Diamo un'occhiata a uno di argomenti principali in informatica - . A curriculum scolastico si rivela piuttosto "modestamente", molto probabilmente per la mancanza di ore che gli sono state assegnate. Conoscenza su questo argomento, in particolare su traduzione di sistemi numerici, sono prerequisito per il superamento dell'esame e l'ammissione alle università delle facoltà competenti. Sotto in dettaglio concetti come sistemi numerici posizionali e non posizionali, vengono forniti esempi di questi sistemi numerici, le regole per convertire numeri decimali interi, frazioni decimali regolari e numeri decimali misti in qualsiasi altro sistema numerico, convertire numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale, convertire da sistemi numerici ottali ed esadecimali al sistema numerico binario sono presentata. Sugli esami in in gran numero ci sono compiti su questo argomento. La capacità di risolverli è uno dei requisiti per i candidati. Prossimamente: per ogni argomento della sezione, oltre al materiale teorico dettagliato, quasi tutto opzioni possibili compiti per autodidatta. Inoltre, avrai la possibilità di scaricare file già pronti dal servizio di condivisione file in modo completamente gratuito. soluzioni dettagliate a questi compiti, illustrando vari modi ottenendo la risposta corretta.
sistemi numerici posizionali.
Sistemi numerici non posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.
I sistemi numerici non posizionali includono, ad esempio, Roman, dove invece di numeri - lettere.
| io | 1 uno) |
| V | 5 (cinque) |
| X | 10 (dieci) |
| l | 50 (cinquanta) |
| C | 100 (cento) |
| D | 500 (cinquecento) |
| M | 1000 (mille) |
Qui, la lettera V sta per 5, indipendentemente dalla sua posizione. Tuttavia, vale la pena ricordare che sebbene il sistema numerico romano sia un classico esempio di sistema numerico non posizionale, non è completamente non posizionale, perché. da esso viene sottratto il numero minore prima di quello maggiore:
| I L | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
sistemi numerici posizionali.
Sistemi numerici posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero.
Ad esempio, se parliamo di decimale sistema numerico, quindi nel numero 700 il numero 7 significa "settecento", ma la stessa cifra nel numero 71 significa "sette decine" e nel numero 7020 - "settemila".
A testa sistema numerico posizionale ha il suo base. La base è un numero naturale maggiore o uguale a due. È uguale al numero di cifre utilizzate in questo sistema numerico.
- Per esempio:
- Binario- sistema di numerazione posizionale con base 2.
- Quaternario- sistema di numerazione posizionale con base 4.
- quintuplicato- sistema di numerazione posizionale con base 5.
- ottale- sistema di numerazione posizionale con base 8.
- Esadecimale- sistema di numerazione posizionale con base 16.
Per risolvere con successo problemi sull'argomento "Sistemi numerici", lo studente deve conoscere a memoria la corrispondenza di numeri binari, decimali, ottali ed esadecimali fino a 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | e |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
È utile sapere come si ottengono i numeri in questi sistemi numerici. Puoi indovinarlo in ottale, esadecimale, ternario e altro sistemi numerici posizionali tutto accade in modo simile al sistema decimale a noi familiare:
Uno viene aggiunto al numero e si ottiene un nuovo numero. Se la posizione delle unità diventa uguale alla base del sistema numerico, aumentiamo di 1 il numero delle decine e così via.
Questa "transizione dell'uno" è esattamente ciò che spaventa la maggior parte degli studenti. In realtà, tutto è abbastanza semplice. Si verifica una transizione se la cifra delle unità diventa uguale a base del sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1. Molti, ricordando il buon vecchio sistema decimale, si confondono all'istante nella scarica e in questa transizione, perché le decine decimali e, ad esempio, binarie sono cose diverse.
Quindi, gli studenti pieni di risorse hanno "i loro metodi" (sorprendentemente ... funzionanti) quando compilano, ad esempio, tabelle di verità, le prime colonne (valori delle variabili) di cui, infatti, sono riempite con numeri binari in ordine crescente .
Ad esempio, diamo un'occhiata all'inserimento dei numeri sistema ottale: Aggiungiamo 1 al primo numero (0), otteniamo 1. Quindi aggiungiamo 1 a 1, otteniamo 2, ecc. fino a 7. Se aggiungiamo uno a 7, otteniamo un numero uguale alla base del sistema numerico, cioè 8. Quindi è necessario aumentare la cifra delle decine di uno (otteniamo un dieci ottale - 10). Poi, ovviamente, ci sono i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
regole per la conversione da un sistema numerico all'altro.
1 Convertire numeri interi decimali in qualsiasi altro sistema numerico.
Il numero deve essere diviso per nuova base numerica. Il primo resto della divisione è la prima cifra meno significativa del nuovo numero. Se il quoziente della divisione è minore o uguale alla nuova base, allora (il quoziente) deve essere nuovamente diviso per la nuova base. La divisione deve essere continuata finché non otteniamo il quoziente inferiore alla nuova base. Questa è la cifra più alta del nuovo numero (ricorda che, ad esempio, nel sistema esadecimale, le lettere seguono dopo 9, cioè se hai 11 nel resto, devi scriverlo come B).
Esempio ("divisione per angolo"): traduciamo il numero 173 10 in sistema ottale fare i conti.
Pertanto, 173 10 \u003d 255 8
2 Conversione di frazioni decimali corrette in qualsiasi altro sistema numerico.
Il numero deve essere moltiplicato per la nuova base del sistema numerico. La cifra che è passata nella parte intera è la cifra più alta della parte frazionaria del nuovo numero. per ottenere la cifra successiva, la parte frazionaria del prodotto risultante deve essere nuovamente moltiplicata per la nuova base del sistema numerico fino a quando non avviene il passaggio alla parte intera. Continuiamo la moltiplicazione fino a quando la parte frazionaria diventa uguale a zero, o fino a raggiungere la precisione specificata nel problema ("... calcola con una precisione, ad esempio, di due decimali").
Esempio: traduciamo il numero 0,65625 10 nel sistema numerico ottale.
Commento metodico alla lezione
Obiettivi dell'insegnante: mostrare agli studenti metodi di integrazione delle conoscenze provenienti da varie fonti, per creare condizioni per un lavoro produttivo in gruppo.
Obiettivi dello studente: conoscere la storia dell'emergere dei sistemi numerici, apprendere i principi di costruzione di vari sistemi numerici e le loro aree di utilizzo, acquisire le competenze necessarie lavoro di squadra con diverse fonti di informazione.
A una lezione di matematica in quinta elementare, mentre completavano un compito relativo alla scomposizione di numeri a più cifre in cifre, gli studenti avevano domande: “Perché contiamo per decine? Perché non può essere considerato diversamente? Ci sono altri modi per contare? All'insegnante è stato chiesto di trovare risposte a queste domande ricercando, analizzando e riassumendo informazioni su questo argomento durante la settimana, lavorando in piccoli gruppi formati da studenti di classe a volontà. I risultati di questo lavoro dovrebbero essere ufficializzati e presentati alla lezione di matematica tra una settimana. Al termine della lezione, la classe è stata suddivisa nei seguenti gruppi creativi:
- Sistemi numerici ( concetti generali) - 5 persone
- Sistema binario - 7 persone (questa domanda ha richiesto il massimo interesse)
- Sistema esadecimale - 5 persone
- Sistema decimale - 5 persone
- Altri sistemi di numerazione - 3 persone
- Trasferirli da un sistema all'altro - 5 persone.
