Matematička matrica je tabela uređenih elemenata. Dimenzije ove tabele su određene brojem redova i kolona u njoj. Što se tiče rješenja matrica, oni nazivaju ogroman broj operacija koje se izvode na tim istim matricama. Matematičari razlikuju nekoliko tipova matrica. Za neke od njih vrijede opća pravila za odluku, dok za druge ne vrijede. Na primjer, ako matrice imaju istu dimenziju, onda se mogu dodati, a ako su konzistentne jedna s drugom, onda se mogu množiti. Za rješavanje bilo koje matrice potrebno je pronaći determinantu. Osim toga, matrice su podložne transponovanju i pronalaženju maloljetnika u njima. Pa pogledajmo kako riješiti matrice.
Redoslijed rješavanja matrica
Prvo zapisujemo date matrice. Brojimo koliko redova i kolona imaju. Ako je broj redaka i stupaca isti, onda se takva matrica naziva kvadratna. Ako je svaki element matrice nula, tada je ova matrica nula. Sljedeće što radimo je pronaći glavnu dijagonalu matrice. Elementi takve matrice su od donjeg desnog ugla do gornjeg lijevog. Druga dijagonala u matrici je bočna dijagonala. Sada moramo transponirati matricu. Da biste to učinili, potrebno je zamijeniti elemente reda u svakoj od dvije matrice odgovarajućim elementima stupca. Na primjer, element ispod a21 bit će element a12, ili obrnuto. Tako bi se nakon ove procedure trebala pojaviti potpuno drugačija matrica.
Ako matrice imaju potpuno istu dimenziju, onda se mogu lako dodati. Da bismo to učinili, uzimamo prvi element prve matrice a11 i dodajemo ga sličnom elementu druge matrice b11. Ono što se dešava kao rezultat, upisujemo na istu poziciju, samo u novoj matrici. Sada dodajemo sve ostale elemente matrice na isti način dok ne dobijemo novu potpuno drugačiju matricu. Pogledajmo još nekoliko načina rješavanja matrica.
Opcije za akcije sa matricama
Također možemo odrediti da li su matrice konzistentne. Da bismo to uradili, potrebno je da uporedimo broj redova u prvoj matrici sa brojem kolona u drugoj matrici. Ako su jednaki, možete ih pomnožiti. Da bismo to učinili, množimo u paru element u redu jedne matrice sa sličnim elementom u stupcu druge matrice. Tek nakon toga bit će moguće izračunati zbroj rezultirajućih proizvoda. Na osnovu toga, početni element matrice koji treba dobiti kao rezultat bit će jednak g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 + ... + a1m * bn1. Nakon što je sabiranje i množenje svih proizvoda završeno, možete popuniti konačnu matricu.
Također je moguće, prilikom rješavanja matrica, pronaći njihovu determinantu i determinantu za svaku. Ako je matrica kvadratna i ima dimenziju 2 sa 2, tada se determinanta može naći kao razlika svih proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale. Ako je matrica već trodimenzionalna, tada se determinanta može pronaći primjenom sljedeće formule. D \u003d a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.
Da biste pronašli minor datog elementa, morate precrtati kolonu i red u kojem se ovaj element nalazi. Zatim pronađite determinantu ove matrice. On će biti odgovarajući maloljetnik. Slična metoda matrice odlučivanja razvijena je prije nekoliko decenija kako bi se povećala pouzdanost rezultata dijeljenjem problema na podprobleme. Dakle, rješavanje matrica nije tako teško ako poznajete osnovne matematičke operacije.
Matrice. Akcije na matrice. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica.
Matrice (i prema tome matematički dio - matrična algebra) važni su u primijenjenoj matematici, jer omogućavaju pisanje u prilično jednostavnom obliku značajnog dijela matematičkih modela objekata i procesa. Termin "matrica" pojavio se 1850. godine. Matrice su prvi put spomenute u staroj Kini, kasnije od strane arapskih matematičara.
Matrix A=Amn poziva se red m*n pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redova i n - kolona.
Matrični elementi aij , za koje se i=j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.
Za kvadratnu matricu (m=n), glavnu dijagonalu čine elementi a 11 , a 22 ,..., a nn .
Matrična jednakost.
A=B, ako matrica naređuje A I B su isti i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Akcije na matrice.
