La funzione principale delle parentesi è quella di modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori. ad esempio, nell'espressione numerica \ (5 3 + 7 \), verrà calcolata prima la moltiplicazione, quindi l'addizione: \ (5 3 + 7 = 15 + 7 = 22 \). Ma nell'espressione \ (5
Esempio.
Espandi la parentesi: \ (- (4m + 3) \).
Soluzione
: \ (- (4 m + 3) = - 4 m-3 \).
Esempio.
Espandi la parentesi e fornisci termini simili \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) \).
Soluzione
: \ (5- (3x + 2) + (2 + 3x) = 5-3x-2 + 2 + 3x = 5 \).
Esempio.
Espandi le parentesi \ (5 (3-x) \).
Soluzione
: Nella parentesi abbiamo \ (3 \) e \ (- x \), e davanti alla parentesi c'è un cinque. Quindi, ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \ (5 \) - ti ricordo che il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione dei record.
Esempio.
Espandi le parentesi \ (- 2 (-3x + 5) \).
Soluzione
: Come nell'esempio precedente, \ (- 3x \) e \ (5 \) vengono moltiplicati per \ (- 2 \).
Esempio.
Espressione semplificata: \ (5 (x + y) -2 (x-y) \).
Soluzione
: \ (5 (x + y) -2 (x-y) = 5x + 5y-2x + 2y = 3x + 7y \).
Resta da considerare l'ultima situazione.
Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni membro della prima parentesi viene moltiplicato per ogni membro della seconda:
\ ((c + d) (a-b) = c (a-b) + d (a-b) = ca-cb + da-db \)
Esempio.
Espandi le parentesi \ ((2-x) (3x-1) \).
Soluzione
: Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto per gradi.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi: moltiplichiamo ciascuno dei suoi membri per la seconda parentesi:
Passaggio 2. Espandi il prodotto delle parentesi per il fattore come descritto sopra:
- prima il primo...
Poi il secondo.
Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e diamo termini simili:
Non è affatto necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato, puoi immediatamente moltiplicarle. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi - scrivi in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere un errore.
Una nota a tutta la sezione. Infatti, non è necessario memorizzare tutte e quattro le regole, è sufficiente ricordarne solo una, ovvero: \ (c (a-b) = ca-cb \). Come mai? Perché se sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \ ((a-b) = a-b \). E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \ (- (a-b) = - a + b \). Bene, se al posto di c sostituisci un'altra parentesi, puoi ottenere l'ultima regola.
Parentesi tra parentesi
A volte in pratica ci sono problemi con le parentesi nidificate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).
Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente la nidificazione delle parentesi - quale si trova in quale;
- espandere le parentesi in sequenza, partendo, ad esempio, da quella più interna.
In questo caso, è importante quando si apre una delle staffe non toccare il resto dell'espressione semplicemente riscrivendolo così com'è.
Prendiamo come esempio il compito di cui sopra.
Esempio.
Espandi le parentesi e dai termini simili \ (7x + 2 (5- (3x + y)) \).
Soluzione:
Esempio.
Espandi le parentesi e fornisci termini simili \ (- (x + 3 (2x-1 + (x-5))) \).
Soluzione
:
|
\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ (x-5) \) \ ()) \) |
Ecco una tripla nidificazione di parentesi. Iniziamo con quello più interno (evidenziato in verde). C'è un vantaggio davanti alla staffa, quindi può essere facilmente rimosso. |
|
|
\ (- (x + 3 (2x-1 \) \ (+ x-5 \) \ ()) \) |
Ora devi espandere la seconda parentesi, quella intermedia. Ma prima semplifichiamo l'espressione con un fantasma simile ai termini in questa seconda parentesi. |
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|
\ (= - (x \) \ (+ 3 (3x-6) \) \ () = \) |
Ora apriamo la seconda parentesi (evidenziata in blu). C'è un fattore davanti alla parentesi, quindi ogni termine tra parentesi viene moltiplicato per esso. |
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\ (= - (x \) \ (+ 9x-18 \) \ () = \) |
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E apriamo l'ultima parentesi. Prima della parentesi c'è un meno - quindi tutti i segni sono invertiti. |
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Aprire le parentesi è un'abilità di base in matematica. Senza questa abilità, è impossibile avere un voto superiore a tre nell'ottavo e nono anno. Pertanto, ti consiglio di comprendere bene questo argomento.
L'espansione delle parentesi è un tipo di conversione dell'espressione. In questa sezione descriveremo le regole per espandere le parentesi e prenderemo in considerazione anche gli esempi più comuni di attività.
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Cosa si chiama parentesi espandibile?
Le parentesi vengono utilizzate per indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni nelle espressioni numeriche, letterali e variabili. È conveniente passare da un'espressione con parentesi a un'espressione identicamente uguale senza parentesi. Ad esempio, sostituire l'espressione 2 (3 + 4) con un'espressione della forma 2 3 + 2 4 senza parentesi. Questa tecnica è chiamata espansione della parentesi.
Definizione 1
L'espansione delle parentesi è intesa come una tecnica per eliminare le parentesi e viene solitamente considerata in relazione a espressioni che possono contenere:
- segni "+" o "-" davanti alle parentesi, che racchiudono somme o differenze;
- prodotto di un numero, lettera o più lettere e la somma o la differenza, che è posta tra parentesi.
Così siamo abituati a considerare il processo di apertura delle parentesi nel corso del curriculum scolastico. Tuttavia, nessuno ci impedisce di guardare a questa azione in modo più ampio. Possiamo chiamare espansione di parentesi la transizione da un'espressione che contiene numeri negativi tra parentesi a un'espressione che non ha parentesi. Ad esempio, possiamo passare da 5 + (- 3) - (- 7) a 5 - 3 + 7. In effetti, anche questa è un'espansione di parentesi.
Allo stesso modo, possiamo sostituire il prodotto delle espressioni tra parentesi della forma (a + b) (c + d) con la somma a c + a d + b c + b d. Anche questa tecnica non contraddice il significato di espansione della parentesi.
Ecco un altro esempio. Possiamo presumere che qualsiasi espressione possa essere utilizzata al posto di numeri e variabili nelle espressioni. Ad esempio, l'espressione x 2 1 a - x + sin (b) corrisponderà a un'espressione senza parentesi della forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b).
Un altro punto merita un'attenzione speciale, che riguarda le peculiarità della registrazione delle decisioni quando si aprono le parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale con parentesi e il risultato ottenuto dopo aver espanso le parentesi come uguaglianza. Ad esempio, dopo aver espanso le parentesi, invece dell'espressione 3 − (5 − 7) otteniamo l'espressione 3 − 5 + 7 . Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come l'uguaglianza 3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7.
L'esecuzione di azioni con espressioni ingombranti può richiedere la registrazione di risultati intermedi. Allora la soluzione avrà la forma di una catena di uguaglianze. Ad esempio, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 o 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Regole di espansione delle parentesi, esempi
Iniziamo a guardare le regole per espandere le parentesi.
