رتبه یک ماتریس را بیابید: روش ها و مثال ها. رتبه ماتریسی

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر، ضرب در یک عدد معین.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت زیر نوشته می شود: A ~ B.

ابتدایییک ماتریس ماتریسی است که در ابتدای مورب اصلی چندین مورد در یک ردیف وجود دارد (تعداد آنها می تواند صفر باشد) و به عنوان مثال همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند ، به عنوان مثال

با استفاده از تحولات ابتدایی ردیف ها و ستون ها ، می توان هر ماتریس را به صورت متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر با تعداد موارد موجود در مورب اصلی آن است.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.از خط دوم ، اول را کم کنید و این خطوط را دوباره تنظیم کنید:

.

اکنون از خطوط دوم و سوم ، اولی را که به ترتیب 2 و 5 ضرب شده است ، کم می کنیم:

;

خط اول را از خط سوم کم کنید. ما یک ماتریس می گیریم

B = ,

که معادل ماتریس A است ، زیرا با استفاده از یک مجموعه محدود از تحولات ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است ، و بنابراین r (a) = 2. ماتریس B به راحتی می تواند به متعارف کاهش یابد. با کم کردن ستون اول ، ضرب شده توسط اعداد مناسب ، از همه موارد بعدی ، ما به صفر تمام عناصر ردیف اول ، به جز اولین ، و عناصر ردیف های باقیمانده تغییر نمی کنند. سپس با کم کردن ستون دوم ، ضرب شده توسط اعداد مناسب ، از همه موارد بعدی ، ما به صفر تمام عناصر ردیف دوم ، به جز حالت دوم تبدیل می شویم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

قضیه کرونکر - کاپلی- معیار سازگاری برای سیستم معادلات جبری خطی:

برای اینکه یک سیستم خطی سازگار باشد ، لازم و کافی است که رتبه ماتریس گسترده این سیستم برابر با رتبه ماتریس اصلی آن باشد.

اثبات (شرایط سازگاری سیستم)

ضرورت

اجازه دهید سیستممفصل سپس اعدادی وجود دارد که . بنابراین، ستون ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است. از این واقعیت که رتبه یک ماتریس در صورت حذف یا اضافه شدن یک ردیف (ستون) از سیستم ردیف ها (ستون های) آن که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، تغییر نمی کند، نتیجه می شود که .

کفایت

اجازه دهید . بیایید مقداری جزئی اساسی در ماتریس در نظر بگیریم. از آنجایی که، آنگاه پایه ماتریس نیز خواهد بود. سپس با توجه به قضیه مبنا جزئی، آخرین ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون های پایه، یعنی ستون های ماتریس خواهد بود. بنابراین، ستون عبارت‌های آزاد سیستم، ترکیبی خطی از ستون‌های ماتریس است.

عواقب

تعداد متغیرهای اصلی سیستم هایبرابر با رتبه سیستم

مشترک سیستمتعریف می شود (راه حل آن منحصر به فرد است) در صورتی که رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.

سیستم معادلات همگن

پیشنهاد15 . 2 سیستم معادلات همگن

همیشه مشترک است

اثبات. برای این سیستم، مجموعه اعداد،،، راه حل است.

در این بخش از نماد ماتریسی سیستم استفاده خواهیم کرد: .

پیشنهاد15 . 3 مجموع جواب های یک سیستم همگن معادلات خطی راه حل این سیستم است. جواب ضرب در عدد نیز راه حل است.

اثبات. بگذارید آنها به عنوان راه حلی برای سیستم عمل کنند. سپس و. اجازه دهید . سپس

از آنجا که، پس از آن - راه حل.

اجازه دهید یک عدد دلخواه باشد، . سپس

از آنجا که، پس از آن - راه حل.

نتیجه15 . 1 اگر یک سیستم همگن معادلات خطی یک جواب غیر صفر داشته باشد، آنگاه راه حل های بی نهایت متفاوتی دارد.

در واقع، با ضرب یک راه حل غیر صفر در اعداد مختلف، جواب های متفاوتی به دست خواهیم آورد.

تعریف15 . 5 خواهیم گفت که راه حل ها سیستم ها شکل می گیرند سیستم اساسی راه حل ها، اگر ستون یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این ستون ها است.

عدد r را رتبه ماتریس A می نامند اگر:
1) در ماتریس A یک مینور از مرتبه r متفاوت از صفر وجود دارد.
2) تمام مینورهای مرتبه (r+1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه یک ماتریس بالاترین مرتبه جزئی غیر از صفر است.
نامگذاری: rangA، r A یا r.
از تعریف به دست می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریسی. در این حالت راه حل با فرمت ورد و اکسل ذخیره می شود. نمونه راه حل را ببینید

دستورالعمل ها. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر مینور از یک ماتریس که با صفر متفاوت باشد و دارای مرتبه r باشد، پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، یک ماتریس A می تواند چندین مینور پایه داشته باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف ها) است.

