Proračun prelaznih procesa u linearnim električnim kolima metodom varijabli stanja
Ovo je najuniverzalnija metoda za proračun linearnih i nelinearnih kola. Metoda se koristi za proračun kola visokog reda kada je upotreba drugih metoda proračuna nepraktična ili praktično nemoguća. Metoda varijabli stanja zasniva se na rješavanju jednačina stanja (prvog reda) napisanih u Cauchyjevom obliku. Za rješavanje sistema jednačina prvog reda razvijene su numeričke metode koje omogućavaju automatizaciju proračuna prolaznih procesa pomoću računara. Dakle, metod varijabli stanja je jedan od proračuna prolaznih procesa, fokusiran prvenstveno na upotrebu računara.
Za linearni krug sa konstantnim paušalnim parametrima, kao rješenje se može naći struja svake grane, napon između stezaljki, naboj na pločama kondenzatora itd. diferencijalna jednadžba, sastavljen za ovu struju, napon, naboj, itd., isključujući druge struje i napone iz Kirchhoffovog sistema jednačina:
Uvođenjem varijabli
jednačina (1.1) se svodi na ekvivalentan sistem diferencijalnih jednačina prvog reda:
(1.2)
Ovdje su varijable, koje se nazivaju varijable stanja, varijabla X i njeni derivati. Pretpostavlja se da kolo ima samo nezavisne izvore i da ne sadrži induktivne sekcije i kapacitivna kola. U suprotnom, pisanje jednadžbi postaje mnogo teže
1. Formiranje jednadžbi varijabli stanja
Energetsko stanje kola, a samim tim i proces tranzicije u bilo kojem krugu, određuje energija magnetsko polje, pohranjena u induktivnostima, i energija električnog polja pohranjena u kondenzatorima. Rezerve energije u reaktivnim elementima određuju struje u induktivnostima i napone u kondenzatorima, tj. oni određuju energetsko stanje kola i stoga se uzimaju kao nezavisne varijable stanja.
Svaki sistem jednačina koji određuje stanje kola naziva se jednadžbama stanja. Struje u induktivnim elementima 
i napon na kapacitivnim elementima 
predstavljaju nezavisne početne uslove 
lancima i moraju biti poznati ili izračunati. Preko njih se izražavaju potrebne količine tokom procesa tranzicije.
Radni izvori energije se obično nazivaju ulazne veličine 
, a željene veličine (struje i naponi) - izlazne veličine 
.
Za lanac sa n nezavisne struje 
i stresove 
također mora biti specificirano n nezavisnih početnih uslova. Za operacije sa veliki broj varijable koriste metode matričnog računa.
Skraćene diferencijalne jednadžbe stanja koje opisuju kolo prema Kirchhoffovim zakonima zapisane su u matričnom obliku:
, (1.3)
gdje je X vektor stupca (veličine n x 1) proizvoljnih varijabli stanja; V je vektor stupca (veličine m x 1) vanjskih utjecaja (EMF i struje izvora); A - kvadratna matrica reda n (glavna); B je matrica veze između ulaza kola i varijabli stanja (veličina n x m). Elementi ovih matrica su određeni topologijom i parametrima kola 
,m je broj ulaza, n je broj varijabli stanja.
Za izlazne veličine (ako nisu određene struje induktiviteta i napona na kapacitivnim elementima) potrebno je dodati još jednu jednačinu u matričnom obliku:
(1.4)
gdje je Y vektor - stupac željenih struja i napona na izlazu (veličina 1 x 1), 1 - broj izlaza; C je matrica veze između varijabli stanja i izlaza kola (n x 1); D - matrica direktnog povezivanja ulaza i izlaza kola (veličine 1 x m). Elementi matrice ovise o topologiji i vrijednostima parametara kola 
.
Sistem matričnih jednačina
;
(1.5)
može se predstaviti u obliku blok dijagrama (slika 1.3).
1.1. Sastavljanje jednadžbi stanja kola
metoda preklapanja
Neka se da dijagram strujnog kola nakon prebacivanja
Pretpostavit ćemo da su varijable stanja specificirane. Nakon prebacivanja, kolo koje se razmatra (slika 2) zamjenjujemo ekvivalentnim (slika 3) koje ima zadatu struju 
predstavljen izvorom struje 
,podesiti napon 
izvor napona 
.
Koristeći metodu superpozicije (odabrani su pozitivni pravci), zapisujemo napone 
i struje 
(prvo uzimamo u obzir djelovanje izvora 
onda 
i dalji izvori koji djeluju u kolu).
Od akcije 
:
;
;
od akcije 
:
;
;
iz akcije e:
;
,
i ukupna struja 
i napon.
