Wavelet transformacije (ili diskretne valne transformacije) se uglavnom koriste za analizu nestacionarnih signala i za mnoge probleme ove vrste su efikasnije od Fourierove transformacije.

Fourierova transformacija razlaže signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, tj. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, talasna transformacija se može izraziti integralnom transformacijom (1.40), gdje simbol negacije znači kompleksnu konjugaciju i neka je funkcija. Funkcija se može birati proizvoljno, ali mora zadovoljiti određena pravila.

Kao što vidite, wavelet transformacija je zapravo beskonačan skup razne transformacije ovisno o funkciji evaluacije koja se koristi za izračunavanje. Možete koristiti ortogonalne talase da razvijete diskretnu vallet transformaciju i neortogonalne talase da razvijete kontinuirani. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna wavelet transformacija vraća vektor podataka iste dužine kao i ulaz. Obično, čak i u ovom vektoru, veliki broj podataka je skoro nula. To odgovara činjenici da je razloženo na skup talasa (funkcija) koji su ortogonalni na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga sličan signal razlažemo na isti ili manji broj koeficijenti talasnog spektra, koji predstavlja broj tačaka podataka signala. Sličan talasni spektar je primjenjiv na obradu i kompresiju signala, na primjer, jer ovdje ne dobivamo nikakve suvišne informacije.

2. Kontinuirana wavelet transformacija, s druge strane, vraća niz za jednu dimenziju veći od ulaznih podataka. Za jednodimenzionalne podatke dobijamo sliku vremensko-frekventne ravni. Možete jednostavno pratiti promjenu frekvencije signala tokom trajanja signala i uporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da se ovdje koristi neortogonalni skup talasa, podaci su u velikoj korelaciji i imaju dosta redundantnosti. Ovo pomaže da se rezultat vidi u obliku bliže ljudskoj percepciji.

Diskretna talasna transformacija

Diskretna Wavelet Transform (DWT) je implementacija talasne transformacije koristeći diskretni skup talasnih skala i translacija koji se pridržavaju nekih specifičnih pravila. Drugim riječima, ova transformacija razlaže signal u međusobno ortogonalni skup talasa, što je glavna razlika od kontinuirane talasne transformacije (CWT), ili njene implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana talasna transformacija diskretnog vremena (DT -CWT).

Kao što je ranije prikazano, vallet se može konstruirati iz funkcije skaliranja koja opisuje njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje da funkcija skale mora biti ortogonalna na svoju vlastitu diskretne transformacije, implicira neka matematička ograničenja na njih, koja se svuda pominju, tj. jednačina homotetije

gdje je faktor skale (obično se bira kao 2).

Štaviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana i funkcija skaliranja mora biti ortogonalna na njene numeričke translacije, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatni uslovi(jer gornja ograničenja ne dovode do jedino rešenje) može se dobiti rezultat svih ovih jednačina, tj. konačan skup koeficijenata koji definiraju funkciju skaliranja kao i talas. Talas se dobija iz funkcije skaliranja kao gdje je paran cijeli broj. Skup talasa tada formira ortogonalnu osnovu koju koristimo za dekomponovanje signala. Treba napomenuti da će obično nekoliko koeficijenata biti različiti od nule, što pojednostavljuje proračune.

Na sl. 2.1 prikazuje neke funkcije skaliranja i talase. Najpoznatija porodica ortonormalnih talasa je porodica Daubechies. Njeni talasi se obično označavaju brojem koeficijenata koji nisu nula, pa se obično govori o Daubechies 4, Daubechies 6 talasima (4 i 6 označavaju talasni red) itd. Grubo govoreći, kako se broj koeficijenata povećava, talasne funkcije postaju glatkije. Još jedan od pomenutih talasa - najjednostavniji talas Haara koja koristi kvadratni val kao funkcija skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno)

Daubechies 4 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno)

Daubechies 20 funkcija skaliranja i talas (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno). 2.1

Glavna razlika talasne transformacije je dekompozicija podataka ne sinusoidima (kao za Fourierovu transformaciju), već drugim funkcijama koje se nazivaju generatori talasa. Funkcije koje formiraju talase, za razliku od beskonačno oscilirajućih sinusoida, su lokalizovane u nekom ograničenom području svog argumenta, a daleko od toga su jednake nuli ili zanemarljive. Primjer takve funkcije, nazvane "meksički šešir", prikazan je na Sl. 2.2.

Slika 2.2 Poređenje sinusoidne i talasne funkcije

Tema Wavelet transformacije.

Predavanja 6-8

funkcije skaliranja. Ortogonalna, kontinuirana i diskretna wavelet transformacija.

Problemi procjene i aproksimacije. Dvodimenzionalne i multidimenzionalne wavelet transformacije i obrada slike (uklanjanje šuma, obrada rasterske slike).

Multi-skala predstavljanje površina za talasnu analizu. Wavelet kompresija signala, slika, video slika.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralne analize, čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija. Izraz "wavelet" (talasić) u prijevodu sa engleskog znači "mali (kratki) talas". Talasi su generalizovani naziv za porodice matematičkih funkcija određenog oblika, koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, a u kojima se sve funkcije dobijaju iz jedne osnovne (generirajuće) pomoću njenih pomeranja i rastezanja duž vremenske ose. Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u terminima oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji. Wavelet transformacije (WT) se po pravilu dijele na diskretne (DWT) i kontinuirane (CWT).

DWT se koristi za transformaciju i kodiranje signala, CWT za analizu signala. Wavelet transformacije se trenutno usvajaju za širok spektar primjena, često zamjenjujući konvencionalnu Fourierovu transformaciju. Ovo se vidi u mnogim poljima, uključujući molekularnu dinamiku, kvantnu mehaniku, astrofiziku, geofiziku, optiku, kompjutersku grafiku i obradu slika, DNK analizu, istraživanje proteina, istraživanje klime, opću obradu signala i prepoznavanje govora.

Wavelet analiza je posebna vrsta linearne transformacije signala i fizičkih podataka. Osnova sopstvenih funkcija, prema kojoj se vrši talasna dekompozicija signala, ima mnoga specifična svojstva i mogućnosti. Wavelet funkcije baze omogućavaju fokusiranje na određene lokalne karakteristike analiziranih procesa koje se ne mogu otkriti tradicionalnim Fourierovim i Laplaceovim transformacijama. Takvi procesi u geofizici obuhvataju polja različitih fizičkih parametara prirodnih medija. Prije svega, to se tiče polja temperature, pritiska, profila seizmičkih tragova i drugih fizičkih veličina.

Talasi imaju oblik kratkovalnih paketa sa nultom srednjom sredinom, lokalizovani duž ose argumenata (nezavisne varijable), nepromenljivi na pomeranje i linearni prema operaciji skaliranja (kompresija/rastezanje). U smislu lokalizacije u vremenu i frekvencijskoj reprezentaciji, talasići zauzimaju međupoziciju između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije lokalizirane u vremenu.

Teorija talasa nije fundamentalna fizička teorija, ali pruža zgodan i efikasan alat za rješavanje mnogih praktičnih problema. Glavno područje primjene wavelet transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koje nisu stacionarne u vremenu ili neujednačene u prostoru, pri čemu rezultati analize treba da sadrže ne samo frekvencijski odziv signala (distribuciju energija signala preko frekvencijskih komponenti), ali i informacije o lokalnim koordinatama na kojima se nalaze same određene grupe frekvencijskih komponenti ili na kojima brze promjene frekvencijske komponente signala. U poređenju sa dekompozicijom signala u Fourierove serije, talasi su u stanju da sa mnogo većom tačnošću predstavljaju lokalne karakteristike signala, sve do diskontinuiteta 1. vrste (skokova). Za razliku od Fourierovih transformacija, wavelet transformacija jednodimenzionalnih signala omogućava dvodimenzionalni sweep, dok se frekvencija i koordinata smatraju nezavisnim varijablama, što omogućava analizu signala u dva prostora odjednom.

