Llogaritja e përcaktorëve të rendit n. përcaktor i rendit të n-të

14.04.2019 Këshilla

matricë unitare ortogonale shumëlineare

Llogaritja e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë.

Marrim formula për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Sipas përkufizimit, kur

Kur kalojmë rreshtin e parë dhe një kolonë, marrim një matricë që përmban një element, pra

Duke i zëvendësuar këto vlera në anën e djathtë, marrim formulën për llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë

Përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis prodhimit të elementeve në diagonalen kryesore dhe produktit të elementeve në diagonalen dytësore (Fig. 2.1).

Për përcaktorin e rendit të tretë kemi

Duke fshirë rreshtin e parë dhe një kolonë, marrim përcaktuesit e matricave katrore të rendit të dytë:

Ne i shkruajmë këto përcaktorë të rendit të dytë duke përdorur formulën (2.2) dhe marrim formulën për llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë

Përcaktori (2.3) është shuma e gjashtë termave, secili prej të cilëve është prodhim i tre elementeve të përcaktorit, të vendosur në rreshta dhe kolona të ndryshme. Për më tepër, tre terma merren me një shenjë plus, dhe tre të tjerët - me një shenjë minus.

Për të kujtuar formulën (2.3), përdoret rregulli i trekëndëshave: duhet të shtoni tre produkte të tre elementëve që qëndrojnë në diagonalen kryesore dhe në kulmet e dy trekëndëshave që kanë një anë paralele me diagonalen kryesore (Fig. 2.2a). dhe zbresim tre produkte të elementeve që qëndrojnë në diagonalet anësore dhe në kulmet e dy trekëndëshave që kanë një brinjë paralele me diagonalen anësore (Fig. 2.2,6).

Ju gjithashtu mund të përdorni skemën e llogaritjes së treguar në Fig. 2.3 (rregulli i Sarrusit): shtoni kolonën e parë dhe të dytë në të djathtë të matricës, llogaritni produktet e elementeve në secilën nga gjashtë rreshtat e treguar dhe më pas gjeni shumën algjebrike të këtyre produkteve, ndërsa produktin e elementeve në vijat paralele te diagonalja kryesore merret me shenjën plus, dhe prodhimi i elementeve në vija të drejta paralele me diagonalen anësore është me shenjën minus (sipas shënimit në Fig. 2.3).

Llogaritja e përcaktorëve të rendit N>3.

Pra, kemi marrë formula për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Ju mund të vazhdoni llogaritjet duke përdorur formulën (2.1) për dhe të merrni formula për llogaritjen e përcaktuesve të katërt, të pestë etj. urdhërat e madhësisë. Rrjedhimisht, përcaktimi induktiv lejon llogaritjen e përcaktorit të çdo rendi. Një tjetër gjë është se formulat do të jenë të rënda dhe të papërshtatshme për llogaritjet praktike. Prandaj, përcaktuesit e rendit të lartë (të katërt ose më shumë) zakonisht llogariten në bazë të vetive të përcaktorëve.

Shembulli 2.1. Llogaritni përcaktorët

Zgjidhje. Duke përdorur formulat (2.2) dhe (2.3) gjejmë;

Formula për zbërthimin e përcaktorit në elemente të rreshtit (kolonave).

Le të jepet një matricë katrore e rendit.

Një minor shtesë i një elementi është përcaktuesi i një matrice të rendit të marrë nga një matricë duke fshirë rreshti i-të dhe kolona e j-të.

Komplementi algjebrik i një elementi matricë është minorja shtesë e këtij elementi shumëzuar me

Teorema 2.1 Formula për zbërthimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone). Përcaktori i matricës është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve varg arbitrar(kolona) mbi to shtesat algjebrike:

(zbërthimi përgjatë rreshtit të i-të);

(zgjerimi në kolonën j).

Shënime 2.1.

1. Vërtetimi i formulës kryhet duke përdorur metodën e induksionit matematik.

2. Në përkufizimin induktiv (2.1), është përdorur në të vërtetë formula për zbërthimin e përcaktorit në elementet e rreshtit të parë.

Shembulli 2.2. Gjeni përcaktorin e matricës

Zgjidhje. Le të zgjerojmë përcaktorin përgjatë vijës së 3-të:

Tani le të zgjerojmë përcaktuesin e rendit të tretë në kolonën e fundit:

Përcaktori i rendit të dytë llogaritet duke përdorur formulën (2.2):

Përcaktor i një matrice trekëndore

Le të zbatojmë formulën e zbërthimit për të gjetur përcaktorin e matricës trekëndore të sipërme

Le të zgjerojmë përcaktorin përgjatë vijës së fundit (rreshti n):

ku është një element i vogël shtesë. Le të shënojmë Pastaj. Vini re se kur kalojmë rreshtin e fundit dhe kolonën e fundit të përcaktorit, marrim përcaktorin e matricës së sipërme trekëndore të të njëjtit lloj, por të rendit (n-1). Duke e zgjeruar përcaktorin përgjatë rreshtit të fundit ((n-1) rreshti), marrim. Duke vazhduar në te njejtën mënyrë dhe duke marrë parasysh atë, arrijmë në formulën.e. Përcaktori i një matrice trekëndore të sipërme është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore.

