پیش از این، با توجه به یک تابع معین، با فرمول ها و قوانین مختلف، مشتق آن را پیدا کردیم. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید یک تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.
اما در کنار مشکل یافتن سرعت طبق قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت بر اساس سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.
مثال 1.یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت آن در زمان t با فرمول v=gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. مشخص است که s"(t) = v(t). این بدان معنی است که برای حل مشکل باید تابع s = s(t) را انتخاب کنید که مشتق آن برابر با gt است. حدس زدن آن دشوار نیست. که \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).در واقع
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \راست)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
پاسخ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
بیایید بلافاصله توجه کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجایی که \(\ چپ (\frac(gt^2)(2) +C \راست)" = gt \)
برای مشخص‌تر کردن مسئله، باید وضعیت اولیه را برطرف می‌کردیم: مختصات یک نقطه متحرک را در نقطه‌ای از زمان مشخص کنید، برای مثال در t = 0. اگر، مثلا، s(0) = s 0، آنگاه از برابری s(t) = (gt 2)/2 + C دریافت می کنیم: s(0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فردی تعریف شده است: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
در ریاضیات، به عملیات معکوس متقابل نام‌های مختلفی داده می‌شود، نمادهای خاصی اختراع می‌شوند، به عنوان مثال: مربع (x 2) و ریشه دوم (\(\sqrt(x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin x) و غیره فرآیند یافتن مشتق یک تابع داده شده نامیده می شود تفکیکو عمل معکوس، یعنی فرآیند یافتن تابع از یک مشتق معین، است ادغام.
خود اصطلاح «مشتق» را می‌توان «در شرایط روزمره» توجیه کرد: تابع y = f(x) به یک تابع جدید y» = f» (x) «به دنیا می‌آورد». تابع y = f(x) به‌عنوان «والد» عمل می‌کند، اما ریاضیدانان، به طور طبیعی، آن را «والد» یا «تولیدکننده» نمی‌نامند؛ آنها می‌گویند که در رابطه با تابع y"=f"( x) ، تصویر اولیه یا ابتدایی.
تعریف.تابع y = F(x) برای تابع y = f(x) در بازه X اگر برابری F"(x) = f(x) برای \(x \در X\) پاد مشتق نامیده می شود.
در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، اما ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تعریف تابع).
بیایید مثال بزنیم.
1) تابع y = x 2 برای تابع y = 2x پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 2)" = 2x درست است
2) تابع y = x 3 برای تابع y = 3x 2 ضد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (x 3)" = 3x 2 درست است
3) تابع y = sin(x) برای تابع y = cos(x) پاد مشتق است، زیرا برای هر x برابری (sin(x))" = cos(x) صادق است.
هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.
می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مشتقات آن. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 1.ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.
می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.
قانون 2.اگر F(x) یک پاد مشتق برای f(x) باشد، پس kF(x) یک پاد مشتق برای kf(x) است.
قضیه 1.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، آنگاه ضد مشتق برای تابع y = f(kx + m) تابع \(y=\frac(1)(k)F است. (kx+m) \)
قضیه 2.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد، تابع y = f(x) دارای بی نهایت پاد مشتق است و همه آنها به شکل y = F(x) هستند. + سی.
روش های یکپارچه سازی
روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)
روش ادغام با جایگزینی شامل معرفی یک متغیر ادغام جدید (یعنی جایگزینی) است. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. هیچ روش کلی برای انتخاب جایگزین وجود ندارد. توانایی تعیین صحیح جایگزینی از طریق تمرین به دست می آید.
اجازه دهید محاسبه انتگرال \(\textstyle \int F(x)dx \) ضروری باشد. بیایید جایگزین \(x= \varphi(t) \) را انجام دهیم که در آن \(\varphi(t) \) تابعی است که مشتق پیوسته دارد.
سپس \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) و بر اساس ویژگی عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی برای انتگرال نامعین، فرمول انتگرال را با جایگزینی بدست می آوریم:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
ادغام عبارات شکل \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
اگر m فرد باشد، m > 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی sin x = t را انجام دهیم.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.