Jedna od glavnih i posebno plodnih ideja vallet reprezentacije signala na različitim nivoima dekompozicije (dekompozicije) je podjela funkcija pristupa signalu u dvije grupe: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljne. - sa lokalnom i brzom dinamikom promjena u odnosu na pozadinsku glatku dinamiku, sa njihovom naknadnom fragmentacijom i detaljima na drugim nivoima dekompozicije signala. Ovo je moguće iu vremenskom i u frekventnom domenu predstavljanja signala talasima.

Istorija spektralne analize seže do I. Bernoullija, Eulera i Fouriera, koji su prvi izgradili teoriju proširenja funkcija u trigonometrijske redove. Međutim, ova dekompozicija se dugo koristila kao matematička tehnika i nije bila povezana ni sa kakvim fizičkim konceptima. Spektralne reprezentacije koristio je i razvijao relativno uzak krug teorijskih fizičara. Međutim, od 1920-ih, zbog brzog razvoja radiotehnike i akustike, spektralna proširenja su dobila fizičko značenje i praktična upotreba. Harmonska analiza je postala glavni alat za analizu stvarnih fizičkih procesa, a Fourierova transformacija je postala matematička osnova za analizu. Fourierova transformacija dekomponuje proizvoljni proces u elementarni harmonijske vibracije With različite frekvencije, a sva potrebna svojstva i formule su izražene pomoću jedne osnovne funkcije exp(jt) ili dvije realne funkcije sin(t) i cos(t). Harmonične oscilacije su rasprostranjene u prirodi, pa je značenje Fourierove transformacije intuitivno, bez obzira na matematičku analitiku.

Fourierova transformacija ima niz izvanrednih svojstava. Područje definicije transformacije je prostor L 2 kvadratno integrabilnih funkcija, a mnogi fizički procesi u prirodi mogu se smatrati funkcijama koje pripadaju ovom prostoru. Za primjenu transformacije razvijene su efikasne računske procedure kao što je brza Fourierova transformacija (FFT). Ovi postupci su uključeni u sve pakete primijenjenih matematičkih programa i implementirani su hardverski u signalnim procesorima.

Također je utvrđeno da se funkcije mogu proširiti ne samo u smislu sinusa i kosinusa, već iu smislu drugih ortogonalnih bazičnih sistema, na primjer, Legendre i Chebyshev polinomi, Laguerre i Hermite funkcije. Međutim, oni su dobili praktičnu primenu tek u poslednjim decenijama 20. veka zahvaljujući razvoju računarske tehnologije i metoda za sintezu digitalnih sistema za linearnu obradu podataka. Direktno za potrebe spektralne analize, takve ortogonalne funkcije nisu našle široku primjenu zbog poteškoća u interpretaciji dobivenih rezultata. Iz istih razloga u spektralnoj analizi nisu razvijene funkcije tipa "kvadratnog talasa" Walsha, Rademachera itd.

Teorijske studije osnovni sistemi dovela je do stvaranja teorije generalizovane spektralne analize, koja je omogućila procenu granica praktične primene Fourierove spektralne analize, stvorila metode i kriterijume za sintezu ortogonalnih baznih sistema. To ilustruje talasna teorija baznih funkcija, koja se aktivno razvija od ranih 1980-ih. Zbog transparentnosti fizičke interpretacije rezultata analize, slično "frekvencijskom" pristupu u Fourierovoj transformaciji, talasna ortogonalna baza postala je popularan i efikasan alat za analizu signala i slika u akustici, seizmici, medicini i dr. oblasti nauke i tehnologije.

Wavelet analiza je vrsta spektralne analize u kojoj ulogu prostih oscilacija igraju posebne vrste funkcija koje se nazivaju talasi. osnovnu funkciju wavelet je neka "kratka" oscilacija, ali ne samo. Koncept frekvencije spektralne analize ovdje je zamijenjen skalom, a da bi se cijela vremenska os pokrila "kratkim talasima", uvodi se pomak funkcija u vremenu. Osnova talasa su funkcije tipa ((t-b)/a), gdje je b pomak, a skala. Funkcija (t) mora imati nultu površinu i, još bolje, prvi, drugi i ostali momenti jednaki nuli. Fourierova transformacija takvih funkcija jednaka je nuli na =0 i ima oblik propusnog filtera. S različitim vrijednostima parametra skaliranja "a", ovo će biti skup filtera za propuštanje pojasa. Wavelet porodice u vremenu ili frekvencijski domen se koriste za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicije talasa na različitim nivoima razlaganja (dekompozicije) signala.

Prvi spomen takvih funkcija (koje se nisu zvale talasi) pojavio se u Haarovim radovima početkom prošlog stoljeća. Haarov talas je kratak kvadratni talas na intervalu , prikazan na Sl. 1.1.1. Međutim, teoretski je zanimljiviji, jer nije kontinuirano diferencibilna funkcija i ima duge "repove" u frekvencijskom domenu. Tokom 1930-ih, fizičar Paul Levy, dok je proučavao Brownovo kretanje, otkrio je da je Haarova osnova bolja od Fourierove osnove za proučavanje detalja Brownovog kretanja.

Termin "talas", kao pojam, uveli su u svom članku J. Morlet i A. Grossman (J. Morlet, A. Grossman), objavljenom 1984. Proučavali su seizmičke signale koristeći osnovu koju su nazvali talas . Značajan doprinos teoriji talasa dali su Guppilaude, Grossman i Morlet, koji su formulisali temelje CWT-a, Ingrid Daubechies, koja je razvila ortogonalne talase (1988), Natalie Delpra, koja je stvorila vremensko-frekvencijsku interpretaciju CWT-a (1991) , i mnogi drugi. Matematička formalizacija talasa u radovima ovih i drugih autora dovela je do stvaranja teorijskih osnova talasne analize, nazvane multirezolucionom (multiple-scale) analizom.

Trenutno su specijalni paketi proširenja za talase prisutni u glavnim sistemima kompjuterske matematike (Matlab, Mathematica, Mathcad, itd.), a talasne transformacije i talasne analize koriste se u mnogim oblastima nauke i tehnologije za različite zadatke. Mnogi istraživači nazivaju wavelet analizu "matematičkim mikroskopom" za precizno proučavanje unutrašnjeg sastava i strukture nehomogenih signala i funkcija.

Wavelet metode obrade i analize signala ne treba smatrati novom univerzalnom tehnologijom za rješavanje bilo kakvih problema. Mogućnosti talasa još nisu u potpunosti otkrivene, ali to ne znači da će njihov razvoj dovesti do potpune zamjene tradicionalnih sredstava za obradu i analizu informacija, dobro uhodanih i vremenski provjerenih. Talasi omogućavaju proširenje instrumentalne baze informacionih tehnologija za obradu podataka.

Analitika transformacija talasnog signala određena je matematičkom bazom dekompozicije signala, koja je slična Fourierovim transformacijama. Glavna prepoznatljiva karakteristika wavelet transformacija je nova osnova za dekompoziciju signala - wavelet funkcije. Svojstva talasa su fundamentalno važna kako za samu mogućnost dekomponovanja signala u smislu jediničnih talasnih funkcija, tako i za svrsishodno delovanje na spektre talasa, uključujući naknadnu rekonstrukciju signala iz obrađenih talasnih spektra.

