $F(x)$. اول از همه، دلار F$ سرمایه است. ضد مشتقات تعیین شده است با حروف بزرگ. در مرحله دوم، حروف یکسان هستند: $F$ و $f$. یعنی برای تابع $g(x)$ ضد مشتق با $G(x)$ و برای $z(x)$ با $Z(x)$ نشان داده می شود. صرف نظر از نمادگذاری، قوانین برای یافتن یک تابع ضد مشتق همیشه یکسان است.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1.ثابت کنید که تابع $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ پاد مشتق تابع $f(x)=\cos5x$ است.

برای اثبات این موضوع از تعریف یا بهتر بگوییم این واقعیت که $F'(x)=f(x)$ استفاده می کنیم و مشتق تابع $F(x)$ را پیدا می کنیم: $F'(x)=( \frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. این بدان معناست که $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ ضد مشتق $f(x)=\cos5x$ است. Q.E.D.

مثال 2.پیدا کنید کدام توابع با ضد مشتقات زیر مطابقت دارند: a) $F(z)=\tg z$; ب) $G(l) = \sin l$.

برای یافتن توابع مورد نیاز، مشتقات آنها را محاسبه می کنیم:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ب) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

مثال 3.ضد مشتق برای $f(x)=0$ چه خواهد بود؟
بیایید از تعریف استفاده کنیم. بیایید فکر کنیم که کدام تابع می تواند مشتق برابر $0$ داشته باشد. با یادآوری جدول مشتقات، متوجه می‌شویم که هر ثابتی چنین مشتقی خواهد داشت. دریافتیم که ضد مشتق مورد نظر ما این است: $F(x)=C$.

راه حل به دست آمده را می توان به صورت هندسی و فیزیکی توضیح داد. از نظر هندسی، به این معنی است که مماس بر نمودار $y=F(x)$ در هر نقطه از این نمودار افقی است و بنابراین با محور $Ox$ منطبق است. از نظر فیزیکی با این واقعیت توضیح داده می شود که یک نقطه دارای سرعت است برابر با صفر، در جای خود باقی می ماند، یعنی مسیری که طی کرده بدون تغییر است. بر این اساس می توانیم قضیه زیر را فرموله کنیم.

قضیه. (نشانه ثبات توابع). اگر در بازه‌ای $F'(x) = 0$ باشد، تابع $F(x)$ در این بازه ثابت است.

مثال 4.تعیین کنید کدام توابع ضد مشتقات a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ هستند. ب) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ج) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; د) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$، که $a$ مقداری است.
با استفاده از تعریف ضد مشتق، نتیجه می گیریم که برای حل این مشکل باید مشتقات داده هایی را که در اصل داریم محاسبه کنیم. توابع مختلف. هنگام محاسبه، به یاد داشته باشید که مشتق یک ثابت، یعنی هر عددی، برابر با صفر است.
الف) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ب) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
ج) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
د) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

ما چه می بینیم؟ چندین توابع مختلف ابتدایی یک تابع هستند. این نشان می‌دهد که هر تابعی دارای بی‌نهایت پاد مشتق‌ها است، و آنها به شکل $F(x) + C$ هستند که $C$ یک ثابت دلخواه است. یعنی عملیات ادغام بر خلاف عملیات تمایز چند ارزشی است. بر این اساس، اجازه دهید قضیه ای را فرموله کنیم که ویژگی اصلی ضد مشتقات را توصیف می کند.

قضیه. (خاصیت اصلی ضد مشتقات). اجازه دهید توابع $F_1$ و $F_2$ ضد مشتقات تابع $f(x)$ در یک بازه زمانی باشند. سپس برای همه مقادیر از این بازه برابری زیر صادق است: $F_2=F_1+C$ که $C$ مقداری ثابت است.

واقعیت وجود تعداد نامتناهی از ضد مشتقات را می توان به صورت هندسی تفسیر کرد. با استفاده از ترجمه موازی در امتداد محور $Oy$، می توان نمودارهای هر دو ضد مشتق را برای $f(x)$ از یکدیگر بدست آورد. این معنای هندسی ضد مشتق است.

توجه به این نکته بسیار مهم است که با انتخاب ثابت $C$ می توانید اطمینان حاصل کنید که نمودار ضد مشتق از نقطه خاصی عبور می کند.

شکل 3.

مثال 5.پاد مشتق تابع $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ را پیدا کنید که نمودار آن از نقطه $(3; 1)$ می گذرد.
بیایید ابتدا همه ضد مشتقات را برای $f(x)$ پیدا کنیم: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
سپس یک عدد C پیدا می کنیم که نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ از نقطه $(3; 1)$ عبور می کند. برای انجام این کار، مختصات نقطه را در معادله نمودار جایگزین می کنیم و آن را با $C$ حل می کنیم:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
ما یک نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ به دست آوردیم که با ضد مشتق $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ مطابقت دارد.

جدول آنتی مشتقات

جدولی از فرمول ها برای یافتن مشتقات ضد مشتقات را می توان با استفاده از فرمول های یافتن مشتقات گردآوری کرد.

جدول آنتی مشتقات

کارکرد	ضد مشتقات
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n، n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x، a>0، a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

شما می توانید صحت جدول را به روش زیر بررسی کنید: برای هر مجموعه از آنتی مشتق ها که در ستون سمت راست قرار دارند، مشتق را پیدا کنید که منجر به توابع مربوطه در ستون سمت چپ می شود.