Numeri singoli tra parentesi
I numeri negativi tra parentesi sono comuni nelle espressioni. Ad esempio, (- 4) e 3 + (- 4). Anche i numeri positivi tra parentesi hanno un posto dove stare.
Formuliamo una regola per espandere le parentesi in cui sono racchiusi singoli numeri positivi. Supponiamo che a sia un qualsiasi numero positivo. Allora (a) possiamo sostituire con a, + (a) con + a, - (a) con - a. Se invece di a prendiamo un numero specifico, allora secondo la regola: il numero (5) sarà scritto come 5 , l'espressione 3 + (5) senza parentesi assume la forma 3 + 5 poiché + (5) è sostituito da + 5 , e l'espressione 3 + (- 5) è equivalente all'espressione 3 − 5 , perché + (− 5) è sostituito da − 5 .
I numeri positivi sono generalmente scritti senza parentesi, poiché in questo caso le parentesi non sono necessarie.
Consideriamo ora la regola per espandere le parentesi che contengono un singolo numero negativo. + (- un) sostituiamo con - un, - (- a) è sostituito da + a. Se l'espressione inizia con un numero negativo (- un), che è scritto tra parentesi, quindi le parentesi vengono omesse e invece di (- un) resti - un.
Ecco alcuni esempi: (- 5) può essere scritto come - 5, (- 3) + 0, 5 assume la forma - 3 + 0, 5, 4 + (- 3) si trasforma in 4 − 3 , e - (- 4) - (- 3) dopo aver ampliato le parentesi quadre assume la forma 4 + 3, poiché - (- 4) e - (- 3) viene sostituito con + 4 e + 3.
Dovrebbe essere chiaro che non puoi scrivere l'espressione 3 · (- 5) come 3 · - 5. Questo sarà discusso nei paragrafi seguenti.
Vediamo su cosa si basano le regole di espansione delle parentesi.
Secondo la regola, la differenza a - b è uguale a a + (- b). Sulla base delle proprietà delle azioni con i numeri, possiamo formare una catena di uguaglianze (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a che sarà giusto. Questa catena di uguaglianze, in virtù del significato di sottrazione, dimostra che l'espressione a + (- b) è la differenza a - b.
Sulla base delle proprietà dei numeri opposti e delle regole per la sottrazione dei numeri negativi, possiamo affermare che - (- a) = a, a - (- b) = a + b.
Ci sono espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. L'uso delle regole di cui sopra ti consente di eliminare costantemente le parentesi, spostandoti dalle parentesi interne a quelle esterne o nella direzione opposta. Un esempio di tale espressione sarebbe - (- ((- (5)))). Apriamo le parentesi, spostandoci dall'interno verso l'esterno: - (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5. Inoltre, questo esempio può essere analizzato nella direzione opposta: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Sotto un e b, non solo i numeri possono essere compresi, ma anche espressioni numeriche o letterali arbitrarie con un segno "+" davanti, che non sono somme o differenze. In tutti questi casi, puoi applicare le regole nello stesso modo in cui abbiamo fatto per i numeri singoli tra parentesi.
Ad esempio, dopo aver espanso le parentesi, l'espressione - (- 2 x) - (x 2) + (- 1 x) - (2 x y 2: z) assume la forma 2 x - x 2 - 1 x - 2 x y 2: z. Come lo abbiamo fatto? Sappiamo che - (- 2 x) è + 2 x, e poiché questa espressione è all'inizio, + 2 x può essere scritto come 2 x, - (x 2) = - x 2, + (- 1 x) = - 1 x e - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.
Nei prodotti di due numeri
Iniziamo con la regola per espandere le parentesi nel prodotto di due numeri.
Facciamo finta che un e b sono due numeri positivi. In questo caso, il prodotto di due numeri negativi - un e - b della forma (- a) (- b) possiamo sostituire con (a b), e i prodotti di due numeri di segno opposto della forma (- a) b e a (- a b)... Moltiplicare un meno per un meno dà un più, e moltiplicare un meno per un più, così come moltiplicare un più per un meno, dà un meno.
La correttezza della prima parte della regola scritta è confermata dalla regola per la moltiplicazione dei numeri negativi. Per confermare la seconda parte della regola, possiamo usare le regole per moltiplicare i numeri con segni diversi.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 1
Considera un algoritmo per espandere le parentesi nel prodotto di due numeri negativi - 4 3 5 e - 2, della forma (- 2) · - 4 3 5. Per fare ciò, sostituisci l'espressione originale con 2 · 4 3 5. Espandi le parentesi e ottieni 2 4 3 5.
E se prendiamo il quoziente dei numeri negativi (- 4): (- 2), il record dopo aver espanso le parentesi sarà simile a 4: 2
Al posto dei numeri negativi - un e - b può essere qualsiasi espressione con un segno meno iniziale che non sono somme o differenze. Ad esempio, possono essere prodotti, quozienti, frazioni, potenze, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche, ecc.
Espandi le parentesi nell'espressione - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5). Secondo la regola, possiamo eseguire le seguenti trasformazioni: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Espressione (- 3) 2 può essere convertito nell'espressione (- 3 · 2). Quindi puoi espandere le parentesi: - 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
La divisione di numeri con segni diversi può anche richiedere che le parentesi vengano espanse in anticipo: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 e 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
La regola può essere utilizzata per eseguire moltiplicazioni e divisioni su espressioni con segni diversi. Ecco due esempi.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
In prodotti di tre o più numeri
Passiamo al prodotto e ai quozienti, che contengono più numeri. La seguente regola si applica qui per l'espansione delle parentesi. Per un numero pari di numeri negativi, puoi omettere le parentesi sostituendo i numeri con il loro opposto. Successivamente, è necessario racchiudere l'espressione risultante tra nuove parentesi. Per un numero dispari di numeri negativi, omettendo le parentesi, sostituire i numeri con i loro opposti. Successivamente, l'espressione risultante deve essere racchiusa tra nuove parentesi e preceduta da un segno meno.
Esempio 2
Ad esempio, prendiamo l'espressione 5 · (- 3) · (- 2), che è il prodotto di tre numeri. Ci sono due numeri negativi, quindi possiamo scrivere l'espressione come (5 · 3 · 2) e poi infine apri le parentesi, ottenendo l'espressione 5 · 3 · 2.
Nel prodotto (- 2, 5) · (- 3): (- 2) · 4: (- 1, 25): (- 1) cinque numeri sono negativi. quindi (- 2, 5) (- 3): (- 2) 4: (- 1, 25): (- 1) = (- 2, 5 3: 2 4: 1, 25: 1) ... Infine, espandendo le parentesi, si ottiene −2,5 3: 2 4: 1,25: 1.
La regola di cui sopra può essere sostanziata come segue. Innanzitutto, possiamo riscrivere tali espressioni come prodotto, sostituendo la divisione con la moltiplicazione per il reciproco. Rappresentiamo ogni numero negativo come prodotto di un moltiplicatore e sostituiamo - 1 o - 1 con (- 1) a.
