Questo articolo discute come trovare i valori delle espressioni matematiche. Iniziamo con semplici espressioni numeriche e poi consideriamo i casi man mano che la loro complessità aumenta. Alla fine, diamo un'espressione contenente designazioni di lettere, parentesi, radici, speciali segni matematici, grado, funzione, ecc. L'intera teoria, secondo la tradizione, sarà fornita di esempi abbondanti e dettagliati.
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Come trovo il valore di un'espressione numerica?
Le espressioni numeriche, tra le altre cose, aiutano a descrivere una condizione problematica in linguaggio matematico. In generale, le espressioni matematiche possono essere sia molto semplici, costituite da una coppia di numeri e segni aritmetici, sia molto complesse, contenenti funzioni, potenze, radici, parentesi, ecc. Nell'ambito di un compito, è spesso necessario trovare il significato di un'espressione. Come farlo, e ci sarà un discorso qui di seguito.
I casi più semplici
Questi sono i casi in cui l'espressione non contiene altro che numeri e operazioni aritmetiche. Per trovare con successo i valori di tali espressioni, avrai bisogno della conoscenza dell'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche senza parentesi, nonché della capacità di eseguire operazioni con numeri diversi.
Se l'espressione contiene solo numeri e segni aritmetici "+", "·", "-", "÷", le azioni vengono eseguite da sinistra a destra nel seguente ordine: prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Ecco alcuni esempi.
Esempio 1. Valore espressione numerica
Lascia che sia necessario trovare i valori dell'espressione 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Facciamo prima la moltiplicazione e la divisione. Noi abbiamo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Ora sottraiamo e otteniamo il risultato finale:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Esempio 2. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Innanzitutto, eseguiamo la conversione di frazioni, divisioni e moltiplicazioni:
0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Ora facciamo l'addizione e la sottrazione. Raggruppiamo le frazioni e portiamole a un denominatore comune:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Il valore che stavi cercando è stato trovato.
Espressioni con parentesi
Se l'espressione contiene parentesi, determinano l'ordine delle azioni in questa espressione. Prima vengono eseguite le azioni tra parentesi e poi tutto il resto. Mostriamolo con un esempio.
Esempio 3. Il valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).
L'espressione contiene parentesi, quindi prima eseguiamo l'operazione di sottrazione tra parentesi e solo dopo eseguiamo la moltiplicazione.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.
Il significato delle espressioni che contengono parentesi tra parentesi segue lo stesso principio.
Esempio 4. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Eseguiremo le azioni partendo dalle parentesi più interne, passando a quelle esterne.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Nel trovare i valori delle espressioni tra parentesi, la cosa principale è seguire la sequenza delle azioni.
Espressioni radicate
Espressioni matematiche i cui valori dobbiamo trovare possono contenere segni di radice. Inoltre, l'espressione stessa può essere sotto il segno della radice. Cosa si dovrebbe fare in questo caso? Innanzitutto, è necessario trovare il valore dell'espressione sotto la radice, quindi estrarre la radice dal numero risultante. Se possibile, è meglio eliminare le radici nelle espressioni numeriche, sostituendo da con valori numerici.
Esempio 5. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore dell'espressione con le radici - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Innanzitutto, calcoliamo le espressioni radicali.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Ora puoi valutare il valore dell'intera espressione.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6.5
Spesso, trovare il significato di un'espressione radicata richiede spesso di convertire prima l'espressione originale. Spieghiamolo con un altro esempio.
Esempio 6. Il valore di un'espressione numerica
Quanto fa 3 + 1 3 - 1 - 1
Come puoi vedere, non c'è modo per noi di sostituire la radice con un valore esatto, il che complica il processo di calcolo. Tuttavia, in in questo caso puoi applicare la formula di moltiplicazione abbreviata.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
In questo modo:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Espressioni di potere
Se l'espressione contiene gradi, i loro valori devono essere calcolati prima di procedere con tutte le altre azioni. Accade così che l'esponente stesso o la base del grado siano espressioni. In questo caso, viene prima calcolato il valore di queste espressioni, quindi il valore del grado.
Esempio 7. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Iniziamo a calcolare in ordine.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Resta solo da eseguire l'operazione di addizione e scoprire il valore dell'espressione:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Spesso è anche consigliabile semplificare l'espressione utilizzando le proprietà dei gradi.
Esempio 8. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore della seguente espressione: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.
Gli esponenti sono di nuovo tali che i loro valori numerici esatti non possono essere ottenuti. Semplifichiamo l'espressione originale per trovarne il significato.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Espressioni frazionarie
Se un'espressione contiene frazioni, quando si calcola tale espressione, tutte le frazioni in essa contenute devono essere rappresentate come frazioni ordinarie e i loro valori calcolati.