یکپارچه سازی توسط قطعات
ادغام با قطعات - با استفاده از فرمول زیر برای یکپارچه سازی:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
یا:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x + C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$ادغام با جایگزینی (جایگزینی متغیر). فرض کنید باید انتگرالی را محاسبه کنید که جدولی نیست. ماهیت روش جایگزینی این است که در انتگرال، متغیر x با متغیر t مطابق فرمول x = q(t) جایگزین می شود، که از آن dx = q"(t)dt است.
قضیه. اجازه دهید تابع x=t(t) بر روی یک مجموعه خاص T تعریف و قابل تمایز باشد و اجازه دهید X مجموعه مقادیر این تابع باشد که تابع f(x) بر روی آن تعریف شده است. سپس اگر در مجموعه X تابع f(x) یک پاد مشتق داشته باشد، در مجموعه T فرمول معتبر است:
فرمول (1) تغییر فرمول متغیر در انتگرال نامعین نامیده می شود.
یکپارچه سازی توسط قطعات روش ادغام توسط قطعات از فرمول دیفرانسیل حاصلضرب دو تابع به دست می آید. فرض کنید u(x) و v(x) دو تابع متمایزپذیر از متغیر x باشند. سپس:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
با ادغام هر دو طرف برابری (3)، به دست می آوریم:
اما از آن زمان:
رابطه (4) را فرمول یکپارچه سازی قطعات می گویند. با استفاده از این فرمول، انتگرال را پیدا کنید. استفاده از آن زمانی توصیه می شود که انتگرال سمت راست فرمول (4) ساده تر از انتگرال اصلی محاسبه شود.
در فرمول (4) هیچ ثابت دلخواه C وجود ندارد، زیرا در سمت راست این فرمول یک انتگرال نامعین حاوی یک ثابت دلخواه وجود دارد.
ما برخی از انواع انتگرال‌هایی که اغلب با آنها مواجه می‌شوند را ارائه می‌کنیم که با روش ادغام توسط قطعات محاسبه می‌شوند.
I. انتگرال های شکل، (P n (x) چند جمله ای درجه n است، k عدد معینی است). برای یافتن این انتگرال ها کافی است u=P n (x) را تنظیم کنید و فرمول (4) n را اعمال کنید.
II. انتگرال های شکل، (Pn(x) چند جمله ای درجه n نسبت به x است). آنها را می توان با استفاده از فرکانس ها پیدا کرد، و برای u تابعی که ضریب P n (x) است، در نظر گرفت.
ادغام مستقیم
فرمول های ادغام اولیه
| 1. C - ثابت | 1*. | |
2.  ، n ≠ -1 | ||
| 3. +C | ||
4.  |  | |
5. |  | |
6.  |  | |
7.  |  | |
8.  |  | |
9.  |  | |
10.  |  |  |
11.  |  |  |
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  |
محاسبه انتگرال ها با استفاده مستقیم از جدول انتگرال های ساده و ویژگی های اساسی انتگرال های نامعین نامیده می شود. ادغام مستقیم.
مثال 1.
مثال 2.
مثال 3.
این رایج ترین روش ادغام یک تابع پیچیده است که شامل تبدیل انتگرال با انتقال به متغیر ادغام دیگری است.
اگر کاهش انتگرال به جدولی با استفاده از تبدیل های ابتدایی دشوار باشد، در این مورد از روش جایگزینی استفاده می شود. ماهیت این روش این است که با معرفی یک متغیر جدید می توان این انتگرال را به یک انتگرال جدید کاهش داد که گرفتن مستقیم آن نسبتاً آسان است.
برای ادغام با روش جایگزینی، از طرح راه حل استفاده کنید:
2) تفاوت را از هر دو قسمت جایگزین پیدا کنید.
3) کل انتگرال را از طریق یک متغیر جدید بیان کنید (پس از آن یک انتگرال جدولی باید به دست آید).
4) انتگرال جدول حاصل را بیابید.
5) تعویض معکوس را انجام دهید.