مثال 1. با توجه به دو ماتریس، و خردسالان آنها , . کدام یک از آنها را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت؟
راه حل. کوچک M 1 = 0، بنابراین نمی تواند مبنایی برای هیچ یک از ماتریس ها باشد. مینور M 2 =-9≠0 و دارای مرتبه 2 است، به این معنی که می توان آن را به عنوان مبنای ماتریس های A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB=0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB=2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، با توجه به این واقعیت که detA=-27≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور پایه این ماتریس باید برابر با 3 باشد، یعنی M 2 مبنایی برای ماتریس A نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A دارای یک پایه مینور است که برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (درباره مینور پایه). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای پایه (ستون) آن است.
نتایج حاصل از قضیه.

1. هر (r+1) ستون (ردیف) ماتریس رتبه r به صورت خطی وابسته است.
2. اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ردیف‌های آن (ستون‌ها) باشد، سطرها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
3. تعیین کننده یک ماتریس A برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
4. اگر یک ردیف (ستون) دیگر به یک ردیف (ستون) از یک ماتریس ضرب کنید، در هر عددی غیر از صفر ضرب کنید، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
5. اگر یک ردیف (ستون) را در یک ماتریس خط بکشید، که ترکیبی خطی از سایر ردیف‌ها (ستون‌ها) است، رتبه ماتریس تغییر نمی‌کند.
6. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
7. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه ماتریس، ما به دنبال یک مینور از بالاترین مرتبه، متفاوت از صفر خواهیم بود. ابتدا اجازه دهید ماتریس را به یک فرم ساده تر تبدیل کنیم. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.

اجازه دهید مقداری ماتریس داده شود:

.

اجازه دهید در این ماتریس انتخاب کنیم رشته های دلخواه و ستون های دلخواه
. سپس تعیین کننده مرتبه ام، از عناصر ماتریسی تشکیل شده است
، واقع در تقاطع ردیف ها و ستون های منتخب ، جزئی نامیده می شود ماتریس مرتبه ام
.

تعریف 1.13.رتبه ماتریسی
بزرگترین ترتیب جزئی غیر صفر این ماتریس است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس، باید تمام مینورهای آن را با کمترین مرتبه در نظر گرفت و اگر حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت بود، به در نظر گرفتن مینورهای بالاترین مرتبه اقدام کرد. این رویکرد برای تعیین رتبه یک ماتریس ، روش مرز (یا روش هم مرز با خردسالان) نامیده می شود.

مشکل 1.4.با استفاده از روش هم مرز زیر سن قانونی ، رتبه ماتریس را تعیین کنید
.

.

به عنوان مثال، لبه های مرتبه اول را در نظر بگیرید،
. سپس حرکت می کنیم تا برخی از لبه های مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

مثلا،
.

سرانجام ، بیایید مرز مرتبه سوم را تجزیه و تحلیل کنیم.

.

بنابراین بالاترین مرتبه یک صغیر غیر صفر 2 است ، از این رو
.

هنگام حل مشکل 1.4 ، می توانید توجه داشته باشید که تعدادی از افراد زیر سن قانونی مرتبه دوم غیر Zero هستند. در این رابطه مفهوم زیر کاربرد دارد.

تعریف 1.14.پایه جزئی از یک ماتریس هر جزئی غیر صفر است که سفارش آن برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.2.(قضیه جزئی پایه). ردیف های پایه (ستون های پایه) بطور خطی مستقل هستند.

توجه داشته باشید که سطرها (ستون‌های) یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

قضیه 1.3.تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی برابر با تعداد ستون‌های ماتریس مستقل خطی و برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.4.(شرط لازم و کافی برای تعیین کننده برابر با صفر). به منظور تعیین کننده - مرتبه برابر با صفر بود ، لازم و کافی است که ردیف های آن (ستون ها) به صورت خطی وابسته باشند.

محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف آن بسیار دشوار است. این امر به ویژه برای ماتریس هایی با مرتبه های بالا مهم می شود. در این راستا، در عمل، رتبه یک ماتریس بر اساس استفاده از قضایای 10.2 - 10.4 و همچنین استفاده از مفاهیم هم ارزی ماتریس و تبدیل های ابتدایی محاسبه می شود.