A seguito dell'attività di ricerca degli studenti, è stata ottenuta la seguente lezione:
“I numeri non governano il mondo, ma mostrano come è governato il mondo”
(Io-In Goethe)
Gruppi di studenti hanno presentato i risultati della ricerca e del lavoro analitico.
I - Concetti generali
Il sistema numerico è un insieme di metodi per designare i numeri - una lingua il cui alfabeto è simboli (numeri) e sintassi - una regola che consente di formulare un record di numeri in modo inequivocabile.
Un numero è un'entità astratta per descrivere una quantità
Una cifra è un carattere utilizzato per scrivere numeri. I numeri sono diversi, i più comuni sono i numeri arabi; numeri romani meno comuni (si possono vedere sul quadrante o nella designazione del secolo)
La base è il numero di cifre utilizzate nel sistema numerico.
Esempi di numeri in vari sistemi numerici:
11001 2 – numero binario
221 3 - un numero nel sistema numerico ternario
31 8 - numero nel sistema numerico ottale
25 10 - numero nel sistema numerico decimale
Nei vecchi libri di aritmetica, oltre a 4 operazioni aritmetiche, viene menzionata anche la quinta: la numerazione. La numerazione (calcolo) è stato uno dei primi problemi incontrati nella costruzione dell'aritmetica.
Ci sono molti modi per scrivere numeri usando i numeri. Questi metodi possono essere suddivisi in tre gruppi:
- sistemi numerici posizionali
- sistemi a numeri misti
- sistemi numerici non posizionali
Le banconote sono un esempio di sistema di numerazione mista. Ora in Russia vengono utilizzate monete e banconote delle seguenti denominazioni: 1 copechi, 5 copechi, 10 copechi, 50 copechi, 1 rublo, 2 rubli, 5 rubli, 10 rubli, 50 rubli, 100 rubli, 500 rubli, 1000 rubli, 5000 rubli. Per ottenere un determinato importo in rubli, è necessario utilizzare una certa quantità di banconote di vari tagli. Supponiamo di acquistare un aspirapolvere che costa 6379 rubli. Per pagare l'acquisto, avrai bisogno di 6 banconote da 1000 rubli, 3 banconote da 100 rubli, 1 banconota da cinquanta rubli, due decine, una banconota da cinque rubli e due monete da 2 rubli. Se annotiamo il numero di banconote e monete, partendo da 100 rubli e finendo con un copeco, sostituendo le denominazioni mancanti con zeri, otterremo un numero presentato in un sistema numerico misto: nel nostro caso, 603121200000.
Nei sistemi numerici non posizionali, il valore di un numero non dipende dalla posizione delle cifre nell'immissione del numero. Se confondessimo i numeri nel numero 603121200000, allora non riusciremmo a capire quanto costa l'aspirapolvere; in non sistema posizionale I numeri possono essere riorganizzati senza modificare l'importo. Un esempio di sistema non posizionale è il sistema romano. Tali sistemi sono costruiti sul principio dell'additività (inglese add. - sum). L'equivalente quantitativo di un numero è definito come la somma delle cifre. Per esempio:
Nei sistemi di numerazione posizionale, l'ordine delle cifre nell'immissione del numero è sempre importante. (25 e 52 sono numeri diversi)
Qualsiasi sistema numerico destinato all'uso pratico deve fornire:
- la capacità di rappresentare un numero in un dato intervallo di numeri
- univocità di rappresentazione
- brevità e facilità di scrittura
- facilità di gestione del sistema, nonché semplicità e comodità di utilizzo
II - Sistema numerico binario
Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale con base 2. In questo sistema numerico, i numeri naturali vengono scritti utilizzando due simboli: 1 e 0. Cifra sistema binario- morso. Otto cifre è un byte.
Il sistema dei numeri binari è stato inventato da matematici e filosofi nel XVII-XIX secolo. L'eccezionale matematico Leibniz ha affermato: "Il calcolo con l'aiuto dei due ... è il principale per la scienza e genera nuove scoperte ... Quando i numeri sono ridotti ai più semplici inizi, che sono 0 e 1, un ordine meraviglioso appare ovunque. " In seguito, il sistema binario fu dimenticato e solo nel 1936-1938 l'ingegnere e matematico americano Claude Shannon trovò una notevole applicazione del sistema binario nella progettazione di circuiti elettronici.
Il sistema binario è utilizzato nei dispositivi digitali perché è il più semplice.
Vantaggi del sistema binario:
- Meno valori ci sono nel sistema, più facile è da realizzare singoli elementi operando su questi valori. Due cifre sono facilmente rappresentabili fenomeni fisici: c'è corrente - nessuna corrente; induzione campo magnetico maggiore del valore di soglia o meno, ecc.
- Meno stati ha un elemento, maggiore è l'immunità al rumore e più veloce può funzionare.
- L'aritmetica binaria è piuttosto semplice.
- È possibile utilizzare l'apparato logico per eseguire operazioni bit per bit
Per convertire da binario a decimale, viene utilizzata una tabella di potenze di 2.
III - Sistema numerico esadecimale
A tempi moderni Il sistema numerico sessagesimale viene utilizzato per misurare il tempo, gli angoli.
Nella rappresentazione del tempo vengono utilizzate tre posizioni: ore, minuti, secondi, poiché per ogni posizione dobbiamo usare 60 cifre, e ne abbiamo solo 10, quindi per ciascuna vengono utilizzate due cifre decimali (00, 01, ...) posizione sessagesimale, le posizioni sono separate da un colon. h:m:s.
Considera le azioni nel sistema numerico sessagesimale su due compiti:
- La torta deve essere cotta in forno per 45 minuti. Quanti secondi ci vorranno?
- Devi cuocere 10 torte. Quanto tempo ci vorrà?
Per eseguire calcoli nel sistema numerico sessagesimale, è necessario conoscere le tabelle di addizione e moltiplicazione dei numeri sessagesimali. Ogni tabella è molto grande, ha una dimensione di 60 * 60, ricordavamo a malapena la solita tabellina e sarà molto più difficile per noi imparare la tavola sessagesimale. Come essere? Puoi risolvere questi problemi nel sistema dei numeri decimali e quindi tradurre il risultato in sessagesimale.
45 minuti=0*3600+45*60+0= 2700 secondi
Saranno necessari 2700*10=27000 secondi per cuocere 10 torte.