Se ci sono espressioni nel numeratore e nel denominatore di una frazione, i valori di queste espressioni vengono prima calcolati e viene scritto il valore finale della frazione stessa. Le operazioni aritmetiche vengono eseguite in modo standard. Consideriamo la soluzione di un esempio.
Esempio 9. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione contenente le frazioni: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Come puoi vedere, ci sono tre frazioni nell'espressione originale. Calcoliamo prima i loro valori.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Riscriviamo la nostra espressione e calcoliamo il suo valore:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1
Spesso, quando si trovano i valori delle espressioni, è conveniente ridurre le frazioni. C'è una regola non detta: prima di trovarne il valore, è meglio semplificare al massimo qualsiasi espressione, riducendo tutti i calcoli ai casi più semplici.
Esempio 10. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo l'espressione 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Non possiamo estrarre interamente la radice di cinque, ma possiamo semplificare l'espressione originale trasformandola.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
L'espressione originale assume la forma:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Calcoliamo il valore di questa espressione:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Espressioni con logaritmi
Quando i logaritmi sono presenti nell'espressione, il loro valore, se possibile, viene calcolato dall'inizio. Ad esempio, nell'espressione log 2 4 + 2 · 4, puoi scrivere immediatamente il valore di questo logaritmo invece di log 2 4, quindi eseguire tutte le azioni. Otteniamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Le espressioni numeriche si trovano anche sotto il segno del logaritmo e alla sua base. In questo caso, il primo passo è trovare i loro valori. Prendi l'espressione log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Abbiamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Se non è possibile calcolare il valore esatto del logaritmo, semplificare l'espressione aiuta a trovare il suo valore.
Esempio 11. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
registro 2 registro 2 256 = registro 2 8 = 3.
Per la proprietà dei logaritmi:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.
Applicando nuovamente le proprietà dei logaritmi, per l'ultima frazione nell'espressione si ottiene:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Ora puoi procedere al calcolo del valore dell'espressione originale.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Espressioni con funzioni trigonometriche
Succede che un'espressione contenga funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché funzioni ad esse inverse. I valori vengono calcolati prima che vengano eseguite tutte le altre operazioni aritmetiche. In caso contrario, l'espressione è semplificata.
Esempio 12. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Innanzitutto, calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche incluse nell'espressione.
peccato - 5 π 2 = - 1
Sostituiamo i valori nell'espressione e calcoliamo il suo valore:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Valore dell'espressione trovato.
Spesso, per trovare il valore di un'espressione con funzioni trigonometriche, è necessario prima trasformarla. Spieghiamo con un esempio.
Esempio 13. Valore di un'espressione numerica
Devi trovare il valore dell'espressione cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Per la trasformazione utilizzeremo le formule trigonometriche per il coseno del doppio angolo e il coseno della somma.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Il caso generale di un'espressione numerica
V caso generale un'espressione trigonometrica può contenere tutti gli elementi di cui sopra: parentesi, gradi, radici, logaritmi, funzioni. Formuliamo regola generale trovare i valori di tali espressioni.
Come trovare il significato di un'espressione
- Radici, gradi, logaritmi, ecc. sono sostituiti dai loro valori.
- Le azioni tra parentesi vengono eseguite.
- Le azioni rimanenti vengono eseguite in ordine da sinistra a destra. Prima moltiplicazione e divisione, poi addizione e sottrazione.
Diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 14. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore dell'espressione - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
L'espressione è piuttosto complessa e ingombrante. Non a caso abbiamo scelto proprio un esempio del genere, cercando di incastrarci tutti i casi sopra descritti. Come trovi il significato di un'espressione del genere?
È noto che quando si calcola il valore di una forma frazionaria complessa, in primo luogo, i valori del numeratore e del denominatore della frazione si trovano rispettivamente separatamente. Trasformeremo e semplificheremo costantemente questa espressione.
Innanzitutto calcoliamo il valore dell'espressione radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Per fare ciò, è necessario trovare il valore del seno e l'espressione che è l'argomento della funzione trigonometrica.
6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Ora puoi scoprire il valore del seno:
peccato 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = peccato π 6 + 2 π = peccato π 6 = 1 2.
Calcoliamo il valore dell'espressione radicale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Con il denominatore della frazione, tutto è più semplice:
Ora possiamo scrivere il valore dell'intera frazione:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Con questo in mente, scriviamo l'intera espressione:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Risultato finale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
In questo caso, siamo stati in grado di calcolare i valori esatti di radici, logaritmi, seno, ecc. Se ciò non è possibile, puoi provare a sbarazzartene con trasformazioni matematiche.
Calcolo dei valori delle espressioni in modo razionale
Calcola valori numerici in modo coerente e preciso. Questo processo può essere razionalizzato e accelerato utilizzando varie proprietà azioni con i numeri Ad esempio, è noto che il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tenendo conto di questa proprietà, possiamo subito dire che l'espressione 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 è uguale a zero. In questo caso, non è affatto necessario eseguire le azioni nell'ordine descritto nell'articolo sopra.