Talasi mogu biti ortogonalni, poluortogonalni, biortogonalni. Wavelet funkcije mogu biti simetrične, asimetrične i asimetrične, sa i bez kompaktnog domena definicije, a također imaju različite stupnjeve glatkoće. Neke funkcije imaju analitički izraz, druge imaju brzi algoritam za izračunavanje talasne transformacije. U praksi bi bilo poželjno imati ortogonalne simetrične i asimetrične talase, ali takvi idealni talasi ne postoje. Najveću primjenu nalaze biortogonalni talasi.

Osnovne funkcije talasnih transformacija mogu biti najviše razne funkcije sa kompaktnim nosačem - sinusoidi modulirani impulsima, funkcije sa skokovima nivoa itd. Oni pružaju dobar prikaz i analizu signala s lokalnim karakteristikama, uključujući skokove, diskontinuitete i strme vrijednosti.

Bilo bi poželjno imati takvu vallet-transformaciju signala koja bi obezbijedila potpunu informatičku ekvivalenciju talasnog spektra signala sa vremenskom reprezentacijom i nedvosmislenu dekompoziciju - rekonstrukciju signala. Međutim, to je moguće samo kada se koriste ortogonalni i biortogonalni talasi. Za kvalitativnu analizu signala i lokalnih karakteristika u signalima može se koristiti širi raspon wavelet funkcija koje, iako ne daju rekonstrukciju signala, omogućavaju procjenu informacijskog sadržaja signala i dinamiku promjena u tim informacijama. .

Wavelet definicija. Talasi uključuju lokalizirane funkcije koje su konstruirane iz jednog roditeljskog talasa (t) (ili iz bilo koje druge nezavisne varijable) operacijama pomaka na argumentu (b) i velika promjena(a):

 ab (t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L 2 (R).

pri čemu faktor (1/) osigurava da je norma funkcija nezavisna od skale broja "a".

Kontinuirana talasna transformacija signala s(t)L 2 (R), koja se koristi za kvalitativnu vremensko-frekvencijsku analizu, po svom značenju odgovara Fourierovoj transformaciji sa zamjenom harmonijske osnove exp(-jt) pomoću talasa ((t-b)/a ):

S(a, b) = s(t),  ab (t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a 0.

Spektar vremenske skale talasa C(a,b), za razliku od Fourierovog spektra, funkcija je dva argumenta: skale talasa "a" (u recipročnim jedinicama frekvencije) i vremenskog pomaka talasa. wavelet signalom "b" (u jedinicama vremena), dok parametri "a" i "b" mogu uzeti bilo koju vrijednost u okviru svoje definicije.

Rice. 24.1.1. Wavelets Mhat i Wave.

Na sl. 24.1.1 dati su primjeri najjednostavnijih neortogonalnih talasa parnog (Mhat) i neparnog (Wave) tipa.

Za kvantitativne metode analize, bilo koje lokalizovane funkcije (t) mogu se koristiti kao talasne baze, ako za njih postoje funkcije blizanke  # (t), tako da su porodice ( ab (t)) i (  ab ( t) ) mogu formirati uparene baze funkcionalnog prostora L 2 (R). Ovako definirani talasići nam omogućavaju da predstavimo bilo koju proizvoljnu funkciju u prostoru L 2 (R) kao niz:

s(t) = S(a,b)  ab (t), (a, b)I,

gdje su koeficijenti C(a,b) projekcije signala na talasnu osnovu prostora:

S(a,b) = s(t),  ab (t) =s(t) ab (t) dt.

Ako talas (t) ima svojstvo ortogonalnosti, tada je   (t) ≡ (t) i baza talasa je ortogonalna. Talas može biti neortogonan, ali ako ima blizanca, a par ((t),   (t)) omogućava formiranje porodica ( mk (t)) i (  zp (t) )), zadovoljavajući uvjet biortogonalnosti na cijelim brojevima I:

 mk (t),   zp (t) =  mz  kp , m,k,z,p O I,

tada je moguće razložiti signale u talasne serije pomoću formule inverzne rekonstrukcije.

Wavelet Properties ,

Lokalizacija. Talas mora biti kontinuiran, integrabilan, imati kompaktan oslonac i biti lokaliziran i u vremenu (u prostoru) i u frekvenciji. Ako se talasni talas suzi u prostoru, tada se njegova "prosečna" frekvencija povećava, talasni spektar se pomera u oblast više visoke frekvencije i širi se. Ovaj proces bi trebao biti linearan - sužavanje talasa za polovinu trebalo bi povećati njegovu "prosječnu" frekvenciju i širinu spektra također za faktor dva.

Zero mean , tj. ispunjenje uslova za nulti trenutak:

koji obezbeđuje nulto pojačanje konstantne komponente signala, nultu vrednost talasnog frekvencijskog spektra na =0, i lokalizaciju talasnog spektra u obliku propusnog filtera sa središtem na određenoj (dominantnoj) frekvenciji  0 .

Ograničenje. Neophodan i dovoljan uslov:

||(t)|| 2 =|(t)| 2dt< 

Osnova samosličnosti ili samosličnost. Oblik svih osnovnih talasa  ab (t) mora biti sličan matičnom talasu (t), tj. moraju ostati isti tokom pomaka i skaliranja (istezanje/kompresija), imati isti broj oscilacija.

Transformirajte mapiranje . Rezultat wavelet transformacije jednodimenzionalnog numeričkog niza (signala) je dvodimenzionalni niz vrijednosti koeficijenata S(a,b). Raspodjela ovih vrijednosti u prostoru (a, b) - vremenska skala, vremenska lokalizacija, daje informaciju o promjeni u vremenu relativnog doprinosa talasnih komponenti različitih skala signalu i naziva se spektrom koeficijenti talasne transformacije, skala-vreme (frekvencija-vreme) spektar ili jednostavno talasni spektar.

Spektar C(a,b) jednodimenzionalnog signala je površina u trodimenzionalnom prostoru. Metode vizualizacije spektra mogu biti vrlo različite. Najčešći način je projekcija na ravan. ab sa izolinijama (izolinijama), što omogućava praćenje promjena koeficijenata na različitim vremenskim skalama, kao i otkrivanje obrasca lokalnih ekstrema ovih površina („brda“ i „dolina“), tzv. skelet" (skelet) strukture analiziranog procesa. At širok raspon vage primjenjuju logaritamske koordinate (log a, b). Primjer talasnog spektra najjednostavnijeg signala kada se razloži Mhat talasom prikazan je na sl. 24.1.2.

Rice. 24.1.2. Signal, wavelet Mhat - spektar i dio spektra skale.

Po vertikalnim presjecima (posmični presjeci b) talasni spektar odražava komponentni sastav signala (iz datog skupa talasa) u svakom trenutnom trenutku. Po smislu transformacije, kao skalarnog proizvoda signala sa talasom, jasno je da su vrednosti koeficijenata u svakoj trenutnoj vremenskoj tački duž preseka skale to veće, što je jača korelacija između talasa datu skalu i ponašanje signala u blizini ove tačke. Shodno tome, presjeci za parametar "a" pokazuju promjene u signalu komponente date skale "a" s vremenom.

Wavelet komponente signala u dijelovima njegovog spektra nemaju nikakve veze sa sinusoidama, a obično su predstavljene signalima prilično složene i ne uvijek jasne forme, što može otežati njihovu vizualizaciju i razumijevanje.

Wavelet funkcije . Izbor talasnog talasa za analizu određen je informacijama koje treba izdvojiti iz signala. Uzimajući u obzir karakteristike različitih talasa u vremenskom i frekventnom prostoru, moguće je identifikovati određena svojstva i karakteristike u analiziranim signalima koje su nevidljive na grafovima signala, posebno u prisustvu šuma. U ovom slučaju se možda neće postaviti problem rekonstrukcije signala, čime se proširuje familija korišćenih regularnih wavelet funkcija, uključujući i neortogonalne. Štaviše, talas se može dizajnirati direktno za tu lokalnu karakteristiku u signalu, koju treba izdvojiti ili detektovati, ako je njen oblik poznat a priori.