Shënime 2.2

1. Përcaktori i një matrice trekëndore më të ulët është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore.

2. Përcaktori i matricës së identitetit është 1.

3. Përcaktorja e një matrice të formës trekëndore do të quhet përcaktor i formës trekëndore. Siç u tregua më lart, përcaktori i një matrice trekëndore (përcaktori i një matrice trekëndore të sipërme ose të poshtme, veçanërisht një diagonale) është e barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore.

Vetitë themelore të përcaktorëve (përcaktuesit)

1. Për çdo matricë katrore, d.m.th. Kur transpozohet, përcaktori nuk ndryshon. Nga kjo veti del se kolonat dhe rreshtat e përcaktorit janë "të barabarta": çdo veti që është e vërtetë për kolonat do të jetë e vërtetë për rreshtat.

2. Nëse në përcaktor njëra nga kolonat është zero (të gjithë elementët e kolonës janë të barabartë me zero), atëherë përcaktorja e barabartë me zero:.

3. Kur riorganizoni dy kolona, përcaktori ndryshon shenjën në të kundërtën (vetia e antisimetrisë):

4. Nëse përcaktorja ka dy kolona identike, atëherë është e barabartë me zero:

5. Nëse përcaktorja ka dy kolona proporcionale, atëherë është e barabartë me zero:

6. Kur shumëzohen të gjithë elementët e një kolone të përcaktorit me një numër, përcaktori shumëzohet me këtë numër:

7. Nëse kolona e j-të përcaktori përfaqësohet si shuma e dy kolonave, atëherë përcaktori është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve, kolonat j-të të të cilëve janë dhe, përkatësisht, dhe kolonat e mbetura janë të njëjta:

8. Përcaktori është linear në çdo kolonë:

9. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një kolone tjetër u shtohen elementeve të një kolone, shumëzuar me të njëjtin numër:

10. Shuma e produkteve të elementeve të çdo kolone të përcaktorit me plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të një kolone tjetër është e barabartë me zero:

Shënimet 2.3

1. Vetia e parë e përcaktorit vërtetohet me induksion. Vërtetimet e vetive të tjera kryhen duke përdorur formulën për zbërthimin e përcaktorit në elementë të kolonës. Për shembull, për të vërtetuar vetinë e dytë, mjafton të zgjeroni përcaktorin në elementët e kolonës zero (supozoni se kolona j është zero, d.m.th.):

Për të vërtetuar vetinë 10, duhet të lexoni formulën për zbërthimin e përcaktorit nga e djathta në të majtë, domethënë, shuma e produkteve të elementeve të kolonës së i-të nga plotësimet algjebrike të elementeve të kolonës j-të është e paraqitur si një zgjerim në kolonën j të përcaktorit

në të cilën elementet e kolonës j-ro zëvendësohen me elementët përkatës të kolonës i-të. Sipas vetive të katërt, një përcaktor i tillë është i barabartë me zero.

2. Nga vetia e parë rezulton se të gjitha vetitë 2-10 të formuluara për kolonat e përcaktorit do të vlejnë edhe për rreshtat e tij.

3. Duke përdorur formulat për zbërthimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone) dhe vetisë 10, arrijmë në përfundimin se

4. Le të jetë një matricë katrore. Një matricë katrore e rendit të njëjtë siç thuhet se është e bashkuar nëse secili prej elementeve të tij është i barabartë me plotësimin algjebrik të një elementi të matricës. Me fjalë të tjera, për të gjetur matricën e bashkuar duhet:

a) zëvendësojmë çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik dhe marrim një matricë;

b) gjeni matricën adjoint duke transpozuar matricën.

Nga formulat (2.4) del se ku është matrica e identitetit e rendit të njëjtë si.

Shembulli 2.5. Gjeni përcaktuesin e një matrice bllok-diagonale, ku është një matricë arbitrare katrore, është matrica e identitetit dhe është një matricë zero e rendit përkatës, është transpozuar.

Zgjidhje. Le ta zgjerojmë përcaktorin mbi kolonën e fundit. Meqenëse të gjithë elementët në këtë kolonë janë zero, me përjashtim të atij të fundit, i cili është i barabartë me 1, marrim një përcaktor të së njëjtës formë si ai origjinal, por i rendit më të ulët. Duke zgjeruar përcaktuesin që rezulton përgjatë kolonës së fundit, ne zvogëlojmë rendin e tij. Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë, marrim përcaktorin e matricës. Prandaj,

Metodat për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të n-të.

Le të jepet një grup i porositur n elementet. Çdo marrëveshje n elementet në një rend të caktuar quhet rirregullim nga këto elemente.

Meqenëse çdo element përcaktohet nga numri i tij, do të themi se është dhënë n numrat natyrorë.

Numri i permutacioneve të ndryshme nga n numrat janë të barabartë me n!

Nëse në ndonjë ndërrim të n numri i numrave i kushton më herët j, Por i > j, d.m.th numri më i madh del para atij më të vogël, pastaj thonë se çifti i, j arrin në përmbysja.

Shembulli 1. Përcaktoni numrin e përmbysjeve në ndërrim (1, 5, 4, 3, 2)

Zgjidhje.

Numrat 5 dhe 4, 5 dhe 3, 5 dhe 2, 4 dhe 3, 4 dhe 2, 3 dhe 2 formojnë përmbysje. Numri total numri i përmbysjeve në këtë ndërrim është 6.