Usando la proprietà di spostamento della moltiplicazione, scambiamo i fattori e trasferiamo tutti i fattori uguali a − 1 , all'inizio dell'espressione. Il prodotto di un numero pari meno uno è 1 e un numero dispari è uguale a − 1 , che ci permette di usare il segno meno.
Se non usassimo la regola, la catena di azioni per espandere le parentesi nell'espressione - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 sarebbe simile a questa:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
La regola di cui sopra può essere utilizzata quando si espandono le parentesi in espressioni che sono prodotti e quozienti con un segno meno che non sono somme o differenze. Prendi l'espressione
x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2.
Può essere ridotto a un'espressione senza parentesi x 2 x: 1 x x - 3: 2.
Parentesi espandibili precedute da un segno +
Considera una regola che può essere applicata per espandere le parentesi precedute da un segno più e il "contenuto" di tali parentesi non viene moltiplicato o divisibile per alcun numero o espressione.
Secondo la regola, le parentesi insieme al carattere che le precede vengono omesse, mentre vengono conservati i segni di tutti i termini tra parentesi. Se non è presente alcun segno davanti al primo termine tra parentesi, è necessario inserire un segno più.
Esempio 3
Ad esempio, diamo l'espressione (12 − 3 , 5) − 7 ... Omesse le parentesi, manteniamo i segni dei termini tra parentesi e mettiamo un segno più davanti al primo termine. Il record sarà simile a (12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. Nell'esempio dato, non è necessario mettere un segno davanti al primo termine, poiché + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Esempio 4
Facciamo un altro esempio. Prendi l'espressione x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ed esegui azioni con essa x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Ecco un altro esempio di parentesi espandibili:
Esempio 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Come vengono espanse le parentesi, precedute da un segno meno
Considera i casi in cui le parentesi sono precedute da un segno meno e che non vengono moltiplicate (o divise) per alcun numero o espressione. Secondo la regola delle parentesi aperte precedute dal segno "-", le parentesi con il segno "-" vengono omesse, mentre i segni di tutti i termini all'interno delle parentesi sono invertiti.
Esempio 6
Per esempio:
1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) = x 2
Le espressioni variabili possono essere convertite utilizzando la stessa regola:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
otteniamo x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2.
Espansione delle parentesi quando si moltiplica un numero per parentesi, espressioni per parentesi
Qui esamineremo i casi in cui è necessario espandere le parentesi che sono moltiplicate o divisibili per un numero o un'espressione. Qui formule della forma (a 1 ± a 2 ±… ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ±… ± a n · b) o b (a 1 ± a 2 ±… ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ±… ± b a n), dove a 1, a 2,…, a n eb sono alcuni numeri o espressioni.
Esempio 7
Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione (3 - 7) 2... Secondo la regola, possiamo effettuare le seguenti trasformazioni: (3 - 7) 2 = (3 2 - 7 2). Otteniamo 3 2 - 7 2.
Espandendo le parentesi nell'espressione 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, otteniamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Moltiplicare una parentesi per una parentesi
Consideriamo il prodotto di due parentesi della forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Questo ci aiuterà a ottenere una regola per espandere le parentesi durante l'esecuzione della moltiplicazione tra parentesi.
Per risolvere l'esempio precedente, indichiamo l'espressione (b1 + b2) come b. Questo ci permetterà di usare la regola per moltiplicare la parentesi per l'espressione. Otteniamo (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Sostituzione inversa B su (b 1 + b 2), applica nuovamente la regola della moltiplicazione dell'espressione per le parentesi: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 B 2
Grazie ad alcuni semplici accorgimenti, possiamo arrivare alla somma dei prodotti di ciascuno dei termini della prima parentesi per ciascuno dei termini della seconda parentesi. La regola può essere estesa a qualsiasi numero di termini tra parentesi.
Formuliamo le regole per moltiplicare una parentesi per una parentesi: per moltiplicare tra loro due somme, è necessario moltiplicare ciascuno dei termini della prima somma per ciascuno dei termini della seconda somma e sommare i risultati ottenuti.
La formula sarà simile a:
(a 1 + a 2 +... + a m) · (b 1 + b 2 +... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 +. ... ... + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. ... ... + a 2 b n + +. ... ... + + a m b 1 + a m b 1 +. ... ... a m b n
Espandi le parentesi nell'espressione (1 + x) · (x 2 + x + 6) È il prodotto di due somme. Scriviamo la soluzione: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Separatamente, vale la pena soffermarsi su quei casi in cui il segno meno è presente tra parentesi insieme ai segni più. Ad esempio, prendiamo l'espressione (1 - x) · (3 · x · y - 2 · x · y 3).
Innanzitutto, rappresentiamo le espressioni tra parentesi come somme: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3))... Ora possiamo applicare la regola: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)) = (1 3 x y + 1 (- 2 x Y 3) + (- x) 3 xy + (- x) (- 2 xy 3))
Espandi le parentesi: 1 3 x y - 1 2 x y 3 - x 3 x y + x 2 x y 3.
Espansione delle parentesi nei prodotti di più parentesi ed espressioni
Se in un'espressione sono presenti tre o più espressioni tra parentesi, le parentesi devono essere espanse in sequenza. È necessario iniziare la trasformazione mettendo tra parentesi i primi due fattori. All'interno di queste parentesi, possiamo eseguire trasformazioni secondo le regole discusse sopra. Ad esempio, parentesi nell'espressione (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8).
L'espressione contiene tre fattori contemporaneamente (2 + 4) , 3 e (5 + 7 8). Espanderemo le parentesi in sequenza. Racchiudiamo i primi due fattori in un'altra parentesi, che per chiarezza renderemo rossa: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
In accordo con la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, possiamo eseguire le seguenti azioni: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8).
Moltiplicare la parentesi per la parentesi: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 ...
Parentesi in grado naturale
I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con indicatori naturali possono essere considerati come il prodotto di più parentesi. Inoltre, secondo le regole dei due paragrafi precedenti, possono essere scritti senza queste parentesi.
Considera il processo di conversione di un'espressione (a + b + c) 2. Si può scrivere come prodotto di due parentesi (a + b + c) (a + b + c)... Moltiplichiamo la parentesi per la parentesi e otteniamo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Facciamo un altro esempio:
Esempio 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Dividi una parentesi per un numero e le parentesi per una parentesi
Dividere una parentesi per un numero presuppone che devi dividere tutti i termini tra parentesi per un numero. Ad esempio, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4.
La divisione può essere precedentemente sostituita dalla moltiplicazione, dopo di che è possibile utilizzare la regola appropriata per espandere le parentesi nel prodotto. La stessa regola si applica quando si divide una parentesi per parentesi.
Ad esempio, dobbiamo espandere le parentesi nell'espressione (x + 2): 2 3. Per fare ciò, sostituire prima la divisione per moltiplicazione per il numero inverso (x + 2): 2 3 = (x + 2) 2 3. Moltiplica la parentesi per il numero (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3.