تعریف 1.15.دو ماتریس
و معادل نامیده می شوند اگر رتبه های آنها مساوی باشد، یعنی.
.

اگر ماتریس ها
و معادل هستند، سپس توجه داشته باشید
 .

قضیه 1.5.رتبه ماتریس به دلیل تبدیلات اولیه تغییر نمی کند.

ما تبدیل های ماتریس ابتدایی را می نامیم
هر یک از عملیات زیر در یک ماتریس:

جایگزینی ردیف ها با ستون ها و ستون ها با ردیف های مربوطه.

تنظیم مجدد ردیف های ماتریس؛

عبور از خطی که همه عناصر آن صفر هستند.

ضرب رشته در عددی غیر از صفر؛

افزودن عناصر یک خط به عناصر یک خط دیگر ضرب در همان عدد
.

نتیجه قضیه 1.5.اگر ماتریس
به دست آمده از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی، سپس ماتریس
و معادل هستند.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به شکل ذوزنقه ای کاهش یابد.

تعریف 1.16.ما ذوزنقه شکلی از نمایش یک ماتریس را زمانی می نامیم که در مینور مرزی بالاترین مرتبه غیر از صفر، همه عناصر زیر عناصر مورب ناپدید شوند. مثلا:

.

اینجا
، عناصر ماتریس
برو به صفر سپس شکل نمایش چنین ماتریسی ذوزنقه ای خواهد بود.

به عنوان یک قاعده، ماتریس ها با استفاده از الگوریتم گاوسی به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابند. ایده الگوریتم گاوس این است که با ضرب عناصر ردیف اول ماتریس در فاکتورهای مربوطه، به این نتیجه می رسد که تمام عناصر ستون اول در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس با ضرب عناصر ستون دوم در فاکتورهای مربوطه، اطمینان حاصل می کنیم که تمام عناصر ستون دوم در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس به همین ترتیب ادامه دهید.

مشکل 1.5.رتبه یک ماتریس را با کاهش آن به شکل ذوزنقه ای تعیین کنید.

.

برای سهولت استفاده از الگوریتم گاوسی، می توانید خط اول و سوم را با هم عوض کنید.








.

واضح است که اینجا
. با این حال، برای به ارمغان آوردن نتیجه به شکل ظریف تر، می توانید به تغییر ستون ها ادامه دهید.










.

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. معمولی ترین مسئله ای که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله به مفهوم رتبه ماتریس و روش هایی برای یافتن آن می پردازیم. برای درک بهتر مطالب، راه حل های چندین مثال را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از بیان تعریف رتبه یک ماتریس، باید درک خوبی از مفهوم ماتریس داشته باشید و یافتن مینورهای یک ماتریس به معنای توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین، در صورت لزوم، توصیه می کنیم تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده یک ماتریس و ویژگی های تعیین کننده را به یاد بیاورید.

بیایید یک ماتریس A به ترتیب در نظر بگیریم. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

سفارش خفیفماتریس A تعیین کننده یک ماتریس مربعی مرتبه است که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k ردیف و ستون از پیش انتخاب شده قرار دارند و آرایش عناصر ماتریس A حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p–k) سطرها و (n–k) ستون ها را حذف کنیم و از عناصر باقیمانده یک ماتریس ایجاد کنیم و آرایش عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین کننده ماتریس حاصل جزئی از مرتبه k ماتریس A است.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

بیایید چندین مینور مرتبه اول این ماتریس را یادداشت کنیم. برای مثال، اگر سطر سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با یک مینور مرتبه اول مطابقت دارد. . به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقیمانده یک دترمینانت ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول یک ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

بیایید چند خردسال درجه دوم را نشان دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. برای مثال سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را بگیرید. با این انتخاب ما یک مینور درجه دوم داریم . این مینور را نیز می توان با حذف سطر سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل داد.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

به طور مشابه، مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول این سطرها را انتخاب کنیم، یک مینور مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با خط کشیدن آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از درجه سوم جزئی است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا تصویری از ساخت این خردسالان درجه سوم را نشان می دهد
و .

برای یک ماتریس معین A هیچ جزئی از مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارد، زیرا .

در یک ماتریس مرتبه A چند مینور از مرتبه kth وجود دارد؟

تعداد مینورهای مرتبه k را می توان به صورت , Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توانیم همه فرعی های مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را با n بسازیم؟

ما به تعداد ردیف های ماتریسی و تعداد ستون های زیادی نیاز داریم. همه چیز را می نویسیم ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد ردیف، تمام ترکیبات n عنصر از k اعداد ستون را به ترتیب اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد ردیف و اعداد ستون‌های ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کند.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهد بود .