È anche conveniente usare la proprietà di sottrarre numeri uguali. Senza eseguire alcuna azione, è possibile ordinare che anche il valore dell'espressione 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 sia uguale a zero.
Un'altra tecnica che consente di accelerare il processo è l'uso di trasformazioni identiche come il raggruppamento di termini e fattori e fattore comune fuori dalle parentesi. Un approccio razionale al calcolo delle espressioni con le frazioni consiste nel ridurre le stesse espressioni al numeratore e al denominatore.
Ad esempio, prendi l'espressione 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Senza eseguire le azioni tra parentesi, ma riducendo la frazione, possiamo dire che il valore dell'espressione è 1 3.
Trovare i valori delle espressioni con le variabili
Il significato di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili si trova per specifici impostare i valori lettere e variabili.
Trovare i valori delle espressioni con le variabili
Per trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili, è necessario sostituire i valori specificati di lettere e variabili nell'espressione originale, quindi calcolare il valore dell'espressione numerica risultante.
Esempio 15. Valore di un'espressione con variabili
Valutare il valore dell'espressione 0,5 x - y dati x = 2, 4 e y = 5.
Sostituiamo i valori delle variabili nell'espressione e calcoliamo:
0,5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.
A volte puoi trasformare un'espressione in modo tale da ottenere il suo valore indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili incluse in essa. Per fare ciò, è necessario eliminare lettere e variabili nell'espressione, se possibile, utilizzando trasformazioni identiche, proprietà delle operazioni aritmetiche e tutti gli altri possibili metodi.
Ad esempio, l'espressione x + 3 - x ha ovviamente il valore 3 e non è necessario conoscere il valore di x per calcolare questo valore. Senso di questa espressioneè uguale a tre per tutti i valori della variabile x dal suo intervallo di valori validi.
Un altro esempio. Il valore dell'espressione x x è uguale a uno per tutte le x positive.
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Quindi, se un'espressione numerica è composta da numeri e segni +, -, · e:, quindi in ordine da sinistra a destra, devi prima eseguire moltiplicazioni e divisioni, quindi addizioni e sottrazioni, che ti permetteranno di trovare il desiderato valore dell'espressione.
Diamo una soluzione di esempi per chiarimenti.
Esempio.
Valutare il valore dell'espressione 14−2 · 15: 6−3.
Soluzione.
Per trovare il valore di un'espressione, è necessario eseguire tutte le azioni indicate in essa secondo l'ordine accettato di eseguire queste azioni. Innanzitutto, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo moltiplicazioni e divisioni, otteniamo 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Anche ora, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo le azioni rimanenti: 14−5−3 = 9−3 = 6. Quindi abbiamo trovato il valore dell'espressione originale, è 6.
Risposta:
14-215: 6-3 = 6.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione.
Soluzione.
V questo esempio dobbiamo prima fare la moltiplicazione 2 · (-7) e la divisione e la moltiplicazione nell'espressione. Ricordando come si fa, troviamo 2 (-7) = - 14. E per eseguire azioni nell'espressione, prima 
, poi 
ed eseguire: 
.
Sostituisci i valori ottenuti nell'espressione originale:.
Ma cosa succede se c'è un'espressione numerica sotto il segno della radice? Per ottenere il valore di tale radice, devi prima trovare il valore dell'espressione radicale, aderendo all'ordine accettato di esecuzione delle azioni. Ad esempio, .
Nelle espressioni numeriche, le radici dovrebbero essere percepite come alcuni numeri ed è consigliabile sostituire immediatamente le radici con i loro valori, quindi trovare il valore dell'espressione risultante senza radici, eseguendo azioni nella sequenza accettata.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione con le radici.
Soluzione.
Per prima cosa, troviamo il valore della radice 
... Per fare ciò, per prima cosa calcoliamo il valore dell'espressione radicale, abbiamo −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... E in secondo luogo, troviamo il valore della radice.
Ora calcoliamo il valore della seconda radice dall'espressione originale:.
Infine, possiamo trovare il valore dell'espressione originale sostituendo le radici con i loro valori:.
Risposta:
Molto spesso, per trovare il valore di un'espressione con radici, bisogna prima trasformarla. Mostriamo la soluzione di un esempio.
Esempio.
Qual è il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
Non possiamo sostituire la radice di tre con il suo valore esatto, il che non ci permette di calcolare il valore di questa espressione nel modo sopra descritto. Tuttavia, possiamo calcolare il valore di questa espressione eseguendo semplici trasformazioni. Applicabile differenza di quadrati formula:. Considerando, otteniamo 
... Pertanto, il valore dell'espressione originale è 1.
Risposta:
.