Kada se analiziraju signali talasima parnog tipa (simetrični ili blizu simetričnih), harmonijski signali obično odgovaraju svijetlim horizontalnim vrpcama vrhova i padova talasa na dominantnim frekvencijama talasa koje se poklapaju sa frekvencijom harmonika signala. Poremećaji glatkoće signala su fiksirani vertikalnim prugama, vrhovi u signalima su istaknuti maksimumima, a donje vrijednosti su minimumi wavelet koeficijenata. Naprotiv, talasi neparnog tipa oštrije reagiraju na skokove i brze promjene signala, označavajući ih maksimumima ili minimumima, ovisno o predznaku diferencijala. Što su karakteristike signala izraženije, to se jače ističu na spektrogramima.

Za konstruiranje takvih talasa često se koriste Gaussovi derivati, koji imaju najbolju lokalizaciju iu vremenskom i u frekvencijskom domenu. U opštem obliku, osnovna talasna jednačina je:

 n (x) = (-1) n +1 d n /dx n , n ≥ 1, (24.1.1)

WAVE wavelet izračunat je prvim izvodom (n=1) i prikazan je na sl. 24.1.3 u vremenskom i frekvencijskom domenu za tri vrijednosti faktora skaliranja "a". Talasni oblik se odnosi na neparne funkcije i, shodno tome, talasni spektar je imaginaran. Wavelet jednadžba prema (24.1.1) sa jediničnom normom:

Rice. 24.1.3. Wavelet Wave.

Na sl. 24.1.4 pokazuje primjer upotrebe talasa za analizu dva signala istog tipa, od kojih je jedan komplikovan šumom sa snagom na nivou snage samog signala. Kao što slijedi sa slike, konturni skalo-vremenski uzorak talasnih koeficijenata, kao i njegov poprečni presjek na velike vrijednosti faktor skale "a" vrlo precizno i ​​pouzdano fiksira poziciju vrha informacijskog signala promjenom predznaka koeficijenata C (a, b).

MNAT talas (Meksički šešir - Meksički šešir) se izračunava iz druge derivacije (n=2) i prikazan je na sl. 24.1.5. Wavelet je simetričan, talasni spektar je predstavljen samo realnim dijelom i dobro je lokaliziran po frekvenciji, nulti i prvi momenti talasa su jednaki nuli. Koristi se za analizu složenih signala. Wavelet jednadžba prema (24.1.1):

Rice. 24.1.5. Wavelet MHAT.

Na sl. 24.1.6 pokazuje primjer korištenja talasa za analizu kompleksnog signala y(t). Model signala se formira sumom signala drugačija struktura. y1-y2 signali su Gaussove funkcije različitih nivoa skale, y3 signal je pravokutni impuls, y4 signal je dat kao trend sa konstantnom diferencijalnom vrijednošću. Na konturnom prikazu wavelet koeficijenata može se vidjeti izbor sve tri glavne signalne strukture uz potpuno isključenje trenda. Posebno se jasno razlikuju granice skokova pravokutne strukture. Desno na slici je prikazana kompletna trodimenzionalna slika talasne transformacije.

Talas se široko koristi u dvodimenzionalnoj verziji za analizu izotropnih polja. Na njegovoj osnovi je također moguće konstruirati dvodimenzionalnu ne-izotropnu osnovu sa dobrom kutnom selektivnošću pri dodavanju pomaka i skaliranju talasa njegove rotacije.

Rice. 24.1.7.

Sa povećanjem broja izvoda funkcije (24.1.1), vremenski domen definicije talasa se neznatno povećava uz značajno povećanje dominantne frekvencije talasa i stepena njegove lokalizacije u frekvencijskom domenu. Talasi n-tog reda omogućavaju analizu finijih visokofrekventnih signalnih struktura potiskivanjem niskofrekventnih komponenti. Primjer talasa u odnosu na osmi izvod prikazan je na sl. 24.1.7.

Praktična posljedica povećanja stepena lokalizacije talasa u frekvencijskom domenu jasno se vidi na Sl. 24.1.8 na primjeru transformacije iste funkcije kao na sl. 24.1.6. Poređenje slika pokazuje značajno povećanje osetljivosti talasa na visokofrekventne komponente signala pri malim faktorima.

Svojstva Wavelet Transform

Rezultati talasne transformacije, kao skalarnog proizvoda talasa i signalne funkcije, sadrže kombinovane informacije o analiziranom signalu i samom talasu. Dobijanje objektivnih informacija o signalu zasniva se na svojstvima talasne transformacije, koja je uobičajena za talase svih tipova. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije talasne transformacije proizvoljnih funkcija s(t), koristit ćemo indeks TW.

Linearnost .

TW[·s 1 (t)+·s 2 (t)] = ·TW+·TW. (24.2.1)

Invarijantnost smicanja . Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka talasnog spektra također za t 0:

TW = C(a, b-t o). (24.2.2)

Invarijantnost skaliranja . Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (istezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1/a o) C(a/a o,b/a o). (24.2.3)

Diferencijacija .

d n (TW)/dt n = TW. (24.2.4)

TW = (-1)n s(t) dt. (24.2.5)

Ako je talasni talas za analizu dat formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Karakteristike visokog reda ili male varijacije signala s(t) mogu se analizirati diferenciranjem potrebnog broja puta bilo talasa ili samog signala.

Analog Parsevalove teoreme za ortogonalne i biortogonalne talase.

s 1 (t) s 2 *(t) \u003d C   a -2 C (a, b) C * (a, b) da db. (24.2.6)

Iz toga slijedi da se energija signala može izračunati u smislu koeficijenata vallet transformacije.

Definicije i svojstva jednodimenzionalne kontinuirane wavelet transformacije su generalizirane na višedimenzionalne i diskretne slučajeve.

24.3. Wavelet transformacija jednostavnih signala.

Wavelet transformacija, koja se izvodi prilikom analize signala da bi se identificirale bilo koje karakteristike u njima i njihova lokacija bez reverzne rekonstrukcije, omogućava korištenje bilo koje vrste talasa, kako ortogonalnih tako i neortogonalnih. Najčešće se za ove svrhe koriste simetrični talasi. Ispod su rezultati primene Mhat talasa za analizu jednostavnih talasnih oblika. Proračuni se vrše sa talasom (24.1.3) prema formuli:

s(a,b) =s(t)(t,a,b), (24.3.1)

pri čemu se zbrajanje vrši u rješenju ugla utjecaja (preko područja povjerenja) sa korakom t = b = a = 1. Budući da se funkcija skaliranja ne koristi u kontinuiranoj ekspanziji, brojanje vrijednosti ​"a" počinje od 1, a niz koeficijenata c( 0,b) ostavlja nulu i definira nultu pozadinu dijagrama konture spektra.

Kroneckerovi impulsi (pozitivni i negativni), talasni spektar impulsa i poprečni presjeci spektra pri tri vrijednosti parametra "a" prikazani su na Sl. 24.3.1. Raspon boja spektra ovdje i u budućnosti odgovara prirodnom rasponu boja od crvene (velike vrijednosti) do ljubičaste (male vrijednosti koeficijenata).

Rice. 24.3.1. Transformacija Kroneckerovih impulsa.

Iz dionica spektra se može vidjeti da konvolucija pojedinačnih impulsa sa talasima različitih skala ponavlja oblik talasa, kao što bi trebalo biti u operaciji konvolucije. Sukladno tome, linije maksimalnih ekstrema na presjecima („grebeni“ i „doline“, u zavisnosti od polariteta) određuju vremenski položaj impulsa, a bočni ekstremi suprotnog polariteta formiraju karakteristične režnjeve u konusu ugla od uticaj, koji je dobro izražen.