1. Sabiranje matrice - operacija po elementima
2. Oduzimanje matrice - operacija element po element
3. Proizvod matrice brojem je operacija element po element
4. Množenje A*B matrice prema pravilu red po koloni(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redova matrice B)
A mk *B kn =C mn i svaki element sa ij matrice Cmn jednak je zbiru proizvoda i-tog reda matrice A na odgovarajuće elemente j-te kolone matrice B, tj.
Pokažimo operaciju množenja matrice na primjeru
5. Eksponencijacija
m>1 je pozitivan cijeli broj. A je kvadratna matrica (m=n) tj. relevantno samo za kvadratne matrice
6. Transpozicija matrice A. Transponovana matrica se označava sa A T ili A "
Redovi i kolone se zamjenjuju
Primjer
Svojstva operacija nad matricama
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Vrste matrica
1. Pravokutni: m I n- proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva
2. Kvadrat: m=n
3. Red matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva matrica se naziva vektor
4. Matrični stupac: n=1. Na primjer
5. Dijagonalna matrica: m=n I a ij =0, ako i≠j. Na primjer
6. Matrica identiteta: m=n I
7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Trouglasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.
9. Simetrična matrica: m=n I aij=aji(tj. postoje jednaki elementi na mjestima koja su simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu), te stoga A"=A
Na primjer,
10. Skew matrica: m=n I a ij =-a ji(tj. suprotni elementi stoje na mjestima koja su simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu). Dakle, na glavnoj dijagonali postoje nule (jer at i=j imamo a ii =-a ii)
To je jasno, A"=-A
11. Hermitska matrica: m=n I a ii =-ã ii (ã ji- složeno - konjugirano na a ji, tj. ako A=3+2i, zatim kompleksni konjugat Ã=3-2i)
Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kažu da ova matrica ima dimenziju m na n.
Opšti izgled matrice:
Za matrična rješenja morate razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice:
- Glavna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 11, a 22 ..... a mn.
- Bočna dijagonala koja se sastoji od elemenata a 1n ,a 2n-1 …..a m1.
Glavne vrste matrica:
- Kvadrat - takva matrica, gdje je broj redova = broj stupaca ( m=n).
- Nula - gdje su svi elementi matrice = 0.
- Transponovana matrica - matrica IN, koji je dobiven iz originalne matrice A zamjenom redova kolonama.
- Pojedinačni - svi elementi glavne dijagonale = 1, svi ostali = 0.
- Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži s originalnom matricom, rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične.
Metode rješavanja matrica.
Gotovo sve metode matričnog rješenja treba pronaći njegovu odrednicu n reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje i drugi, racionalniji načini.
Pronalaženje determinanti 2. reda.
Za izračunavanje determinante matrice ALI 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:
Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.
Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda.
Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od metode matričnog rješenja, može se predstaviti na sljedeći način:
Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom "+"; također, za 2. odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi:
At rješavanje matrica po Sarrusovom pravilu, desno od determinante, dodaju se prve 2 kolone i sa znakom "+" uzimaju se proizvodi odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne; i produkti odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-":
Proširenje determinante u red ili kolonu pri rješavanju matrica.
Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično izaberite red/kolona u kojoj/to ima nule. Red ili stupac na kojem se vrši dekompozicija će biti označen strelicom.
Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica.
At rješavanje matrica Svođenjem determinante na trokutasti oblik funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutasta i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji stoje na glavnoj dijagonali.
Laplaceov teorem za rješavanje matrica.
Prilikom rješavanja matrica korištenjem Laplaceove teoreme potrebno je direktno poznavati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ je determinanta n-th red. Odabiremo bilo koje k redovi (ili kolone), predviđeni k≤ n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k red koji se nalazi u odabranom k redova (kolona), njihovi algebarski dodaci će biti jednaki determinanti.
Rješenje inverzne matrice.
Sekvenca za inverzna matrična rješenja:
- Saznajte da li je data matrica kvadratna. U slučaju negativnog odgovora, postaje jasno da za njega ne može postojati inverzna matrica.
- Računamo algebarske sabirke.
- Sastavljamo savezničku (međusobnu, pridruženu) matricu C.
- Sastavljamo inverznu matricu od algebarskih sabiranja: svi elementi pridružene matrice C podijeliti sa determinantom početne matrice. Rezultirajuća matrica će biti željena inverzna matrica u odnosu na datu.
- Provjeravamo obavljeni posao: množimo matricu početne i rezultirajuće matrice, rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Rješenje matričnih sistema.
Za rješenja matričnih sistema najčešće se koristi Gaussova metoda.