(1.6)
S obzirom na to 
I 
dobijamo
odnosno u matričnom obliku pišemo jednačinu (1.7)
(1.8)
1.2. Sastavljanje jednadžbi stanja za kolo koje koristi
Kirchhoffovi zakoni
Jednačine (1.7) se također mogu dobiti iz Kirchhoffovih jednačina isključivanjem struja i napona otpornih elemenata. Prema Kirchhoffovim zakonima, zapisujemo jednadžbe za kolo (vidi sliku 2) u obliku
(1.9)
Razriješimo prvu jednačinu sistema u odnosu na 
, treće, s obzirom na to 
, relativno 
. Onda
(1.10)
Varijable 
I 
su varijable stanja za kolo o kojem je riječ. Na desnoj strani sistema (1.10) nalazi se varijabla 
,
nije nezavisna varijabla stanja. Da bismo ga eliminisali, prepisujemo drugu jednačinu sistema (1.9) u obliku
(1.11)
i stavi ga ovde 
.
Trenutna vrijednost dobijena iz (1.11)
(1.12)
Zamijenimo ga u sistem (1.10).
Dobijamo sistem jednačina u varijablama stanja 
za strujni krug koji se proučava
(1.13)
gdje X, X, V, A, B odgovaraju sistemu jednačina (1.7).
Neka je u primjeru koji se razmatra potrebno odrediti struje 
I 
. Dakle 
I 
će biti izlazne količine kola i moraju biti predstavljene u obliku 
,
.Current 
je već definirana u traženom obliku (1.12), a trenutna 
.Onda drugi sistem jednadžbi u varijablama stanja 
poprimiće formu
(1.14)
U matričnom obliku, sistem jednačina (1.14) biće zapisan u obliku
(1.15)
U posebnom slučaju, ako su izlazne varijable varijable stanja 
tada matrica C ima oblik dijagonalne matrice, a elementi matrice D jednaki su nuli.
Jednačine stanja se rješavaju na računarima pomoću numeričkih metoda.
Proučite teorijski materijal na edukativna literatura: ; i odgovori na sljedeća pitanja:
1. Koje su varijable električno kolo obično se uzimaju kao varijable stanja?
2. Koliko sistema jednačina se koristi pri rješavanju problema metodom varijabli stanja?
3. Koje se zavisnosti uspostavljaju u prvom i drugom sistemu jednačina pri rješavanju problema metodom varijabli stanja?
4. Koji od ova dva sistema je sistem algebarskih diferencijalnih jednačina?
5. Koje metode se koriste za dobijanje jednačina stanja i jednačina izlaznih parametara?
Prilikom izračunavanja prolaznog procesa korištenjem metode varijable stanja, preporučuje se sljedeći redoslijed:
1. Odaberite varijable stanja. U krugovima predloženim za proračun to su naponi na kapacitivnim elementima i struje u induktivni namotaji.
2. Kreirati sistem diferencijalnih jednačina za prve izvode varijabli stanja.
Da biste to učinili, opišite postkomutacijski krug koristeći Kirchhoffove zakone i riješite ga s obzirom na prve izvode varijabli stanja i ovisno o varijablama i izvorima emf. (u predloženim šemama izvor emf je jedini).
U matričnom obliku, ovaj sistem diferencijalnih jednačina prvog reda imat će oblik:
, (8.1)
gdje je stupac derivata, ;
X– vektor - kolona varijabli stanja.
U krugovima drugog reda:
– kvadratna matrica red n, određen topologijom električnog kola i parametrima njegovih elemenata. U lancima drugog reda, ova matrica ima red 2´2.
Matrica je pravokutna matrica reda, gdje je n– lančani red.
Matrica - kolona - određena je izvorima emf. i izvori struja kola i naziva se vektor ulaznih veličina.
3. Sastaviti sistem algebarskih jednačina za tražene varijable koje se nazivaju vikendima. To su struje u svim granama kola (osim struje) i naponi na bilo kojim elementima kola (osim napona). Rezultirajuće algebarske jednačine uspostavljaju veze između izlaznih varijabli, s jedne strane, i varijabli stanja i izvora napona i struje kola, s druge strane. U matričnom obliku, ovaj sistem algebarskih jednačina ima oblik
,
gdje je vektor izlaznih veličina;
– matrice određene topologijom električnog kola, parametrima njegovih elemenata i brojem traženih varijabli.
Jednačinama stanja se može nazvati bilo koji sistem jednačina koji određuju režim kola. U užem smislu, to je sistem diferencijalnih jednačina prvog reda riješenih s obzirom na derivate.
Metoda varijabli stanja je analiza kola zasnovana na rješavanju jednačina stanja (prvi red) napisanih u Cauchyjevom obliku. Dakle, metoda varijabli stanja je jedna od metoda za proračun prvenstveno prolaznih procesa. Nadalje se pretpostavlja da kolo ima samo nezavisne izvore i da ne sadrži induktivne sekcije i kapacitivna kola. U suprotnom, pisanje jednadžbi postaje mnogo teže.