انتگرال ها را بیابید:
مثال 1 . تعویض:cosx=t،-sinxdx=dt،
راه حل:
مثال 2.∫e -x3 x 2 dx تعویض:-x 3 =t، -3x2 dx=dt، راه حل:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C
مثال 3.
تعویض: 1+sinx=t، cosxdx=dt،
راه حل: .
بخش 1.5. انتگرال معین، روش های محاسبه آن.
مورد 1 مفهوم انتگرال معین
وظیفه.افزایش تابعی را پیدا کنید که ضد مشتق یک تابع است f(x)، هنگام تصویب استدلال ایکساز ارزش آبها دادن ب.
راه حل. اجازه دهید فرض کنیم که ادغام پیدا کرده است: ∫ (x)dx = F(x)+C.
سپس F(x)+C 1، جایی که ج 1- هر عدد داده شده یکی از توابع ضد مشتق برای این تابع خواهد بود f(x). بیایید افزایش آن را زمانی که آرگومان از مقدار حرکت می کند، پیدا کنیم آبها دادن ب. ما گرفتیم:
x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)
همانطور که می بینیم، در بیان افزایش تابع ضد مشتق F(x)+C 1بدون مقدار ثابت ج 1. و از زیر ج 1هر عدد معینی در نظر گرفته شد، نتیجه به‌دست‌آمده منجر به نتیجه‌گیری زیر می‌شود: در مورد انتقال آرگومان ایکس از ارزش x=aبها دادن x=bهمه توابع F(x)+C، ضد مشتقات برای یک تابع معین f(x)، افزایش یکسانی برابر با F(b)-F(a).
این افزایش معمولاً انتگرال معین نامیده می شودو با نماد نشان داده می شود: و بخوانید: انتگرال از آقبل از باز تابع f(x) روی dх یا به طور خلاصه انتگرال از آقبل از باز f(x)dx.
عدد آتماس گرفت حد پایینادغام، تعداد ب - بالا; بخش a ≤ x ≤ b - بخش ادغامفرض بر این است که تابع انتگرال f(x)پیوسته برای همه مقادیر ایکسبا احراز شرایط: آ ایکس ب
تعریف. افزایش توابع ضد مشتق F(x)+Cدر مورد انتقال آرگومان ایکساز ارزش x=aبها دادن x=b، برابر با تفاوت است F(b)-F(a)، یک انتگرال معین نامیده می شود و با علامت نشان داده می شود: به طوری که اگر ∫ (x)dx = F(x)+C، سپس = F(b)-F(a) -داده شده برابری فرمول نیوتن لایب نیتس نامیده می شود.
مورد 2 ویژگی های اساسی انتگرال معین
همه خصوصیات در این گزاره فرمول بندی می شوند که توابع مورد بررسی در فواصل مربوطه قابل ادغام هستند.
مورد 3 محاسبه مستقیم انتگرال معین
برای محاسبه انتگرال معین، زمانی که می توانید انتگرال نامعین مربوطه را پیدا کنید، از فرمول نیوتن-لایب نیتس استفاده کنید.
آن ها انتگرال معین برابر است با تفاوت بین مقادیر هر تابع ضد مشتق در مرزهای بالا و پایین ادغام.
این فرمول روش محاسبه یک انتگرال معین را نشان می دهد:
1) انتگرال نامعین این تابع را پیدا کنید.
2) در ضد مشتق حاصل، ابتدا حد بالایی و سپس حد پایینی انتگرال را به جای آرگومان جایگزین کنید.
3) نتیجه جایگزینی حد پایین را از نتیجه جایگزینی حد بالایی کم کنید.
مثال 1: 
انتگرال را محاسبه کنید:
مثال 2:انتگرال را محاسبه کنید:
p.4 محاسبه یک انتگرال معین به روش جایگزینی
محاسبه انتگرال معین به روش جایگزینی به شرح زیر است:
1) بخشی از انتگرال را با یک متغیر جدید جایگزین کنید.
2) حدود جدید انتگرال معین را بیابید.
3) تفاوت را از هر دو قسمت جایگزین پیدا کنید.
