انتگرال هایی که ریشه در مخرج دارند. ماشین حساب آنلاین: محاسبه انتگرال نامعین (ضد مشتق)

پیش از این، برای یک تابع معین، که توسط فرمول ها و قوانین مختلف هدایت می شد، مشتق آن را پیدا کردیم. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی سرعت هر فرآیند) است. شیب مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.

اما در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت از یک سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این وظایف را در نظر بگیریم.

مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت حرکت آن در زمان t با فرمول v = gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s (t) قانون مورد نیاز حرکت باشد. مشخص است که s "(t) = v (t). بنابراین برای حل مسئله باید تابع s = s (t) را انتخاب کرد که مشتق آن برابر با gt است. به راحتی می توان حدس زد که \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). در واقع
\ (s "(t) = \ چپ (\ frac (gt ^ 2) (2) \ right)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
پاسخ: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)

فوراً توجه داشته باشید که مثال به درستی اما ناقص حل شده است. ما \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجا که \ (\ چپ (\ فرک (gt ^ 2) (2) + C \ راست) "= gt \)

برای قطعی‌تر کردن مشکل، باید وضعیت اولیه را برطرف می‌کردیم: مختصات یک نقطه متحرک را در یک لحظه از زمان نشان دهید، به عنوان مثال، در t = 0. اگر، مثلا، s (0) = s 0، پس از برابری s (t) = (gt 2) / 2 + C را به دست می آوریم: s (0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور یکتا تعیین می شود: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.

در ریاضیات، به عملیات معکوس متقابل نام های مختلفی داده می شود، به عنوان مثال: مربع (x 2) و ریشه مربع (\ (\ sqrt (x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin) x) و غیره فرآیند یافتن مشتق با توجه به یک تابع معین نامیده می شود تفکیکو عمل معکوس، یعنی فرآیند یافتن تابع از یک مشتق معین، یکپارچه سازی.

خود اصطلاح "مشتق" را می توان "در زندگی روزمره" توجیه کرد: تابع y = f (x) یک تابع جدید y "= f" (x) "تولید می کند". تابع y = f (x) به عنوان یک "والد" عمل می کند، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی نامند، آنها می گویند که در رابطه با تابع y "= f" است. (x)، تصویر اولیه یا ضد مشتق.

تعریف.تابع y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) در بازه X نامیده می شود اگر برای \ (x \ در X \) برابری F "(x) = f (x)

در عمل، بازه X معمولاً نشان داده نمی شود، بلکه ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تابع).

در اینجا چند نمونه آورده شده است.
1) تابع y \ u003d x 2 ضد مشتق برای تابع y \ u003d 2x است، زیرا برای هر x برابری (x 2) "= 2x
2) تابع y \ u003d x 3 ضد مشتق برای تابع y \ u003d 3x 2 است، زیرا برای هر x برابری (x 3) "\ u003d 3x 2
3) تابع y = sin (x) ضد مشتق برای تابع y = cos (x) است، زیرا برای هر x برابری (sin (x)) "= cos (x)

هنگام یافتن ضد مشتقات، مانند مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین محاسبه مشتق مربوطه مرتبط هستند.

می دانیم که مشتق جمع برابر است با مجموع مشتقات. این قانون باعث ایجاد قاعده مربوطه برای یافتن ضد مشتقات می شود.

قانون 1.ضد مشتق جمع برابر است با جمع ضد مشتق.

می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون باعث ایجاد قاعده مربوطه برای یافتن ضد مشتقات می شود.

قانون 2.اگر F (x) پاد مشتق برای f (x) باشد، kF (x) ضد مشتق برای kf (x) است.

قضیه 1.اگر y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y = f (kx + m) تابع \ (y = \ frac (1) (k) F است. (kx + m) \)

قضیه 2.اگر y = F (x) پاد مشتق برای تابع y = f (x) در بازه X باشد، تابع y = f (x) دارای بی نهایت پاد مشتق است و همه آنها به شکل y = F (x) هستند. + سی.