Ecco un altro esempio di divisione per parentesi:
Esempio 9
1 x + x + 1: (x + 2).
Sostituisci la divisione con la moltiplicazione: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Esegui la moltiplicazione: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2.
Ordine di espansione della staffa
Consideriamo ora l'ordine di applicazione delle regole discusse sopra nelle espressioni generali, ad es. in espressioni che contengono somme con differenze, prodotti con quozienti, parentesi in grado naturale.
Procedura per l'esecuzione delle azioni:
- il primo passo è alzare le parentesi al grado naturale;
- nella seconda fase si aprono le parentesi nelle opere e in quelle private;
- il passaggio finale è espandere le parentesi nelle somme e nelle differenze.
Consideriamo la procedura per eseguire azioni usando l'esempio dell'espressione (- 5) + 3 · (- 2): (- 4) - 6 · (- 7). Trasformiamo dalle espressioni 3 (- 2): (- 4) e 6 (- 7), che dovrebbero assumere la forma (3 2: 4) e (- 6 7). Sostituendo i risultati ottenuti nell'espressione originale, si ottiene: (- 5) + 3 (- 2): (- 4) - 6 (- 7) = (- 5) + (3 2: 4) - (- 6 7 ). Apriamo le parentesi: - 5 + 3 2: 4 + 6 7.
Quando si tratta di espressioni che contengono parentesi tra parentesi, è conveniente trasformare dall'interno verso l'esterno.
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Questo articolo discute come trovare i valori delle espressioni matematiche. Iniziamo con semplici espressioni numeriche e poi consideriamo i casi man mano che la loro complessità aumenta. Alla fine, diamo un'espressione contenente designazioni di lettere, parentesi, radici, segni matematici speciali, gradi, funzioni, ecc. L'intera teoria, secondo la tradizione, sarà fornita di esempi abbondanti e dettagliati.
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Come trovo il valore di un'espressione numerica?
Le espressioni numeriche, tra le altre cose, aiutano a descrivere una condizione problematica in linguaggio matematico. In generale, le espressioni matematiche possono essere sia molto semplici, costituite da una coppia di numeri e segni aritmetici, sia molto complesse, contenenti funzioni, potenze, radici, parentesi, ecc. Nell'ambito di un compito, è spesso necessario trovare il significato di un'espressione. Come farlo sarà discusso di seguito.
I casi più semplici
Questi sono i casi in cui l'espressione non contiene altro che numeri e operazioni aritmetiche. Per trovare con successo i valori di tali espressioni, avrai bisogno della conoscenza dell'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche senza parentesi, nonché della capacità di eseguire operazioni con numeri diversi.
Se l'espressione contiene solo numeri e segni aritmetici "+", "·", "-", "÷", le azioni vengono eseguite da sinistra a destra nel seguente ordine: prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Ecco alcuni esempi.
Esempio 1. Il valore di un'espressione numerica
Lascia che sia necessario trovare i valori dell'espressione 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Facciamo prima la moltiplicazione e la divisione. Noi abbiamo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Ora sottraiamo e otteniamo il risultato finale:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Esempio 2. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Innanzitutto, eseguiamo la conversione di frazioni, divisioni e moltiplicazioni:
0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Ora facciamo l'addizione e la sottrazione. Raggruppiamo le frazioni e portiamole a un denominatore comune:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Il valore che stavi cercando è stato trovato.
Espressioni con parentesi
Se l'espressione contiene parentesi, determinano l'ordine delle azioni in questa espressione. Prima vengono eseguite le azioni tra parentesi e poi tutto il resto. Mostriamolo con un esempio.
Esempio 3. Il valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).
L'espressione contiene parentesi, quindi prima eseguiamo l'operazione di sottrazione tra parentesi e solo dopo eseguiamo la moltiplicazione.
0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.
Il significato delle espressioni che contengono parentesi tra parentesi segue lo stesso principio.
Esempio 4. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Eseguiremo le azioni partendo dalle parentesi più interne, passando a quelle esterne.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Nel trovare i valori delle espressioni tra parentesi, la cosa principale è seguire la sequenza delle azioni.
Espressioni radicate
Le espressioni matematiche di cui abbiamo bisogno per trovare i valori possono contenere segni di radice. Inoltre, l'espressione stessa può essere sotto il segno della radice. Cosa si dovrebbe fare in questo caso? Innanzitutto, è necessario trovare il valore dell'espressione sotto la radice, quindi estrarre la radice dal numero risultante. Quando possibile, è meglio eliminare le radici nelle espressioni numeriche, sostituendole con valori numerici.
Esempio 5. Il valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore dell'espressione con le radici - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Innanzitutto, calcoliamo le espressioni radicali.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Ora puoi valutare il valore dell'intera espressione.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6.5
Spesso, trovare il significato di un'espressione radicata richiede spesso di convertire prima l'espressione originale. Spieghiamolo con un altro esempio.
Esempio 6. Il valore di un'espressione numerica
Quanto fa 3 + 1 3 - 1 - 1
Come puoi vedere, non c'è modo per noi di sostituire la radice con un valore esatto, il che complica il processo di calcolo. Tuttavia, in in questo caso puoi applicare la formula di moltiplicazione abbreviata.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
In questo modo:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Espressioni di potere
Se l'espressione contiene gradi, i loro valori devono essere calcolati prima di procedere con tutte le altre azioni. Accade così che l'esponente stesso o la base del grado siano espressioni. In questo caso, viene prima calcolato il valore di queste espressioni, quindi il valore del grado.
Esempio 7. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Iniziamo a calcolare in ordine.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.
Resta solo da eseguire l'operazione di addizione e scoprire il valore dell'espressione:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Spesso è anche consigliabile semplificare l'espressione utilizzando le proprietà dei gradi.
Esempio 8. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore della seguente espressione: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.
Gli esponenti sono di nuovo tali che i loro valori numerici esatti non possono essere ottenuti. Semplifichiamo l'espressione originale per trovarne il significato.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Espressioni frazionarie
Se un'espressione contiene frazioni, quando si calcola tale espressione, tutte le frazioni in essa contenute devono essere rappresentate come frazioni ordinarie e i loro valori calcolati.
Se ci sono espressioni nel numeratore e nel denominatore di una frazione, i valori di queste espressioni vengono prima calcolati e viene scritto il valore finale della frazione stessa. Le operazioni aritmetiche vengono eseguite in modo standard. Consideriamo la soluzione di un esempio.
Esempio 9. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione contenente le frazioni: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Come puoi vedere, ci sono tre frazioni nell'espressione originale. Calcoliamo prima i loro valori.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Riscriviamo la nostra espressione e calcoliamo il suo valore:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1
Spesso, quando si trovano i valori delle espressioni, è conveniente ridurre le frazioni. C'è una regola non detta: prima di trovarne il valore, è meglio semplificare al massimo qualsiasi espressione, riducendo tutti i calcoli ai casi più semplici.