27000/60=450 (residuo 0)
450/60=7 (resto 30)
7/60=0 (resto 7) Sono risultate le 07:30:00
IV - Sistema numerico decimale
La rappresentazione di numeri utilizzando numeri arabi è il sistema numerico posizionale più comune, è chiamato "sistema numerico decimale". Si chiama decimale perché utilizza dieci cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Il sistema dei numeri decimali è il massimo impresa famosa Matematica indiana (595). Il sistema base 10 è penetrato nelle rotte carovaniere dall'India a molte aree del Medio Oriente. A poco a poco, questo sistema iniziò ad essere utilizzato sempre più ampiamente nel mondo arabo, sebbene altri sistemi rimasero in uso contemporaneamente. Il "Libro dell'abaco" di Leonardo da Pisa (1202) fu una delle fonti per la penetrazione del sistema di numerazione indo-arabo nell'Europa occidentale. Questo libro era un'opera grandiosa per quei tempi; in forma stampata, consisteva di 460 pagine. Il suo autore è conosciuto anche con il nome di Fibonacci. Il suo libro rappresentava l'enciclopedia matematica del suo tempo. Il sistema decimale si è diffuso e riconosciuto in Europa solo durante il Rinascimento.
V - Altri sistemi numerici
Sistema numerico esadecimale: per scrivere i numeri vengono utilizzati i seguenti caratteri: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binario sistema decimale fare i conti. In un tale sistema, ogni cifra decimale è codificata determinata combinazione cifre binarie. La designazione di ogni cifra decimale è chiamata tetrade. Esempio:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetradi)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Sistema numerico quinquennale - I primi matematici potevano contare solo sulle dita di una mano e, se ci fossero più oggetti, direbbero questo: "cinque + uno", ecc. A volte il numero 20 è stato preso come base: il numero di dita delle mani e dei piedi. Dei 307 sistemi numerici dei primitivi popoli americani, 146 erano decimali, 106 quanari e decimali. In una forma più caratteristica, il sistema di base 20 esisteva tra i Maya in Messico e tra i Celti in Europa.
VI - Trasferimento da un sistema all'altro
I sistemi numerici sono correlati? È possibile tradurre un numero da un sistema all'altro? Esistono due regole principali per il trasferimento da un sistema all'altro:
La traduzione da qualsiasi altro al sistema decimale viene eseguita secondo le formule:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
La conversione di un numero da un sistema decimale a un sistema con qualsiasi base viene eseguita secondo l'algoritmo:
25 10 converti in numero binario
25/2=12 (resto 1)
12/2=6 (resto 0)
6/2=3 (resto 0)
3/2=1 (resto 1)
1/2=0 (resto 1) Ho ottenuto il numero 11001 2
25 10 converti in numero ternario
25/3=8 (resto 1)
8/3=2 (resto 2)
2/3=0 (resto 2) Ricevuto 221 3
25 10 converti in numero ottale
25/8=3 (resto 1)
3/8=0 (resto 3) Ho ottenuto 31 8
Dopo aver presentato i risultati del lavoro dei gruppi creativi, tutti i sistemi numerici sono stati valutati secondo i criteri indicati all'inizio e tutti sono giunti alla conclusione che, come risultato dello sviluppo storico della matematica, il sistema più conveniente (decimale) è diventato il più comune. Allo stesso tempo, c'erano ardenti sostenitori del sistema binario, che credevano che fosse molto importante per l'elettronica.
La lezione si è conclusa con un syncwine.
Il sistema numerico è comodo, veloce, aiuta, conta, registra
“Il conteggio e i calcoli sono la base dell'ordine nella testa” (I. Pestalozzi)
Fonti di informazione
- D.Ya. Stroik "Un breve saggio sulla storia della matematica" ("Nauka", Mosca, 1990).
- N.Ya. Vilenkin, LP Shibasov, ZF Shibasov "Dietro le pagine di un libro di testo di matematica" ("Prosveshchenie", Mosca, 2008).
- AV Dorofeev "Pagine di storia nelle lezioni di matematica" ("Illuminismo", Mosca, 2007).
- Risorse Internet "Wikipedia".
sistema numericoè un insieme di metodi per nominare e scrivere numeri. In qualsiasi sistema numerico, alcuni simboli vengono scelti per rappresentare i numeri (vengono chiamati figure), e il resto dei numeri si ottiene come risultato di qualsiasi operazione sulle cifre di questo sistema numerico.
Il sistema è chiamato posizionale se il valore di ogni cifra (il suo peso) cambia a seconda della sua posizione (posizione) nella sequenza di cifre che rappresentano il numero.
Viene chiamato il numero di unità di qualsiasi categoria, combinate in un'unità di ordine superiore la base del sistema numerico posizionale. Se il numero di tali cifre è P, quindi viene chiamato il sistema numerico P-ichny. La base di un sistema numerico è la stessa del numero di cifre utilizzate per scrivere i numeri in quel sistema numerico.
Registrazione numero arbitrario X in P-Il sistema numerico posizionale si basa sulla rappresentazione di questo numero come un polinomio
x = un n P n + un n -1 P n -1 + ... + A 1 P 1 + un 0 P 0 + un -1 P -1 + ... + a -m P -m
Le operazioni aritmetiche sui numeri in qualsiasi sistema numerico posizionale vengono eseguite secondo le stesse regole del sistema decimale, poiché sono tutte basate sulle regole per eseguire operazioni sui polinomi corrispondenti. In questo caso, devi solo utilizzare quelle tabelline di addizione e moltiplicazione che corrispondono a questa base. P sistemi numerici.
Quando si convertono numeri da un sistema numerico decimale a un sistema con una base P> 1 di solito usa il seguente algoritmo:
1) se la parte intera del numero viene tradotta, viene divisa per P, dopodiché viene memorizzato il resto della divisione. Il quoziente risultante viene nuovamente diviso per P, il resto viene ricordato. La procedura continua fino a quando il quoziente diventa zero. Resti dopo la divisione per P sono emessi nell'ordine inverso rispetto alla loro ricezione;
2) se la parte frazionaria del numero viene tradotta, viene moltiplicata per P, dopodiché la parte intera viene memorizzata ed eliminata. La parte frazionaria appena ottenuta viene moltiplicata per P eccetera. La procedura continua fino a quando la parte frazionaria diventa zero. Le parti intere vengono scritte dopo la virgola nell'ordine in cui sono state ricevute. Il risultato può essere una frazione finita o periodica in un sistema numerico con una base P. Pertanto, quando la frazione è periodica, devi interrompere la moltiplicazione ad un certo punto e accontentarti della notazione approssimativa del numero originale nel sistema con la base P .
Codifica dei numeri
Per usare i numeri, devi nominarli e scriverli in qualche modo, hai bisogno di un sistema di numerazione. Vari sistemi di conteggio e scrittura dei numeri coesistettero e gareggiarono tra loro per migliaia di anni, ma alla fine dell '"era pre-computer" il numero "dieci" iniziò a svolgere un ruolo speciale nel conteggio e sistema popolare la codifica si è rivelata sistema decimale posizionale. In questo sistema, il valore di una cifra in un numero dipende dalla sua posizione (posizione) all'interno del numero. Il sistema dei numeri decimali proveniva dall'India (non più tardi del VI secolo d.C.). L'alfabeto di questo sistema: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - ci sono 10 cifre in totale, quindi la base del sistema numerico è 10. Un numero è scritto come una combinazione di unità, decine, centinaia, migliaia e così via. Esempio: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .
Ci sono 10 cifre in questo sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ma le informazioni sono trasportate non solo dal numero, ma anche dal luogo su cui si trova il numero (che è, la sua posizione). La cifra più a destra del numero mostra il numero di unità, la seconda da destra - il numero di decine, la successiva - il numero di centinaia, ecc.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Si noti che la scelta del numero 10 come base del sistema numerico è spiegata dalla tradizione e non da alcune notevoli proprietà del numero 10. In generale, rappresentazione del numero N nel sistema numerico p-ario, questo è:
N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , dove un ¹ 0, un io Î {0, 1, 2, ..., un io }.
A Babilonia, ad esempio, veniva utilizzato un sistema numerico a 60 decimali, l'alfabeto conteneva numeri da 1 a 59, non esisteva il numero 0, le tabelline erano molto ingombranti, quindi fu presto dimenticato, ma si possono riscontrare echi della sua precedente prevalenza osservato ora - la divisione dell'ora per 60 minuti, dividendo il cerchio in 360 gradi.
Sistema di numeri binari
Il sistema dei numeri binari è stato inventato da matematici e filosofi anche prima dell'avvento dei computer (XVII - XIX secolo). L'eccezionale matematico Leibniz disse: "Il calcolo con l'aiuto dei due ... è fondamentale per la scienza e genera nuove scoperte ... Quando i numeri sono ridotti ai principi più semplici, che sono 0 e 1, un ordine meraviglioso appare ovunque". In seguito, il sistema binario fu dimenticato e solo nel 1936 - 1938 l'ingegnere e matematico americano Claude Shannon trovò notevoli applicazioni del sistema binario nella progettazione di circuiti elettronici. Considera un esempio di rappresentazione di un numero nel sistema binario:
Esempio 2.1.1. Convertiamo il numero 2000 nel sistema binario.
1. Dividi 2000 per la base del nuovo sistema numerico - 2:
2000:2=1000(0 - resto),
2. Raccogliamo l'ultimo quoziente di divisione (sempre uguale a 1) e il resto della divisione e li scriviamo in ordine, partendo dal basso:
2000 10 ==11111010000 2
Per verificare, tradurremo il numero risultante in un sistema di numeri decimali, per questo:
1. Seleziona le cifre binarie del numero, ovvero la potenza del numero 2, a partire da 0:
2. Scrivi la somma dei prodotti di 0 e 1 per la potenza corrispondente del numero 2 (vedi la rappresentazione del numero nel sistema numerico p-ario):
0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 + l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Esistono sistemi numerici relativi al binario. Quando si lavora con i computer, a volte si ha a che fare con i numeri binari, poiché i numeri binari sono incorporati nella progettazione di un computer. Il sistema binario è conveniente per un computer, ma scomodo per una persona: i numeri troppo lunghi sono scomodi da scrivere e ricordare. I sistemi numerici vengono in soccorso, relativi a binario - ottale ed esadecimale.
Ad esempio, nel sistema esadecimale, per scrivere numeri vengono utilizzati 10 numeri e lettere arabi. Alfabeto latino(A B C D E F). Per scrivere un numero in questo sistema numerico, è conveniente da usare rappresentazione binaria numeri. Prendiamo ad esempio lo stesso numero: 2000 o 11111010000 nel sistema binario. Spezziamolo in quattro caratteri, spostandoci da destra verso sinistra, negli ultimi quattro a sinistra assegniamo uno 0 insignificante in modo che il numero di caratteri nelle triadi sia quattro: 0111 1101 0000. Iniziamo la traduzione - il numero 0111 in il sistema binario corrisponde al numero 7 nel sistema decimale (7 10 \u003d 1 * 2 0 +1*2 1 +1*2 2), c'è una cifra 7 nel sistema numerico esadecimale; il numero 1101 nel sistema binario corrisponde al numero 13 nel sistema decimale (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), nel sistema esadecimale questo numero corrisponde alla cifra D e, infine, il numero 0000 - in qualsiasi sistema numerico 0. Ora scriviamo il risultato:
11111010000 2 = 7D0 16 .
SISTEMI A NUMERO TWELUX E OTTALE
Sebbene il sistema decimale sia il più utilizzato, ciò non significa che sia il migliore. La diffusione capillare è in gran parte dovuta alla circostanza anatomica che abbiamo dieci dita e dieci dita su mani e piedi. Per quanto riguarda il principio posizionale e le designazioni digitali, possono essere adattati con uguale successo al sistema numerico con qualsiasi base, indipendentemente dal fatto che sia uguale a 2, 10 o qualsiasi altro intero positivo diverso da uno. Ad esempio, sostituendo nella rappresentazione polinomiale 7 X 2 + 6X 1 + 5X 0 + 4X –1 + 3X-2 invece X valore 10, otteniamo il numero 765.43 nel nostro solito sistema decimale. Ma senza il minimo pregiudizio per il principio posizionale di denotare interi e frazioni invece di X Puoi anche sostituire qualsiasi altro numero intero positivo. Invece del numero 10 come base del sistema numerico, è stato spesso proposto di utilizzare i numeri 8 e 12. I sistemi risultanti da tali sostituzioni sono noti come ottale e duodecimale. Nel sistema ottale, invece di una variabile X nella rappresentazione polinomiale, sostituisci 8, e poi il numero uguale a 765.43 nel sistema decimale, nel sistema ottale sarà uguale a (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 -1) + 3 ( 8–2), cioè numero. In duodecimale, la stessa rappresentazione polinomiale per X= 12 dà (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 -1) + 3(12 -2), o nella nostra notazione abituale. Per quanto riguarda i calcoli, sono in tutti e tre i sistemi numerici, decimale, ottale e duodecimale, eseguiti quasi allo stesso modo e con la stessa facilità. La differenza sta principalmente nelle tabelline di addizione e moltiplicazione, poiché cambiano da un sistema numerico all'altro. Ad esempio, sette più sette è uguale a otto più sei in ottale, dieci più quattro in decimale e dodici più due in duodecimale. Simbolicamente, queste somme e prodotti possono essere scritti come segue:Vediamo che il passaggio dal decimale all'ottale o al duodecimale richiede una revisione completa delle tabelline di addizione e moltiplicazione; questo spiega perché le proposte per passare a questi sistemi numerici non sono state ampiamente accettate. I vantaggi di questa transizione sono compensati dalle difficoltà che ne derivano. I principali vantaggi dei sistemi di numerazione ottale e duodecimale sono legati alla divisibilità delle loro basi. Considerando solo gli interi minori della metà della base (poiché nessun numero può essere divisore della base se questo numero è maggiore della metà della base, ma minore di essa), è facile capire che il numero 10 ha due settimane - i numeri 3 e 4, mentre nel sistema ottale l'unico non divisore inferiore alla metà della base è il numero 3, e nel sistema duodecimale l'unico non divisore della base è il numero 5. In altre parole, il vantaggio di il numero 12 come base del sistema numerico è che ha divisori dei numeri 2, 3, 4 e 6, mentre il numero 10 ha divisori di 2 e 5. Il numero 8 ha solo divisori di 2 e 4, ma è il vantaggio principale rispetto agli altri è che la bisezione continua porta invariabilmente a una rappresentazione frazionaria "singola" in forma polinomiale. Ad esempio, se 8 è diviso per 2 10 , allora il risultato è esattamente (0.004) 8 , mentre se 12 è diviso per 2 10 , allora ottieni (approssimativamente) (0.0183) 12 e se dividi per 2 10 il numero 10 is (anche approssimativo) sarà uguale a (0.0097656) 10 .