روش های یکپارچه سازی

روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

روش ادغام با جایگزینی شامل معرفی یک متغیر جدید ادغام (یعنی جایگزینی) است. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. هیچ روش کلی برای تطبیق تعویض ها وجود ندارد. توانایی تشخیص صحیح جایگزینی با تمرین به دست می آید.
اجازه دهید محاسبه انتگرال \ (\ textstyle \ int F (x) dx \) لازم باشد. بیایید جایگزین \ (x = \ varphi (t) \) را انجام دهیم که \ (\ varphi (t) \) یک تابع با مشتق پیوسته است.
سپس \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) و بر اساس خاصیت تغییرناپذیری فرمول انتگرال برای انتگرال نامعین، فرمول ادغام را با جایگزینی بدست می آوریم:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)

ادغام عباراتی مانند \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)

اگر m فرد باشد، m> 0، بهتر است sin x = t را جایگزین کنید.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.

ادغام قطعه قطعه

یکپارچه سازی توسط قطعات - استفاده از فرمول زیر برای یکپارچه سازی:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
یا:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)

جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ متن (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ متن (arctg) x + C $$ $$ \ int \ متن (ch) x dx = \ متن (sh) x + C $$$ \ int \ متن (sh) x dx = \ متن (ch) ) x + C $$

کلاس توابع غیرمنطقی بسیار گسترده است، بنابراین به سادگی نمی توان یک راه جهانی برای ادغام آنها وجود داشت. در این مقاله سعی خواهیم کرد مشخصه ترین انواع توابع انتگرال غیر منطقی را برجسته کرده و آنها را با روش انتگرال گیری مطابقت دهیم.

مواقعی وجود دارد که استفاده از روش جمع بندی علامت دیفرانسیل مناسب است. به عنوان مثال، هنگام یافتن انتگرال های نامعین شکل، کجا پکسری منطقی است.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید .

راه حل.

دیدن آن کار سختی نیست. بنابراین، ما زیر علامت دیفرانسیل آورده و از جدول ضد مشتقات استفاده می کنیم:

پاسخ:

.

13. جایگزینی خطی کسری

انتگرال هایی از نوع که در آن a، b، c، d اعداد حقیقی هستند، a، b، ...، d، g اعداد طبیعی هستند، با جایگزینی به انتگرال های یک تابع گویا کاهش می یابند که در آن K کمترین مضرب مشترک از مخرج کسرها

در واقع، جایگزینی دلالت بر این دارد که و

یعنی x و dx بر حسب توابع گویا t بیان می شوند. علاوه بر این، هر توان کسری بر حسب تابع گویا t بیان می شود.

مثال 33.4... انتگرال را پیدا کنید

حل: کمترین مضرب مشترک مخرج های 2/3 و 1/2 6 است.

بنابراین، x + 2 = t 6، x = t 6 -2، dx = 6t 5 dt قرار می دهیم، بنابراین،

مثال 33.5.یک جایگزین برای یافتن انتگرال ها مشخص کنید:

راه حل: برای I 1 جایگزینی x = t 2، برای I 2 جایگزینی

14. جایگزینی مثلثاتی

انتگرال از نوع به انتگرال توابعی کاهش می یابد که به طور منطقی به توابع مثلثاتی با استفاده از جانشینی های مثلثاتی زیر بستگی دارند: x = یک سینت برای انتگرال اول. x = tgt برای انتگرال دوم؛ برای انتگرال سوم.

مثال 33.6.انتگرال را پیدا کنید

راه حل: x = 2 sin t، dx = 2 cos tdt، t = arcsin x / 2 قرار دهید. سپس

در اینجا انتگرال یک تابع گویا با توجه به x و است با انتخاب یک مربع کامل در زیر رادیکال و انجام یک جایگزین، انتگرال های نوع نشان داده شده به انتگرال هایی از نوع در نظر گرفته شده از قبل، یعنی به انتگرال های نوع کاهش می یابد. این انتگرال ها را می توان با استفاده از جانشینی های مثلثاتی مناسب محاسبه کرد.

مثال 33.7.انتگرال را پیدا کنید

راه حل: از آنجایی که x 2 + 2x-4 = (x + 1) 2 -5، سپس x + 1 = t، x = t-1، dx = dt. بنابراین ما گذاشتیم

نکته: انتگرال نوع پیدا کردن با استفاده از جایگزینی x = 1 / t مفید است.