Za linearni krug sa konstantnim paušalnim parametrima, struja svake grane, napon između odabranih terminala, naboj na pločama kondenzatora, itd. uvijek se mogu naći kao rješenje diferencijalne jednadžbe sastavljene za ovu struju, napon, naboj, itd. (na primjer, isključujući druge struje i napone iz sistema Kirchhoffovih jednačina):
Uvođenjem varijabli ova se jednačina svodi na ekvivalentan sistem diferencijalnih jednačina prvog reda:
Ovdje su varijable, koje se nazivaju varijable stanja, varijabla x i njeni derivati.
Kao što je poznato, prolazni proces u bilo kojem kolu, osim njegovih parametara (vrijednosti r, L, C, M) i aktivnih izvora, određen je nezavisnim početnim (t = 0) uvjetima - strujama u induktivnim elementima i naponima na kapacitivnim elementima, koji moraju biti poznati ili izračunati. Preko njih se izražavaju potrebne količine tokom procesa tranzicije. Oni također određuju energetsko stanje lanca. Stoga je preporučljivo odabrati struje i napone kao varijable stanja. Radni izvori se mogu nazvati ulaznim veličinama 
, potrebne količine - vikendom 
. Za kolo sa n nezavisnih struja i napona, mora se specificirati n više nezavisnih početnih uslova.
Zapišimo diferencijalne jednadžbe stanja u matričnom obliku na sljedeći način:
ili kraće
gdje je X matrica stupaca (veličine n x 1) varijabli stanja (vektor varijabli stanja); F - matrica stupaca (veličina m x 1) EMF i izvornih struja (spoljnih smetnji); A - kvadratna matrica reda n (glavna); B je matrica veličine n x m (matrica veze). Elementi ovih matrica su određeni topologijom i parametrima kola.
Za izlazne veličine (ako su određene struje u induktivnim i naponi na kapacitivnim elementima) u matričnom obliku, sistem algebarskih jednadžbi ima oblik
ili kraće
gdje je W matrica stupaca (veličina l x 1); M - komunikaciona matrica (veličina l x n); N je matrica veze (veličina l x m).
Elementi matrice zavise od topologije i parametara kola. Za jednačine stanja, algoritmi za generisanje mašina su takođe razvijeni na osnovu topologije i vrednosti parametara.
Jednačine u matričnom obliku (14.91) mogu se konstruisati, na primjer, korištenjem metode superpozicije. Za dobijanje zavisnosti između izvedenih varijabli stanja, tj. 
i varijable stanja, kao i EMF i izvorne struje koje djeluju u kolu, pretpostavit ćemo da su varijable stanja specificirane. Krug koji se razmatra, na primjer na sl. 14.41, a, nakon komutacije zamjenjujemo ga ekvivalentnom (slika 14.41.6), u kojoj je svaka data struja predstavljena strujnim izvorom, a svaki dati napon izvorom napona (EMF). Koristeći metodu superpozicije (odabire se pozitivni smjerovi), zapisujemo napone i struje (prvo uzimamo u obzir djelovanje izvora, a zatim i izvora koji djeluju u kolu):
Od tada
Naravno, jednadžbe (14.93) se također mogu dobiti iz Kirchhoffovih jednačina isključivanjem struja i napona otpornih elemenata. kako god zajednička odluka Kirchhoffove jednačine postaju sve glomaznije kako se broj grana lanca povećava.
Jednačine stanja se također mogu formirati odmah u matričnom obliku.
Ako nema izvora struje i EMF-a, tj. F = 0, onda se jednadžbe (14.91) pojednostavljuju
i karakteriziraju slobodne procese u lancu. Rješenje zapisujemo u formu
gdje je X (0) matrica stupaca početnih vrijednosti varijabli stanja; - matrična eksponencijalna funkcija.
Zamjenom (14.94) u (14.91c) osiguravamo da dobijemo identitet.
Prilikom rješavanja jednačine (14.91) predstavljamo je u obliku
gdje je F(t) neka matrična funkcija lanca. Nakon diferencijacije (14.95) dobijamo
Uporedimo (14.96) sa (14.91a)
i, množenjem sa , nakon integracije nalazimo da
gdje je q - integracijska varijabla, ili
Zamijenimo ovaj izraz u (14.95):
Konkretno, pri t = 0 imamo 
Stoga se rješenje za varijable stanja zapisuje kao
(reakcija kola je jednaka zbroju reakcija na nultom ulazu i na nultom početnom stanju).
Ovo rješenje se također može dobiti primjenom operatorske metode za proračun prolaznih procesa, o kojoj se govori u odjeljku.