4) کل انتگرال را از طریق یک متغیر جدید بیان کنید (پس از آن یک انتگرال جدولی باید به دست آید). 5) انتگرال معین حاصل را محاسبه کنید.
مثال 1:انتگرال را محاسبه کنید:
تعویض: 1+cosx=t،-sinxdx=dt، 
بخش 1.6. معنای هندسی یک انتگرال معین.
مساحت ذوزنقه منحنی:
مشخص است که یک انتگرال معین روی یک قطعه نشان دهنده مساحت ذوزنقه منحنی است که توسط نمودار تابع f(x) محدود شده است.
اگر معادلات این خطوط مشخص باشد، مساحت یک شکل محدود به خطوط معین را می‌توان با استفاده از انتگرال‌های خاصی پیدا کرد.
اجازه دهید در بخش [a; b] یک تابع پیوسته y = ƒ(x) ≥ 0 داده می شود. اجازه دهید مساحت این ذوزنقه را پیدا کنیم.
مساحت شکل محدود به محور 0 ایکس، دو خط مستقیم عمودی x = a، x = bو نمودار تابع y = ƒ(x) (شکل)، که با فرمول تعیین می شود:
این معنای هندسی انتگرال معین است.
مثال 1:
مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید: y=x2.+2، y=0، x= -2، x=1.
راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم (توجه داشته باشید که معادله y=0 محور Ox را تعریف می کند).
پاسخ: S = 9 واحد 2
مثال 2:
مساحت شکل محدود شده با خطوط: y= - e x، x=1 و محورهای مختصات را محاسبه کنید.
راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم.
اگر ذوزنقه منحنی کاملاً در زیر محور Ox قرار دارد، سپس مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
در این مورد: 
توجه! اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که منهای در فرمول مورد بحث ظاهر می شود.
بخش 1.7. کاربرد انتگرال معین
p.1 محاسبه حجم یک بدنه انقلاب
اگر یک ذوزنقه منحنی در مجاورت محور Ox باشد و خطوط مستقیم y=a، y=b و نمودار تابع باشد. y= F(x) (شکل 1)، سپس حجم بدنه چرخش با فرمولی حاوی یک انتگرال تعیین می شود.
حجم بدنه انقلاب برابر است با:
مثال:
حجم جسم محدود شده توسط سطح چرخش خط حول محور Ox در 0≤ x ≤4 را پیدا کنید.
راه حل: V
واحد 3. پاسخ: واحد 3.
بخش 3.1. معادلات دیفرانسیل معمولی
مورد 1 مفهوم معادله دیفرانسیل
تعریف. معادله دیفرانسیلمعادله ای است حاوی تابعی از مجموعه ای از متغیرها و مشتقات آنها.
شکل کلی چنین معادله ای 
=0، که در آن F یک تابع شناخته شده از آرگومان های آن است که در یک ناحیه ثابت مشخص شده است. x - متغیر مستقل (متغیری که توسط آن متمایز می شود)؛ y - متغیر وابسته (متغیری که مشتقات از آن گرفته می شود و متغیری که باید تعیین شود). - مشتق متغیر وابسته y نسبت به متغیر مستقل x.
مورد 2 مفاهیم اساسی معادله دیفرانسیل
به ترتیبیک معادله دیفرانسیل به ترتیب بالاترین مشتق موجود در آن گفته می شود.
مثلا:
یک معادله مرتبه دوم یک معادله مرتبه اول است.
هر تابعی که متغیرها را به هم متصل کند و معادله دیفرانسیل را به یک برابری واقعی تبدیل کند نامیده می شود تصمیم گیریمعادله دیفرانسیل.
راه حل کلییک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابع و یک ثابت دلخواه C است که این معادله را به یک هویت در تبدیل می کند.
راه حل کلی که به شکل ضمنی =0 نوشته شده است نامیده می شود انتگرال کلی
تصمیم خصوصیمعادله = 0 راه حلی است که از جواب کلی برای یک مقدار ثابت - یک عدد ثابت به دست می آید.
مسئله یافتن یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل مرتبه n (n= 1,2,3,...) که شرایط اولیه فرم را برآورده کند.