Con gradi
Se la base e l'esponente sono numeri, il loro valore viene calcolato secondo la definizione dell'esponente, ad esempio 3 2 = 3 · 3 = 9 o 8 −1 = 1/8. Ci sono anche record quando la base e/o l'esponente sono alcune espressioni. In questi casi è necessario trovare il valore dell'espressione nella base, il valore dell'espressione nell'esponente, quindi calcolare il valore del grado stesso.
Esempio.
Trova il valore di un'espressione con potenze della forma 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4.
Soluzione.
Nell'espressione originale, due gradi sono 2 3 4-10 e (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. I loro valori devono essere calcolati prima di eseguire qualsiasi altro passaggio.
Cominciamo con una potenza di 2 3 4−10. Nel suo indicatore c'è un'espressione numerica, ne calcoliamo il valore: 3 4-10 = 12-10 = 2. Ora puoi trovare il valore del grado stesso: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.
Alla base e all'esponente (1-1 / 2) 3.5-2 abbiamo (1-1 / 2) 3.5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.
Ora torniamo all'espressione originale, sostituiamo le potenze in essa con i loro valori e troviamo il valore dell'espressione di cui abbiamo bisogno: 2 3 4−10 + 16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.
Risposta:
2 3 4−10 + 16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 6.
Vale la pena notare che ci sono casi più comuni in cui è consigliabile condurre un preliminare semplificazione espressiva con poteri sulla base.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
A giudicare dagli esponenti in questa espressione, non è possibile ottenere i valori esatti degli esponenti. Proviamo a semplificare l'espressione originale, forse questo aiuterà a trovarne il significato. abbiamo 
Risposta:
.
I gradi nelle espressioni spesso vanno di pari passo con i logaritmi, ma parleremo di trovare i valori delle espressioni con i logaritmi in uno dei.
Trovare il valore di un'espressione con le frazioni
Le espressioni numeriche nella loro notazione possono contenere frazioni. Quando è necessario trovare il significato di tale espressione, le frazioni diverse dalle frazioni ordinarie dovrebbero essere sostituite con i loro valori prima di eseguire il resto dei passaggi.
Il numeratore e il denominatore delle frazioni (che sono diversi dalle frazioni ordinarie) possono contenere sia alcuni numeri che espressioni. Per calcolare il valore di tale frazione, è necessario calcolare il valore dell'espressione nel numeratore, calcolare il valore dell'espressione nel denominatore e quindi calcolare il valore della frazione stessa. Questo ordine è spiegato dal fatto che la frazione a/b, dove aeb sono alcune espressioni, è essenzialmente un quoziente della forma (a) :( b), poiché.
Consideriamo la soluzione di un esempio.
Esempio.
Trova il significato di un'espressione con le frazioni 
.
Soluzione.
Nell'espressione numerica originale, tre frazioni 
e . Per trovare il valore dell'espressione originale, abbiamo prima bisogno di queste frazioni, sostituirle con valori. Facciamolo.
Il numeratore e il denominatore della frazione contiene numeri. Per trovare il valore di tale frazione, sostituire la barra frazionaria con un segno di divisione ed eseguire questa azione: 
.
Il numeratore della frazione contiene l'espressione 7−2 · 3, il suo valore è facile da trovare: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. In questo modo, . Puoi procedere alla ricerca del valore della terza frazione.
La terza frazione nel numeratore e nel denominatore contiene espressioni numeriche, quindi, prima devi calcolare i loro valori e questo ti permetterà di trovare il valore della frazione stessa. abbiamo 
.
Resta da sostituire i valori trovati nell'espressione originale ed eseguire le azioni rimanenti:.
Risposta:
.
Spesso, quando trovi i valori delle espressioni con le frazioni, devi fare semplificazione delle espressioni frazionarie basato sull'esecuzione di azioni con frazioni e riduzioni di frazioni.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
La radice di cinque non è completamente estratta, quindi per trovare il valore dell'espressione originale, semplifichiamola prima. Per questo sbarazzarsi dell'irrazionalità al denominatore prima frazione: 
... Dopodiché, l'espressione originale assumerà la forma 
... Dopo aver sottratto le frazioni, le radici scompariranno, il che ci permetterà di trovare il valore dell'espressione inizialmente specificata:.
Risposta:
.
Con i logaritmi
Se l'espressione numerica contiene e se è possibile eliminarli, questo viene fatto prima di eseguire il resto delle azioni. Ad esempio, quando si trova il valore dell'espressione log 2 4 + 2 + 6 = 8.
Quando ci sono espressioni numeriche sotto il segno del logaritmo e / o alla sua base, vengono prima trovati i loro valori, dopodiché viene calcolato il valore del logaritmo. Ad esempio, considera un'espressione con un logaritmo della forma 
... Alla base del logaritmo e sotto il suo segno ci sono espressioni numeriche, troviamo i loro valori:. Ora troviamo il logaritmo, dopo di che completiamo i calcoli:.