Permutacioni quhet madje, nëse numri i përgjithshëm i përmbysjeve në të është çift, ndryshe quhet i çuditshëm. Në shembullin e diskutuar më sipër, jepet një ndërrim çift.

Le të jepet një ndryshim…, i, …, j, … (*) . Transformimi në cilin numra i Dhe j ndryshojnë vendet, dhe pjesa tjetër mbetet në vendet e tyre, quhet transpozim. Pas transpozimit të numrave i Dhe j në ndërrim (*) do të ketë një riorganizim…, j, …, i, ..., ku të gjithë elementët përveç i Dhe j, mbetën në vendet e tyre.

Nga çdo ndërrim nga n numrat, mund të shkoni te çdo ndryshim tjetër i këtyre numrave duke përdorur disa transpozime.

Çdo transpozim ndryshon barazinë e ndërrimit.

Në n ≥ 2 numri i permutacioneve çift dhe tek nga n numrat janë të njëjtë dhe të barabartë.

Le M– porositur set of n elementet. Çdo transformim bijektiv i një grupi M thirrur zëvendësimnshkalla e th.

Zëvendësimet janë shkruar kështu: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> dhe kjo eshte e gjitha ik janë të ndryshme.

Zëvendësimi thirrur madje, nëse të dy rreshtat (permutacionet) e tij kanë barazi të njëjta, d.m.th., ose të dyja çift ose të dyja tek. Përndryshe zëvendësim thirrur i çuditshëm.

Në n ≥ 2 numri i zëvendësimeve çift dhe tek nth gradë e njëjtë dhe e barabartë me .

Përcaktori i një matrice katrore A të rendit të dytë A= është numri i barabartë me = a11a22–a12a21.

Përcaktori i një matrice quhet gjithashtu përcaktues. Për përcaktuesin e matricës A përdoret shënimi i mëposhtëm: det A, ΔA.

Përcaktues katrore matricat A= rendit të tretë thirrni numrin e barabartë me │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Çdo term i shumës algjebrike në anën e djathtë të formulës së fundit është një produkt i elementeve të matricës të marra një dhe vetëm një nga çdo kolonë dhe çdo rresht. Për të përcaktuar shenjën e produktit, është e dobishme të njihni rregullin (quhet rregulli i trekëndëshit), i paraqitur në mënyrë skematike në Fig. 1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Zgjidhje.

Le të jetë A një matricë e rendit të ntë me elemente komplekse:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Përcaktorja e rendit të n-të, ose përcaktorja e një matrice katrore A=(aij) për n>1, është shuma algjebrike e të gjitha prodhimeve të mundshme të formës (1) , dhe puna (1) merret me shenjën “+” nëse zëvendësimi përkatës (2) çift, dhe me shenjën “‑” nëse zëvendësimi është tek.

E mitura Mij element aij përcaktor është një përcaktor i marrë nga origjinali duke fshirë i rreshti i th dhe j- kolona e th.

Komplement algjebrik Aij element aij përcaktorja quhet numër Aij=(–1) i+ jMij, Ku Mij – element i vogël aij.

Vetitë e përcaktorëve

1. Përcaktori nuk ndryshon kur zëvendësohen të gjitha rreshtat me kolonat përkatëse (përcaktori nuk ndryshon gjatë transpozimit).

2. Kur dy rreshta (kolona) riorganizohen, përcaktorja ndryshon shenjën.

3. Një përcaktor me dy rreshta (kolona) identike (proporcionale) është e barabartë me zero.

4. Faktori i përbashkët për të gjithë elementët e një rreshti (kolone) mund të hiqet nga shenja përcaktor.

5. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër u shtohen elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar, të shumëzuar me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

6. Nëse të gjithë elementët e një rreshti (kolone) të caktuar të një përcaktori janë të barabartë me zero, atëherë ai është i barabartë me zero.

7. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti (kolone) me plotësimet e tyre algjebrike (vetia e zbërthimit të përcaktorit në një rresht (kolona)).

Le të shohim disa metodat për llogaritjen e përcaktuesve të rendit n .

1. Nëse në një përcaktor të rendit të n-të të paktën një rresht (ose kolonë) përbëhet nga zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

2. Le të përmbajë disa rreshta në përcaktorin e rendit të n-të elemente jo zero. Llogaritja e përcaktorit të rendit n mund të reduktohet në këtë rast në llogaritjen e përcaktorit të rendit n-1. Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e përcaktorit, mund të bëni të gjithë elementët e një rreshti, përveç një, zero, dhe më pas zgjeroni përcaktuesin përgjatë rreshtit të specifikuar. Për shembull, le të riorganizojmë rreshtat dhe kolonat e përcaktorit në mënyrë që të jenë në vend a11 kishte një element të ndryshëm nga zero.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Vini re se nuk është e nevojshme të riorganizoni rreshtat (ose kolonat). Ju mund të merrni zero në çdo rresht (ose kolonë) të përcaktorit.

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme për llogaritjen e përcaktorëve të rendit n, përveç llogaritjes së përcaktorit të një rendi të caktuar drejtpërdrejt sipas përkufizimit. Tek përcaktorja e kësaj apo asaj lloj i veçantë aplikoni metoda të ndryshme llogaritjet që çojnë në përcaktues më të thjeshtë.