Esempio 10. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo l'espressione 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Non possiamo estrarre interamente la radice di cinque, ma possiamo semplificare l'espressione originale trasformandola.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
L'espressione originale assume la forma:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Calcoliamo il valore di questa espressione:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Espressioni con logaritmi
Quando i logaritmi sono presenti nell'espressione, il loro valore, se possibile, viene calcolato dall'inizio. Ad esempio, nell'espressione log 2 4 + 2 · 4, puoi scrivere immediatamente il valore di questo logaritmo invece di log 2 4, quindi eseguire tutte le azioni. Otteniamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Le espressioni numeriche si trovano anche sotto il segno del logaritmo e alla sua base. In questo caso, il primo passo è trovare i loro valori. Prendi l'espressione log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Abbiamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Se non è possibile calcolare il valore esatto del logaritmo, semplificare l'espressione aiuta a trovare il suo valore.
Esempio 11. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
registro 2 registro 2 256 = registro 2 8 = 3.
Per la proprietà dei logaritmi:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.
Applicando nuovamente le proprietà dei logaritmi, per l'ultima frazione nell'espressione si ottiene:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Ora puoi procedere al calcolo del valore dell'espressione originale.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Espressioni con funzioni trigonometriche
Succede che un'espressione contenga funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché funzioni ad esse inverse. I valori vengono calcolati prima che vengano eseguite tutte le altre operazioni aritmetiche. In caso contrario, l'espressione è semplificata.
Esempio 12. Valore di un'espressione numerica
Trova il valore dell'espressione: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Innanzitutto, calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche incluse nell'espressione.
peccato - 5 π 2 = - 1
Sostituiamo i valori nell'espressione e calcoliamo il suo valore:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Valore dell'espressione trovato.
Spesso, per trovare il valore di un'espressione con funzioni trigonometriche, è necessario prima trasformarla. Spieghiamo con un esempio.
Esempio 13. Valore di un'espressione numerica
Devi trovare il valore dell'espressione cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Per la trasformazione utilizzeremo le formule trigonometriche per il coseno del doppio angolo e il coseno della somma.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Il caso generale di un'espressione numerica
In generale, un'espressione trigonometrica può contenere tutti gli elementi di cui sopra: parentesi, gradi, radici, logaritmi, funzioni. Formuliamo una regola generale per trovare i valori di tali espressioni.
Come trovare il significato di un'espressione
- Radici, gradi, logaritmi, ecc. sono sostituiti dai loro valori.
- Le azioni tra parentesi vengono eseguite.
- Le azioni rimanenti vengono eseguite in ordine da sinistra a destra. Prima moltiplicazione e divisione, poi addizione e sottrazione.
Diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 14. Valore di un'espressione numerica
Calcoliamo il valore dell'espressione - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
L'espressione è piuttosto complessa e ingombrante. Non a caso abbiamo scelto proprio un esempio del genere, cercando di incastrarci tutti i casi sopra descritti. Come trovi il significato di un'espressione del genere?
È noto che quando si calcola il valore di una forma frazionaria complessa, in primo luogo, i valori del numeratore e del denominatore della frazione si trovano rispettivamente separatamente. Trasformeremo e semplificheremo costantemente questa espressione.
Innanzitutto calcoliamo il valore dell'espressione radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Per fare ciò, è necessario trovare il valore del seno e l'espressione che è l'argomento della funzione trigonometrica.
6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Ora puoi scoprire il valore del seno:
peccato 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = peccato π 6 + 2 π = peccato π 6 = 1 2.
Calcoliamo il valore dell'espressione radicale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Con il denominatore della frazione, tutto è più semplice:
Ora possiamo scrivere il valore dell'intera frazione:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Con questo in mente, scriviamo l'intera espressione:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Risultato finale:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
In questo caso, siamo stati in grado di calcolare i valori esatti di radici, logaritmi, seno, ecc. Se ciò non è possibile, puoi provare a sbarazzartene con trasformazioni matematiche.
Calcolo dei valori delle espressioni in modo razionale
Calcola valori numerici in modo coerente e preciso. Questo processo può essere razionalizzato e accelerato utilizzando varie proprietà delle azioni con i numeri. Ad esempio, è noto che il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tenendo conto di questa proprietà, possiamo subito dire che l'espressione 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 è uguale a zero. In questo caso, non è affatto necessario eseguire le azioni nell'ordine descritto nell'articolo sopra.
È anche conveniente usare la proprietà di sottrarre numeri uguali. Senza eseguire alcuna azione, è possibile ordinare che anche il valore dell'espressione 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 sia uguale a zero.
Un'altra tecnica che consente di accelerare il processo è l'uso di trasformazioni identiche come il raggruppamento di termini e fattori e l'eliminazione del fattore comune tra parentesi. Un approccio razionale al calcolo delle espressioni con le frazioni consiste nel ridurre le stesse espressioni al numeratore e al denominatore.
Ad esempio, prendi l'espressione 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Senza eseguire le azioni tra parentesi, ma riducendo la frazione, possiamo dire che il valore dell'espressione è 1 3.
Trovare i valori delle espressioni con le variabili
Il significato di un'espressione alfabetica e un'espressione con variabili si trova per valori specifici specificati di lettere e variabili.
Trovare i valori delle espressioni con le variabili
Per trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili, è necessario sostituire i valori specificati di lettere e variabili nell'espressione originale, quindi calcolare il valore dell'espressione numerica risultante.
Esempio 15. Valore di un'espressione con variabili
Valutare il valore dell'espressione 0,5 x - y dati x = 2, 4 e y = 5.
Sostituiamo i valori delle variabili nell'espressione e calcoliamo:
0,5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.
A volte puoi trasformare un'espressione in modo tale da ottenere il suo valore indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili incluse in essa. Per fare ciò, è necessario eliminare lettere e variabili nell'espressione, se possibile, utilizzando trasformazioni identiche, proprietà delle operazioni aritmetiche e tutti gli altri possibili metodi.
Ad esempio, l'espressione x + 3 - x ha ovviamente il valore 3 e non è necessario conoscere il valore di x per calcolare questo valore. Il valore di questa espressione è uguale a tre per tutti i valori della variabile x dal suo intervallo di valori validi.
Un altro esempio. Il valore dell'espressione x x è uguale a uno per tutte le x positive.
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Quindi, se un'espressione numerica è composta da numeri e segni +, -, · e:, quindi in ordine da sinistra a destra, devi prima eseguire moltiplicazioni e divisioni, quindi addizioni e sottrazioni, che ti permetteranno di trovare il desiderato valore dell'espressione.
Diamo una soluzione di esempi per chiarimenti.
Esempio.
Valutare il valore dell'espressione 14−2 · 15: 6−3.
Soluzione.
Per trovare il valore di un'espressione, è necessario eseguire tutte le azioni indicate in essa secondo l'ordine accettato di eseguire queste azioni. Innanzitutto, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo moltiplicazioni e divisioni, otteniamo 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Anche ora, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo le azioni rimanenti: 14−5−3 = 9−3 = 6. Quindi abbiamo trovato il valore dell'espressione originale, è 6.