Se i logaritmi non vengono calcolati esattamente, semplificare l'espressione iniziale utilizzandolo può aiutare a trovare il valore dell'espressione originale. Allo stesso tempo, è necessario avere una buona padronanza del materiale dell'articolo. conversione di espressioni logaritmiche.
Esempio.
Trova il valore di un'espressione con i logaritmi 
.
Soluzione.
Iniziamo calcolando il log 2 (log 2 256). Poiché 256 = 2 8, allora log 2 256 = 8, quindi log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.
I logaritmi di log 6 2 e log 6 3 possono essere raggruppati. La somma dei logaritmi di log 6 2 + log 6 3 è uguale al logaritmo del prodotto log 6 (2 3), quindi log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Ora occupiamoci della frazione. Per cominciare, riscriveremo la base del logaritmo al denominatore come una frazione ordinaria come 1/5, dopodiché utilizzeremo le proprietà dei logaritmi, che ci consentiranno di ottenere il valore della frazione: 
.
Resta solo da sostituire i risultati ottenuti nell'espressione originale e finire di trovarne il valore: 
Risposta:
Come trovo il valore di un'espressione trigonometrica?
Quando un'espressione numerica contiene o, ecc., I loro valori vengono calcolati prima di eseguire altre azioni. Se ci sono espressioni numeriche sotto il segno delle funzioni trigonometriche, i loro valori vengono prima calcolati, dopo di che vengono trovati i valori delle funzioni trigonometriche.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
Facendo riferimento all'articolo, otteniamo 
e cosπ = −1. Sostituiamo questi valori nell'espressione originale, prende la forma 
... Per trovare il suo valore, devi prima eseguire l'elevamento a potenza, quindi completare i calcoli:.
Risposta:
.
Va notato che il calcolo dei valori delle espressioni con seno, coseno, ecc. spesso richiede prima conversione dell'espressione trigonometrica.
Esempio.
Qual è il valore di un'espressione trigonometrica 
.
Soluzione.
Trasformiamo l'espressione originale usando, in questo caso, abbiamo bisogno della formula per il coseno di un doppio angolo e la formula per il coseno della somma: 
Le trasformazioni eseguite ci hanno aiutato a trovare il significato dell'espressione.
Risposta:
.
Caso generale
In generale, un'espressione numerica può contenere radici, potenze, frazioni, funzioni e parentesi. Trovare i valori di tali espressioni è fare quanto segue:
- prime radici, potenze, frazioni, ecc. sono sostituiti dai loro valori,
- ulteriori azioni tra parentesi,
- e in ordine da sinistra a destra, vengono eseguite le operazioni rimanenti: moltiplicazione e divisione, seguite da addizione e sottrazione.
Le azioni elencate vengono eseguite fino all'ottenimento del risultato finale.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
La forma di questa espressione è piuttosto complicata. In questa espressione vediamo frazione, radici, gradi, seno e logaritmo. Come trovi il suo significato?
Spostandoci lungo il record da sinistra a destra, ci imbattiamo in una frazione della forma 
... Sappiamo che quando lavoriamo con frazioni complesse, dobbiamo calcolare separatamente il valore del numeratore, separatamente - il denominatore e, infine, trovare il valore della frazione.
Al numeratore abbiamo una radice della forma 
... Per determinarne il valore, devi prima calcolare il valore dell'espressione radicale 
... C'è un seno qui. Possiamo trovare il suo valore solo dopo aver calcolato il valore dell'espressione 
... Possiamo farcela:. Allora, da dove e 
.
Il denominatore è semplice:.
In questo modo, 
.
Dopo aver sostituito questo risultato nell'espressione originale, assumerà la forma. L'espressione risultante contiene il grado. Per trovare il suo valore, devi prima trovare il valore dell'indicatore, abbiamo 
.
Così, .
Risposta:
.
Se non è possibile calcolare i valori esatti delle radici, dei gradi, ecc., Quindi puoi provare a sbarazzartene usando alcune trasformazioni, quindi tornare al calcolo del valore secondo lo schema indicato.
Modi razionali per calcolare i valori delle espressioni
Il calcolo dei valori delle espressioni numeriche richiede coerenza e cura. Sì, devi rispettare la sequenza di azioni registrata in paragrafi precedenti, ma non è necessario farlo alla cieca e meccanicamente. Con questo intendiamo che spesso è possibile razionalizzare il processo di ricerca del significato di un'espressione. Ad esempio, alcune proprietà delle azioni con numeri possono velocizzare e semplificare notevolmente la ricerca del valore di un'espressione.