3. Le ta marrim në formë trekëndore. Duke përdorur vetitë e përcaktorit, ne e reduktojmë atë në të ashtuquajturën formë trekëndore, kur të gjithë elementët që qëndrojnë në njërën anë të diagonales kryesore janë të barabartë me zero. Përcaktori trekëndor që rezulton është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen kryesore. Nëse është më i përshtatshëm për të marrë zero në njërën anë të diagonales dytësore, atëherë do të jetë e barabartë me produktin e elementeve të diagonales dytësore, të marra me shenjën https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Shembulli 3. Llogaritni përcaktorin sipas zgjerimit të rreshtit

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Shembulli 4. Llogaritni përcaktorin e rendit të katërt

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

Metoda e 2-të(duke llogaritur përcaktorin duke e zgjeruar atë përgjatë vijës):

Le ta llogarisim këtë përcaktor sipas zgjerimit të rreshtit, pasi e kemi transformuar më parë në mënyrë që në disa rreshta të gjithë elementët përveç njërit të bëhen zero. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë të përcaktorit në të tretën. Pastaj shumëzojeni kolonën e tretë me (-5) dhe shtoni në kolonën e katërt. Zgjerojmë përcaktorin e transformuar përgjatë vijës së tretë. Ne e zvogëlojmë minorin e rendit të tretë në formën trekëndore në lidhje me diagonalen kryesore.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Zgjidhje.

Le të zbresim të dytin nga rreshti i parë, të tretën nga i dyti etj., në fund, nga i parafundit i fundit (rreshti i fundit mbetet i pandryshuar).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Përcaktori i parë në shumë është trekëndësh në lidhje me diagonalen kryesore, pra është e barabartë me prodhimin e elementeve diagonale, pra (n–1)n. Ne e transformojmë përcaktorin e dytë në shumë duke i shtuar të gjitha rreshtin e fundit linjat e mëparshme përcaktues. Përcaktori i marrë nga ky transformim do të jetë trekëndësh në lidhje me diagonalen kryesore, pra do të jetë i barabartë me prodhimin e elementeve diagonale, d.m.th. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Llogaritja e përcaktorit duke përdorur teoremën e Laplasit. Nëse k rreshta (ose kolona) janë zgjedhur në përcaktuesin (1 £ k £ n-1), atëherë përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve të të gjitha minoreve të rendit k-të të vendosura në k rreshtat (ose kolonat) e zgjedhura. dhe plotësuesit algjebrikë të tyre.

Shembulli 6. Llogaritni përcaktorin

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

DETYRA INDIVIDUALE Nr. 2

“LLOGARITJA E PËRCAKTORËVE TË RENDIT NTH”

opsioni 1

Llogaritni përcaktorët

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Opsioni 2

Llogaritni përcaktorët

Për më të saktë dhe përkufizim kompleks dhe për të folur për përcaktorë të rendit më të madh se i treti, do të na duhet të kujtojmë diçka tjetër. Na intereson termi zëvendësim, jo aq përkufizimi se sa mënyra e llogaritjes së tij.

Për zëvendësim, hyrja e mëposhtme pranohet:
, d.m.th. çifte numrash të shkruar në një kolonë, në mënyrë që numrat e sipërm të jenë të njëpasnjëshëm (në përgjithësi, kolonat mund të ndërrohen).

Zëvendësimet mund të jenë çift ose tek. Për të zbuluar është këtë zëvendësimçift ose tek, duhet t'i kushtoni vëmendje rreshtit të dytë, ose më saktë renditjes së numrave në të. Është e nevojshme të numërohet numri i çifteve të numrave në rreshtin e dytë në mënyrë që numri në të majtë më shumë numër, duke qëndruar në të djathtë (). Nëse numri i çifteve të tilla është tek, atëherë zëvendësimi quhet tek, dhe, në përputhje me rrethanat, nëse numri i çifteve të tilla është çift, atëherë zëvendësimi quhet çift.

Shembull:
1)

4 është në të majtë të 3, në të majtë të 1, në të majtë të 2 - këto janë tashmë tre çifte "të gabuara".
3 është në të majtë të 1 dhe 2 - dy çifte të tjera.
Gjithsej 5 çifte, d.m.th. Ky është një zëvendësim i çuditshëm.
2)

Vini re se numrat në rreshtin e parë nuk janë në rregull. Le të riorganizojmë kolonat.

Le të shohim numrat në rreshtin e dytë.
3 është në të majtë të 2 dhe 1 - dy çifte,
2 është në të majtë të 1 - një çift,
5 është në të majtë të 4 dhe 1 - dy çifte,
4 është në të majtë të 1 - një palë.
Gjithsej 6 çifte – edhe zëvendësim.

Përkufizimi 2(për studentët e specialiteteve matematikore, duke zbuluar të gjithë thelbin e konceptit të përcaktuar):

Përcaktori i rendit të n-të që korrespondon me matricën
,
është një shumë algjebrike termash e përbërë si më poshtë: termat janë të gjithë prodhimet e mundshme të elementeve të matricës, të marra nga një nga çdo rresht dhe çdo kolonë, dhe termi merret me një shenjë plus nëse indekset e tij përbëjnë një zëvendësim çift, dhe me një minus nënshkruajnë në rastin e kundërt.
Koment: Le ta shpjegojmë këtë përkufizim duke përdorur shembullin e një përcaktori të rendit të tretë, për të cilin formula e llogaritjes është tashmë e njohur.
.
1) "shuma algjebrike e termave" - . Dhe po, me të vërtetë, ka gjashtë terma këtu.
2) "Termat janë të gjithë produktet e mundshme të elementeve të matricës, të marra nga një nga çdo rresht dhe çdo kolonë" - merrni parasysh, për shembull, termin . Faktori i parë i tij merret nga rreshti i dytë, i dyti nga i pari dhe i treti nga i treti. Është e njëjta gjë me kolonat - faktori i parë është nga kolona e parë, e dyta është nga e treta dhe e fundit është nga e dyta.
3) "dhe termi merret me një shenjë plus nëse indekset e tij përbëjnë një zëvendësim çift, dhe me një shenjë minus në rastin e kundërt" - merrni parasysh, për shembull, termat (me një shenjë plus) dhe (me një shenjë minus ).

