Gjetja e një komplementi algjebrik. Komplement algjebrik

përcaktues sipas elementeve të një rreshti ose kolone

Vetitë e mëtejshme lidhen me konceptet e komplementit minor dhe algjebrik

Përkufizimi. Të mitur element quhet përcaktor i përbërë nga elementë që mbeten pas kryqëzimiti-th kullon dhejkolona e th në kryqëzimin e së cilës ndodhet ky element. Minor i elementit të përcaktorit n- rendi ka rend ( n- 1). Do ta shënojmë me .

Shembulli 1. Le , Pastaj .

Ky minor merret nga A duke kryqëzuar rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë.

Përkufizimi. Komplement algjebrik element quhet minor përkatës, shumëzuar me nat.e , Kui– numri i linjës dhej-kolonat në kryqëzimin e të cilave ndodhet ky element.

VІІІ. (Zbërthimi i përcaktorit në elemente të një vargu të caktuar). Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të një rreshti të caktuar dhe të plotësimeve algjebrike përkatëse të tyre.

.

Shembulli 2. Le të jetë atëherë

.

Shembulli 3. Le të gjejmë përcaktorin e matricës duke e zgjeruar atë në elementët e rreshtit të parë.

Formalisht, kjo teoremë dhe vetitë e tjera të përcaktorëve janë të zbatueshme vetëm për përcaktuesit e matricave jo më të larta se renditja e tretë, pasi ne nuk kemi marrë parasysh përcaktuesit e tjerë. Përkufizimi i mëposhtëm do të na lejojë t'i zgjerojmë këto veti në përcaktuesit e çdo rendi.

Përkufizimi. Përcaktues matricat A Rendi i n-të është një numër i llogaritur nga zbatimi sekuencial i teoremës së zgjerimit dhe vetive të tjera të përcaktorëve.

Mund të kontrolloni që rezultati i llogaritjeve të mos varet nga radha në të cilën zbatohen vetitë e mësipërme dhe për cilat rreshta dhe kolona. Duke përdorur këtë përkufizim, përcaktori gjendet në mënyrë unike.

Edhe pse ky përkufizim nuk përmban një formulë eksplicite për gjetjen e përcaktorit, ai lejon që dikush ta gjejë atë duke e reduktuar atë në përcaktuesit e matricave të rendit më të ulët. Përkufizime të tilla quhen të përsëritura.

Shembulli 4. Njehsoni përcaktorin: .

Megjithëse teorema e faktorizimit mund të zbatohet në çdo rresht ose kolonë të një matrice të caktuar, më pak llogaritje merren duke faktorizuar përgjatë kolonës që përmban sa më shumë zero të jetë e mundur.

Meqenëse matrica nuk ka elemente zero, ne i marrim ato duke përdorur vetinë 7). Shumëzojeni rreshtin e parë në mënyrë sekuenciale me numrat (–5), (–3) dhe (–2) dhe shtoni atë në rreshtat e 2-të, të 3-të dhe të 4-të dhe merrni:

Le të zgjerojmë përcaktuesin që rezulton përgjatë kolonës së parë dhe të marrim:

(marrim (–4) nga rreshti i parë, (–2) nga rreshti i dytë, (–1) nga rreshti i tretë sipas vetive 4)

(pasi përcaktorja përmban dy kolona proporcionale).

§ 1.3. Disa lloje matricash dhe përcaktuesit e tyre

Përkufizimi. Sheshi m një matricë me elementë zero poshtë ose mbi diagonalen kryesore(=0 në i j, ose =0 në i j) thirrurtrekëndëshi .

Le të vazhdojmë bisedën për veprimet me matrica. Gjegjësisht, gjatë studimit të kësaj ligjërate do të mësoni se si të gjeni matricën e kundërt. Mësoni. Edhe nëse matematika është e vështirë.

Çfarë është një matricë e kundërt? Këtu mund të nxjerrim një analogji me numrat e kundërt: merrni parasysh, për shembull, numrin optimist 5 dhe numrin e tij të kundërt. Prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me një: . Gjithçka është e ngjashme me matricat! Prodhimi i një matrice dhe matricës së saj të kundërt është i barabartë me - matrica e identitetit, e cila është analoge matricore e njësisë numerike. Sidoqoftë, gjërat e para - së pari le të zgjidhim një çështje të rëndësishme praktike, domethënë, të mësojmë se si ta gjejmë këtë matricë shumë të kundërt.

Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të gjetur matricën e kundërt? Ju duhet të jeni në gjendje të vendosni kualifikueset. Ju duhet të kuptoni se çfarë është matricë dhe të jetë në gjendje të kryejë disa veprime me to.

Ekzistojnë dy metoda kryesore për gjetjen e matricës së kundërt:
duke përdorur shtesat algjebrike Dhe duke përdorur transformimet elementare.

Sot do të studiojmë metodën e parë, më të thjeshtë.

Le të fillojmë me më të tmerrshmen dhe të pakuptueshmen. Le të shqyrtojmë katrore matricë. Matrica e anasjelltë mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Ku është përcaktori i matricës, është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

Koncepti i një matrice inverse ekziston vetëm për matricat katrore, matricat “dy nga dy”, “tre nga tre” etj.

Emërtimet: Siç mund ta keni vënë re tashmë, matrica e anasjelltë shënohet me një mbishkrim

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - një matricë dy-nga-dy. Më shpesh, natyrisht, kërkohet "tre nga tre", por, megjithatë, unë rekomandoj fuqimisht të studioni një detyrë më të thjeshtë për të kuptuar parimin e përgjithshëm të zgjidhjes.

Shembull:

Gjeni inversin e një matrice

Le të vendosim. Është i përshtatshëm për të zbërthyer sekuencën e veprimeve pikë për pikë.

1) Së pari gjejmë përcaktorin e matricës.

Nëse kuptimi juaj për këtë veprim nuk është i mirë, lexoni materialin Si të llogarisim përcaktorin?

E rëndësishme! Nëse përcaktori i matricës është i barabartë me ZERO– matricë e anasjelltë NUK EKZISTON.

Në shembullin në shqyrtim, siç doli, , që do të thotë se gjithçka është në rregull.

2) Gjeni matricën e të miturve.

Për të zgjidhur problemin tonë, nuk është e nevojshme të dini se çfarë është një i mitur, megjithatë, këshillohet të lexoni artikullin Si të llogarisim përcaktorin.

Matrica e të miturve ka të njëjtat dimensione si matrica, domethënë në në këtë rast.
E vetmja gjë që mbetet për të bërë është të gjeni katër numra dhe t'i vendosni ato në vend të yjeve.

Le të kthehemi në matricën tonë
Le të shohim së pari elementin e sipërm majtas:

Si ta gjeni e mitur?
Dhe kjo bëhet si kjo: MENDORSH kaloni rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet ky element:

Numri i mbetur është minor i këtij elementi, të cilën e shkruajmë në matricën tonë të të miturve:

Merrni parasysh elementin e mëposhtëm të matricës:

Kaloni mendërisht rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet ky element:

Ajo që mbetet është minori i këtij elementi, të cilin e shkruajmë në matricën tonë:

Në mënyrë të ngjashme, ne konsiderojmë elementët e rreshtit të dytë dhe gjejmë të miturit e tyre:


Gati.

Është e thjeshtë. Në matricën e të miturve ju duhet NDRYSHO SHENJAT dy numra:

Këta janë numrat që kam rrethuar!

– matrica e mbledhjeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

Dhe thjesht...

4) Gjeni matricën e transpozuar të shtesave algjebrike.

– matricë e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

5) Përgjigje.

Le të kujtojmë formulën tonë
Gjithçka është gjetur!

Pra, matrica e anasjelltë është:

Është më mirë ta lini përgjigjen ashtu siç është. NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me 2, pasi rezultati është numra thyesorë. Kjo nuancë diskutohet më në detaje në të njëjtin artikull. Veprimet me matrica.

Si të kontrolloni zgjidhjen?

Ju duhet të kryeni shumëzimin e matricës ose

Ekzaminimi:

Marrë përmendur tashmë matrica e identitetitështë një matricë me ato nga diagonale kryesore dhe zero në vende të tjera.

Kështu, matrica e kundërt gjendet saktë.

Nëse e kryeni veprimin, rezultati do të jetë gjithashtu një matricë identiteti. Ky është një nga rastet e pakta ku shumëzimi i matricës është komutativ, më shumë detaje mund të gjenden në artikull Vetitë e veprimeve në matrica. Shprehje matrice. Vini re gjithashtu se gjatë kontrollit, konstanta (fraksioni) sillet përpara dhe përpunohet në fund - pas shumëzimit të matricës. Kjo është një teknikë standarde.