Rice. 24.3.2. Transformacija Laplaceovih funkcija.

Sličan karakter spektra je također očuvan za sve lokalne nehomogenosti na signalima u obliku pikova (slika 24.3.2) sa pomakom u maksimumima (minimumima) koeficijenata s(a,b) od vrijednosti a=1 na područje velikih vrijednosti "a" (u zavisnosti od efektivne širine vrha).

Rice. 24.3.3. Transformacija Gausovih funkcija.

Na sl. 24.3.3 prikazuje spektar Gausovih funkcija. Kada se vrhovi vršnih nehomogenosti izglade, izglađuje se i oblik konusa u boji, ali linije "grebena" ("doline") prilično precizno fiksiraju položaj centara lokalnih nehomogenosti na vremenskoj osi.

Rice. 24.3.4. Transformacija razlike konstantne vrijednosti funkcija.

Na sl. 24.3.4 prikazuje spektre dvije različite strmine razlike u konstantnim vrijednostima funkcije. Centri padova su fiksirani ukrštanjem nule vrijednosti koeficijenata c(a,b), a strmina padova se odražava uglavnom na vrijednosti funkcije c(a,b) pri male vrijednosti parametra "a".

Pri prekidima u funkcijama, spektrogrami pouzdano fiksiraju mjesto prekida po maksimumima (minimumima) vrijednosti koeficijenata c(a,b), kao što je prikazano na sl. 24.3.5. Kada se šum primijeni na takve funkcije, postaje nemoguće precizno odrediti lokaciju prekida u dijelovima skale pri malim vrijednostima parametra "a", međutim, pri velikim vrijednostima parametra "a", ova mogućnost ostaje , naravno, sa smanjenjem točnosti lokalizacije.

Rice. 24.3.5. Transformacija kinkova funkcija.

Sličan karakter ima i efekat šuma na druge lokalne signale (sl. 24.3.1-24.3.4). Ako se spektralne karakteristike signala protežu na raspon vrijednosti parametra "a", tada je moguće identificirati ove signale i njihovo mjesto na vremenskoj osi.

Rice. 24.3.6. Transformacija harmonijskih funkcija.

Razdvajanje harmonijskih funkcija na osi skale spektra, uključujući superpoziciju procesa jake buke, prikazano je u primjerima na sl. 24.3.6. Navedeni primjer je čisto ilustrativan, jer je svrsishodan za korištenje spektralna analiza i filteri frekvencijskog pojasa. Ipak, za lokalne signale, kao što su modulirani harmonici, talasni spektri prilično dobro pokazuju mjesto njihove lokalizacije na vremenskoj osi.

Rice. 24.3.7. Promjena faze harmonijskog signala.

Na sl. 24.3.7 je primjer još jedne karakteristične osobine harmonijskog signala - promjene njegove faze za 180 o, koja je dobro fiksirana na svim talasnim skalama, te se stoga prilično lako određuje čak iu prisustvu jakih signala šuma.

Kada su sinusoidni signali superponirani na trend, talasna transformacija na velikim skalama omogućava da se sasvim pouzdano identifikuju karakteristične karakteristike trenda. Primjer isticanja prekida trenda prikazan je na sl. 24.3.8.

Rice. 24.3.8. Transformacija zbira tri signala.

Oblik talasa (parni ili neparni), dominantna frekvencija i stepen njegove lokalizacije značajno utiču na talasne spektre analiziranih signala i mogućnost identifikacije njegovih lokalnih karakteristika. Sljedeće slike prikazuju uporedne spektre jednostavnih signala kada se koriste talasi Wave (neparni, slika 24.1.3), Mhat (parni, slika 24.1.5) i talas prema 8. Gaussovom izvodu (sl. 24.3.9-24.3 .16), koji je takođe paran i ima dominantnu frekvenciju 4 puta veću od Mhat talasa.

Rice. 24.3.9. Kronecker impulsi.

Rice. 24.3.10. Peaks of Laplace.

Rice. 24.3.11. Gausove funkcije.

Rice. 24.3.12. Cool skokovi.

Rice. 24.3.13. Uglađeni skokovi.

Rice. 24.3.14. Prekidi funkcije

Rice. 24.3.15. Fazni skokovi harmonika.

Rice. 24.3.16. Zbir dvije modulirane sinusoide.

Prilikom analize proizvoljnih signala, korištenje talasa različitih tipova omogućava povećanje pouzdanosti identifikacije lokalnih karakteristika signala.

Princip Wavelet transformacije. Harmonske bazne funkcije Fourierove transformacije su izrazito lokalizirane u frekvencijskoj domeni (do Diracovih impulsnih funkcija na T) i nisu lokalizirane u vremenskoj domeni (definirane u cijelom vremenskom intervalu od -do). Njihova suprotnost su bazične funkcije impulsa Kroneckerovog tipa, koje su izrazito lokalizirane u vremenskoj domeni i "zamućene" u cijelom frekventnom opsegu. Talasi u smislu lokalizacije u ova dva prikaza mogu se smatrati funkcijama koje zauzimaju međupoziciju između harmonijskih i impulsnih funkcija. Oni moraju biti lokalizovani iu vremenskom i u frekvencijskom domenu reprezentacije. Međutim, prilikom projektovanja ovakvih funkcija neizbježno ćemo naići na princip nesigurnosti koji se odnosi na efektivne vrijednosti trajanja funkcija i širinu njihovog spektra. Što preciznije lokalizujemo vremenski položaj funkcije, njen spektar će postati širi, i obrnuto, što se jasno vidi na Sl. 1.1.5.

Karakteristična karakteristika talasne analize je da može koristiti porodice funkcija koje implementiraju različite varijante relacije nesigurnosti. Shodno tome, istraživač ima mogućnost fleksibilnog izbora između njih i korištenja onih wavelet funkcija koje najefikasnije rješavaju zadatke.

Talasnu bazu prostora L 2 (R), R(-,), preporučljivo je konstruirati iz konačnih funkcija koje pripadaju istom prostoru, koje bi trebale težiti nuli u beskonačnosti. Što brže ove funkcije teže nuli, to je pogodnije koristiti ih kao osnovu za transformaciju u analizi stvarni signali. Pretpostavimo da je takva funkcija psi - funkcija t, jednaka nuli izvan nekog konačnog intervala i koja ima nultu prosječnu vrijednost u intervalu zadatka. Potonje je neophodno za specificiranje lokalizacije talasnog spektra u frekvencijskom domenu. Na osnovu ove funkcije konstruiramo bazu u prostoru L 2 (R) koristeći skalirajuće transformacije nezavisne varijable.