Risposta:
14-215: 6-3 = 6.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione.
Soluzione.
In questo esempio, dobbiamo prima eseguire la moltiplicazione 2 · (-7) e la divisione e la moltiplicazione nell'espressione. Ricordando come si fa, troviamo 2 (-7) = - 14. E per eseguire azioni nell'espressione, prima 
, poi 
ed eseguire: 
.
Sostituisci i valori ottenuti nell'espressione originale:.
Ma cosa succede se c'è un'espressione numerica sotto il segno della radice? Per ottenere il valore di tale radice, devi prima trovare il valore dell'espressione radicale, aderendo all'ordine accettato di esecuzione delle azioni. Ad esempio, .
Nelle espressioni numeriche, le radici dovrebbero essere percepite come alcuni numeri ed è consigliabile sostituire immediatamente le radici con i loro valori, quindi trovare il valore dell'espressione risultante senza radici, eseguendo azioni nella sequenza accettata.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione con le radici.
Soluzione.
Per prima cosa, troviamo il valore della radice 
... Per fare ciò, per prima cosa calcoliamo il valore dell'espressione radicale, abbiamo −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... E in secondo luogo, troviamo il valore della radice.
Ora calcoliamo il valore della seconda radice dall'espressione originale:.
Infine, possiamo trovare il valore dell'espressione originale sostituendo le radici con i loro valori:.
Risposta:
Molto spesso, per trovare il valore di un'espressione con radici, bisogna prima trasformarla. Mostriamo la soluzione di un esempio.
Esempio.
Qual è il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
Non possiamo sostituire la radice di tre con il suo valore esatto, il che non ci permette di calcolare il valore di questa espressione nel modo sopra descritto. Tuttavia, possiamo calcolare il valore di questa espressione eseguendo semplici trasformazioni. Applicabile differenza di quadrati formula:. Considerando, otteniamo 
... Pertanto, il valore dell'espressione originale è 1.
Risposta:
.
Con gradi
Se la base e l'esponente sono numeri, il loro valore viene calcolato secondo la definizione dell'esponente, ad esempio 3 2 = 3 · 3 = 9 o 8 −1 = 1/8. Ci sono anche record quando la base e/o l'esponente sono alcune espressioni. In questi casi è necessario trovare il valore dell'espressione nella base, il valore dell'espressione nell'esponente, quindi calcolare il valore del grado stesso.
Esempio.
Trova il valore di un'espressione con potenze della forma 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4.
Soluzione.
Nell'espressione originale, due gradi sono 2 3 4-10 e (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. I loro valori devono essere calcolati prima di eseguire qualsiasi altro passaggio.
Cominciamo con una potenza di 2 3 4−10. Nel suo indicatore c'è un'espressione numerica, ne calcoliamo il valore: 3 4-10 = 12-10 = 2. Ora puoi trovare il valore del grado stesso: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.
Alla base e all'esponente (1-1 / 2) 3.5-2 abbiamo (1-1 / 2) 3.5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.
Ora torniamo all'espressione originale, sostituiamo le potenze in essa con i loro valori e troviamo il valore dell'espressione di cui abbiamo bisogno: 2 3 4−10 + 16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.
Risposta:
2 3 4−10 + 16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 6.
Vale la pena notare che ci sono casi più comuni in cui è consigliabile condurre un preliminare semplificazione espressiva con poteri sulla base.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
A giudicare dagli esponenti in questa espressione, non è possibile ottenere i valori esatti degli esponenti. Proviamo a semplificare l'espressione originale, forse questo aiuterà a trovarne il significato. abbiamo 
Risposta:
.
I gradi nelle espressioni spesso vanno di pari passo con i logaritmi, ma parleremo di trovare i valori delle espressioni con i logaritmi in uno dei.
Trovare il valore di un'espressione con le frazioni
Le espressioni numeriche nella loro notazione possono contenere frazioni. Quando è necessario trovare il significato di tale espressione, le frazioni diverse dalle frazioni ordinarie dovrebbero essere sostituite con i loro valori prima di eseguire il resto dei passaggi.
Il numeratore e il denominatore delle frazioni (che sono diversi dalle frazioni ordinarie) possono contenere sia alcuni numeri che espressioni. Per calcolare il valore di tale frazione, è necessario calcolare il valore dell'espressione nel numeratore, calcolare il valore dell'espressione nel denominatore e quindi calcolare il valore della frazione stessa. Questo ordine è spiegato dal fatto che la frazione a/b, dove aeb sono alcune espressioni, è essenzialmente un quoziente della forma (a) :( b), poiché.
Consideriamo la soluzione di un esempio.
Esempio.
Trova il significato di un'espressione con le frazioni 
.
Soluzione.
Nell'espressione numerica originale, tre frazioni 
e . Per trovare il valore dell'espressione originale, abbiamo prima bisogno di queste frazioni, sostituirle con valori. Facciamolo.
Il numeratore e il denominatore della frazione contiene numeri. Per trovare il valore di tale frazione, sostituire la barra frazionaria con un segno di divisione ed eseguire questa azione: 
.
Il numeratore della frazione contiene l'espressione 7−2 · 3, il suo valore è facile da trovare: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. In questo modo, . Puoi procedere alla ricerca del valore della terza frazione.
La terza frazione nel numeratore e nel denominatore contiene espressioni numeriche, quindi, prima devi calcolare i loro valori e questo ti permetterà di trovare il valore della frazione stessa. abbiamo 
.
Resta da sostituire i valori trovati nell'espressione originale ed eseguire le azioni rimanenti:.
Risposta:
.
Spesso, quando trovi i valori delle espressioni con le frazioni, devi fare semplificazione delle espressioni frazionarie basato sull'esecuzione di azioni con frazioni e riduzioni di frazioni.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
La radice di cinque non è completamente estratta, quindi per trovare il valore dell'espressione originale, semplifichiamola prima. Per questo sbarazzarsi dell'irrazionalità al denominatore prima frazione: 
... Dopodiché, l'espressione originale assumerà la forma 
... Dopo aver sottratto le frazioni, le radici scompariranno, il che ci permetterà di trovare il valore dell'espressione inizialmente specificata:.
Risposta:
.
Con i logaritmi
Se l'espressione numerica contiene e se è possibile eliminarli, questo viene fatto prima di eseguire il resto delle azioni. Ad esempio, quando si trova il valore dell'espressione log 2 4 + 2 + 6 = 8.
Quando ci sono espressioni numeriche sotto il segno del logaritmo e / o alla sua base, vengono prima trovati i loro valori, dopodiché viene calcolato il valore del logaritmo. Ad esempio, considera un'espressione con un logaritmo della forma 
... Alla base del logaritmo e sotto il suo segno ci sono espressioni numeriche, troviamo i loro valori:. Ora troviamo il logaritmo, dopo di che completiamo i calcoli:.