Ad esempio, conosciamo questa proprietà della moltiplicazione: se uno dei fattori nel prodotto è zero, allora il valore del prodotto è uguale a zero. Usando questa proprietà, possiamo subito dire che il valore dell'espressione 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36-2 4 + 456: 3 43) è uguale a zero. Se rispettassimo l'ordine standard di esecuzione delle azioni, prima dovremmo calcolare i valori delle espressioni voluminose tra parentesi, e questo richiederebbe molto tempo e il risultato sarebbe comunque zero.
È anche conveniente usare la proprietà della sottrazione di numeri uguali: se sottrai un numero uguale da un numero, il risultato sarà zero. Questa proprietà può essere considerata in modo più ampio: la differenza tra due espressioni numeriche identiche è zero. Ad esempio, senza valutare i valori delle espressioni tra parentesi, puoi trovare il valore dell'espressione (54 6-12 47362: 3) - (54 6-12 47362: 3), è uguale a zero, poiché l'espressione originale è la differenza delle stesse espressioni.
Trasformazioni identiche possono contribuire al calcolo razionale dei valori delle espressioni. Ad esempio, il raggruppamento di termini e fattori può essere utile e spesso vengono utilizzate anche le parentesi. Quindi il valore dell'espressione 53 5 + 53 7−53 11 + 5 è molto facile da trovare dopo aver messo il fattore 53 fuori dalle parentesi: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Il calcolo diretto richiederebbe molto più tempo.
In conclusione di questo paragrafo, prestiamo attenzione a un approccio razionale al calcolo dei valori delle espressioni con le frazioni: vengono cancellati gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore di una frazione. Ad esempio, annullando le stesse espressioni al numeratore e al denominatore di una frazione 
ti permette di trovare immediatamente il suo valore, che è 1/2.
Trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili
Il significato di un'espressione alfabetica e un'espressione con variabili si trova per valori specifici specificati di lettere e variabili. Questo è, viene sulla ricerca del valore di un'espressione letterale per dati valori di lettere o sulla ricerca del valore di un'espressione con variabili per valori selezionati di variabili.
La regola Trovare il valore di un'espressione letterale o di un'espressione con variabili per dati valori di lettere o valori selezionati di variabili è la seguente: è necessario sostituire questi valori di lettere o variabili nell'espressione originale e calcolare il valore dell'espressione numerica risultante, è il valore desiderato.
Esempio.
Valuta l'espressione 0,5 x − y in x = 2,4 e y = 5.
Soluzione.
Per trovare il valore richiesto dell'espressione, devi prima sostituire questi valori delle variabili nell'espressione originale, quindi eseguire i seguenti passaggi: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.
Risposta:
−3,8 .
In conclusione, notiamo che a volte l'esecuzione di trasformazioni di espressioni letterali ed espressioni con variabili consente di ottenere i loro valori, indipendentemente dai valori di lettere e variabili. Ad esempio, l'espressione x + 3 − x può essere semplificata, dopo di che diventa 3. Quindi, possiamo concludere che il valore dell'espressione x + 3 − x è uguale a 3 per qualsiasi valore della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti (ODV). Un altro esempio: il valore dell'espressione è uguale a 1 per tutti i valori positivi di x, quindi l'intervallo di valori validi della variabile x nell'espressione originale è l'insieme numeri positivi, e l'uguaglianza ha luogo in questa regione.
Bibliografia.
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- Algebra: studia. per 7cl. educazione generale. istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17a ed. - M.: Educazione, 2008 .-- 240 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019315-3.
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- Algebra: Grado 9: libro di testo. per l'istruzione generale. istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2009 .-- 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra e l'inizio dell'analisi: Libro di testo. per 10-11cl. educazione generale. istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; ed. A. N. Kolmogorov - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Di norma, i bambini iniziano a imparare l'algebra già nelle classi elementari. Dopo aver imparato i principi di base del lavoro con i numeri, risolvono esempi con una o più variabili sconosciute. Trovare il significato di un'espressione di questo tipo può essere piuttosto difficile, ma se la semplifichi usando le conoscenze della scuola elementare, tutto funzionerà rapidamente e facilmente.
Qual è il significato di un'espressione
Un'espressione numerica è una notazione algebrica composta da numeri, parentesi e segni, se ha senso.
In altre parole, se è possibile trovare il significato di un'espressione, allora il record non è privo di significato e viceversa.
Esempi delle seguenti voci sono costrutti numerici validi:
- 3*8-2;
- 15/3+6;
- 0,3*8-4/2;
- 3/1+15/5;
Un singolo numero sarebbe anche un'espressione numerica come 18 dall'esempio sopra.
Esempi di costrutti numerici non validi che non hanno senso:
- *7-25);
- 16/0-;
- (*-5;
Gli esempi numerici errati sono solo un insieme di simboli matematici e non hanno alcun senso. 