Studiando le codifiche, mi sono reso conto che non capivo abbastanza bene i sistemi numerici. Tuttavia, usava spesso i sistemi 2, 8, 10, 16, tradotti l'uno nell'altro, ma tutto veniva fatto in "automatico". Dopo aver letto molte pubblicazioni, sono rimasto sorpreso dalla mancanza di un unico scritto linguaggio semplice, articoli su tale materiale di base. Ecco perché ho deciso di scrivere il mio, in cui ho cercato di presentare le basi dei sistemi numerici in modo accessibile e ordinato.
introduzione
Notazioneè un modo di scrivere (rappresentare) i numeri.Cosa si intende con questo? Ad esempio, vedi diversi alberi di fronte a te. Il tuo compito è contarli. Per fare ciò, puoi piegare le dita, fare tacche su una pietra (un albero - un dito / tacca) o abbinare 10 alberi con qualche oggetto, ad esempio una pietra, e una singola copia con una bacchetta e adagiarli sul terra mentre conti. Nel primo caso, il numero è rappresentato come una linea di dita piegate o tacche, nel secondo - una composizione di pietre e bastoncini, dove le pietre sono a sinistra e i bastoncini sono a destra.
I sistemi numerici sono divisi in posizionali e non posizionali e posizionali, a loro volta, in omogenei e misti.
non posizionale- il più antico, in esso ogni cifra di un numero ha un valore che non dipende dalla sua posizione (cifra). Cioè, se hai 5 trattini, anche il numero è uguale a 5, poiché ogni trattino, indipendentemente dalla sua posizione nella riga, corrisponde a 1 solo elemento.
Sistema posizionale- il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione (cifra) nel numero. Ad esempio, il decimo sistema numerico, che ci è familiare, è posizionale. Considera il numero 453. Il numero 4 indica il numero di centinaia e corrisponde al numero 400, 5 - il numero di decine ed è simile al valore 50 e 3 - unità e il valore 3. Come puoi vedere, maggiore è la cifra, maggiore è il valore. Il numero finale può essere rappresentato come la somma di 400+50+3=453.
sistema omogeneo- per tutte le cifre (posizioni) del numero, l'insieme dei caratteri validi (cifre) è lo stesso. Ad esempio, prendiamo il decimo sistema menzionato in precedenza. Quando si scrive un numero in un decimo sistema omogeneo, è possibile utilizzare solo una cifra da 0 a 9 in ogni cifra, quindi il numero 450 è consentito (1a cifra - 0, 2a - 5, 3a - 4), ma 4F5 no, poiché il carattere F non fa parte delle cifre da 0 a 9.
sistema misto- in ogni cifra (posizione) del numero, l'insieme di caratteri validi (numeri) può differire dagli insiemi di altre cifre. Un esempio lampante è il sistema di misurazione del tempo. Nella categoria dei secondi e minuti sono possibili 60 caratteri diversi (da "00" a "59"), nella categoria delle ore - 24 personaggi diversi(da "00" a "23"), nello scarico del giorno - 365, ecc.
Sistemi non posizionali
Non appena le persone hanno imparato a contare, è stato necessario registrare i numeri. All'inizio, tutto era semplice: una tacca o un trattino su una superficie corrispondeva a un oggetto, ad esempio un frutto. È così che è apparso il primo sistema numerico: l'unità.Sistema di numerazione delle unità
Un numero in questo sistema numerico è una stringa di trattini (stick), il cui numero è uguale al valore del numero dato. Pertanto, un ritaglio di 100 date sarà uguale a un numero composto da 100 trattini.Ma questo sistema presenta evidenti inconvenienti: maggiore è il numero, più lunga è la serie di bastoncini. Inoltre, puoi facilmente commettere un errore quando scrivi un numero aggiungendo accidentalmente una levetta in più o, al contrario, non aggiungendola.
Per comodità, le persone hanno iniziato a raggruppare i bastoncini in 3, 5, 10 pezzi. Allo stesso tempo, ogni gruppo corrispondeva a un determinato segno o oggetto. Inizialmente si usavano le dita per contare, quindi i primi segni sono comparsi per gruppi di 5 e 10 pezzi (unità). Tutto ciò ha permesso di creare di più sistemi convenienti voci numeriche.
antico sistema decimale egiziano
Nell'antico Egitto, i caratteri speciali (numeri) venivano usati per denotare i numeri 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Eccone alcuni:Perché si chiama decimale? Come è stato scritto sopra, le persone hanno iniziato a raggruppare i simboli. In Egitto hanno scelto un raggruppamento di 10, lasciando invariato il numero “1”. A questo caso, il numero 10 è chiamato la base del sistema numerico decimale e ogni simbolo è in una certa misura una rappresentazione del numero 10.
I numeri nell'antico sistema numerico egiziano sono stati scritti come una combinazione di questi
caratteri, ciascuno dei quali è stato ripetuto non più di nove volte. Il valore finale era uguale alla somma degli elementi del numero. Vale la pena notare che questo metodo per ottenere un valore è caratteristico di ogni sistema numerico non posizionale. Un esempio è il numero 345:
Sistema sessagesimale babilonese
A differenza del sistema egiziano, nel sistema babilonese venivano usati solo 2 simboli: un cuneo "diritto" per le unità e uno "sdraiato" per le decine. Per determinare il valore di un numero, è necessario dividere l'immagine del numero in cifre da destra a sinistra. Una nuova scarica inizia con la comparsa di un cuneo dritto dopo uno sdraiato. Prendiamo come esempio il numero 32:
Il numero 60 e tutti i suoi gradi sono indicati anche da un cuneo diritto, così come "1". Pertanto, il sistema numerico babilonese era chiamato sessagesimale.
Tutti i numeri da 1 a 59 sono stati scritti dai babilonesi in un sistema decimale non posizionale, e grandi valori- in posizionale con base 60. Numero 92:
La notazione del numero era ambigua, poiché non c'era una cifra per zero. La rappresentazione del numero 92 potrebbe significare non solo 92=60+32, ma anche, ad esempio, 3632=3600+32. Per determinare il valore assoluto di un numero è stato introdotto carattere speciale per indicare una cifra sessagesimale mancante, che corrisponde all'aspetto della cifra 0 nella notazione decimale:
Ora il numero 3632 dovrebbe essere scritto come:
Il sistema sessagesimale babilonese è il primo sistema numerico basato in parte sul principio posizionale. Questo sistema la resa dei conti è ancora utilizzata oggi, ad esempio, per determinare il tempo: un'ora è composta da 60 minuti e un minuto da 60 secondi.
sistema romano
Il sistema romano non è molto diverso da quello egiziano. Usa le lettere maiuscole latine I, V, X, L, C, D e M, rispettivamente, per indicare i numeri 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, rispettivamente. Un numero nel sistema numerico romano è un insieme di cifre consecutive.Metodi per determinare il valore di un numero:
- Il valore di un numero è uguale alla somma dei valori delle sue cifre. Ad esempio, il numero 32 nel sistema numerico romano è XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Se c'è un numero più piccolo a sinistra della cifra più grande, il valore è uguale alla differenza tra la cifra più grande e quella più piccola. Allo stesso tempo, la cifra di sinistra può essere inferiore a quella di destra di un massimo di un ordine: ad esempio, prima di L (50) e C (100) di quelle "più giovani", può stare solo X (10), prima di D (500) e M (1000) - solo C(100), prima di V(5) - solo I(1); il numero 444 nel sistema numerico considerato sarà scritto come CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Il valore è uguale alla somma dei valori dei gruppi e dei numeri che non rientrano sotto 1 e 2 punti.