Le t'i rregullojmë permutacionet në mënyrë që rreshti i parë të përmbajë numrat e rreshtave të faktorëve, dhe rreshti i dytë të përmbajë numrat e kolonave.
Për termin: (kolona e parë është indeksi i faktorit të parë, etj.)
Për termin: .
Le të përcaktojmë barazinë e këtyre permutacioneve:
a) - elementet në rreshtin e parë janë në rregull. Rreshti i dytë përmban çiftet jashtë rendit:
2 në të majtë të 1 - një palë,
3 në të majtë të 1 - një palë.
Gjithsej dy çifte, d.m.th. numri i çifteve është çift, që do të thotë se ndryshimi është çift, që do të thotë se termi duhet të përfshihet në shumë me një shenjë plus (siç është në të vërtetë).
b) - elementet në rreshtin e parë janë në rregull. Rreshti i dytë përmban çiftet jashtë rendit:
2 në të majtë të 1 - një palë.
Në total, numri i çifteve të numrave të pozicionuar ashtu që më i madhi të jetë në të majtë të më të voglit është 1, d.m.th. tek, që do të thotë ndryshimi quhet tek, dhe termi përkatës duhet të përfshihet në shumë me një shenjë minus (po, kjo është e vërtetë).
Shembull("Koleksioni i problemeve në algjebër" redaktuar nga A.I. Kostrikin, Nr. 1001):

Zbuloni se cilat nga produktet e mëposhtme përfshihen në shprehjen e zgjeruar të përcaktorëve të rendeve përkatëse dhe me cilat shenja.
A)
Le t'i kushtojmë vëmendje pjesës "një nga çdo rresht dhe çdo kolonë" e përkufizimit. Të gjithë indekset e para të faktorëve janë të ndryshëm nga 1 në 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Të gjithë indekset e dyta të faktorëve janë të ndryshëm nga 1 në 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Përfundim - ky produkt përfshihet në shprehjen e zgjeruar të përcaktorit të rendit të 6-të.

3 në të majtë të 2, 1 - dy çifte,
2 në të majtë të 1 - një palë,
6 në të majtë të 5, 4 - dy çifte,
5 në të majtë të 4 - një palë.
Gjithsej 6 çifte, d.m.th. ndërrimi është çift dhe termi përfshihet në shënimin e zgjeruar të përcaktorit me shenjë plus.

b)
Të gjithë indekset e para të faktorëve janë të ndryshëm nga 1 në 5 (3, 1, 5, 4, 2). Të gjithë indekset e dyta të faktorëve janë të ndryshëm nga 1 në 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Përfundim - ky produkt përfshihet në shprehjen e zgjeruar të përcaktorit të rendit të 5-të.
Le të përcaktojmë shenjën e këtij termi; për ta bërë këtë, ne do të bëjmë një ndërrim të indekseve të faktorëve:

Le t'i riorganizojmë kolonat në mënyrë që numrat në rreshtin e parë të jenë në rend nga më i vogli tek më i madhi.

3 në të majtë të 1, 2 - dy çifte.
4 në të majtë të 1, 2 - dy çifte,
5 në të majtë të 2 - një palë.
Gjithsej 5 çifte, d.m.th. ndërrimi është tek dhe termi përfshihet në shënimin e zgjeruar të përcaktorit me shenjën minus.
V) — kushtojini vëmendje faktorëve të parë dhe të gjashtë: dhe . Të dyja janë marrë nga kolona e 4-të, që do të thotë se ky produkt nuk mund të përfshihet në shprehjen e zgjeruar të përcaktorit të rendit të 7-të.

Le A = një matricë katrore arbitrare e rendit të n-të me elementë realë (ose kompleksë).

Përkufizimi 7. Përcaktori i matricës A (përcaktor Rendi i N-të) Shuma algjebrike n quhet! terma, secila prej të cilave është prodhim i n elementeve të matricës, të marra nga një nga çdo rresht dhe çdo kolonë. Në këtë rast, produkti merret me shenjën “+” nëse zëvendësimi nga treguesit e elementeve të përfshira në të është i barabartë, dhe me shenjën “-” ndryshe.

Emërtimi përcaktor: | A| = .

Për shembull, për n = 6 produkti А21а13а62а34а46а55është një anëtar i përcaktorit sepse përmban saktësisht një element nga çdo rresht dhe nga çdo kolonë. Zëvendësimi i përbërë nga indekset e tij do të jetë . Ka 4 përmbysje në linjë e sipërme dhe përmbysjet e 2-të - në fund. Numri i përgjithshëm i përmbysjeve është 6, pra zëvendësimi është çift. Për rrjedhojë, ky produkt përfshihet në zgjerimin e përcaktorit me shenjën “+”.