Come trovare il significato di un'espressione
Poiché in tali esempi ci sono segni aritmetici, possiamo concludere che ti permettono di fare calcoli aritmetici... Per calcolare i segni o, in altre parole, per trovare il valore di un'espressione, è necessario eseguire le corrispondenti manipolazioni aritmetiche.
Ad esempio, considera la seguente costruzione: (120-30) / 3 = 30. Il numero 30 sarà il valore dell'espressione numerica (120-30) / 3.
Istruzioni:
Concetto di uguaglianza numerica
Un'uguaglianza numerica è una situazione in cui due parti di un esempio sono separate da un segno "=". Cioè, una parte è completamente uguale (identica) all'altra, anche se visualizzata sotto forma di altre combinazioni di simboli e numeri.
Ad esempio, qualsiasi costruzione come 2 + 2 = 4 può essere chiamata uguaglianza numerica, perché, anche scambiando le parti, il significato non cambierà: 4 = 2 + 2. Lo stesso vale per i costrutti più complessi come parentesi, divisione, moltiplicazione, frazioni e così via.
Come trovare correttamente il significato di un'espressione
Per trovare correttamente il valore di un'espressione, è necessario eseguire calcoli secondo un certo ordine di azioni. Questo ordine viene insegnato anche nelle lezioni di matematica, e poi nelle lezioni di algebra in scuola elementare... È anche conosciuto come i gradini delle operazioni aritmetiche.
Passi aritmetici:
- Il primo passo è l'addizione e la sottrazione dei numeri.
- La seconda fase è la divisione e la moltiplicazione.
- Terzo passo: i numeri sono quadrati o cubi.
osservando seguenti regole, puoi sempre determinare correttamente il significato dell'espressione:
- Procedere dal passaggio 3 al passaggio 1 se nell'esempio non sono presenti parentesi. Cioè, prima quadrato o cubo, poi dividi o moltiplica e solo allora aggiungi e sottrai.
- Nelle costruzioni con parentesi, eseguire prima le azioni tra parentesi, quindi seguire l'ordine sopra descritto. Se sono presenti più parentesi, utilizzare anche la procedura del primo paragrafo.
- Negli esempi sotto forma di frazione, prima scopri il risultato al numeratore, poi al denominatore, quindi dividi il primo per il secondo.
Trovare il significato dell'espressione non sarà difficile se padroneggi le conoscenze di base. primi corsi algebra e matematica. Guidati dalle informazioni sopra descritte, è possibile risolvere qualsiasi problema, anche di maggiore complessità.
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Come genitori, nel processo di insegnamento a tuo figlio, dovrai affrontare più di una volta la necessità di aiuto per risolvere i problemi domestici in matematica, algebra e geometria. E una delle abilità di base da imparare è come trovare il significato di un'espressione. Molti finiscono in un vicolo cieco, perché quanti anni sono passati da quando abbiamo studiato nelle classi 3-5? Molto è già stato dimenticato, ma qualcosa non è stato imparato. Le stesse regole delle operazioni matematiche sono semplici e le ricorderai facilmente. Cominciamo con le basi di cosa sia un'espressione matematica.
Definizione di espressione
Un'espressione matematica è un insieme di numeri, segni di azione (=, +, -, *, /), parentesi quadre, variabili. In breve: questa è una formula, il cui valore dovrà essere trovato. Tali formule si trovano solo nel corso di matematica fin dalla scuola, e poi perseguono studenti che hanno scelto per sé specialità legate alle scienze esatte. Le espressioni matematiche sono divise in trigonometriche, algebriche e così via, non ci imbatteremo nella stessa "giungla".
- Prima fai tutti i calcoli su una bozza e poi riscrivi dentro cartella di lavoro... In questo modo eviterai inutili croci e sporcizia;
- Ricalcola il numero totale di calcoli da eseguire nell'espressione. Tieni presente che secondo le regole, vengono eseguite prima le azioni tra parentesi, quindi la divisione e la moltiplicazione e, alla fine, la sottrazione e l'aggiunta. Ti consigliamo di evidenziare tutte le azioni con una matita e di inserire i numeri sopra le azioni in ordine di priorità. In questo caso, sarà più facile per te e il bambino orientarti;
- Inizia a fare calcoli rispettando rigorosamente l'ordine di esecuzione delle azioni. Lascia che il bambino, se il calcolo è semplice, provi a farlo nella sua mente, ma se è difficile, metti in una matita il numero corrispondente al numero ordinale dell'espressione ed esegui il calcolo per iscritto sotto la formula;
- In genere trova il valore espressione semplice non è difficile se tutti i calcoli vengono eseguiti secondo le regole e l'ordine corretto. La maggior parte si trova ad affrontare un problema in questa fase di ricerca del valore dell'espressione, quindi fai attenzione e non commettere errori;
- Vieta la calcolatrice. Sami formule matematiche e i compiti nella vita di tuo figlio potrebbero non essere utili, ma questo non è lo scopo di studiare la materia. La cosa principale è lo sviluppo del pensiero logico. Se usi i calcolatori, il significato di tutto andrà perso;
- Il tuo compito come genitore non è risolvere i problemi del bambino, ma aiutarlo in questo, guidarlo. Lascia che faccia tutti i calcoli da solo e ti assicuri che non commetta errori, spiega perché devi farlo e non altrimenti.