Le të kalojmë në një rast më të zakonshëm në praktikë - matricën tre-nga-tre:

Shembull:

Gjeni inversin e një matrice

Algoritmi është saktësisht i njëjtë si për rastin "dy nga dy".

Matricën e anasjelltë e gjejmë duke përdorur formulën: , ku është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.

1) Gjeni përcaktorin e matricës.

Këtu zbulohet përcaktori në rreshtin e parë.

Gjithashtu, mos harroni këtë, që do të thotë se gjithçka është në rregull - ekziston matrica e anasjelltë.

2) Gjeni matricën e të miturve.

Matrica e të miturve ka një dimension "tre me tre" , dhe ne duhet të gjejmë nëntë numra.

Do t'i hedh një vështrim më të afërt disa të miturve:

Merrni parasysh elementin e mëposhtëm të matricës:

Kryqëzoni MENDORisht rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet ky element:

Katër numrat e mbetur i shkruajmë në përcaktorin "dy nga dy".

Ky përcaktues dy-nga-dy dhe është minori i këtij elementi. Duhet të llogaritet:


Kjo është ajo, e mitura është gjetur, ne e shkruajmë atë në matricën tonë të të miturve:

Siç ndoshta e keni marrë me mend, duhet të llogaritni nëntë përcaktues dy nga dy. Procesi, natyrisht, është i lodhshëm, por rasti nuk është më i rëndë, mund të jetë më i keq.

Epo, për t'u konsoliduar - duke gjetur një tjetër të mitur në foto:

Mundohuni të llogaritni vetë të miturit e mbetur.

Rezultati përfundimtar:
– matrica e minoreve të elementeve përkatëse të matricës.

Fakti që të gjithë të miturit rezultuan negativë është thjesht një aksident.

3) Gjeni matricën e mbledhjeve algjebrike.

Në matricën e të miturve është e nevojshme NDRYSHO SHENJAT rreptësisht për elementët e mëposhtëm:

Në këtë rast:

Ne nuk e konsiderojmë gjetjen e matricës së kundërt për një matricë "katër me katër", pasi një detyrë e tillë mund të jepet vetëm nga një mësues sadist (që studenti të llogarisë një përcaktues "katër nga katër" dhe 16 përcaktorë "tre nga tre" ). Në praktikën time, kishte vetëm një rast të tillë, dhe klienti i testit e pagoi mjaft shtrenjtë vuajtjen time =).

Në një numër tekstesh dhe manualesh mund të gjeni një qasje paksa të ndryshme për gjetjen e matricës së kundërt, por unë rekomandoj përdorimin e algoritmit të zgjidhjes të përshkruar më sipër. Pse? Sepse gjasat për t'u ngatërruar në llogaritjet dhe shenjat janë shumë më pak.

MinorM ij element një ij përcaktues n -rendi i th quhet percaktor i rendit ( n-1 ), e përftuar nga një përcaktor i caktuar duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet ky element ( i -linja e th dhe j kolona e th).

Komplement algjebrik element një ij jepet me shprehjen:

Përcaktuesit e rendit n>3 llogariten duke përdorur teoremën për zgjerimin e përcaktorit në elementet e një rreshti ose kolone:

Teorema. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti ose çdo kolone nga plotësimet algjebrike që u korrespondojnë këtyre elementeve, d.m.th.

Shembull.

Llogaritni përcaktorin duke e zbërthyer në elementë të një rreshti ose kolone:

Zgjidhje

1. Nëse në një rresht ose një kolonë ka vetëm një element tjetër përveç zeros, atëherë nuk ka nevojë të transformohet përcaktorja. Përndryshe, para se të aplikojmë teoremën për zbërthimin e përcaktorit, ne e transformojmë atë duke përdorur vetinë e mëposhtme: nëse elementeve të një rreshti (kolone) i shtojmë elementët përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me një faktor arbitrar, atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë.

Nga elementët e rreshtit 3 zbresim elementët përkatës të rreshtit 2.

Nga elementët e kolonës 4, zbritni elementët përkatës të kolonës 3, shumëzuar me 2.