Se i logaritmi non vengono calcolati esattamente, semplificare l'espressione iniziale utilizzandolo può aiutare a trovare il valore dell'espressione originale. Allo stesso tempo, è necessario avere una buona padronanza del materiale dell'articolo. conversione di espressioni logaritmiche.
Esempio.
Trova il valore di un'espressione con i logaritmi 
.
Soluzione.
Iniziamo calcolando il log 2 (log 2 256). Poiché 256 = 2 8, allora log 2 256 = 8, quindi log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.
I logaritmi di log 6 2 e log 6 3 possono essere raggruppati. La somma dei logaritmi di log 6 2 + log 6 3 è uguale al logaritmo del prodotto log 6 (2 3), quindi log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Ora occupiamoci della frazione. Per cominciare, riscriveremo la base del logaritmo al denominatore come una frazione ordinaria come 1/5, dopodiché utilizzeremo le proprietà dei logaritmi, che ci consentiranno di ottenere il valore della frazione: 
.
Resta solo da sostituire i risultati ottenuti nell'espressione originale e finire di trovarne il valore: 
Risposta:
Come trovo il valore di un'espressione trigonometrica?
Quando un'espressione numerica contiene o, ecc., I loro valori vengono calcolati prima di eseguire altre azioni. Se ci sono espressioni numeriche sotto il segno delle funzioni trigonometriche, i loro valori vengono prima calcolati, dopo di che vengono trovati i valori delle funzioni trigonometriche.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
Facendo riferimento all'articolo, otteniamo 
e cosπ = −1. Sostituiamo questi valori nell'espressione originale, prende la forma 
... Per trovare il suo valore, devi prima eseguire l'elevamento a potenza, quindi completare i calcoli:.
Risposta:
.
Va notato che il calcolo dei valori delle espressioni con seno, coseno, ecc. spesso richiede prima conversione dell'espressione trigonometrica.
Esempio.
Qual è il valore di un'espressione trigonometrica 
.
Soluzione.
Trasformiamo l'espressione originale usando, in questo caso, abbiamo bisogno della formula per il coseno di un doppio angolo e la formula per il coseno della somma: 
Le trasformazioni eseguite ci hanno aiutato a trovare il significato dell'espressione.
Risposta:
.
Caso generale
In generale, un'espressione numerica può contenere radici, potenze, frazioni, funzioni e parentesi. Trovare i valori di tali espressioni è fare quanto segue:
- prime radici, potenze, frazioni, ecc. sono sostituiti dai loro valori,
- ulteriori azioni tra parentesi,
- e in ordine da sinistra a destra, vengono eseguite le operazioni rimanenti: moltiplicazione e divisione, seguite da addizione e sottrazione.
Le azioni elencate vengono eseguite fino all'ottenimento del risultato finale.
Esempio.
Trova il significato dell'espressione 
.
Soluzione.
La forma di questa espressione è piuttosto complicata. In questa espressione vediamo frazione, radici, gradi, seno e logaritmo. Come trovi il suo significato?
Spostandoci lungo il record da sinistra a destra, ci imbattiamo in una frazione della forma 
... Sappiamo che quando lavoriamo con frazioni complesse, dobbiamo calcolare separatamente il valore del numeratore, separatamente - il denominatore e, infine, trovare il valore della frazione.
Al numeratore abbiamo una radice della forma 
... Per determinarne il valore, devi prima calcolare il valore dell'espressione radicale 
... C'è un seno qui. Possiamo trovare il suo valore solo dopo aver calcolato il valore dell'espressione 
... Possiamo farcela:. Allora, da dove e 
.
Il denominatore è semplice:.
In questo modo, 
.
Dopo aver sostituito questo risultato nell'espressione originale, assumerà la forma. L'espressione risultante contiene il grado. Per trovare il suo valore, devi prima trovare il valore dell'indicatore, abbiamo 
.
Così, .
Risposta:
.
Se non è possibile calcolare i valori esatti delle radici, dei gradi, ecc., Quindi puoi provare a sbarazzartene usando alcune trasformazioni, quindi tornare al calcolo del valore secondo lo schema indicato.
Modi razionali per calcolare i valori delle espressioni
Il calcolo dei valori delle espressioni numeriche richiede coerenza e cura. Sì, devi attenerti alla sequenza di azioni scritta nei paragrafi precedenti, ma non è necessario farlo alla cieca e meccanicamente. Con questo intendiamo che spesso è possibile razionalizzare il processo di ricerca del significato di un'espressione. Ad esempio, alcune proprietà delle azioni con numeri possono velocizzare e semplificare notevolmente la ricerca del valore di un'espressione.
Ad esempio, conosciamo questa proprietà della moltiplicazione: se uno dei fattori del prodotto è zero, allora il valore del prodotto è zero. Usando questa proprietà, possiamo subito dire che il valore dell'espressione 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36-2 4 + 456: 3 43) è uguale a zero. Se rispettassimo l'ordine standard di esecuzione delle azioni, prima dovremmo calcolare i valori delle espressioni voluminose tra parentesi, e questo richiederebbe molto tempo e il risultato sarebbe comunque zero.
È anche conveniente usare la proprietà della sottrazione di numeri uguali: se sottrai un numero uguale da un numero, il risultato sarà zero. Questa proprietà può essere considerata in modo più ampio: la differenza tra due espressioni numeriche identiche è zero. Ad esempio, senza valutare i valori delle espressioni tra parentesi, puoi trovare il valore dell'espressione (54 6-12 47362: 3) - (54 6-12 47362: 3), è uguale a zero, poiché l'espressione originale è la differenza delle stesse espressioni.
Trasformazioni identiche possono contribuire al calcolo razionale dei valori delle espressioni. Ad esempio, il raggruppamento di termini e fattori può essere utile e spesso vengono utilizzate anche le parentesi. Quindi il valore dell'espressione 53 5 + 53 7−53 11 + 5 è molto facile da trovare dopo aver messo il fattore 53 fuori dalle parentesi: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Il calcolo diretto richiederebbe molto più tempo.
In conclusione di questo paragrafo, prestiamo attenzione a un approccio razionale al calcolo dei valori delle espressioni con le frazioni: vengono cancellati gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore di una frazione. Ad esempio, annullando le stesse espressioni al numeratore e al denominatore di una frazione 
ti permette di trovare immediatamente il suo valore, che è 1/2.
Trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili
Il significato di un'espressione alfabetica e un'espressione con variabili si trova per valori specifici specificati di lettere e variabili. Cioè, stiamo parlando di trovare il valore di un'espressione letterale per determinati valori di lettere o di trovare il valore di un'espressione con variabili per valori selezionati di variabili.
La regola Trovare il valore di un'espressione letterale o di un'espressione con variabili per dati valori di lettere o valori selezionati di variabili è la seguente: è necessario sostituire questi valori di lettere o variabili nell'espressione originale e calcolare il valore dell'espressione numerica risultante, è il valore desiderato.