15. انتگرال معین

اجازه دهید تابع روی یک قطعه داده شود و یک پاد مشتق روی آن باشد. تفاوت نامیده می شود انتگرال معین توابع در امتداد بخش و نشان می دهد. بنابراین،

سپس تفاوت در فرم نوشته شده است ... اعداد هستند محدودیت های ادغام .

به عنوان مثال، یکی از ضد مشتقات یک تابع. بنابراین

16 . اگر c یک عدد ثابت است و تابع (x) قابل انتگرال است، پس

یعنی عامل ثابت c را می توان خارج از علامت یک انتگرال معین گرفت.

▼ بیایید مجموع انتگرال تابع را با ƒ (x) بسازیم. ما داریم:

سپس از این نتیجه می شود که تابع c (x) در [a; b] و فرمول (38.1) معتبر است

2. اگر توابع ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) در [a; b] انتگرال پذیر باشند، در [a; ب] مجموع آنها u

یعنی انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها.

▼
▲

خاصیت 2 به مجموع هر تعداد متناهی عبارت گسترش می یابد.

3.

این ویژگی را می توان با تعریف برداشت. این ویژگی با فرمول نیوتن-لایبنیتس نیز تایید می شود.

4. اگر تابع (x) در [a; ب] و الف< с < b, то

یعنی انتگرال کل بخش برابر است با مجموع انتگرال های قسمت های این قطعه. این خاصیت افزودنی بودن یک انتگرال معین (یا خاصیت افزایشی) نامیده می شود.

هنگام تقسیم پاره [a; b] به قطعات، نقطه c را در تعداد نقاط تقسیم قرار می دهیم (این کار را می توان انجام داد زیرا حد مجموع انتگرال مستقل از روش تقسیم قطعه [a; b] به قطعات است. ). اگر c = x m، مجموع انتگرال را می توان به دو مجموع تقسیم کرد:

هر یک از جمع های نوشته شده به ترتیب برای بخش های [a; b]، [a; s] و [s; ب]. با عبور از حد در آخرین برابری به صورت n → ∞ (λ → 0)، برابری (38.3) را به دست می آوریم.

خاصیت 4 برای هر ترتیب نقاط a، b، c معتبر است (فرض می کنیم که تابع ƒ (x) در بزرگترین بازه های حاصل قابل ادغام است).

بنابراین، برای مثال، اگر a< b < с, то

(از خواص 4 و 3 استفاده می شود).

5. «قضیه میانگین». اگر تابع ƒ (x) روی پاره [a; b]، سپس یک c نازک є [a; ب] طوری که

▼ با فرمول نیوتن-لایبنیتس، داریم

که در آن F "(x) = ƒ (x). با اعمال تفاوت F (b) -F (a) قضیه لاگرانژ (قضیه افزایش متناهی یک تابع)، به دست می آوریم.

F (b) -F (a) = F "(c) (b-a) = ƒ (c) (b-a). ▲

خاصیت 5 ("قضیه مقدار متوسط") برای ƒ (x) ≥ 0 یک معنای هندسی ساده دارد: مقدار انتگرال معین برای برخی c є (a; b) مساحت یک مستطیل با ارتفاع ƒ است. (ج) و پایه b-a (نگاه کنید به شکل 170). عدد

مقدار میانگین تابع ƒ (x) در قطعه [a; ب].

6. اگر تابع ƒ (x) علامت خود را در قطعه [a; b]، جایی که a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ با «قضیه مقدار میانگین» (ویژگی 5)

جایی که c є [a; ب]. و از آنجایی که ƒ (x) ≥ 0 برای همه x Î [a; ب]، سپس

ƒ (c) ≥0، b-a> 0.

بنابراین، ƒ (c) (b-a) ≥ 0، یعنی. ▲

7. نابرابری بین توابع پیوسته در بازه [a; ب]، (الف

▼ از آنجایی که ƒ 2 (x) -ƒ 1 (x) ≥0، سپس برای a< b, согласно свойству 6, имеем

یا با توجه به خاصیت 2

توجه داشته باشید که افتراق نابرابری ها غیرممکن است.