Ne e zgjerojmë përcaktorin në elementët e rreshtit të tretë

2. Përcaktori i rendit të tretë që rezulton mund të llogaritet duke përdorur rregullin e trekëndëshit ose rregullin e Sarrus (shih më lart). Sidoqoftë, elementët e përcaktorit janë numra mjaft të mëdhenj, kështu që le ta zgjerojmë përcaktorin duke e transformuar fillimisht atë:

Nga elementët e rreshtit të dytë, zbritni elementët përkatës të rreshtit të parë, shumëzuar me 3.

Nga elementet e rreshtit të parë zbresim elementët përkatës të rreshtit të tretë.

Elementeve të rreshtit 1 shtojmë elementët përkatës të rreshtit 2

Përcaktori i rreshtit zero është 0.

Pra, përcaktuesit e rendit n>3 llogariten:

· shndërrimi i përcaktorit në formë trekëndore duke përdorur vetitë e përcaktorëve;

· zbërthimi i përcaktorit në terma ose elementë kolonë, duke ulur kështu renditjen e tij.

Rangu i matricës.

Rangu i një matrice është një karakteristikë e rëndësishme numerike. Problemi më tipik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i konsistencës së një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare.

Le të marrim matricën A urdhëroj fq x n . Le k – një numër natyror që nuk e kalon numrin më të vogël fq Dhe n , kjo eshte,

Rendi i vogël kth matricat A quhet përcaktor i një matrice katrore të rendit k x k , i përbërë nga elementë matricë A , të cilat janë në të parazgjedhura k linjat dhe k kolonat dhe renditja e elementeve të matricës A është i shpëtuar.

Konsideroni matricën:

Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A , atëherë zgjedhja jonë korrespondon me minorin e rendit të parë det(-4)=-4. Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne fshimë rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica. A , dhe nga elementi i mbetur ata përbënin një përcaktor.

Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.

Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë, dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje kemi një të mitur të rendit të dytë
.

Një tjetër minor i rendit të dytë të matricës Aështë e vogël

Në mënyrë të ngjashme, të vogla të rendit të tretë të matricës mund të gjenden A . Që në matricë A Ka vetëm tre rreshta, pastaj zgjidhni të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para të këtyre rreshtave, marrim një minor të rendit të tretë:

Një tjetër i vogël i rendit të tretë është:

Për një matricë të caktuar A nuk ka të mitur të rendit më të lartë se i treti, pasi

Sa të mitur janë? k -Uau renditja e matricës A urdhëroj fq x n ? Mjaft shumë!

Numri i të miturve të rendit k mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Rangu i matricës quhet rendi më i lartë i minorit jozero të një matrice.

Rangu i matricës A shënohet si gradë (A). Nga përkufizimet e renditjes së matricës dhe matricës minore, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe grada e një matrice jozero nuk është më pak se një.

Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është mënyra e regjistrimit të të miturve . Kjo metodë bazohet në përcaktimin e rangut të matricës.

Le të na duhet të gjejmë gradën e matricës A urdhëroj fq x n .

Nëse ka të paktën një element të matricës që është i ndryshëm nga zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).

Më pas shikojmë të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo-zero të rendit të dytë, atëherë vazhdojmë të numërojmë minoret e rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.

Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë përveç zeros, atëherë renditja e matricës është të paktën tre, dhe kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të katërt.

Vini re se rangu i matricës nuk mund të kalojë numrin më të vogël fq Dhe n .

Shembull.

Gjeni gradën e matricës
.

Zgjidhje.

1. Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.

2. Një nga të miturit e rendit të dytë
është i ndryshëm nga zero, pra renditja e matricës A të paktën dy.

3. Të mitur të rendit të tretë

Të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.

gradë (A) = 2.

Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.

Një metodë e tillë është metodë e vogël e skajit . Duke përdorur këtë metodë, llogaritjet janë pakësuar disi, por ato janë ende mjaft të rënda.

Ekziston një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice - duke përdorur transformimet elementare (metoda Gaussian).

Janë quajtur transformimet e mëposhtme të matricës elementare :

· rirregullimi i rreshtave (ose kolonave) të matricës;

· duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të një matrice me një numër arbitrar k, ndryshe nga zero;

· duke i shtuar elementeve të çdo rreshti (kolone) elementët përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër arbitrar k.

Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, Nëse NË rrjedh nga A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare. Ekuivalenca e matricës tregohet me simbolin « ~ » , domethënë është shkruar A~B.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica NË të marra nga matrica A duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare, atëherë r ang(A) = rang(B) , d.m.th. radhët e matricave ekuivalente janë të barabarta .