بیایید تمام ترکیبات 3 تا 2 ردیفی ماتریس A را بنویسیم: 1، 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 تا 2 شماره ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

بیایید ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیریم. با انتخاب ستون های اول و دوم، ستون های اول و سوم، ستون های دوم و سوم برای این ردیف ها به ترتیب مینورها را به دست می آوریم.

برای سطرهای اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه فرعی مرتبه دوم ماتریس A پیدا شده اند.

اکنون می توانیم به تعیین رتبه ماتریس ادامه دهیم.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور غیر صفر ماتریس است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) نشان داده می شود. همچنین می توانید نام های Rg(A) یا Rang(A) را پیدا کنید.

از تعاریف رتبه ماتریس و ماتریس مینور می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر کمتر از یک نیست.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش شمارش خردسالان. این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

اجازه دهید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور خلاصه توضیح می دهیم الگوریتمحل این مشکل با برشمردن خردسالان

اگر حداقل یک عنصر از ماتریس متفاوت از صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در ادامه به مینورهای مرتبه دوم نگاه می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور غیر صفر از مرتبه دوم وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم ادامه می دهیم و رتبه ماتریس حداقل برابر با دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر از صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و ما به سمت شمارش مینورهای مرتبه چهارم می رویم.

توجه داشته باشید که رتبه ماتریس نمی تواند از کوچکترین اعداد p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن کمتر از یک نیست.

جزئی از مرتبه دوم با صفر متفاوت است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. ما به برشمردن خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. مجموع آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها است روش مینور لبه.

بیایید مقابله کنیم مفهوم لبه مینور.

گفته می‌شود که یک M ok فرعی از (k+1)مین ماتریس A با یک M جزئی از مرتبه k از ماتریس A هم مرز می‌شود اگر ماتریس مربوط به جزئی M ok حاوی ماتریس مربوط به مینور باشد. م.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور مرزی M از ماتریس مربوط به مینور مرزی M ok با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر توجیه می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

اگر همه مینورهای مرتبه k ام ماتریس A از مرتبه p با n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k+1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست تمام موارد فرعی را که به اندازه کافی مرز دارند مرور کنید. تعداد مینورهای هم مرز با مینور از مرتبه k ام یک ماتریس مرتبه A، با فرمول پیدا می شود. . توجه داشته باشید که کمتر از مینورهای مرتبه k ام ماتریس A، تعداد فرعی (k + 1) ماتریس A وجود ندارد. بنابراین، در بیشتر موارد استفاده از روش مرزبندی خردسالان سود بیشتری نسبت به برشمردن ساده همه خردسالان دارد.

بیایید به سراغ یافتن رتبه ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها برویم. به طور مختصر توضیح می دهیم الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، آنگاه هر عنصری از ماتریس A را که با صفر متفاوت باشد به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید به خردسالان مرزی آن نگاه کنیم. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن دو است)، سپس به بررسی مینورهای حاشیه آن می‌پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه ، رتبه (a) = k اگر همه افراد زیر سن قانونی از (k + 1) ترتیب ماتریس A برابر با صفر یا رتبه (a) = min (p ، n) در صورت عدم وجود صفر مینور در حاشیه یک مینور از مرتبه (min(p, n) – 1) .

بیایید به روش مرزبندی مینورها برای یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید به روش مرزبندی خردسالان.

راه حل.

از آنجایی که عنصر a 1 1 ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجو برای مینور حاشیه ای کنیم که با صفر متفاوت است:

یک یال کوچک از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، یافت می شود. بیایید به خردسالان مرزی آن (آنها چیزها):

همه مینورهایی که در مرز مینور مرتبه دوم قرار دارند برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید استفاده از خردسالان مرزی

راه حل.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. صغیر اطراف مرتبه دوم برابر با صفر نیست این مینور با یک مینور مرتبه سوم مرزبندی شده است
. از آنجایی که برابر با صفر نیست و یک مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی (روش گاوس).

بیایید راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیریم.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

• تنظیم مجدد ردیف ها (یا ستون ها) یک ماتریس؛
• ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k، متفاوت از صفر.
• افزودن به عناصر یک ردیف (ستون) عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامند، اگر B با استفاده از تعداد محدود تبدیل ابتدایی از A بدست آید. معادل ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ماتریس ابتدایی بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست می‌آید، Rank(A) = Rank(B) .