Gaussova metoda je standardni način rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sekvencijalno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi u ekvivalentan sistem trokutastog oblika i iz njega, uzastopno, počevši od posljednjeg (po broju), pronaći svaki element sistema.
Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje matričnih rješenja. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode.
Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula preko glavne dijagonale proširene matrice) kretanja. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminacije varijabli.
Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od primijenjenog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg ugla.
Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojim brojem pretplatničkih podataka nisu ništa drugo do matrice. Ove matrice izgledaju ovako:
Jasno je da svi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze u različitim brojevima redova (razlikuju se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, koji može sadržavati hiljade, stotine hiljada, pa čak i milione redova, i novu bilježnicu koju ste upravo započeli, koja ima manje od deset redova) i kolone (imenik službenika neke organizacije u kome mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i ista vaša beležnica, gde možda nema podataka osim imena, pa samim tim ima samo dve kolone - ime i broj telefona).
Sve vrste matrica se mogu sabirati i množiti, a na njima se mogu izvoditi i druge operacije, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete pomjerati svoj um.
Ali jako puno matrica se može i treba sabirati i množiti i na ovaj način se mogu rješavati razni hitni zadaci. U nastavku su primjeri takvih matrica.
Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima se bilježi proizvodnja ovog proizvoda:
Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.
Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:
Matrice posljednje dvije vrste mogu se množiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.
Matrice, osnovne definicije
Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i napisano ovako:
(1)
U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao u odrednici, prvi indeks označava broj reda, drugi - stupca, na čijem se presjeku nalazi element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Matrica se zove pravougaona , ako .
Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov u redu .
Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.
Kvadratna matrica se zove nespecijalan (ili nedegenerisan , ne-jednina ) ako njegova determinanta nije jednaka nuli, i poseban (ili degenerisati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.
Matrice se pozivaju jednaka ako imaju isti broj redova i kolona i svi odgovarajući elementi su isti.
Matrica se zove null ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nulta matrica će biti označena simbolom 0 ili .
Na primjer,
matrica reda (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica stupaca (ili columnar ) – m 1-matrica.
Matrica A", koji se dobija iz matrice A zamjena redova i stupaca u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1), transponovana matrica je
Prijelaz na matrični rad A", transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponovana je nm-matricu.
Matrica transponirana u odnosu na matricu je A, tj
(A")" = A .
Primjer 1 Pronađite Matrix A", transponirano u odnosu na matricu
i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.
glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli se naziva dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.
Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju različitom od nule, a svi ostali jednaki nuli naziva se skalarna matrica .
matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica
Primjer 2 Podaci matrice:
Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trouglova, nalazimo
Matrična determinanta B izračunaj po formuli 
To lako dobijamo 
Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B- poseban (degenerisan, jednina).
Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.
Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 3 Matrični podaci
,
,
Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).
Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju
U obliku matrica, strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno zapisuju. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima korištenjem linearne algebre.
Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka od industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada među industrijama, postoje međuindustrijski odnosi, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.
Obim proizvodnje i-ta industrija (mjerena određenom jedinicom mjere) koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se ukupna proizvodnja i th industrija. Problemi su prikladno smješteni n-komponentni red matrice.
Broj jedinica proizvoda i-th industrija koju treba potrošiti j-th industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje, označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.
Uputstvo
Broj kolona i redova je podešen dimenzija matrice. Na primjer, dimenzija yu 5x6 ima 5 redova i 6 kolona. Uglavnom, dimenzija matrice zapisuje se kao m×n, gdje broj m označava broj redova, n - kolona.
Ako niz ima dimenzija m×n, može se pomnožiti sa n×l nizom. Broj kolona prvi matrice mora biti jednak broju redova drugog, inače operacija množenja neće biti definirana.
Dimenzija matrice označava broj jednačina u sistemu i broj varijabli. Broj redova odgovara broju jednačina, a svaka kolona ima svoju varijablu. Rješenje sistema linearnih jednačina se "zapisuje" u operacijama na matricama. Zahvaljujući sistemu matrične notacije, mogući su sistemi visokog reda.
Ako je broj redova jednak broju kolona, matrica je kvadratna. Sadrži glavnu i sekundarnu dijagonale. Glavni ide od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog, sekundarni ide od gornjeg desnog do donjeg lijevog.