1) slavo
2) Greco (Ionico)
Sistemi numerici posizionali
Come accennato in precedenza, i primi prerequisiti per l'emergere di un sistema posizionale sorsero nell'antica Babilonia. In India, il sistema assumeva la forma di numerazione decimale posizionale utilizzando lo zero, e dagli indù questo sistema di numeri fu preso in prestito dagli arabi, dai quali fu adottato dagli europei. Per qualche ragione, in Europa, il nome "arabo" è stato assegnato a questo sistema.Sistema di numeri decimali
Questo è uno dei sistemi numerici più comuni. Questo è ciò che usiamo quando chiamiamo il prezzo della merce e pronunciamo il numero dell'autobus. In ogni cifra (posizione) può essere utilizzata solo una cifra nell'intervallo da 0 a 9. La base del sistema è il numero 10.Ad esempio, prendiamo il numero 503. Se questo numero fosse scritto in un sistema non posizionale, il suo valore sarebbe 5 + 0 + 3 = 8. Ma abbiamo un sistema posizionale, il che significa che ogni cifra del numero deve essere moltiplicato per la base del sistema, in questo caso il numero “ 10”, elevato alla potenza pari alla cifra numero. Si scopre che il valore è 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Per evitare confusione quando lavoro simultaneo con più sistemi numerici, la base è indicata come pedice. Quindi, 503 = 503 10 .
Oltre al sistema decimale, i sistemi 2, 8, 16 meritano un'attenzione particolare.
Sistema di numeri binari
Questo sistema è utilizzato principalmente in informatica. Perché non hanno iniziato a usare il decimo a cui siamo abituati? La prima macchina calcolatrice è stata creata da Blaise Pascal, che ha utilizzato il sistema decimale al suo interno, che si è rivelato scomodo nella moderna macchine elettroniche, poiché richiedeva la produzione di dispositivi in grado di operare in 10 stati, che ne aumentavano il prezzo e le dimensioni finali della macchina. Queste carenze sono private degli elementi che lavorano nel 2° sistema. Tuttavia, il sistema in questione è stato creato molto prima dell'invenzione computer e va "radici" alla civiltà Inca, dove veniva usato il quipu - complessi plessi e nodi di corde.Il sistema numerico posizionale binario ha una base di 2 e utilizza 2 caratteri (cifre) per scrivere un numero: 0 e 1. È consentita una sola cifra in ogni bit: 0 o 1.
Un esempio è il numero 101. È simile al numero 5 nel sistema numerico decimale. Per convertire dal 2° al 10° è necessario moltiplicare ogni cifra del numero binario per la base “2”, elevata ad una potenza pari alla cifra. Pertanto, il numero 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Bene, per le macchine, il 2° sistema numerico è più conveniente, ma spesso vediamo che usiamo i numeri nel 10° sistema su un computer. In che modo quindi la macchina determina quale numero immette l'utente? Come traduce un numero da un sistema all'altro, perché ha solo 2 caratteri a sua disposizione: 0 e 1?
Affinché un computer funzioni con numeri binari (codici), devono essere archiviati da qualche parte. Per memorizzare ogni singola cifra, viene utilizzato un trigger, che è circuito elettronico. Può essere in 2 stati, uno dei quali corrisponde a zero, l'altro a uno. Per memorizzare un singolo numero, viene utilizzato un registro: un gruppo di trigger, il cui numero corrisponde al numero di cifre in un numero binario. E l'insieme dei registri lo è RAM. Il numero contenuto nel registro è una parola macchina. Aritmetica e operazioni logiche con parole esegue l'unità logica aritmetica (ALU). Per semplificare l'accesso ai registri, sono numerati. Il numero è chiamato indirizzo del registro. Ad esempio, se devi aggiungere 2 numeri, è sufficiente indicare il numero di celle (registri) in cui si trovano e non i numeri stessi. Gli indirizzi sono scritti in sistemi 8 ed esadecimali (saranno discussi di seguito), poiché il passaggio da essi al sistema binario e viceversa è abbastanza semplice. Per passare dal 2° all'8° numero, è necessario dividerlo in gruppi di 3 cifre da destra a sinistra e passare al 16° - 4 cifre ciascuno Se non ci sono abbastanza cifre nel gruppo di cifre più a sinistra, quindi vengono riempiti da sinistra con zeri, che sono chiamati iniziali. Prendiamo il numero 101100 2 come esempio. In ottale è 101 100 = 54 8 e in esadecimale è 0010 1100 = 2C 16 . Ottimo, ma perché vediamo numeri e lettere decimali sullo schermo? Quando viene premuto un tasto, una certa sequenza di impulsi elettrici viene trasmessa al computer e ogni carattere ha una propria sequenza di impulsi elettrici (zeri e uno). Il programma della tastiera e del driver dello schermo chiama tabella dei codici caratteri (ad esempio, Unicode, che consente di codificare 65536 caratteri), determina a quale carattere corrisponde il codice ricevuto e lo visualizza sullo schermo. Pertanto, testi e numeri vengono archiviati nella memoria del computer in codice binario e programmaticamente convertito in immagini sullo schermo.
Sistema di numeri ottali
L'ottavo sistema numerico, come quello binario, viene spesso utilizzato tecnologia digitale. Ha base 8 e utilizza le cifre da 0 a 7 per rappresentare il numero.Esempio numero ottale: 254. Per convertire al decimo sistema, ogni cifra del numero originale deve essere moltiplicata per 8 n, dove n è il numero della cifra. Si scopre che 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Sistema numerico esadecimale
Il sistema esadecimale è ampiamente utilizzato in computer moderni, ad esempio, specifica il colore: #FFFFFF - Colore bianco. Il sistema in esame ha base 16 e utilizza per scrivere il numero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, dove le lettere sono 10, 11, 12, 13, 14, 15 rispettivamente.Prendiamo come esempio il numero 4F5 16. Per convertire nel sistema ottale, prima convertiamo il numero esadecimale in binario e poi, suddividendolo in gruppi di 3 cifre, in ottale. Per convertire un numero in 2, ogni cifra deve essere rappresentata come un numero binario a 4 bit. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ma nei gruppi 1 e 3 non c'è abbastanza cifra, quindi riempiamo ciascuno con zeri iniziali: 0100 1111 0101. Ora dobbiamo dividere il numero risultante in gruppi di 3 cifre da destra a sinistra: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 110 101. Traduciamo ogni gruppo binario nel sistema ottale, moltiplicando ogni cifra per 2n, dove n è il numero della cifra: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Oltre ai sistemi numerici posizionali considerati, ce ne sono altri, ad esempio:
1) ternario
2) Quaternario
3) duodecimale
I sistemi posizionali si dividono in omogenei e misti.