Thelbi i metodës së transformimeve elementare është zvogëlimi i matricës, gradën e së cilës duhet të gjejmë, në një trapezoidale (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.

Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo zero. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon kur kryhen transformime elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.

Shembull.

Duke përdorur metodën e shndërrimeve elementare, gjeni rangun e matricës

.

Zgjidhje.

1. Ndërroni rreshtin e parë dhe të dytë të matricës A , që nga elementi a 11 = 0, dhe elementi një 21 jo zero:

~

Në matricën që rezulton, elementi është i barabartë me një. Përndryshe, ju duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të parë me . Le t'i bëjmë të gjithë elementët e kolonës së parë, përveç të parës, zero. Në rreshtin e dytë tashmë ka një zero, në rreshtin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me 2:

Elementi në matricën që rezulton është i ndryshëm nga zero. Shumëzoni elementet e rreshtit të dytë me

Kolona e dytë e matricës që rezulton ka formën e dëshiruar, pasi elementi tashmë është i barabartë me zero.

Sepse , A , më pas ndërroni kolonën e tretë dhe të katërt dhe shumëzoni rreshtin e tretë të matricës që rezulton me:

Matrica origjinale është reduktuar në trapezoidale, grada e saj është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo zero. Ekzistojnë tre rreshta të tillë, prandaj rangu i matricës origjinale është tre. r ang(A)=3.

Matrica e anasjelltë.

Le të kemi një matricë A .

Matrica e anasjelltë me matricën A , quhet matricë A-1 sikurse A -1 A = A A -1 = E .

Një matricë e kundërt mund të ekzistojë vetëm për një matricë katrore. Për më tepër, ajo vetë është e të njëjtit dimension me matricën origjinale.

Në mënyrë që një matricë katrore të ketë një invers, ajo duhet të jetë jo njëjës (d.m.th. Δ ≠0 ). Ky kusht është gjithashtu i mjaftueshëm për ekzistencën A-1 te matrica A . Pra, çdo matricë jo njëjës ka një të anasjelltë dhe, për më tepër, një unike.

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt duke përdorur shembullin e një matrice A :

1. Gjeni përcaktorin e matricës. Nëse Δ ≠0 , pastaj matrica A-1 ekziston.

2. Le të krijojmë një matricë B të shtesave algjebrike të elementeve të matricës origjinale A . ato. në matricë NË element i - oh rreshta dhe j - kolona e th do të jetë plotësues algjebrik Një ij element një ij matricë origjinale.

3. Transpozoni matricën NË dhe marrim B t .

4. Gjeni matricën e anasjelltë duke shumëzuar matricën që rezulton B t për numër .

Shembull.

Për një matricë të caktuar, gjeni inversin dhe kontrolloni:

Zgjidhje

Le të përdorim algoritmin e përshkruar më parë për gjetjen e matricës së kundërt.

1. Për të gjetur ekzistencën e një matrice të anasjelltë, është e nevojshme të llogaritet përcaktorja e kësaj matrice. Le të përdorim rregullin e trekëndëshit:

Matrica është jo njëjës, prandaj është e kthyeshme.

Le të gjejmë plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës:

Nga shtesat algjebrike të gjetura përpilohet matrica:

dhe transpozohet

Duke e ndarë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e saj, marrim një matricë të kundërt me atë origjinale:

Kontrolli kryhet duke shumëzuar matricën që rezulton me atë origjinale. Nëse matrica e kundërt gjendet saktë, rezultati i shumëzimit është matrica e identitetit.

Për të gjetur matricën e kundërt për një të dhënë, mund të përdorni metodën Gaussian (natyrisht, së pari duhet të siguroheni që matrica të jetë e kthyeshme), të cilën e lë për punë të pavarur.