اعتبار این عبارت از ویژگی های تعیین کننده ماتریس ناشی می شود:

• هنگام تنظیم مجدد ردیف ها (یا ستون ها) یک ماتریس، تعیین کننده آن علامت تغییر می کند. اگر برابر با صفر باشد، وقتی ردیف ها (ستون ها) مرتب می شوند، برابر با صفر باقی می ماند.
• وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس را در یک عدد دلخواه k غیر از صفر ضرب می کنیم، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب همه عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
• افزودن به عناصر یک ردیف (ستون) معین از یک ماتریس، عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد معینی k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییعبارت است از کاهش ماتریسی که باید رتبه آن را به یک ذوزنقه (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنیم.

چرا این کار انجام می شود؟ یافتن رتبه ماتریس های این نوع بسیار آسان است. برابر است با تعداد خطوط حاوی حداقل یک عنصر غیر صفر. و از آنجایی که رتبه ماتریس هنگام انجام تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

ما تصاویری از ماتریس ها را ارائه می دهیم که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. ظاهر آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

اجازه دهید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این مورد، ماتریس معادل را به دست می آوریم که آن را A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1) عناصر مربوط به ردیف اول را در ضرب اضافه می کنیم. به عناصر خط سوم، عناصر مربوط به خط اول را که ضرب در . و به همین ترتیب تا خط p-ام. بیایید یک ماتریس معادل بدست آوریم، آن را A (2) نشان می دهیم:

اگر تمام عناصر ماتریس حاصل که در ردیف های دوم تا P-TH قرار دارد برابر با صفر باشد ، آنگاه رتبه این ماتریس برابر با یک است و در نتیجه ، رتبه ماتریس اصلی برابر است به یک.

اگر در خطوط از دوم تا p-th حداقل یک عنصر غیر صفر وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، دقیقاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A (2) که در شکل مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیر صفر شود.

بنابراین، . هر عنصر از ردیف دوم ماتریس A (2) را در ضرب می کنیم. ماتریس معادل A (3) را بدست می آوریم:

به عناصر ردیف سوم ماتریس حاصل A (3) عناصر مربوط به ردیف دوم را در ضرب اضافه می کنیم. به عناصر خط چهارم، عناصر مربوط به خط دوم را با ضرب در . و به همین ترتیب تا خط p-ام. بیایید یک ماتریس معادل بدست آوریم، آن را A (4) نشان می دهیم:

اگر تمام عناصر ماتریس حاصل که در ردیف های سوم به P-TH قرار دارد برابر با صفر باشد ، آنگاه رتبه این ماتریس برابر با دو است و بنابراین ، رتبه (A) = 2 را دارند.

اگر خطوط از سوم تا p-th حداقل یک عنصر غیر صفر داشته باشند، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، ما دقیقاً به همان روش عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس که در شکل مشخص شده است

عنصر غیر صفر است، بنابراین می توانیم عناصر ردیف دوم ماتریس A (2) را در:

به عناصر ردیف سوم ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف دوم را اضافه می کنیم، ضرب در ; به عناصر خط چهارم – عناصر خط دوم ضرب در ; به عناصر خط پنجم - عناصر خط دوم، ضرب در:

تمام عناصر ردیف های سوم، چهارم و پنجم ماتریس حاصل برابر با صفر هستند. بنابراین، با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس A را به شکل ذوزنقه ای آوردیم که از آن مشاهده می شود که Rank(A (4)) = 2 است. بنابراین، رتبه ماتریس اصلی نیز دو است.

بنابراین ستون اول به فرم مورد نظر تبدیل می شود.

عنصر در ماتریس حاصل با صفر متفاوت است. عناصر خط دوم را در:

ستون دوم ماتریس حاصل شکل دلخواه را دارد، زیرا عنصر قبلاً برابر با صفر است.

از آنجا که، a، سپس ستون سوم و چهارم را عوض کنید:

بیایید ردیف سوم ماتریس حاصل را در ضرب کنید:

این تحول را به پایان می رساند. ما Rank(A (5))=3 را دریافت می کنیم، بنابراین، Rank(A)=3.

پاسخ:

رتبه ماتریس اصلی سه است.

خلاصه کنید.

ما مفهوم رتبه ماتریس را بررسی کردیم و به سه راه برای یافتن آن نگاه کردیم:

• بر اساس تعریف با برشمردن همه افراد صغیر.
• روش مرزبندی خردسالان؛
• با روش تبدیل های ابتدایی.

توصیه می شود همیشه هنگام پیدا کردن رتبه یک ماتریس از روش تحولات ابتدایی استفاده کنید ، زیرا در مقایسه با روش هم مرز زیر سن قانونی ، منجر به نتیجه محاسبات کمتری می شود و حتی در مقایسه با روش شمارش همه افراد زیر سن قانونی یک ماتریس