Funkcija promjene frekvencijsko nezavisne varijable u spektralnom prikazu signala prikazuje se u vremenskoj reprezentaciji rastezanjem/komprimiranjem signala. Za talasnu osnovu, ovo se može uraditi pomoću funkcije kao što je (t) =>(a m t), a = const, m = 0, 1, … , M, tj. pomoću linearne operacije rastezanja/kompresije, koja osigurava samosličnost funkcije na različitim skalama predstavljanja. Međutim, lokalizacija funkcije (t) na vremenskoj osi zahtijeva dodatnu nezavisnu varijablu uzastopnih pomaka funkcije (t) duž ose, kao što je (t) =>(t+k), da se pokrivaju cijelu numeričku osu prostora R(-, ). Uzimajući u obzir oba uslova istovremeno, struktura osnovne funkcije može se uzeti na sljedeći način:

(t) => (a m t+k). (1.1.10)

Da bismo pojednostavili dalje proračune, vrijednosti varijabli m i k će se uzeti kao cijeli brojevi. Svođenjem funkcije (1.1.10) na jediničnu normu dobijamo:

 mk (t) = a m/2 (a m t+k). (1.1.11)

Ako porodica funkcija  mk (t) zadovoljava uslov ortogonalnosti:

 nk (t), lm (t)= nk (t) * lm (t) dt = nl  km , (1.1.12)

tada se porodica  mk (t) može koristiti kao ortonormalna baza prostora L 2 (R). Proizvoljna funkcija ovog prostora može se proširiti u niz u smislu baze  mk (t):

s(t) =S mk  mk (t), (1.1.13)

gdje su koeficijenti S m k projekcije signala na novu ortogonalnu osnovu funkcija, kao u Fourierovoj transformaciji, određeni su skalarnim proizvodom

S mk = s(t),  mk (t) =s(t) mk (t) dt, (1.1.14)

dok se niz ravnomjerno konvergira:

||s(t) –S mk  mk (t),|| = 0.

Kada su ovi uslovi ispunjeni, funkcija transformacije baze (t) naziva se ortogonalni talas.

Najjednostavniji primjer ortogonalnog sistema funkcija ovog tipa su Haarove funkcije. Osnovna Haar funkcija je definirana relacijom

(t) = (1.1.15)

Lako je provjeriti da za a = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1,2, ..., bilo koje dvije funkcije dobivene korištenjem ovog osnovnog talasa skaliranjem i translacijama imaju jediničnu normu i ortogonalno. Na sl. 1.1.6 daje primjere funkcija za prve tri vrijednosti m i b sa njihovim različitim kombinacijama, gdje je jasno vidljiva ortogonalnost funkcija.

Rice. 1.1.6. Haar funkcije

Wavelet Spectrum , za razliku od Fourierove transformacije, je dvodimenzionalna i definira dvodimenzionalnu površinu u prostoru varijabli m i k. U grafičkom prikazu, parametar rastezanja/kompresije spektra m je iscrtan duž ose apscise, a parametar lokalizacije k duž ordinatne ose je os nezavisne varijable signala. Matematika procesa wavelet dekompozicije signala u pojednostavljenom obliku će se razmatrati na primjeru dekompozicije signala s(t) Haarovim talasom sa tri wavelet funkcije sekvencijalne u skali m sa parametrom a=2, dok je signal Sam s(t) se formira zbrajanjem istih talasnih funkcija sa istom amplitudom sa različitim pomacima od nule, kao što je prikazano na Sl. 1.1.7.

Rice. 1.1.7. Tačkasti proizvodi signala sa talasima.

Za početnu vrijednost faktora skaliranja m određena je wavelet funkcija (1(t) na slici 1.1.7), a skalarni proizvod signala sa talasom1(t), s(t+ k)sa argumentom pomaka k . Radi jasnoće, rezultati izračunavanja skalarnih proizvoda na Sl. 1.1.7 izgrađene su na centrima talasnih funkcija (tj. na argumentu k od nule sa pomakom za polovinu dužine wavelet funkcije). Kao što se i očekivalo, maksimalne vrijednosti skalarnog proizvoda su zabilježene tamo gdje je lokalizirana ista wavelet funkcija.

Nakon konstruisanja prve skale dekompozicije, skala talasne funkcije se menja (2 na slici 1.1.7) i vrši se izračunavanje druge skale spektra i tako dalje.

Kao što se vidi na sl. 1.1.7, što se tačnije lokalna karakteristika signala poklapa sa odgovarajućom funkcijom talasa, to je efikasniji odabir ove karakteristike na odgovarajućoj skali spektra talasa. Može se vidjeti da je za visoko komprimirani Haar val karakteristična dobro identificirana lokalna karakteristika skok signala, pri čemu se ne razlikuje samo skok funkcije, već i smjer skoka.

Na sl. 1.1.8 prikazuje primjer grafičkog prikaza talasne površine realnog fizičkog procesa /4/. Tip površine određuje vremenske promjene spektralnih komponenti različitih razmjera i naziva se vremenski-frekvencijski spektar. Površina je prikazana na slikama, u pravilu, u obliku izolinija ili uvjetnih boja. Logaritamska skala se može koristiti za proširenje raspona skala.

Kontinuirana Wavelet Transformacija

Svojstva Wavelet transformacije

Wavelet Requirements

Za implementaciju wavelet transformacije, wavelet funkcije moraju zadovoljiti sljedeće kriterije:

1. Talas mora imati konačnu energiju:

2. Ako je Fourierova transformacija za, tj.

tada mora biti zadovoljen sljedeći uslov:

Ovaj uslov se naziva uslov prihvatljivosti, i iz njega sledi da talas sa komponentom nulte frekvencije mora da zadovolji uslov ili, u drugom slučaju, talas mora imati prosek jednak nuli.

3. Dodatni kriterijum je predstavljen za kompleksne talase, odnosno da za njih Fourierova transformacija mora biti istovremeno realna i mora se smanjivati ​​za negativne frekvencije.

4. Lokalizacija: talas mora biti kontinuiran, integrabilan, imati kompaktan oslonac i biti lokaliziran kako u vremenu (u prostoru) tako i po frekvenciji. Ako se talasni talas sužava u prostoru, tada se njegova prosečna frekvencija povećava, talasni spektar se pomera u oblast viših frekvencija i širi. Ovaj proces bi trebao biti linearan - sužavanje talasa za polovinu trebalo bi povećati njegovu prosječnu frekvenciju i širinu spektra također za faktor dva.

1. Linearnost

2. Invarijantnost smicanja

Pomak signala u vremenu za t0 dovodi do pomaka talasnog spektra također za t0.

3. Invarijantnost prema skaliranju

Stretching (kompresija) signala dovodi do kompresije (stretching) talasnog spektra signala.

4. Diferencijacija

Iz ovoga slijedi da nije bitno da li razlikovati funkciju ili talasni talas za analizu. Ako je talasni talas za analizu dat formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Ovo svojstvo je posebno korisno ako se signal daje kao diskretna serija.

Wavelet transformacija za kontinuirani signal u odnosu na wavelet funkciju definirana je kako slijedi:

gdje znači kompleksni konjugat za, parametar odgovara vremenskom pomaku i naziva se parametar pozicije, parametar specificira skaliranje i naziva se parametar rastezanja.

funkcija težine.

Normaliziranu funkciju možemo definirati na sljedeći način

što znači vremenski pomak za b i skaliranje vremena za a. Tada će se formula wavelet transformacije promijeniti u

Originalni signal se može vratiti korištenjem formule inverzne transformacije

U diskretnom slučaju, parametri skaliranja a i pomak b su predstavljeni diskretnim vrijednostima:

Tada talasni talas za analizu ima sledeći oblik:

gdje su m i n cijeli brojevi.

U ovom slučaju, za kontinuirani signal, diskretna talasna transformacija i njena inverzna transformacija biće napisan u sledećim formulama:

Veličine su takođe poznate kao talasni koeficijenti.

postoji konstanta normalizacije.

Pojava jeftinog digitalni fotoaparati dovela je do toga da je značajan dio stanovnika naše planete, bez obzira na godine i spol, stekao naviku da bilježi svaki njihov korak i izlaže nastale slike u javnost u na društvenim mrežama. Osim toga, ako se ranije porodična foto arhiva nalazila u jednom albumu, danas se sastoji od stotina slika. Da bi se olakšalo njihovo skladištenje i prenos preko mreža, potrebno je smanjenje težine digitalne slike. U tu svrhu koriste se metode zasnovane na različitim algoritmima, uključujući i wavelet transformaciju. Šta je to, naš članak će reći.