Puna А21а13а62а34а46а15 nuk është anëtar i përcaktorit sepse përmban dy elemente nga rreshti i parë.

Vetitë e përcaktorëve.

10. Gjatë transpozimit, përcaktori nuk ndryshon (kujtojmë se transpozimi i një matrice dhe përcaktori nënkupton ndryshimin e rreshtave dhe kolonave).

Në të vërtetë, nëse (-1)k është një term i përcaktorit, atëherë të gjitha a1, a2, ... , an janë të dallueshme dhe k është numri i përmbysjeve në ndërrimin (a1, a2, ... , an). Gjatë transpozimit, numrat e rreshtave bëhen numra kolonash dhe anasjelltas. Rrjedhimisht, në produktin Të gjithë faktorët do të jenë nga kolona dhe rreshta të ndryshëm, pra ky produkt do të përfshihet në përcaktuesin e transpozuar. Shenja e tij do të përcaktohet nga numri i përmbysjeve në zëvendësim . Por ky numër është padyshim i barabartë me k. Pra, (-1)k do të jetë një term në përcaktorin e transpozuar. Meqenëse morëm çdo term të një përcaktori të caktuar, dhe numri i termave në përcaktorët e dhënë dhe të transpozuar është i njëjtë, atëherë vijon barazia e tyre. Nga vetia e provuar del se gjithçka që do të vërtetohet për rreshtat e përcaktorit do të jetë e vërtetë edhe për kolonat e saj.

20. Nëse të gjithë elementët e një rreshti (ose kolone) të një përcaktori janë të barabartë me zero, atëherë përcaktori është i barabartë me zero.

Kjo rrjedh nga fakti se një element i rreshtit (ose kolonës) të specifikuar do të përfshihet në çdo term të përcaktorit.

30. Nëse të gjithë elementët e ndonjë vargu të përcaktorit kanë shumëzues i përbashkët, atëherë mund të nxirret nga shenja përcaktor.

Në të vërtetë, nëse të gjithë elementët e rreshtit të k-të kanë një faktor të përbashkët l, atëherë ato mund të shkruhen në formën . Çdo term i përcaktorit do të ketë formën (-1)s . Rrjedhimisht, faktori l mund të nxirret nga të gjithë termat e përcaktorit.

40. Nëse këmbehen dy rreshta të përcaktorit, atëherë përcaktorja do të ndryshojë shenjë.

Në të vërtetë, nëse (-1)k është ndonjë anëtar i një përcaktori të caktuar, atëherë në përcaktorin e ri numrat e rreshtit p dhe q do të ndërrohen, por numrat e kolonës do të mbeten të njëjtë. Rrjedhimisht, në përcaktorin e ri i njëjti produkt do të shfaqet në formën (-1)s. Meqenëse një transpozim ndodhi në numrat e rreshtave, por numrat e kolonave nuk ndryshuan, atëherë k dhe s kanë barazi të kundërta. Pra, të gjithë termat e një përcaktori të caktuar kanë ndryshuar shenjë, prandaj edhe vetë përcaktorja ka ndryshuar shenjë.

50. Nëse dy drejtëza të një përcaktori janë proporcionale, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

Në të vërtetë, le të jenë të gjithë elementët e rreshtit k-të të barabartë me elementët përkatës të rreshtit të p-të të shumëzuar me l, d.m.th. A| = = = 0.

60. Nëse te përcaktorja të gjithë elementët e rreshtit k-të janë shuma e dy termave, atëherë përcaktorja është e barabartë me shumën e dy përcaktorëve në të cilët të gjitha rreshtat, përveç k-të, janë të njëjta me në përcaktorin e dhënë. Në vend të elementeve të rreshtit k të njërit prej tyre janë termat e parë të elementeve të rreshtit k të përcaktorit të dhënë dhe në vend të elementeve të rreshtit k të e dyta - mandatet e tyre të dyta.

Le të jenë elementet e rreshtit të k-të + Sk1,+ Sk2, …. , + Skn. Atëherë çdo term i përcaktorit do të ketë formën

(-1)s= (-1)s + (-1)s .

Pasi kemi mbledhur të gjithë termat e parë, marrim një përcaktor që ndryshon nga ai i dhënë vetëm në rreshtin k. Në vend të cilës linjë do të ketë , ,…. , . Pasi të kemi mbledhur të gjithë termat e dytë, marrim një përcaktor që gjithashtu ndryshon nga ai i dhënë vetëm në rreshtin k. Cili rresht do të përmbajë Sk1, sk2, …. , Skn.

70. Nëse një rreshti të përcaktorit i shtojmë një vijë tjetër, të gjithë elementët e së cilës shumëzohen me të njëjtin numër, atëherë përcaktorja nuk do të ndryshojë.

Kjo pronë është pasojë e dy të mëparshmeve.

Nëse në përcaktorin | A| kaloni rreshtin k-të dhe kolonën p-të, atëherë mbetet një përcaktues i rendit (n–1). Quhet I vogël, shtesë për element dhe është caktuar Mikrodistrikti. Numri (-1)k+p×M Kr I thirrur Komplement algjebrik për element dhe është caktuar Akër.

80. Minorja shtesë dhe komplementi algjebrik nuk varen nga cili element është në rreshtin k-të dhe në kolonën p-të të përcaktorit.