Izlazne vrijednosti se mogu naći iz (14.92).
Ako je stanje kola navedeno ne na t = 0, već na , tada je u (14.97) prvi član zapisan na sljedeći način: , a donja granica integrala nije 0, već t.
Glavna poteškoća proračuna leži u izračunavanju eksponencijalne funkcije matrice. Jedan od načina je ovaj: prvo pronađemo sopstvene vrijednosti l matrica A, tj. korijeni jednadžbe
gdje je 1 matrica identiteta reda n, koja je određena iz jednačine
gdje su elementi matrice A.
Vlastite vrijednosti poklapaju se s korijenima karakteristične jednadžbe kola.
Eksponent matrice, čiji je argument matrica At reda n, može se predstaviti konačnim brojem n članova. Ako su sopstvene vrijednosti različite, onda
gdje su funkcije vremena; 
itd.
Konačno, nakon što smo odredili iz (14.100), koristeći (14.99) nalazimo i zatim X (t) koristeći (14.97).
Primjer 14.6. Odredite struju u kolu na sl. 14.42 nakon prebacivanja na .
Rješenje. Biramo pozitivne smjerove struja u induktivnim elementima, odnosno varijable stanja i struju. Nezavisni početni uslovi: . Jednačine diferencijalnog kola
Eliminirajući struju, dobijamo jednadžbe za izvode varijabli stanja:
tj. prema (14.91)
i matrica stupaca početnih vrijednosti
Izračunajmo sopstvene vrijednosti; od (14.98)
gdje . Ako izjednačimo sa nulom glavnu determinantu jednadžbi sa varijablama stanja, dobićemo iste vrijednosti 
.
Koeficijente ak nalazimo iz (14.100), tj. iz sistema jednadžbi
Trenutne vrijednosti izračunate u trenucima 
sekundi za vremenski interval od 0 - 0,1 s, na kraju kojeg se struja razlikuje od ustaljenog za manje od 1,5%, date su u tabeli. 14.1. Prilikom izračunavanja brojevi su upisani sa 8 cifara, i to u svim formulama datim u primjeru i tabeli. 14.1 označeni su zaokruživanjem.
Tabela 14.1
Ako među n vlastitih vrijednosti matrice A postoji q višekratnika, tada se za n - q različitih korijena kompilira sistem (14.100), a za q višestruke jednačine se dobijaju nakon izračunavanja prvih q - 1 izvoda u odnosu na oba strane jednadžbe sa korijenom, tj.
Osnove > Teorijska osnova elektrotehnike
Metoda varijable stanja
Jednačine stanjaMožete imenovati bilo koji sistem jednačina koji određuju način rada kola. U užem smislu, to je sistem diferencijalnih jednačina prvog reda riješenih s obzirom na derivate.
Metoda varijabli stanja je analiza kola zasnovana na rješavanju jednačina stanja (prvi red) napisanih u Cauchyjevom obliku. Dakle, metoda varijabli stanja je jedna od metoda za proračun prvenstveno prolaznih procesa. Nadalje se pretpostavlja da kolo ima samo nezavisne izvore i da ne sadrži induktivne sekcije i kapacitivna kola. U suprotnom, pisanje jednadžbi postaje mnogo teže.
Za linearni krug sa konstantnim paušalnim parametrima, struja svake grane, napon između odabranih terminala, naboj na pločama kondenzatora, itd. uvijek se mogu naći kao rješenje diferencijalne jednadžbe sastavljene za ovu struju, napon, naboj, itd. (na primjer, isključujući druge struje i napone iz sistema Kirchhoffovih jednačina):
Uvođenjem varijabliova se jednadžba svodi na ekvivalentan sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda:
Ovdje se pozivaju varijablevarijable stanja, služi varijabla x i njeni derivati.
Kao što je poznato, prolazni proces u bilo kojem kolu, osim njegovih parametara (vrijednosti r , L, C, M) i izvori struje[
e(t) i J(t)], određene nezavisnim početnim (t = 0) uslovima - strujama u induktivnim elementimai naponi na kapacitivnim elementima, koji mora biti poznat ili izračunat. Preko njih se izražavaju potrebne količine tokom procesa tranzicije. Oni također određuju energetsko stanje lanca. Stoga je preporučljivo odabrati struje kao varijable stanja i napon . Radni izvori se mogu nazvati ulaznim veličinama
, potrebne količine - vikendom
. Za lanac sa n nezavisne struje i stresove također mora biti specificirano n nezavisnih početnih uslova.
Zapišimo diferencijalne jednadžbe stanja u matričnom obliku na sljedeći način:
ili kraće
gdje je X matrica stupaca (veličine n x 1) varijable stanja (vektor varijabli stanja); F - matrica stupaca (veličina m x 1) EMF i izvornih struja (spoljnih smetnji); A - kvadratna matrica reda n (glavni); B - matrica veličine n x m (matrica veze). Elementi ovih matrica su određeni topologijom i parametrima kola.