تماس گرفت مشکل کوشی
مورد 3 معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک
معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در صورتی معادله قابل تفکیک می نامند که بتوان آن را به صورت نمایش داد 
را می توان در فرم بازنویسی کرد 
. اگر 
. بیایید ادغام کنیم: 
.
برای حل یک معادله از این نوع شما نیاز دارید:
1. متغیرها را جدا کنید.
2. با ادغام معادله با متغیرهای جدا شده، جواب کلی این معادله را بیابید.
3. راه حل خاصی را پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند (در صورت ارائه).
مثال 1.معادله را حل کنید. راه حل خاصی را پیدا کنید که شرط y=4 را در x=-2 برآورده کند.
راه حل:این یک معادله متغیر جدا شده است. با ادغام، جواب کلی معادله را پیدا می کنیم: . برای به دست آوردن یک راه حل کلی ساده تر، عبارت ثابت سمت راست را به شکل C/2 نشان می دهیم. راه حل کلی داریم یا هست. با جایگزینی مقادیر y=4 و x=-2 به جواب کلی، 16=4+C را بدست می آوریم که از آن C=12 می شود.
بنابراین، راه حل خاصی از معادله که این شرط را برآورده می کند، شکل دارد
مثال 2.یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید اگر .
راه حل: 
, 
, 
, 
, 
, 
تصمیم مشترک
مقادیر x و y را با جواب خاص جایگزین می کنیم: , , 
راه حل خصوصی
مثال 3.جواب کلی معادله را پیدا کنید . راه حل: ،, 
, 
- تصمیم مشترک
مورد 4 معادلات دیفرانسیل از مرتبه بالاتر از اولی
معادله ای از شکل یا با ادغام مضاعف حل می شود: , , Wherece . با ادغام این تابع، تابع جدیدی از f(x) به دست می آوریم که آن را با F(x نشان می دهیم. بدین ترتیب، ؛ 
. بیایید دوباره ادغام کنیم: یا y=Ф(x). ما یک راه حل کلی برای معادله حاوی دو ثابت دلخواه و .
مثال 1.معادله را حل کنید.
راه حل:, 
, ,
مثال 2.معادله را حل کنید . راه حل: 
, , 
.
بخش 3.2. سری شماره، اعضای آن
تعریف 1.سری شمارهعبارتی از شکل ++…++… نامیده می شود، (1)
جایی که ، ، …، ، … - اعداد متعلق به یک سیستم عددی خاص
بنابراین، می توان در مورد سریال های واقعی صحبت کرد R،در مورد سریال های پیچیده که برای ج، من= 1, 2, …, n، ...
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین. فرمول تبدیل دیفرانسیل نمونه هایی از ادغام نمونه هایی از جانشینی های خطی
روش جایگزینی متغیر
از تغییرات متغیر می توان برای ارزیابی انتگرال های ساده و در برخی موارد برای ساده کردن محاسبه انتگرال های پیچیده تر استفاده کرد.
روش جایگزینی متغیر به این صورت است که از متغیر ادغام اصلی، اجازه دهید x باشد، به متغیر دیگری که با t نشان می‌دهیم، حرکت می‌کنیم. در این مورد، ما معتقدیم که متغیرهای x و t با یک رابطه x = x به هم مرتبط هستند (t)، یا t = t (ایکس). برای مثال x = ln t، x = سینت، t = 2 x + 1، و غیره. وظیفه ما انتخاب چنین رابطه ای بین x و t است که انتگرال اصلی یا به یک جدول کاهش یابد یا ساده تر شود.
فرمول اصلی جایگزینی متغیر
بیایید عبارتی را که در زیر علامت انتگرال قرار دارد در نظر بگیریم. از حاصل ضرب انتگرال تشکیل شده است که آن را با f نشان می دهیم (ایکس)و dx دیفرانسیل: . اجازه دهید با انتخاب یک رابطه x = x به متغیر t جدید برویم (t). سپس باید تابع f را بیان کنیم (ایکس)و دیفرانسیل dx از طریق متغیر t.