Nizovi dimenzija i m×1 ili 1×n su vektori. Također možete predstaviti bilo koji red i bilo koju kolonu proizvoljne tablice kao vektor. Za takve matrice definirane su sve operacije nad vektorima.
U programiranju, pravougaonoj tabeli su data dva indeksa, od kojih jedan prolazi kroz ceo red, a drugi - dužinu kolone. U ovom slučaju, ciklus za jedan indeks se stavlja unutar ciklusa za drugi, zbog čega se uzastopni prolazak cijele dimenzije matrice.
matrice je efikasan način predstavljanja numeričkih informacija. Rješenje bilo kojeg sistema linearnih jednačina može se zapisati kao matrica (pravougaonik sastavljen od brojeva). Sposobnost množenja matrica je jedna od najvažnijih vještina koja se predaje na predmetu Linearna algebra u visokom obrazovanju.
Trebaće ti
- Kalkulator
Uputstvo
Da biste provjerili ovaj uvjet, najlakši način je korištenje sljedećeg algoritma - zapišite dimenziju prve matrice kao (a*b). Dalja dimenzija druge - (c*d). Ako su b=c - matrice srazmjerne, mogu se množiti.
Zatim izvršite samo množenje. Zapamtite – kada pomnožite dvije matrice, dobićete matricu. Odnosno, problem množenja se svodi na problem pronalaženja novog, sa dimenzijom (a * d). U SI, problem množenja matrice izgleda ovako:
void matrixmult(int m1[n], int m1_row, int m1_col, int m2[n], int m2_row, int m2_col, int m3[n], int m3_row, int m3_col)
( za (int i = 0; i< m3_row; i++)
za (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
za (int k = 0; k< m2_col; k++)
za (int i = 0; i< m1_row; i++)
za (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}
Jednostavno rečeno, nova matrica je zbir proizvoda elemenata reda prve matrice sa elementima stupca druge matrice. Ako ste element treće matrice sa brojem (1;2), onda biste trebali jednostavno pomnožiti prvi red prve matrice sa drugim stupcem druge. Da biste to učinili, smatrajte da je početni iznos jednak nuli. Zatim pomnožite prvi element prvog reda sa prvim elementom druge kolone, dodajte vrijednost zbroju. Uradite ovo: pomnožite i-ti element prvog reda sa i-tim elementom druge kolone i dodajte rezultate zbroju dok se red ne završi. Konačna suma će biti željeni element.
Nakon što ste pronašli sve elemente treće matrice, zapišite je. Našli ste rad matrice.
Izvori:
- Glavni matematički portal Rusije u 2019
- kako pronaći proizvod matrica u 2019
Matematička matrica je uređena tabela elemenata. Dimenzija matrice određen je brojem njegovih redova m i kolona n. Rješavanje matrica se podrazumijeva kao skup generalizirajućih operacija koje se izvode na matricama. Postoji nekoliko vrsta matrica, neke od njih nisu primjenjive na brojne operacije. Postoji operacija sabiranja za matrice iste dimenzije. Umnožak dvije matrice nalazi se samo ako su kompatibilne. Za bilo koje matrice odrednica je određena. Takođe, matrica se može transponovati i odrediti minor njenih elemenata.
Uputstvo
Zapišite zadatke. Odredite njihove dimenzije. Da biste to učinili, izbrojite broj kolona n i redova m. Ako za jednog matrice m = n, pretpostavlja se da je matrica kvadratna. Ako svi elementi matrice jednaka nuli, matrica je nula. Odredite glavnu dijagonalu matrice. Njegovi elementi se nalaze iz gornjeg lijevog ugla matrice dolje desno. Drugo, obrnuta dijagonala matrice je strana.
Izvršite transpoziciju matrice. Da biste to učinili, zamijenite elemente svakog reda elementima stupaca u odnosu na glavnu dijagonalu. Element a21 će postati element a12 matrice i obrnuto. Kao rezultat, od svakog inicijala matrice dobija se nova transponovana matrica.
Dodajte dato matrice, ako imaju istu dimenziju m x n. Da biste to učinili, uzmite prvi matrice a11 i dodajte ga istim elementom b11 sekunde matrice. Rezultat zbrajanja upišite u novi na istom mjestu. Zatim dodajte elemente a12 i b12 obje matrice. Dakle, popunite sve redove i stupce zbrajanja matrice.