Za izlazne veličine (ako su određene struje u induktivnim i naponi na kapacitivnim elementima) u matričnom obliku, sistem algebarskih jednadžbi ima oblik
ili kraće
gdje je W matrica stupaca (veličina l x 1); M - matrica povezivanja (vel l x n ); N - matrica veze (vel l x m ).
Elementi matrice zavise od topologije i parametara kola. Za jednačine stanja, algoritmi za generisanje mašina su takođe razvijeni na osnovu topologije i vrednosti parametara.
Jednačine u matričnom obliku (14.91) mogu se konstruisati, na primjer, korištenjem metode superpozicije. Za dobijanje zavisnosti između izvedenih varijabli stanja, tj.
i varijable stanja, kao i EMF i izvorne struje koje djeluju u kolu, pretpostavit ćemo da su varijable stanja specificirane. Krug koji se razmatra, na primjer na sl. 14.41, a, nakon komutacije zamjenjujemo ga ekvivalentnom (slika 14.41.6), za koju svaka data strujapredstavljen izvorom struje,
i svaki dati napon- izvor napona (EMF). Koristeći metodu superpozicije (odabrani su pozitivni smjerovi), zapisujemo napone i struje (prvo uzimamo u obzir uticaj izvora onda i daljnji izvori koji djeluju u kolu):
Od tada
Naravno, jednadžbe (14.93) se također mogu dobiti iz Kirchhoffovih jednačina isključivanjem struja i napona otpornih elemenata. Međutim, zajedničko rješenje Kirchhoffovih jednačina postaje sve glomaznije kako se broj grana lanca povećava.
Jednačine stanja se također mogu formirati odmah u matričnom obliku.
Ako nema izvora struje i EMF-a, tj. F = 0, onda se jednadžbe (14.91) pojednostavljuju
i karakteriziraju slobodne procese u lancu. Rješenje zapisujemo u formu
gdje je X (0) matrica stupaca početnih vrijednosti varijabli stanja; - matrična eksponencijalna funkcija.
Zamjenom (14.94) u (14.91c) osiguravamo da dobijemo identitet.
Atpredstavimo rješenje jednačine (14.91) u obliku
gdje je F(t ) je neka matrična funkcija lanca. Nakon diferencijacije (14.95) dobijamo
Uporedimo (14.96) sa (14.91a)
i množenje sa , nakon integracije nalazimo da
gdje je q - varijabla integracije, ili
Zamijenimo ovaj izraz u (14.95):
Konkretno, pri t = 0 imamo
Stoga se rješenje za varijable stanja zapisuje kao
(reakcija kola je jednaka zbroju reakcija na nultom ulazu i na nultom početnom stanju).
Ovo rješenje se također može dobiti primjenom operatorske metode za proračun prolaznih procesa, o kojoj se govori u odjeljku.
Izlazne vrijednosti se mogu naći iz (14.92).
Ako je stanje kola navedeno ne na t = 0, već na, tada je u (14.97) prvi član zapisan na sljedeći način:, a donja granica integrala nije 0, već t .
Glavna poteškoća proračuna leži u izračunavanju eksponencijalne funkcije matrice. Jedan od načina je ovaj: prvo pronalazimo sopstvene vrijednosti l matrice A, tj. korijeni jednadžbe
gdje je 1 identitetska matrica reda n, koji se određuju iz jednačine
Gdje - elementi matrice A.
Svojstvene vrijednosti se poklapaju s korijenimakarakteristična jednačina kola.
Eksponent matrice čiji je argument matrica A t , ima nalog n , koji se može predstaviti konačnim brojem n uslovi. Ako su sopstvene vrijednosti različite, onda
Gdje - vremenske funkcije;
itd.
Dalje definiratisastaviti algebarski sistem n jednačine
Konačno, nakon definisanjaiz (14.100), koristeći (14.99) nalazimoa zatim X (t) prema (14.97).
Primjer 14.6. Odredite struju u kolu na sl. 14.42 nakon prebacivanja na.
Rješenje. Odabir pozitivnih smjerova strujau induktivnim elementima, odnosno varijablama stanja i struje. Nezavisni početni uslovi:. Jednačine diferencijalnog kola
Eliminacijom struje , dobijamo jednadžbe za izvode varijabli stanja:
tj. prema (14.91)
i matrica stupaca početnih vrijednosti
Izračunajmo sopstvene vrijednosti; od (14.98)
gdje . Ako izjednačimo sa nulom glavnu determinantu jednadžbi sa varijablama stanja, dobićemo iste vrijednosti
.