Esempio.
Valuta l'espressione 0,5 x − y in x = 2,4 e y = 5.
Soluzione.
Per trovare il valore richiesto dell'espressione, devi prima sostituire questi valori delle variabili nell'espressione originale, quindi eseguire i seguenti passaggi: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.
Risposta:
−3,8 .
In conclusione, notiamo che a volte l'esecuzione di trasformazioni di espressioni letterali ed espressioni con variabili consente di ottenere i loro valori, indipendentemente dai valori di lettere e variabili. Ad esempio, l'espressione x + 3 − x può essere semplificata, dopo di che diventa 3. Quindi, possiamo concludere che il valore dell'espressione x + 3 − x è uguale a 3 per qualsiasi valore della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti (ODV). Un altro esempio: il valore dell'espressione è uguale a 1 per tutti i valori positivi di x, quindi l'intervallo di valori validi della variabile x nell'espressione originale è l'insieme dei numeri positivi e l'uguaglianza avviene in questo gamma.
Bibliografia.
- Matematica: manuale. per 5cl. educazione generale. istituzioni / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21a ed., Cancellato. - M.: Mnemosina, 2007 .-- 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematica. Grado 6: libro di testo. per l'istruzione generale. istituzioni / [N. Ya. Vilenkin e altri]. - 22a ed., Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: studia. per 7cl. educazione generale. istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17a ed. - M.: Educazione, 2008 .-- 240 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: studia. per 8cl. educazione generale. istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2008 .-- 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: Grado 9: libro di testo. per l'istruzione generale. istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2009 .-- 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra e l'inizio dell'analisi: Libro di testo. per 10-11cl. educazione generale. istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; ed. A. N. Kolmogorov - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Espressione numericaÈ un qualsiasi record di numeri, segni aritmetici e parentesi. Un'espressione numerica può essere costituita da un solo numero. Ricordiamo che le principali operazioni aritmetiche sono “addizione”, “sottrazione”, “moltiplicazione” e “divisione”. Queste azioni corrispondono ai segni "+", "-", "∙", ":".
Naturalmente, per ottenere un'espressione numerica, la notazione dei numeri e dei segni aritmetici deve essere significativa. Quindi, ad esempio, una tale notazione 5: + ∙ non può essere definita un'espressione numerica, poiché si tratta di un insieme casuale di caratteri che non ha significato. Al contrario, 5 + 8 ∙ 9 è già una vera espressione numerica.
Il valore di un'espressione numerica.
Diciamo subito che se eseguiamo le azioni indicate in un'espressione numerica, otterremo come risultato un numero. Questo numero si chiama il valore di un'espressione numerica.
Proviamo a calcolare cosa otteniamo come risultato dell'esecuzione delle azioni del nostro esempio. In base all'ordine in cui vengono eseguite le operazioni aritmetiche, eseguiamo prima l'operazione di moltiplicazione. Moltiplica 8 per 9. Ottieni 72. Ora aggiungi 72 e 5. Ottieni 77.
Quindi 77 - senso espressione numerica 5 + 8 ∙ 9.
Uguaglianza numerica.
Puoi scriverlo in questo modo: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Qui abbiamo usato prima il segno "=" ("Uguale"). Tale notazione, in cui due espressioni numeriche sono separate dal segno "=", si chiama uguaglianza numerica... Inoltre, se i valori dei lati sinistro e destro dell'uguaglianza coincidono, viene chiamata l'uguaglianza fedele... 5 + 8 ∙ 9 = 77 - vera uguaglianza.
Se scriviamo 5 + 8 ∙ 9 = 100, allora sarà già falsa uguaglianza, poiché i valori dei lati sinistro e destro di questa uguaglianza non coincidono più.
Va notato che in un'espressione numerica, possiamo anche usare le parentesi. Le parentesi influiscono sull'ordine in cui vengono eseguite le azioni. Quindi, per esempio, modifichiamo il nostro esempio aggiungendo parentesi: (5 + 8) ∙ 9. Ora, prima devi aggiungere 5 e 8. Otteniamo 13. E poi moltiplichiamo 13 per 9. Otteniamo 117. Quindi, ( 5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – senso espressione numerica (5 + 8) ∙ 9.
Per leggere correttamente un'espressione, è necessario determinare quale azione viene eseguita per ultima per calcolare il valore di una determinata espressione numerica. Quindi, se l'ultima azione è la sottrazione, l'espressione si chiama "differenza". Di conseguenza, se l'ultima azione è somma - "somma", divisione - "quoziente", moltiplicazione - "prodotto", elevazione a potenza - "grado".
Ad esempio, l'espressione numerica (1 + 5) (10-3) si legge così: "il prodotto della somma dei numeri 1 e 5 per la differenza tra i numeri 10 e 3".
Esempi di espressioni numeriche.
Ecco un esempio di un'espressione numerica più complessa:
\ [\ sinistra (\ frac (1) (4) +3,75 \ destra): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ punto centrale 0,5) \]
Questa espressione numerica utilizza numeri primi, frazioni e decimali. Vengono utilizzati anche i segni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. La barra della frazione sostituisce anche il segno di divisione. Nonostante l'apparente complessità, è abbastanza facile trovare il valore di questa espressione numerica. La cosa principale è essere in grado di eseguire operazioni con le frazioni, nonché eseguire calcoli con attenzione e precisione, osservando l'ordine di esecuzione delle azioni.
Tra parentesi abbiamo l'espressione $ \ frac (1) (4) + 3.75 $. Converti il decimale 3,75 in una frazione.
$ 3,75 = 3 \ frac (75) (100) = 3 \ frac (3) (4) $
Così, $ \ frac (1) (4) + 3.75 = \ frac (1) (4) +3 \ frac (3) (4) = 4 $
Inoltre, al numeratore della frazione \ [\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ punto centrale 0,5) \] abbiamo l'espressione 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Per semplificare questa espressione, applichiamo la legge di spostamento dell'addizione, che dice: "La somma non cambia dal cambio di posto dei termini". Cioè, 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 = 6 + 2 = 8.
Al denominatore della frazione, l'espressione $ 4 \ punto centrale 0,5 = 4 \ punto centrale \ frac (1) (2) = 4: 2 = 2 $
Noi abbiamo $ \ sinistra (\ frac (1) (4) +3,75 \ destra): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ punto centrale 0,5) = 4: \ frac (8) (2) = 4: 4 = 1 $
Quando le espressioni numeriche sono prive di significato?
Facciamo un altro esempio. Al denominatore della frazione $ \ frac (5 + 5) (3 \ punto centrale 3-9) $ il valore dell'espressione $ 3 \ centerdot 3-9 $ è 0. E, come sappiamo, la divisione per zero è impossibile. Pertanto, la frazione $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ non ha valore. Le espressioni numeriche che non hanno significato sono dette "senza significato".
Se nell'espressione numerica, oltre ai numeri, usiamo le lettere, allora otterremo già