Odredite ako je dato matrice pristao. Da biste to učinili, uporedite broj redova n u prvom matrice i broj kolona m sekunde matrice. Ako su jednaki, izvedite matrični proizvod. Da biste to učinili, pomnožite svaki element prvog reda u paru. matrice na odgovarajući element druge kolone matrice. Zatim pronađite zbir ovih proizvoda. Dakle, prvi element rezultira matrice g11 = a11*b11 + a12*b21 + a13*b31 + ... + a1m*bn1. Izvršite množenje i sabiranje svih proizvoda i popunite rezultirajuću matricu G.
Pronađite odrednicu ili determinantu za svaku datu matrice. Za matrice drugog tipa - dimenzija 2 sa 2 - determinanta se nalazi kao produkti elemenata glavne i sekundarne dijagonale matrice. Za 3D matrice determinanta: D \u003d a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.
Izvori:
- matricu kako riješiti
matrice su skup redova i kolona, na čijem se presjeku nalaze elementi matrice. matrice se široko koriste za rješavanje raznih jednačina. Jedna od osnovnih algebarskih operacija na matricama je dodavanje matrice. Kako dodati matrice?
Uputstvo
Možete dodati samo jednodimenzionalne matrice. Ako jedna ima m redova i n kolona, onda i druga matrica mora imati m redova i n kolona. Uvjerite se da su matrice za slaganje jednodimenzionalne.
Ako su predstavljene matrice iste veličine, odnosno dozvoljavaju algebarsku operaciju sabiranja, tada je for matrica iste veličine. Da biste je napravili, potrebno je da u parovima saberete sve elemente od dva koja se nalaze na istim mestima.Uzmite prvu matricu koja se nalazi u prvom redu i prvoj koloni. Dodajte ga elementu druge matrice, koji se nalazi na istom mjestu. Unesite rezultat u element prvog reda kolone ukupne matrice. Uradite ovo za sve elemente.
Dodavanje tri ili više matrica svodi se na dodavanje dvije matrice. Na primjer, da biste pronašli zbir matrica A + B + C, prvo pronađite zbir matrica A i B, a zatim dodajte rezultirajuću matricu matrici C.
Povezani video zapisi
Na prvi pogled nerazumljive, matrice zapravo i nisu tako komplikovane. Oni nalaze široku praktičnu primenu u ekonomiji i računovodstvu. Matrice izgledaju kao tabele, u svakoj koloni i redu koji sadrže broj, funkciju ili bilo koju drugu vrijednost. Postoji nekoliko vrsta matrica.
Uputstvo
Da biste naučili matricu, upoznajte se sa njenim osnovnim konceptima. Definirajući elementi matrice su njene dijagonale - i strana. Glavni počinje od elementa u prvom redu, prvoj koloni i nastavlja se na element posljednje kolone, posljednjem redu (odnosno ide slijeva na desno). Bočna dijagonala počinje obrnuto u prvom redu, ali posljednjoj koloni i nastavlja se na element koji ima koordinate prvog stupca i posljednjeg reda (ide s desna na lijevo).
Da biste prešli na sljedeće definicije i algebarske operacije s matricama, proučite vrste matrica. Najjednostavniji od njih su kvadrat, jedinica, nula i inverzni. U istom broju kolona i redova. Transponovana matrica, nazovimo je B, dobija se iz matrice A zamenom kolona sa redovima. U jedinici, svi elementi glavne dijagonale su jedinice, a ostali su nule. A u nuli, čak i elementi dijagonala su nula. Inverzna matrica je ona na kojoj originalna matrica dolazi do oblika identiteta.
Također, matrica može biti simetrična oko glavne ili bočne ose. To jest, element koji ima koordinate a(1;2), gdje je 1 broj reda, a 2 broj kolone, jednak je a(2;1). A(3;1)=A(1;3) i tako dalje. Podudarne matrice su one kod kojih je broj kolona jedne jednak broju redova druge (takve matrice se mogu množiti).
Glavne radnje koje se mogu izvesti sa matricama su sabiranje, množenje i pronalaženje determinante. Ako su matrice iste veličine, odnosno imaju jednak broj redova i kolona, onda se mogu dodati. Potrebno je dodati elemente koji se nalaze na istim mjestima u matricama, odnosno dodati a (m; n) sa u (m; n), gdje su m i n odgovarajuće koordinate stupca i reda. Prilikom sabiranja matrica važi glavno pravilo običnog aritmetičkog sabiranja - kada se mijenjaju mjesta članova, zbir se ne mijenja. Dakle, ako umjesto jednostavnog elementa a