Sistemi numerici posizionali omogenei
La definizione data all'inizio dell'articolo descrive i sistemi omogenei in modo abbastanza completo, quindi un chiarimento non è necessario.Sistemi a numero misto
Alla definizione già data, possiamo aggiungere il seguente teorema: “se P=Q n (P,Q,n sono interi numeri positivi, mentre P e Q sono basi), allora la notazione di qualsiasi numero nel sistema numerico misto (P-Q)-esimo coincide identicamente con la notazione dello stesso numero nel sistema numerico con base Q.”Sulla base del teorema, possiamo formulare le regole per il trasferimento dal Pth a Sistema Q e viceversa:
- Per trasferire da Q-esimo a P-esimo, è necessario un numero nel sistema Q-esimo, diviso in gruppi di n cifre, che iniziano con cifra a destra e sostituisci ogni gruppo con una cifra P-esimo sistema.
- Per passare da P-esima a Q-esima, è necessario tradurre ogni cifra del numero nel sistema P-esima nella Q-esima e inserire le cifre mancanti con zeri iniziali, ad eccezione di quella di sinistra, in modo che ogni numero nel sistema Q di base è composto da n cifre.
I sistemi a numeri misti sono anche, ad esempio:
1) Fattoriale
2) Fibonacci
Traduzione da un sistema numerico all'altro
A volte è necessario convertire un numero da un sistema numerico all'altro, quindi diamo un'occhiata a come tradurre tra diversi sistemi.Conversione decimale
C'è un numero a 1 a 2 a 3 nel sistema numerico con base b. Per convertire al decimo sistema, ogni cifra del numero deve essere moltiplicata per b n, dove n è il numero della cifra. Quindi (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Esempio: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Conversione dal sistema numerico decimale ad altri
Intera parte:- Successivamente dividiamo la parte intera del numero decimale per la base del sistema in cui stiamo trasferendo, fino a quando il numero decimale diventa zero.
- I resti ottenuti dalla divisione sono le cifre del numero desiderato. Numero dentro nuovo sistema si scrivono a partire dall'ultimo resto.
- Moltiplichiamo la parte frazionaria del numero decimale per la base del sistema in cui vuoi tradurre. Separiamo l'intera parte. Continuiamo a moltiplicare la parte frazionaria per la base del nuovo sistema finché non diventa 0.
- Il numero nel nuovo sistema sono le parti intere dei risultati della moltiplicazione nell'ordine corrispondente alla loro ricezione.
15\8 = 1, resto 7
1\8 = 0, resto 1
Dopo aver scritto tutti i resti dal basso verso l'alto, otteniamo il numero finale 17. Pertanto, 15 10 \u003d 17 8.
Conversione da binario a ottale ed esadecimale
Per convertire in ottale, dividiamo il numero binario in gruppi di 3 cifre da destra a sinistra e riempiamo le cifre estreme mancanti con zeri iniziali. Successivamente, trasformiamo ogni gruppo moltiplicando successivamente le cifre per 2 n , dove n è il numero della cifra.Prendiamo come esempio il numero 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Per convertire in esadecimale - dividiamo il numero binario in gruppi di 4 cifre da destra a sinistra, quindi - in modo simile alla conversione dalla 2a all'8a.
Conversione da sistemi ottali ed esadecimali a binari
Conversione da ottale a binario: convertiamo ogni cifra di un numero ottale in un numero binario a 3 cifre dividendo per 2 (per ulteriori informazioni sulla divisione, vedere il paragrafo "Conversione da decimale ad altro" sopra), le cifre estreme mancanti essere compilato con zeri iniziali.Ad esempio, considera il numero 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traduzione dalla 16a alla 2a: converti ogni cifra numero esadecimale in un numero binario a 4 bit dividendo per 2, inserisci i bit estremi mancanti con zeri iniziali.
Conversione della parte frazionaria di qualsiasi sistema numerico in decimale
La conversione avviene allo stesso modo delle parti intere, tranne per il fatto che le cifre del numero vengono moltiplicate per la base alla potenza “-n”, dove n inizia da 1.
Esempio: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Conversione della parte frazionaria del sistema binario nell'8a e 16a
La traduzione della parte frazionaria viene eseguita allo stesso modo delle parti intere del numero, con l'unica eccezione che la suddivisione in gruppi di 3 e 4 cifre va a destra del punto decimale, le cifre mancanti vengono riempite con zeri a destra.Esempio: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Conversione della parte frazionaria del sistema decimale in qualsiasi altra
Per tradurre la parte frazionaria di un numero in altri sistemi numerici, devi portare a zero la parte intera e iniziare a moltiplicare il numero risultante per la base del sistema in cui vuoi tradurre. Se, a seguito della moltiplicazione, compaiono di nuovo parti intere, devono essere nuovamente azzerate, dopo aver ricordato (annotato) il valore della parte intera risultante. L'operazione termina quando la parte frazionaria scompare completamente.Ad esempio, traduciamo 10.625 10 nel sistema binario:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Annotando tutti i resti dall'alto verso il basso, otteniamo 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2
Rappresentazione di numeri e comandi in un computer(INFlezione5.doc).
L'idea di esprimere i numeri in dieci segni, dando loro, oltre al significato nella forma, anche il significato nel luogo, è così semplice che è proprio per questa semplicità che si fa fatica a capire quanto sia sorprendente. Quanto è difficile arrivare a questo metodo, lo vediamo nell'esempio i più grandi geni il sapere greco di Archimede e Apollonio, ai quali questo pensiero rimase nascosto.
Pierre Simon Laplace
Imparare a rappresentare informazioni numericheè necessario conoscere le regole per tradurre una rappresentazione di un numero in un'altra, per cercare di capire perché lo stesso numero in situazioni diverse deve essere rappresentato in modo diverso. Le tecniche di rappresentazione dei numeri sono trattate in una sezione speciale della teoria dei numeri "Sistemi numerici".
Un altro aggiunto concetto importante- sistema numerico. Perché è necessaria? Cos'è tutto questo? I sistemi numerici sono sistemi creati dall'uomo. Tali sistemi sono chiamati artificiale A differenza di naturale sistemi creati dalla natura. I sistemi naturali (naturali) includono le galassie, la nostra sistema solare, la persona nel suo insieme e così via. I sistemi artificiali includono le città, le fabbriche, il sistema educativo, le lingue nazionali, cioè tutto ciò che è fatto dalle persone.
I sistemi artificiali possono essere suddivisi in
Materiale: automobili, aerei, case, città, dighe, ecc.;
pubblico , questo è varie associazioni persone: parlamento, sistema di istruzione pubblica, club degli scacchi, ecc.;
informativo: lingue nazionali, rete di computer Internet, sistemi di numerazione, ecc.
A testa sistema artificiale creato con scopo. Si può sostenere che il miglior sistema artificiale è quello che meglio assicura il raggiungimento dell'obiettivo della sua creazione.