برخی از قوانین برای یافتن ضد مشتقات

همانطور که مشخص است، بسیاری از توابع شکل پیچیده تری نسبت به موارد نشان داده شده در جدول ضد مشتقات دارند و می توانند هر ترکیب دلخواه از مجموع و حاصلضرب توابع از این جدول باشند. و در اینجا این سوال مطرح می شود: چگونه می توان آنتی مشتق ها را محاسبه کرد توابع مشابه. برای مثال، از جدول می‌دانیم که چگونه ضد مشتق‌های $x^3$، $\sin x$ و $10$ را محاسبه کنیم. برای مثال، چگونه می توان ضد مشتق $x^3-10\sin x$ را محاسبه کرد؟ با نگاهی به آینده، شایان ذکر است که برابر با $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ خواهد بود.
1. اگر $F(x)$ ضد مشتق برای $f(x)$، $G(x)$ برای $g(x)$ باشد، پس برای $f(x)+g(x)$ ضد مشتق خواهد بود. برابر با F(x)+G(x)$.
2. اگر $F(x)$ یک پاد مشتق برای $f(x)$ و $a$ یک ثابت باشد، آنگاه برای $af(x)$ ضد مشتق $aF(x)$ است.
3. اگر برای $f(x)$ پاد مشتق $F(x)$ باشد، $a$ و $b$ ثابت هستند، آنگاه $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ضد مشتق است. برای $f (ax+b)$.
با استفاده از قوانین به دست آمده می توانیم جدول ضد مشتقات را گسترش دهیم.

کارکرد	ضد مشتقات
$(ax+b)^n، n\ne1، a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

مثال 5.آنتی مشتق ها را پیدا کنید:

الف) $\displaystyle 4x^3+10x^7$؛

ب) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

ج) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

د) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

ب) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

ج) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

د) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

درس جبر مدرسه شامل ادغام و تمایز است. برای مطالعه این مطالب شما نیاز دارید جداول مشتقات و انتگرال ها. برای درک نحوه استفاده از آنها، باید اصطلاحات اساسی را تعریف کنید.

مشتق f(x) - مشخصه شدت تغییر در تابع ضد مشتق F(x) در هر نقطه از نمودار. نسبت محدود کننده افزایش های یک تابع و آرگومان آن را بیان می کند که به سمت صفر میل می کند. اگر تابعی در هر نقطه مشتق متناهی داشته باشد، قابل تمایز است. محاسبه مشتق تمایز است.

انتگرال∫ معکوس مشتق است که اندازه مساحت قسمت معینی از نمودار را بیان می کند. فرآیند ادغام یافتن تابع ضد مشتق است.

یک تابع می تواند چندین ضد مشتق داشته باشد. به عنوان مثال، x^2. ضد مشتقات اصلی برای آن x^3/3 هستند. x^3/3+1. رقم آخر با حرف C نشان داده می شود و فرمول آن به صورت زیر است:

اگر C یک مقدار دلخواه را نشان دهد، انتگرال نامعین است، اگر خاص باشد، معین است.

جداول توابع مشتق و جداول انتگرالبه شما کمک می کند تا به سرعت و به درستی با وظایف پیچیده ریاضی کنار بیایید. آنها متداول ترین مقادیر مورد استفاده را شامل می شوند، بنابراین دانش آموزان مجبور نیستند فرمول های زیادی را به خاطر بسپارند.

جدول توابع مشتق

به مواد لازمهمیشه در دسترس بودند، می توانید جدولی از فرمول های مشتق را دانلود کنید . این شامل فرمول هایی برای محاسبه مشتقات توابع ابتدایی اساسی است:

• مثلثاتی;
• لگاریتمی؛
• آرام بخش
• نمایی

علاوه بر این، یک ویژه وجود دارد جدول مشتقات توابع پیچیده. همچنین حاوی فرمول هایی برای حاصل ضرب توابع، مجموع و ضریب آنهاست.

جدول انتگرال های نامعین و معین

برای تکمیل سریع و صحیح وظایف یکپارچه سازی، می توانید دانلود جداول انتگرال هاکه شامل تمامی فرمول های پرکاربرد می باشد. آنها از دو ستون تشکیل شده اند: ستون اول شامل فرمول های ریاضی، دوم توضیحات نوشته شده است.

جداول شامل انتگرال های اساسیتوابع زیر:

• گویا؛
• نمایی;
• لگاریتمی؛
• غیر منطقی
• مثلثاتی;
• هذلولی

علاوه بر این می توانید جدول را دانلود کنید انتگرال های نامعین.

ورق های تقلب با جداول انتگرال ها و مشتقات

بسیاری از معلمان از دانش آموزان می خواهند که فرمول های پیچیده را حفظ کنند. ساده ترین راه برای حفظ کردن، تمرین مداوم است و برای اطمینان از اینکه مواد لازم در دسترس هستند، باید آنها را چاپ کنید.

ورق تقلب با جداول مشتقو انتگرال ها به شما کمک می کنند تا به سرعت تمام فرمول های لازم را به خاطر بسپارید و امتحانات را با موفقیت پشت سر بگذارید. برای جمع و جور کردن و استفاده آسان، باید فرمت A5 را انتخاب کنید - نصف ورق معمولی.