8. برآورد انتگرال. اگر m و M به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع y = ƒ (x) در بخش [a; ب]، (الف< b), то

▼ از آنجایی که برای هر x є [a; b] m≤ƒ (x) ≤М داریم، پس با توجه به خاصیت 7، داریم

با اعمال ویژگی 5 به انتگرال های شدید، به دست می آوریم

▲

اگر ƒ (x) ≥0 باشد، ویژگی 8 به صورت هندسی نشان داده شده است: مساحت یک ذوزنقه منحنی بین مساحت مستطیل ها محصور شده است که قاعده آن ها است و ارتفاع آن برابر با m و M است (شکل 2 را ببینید). 171).

9. مدول یک انتگرال معین از انتگرال مدول انتگرال تجاوز نمی کند:

▼ با اعمال ویژگی 7 به نابرابری های آشکار - | ƒ (x) | ≤ƒ (x) ≤ | ƒ (x) |، به دست می آوریم

از این رو نتیجه می شود که

▲

10. مشتق انتگرال معین نسبت به حد بالایی متغیر برابر است با انتگرالی که در آن متغیر انتگرال با این حد جایگزین می شود، یعنی:

محاسبه مساحت یک شکل یکی از دشوارترین مسائل در تئوری مساحت هاست. در درس هندسه مدرسه یاد گرفتیم که چگونه مساحت اشکال هندسی اولیه مثلا دایره، مثلث، لوزی و ... را پیدا کنیم. با این حال، اغلب شما باید با محاسبه مساحت اشکال پیچیده‌تر سر و کار داشته باشید. هنگام حل چنین مسائلی، باید به حساب انتگرال متوسل شد.

در این مقاله، مسئله محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی را در نظر می گیریم و از لحاظ هندسی به آن می پردازیم. این به ما امکان می دهد تا رابطه مستقیم بین یک انتگرال معین و مساحت یک ذوزنقه منحنی را دریابیم.

تعریف 1

مجموعه ای از تمام پاد مشتق های یک تابع معین $ y = f (x) $، که در یک بازه زمانی مشخص تعریف شده اند، یک انتگرال نامعین از یک تابع معین $ y = f (x) $ نامیده می شود. انتگرال نامعین با نماد $ \ int f (x) dx $ نشان داده می شود.

اظهار نظر

تعریف 2 را می توان به صورت زیر نوشت:

\ [\ int f (x) dx = F (x) + C. \]

هر تابع غیر منطقی نمی تواند انتگرال را بر حسب توابع ابتدایی بیان کند. با این حال، بسیاری از این انتگرال ها را می توان با جایگزینی به انتگرال توابع گویا کاهش داد، که می تواند بر حسب توابع ابتدایی بیان شود.

$ \ int R \ چپ (x، x ^ (m / n)، ...، x ^ (r / s) \ سمت راست) dx $;

$ \ int R \ چپ (x, \ چپ (\ frac (ax + b) (cx + d) \ right) ^ (m / n), ..., \ چپ (\ frac (ax + b) (cx + د) \ راست) ^ (r / s) \ راست) dx $;

$ \ int R \ چپ (x, \ sqrt (ax ^ (2) + bx + c) \ سمت راست) dx $.

من

هنگام پیدا کردن یک انتگرال از فرم $ \ int R \ چپ (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (r / s) \ right) dx $ ، باید جایگزین زیر را انجام دهید:

با این جایگزینی، هر توان کسری $ x $ بر حسب توان عدد صحیح $ t $ بیان می شود. در نتیجه، انتگرال به یک تابع منطقی از متغیر $ t $ تبدیل می شود.

مثال 1

ادغام:

\ [\ int \ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1). \]

راه حل:

$ k = 4 $ مخرج مشترک کسرهای $ \ frac (1) (2), \, \, \ frac (3) (4) $ است.