Koeficijente ak nalazimo iz (14.100), tj. iz sistema jednadžbi
Trenutne vrijednosti izračunato u trenucima
sekundi za vremenski interval od 0 - 0,1 s, na kraju kojeg se struja razlikuje od ustaljenog stanjamanje od 1,5%, date su u tabeli. 14.1. Prilikom izračunavanja brojevi su upisani sa 8 cifara, i to u svim formulama datim u primjeru i tabeli. 14.1 označeni su zaokruživanjem.
Tabela 14.1
0,005 |
0,010 |
0,015 |
0,020 |
0,025 |
0,030 |
0,035 |
0,040 |
0,045 |
0,050 |
|
1,079 |
1,213 |
1,343 |
1,455 |
1,550 |
1,628 |
1,692 |
1,746 |
1,790 |
1,827 |
|
0,055 |
0,060 |
0,065 |
0,070 |
0,075 |
0,080 |
0,085 |
0,090 |
0,095 |
0,100 |
|
, zatim za n - q različitih korijena kompilira se sistem (14.100), a za q višestruke jednačine se dobijaju nakon izračunavanja prvih q - 1 izvoda u odnosu nasa obe strane jednačine sa korenom, tj. 
Ako postoji samo jedan u krugu emf izvor(ili struja), koji predstavlja jedan skok 1( t), tj. F(t)=1(t ), a početni uslovi su nula, tada će rješenje (14.97) biti zapisano u obliku
Za izlazne veličine prema (14.92a) dobijamo To će biti prijelazne funkcije lanca h(t). Puls Transient Funkcije k(t ) određene su sa (14.84) ili (14.85).Općenitiji način izračunavanja matrične eksponencijalne funkcije je predstavljanje je kao beskonačan niz ali niz konvergira polako za velike t. Kada se ograniči na konačan broj članova, proračun se svodi na množenje i zbrajanje matrice. Takve operacije postoje u softver COMPUTER. Poznata je metoda za izračunavanje eksponencijalne funkcije matrice na osnovu Silverstovog kriterija. Jednadžbe stanja kola, čiji je redoslijed veći od dva ili tri, lakše se rješavaju ne analitičkim, već numeričkim metodama, koje omogućavaju automatizaciju proračuna u slučaju korištenja računala. |
Metoda varijable stanja (koja se naziva i metoda prostora stanja) zasniva se na dvije jednačine napisane u matričnom obliku.
Struktura prve jednadžbe određena je činjenicom da ona povezuje matricu prvih vremenskih izvoda varijabli stanja sa matricama samih varijabli stanja i vanjskih utjecaja i, koji se smatraju e. d.s. i izvorne struje.
Druga jednačina je po svojoj strukturi algebarska i povezuje matricu izlaznih veličina y sa matricama varijabli stanja i vanjskih utjecaja i.
Prilikom definiranja varijabli stanja bilježimo sljedeća svojstva:
1. Kao varijable stanja u električnim kolima treba izabrati struje u induktivnostima i naponima na kondenzatorima, i to ne u svim induktivitetima i ne na svim kondenzatorima, već samo za nezavisne, tj. one koje određuju opšti poredak sistemi diferencijalnih jednadžbi kola.
2. Diferencijalne jednadžbe kola s obzirom na varijable stanja zapisane su u kanonskom obliku, tj. predstavljene su kao riješene s obzirom na prve izvode varijabli stanja s obzirom na vrijeme.
Imajte na umu da samo pri odabiru struja k u nezavisnim induktivnostima i naponima na nezavisnim kondenzatorima kao varijabli stanja, prva jednadžba metode varijabli stanja će imati strukturu navedenu gore.
Ako kao varijable stanja izaberemo struje u granama sa kondenzatorima ili struje u granama sa otporima, kao i napone na induktivnostima ili napone na otporima, onda se prva jednačina metode varijabli stanja može predstaviti i u kanonskom obliku, tj. u odnosu na prve izvode s obzirom na vrijeme ove veličine. Međutim, struktura njihovih desnih strana neće odgovarati gore datoj definiciji, jer će uključivati i matricu prvih izvoda vanjskih utjecaja
3. Broj varijabli stanja jednak je redu sistema diferencijalnih jednadžbi električnog kola koje se proučava.
4. Izbor struja i napona kao varijabli stanja je pogodan i zato što se ove veličine, prema zakonima komutacije (§ 13-1), u trenutku komutacije ne mijenjaju naglo, tj. iste su za trenutke u vremenu.
5. Varijable stanja Zato se tako zovu jer u svakom trenutku postavljaju energetsko stanje električnog kola, budući da je potonje određeno zbirom izraza
6. Predstavljanje jednadžbi u kanonskom obliku je vrlo zgodno kada se rješavaju pomoću analognih kompjuteri i za programiranje prilikom njihovog rješavanja na digitalnim računarima. Stoga je ovakva predstava vrlo važna pri rješavanju ovih jednačina korištenjem savremene kompjuterske tehnologije.