Lema 1 D= . (8)

Dëshmi. Nëse A11= 0, atëherë barazia (8) është e qartë. Le A11¹ 0. Meqenëse çdo term i përcaktorit përmban saktësisht një element nga rreshti i parë, atëherë termat jozero të përcaktorit mund të jenë vetëm ato që përfshijnë A11. Ata të gjithë duken si , ku gк dhe к variojnë nga 2 në N. Shenja e këtij termi në përcaktorin D përcaktohet nga pariteti i zëvendësimit s = .Kështu D është një shumë algjebrike e termave të formës Me shenja të përcaktuara nga zëvendësimi s. Nëse e nxjerrim këtë sasi nga kllapa A11, atëherë marrim se D = A11× S, Ku S Ekziston një shumë algjebrike e termave të formës, shenja e së cilës përcaktohet nga zëvendësimi s. Këto terma janë padyshim ( N- 1)!. Por zëvendësimi s dhe zëvendësimi kanë të njëjtin barazi. Prandaj, S = M 11. Që nga viti A11 =(-1)1+1× M 11 = M 11, pastaj D = A11×A11.

Lema 2. D= (9)

Dëshmi. Në përcaktorin D e rirregullojmë rreshtin p-të në mënyrë sekuenciale me çdo të mëparshëm. Në këtë rast, rreshti p-të do të zërë vendin e rreshtit të parë, por minori është shtesë ndaj elementit Ark Nuk do të ndryshojë. Gjithsej do të bëhet ( R– 1) rirregullimi i vargjeve. Nëse shënojmë përcaktorin e ri D1, atëherë D1 = (-1)р-1×D. Në përcaktorin e D1 rirregullojmë TE Kolona e th është sekuenciale me secilën kolonë të mëparshme, e cila do të bëjë ( TE– 1) ndërrimi i kolonave dhe të vogla, plotësuese të Ark, Nuk do të ndryshojë. Rezultati është një përcaktues

D2 = . Natyrisht, D2 = (-1)k-1×D1 = (-1)p+k-2×D = (-1)p+k×D. Nga Lema 1, D2 = Ark×M Rk. Prandaj D = Ark× (-1)р+к × M Rk = Ark×Arka.

Teorema 3. Përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të një rreshti të caktuar nga plotësimet e tyre algjebrike, d.m.th. D = Ak1Ak1 + ak2×Ak2 +…+aKn×AKn (10).

Dëshmi. Le të jetë D = . Elementet e rreshtit i shkruajmë në formë Ak1 =al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A. Duke përdorur vetinë 60, marrim se D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + AA(ne kemi përdorur Lemën 2).

Teorema 4. Shuma e produkteve të elementeve të një rreshti të përcaktorit nga plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të rreshtit tjetër është e barabartë me zero.

Dëshmi. Le të jetë D = . Sipas teoremës së mëparshme

D = . Nëse marrim , atëherë në përcaktorin D do të jenë dy linja identike, pra D do të jetë e barabartë me zero. Prandaj, 0 = nëse p ¹ k.

Koment. Teoremat 3 dhe 4 do të jenë të vërteta nëse në formulimet e tyre fjala "rresht" zëvendësohet me fjalën "kolona".

Metoda e llogaritjes përcaktueseRendi i N-të.

Për të llogaritur përcaktorin N të rendit të ntë, mjafton të marrim sa më shumë zero në ndonjë rresht (ose kolonë), duke përdorur vetinë 70, dhe më pas të përdorim teoremën 3. Në këtë rast, llogaritja e përcaktorit të rendit të n-të do të reduktohet në llogaritja e përcaktorit ( N– Rendi i 1).

Shembull. Njehsoni përcaktorin D = .

. Ne marrim zero në rreshtin e dytë. Për këtë Kolona e dytë 1) shumëzojeni me (-2) dhe shtoni në kolonën e parë; 2) shtoni në kolonën e tretë; 3) shumëzojeni me (-4) dhe shtoni në kolonën e katërt. Ne marrim se D = . Le të zgjerojmë përcaktuesin që rezulton në elementët e rreshtit të dytë. Në këtë rast, prodhimet e të gjithë elementëve të kësaj rreshti nga plotësimet e tyre algjebrike, përveç elementit 1, janë të barabartë me zero. Për të marrë komplementin algjebrik për elementin 1, duhet të kaloni rreshtin dhe kolonën ku shfaqet ky element, pra rreshtin e dytë dhe kolonën e dytë. Shenja e komplementit algjebrik përcakton (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Pra D = + . Ne kemi marrë një përcaktues të rendit të tretë. Ky përcaktues mund të llogaritet duke përdorur diagonale dhe trekëndësha, por mund të reduktohet në një përcaktor të rendit të dytë. Le të shumëzohemi Kolona e parë 1) me (-4) dhe shtojeni në kolonën e dytë, 2) shumëzojeni me 2 dhe shtoni në kolonën e tretë. Ne e kuptojmë atë

Konsideroni një matricë katrore të rendit të dytë

Përkufizimi. Përcaktori i një matrice katrore të rendit të dytë është numri i barabartë me a 11 a 22 -a 12 a 21 dhe shënohen me simbolin, d.m.th

Përcaktori i një matrice quhet gjithashtu përcaktues. Shënimi përcaktues i matricës A: |A|, Δ, det A, det(a ij).