Šta je digitalna slika

Vizuelne informacije u računaru su predstavljene u obliku brojeva. razgovor običan jezik, fotografija snimljena digitalnim uređajem je tabela u čije su ćelije unesene vrijednosti boja svakog njenog piksela. Ako a mi pričamo o monohromatskoj slici, zamjenjuju se vrijednostima svjetline iz segmenta, gdje se 0 koristi za označavanje crne, a 1 je bijelo. Ostale nijanse su date razlomci brojeva, ali je nezgodno raditi s njima, pa se raspon širi i vrijednosti se biraju iz segmenta između 0 i 255. Zašto iz ovoga? Sve je jednostavno! Sa takvim izborom u binarno predstavljanje potrebno je tačno 1 bajt za kodiranje svjetline svakog piksela. Očigledno, pohranjivanje čak i male slike zahtijeva dosta memorije. Na primjer, fotografija veličine 256 x 256 piksela zauzima 8 KB.

Nekoliko riječi o metodama kompresije slike

Sigurno su svi vidjeli slike Loša kvaliteta, gdje postoje izobličenja u obliku pravokutnika iste boje, koji se obično nazivaju artefakti. Oni su rezultat takozvane kompresije sa gubicima. Omogućuje vam značajno smanjenje težine slike, ali neizbježno utječe na njen kvalitet.

Gubici uključuju:

• JPEG. Na ovog trenutka to je jedan od najpopularnijih algoritama. Zasniva se na primjeni diskretne kosinusne transformacije. Pošteno radi, treba napomenuti da postoje varijante JPEG-a koje vrše kompresiju bez gubitaka. To uključuje JPEG bez gubitaka i JPEG-LS.
• JPEG 2000. Algoritam se koristi na mobilne platforme i zasniva se na upotrebi diskretne wavelet transformacije.
• Algoritam fraktalne kompresije. U nekim slučajevima, omogućava vam da dobijete slike odličnog kvaliteta čak i uz visoku kompresiju. Međutim, zbog problema sa patentiranjem, ova metoda je i dalje egzotična.

Kompresija bez gubitaka se izvodi pomoću algoritama:

• RLE (koristi se kao glavna metoda u TIFF formati, BMP, TGA).
• LZW (koristi se u GIF formatu).
• LZ-Huffman (koristi se za PNG format).

Fourierova transformacija

Prije nego što pređemo na razmatranje talasa, ima smisla proučiti funkciju koja je s njima povezana, a koja opisuje koeficijente u dekompoziciji početne informacije na elementarne komponente, tj. harmonijske oscilacije sa različite frekvencije. Drugim riječima, Fourierova transformacija je jedinstven alat koji povezuje diskretne i kontinuirane svjetove.

izgleda ovako:

Formula inverzije se piše na sljedeći način:

Šta je talas

Iza ovog imena se krije matematička funkcija, što vam omogućava da analizirate različite frekvencijske komponente podataka koji se proučavaju. Njegov graf je talasna oscilacija, čija amplituda opada na 0 daleko od početka. AT opšti slučaj od interesa su talasni koeficijenti određeni integralnom transformacijom signala.

Talasni spektrogrami se razlikuju od konvencionalnih Fourierovih spektra po tome što spajaju spektar razne karakteristike signale sa njihovom vremenskom komponentom.

Wavelet transform

Ova metoda pretvaranja signala (funkcije) omogućava vam da ga prevedete s vremena na vremensko-frekvencijski prikaz.

Da bi talasna transformacija bila moguća, za odgovarajuću wavelet funkciju moraju biti zadovoljeni sledeći uslovi:

• Ako za neku funkciju ψ (t) Fourierova transformacija ima oblik

tada mora biti ispunjen sljedeći uslov:

Osim toga:

• talas mora imati konačnu energiju;
• mora biti integrabilna, kontinuirana i imati kompaktnu podršku;
• talas mora biti lokalizovan i po frekvenciji iu vremenu (u prostoru).

Vrste

Kontinuirana talasna transformacija se koristi za odgovarajuće signale. Mnogo zanimljiviji je njegov diskretni pandan. Na kraju krajeva, može se koristiti za obradu informacija u računarima. Međutim, ovo postavlja problem vezan za činjenicu da se formule za diskretni DWT ne mogu dobiti jednostavnom diskretizacijom odgovarajućih DWT formula.

Rješenje za ovaj problem pronašao je I. Daubechies, koji je uspio pronaći metodu koja omogućava konstruiranje serije takvih ortogonalnih talasa, od kojih je svaki određen konačnim brojem koeficijenata. kasnije su stvorene brzi algoritmi, na primjer Mull-ov algoritam. Kada se koristi za dekompoziciju ili restauraciju, potrebno je izvršiti oko cN operacija, gdje je N dužina uzorka, a c broj koeficijenata.

Wavelet Haara

Kako bi pronašao određeni obrazac među njegovim podacima, a još bolje, ako su to dugi nizovi nula. Ovdje algoritam wavelet transformacije može biti od koristi. Međutim, nastavimo s razmatranjem metode po redu.

Prvo morate zapamtiti da se na fotografijama svjetlina susjednih piksela u pravilu malo razlikuje. Čak i ako stvarne slike sadrže područja s oštrim, kontrastnim promjenama svjetline, one zauzimaju samo mali dio slike. Kao primjer, uzmimo dobro poznatu probnu sliku Lenne u sivim tonovima. Ako uzmemo matricu svjetline njenih piksela, tada će dio prvog reda izgledati kao niz brojeva 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156.

Da biste dobili nule, na njega možete primijeniti takozvanu delta metodu. Da biste to učinili, čuva se samo prvi broj, a za ostatak se uzimaju samo razlike svakog broja od prethodnog sa znakom "+" ili "-".

Rezultat je niz: 154,1,1,1,0,0,1,-2.

Nedostatak delta kodiranja je njegova nelokalnost. Drugim riječima, nemoguće je uzeti samo dio niza i saznati koje su svjetline kodirane u njemu, ako sve vrijednosti prije njega nisu dekodirane.

Da bi se prevazišao ovaj nedostatak, brojevi su podeljeni u parove i za svaki pronađu polovinu (rev. a) i polurazliku (rev. d), tj. za (154.155), (156.157), (157.157), (158.156) imamo (154.5, 0.5), (156.5, 0.5), (157,0.0), (157,-1.0). U ovom slučaju, u svakom trenutku možete pronaći vrijednost oba broja u paru.

U opštem slučaju, za diskretnu talasnu transformaciju signala S, imamo:

Takve diskretna metoda slijedi iz kontinuiranog slučaja Haar wavelet transformacije i široko se koristi u različitim poljima obrade i kompresije informacija.

Kompresija

Kao što je već spomenuto, jedno od područja primjene wavelet transformacije je jpeg algoritam 2000. Kompresija korištenjem Haar metode zasniva se na prevođenju vektora od dva piksela X i Y u vektor (X + Y)/2 i (X - Y)/2. Da biste to učinili, samo pomnožite originalni vektor sa matricom ispod.

Ako ima više tačaka, onda se uzima veća matrica, duž čije se dijagonale nalaze matrice H. Dakle, originalni vektor, bez obzira na njegovu dužinu, obrađuje se u parovima.

Filteri

Rezultirajuće "poluzbire" su prosječne vrijednosti svjetline u parovima piksela. Odnosno, vrijednosti kada se pretvore u sliku trebale bi dati njenu kopiju, smanjenu za 2 puta. U ovom slučaju, poluzbroji prosječuju svjetline, tj. "filtriraju" nasumične rafale svojih vrijednosti i igraju ulogu frekvencijskih filtera.

Pogledajmo sada šta pokazuju razlike. Oni "odabiru" interpikselne "rafale", eliminišući konstantnu komponentu, odnosno "filtriraju" vrijednosti niskim frekvencijama.