- Dopo aver trovato la risposta all'espressione, scrivila dopo il segno "=";
- Aprire ultima pagina manuale di matematica. Di solito, ci sono risposte per ogni esercizio nel libro. Non fa male controllare se tutto è calcolato correttamente.
Trova il valore di un'espressione - da un lato, procedura semplice, la cosa principale è ricordare le regole di base che abbiamo seguito in corso di scuola matematica. Tuttavia, d'altra parte, quando hai bisogno di aiutare il tuo bambino a far fronte alle formule e alla risoluzione dei problemi, la questione diventa più complicata. Dopotutto, ora non sei uno studente, ma un insegnante, e l'educazione del futuro Einstein è sulle tue spalle.
Speriamo che il nostro articolo ti abbia aiutato a trovare la risposta alla domanda su come trovare il significato di un'espressione e che tu possa facilmente capire qualsiasi formula!
Nell'ambiente Lazarus, puoi anche valutare i valori di complesse espressioni matematiche. Ad esempio, come la seguente espressione:
Tutto quello che dobbiamo fare è scrivere la formula correttamente in modo che Lazzaro possa compilarla e poi risolverla.
Riso. 4 - Il programma "calcolo del valore delle espressioni" prima di iniziare
Per cominciare, quando si scrive un programma tra "procedure" e "begin", inserire il comando var alfa ……… y: real; è necessario per calcolare i numeri decimali. Devi anche inserire il comando "math" in "uses", altrimenti alcune funzioni del programma non funzioneranno.
Ecco come appare il codice del programma "valutazione del valore delle espressioni" in Lazarus:
procedura TForm1.SpeedButton1Click (Mittente: TObject);
var x, y: singolo;
x: = StrToFloat (Edit1.Text);
y: = ((sin (x)) / 2) +3;
Label3.Caption: = FloatToStr (y);
Riso. 5 - Il programma "Valutazione delle espressioni" dopo il lancio.
Il programma è stato redatto correttamente, l'interpretazione ha avuto successo. Ora, per calcolare la funzione "y", devi impostare i tuoi valori nella formula.
Calcolo della somma di una serie di numeri.
Utilizzando la somma di serie di numeri è possibile: - espandere la funzione in una serie di potenze; - eseguire calcoli approssimativi dei valori della funzione; - eseguire calcoli limite; - eseguire il calcolo degli integrali definiti; - eseguire il calcolo dei logaritmi; - effettuare l'integrazione di equazioni differenziali; - risolvere l'equazione del primo ordine con il metodo iterativo.
L'iterazione è l'esecuzione ripetuta di un'azione fino a quando non viene soddisfatta una condizione. Una serie è considerata data se è data una legge per la quale un qualsiasi membro della serie può essere calcolato, e il numero di serie questo numero. Tra le righe ci sono righe convergenti e righe divergenti. Se il valore delle somme parziali Sn tende a un qualche numero A con aumento illimitato di n, la serie si dice convergente, e il numero A si dice somma. Quindi, con un aumento illimitato di n, il valore di Sn differisce arbitrariamente poco da A, cioè il numero A è il limite della sequenza Sn.
Riso. 6 - Il programma "Calcolo delle somme di una serie di numeri" prima di iniziare
Il codice del programma "Calcolo delle somme di una serie di numeri" sarà simile a questo:
Classi, SysUtils, FileUtil, LResources, Form, Controlli, Grafica, Finestre di dialogo, ExtCtrls, StdCtrls, Math;
TForm1 = classe (TForm)
Pulsante1: T Pulsante;
procedura Button1Click (Mittente: TObject);
(dichiarazioni private)
(dichiarazioni pubbliche)
procedura TForm1.Button1Click (Mittente: TObject);
var n, fattoriale: intero; x, y, s: reale;
x: = StrToFloat (Edit1.Text);
per n: = da 1 a 25 do
s: = s + potenza (x, (n-1)) / fattoriale;
fattoriale: = fattoriale * (n + 1);
Label4.Caption: = FloatToStr (s);
y: = (potenza (2.76, x) -1) / x;
Label5.Caption: = FloatToStr (y);
Riso. 7 - Il programma "Calcolo delle somme di una serie di numeri" dopo il lancio
Il programma è stato composto correttamente, l'oggetto è stato compilato con successo. Ora, per calcolare la somma di una serie di numeri, devi inserire i tuoi valori nella formula e il programma creato, simile a una calcolatrice, calcolerà la risposta.