Tani merrni parasysh një matricë katrore të rendit të tretë

Gjatë llogaritjes së përcaktorit të rendit të tretë, është e dobishme të njihni rregullin e trekëndëshit: me një shenjë plus janë produktet e trinjakëve të numrave të vendosur në diagonalen kryesore të matricës dhe në kulmet e trekëndëshave me bazë paralele me këtë diagonale. dhe një kulm në këndin e kundërt të matricës. Me një shenjë minus ka treshe nga diagonalja e dytë dhe nga trekëndëshat e ndërtuar në lidhje me këtë diagonale. Diagrami i mëposhtëm tregon këtë rregull. Në diagram, elementët, produktet e të cilëve vijnë me një shenjë plus, shënohen me blu (në të majtë), dhe me të kuqe (në të djathtë) - me një shenjë minus.

Tani le të japim një përkufizim.

Përkufizimi. Përcaktori i një matrice katrore të rendit të tretë është numri

Përkufizimi. Minorja e çdo elementi të një përcaktori është një përcaktor i marrë nga një i dhënë duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën të cilës i përket. këtë element. Element i vogël një ik le të shënojmë Mik.

Përkufizimi. Element i vogël një 21 përcaktori i rendit të tretë i një matrice është përcaktori i rendit të dytë

Përkufizimi një ik përcaktorja quhet minor i saj, marrë me shenjën (-1)i+k.

Komplement algjebrik i një elementi një ik le të shënojmë Aik. A-parësore

Rregulla për përcaktimin e shenjës së një komplementi algjebrik (duke përdorur shembullin e një përcaktori të rendit të tretë):

Shembull. Shtimi algjebrik i një elementi një 21është

Teorema e zbërthimit. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti (kolone) nga plotësimet e tyre algjebrike.

Vetitë e përcaktorëve

Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse zëvendësoni të gjitha rreshtat e tij me kolonat përkatëse.
Kur riorganizoni dy kolona (rreshta), përcaktori ndryshon shenjën.
Përcaktor me dy kolona identike(strings) është e barabartë me zero.
Një faktor i përbashkët për elementët e një kolone (rreshti) të caktuar mund të merret përtej shenjës së përcaktorit.
Një përcaktues me dy kolona (rreshta) proporcionale është i barabartë me zero.
Përcaktori është i barabartë me zero nëse të gjithë elementët e një kolone (rreshti) janë të barabartë me zero.
Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një kolone (rreshti) tjetër u shtohen elementeve të një kolone (rreshti) të caktuar, pasi i kanë shumëzuar ato më parë me të njëjtin faktor.

Komentoni. Nëse në një përcaktor të gjithë elementët e një kolone (rreshti) të caktuar janë të barabartë me shumat e dy termave, atëherë një përcaktor i tillë është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve përkatës.

Për shembull,

Përcaktuesit n- urdhri

Konsideroni një matricë katrore n- urdhri

Koncepti i përcaktorit të kësaj matrice ose përcaktor n rendi i th është futur në mënyrë induktive, duke pasur parasysh se koncepti i përcaktorit të rendit tashmë është futur. n-1, përkatëse matricë katrore (n-1)- urdhri.

Përkufizimi i një elementi të vogël të matricës dhe plotësimi i tij algjebrik janë të vlefshëm për përcaktuesit e çdo rendi.

Përkufizimi. Përcaktues i rendit n, që korrespondon me matricën A n-rendi i th quhet një numër i barabartë me (M 1k- element i vogël një 1k) dhe shënohet me një nga simbolet

Pra, sipas përkufizimit

Kjo formulë shpreh rregullin për ndërtimin e përcaktorit të rendit n nga elementët e rreshtit të parë të matricës që i përgjigjet asaj dhe nga plotësimet algjebrike të këtyre elementeve, që janë përcaktues të rendit n-1, marrë me shenjat e duhura.

Për një përcaktor të çdo rendi, të gjitha vetitë dhe teoremat e marra dhe të vërtetuara për një përcaktor të rendit të tretë janë të vërteta.

Le të formulojmë teoremën kryesore:

Teorema [teorema e zëvendësimit]. Cilido qoftë numri i linjës i (i=1,2,…,n), për përcaktorin n formula e rendit të th është e vlefshme

quhet zgjerimi i kësaj përcaktor në i rreshti i th.

Meqenëse vetia 1 e përcaktorëve është e vërtetë, ne gjithashtu mund ta zgjerojmë përcaktorin përgjatë një kolone:

Shembuj

Le të llogarisim përcaktuesin e mëposhtëm:

Zbrisni rreshtin e dytë nga i pari dhe i treti. Pastaj shtojmë të parin tek të tretat dhe nxjerrim faktorin e përbashkët nga të tretat:

Tani në rreshtin e dytë shtojmë të tretën, shumëzuar me 7, dhe të katërtin shtojmë të tretën, shumëzuar me 2. Pastaj nxjerrim faktorin e përbashkët nga rreshti i katërt:

Le të zgjerojmë përcaktuesin në kolonën e dytë (shenjat tregojnë vlerën (-1)i+j në të mitur). Vini re se ka vetëm një element jo zero në kolonë, prandaj, vetëm një përcaktues i rendit të tretë do të mbetet në zgjerim. Më në fund, marrim përgjigjen duke përdorur formulën për përcaktorin e rendit të tretë.

Le të japim disa shembuj të tjerë për përcaktuesit e rendit të ndryshëm.