Čak i iz gornje Haar wavelet transformacije za lutke, postaje očigledno da se radi o paru filtera koji razdvajaju signal na dvije komponente: visokofrekventnu i niskofrekventnu. Da biste dobili originalni signal, jednostavno rekombinujte ove komponente.

Primjer

Recimo da želimo komprimirati foto portret (Lennina probna slika). Razmotrimo primjer wavelet transformacije njegove matrice svjetline piksela. Visokofrekventna komponenta slike odgovorna je za prikazivanje finih detalja i opisuje šum. Što se tiče niske frekvencije, ona nosi informacije o obliku lica i glatkim promjenama svjetline.

Osobine ljudske percepcije fotografije su takve da je ona važnija poslednja komponenta. To znači da kada je komprimiran određeni dio visokofrekventni podaci mogu biti odbačeni. Štoviše, ima manje vrijednosti i kompaktnije je kodiran.

Da biste povećali omjer kompresije, možete primijeniti Haar transformaciju više puta na podatke niske frekvencije.

Primjena na dvodimenzionalne nizove

kao što je već rečeno, digitalna slika u kompjuteru su predstavljeni kao matrica intenziteta njegovih piksela. Stoga bi nas trebala zanimati Haarova dvodimenzionalna wavelet transformacija. Da biste ga implementirali, trebate samo izvršiti njegovu jednodimenzionalnu transformaciju za svaki red i svaki stupac matrice intenziteta piksela slike.

Vrijednosti bliske nuli mogu se odbaciti bez značajnog oštećenja dekodiranog uzorka. Ovaj proces je poznat kao kvantizacija. I u ovoj fazi se neke informacije gube. Usput, broj koeficijenata koji se mogu nulti može se mijenjati, čime se podešava omjer kompresije.

Sve opisane radnje dovode do toga da se dobije matrica koja sadrži veliki broj 0. Trebalo bi pisati red po red tekstualnu datoteku i komprimirati bilo kojim arhivatorom.

Dekodiranje

Obrnuta konverzija u sliku izvodi se prema sljedećem algoritmu:

• arhiva je raspakirana;
• primjenjuje se inverzna Haar transformacija;
• dekodirana matrica se pretvara u sliku.

Prednosti u odnosu na JPEG

Kada se uzme u obzir algoritam Zajednička grupa fotografskih eksperata rečeno je da se zasniva na DCT-u. Takva transformacija se izvodi blok po blok (8 x 8 piksela). Kao rezultat toga, ako je kompresija jaka, tada na rekonstruiranoj slici postaje vidljiva blok struktura. Sa talasnom kompresijom, ne postoji takav problem. Međutim, može se pojaviti druga vrsta izobličenja, koja ima izgled mreškanja okolo oštre granice. Vjeruje se da su takvi artefakti u prosjeku manje uočljivi od "kvadrata" koji nastaju primjenom JPEG algoritma.

Sada znate šta su talasi, šta su i kakvu su praktičnu primenu našli u oblasti digitalne obrade i kompresije slike.

U praksi, DTWS treba primijeniti na signale konačne dužine. Stoga se mora modificirati kako bi se dobio niz koeficijenata iste dužine iz signala neke dužine. Rezultirajuća transformacija se naziva diskretna talasna transformacija (DWT).

Prvo opisujemo DWT u matričnom obliku, a zatim na osnovu filterskih grupa, koji se najčešće koriste u obradi signala.

U oba slučaja pretpostavljamo da baza funkcionira i
kompaktno definisan. Ovo automatski garantuje da su sekvence konačne. i . Dalje, pretpostavimo da signal koji treba konvertovati ima dužinu
.

1. Opis matrice dwt

Označiti vektorom niz konačne dužine za neke . Ovaj vektor se pretvara u vektor
, koji sadrži sekvence
i
, svaka polovina dužine. Transformacija se može napisati kao množenje matrice
, gdje je matrica
- kvadrat i sastoji se od nula i elemenata pomnoženo sa
. Zbog svojstava dobijena u Odjeljku 2.3, matrica
je ortonormalna, a njena inverzna matrica je jednaka transponovanoj. Kao ilustraciju, razmotrite sljedeći primjer. Uzmimo filter dužine
, niz dužine
, ali kao početna vrijednost -
. Subsequence dobiti od po formuli (2.35), gdje je
. Tada će operacija množenja matrice-vektora biti predstavljena kao

. (2.52)

Obrnuta transformacija je množenje
na inverznu matricu
:

. (2.53)

Dakle, izraz (2.51) je jedan DWT korak. Puni DWT je iterativno množenje gornje polovine vektora
na kvadratnu matricu
, čija veličina
. Ovaj postupak se može ponoviti d puta dok dužina vektora ne bude 1.

U četvrtom i osmom redu matrice (2.51) niz kružno pomaknuti: koeficijenti koji su izvan matrice na desnoj strani stavljaju se u isti red s lijeve strane. To znači da DWT ima tačno jedan period dužine N DTWS signal dobijeno beskonačnim periodičnim nastavkom . Dakle, DWT, kada je definisan na ovaj način, koristi periodičnost signala, kao u slučaju DFT-a.

Matrični opis DWT-a je kratak i jasan. Međutim, u obradi signala, DWT se najčešće opisuje korišćenjem blok dijagrama sličnog sistemu za analizu-sintezu (vidi sliku 1.1).

1. Opis dwt pomoću blokova filtera

Uzimajući u obzir transformacije podopsega u Poglavlju 1, tumačili smo jednakosti slične (2.45) i (2.46) kao filtriranje praćeno decimacijom faktorom dva. Pošto u ovom slučaju postoje dva filtera i , tada je grupa filtera dvopojasna i može se prikazati kao što je prikazano na slici 2.5.

Filteri F i E srednje filtriranje po filterima i
, odnosno. U donjoj grani kola vrši se niskopropusno filtriranje. Rezultat je neka aproksimacija signala, niskofrekventni (LF) podopseg bez detalja. Visokofrekventni (HF) podopseg je dodijeljen na vrhu kola. Imajte na umu da je kod obrade signala konstanta
se uvijek izvlači iz grupe filtera i signal se množi sa 2 (vidi sliku 3.2, Poglavlje 3).

Dakle, kolo na slici 2.5 dijeli signal nivoa
za dva nivoa signala
. Dalje, talasna transformacija se dobija rekurzivnom primenom ove šeme na LF deo. Prilikom izvođenja talasne transformacije slike, svaka iteracija algoritma se izvodi prvo na redove, a zatim na stupce slike (gradi se tzv. Mallat piramida). U ADV6xx video kodecima se koristi modificirana Mallat piramida, kada se pri svakoj iteraciji transformacija ne izvodi nužno iu redovima i kolonama. Stvoren je za više potpuno računovodstvo ljudska vizuelna percepcija.

Rezultirajuća transformacija je slična (2.51). Međutim, postoje neke razlike. Prilikom filtriranja signala konačne dužine suočavamo se s problemom njegovog nastavka na granici. Matrično izvršenje DWT je ekvivalentno periodičnom nastavku signala na granici. Ova vrsta nastavka je obavezna za ortogonalne filtere. U slučaju biortogonalnih filtara, zbog simetričnosti njihovih karakteristika, pojavljuju se neke druge mogućnosti. Ovo pitanje će biti detaljnije razmotreno u Poglavlju 3.

Kolo koje izvodi DWT također se može predstaviti kao što je prikazano na slici 2.6. Ovdje se rekurzivno filtriranje i decimacija zamjenjuju jednom operacijom filtriranja i jednom operacijom decimacije po podpojasu. Definiranje iterativnih filtera i je najlakše dati u frekvencijskom domenu.