©2015-2019 faqe
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2017-10-12

Komplement algjebrik- koncepti i algjebrës matricore; në lidhje me elementin aij të matricës katrore A formohet duke shumëzuar minorin e elementit aij me (1)i+j; shënohet me Аij: Aij=(1)i+jMij, ku Mij është minori i elementit aij të matricës A=, d.m.th. përcaktues...... Fjalor ekonomik dhe matematikor

plotësues algjebrik- Koncepti i algjebrës matricore; në lidhje me elementin aij të matricës katrore A formohet duke shumëzuar minorin e elementit aij me (1)i+j; shënohet me Аij: Aij=(1)i+jMij, ku Mij është minori i elementit aij të matricës A=, d.m.th. përcaktues matricë,... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Komplement algjebrik- shih artin. Përcaktues... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

KOMPLEMENT ALGJEBRIK- për minorin M një numër i barabartë me ku M është minor i rendit k, i vendosur në rreshta me numra dhe kolona me numra të një matrice katrore A të rendit n; përcaktor i një matrice të rendit n k e marrë nga matrica A duke fshirë rreshtat dhe kolonat e minorit M;... ... Enciklopedia Matematikore

Shtim- Wiktionary ka një hyrje për "shtesë" Shtimi mund të thotë... Wikipedia

SHTESË- një operacion që vendos një nëngrup të një bashkësie të dhënë X në korrespondencë me një nëngrup tjetër, kështu që nëse dihet Mi N, atëherë bashkësia X mund të rikthehet në një mënyrë ose në një tjetër. Varësisht se me çfarë strukture është e pajisur bashkësia X,. .. ... Enciklopedia Matematikore

PËRCAKTOR- ose përcaktor, në matematikë, regjistrimi i numrave në formën e tabelës katrore, në përputhje me të cilën vendoset një numër tjetër (vlera e përcaktorit). Shumë shpesh, koncepti i përcaktorit nënkupton edhe kuptimin e përcaktorit dhe formën e regjistrimit të tij. Enciklopedia e Collier

Teorema e Laplasit- Për një teoremë nga teoria e probabilitetit, shihni artikullin Teorema lokale e Moivre-Laplace. Teorema e Laplasit është një nga teoremat e algjebrës lineare. Emërtuar sipas matematikanit francez Pierre Simon Laplace (1749 1827), i cili vlerësohet me formulimin e ... ... Wikipedia

Matrica Kirchhoff- (Matrica Laplasiane) një nga paraqitjet e një grafi duke përdorur një matricë. Matrica Kirchhoff përdoret për të numëruar pemët që shtrihen në një grafik të caktuar (teorema e pemës së matricës) dhe përdoret gjithashtu në teorinë e grafikëve spektralë. Përmbajtja 1... ...Wikipedia

EKUACIONET- Një ekuacion është një marrëdhënie matematikore që shpreh barazinë e dy shprehjeve algjebrike. Nëse një barazi është e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të të panjohurave të përfshira në të, atëherë quhet identitet; për shembull, një raport i formës... ... Enciklopedia e Collier

libra

• Matematikë diskrete, A. V. Chashkin. 352 f. Teksti shkollor përbëhet nga 17 kapituj mbi seksionet kryesore të matematikës diskrete: analiza kombinuese, teoria e grafikëve, funksionet e Bulit, kompleksiteti llogaritës dhe teoria e kodimit. Përmban...

Përkufizimi. Nëse në përcaktuesin e rendit të n-të zgjedhim në mënyrë arbitrare k rreshta dhe k kolona, ​​atëherë elementët në kryqëzimin e këtyre rreshtave dhe kolonave formojnë një matricë katrore të rendit k. Përcaktori i një matrice të tillë katror quhet minoren e rendit kth .

Shënuar nga Mk. Nëse k=1, atëherë minorja e rendit të parë është një element i përcaktorit.

Elementet në kryqëzimin e rreshtave të mbetur (n-k) dhe (n-k) kolonave formojnë një matricë katrore të rendit (n-k). Përcaktori i një matrice të tillë quhet minor, shtesë te mitura M k. Shënohet me Mn-k.

Komplementi algjebrik i minores M k do ta quajmë minor shtesë, marrë me shenjën “+” ose “-”, në varësi të faktit nëse shuma e numrave të të gjitha rreshtave dhe kolonave në të cilat ndodhet minorja M k është çift apo tek.

Nëse k=1, atëherë komplementi algjebrik i elementit një ik llogaritur me formulë

A ik =(-1) i+k M ik, ku M ik- urdhër i vogël (n-1).

Teorema. Prodhimi i një minoreje të rendit kth dhe plotësimit algjebrik të tij është i barabartë me shumën e një numri të caktuar termash të përcaktorit D n.

Dëshmi

1. Le të shqyrtojmë një rast të veçantë. Lëreni minorin M k të zërë këndin e sipërm të majtë të përcaktorit, domethënë të vendosur në rreshtat me numër 1, 2, ..., k, atëherë minori M n-k do të zërë linjat k+1, k+2, ... , n.