برای بیان تابع انتگرال f (ایکس)از طریق متغیر t، فقط باید رابطه انتخاب شده x = x را به جای متغیر x جایگزین کنید (t).
تبدیل دیفرانسیل به صورت زیر انجام می شود:
.
یعنی دیفرانسیل dx برابر حاصل ضرب مشتق x نسبت به t و دیفرانسیل dt است.
سپس
.
در عمل، رایج‌ترین حالت این است که با انتخاب یک متغیر جدید به عنوان تابعی از متغیر قدیمی، جایگزینی را انجام می‌دهیم: t = t. (ایکس). اگر حدس بزنیم که تابع انتگرال را می توان به صورت نمایش داد
,
کجا تی (ایکس)مشتق t نسبت به x است، پس
.
بنابراین، فرمول جایگزینی متغیر پایه را می توان به دو شکل ارائه کرد.
(1)
,
که در آن x تابعی از t است.
(2)
,
که در آن t تابعی از x است.
یادداشت مهم
در جداول انتگرال ها، متغیر انتگرال اغلب با x نشان داده می شود. با این حال، شایان ذکر است که متغیر ادغام را می توان با هر حرفی نشان داد. علاوه بر این، هر عبارتی را می توان به عنوان یک متغیر ادغام استفاده کرد.
به عنوان مثال جدول انتگرال را در نظر بگیرید
.
در اینجا x را می توان با هر متغیر یا تابع دیگری از یک متغیر جایگزین کرد. در اینجا نمونه هایی از گزینه های ممکن آورده شده است:
;
;
.
در آخرین مثال، باید در نظر داشته باشید که هنگام انتقال به متغیر یکپارچه سازی x، دیفرانسیل به صورت زیر تبدیل می شود:
.
سپس
.
این مثال ماهیت ادغام با جایگزینی را نشان می دهد. یعنی باید حدس بزنیم
.
پس از آن انتگرال به یک جدول کاهش می یابد.
.
شما می توانید این انتگرال را با استفاده از تغییر متغیر با استفاده از فرمول ارزیابی کنید (2)
. بیایید t = x را قرار دهیم 2+x. سپس
;
;
.
نمونه هایی از ادغام با تغییر متغیر
1)
بیایید انتگرال را محاسبه کنیم
.
ما متوجه آن هستیم (sin x)′ = cos x. سپس
.
در اینجا ما از جایگزینی t = استفاده کرده ایم گناه x.
2)
بیایید انتگرال را محاسبه کنیم
.
متوجه می شویم که. سپس
.
در اینجا ما ادغام را با تغییر متغیر t = انجام دادیم arctan x.
3)
بیایید ادغام کنیم
.
متوجه می شویم که. سپس
. در اینجا، در طول یکپارچه سازی، متغیر t = x جایگزین می شود 2 + 1
.
تعویض های خطی
شاید رایج ترین آنها جایگزینی خطی باشد. این جایگزینی برای متغیر فرم است
t = تبر + b،
که در آن a و b ثابت هستند. با چنین جایگزینی، دیفرانسیل ها با رابطه مرتبط هستند
.
نمونه هایی از ادغام با جایگزینی خطی
آ)انتگرال را محاسبه کنید
.
راه حل.
.
ب)انتگرال را پیدا کنید
.
راه حل.
بیایید از ویژگی های تابع نمایی استفاده کنیم.
.
ln 2- این ثابت است. انتگرال را محاسبه می کنیم.
.
ج)انتگرال را محاسبه کنید
.
راه حل.
اجازه دهید چند جمله ای درجه دوم در مخرج کسر را به مجموع مربع ها کاهش دهیم.
.
انتگرال را محاسبه می کنیم.
.
د)انتگرال را پیدا کنید
.
راه حل.
بیایید چند جمله ای زیر ریشه را تبدیل کنیم.
.
ما با استفاده از روش جایگزینی متغیر ادغام می کنیم. 
.
قبلا فرمول را دریافت کردیم
.
از اینجا
.
با جایگزینی این عبارت به جواب نهایی می رسیم.