\ \ [\ شروع (آرایه) (l) (\ int \ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) = 4 \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \ cdot t ^ (3) dt = 4 \ int \ frac (t ^ (5)) (t ^ (3) +1) dt = 4 \ int \ چپ (t ^ ( 2) - \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \ سمت راست) dt = 4 \ int t ^ (2) dt -4 \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) dt = \ frac (4) (3) \ cdot t ^ (3) -) \\ (- \ frac (4) (3) \ cdot \ ln | t ^ (3) +1 | + ج) \ پایان (آرایه) \]

\ [\ int \ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) = \ frac (4) (3) \ cdot \ چپ + C \]

II

هنگام پیدا کردن یک انتگرال از شکل $ \ int R \ چپ (x, \ چپ (\ frac (ax + b) (cx + d) \ right) ^ (m / n)، ...، \ چپ (\ frac (ax + b) (cx + d) \ right) ^ (r / s) \ right) dx $ باید جایگزینی زیر انجام شود:

که $ k $ مخرج مشترک کسری $ \ frac (m) (n)، ...، \ frac (r) (s) $ است.

در نتیجه این جایگزینی، انتگرال به یک تابع منطقی از متغیر $ t $ تبدیل می شود.

مثال 2

ادغام:

\ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx. \]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم:

\ \ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx = \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (2) -4) dt = 2 \ int \ چپ (1 + \ frac (4) (t ^ (2) -4) \ right) dt = 2 \ int dt +8 \ int \ frac (dt) (t ^ (2) -4) = 2t + 2 \ ln \ چپ | \ فراک (t-2) (t + 2) \ سمت راست | + C \]

با انجام جایگزینی معکوس، نتیجه نهایی را می گیریم:

\ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx = 2 \ sqrt (x + 4) +2 \ ln \ چپ | \ frac (\ sqrt (x + 4) -2) (\ sqrt (x + 4) +2) \ سمت راست | + C. \]

III

هنگامی که انتگرالی از شکل $ \ int R \ left (x, \ sqrt (ax ^ (2) + bx + c) \ right) dx $ پیدا شد، به اصطلاح جایگزینی اویلر انجام می شود (یکی از سه جایگزینی ممکن استفاده می شود).

اولین تعویض اویلر

برای مورد $ a>

با گرفتن علامت "+" در مقابل $ \ sqrt (a) $، دریافت می کنیم

مثال 3

ادغام:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)). \]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم (مورد $ a = 1> 0 $):

\ [\ sqrt (x ^ (2) + c) = -x + t, \, \, x = \ frac (t ^ (2) -c) (2t), \, \, dx = \ frac (t ^ (2) + c) (2t ^ (2)) dt, \, \, \ sqrt (x ^ (2) + c) = - \ frac (t ^ (2) -c) (2t) + t = \ frac (t ^ (2) + c) (2t). \] \ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)) = \ int \ frac (\ frac (t ^ (2) + ج) (2t ^ (2)) dt) (\ frac (t ^ (2) + c) (2t)) = \ int \ frac (dt) (t) = \ ln | t | + C \]

با انجام جایگزینی معکوس، نتیجه نهایی را می گیریم:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)) = \ ln | \ sqrt (x ^ (2) + c) + x | + C. \]

دومین تعویض اویلر

برای مورد $ c> 0 $، باید جایگزین زیر را انجام دهید:

با گرفتن علامت "+" در مقابل $ \ sqrt (c) $، دریافت می کنیم

مثال 4

ادغام:

\ [\ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx . \]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم:

\ [\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) = xt + 1. \]

\ \ [\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) = xt + 1 = \ فراک (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) \] \

$ \ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx = \ int \ frac ((- 2t ^ (2) + t) ^ (2) (1-t) ^ (2) (1-t ^ (2)) (2t ^ (2) -2t + 2)) ( (1-t ^ (2)) ^ (2) (2t-1) ^ (2) (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) ^ (2)) dt = \ int \ frac (t ^ (2)) (1-t ^ (2)) dt = -2t + \ ln \ چپ | \ frac (1 + t) (1-t) \ راست | + C $ نتیجه نهایی:

\ [\ شروع (آرایه) (l) (\ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx = -2 \ cdot \ frac (\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) + \ ln \ چپ | \ frac (x + \ sqrt ( 1 + x + x ^ (2)) -1) (x- \ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1) \ سمت راست | + C = -2 \ cdot \ frac (\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) +) \\ (+ \ ln \ چپ | 2x + 2 \ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1 \ راست | + C) \ پایان (آرایه) \]

سومین تعویض اویلر

انتگرال هایی را با ریشه تابع کسری خطی در نظر بگیرید:
(1) ,
که در آن R یک تابع منطقی از آرگومان های آن است. یعنی تابعی متشکل از آرگومان ها و ثابت های دلخواه خود با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع (تفریق)، ضرب و تقسیم (بالا بردن به یک توان صحیح).