Le të llogarisim komplementin algjebrik të minorit M k. A-parësore,

A n-k =(-1) s M n-k, ku s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), atëherë

(-1)s= 1 dhe A n-k = M n-k. marrim

M k A n-k = M k M n-k. (*)

Marrim një term arbitrar të të miturës M k

, (1)

ku s është numri i përmbysjeve në zëvendësim

dhe një term arbitrar të vogël M n-k

ku s * është numri i përmbysjeve në zëvendësim

(4)

Duke shumëzuar (1) dhe (3), marrim

Produkti përbëhet nga n elementë të vendosur në rreshta dhe kolona të ndryshme të përcaktorit D. Për rrjedhojë, ky produkt është anëtar i përcaktorit D. Shenja e produktit (5) përcaktohet nga shuma e përmbysjeve në zëvendësimet (2) dhe (4), dhe shenja e një produkti të ngjashëm në përcaktuesin D përcaktohet numri i inversioneve s k në zëvendësim

Është e qartë se s k =s+s * .

Kështu, duke u kthyer në barazi (*), marrim se produkti M k A n-k përbëhet vetëm nga termat e përcaktorit.

2. Le të mitur M k të vendosura në rreshta me numra i 1, i 2, ..., i k dhe në kolona me numra j 1, j 2, ..., j k, dhe unë 1< i 2 < ...< i k Dhe j 1< j 2 < ...< j k .

Duke përdorur vetitë e përcaktorëve, duke përdorur transpozicionet, do ta zhvendosim minorin në këndin e sipërm të majtë. Ne marrim përcaktorin D ¢, në të cilin minorja M k zë këndin e sipërm të majtë dhe M¢ të vogël shtesë n-kështë këndi i poshtëm djathtas, atëherë, sipas asaj që u vërtetua në pikën 1, marrim se produkti M k M¢ n-kështë shuma e një numri të caktuar elementësh të përcaktorit D ¢, të marra me shenjën e tyre. Por D¢ merret nga D duke përdorur ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transpozicionet e vargjeve dhe ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transpozicionet e kolonës. Kjo do të thotë, gjithçka u krye

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Prandaj, termat e përcaktorëve D dhe D ¢ ndryshojnë në shenjën (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, prandaj, prodhimi (-1) s M k M¢ n-k do të përbëhet nga një numër i caktuar termash të përcaktorit D, të marra me të njëjtat shenja që kanë në këtë përcaktor.

Teorema e Laplasit. Nëse në përcaktorin e rendit të n-të zgjedhim në mënyrë arbitrare k rreshta (ose k kolona) 1£k£n-1, atëherë shuma e produkteve të të gjitha minoreve të rendit kth që përmbahen në rreshtat e zgjedhur dhe plotësuesit algjebrikë të tyre është e barabartë me përcaktorin D. .

Dëshmi

Le të zgjedhim linja të rastësishme i 1, i 2, ..., i k dhe ne do ta vërtetojmë këtë

Më parë ishte vërtetuar se të gjithë elementët në anën e majtë të barazisë përmbahen si terma në përcaktorin D. Le të tregojmë se çdo term në përcaktorin D bie vetëm në një nga termat. Vërtet, çdo gjë ts duket si t s =. nëse në këtë produkt shënojmë faktorët indekset e para të të cilëve i 1, i 2, ..., i k, dhe kompozoni produktin e tyre, atëherë mund të vëreni se produkti që rezulton i përket rendit kth minor. Rrjedhimisht, termat e mbetur, të marra nga n-k rreshtat dhe n-k kolonat e mbetura, formojnë një element që i përket minores plotësuese dhe, duke marrë parasysh shenjën, komplementit algjebrik, pra, çdo ts bie vetëm në njërin prej produkteve, i cili vërteton teoremën.

Pasoja(teorema mbi zgjerimin e përcaktorit me radhë) . Shuma e produkteve të elementeve të një rreshti të caktuar të përcaktorit dhe plotësuesve algjebrikë përkatëse është e barabartë me përcaktorin.

(Dëshmia si ushtrim.)

Teorema. Shuma e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të të përcaktorit me plotësimet algjebrike përkatëse të elementeve të rreshtit të j-të (i¹j) është e barabartë me 0.