Lo scopo della creazione di un sistema numerico è quello di sviluppare di più strada conveniente voci numeriche. Il sistema numerico consente di visualizzare in una forma compatta informazioni quantitative sugli oggetti e manipolarli usando regole abbastanza semplici.
primi nove numeri naturali indichiamo personaggi speciali:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Fate lo stesso con tutti i numeri incontrati nella pratica, ad es. sarebbe scomodo designare tutti i numeri che si verificano con segni speciali. Anche se le nostre necessità si limitassero a contare entro mille, bisognerebbe memorizzare mille segni particolari. Naturalmente, per molto tempo le persone hanno iniziato a scegliere l'una o l'altra serie di "chiave", numeri di base e designarli solo con segni speciali.
I sistemi numerici sono una brillante invenzione dell'umanità. Per segnalare che oggi è l'anno 2007 in linguaggio naturale, sono costretto a usare 16 caratteri (spazi esclusi). Usando la lingua dei numeri, puoi rappresentare la stessa cosa con quattro caratteri. Si scopre che i numeri sono codici delle parole corrispondenti, il che è confermato anche dal fatto che il numero dell'anno, scritto in parole e numeri, viene letto da noi allo stesso modo. I numeri in diverse lingue naturali sono pronunciati in modo diverso e le loro regole di notazione e esecuzione operazioni aritmetiche su di loro sono gli stessi.
Il concetto di numero è fondamentale sia per la matematica che per l'informatica. Ma se in matematica si presta la massima attenzione ai metodi di elaborazione dei numeri, per l'informatica non si possono ignorare i metodi di rappresentazione dei numeri, poiché determinano le risorse di memoria necessarie, la velocità e l'errore dei calcoli.
1. Notazione- questo è un modo di rappresentare i numeri e le relative regole per agire sui numeri.
Una varietà di sistemi numerici che esistevano prima e che sono usati nel nostro tempo possono essere suddivisi in non posizionali e posizionali.
1.1 Sistemi numerici non posizionali.
I sistemi numerici non posizionali erano usati dagli antichi egizi,
Greci, Romani e alcuni altri popoli dell'antichità. Nei sistemi numerici non posizionali, il valore che esso (il segno) denota non dipende dalla posizione del segno nella notazione del numero.
Ci è giunto il sistema romano di scrittura dei numeri (numeri romani), che in alcuni casi è ancora usato nella numerazione (secoli, volumi, capitoli di libri). Nel sistema romano, le lettere latine sono usate come numeri:
1 5 10 50 100 500 1000
Ad esempio, il numero CCXXXII è composto da duecentotre decine e due unità ed è pari a duecentotrentadue.
I numeri romani sono scritti da sinistra a destra in ordine decrescente. In questo caso, i loro valori vengono aggiunti. Se un numero più piccolo viene scritto a sinistra e un numero grande a destra, i loro valori vengono sottratti.
VI \u003d 5 + 1 \u003d 6 e IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
I sistemi numerici non posizionali erano più o meno adatti per eseguire addizioni e sottrazioni, ma per niente convenienti per moltiplicazioni e divisioni.
1.2 Sistemi di numerazione posizionale (PSS).
I sistemi numerici posizionali sono convenienti in quanto consentono di scrivere in modo arbitrario grandi numeri con pochi numeri. È sufficiente un importante vantaggio dei sistemi numerici posizionali semplici algoritmi eseguire operazioni aritmetiche sui numeri.
Nei sistemi numerici posizionali, il valore indicato da una cifra in una voce numerica dipende dalla sua posizione.
Viene chiamato il numero di cifre utilizzate base PS.
Il sistema numerico utilizzato nella matematica moderna è il sistema decimale posizionale. La sua base è dieci, poiché tutti i numeri sono scritti utilizzando dieci cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Molti di noi, queste icone, conosciute fin dall'infanzia, sono associate al concetto di "numero". Tuttavia, possiamo usare qualsiasi icona come numero. Sì, e i numeri non devono essere dieci.
Sebbene il sistema decimale sia solitamente chiamato arabo, ha avuto origine in India, nel V secolo. In Europa, questo sistema è stato appreso nel XII secolo dai trattati scientifici arabi, che sono stati tradotti in latino. Questo spiega il nome "numeri arabi".
Il tipo posizionale del sistema decimale è facilmente comprensibile utilizzando l'esempio di qualsiasi numero a più cifre. Ad esempio, nel numero 333, la prima cifra significa trecento, la seconda - tre decine, la terza - tre unità. La stessa cifra, a seconda della posizione nella notazione del numero, denota valori diversi.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Qualsiasi numero decimale può essere rappresentato come la somma dei prodotti delle sue cifre costituenti dalle corrispondenti potenze di dieci. Lo stesso vale per i decimali.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Ciò consente di convertire i numeri con una base diversa da 10 in una rappresentazione decimale.
Per eseguire tale traduzione, è necessario scrivere il numero originale come somma dei prodotti delle cifre del numero per i gradi corrispondenti della base e calcolare il valore del risultato espressione numerica secondo le regole dell'aritmetica decimale.
1. 432.32 5 → LA 10 .
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2. DF,4A 16 → A 10
DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +
Il numero "dieci" non è l'unica base possibile per un sistema posizionale. Il noto matematico russo N.N. Luzin la mette così: "I vantaggi del sistema decimale non sono matematici, ma zoologici. Se avessimo otto dita invece di dieci, l'umanità userebbe il sistema ottale".
Per scrivere numeri in un sistema posizionale con una base n (n- designazione della base del PSS) che devi avere alfabeto da n cifre. Di solito per questo n ≤ 10 uso n primi numeri arabi, e n > 10 Le lettere latine vengono aggiunte a dieci numeri arabi.
Ecco alcuni esempi di alfabeti di diversi sistemi:
La base del sistema a cui appartiene un numero è indicata da un pedice a quel numero.
10110012, 36718, 3B8F16.
1.3 Conversione di numeri decimali in PSS con una base diversa da 10.
1.3.1 Traduzione di numeri interi.
Esprimi la base del nuovo sistema numerico in sistema decimale
calcolo e tutte le azioni successive da eseguire nel sistema di numerazione decimale;
Dividi costantemente il numero dato ei quozienti incompleti risultanti sulla base del nuovo sistema numerico fino a ottenere un quoziente incompleto inferiore al divisore;
I residui risultanti, che sono le cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, devono essere allineati con l'alfabeto del nuovo sistema numerico;
Componi un numero nel nuovo sistema numerico, annotandolo partendo dall'ultimo quoziente.
1.3.2 Traduzione di numeri frazionari.
Esprimere la base del nuovo sistema numerico nel sistema decimale ed eseguire tutte le azioni successive nel sistema numerico decimale;
Moltiplicare in sequenza dato numero e le parti frazionarie risultanti di prodotti basate sul nuovo sistema numerico fino a quando la parte frazionaria del prodotto diventa uguale a zero o viene raggiunta l'accuratezza richiesta per rappresentare il numero nel nuovo sistema numerico;
Le parti intere risultanti dei prodotti, che sono le cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, devono essere allineate con l'alfabeto del nuovo sistema numerico;
Componi la parte frazionaria del numero nel nuovo sistema numerico, iniziando dalla parte intera del primo prodotto.
Esempi di traduzione di numeri decimali specifici sono presentati nell'appendice 1.
Allegato 1.
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Data di creazione della pagina: 16-02-2016