Pokažimo primjer kola na sl. 14-14, kako se sastavljaju jednačine pomoću metode varijabli stanja.
Prvo, dobijamo sistem diferencijalnih jednačina koji odgovara prvoj matričnoj jednačini metode, a zatim ga zapisujemo u matričnom obliku. Algoritam za sastavljanje ovih jednačina za bilo koje električno kolo je sljedeći. Prvo, jednadžbe se pišu korištenjem Kirchhoffovih zakona ili korištenjem metode struje petlje; tada se biraju varijable stanja i diferenciranjem originalnih jednadžbi i eliminacijom ostalih varijabli dobijamo
Počinju jednačine metode varijabli stanja. Ovaj algoritam je vrlo sličan onom koji se koristi u klasična metoda proračun prelaznih procesa da bi se dobila jedna rezultujuća diferencijalna jednačina u odnosu na jednu od varijabli
U posebnim slučajevima, kada u kolu nema kapacitivnih kola, odnosno kola, čije sve grane sadrže kapacitivnosti, a nema čvorova sa spojenim granama u koje su uključene induktivnosti, može se odrediti drugi algoritam. Ne zadržavajući se na tome, samo napominjemo da se zasniva na zamjeni kontejnera izvorima e. d.s., induktivnosti - izvori struje i primjena metode superpozicije.
Za kolo sl. 14-14 prema Kirchhoffovim zakonima
(14-36)
Određivanjem iz prve jednadžbe, zamjenom u treću, zamjenom i predstavljanjem rezultirajuće diferencijalne jednadžbe u kanonskom obliku u odnosu na dobijamo:
Rješavanjem druge jednadžbe (14-36) za , zamjenom prema prvoj jednadžbi (14-36) i zamjenom , dobivamo:
Zbrajanjem člana po član (14-38) pomnoženog jednačinom (14-37) i utvrđivanjem iz dobijenog rezultata dobijamo:
Prepišimo jednadžbe (14-39) i (14-37) u matričnom obliku:
(14-4°)
gdje za krug koji se razmatra imamo:
(14-42a)
IN opšti slučaj prva jednadžba metode varijabli stanja u matričnom obliku biće zapisana kao
(14-43)
Matrice A i B u linearna kola zavise samo od parametara kola, tj. konstantne su vrednosti. U ovom slučaju, A je kvadratna matrica reda i naziva se glavna matrica kola, matrica B je općenito pravokutna, veličina se naziva matrica veze između ulaza kola i varijabli stanja, matrice su matrice kolone ili vektori varijabli stanja (veličina i vanjski poremećaji (veličina)
U razmatranom primjeru, matrica B se pokazala kao kvadrat drugog reda, jer je broj varijabli stanja jednak broju vanjskih smetnji
Pređimo na sastavljanje druge jednadžbe metode. Možete odabrati bilo koju od vrijednosti kao izlaz. Uzmimo, na primjer, tri vrijednosti kao izlaz
Njihove vrijednosti će biti zapisane kroz varijable stanja i vanjske smetnje direktno iz jednačina (14 36)
(14-44)
ili u matričnom obliku
ili skraćeno
(14-46)
gdje za razmatrano kolo
a u opštem slučaju druga jednačina metode varijabli stanja
Matrice C i D zavise samo od parametara kola. Generalno, ovo je pravougaone matrice respektivno, sizes , a C se naziva matrica veze između varijabli stanja i izlaza kola, matrica direktne veze između ulaza i izlaza kola (ili sistema).
Za red fizički sistemi D je nulta matrica i drugi član u (14-48) nestaje, pošto ne postoji neposredan. prirodna veza između ulaza i izlaza sistema.
Ako uzmemo, na primjer, struju i i napon kao varijable stanja i predstavimo diferencijalne jednadžbe za njih u kanonskom obliku, tada će (izostavljajući sve međutransformacije) prva jednadžba metode u matričnom obliku imati oblik:
Dakle, zaista, prva jednadžba metode varijable stanja će imati oblik (14-43) u matričnom obliku samo kada se bira struja i napon kao varijabli stanja
Prelazeći na rješavanje matrične diferencijalne jednadžbe (14-43), prvo napominjemo da je posebno pojednostavljeno ako je kvadratna temeljna matrica reda A dijagonalna. Tada se sve linearne diferencijalne jednadžbe (14-43) razdvajaju, tj. izvod varijabli stanja zavise samo od vlastite varijable stanja.