نمونه هایی از انتگرال های در نظر گرفته شده با غیر منطقی کسری خطی

بیایید مثال هایی از انتگرال ها را با ریشه های فرم بیاوریم (1) .

مثال 1

اگرچه ریشه های درجات مختلف در اینجا تحت علامت انتگرال گنجانده شده است، انتگرال را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:
;
;
.

بنابراین، انتگرال از متغیر ادغام x و ریشه یک تابع خطی با استفاده از تعداد محدودی از عملیات تفریق، تقسیم و ضرب تشکیل شده است. بنابراین تابعی از x است و به نوع در نظر گرفته شده تعلق دارد (1) با مقادیر ثابت n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

مثال 2

در اینجا ما در حال انجام تبدیل هستیم:
.
از این رو واضح است که انتگرال تابعی از x و است. بنابراین به نوع مورد نظر تعلق دارد.

مثال کلی از غیر منطقی کسری خطی

در حالت کلی تر، انتگرال می تواند هر تعداد محدودی از ریشه های یک تابع کسری خطی را شامل شود:
(2) ,
که در آن R تابعی منطقی از آرگومان های آن است،
- اعداد گویا،
متر 1، n 1، ...، m s، n s- تمام اعداد.
در واقع، اجازه دهید n مخرج مشترک اعداد r 1، ...، r s باشد. سپس آنها را می توان به صورت زیر نشان داد:
,
جایی که k 1، k 2، ...، k s- تمام اعداد. سپس همه در (2) ریشه ها قدرت های زیر هستند:
,
,
. . . . .
.

یعنی تمام انتگرال (2) از x و یک ریشه با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع، ضرب و تقسیم تشکیل شده است. بنابراین، تابع منطقی x است و:
.

روش ادغام ریشه

انتگرال با غیر منطقی کسری خطی
(1)
با جایگزینی به انتگرال یک تابع منطقی کاهش می یابد
(3) .

اثبات

ریشه n را از هر دو طرف استخراج کنید (3) :
.

ما متحول می شویم (3) :
;
;
.

مشتق را بیابید:

;
;
.
دیفرانسیل:
.

جایگزین در (1) :
.

از اینجا می توان دریافت که انتگرال از ثابت ها و متغیر انتگرال گیری t با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع (تفریق)، ضرب (بالا بردن به یک عدد صحیح) و تقسیم تشکیل شده است. بنابراین انتگرال تابعی منطقی از متغیر انتگرال گیری است. بنابراین، محاسبه انتگرال به ادغام یک تابع گویا کاهش یافت. Q.E.D.

نمونه ای از ادغام غیرعقلانی خطی

انتگرال را پیدا کنید:

راه حل

از آنجایی که انتگرال حاوی ریشه های تابع خطی یکسان (کسری) x + است 1 ، و انتگرال با استفاده از عملیات تفریق و تقسیم تشکیل می شود، سپس این انتگرال متعلق به نوع در نظر گرفته شده است.

انتگرال را طوری تبدیل می کنیم که ریشه های همان درجه در آن گنجانده شود:
;
;
.

انجام تعویض
x + 1 = t 6.
دیفرانسیل را می گیریم:
د (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
جایگزین می کنیم:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
تمام قسمت کسر را انتخاب کنید و توجه داشته باشید
تی 6 - 1 = (t - 1) (t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
سپس

.

پاسخ

,
جایی که .

مثالی از ادغام غیرمنطقی کسری خطی

انتگرال را پیدا کنید

راه حل

بیایید ریشه تابع خطی-کسری را انتخاب کنیم:
.
سپس
.
انجام تعویض
.
دیفرانسیل را می گیریم
.
مشتق را بیابید
.
سپس
.
علاوه بر این، توجه داشته باشید که
.
در انتگرال جایگزین کنید


.

پاسخ

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.