Razmotrimo prvo rješenje linearne nehomogene matrične diferencijalne jednadžbe (14-43) koristeći metodu operatora.Da bismo to učinili, transformiramo ga prema Laplaceu:
gdje je matrica-kolona početnih vrijednosti varijabli stanja, tj.
(14-53)
koje se u trenutku prebacivanja ne mijenjaju naglo, date su i jednake njihovim vrijednostima u ovom trenutku
Prepišimo (14-51):
gdje je matrica identiteta reda .
Da bismo dobili matricu slika varijabli stanja, pomnožimo obje strane (14-54) s lijeve strane inverznom matricom
Vraćajući se na originale koristeći inverznu Laplaceovu transformaciju, dobivamo:
Iz metode operatora je poznato da
Analogno, zapisivanjem inverzne Laplaceove transformacije u matričnom obliku, imat ćemo:
gdje je prijelazna matrica stanja sistema, inače nazvana fundamentalna.
Tako nalazimo original prvog člana na desnoj strani (14-56)
Inverzna matrica se određuje dijeljenjem pridružene ili recipročne matrice determinantom glavne matrice:
gdje je jednačina
(14-61)
predstavlja karakterističnu jednačinu strujnog kola koje se proučava.
Original drugog člana na desnoj strani (14-56) nalazi se korištenjem teoreme konvolucije u matričnom obliku
ako staviš
Zatim na osnovu (14-62)-(14-64)
I zajednička odluka diferencijalno heterogena matrična jednačina(14-43) na osnovu (14-56), (14-59) i (14-65) će izgledati ovako:
(14-66)
Prvi član na desnoj strani (14-66) predstavlja vrijednosti varijabli stanja ili reakciju kola na nultom ulazu, odnosno predstavlja prvu komponentu slobodnih procesa u kolu uzrokovanih prema početnim vrijednostima varijabli stanja kola koje nisu nula, pa je stoga rješenje jednadžbe. Drugi član predstavlja komponentu lančane reakcije u tj. nultom stanju lanca.
Nulto stanje kola nazivamo takvim stanjem kada početne vrijednosti sve varijable stanja su jednake nuli. Drugim riječima, drugi član (14-66) predstavlja zbir prisilne reakcije lanca koja nastaje pod utjecajem vanjskih utjecaja i druge komponente slobodnih procesa
Jednakost (14-66) znači da je reakcija kola jednaka zbroju reakcija na nultom ulazu i nultom stanju.
Na osnovu (14-48) i (14-66) za izlazne količine koje imamo.
Ako je stanje kola navedeno ne u trenutku , već u trenutku , tada su jednakosti (14-66) i (14-67) generalizirane:
(14-68)
Primjer 14-5. Za razgranati lanac drugog reda sastavljene su jednadžbe stanja
za različitu od nule početni uslovi i sa jedinim izvorom e. d.s.
Pronađite varijable stanja.
Rješenje. Prepišimo jednadžbe stanja u matričnom obliku
Hajde da prvo pronađemo prve slobodne komponente varijabli stanja na nultom ulazu. Da bismo to uradili, kreiraćemo matricu
Da biste pronašli pridruženu ili recipročnu matricu, zamijenite svaki element prethodne matrice sa algebarski dodatak Hajde da uzmemo matricu
Transponiramo ga pronalaženjem adjuintne ili recipročne matrice:
Nađimo determinantu matrice
Na osnovu (14-60) inverzna matricaće biti jednako:
Hajde da je razotkrimo inverzna konverzija Laplasa, uzimajući u obzir činjenicu da je za to potrebno svaki njegov element podvrgnuti inverznoj Laplaceovoj transformaciji. Na osnovu (14-73) dobijamo prelaznu matricu stanja kola
Na primjer,
Za prelaznu matricu stanja sistema dobijamo:
Za prve slobodne komponente varijabli stanja imaćemo
Sumirajući dobijene rezultate, nalazimo tražene vrijednosti varijabli stanja:
Budući da je rješenje jednadžbe (14-43) dobiveno gore i dato formulom (14-66), onda da biste provjerili ispravnost rješenja (14-66) i uz njegovu pomoć izračunali matricu varijabli stanja, prvo možete direktno zamijenite (14-66) u (14-43) pobrinite se da se ovo drugo pretvori u identitet. Da biste to učinili, samo trebate prvo izračunati diferenciranjem (14-66). U ovom slučaju dobijamo:
Sada nije teško direktno provjeriti da je (14-66) zaista rješenje matrične diferencijalne jednadžbe
Imajte na umu da prelazna matrica stanja sistema em omogućava da se u prostoru stanja, odnosno u prostoru čiji je broj dimenzija jednak broju komponenti vektora varijabli stanja, pronađe kretanje počevši od neke početni položaj(na ili na ) i vektor sadrži značajne informacije, jer istovremeno opisuje sve varijable stanja, odnosno funkcije vremena.
