§ 10. Fattorizzazione dei polinomi mediante il metodo mettendo il fattore comune tra parentesi
In prima media abbiamo scomposto i numeri compositi in fattori primi, ovvero abbiamo presentato i numeri naturali come un prodotto. Ad esempio, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dott.
Alcuni polinomi possono anche essere rappresentati come prodotti. Ciò significa che questi polinomi possono essere fattorizzati. Ad esempio, 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 e 3a 2 = a 2 (a + 3) e simili.
Consideriamo uno dei modi per fattorizzare i polinomi: togliere il fattore comune tra parentesi. Uno degli esempi di tale espansione a noi noti è la proprietà distributiva della moltiplicazione a(b + c) = ab + ac, se scritta in ordine inverso: ab + ac - a(b + c). Ciò significa che il polinomio ab+ac è stato scomposto in due fattori aeb+c.
Quando si fattorizzano polinomi con coefficienti interi, il fattore tolto dalle parentesi viene scelto in modo tale che i termini del polinomio rimasto tra parentesi non abbiano un fattore di lettere comune e i moduli dei loro coefficienti non abbiano divisori comuni.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 1. Fattorizza l'espressione:
3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.
R a s i z a n i .
1) Il divisore comune è il numero 4, quindi
8m+4= 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Il divisore comune è quindi la variabile a
a + 7ap = a(t + 7p).
3) In questo caso, il fattore numerico comune è il massimo comun divisore dei numeri 10 e 15 - il numero 5, e il fattore letterale comune è il monomio a 2 b. COSÌ,
15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).
Esempio 2. Fattore in:
1) 2m(b - s) + 3р(b - s);
2) x(y - t) + c(t - c).
R az v’ i z a n n i.
1) In questo caso il divisore comune è il binomio b = c.
Pertanto, 2m( B - Con) + 3р( B - C) = (b - с)(2m + 3р).
2) I termini hanno fattori in - t e t - in, che sono espressioni opposte. Pertanto, nel secondo termine, togliendo il fattore -1 tra parentesi, otteniamo: c(t - в) = -с(у - t).
Pertanto, x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).
Per verificare la correttezza della fattorizzazione, è necessario moltiplicare i fattori risultanti. Il risultato deve essere uguale al polinomio indicato.
La fattorizzazione dei polinomi spesso semplifica il processo di risoluzione di un'equazione.
Esempio 3. Trova le radici dell'equazione 5x 2 - 7x = 0.
R az v’ i z a n n i. Fattorizziamo il membro sinistro dell'equazione togliendo tra parentesi il fattore comune: x(5x - 7) = 0. Considerando che il prodotto è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero, avrà: x = 0 oppure 5x - 7 = 0, da cui x = 0 oppure x = 1.4.
Risposta: 0; 1.4.
Quale trasformazione è chiamata fattorizzazione di un polinomio? Usando l'esempio del polinomio ab + ac, spiega come viene eseguita la fattorizzazione mettendo il fattore comune fuori parentesi.
- (Orale) Trova il fattore comune nell'espressione:
- (Orale) Fattore in:
- Togli il fattore comune tra parentesi:
- (Oralmente) ha eseguito correttamente le fattorizzazioni:
1) 7a + 7 = 7a;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2a - 2 = 2(a - 1);
4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
- Scrivi l'importo come prodotto:
- Consideralo:
- Consideralo:
4) 7a + 21ay;
5) 9x2 - 27x;
6) 3a - 9a 2;
8) 12ax - 4a 2;
9) -18xy+24v2;
10) a2b - ab2 ;
11) rm - p 2 m;
12) -x2y2-xy.
- Togli il fattore comune tra parentesi:
4) 15xy + 5x;
6) 15m - 30m2;
7) 9xy+6x2;
9) -p 2 q - pq 2.
- Consideralo:
5) 3b2 - 9b3;
7) 4 anni 2 + 12 anni 4 ;
8) 5m5 + 15m2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Consideralo:
4) 18p3 - 12p2;
5) 14b3 + 7b4;
6) -25m 3 - 20m.
- Scrivi la somma 6x 2 in + 15x come prodotto e trova il suo valore se x = -0,5, y = 5.
- Scrivi l'espressione 12a 2 b - 8a come prodotto e trova il suo valore se a = 2, 6 = .
- Togli il fattore comune tra parentesi:
1) un 4 + un 3 - un 2;
2) m9 - m2 + m7;
3) b6 + b5 - b9 ;
4) - alle 7 - alle 12 - alle 3.
- Presentatelo come un prodotto:
1) p7 + p3 - p4;
2) un 10 - un 5 + un 8;
3) b7 - b5 - b2;
4) -m 8 - m 2 - m 4.
- Calcola in modo conveniente:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Risolvi l'equazione:
1)x2 - 2x = 0;
2)x2 + 4x = 0.
- Trova le radici dell'equazione:
1)x2+3x = 0;
2)x2-7x = 0.
1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;
3) 16m2 - 24m 6 - 22m3;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.
- Togli il fattore comune tra parentesi:
1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3.
- Togli il fattore comune tra parentesi:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12a2b - 18ab2 + 30ab3;
3) 8x 2 e 2 - 4x 3 pollici 5 + 12x 4 pollici 3;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15 pq 3.
- Fattorizza il polinomio:
1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;
2) 12b 2 pollici - 18b 3 - 30b 4 pollici;
3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;
4) 60m 4 n 3 - 45 m 2 n 4 + 30 m 3 n 5.
- Calcola in modo conveniente:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Trova il significato dell'espressione:
1) 4,23 a - a 2, se a = 5,23;
2) x 2 y + x 3, se x = 2,51, b = -2,51;
3) am 5 - m 6, se = -1, a = -5;
4) -xy - x 2, se x = 2,7, b = 7,3.
- Trova il significato dell'espressione:
1) 9,11 a + a 2, se a = -10,11;
2) 5x 2 + 5a 2 x, se a = ; x = .
- Fattorizza il polinomio:
1) 2p(x - y) + q(x - y);
2) a(x + y) - (x + y);
3) (a - 7) - b(a - 7);
4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;
5) (x + 2) 2 - x(x + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
- Esprimi l'espressione come prodotto:
1) a(x - y) + b(y - x);
2) g(b - 5) - n(5 - b);
3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);
4) (x - y) 2 - a(y - x);
5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);
6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).
- Consideralo:
1) 3x(b - 2) + y(b - 2);
2) (m2 - 3) - x(m2 - 3);
3) a(b - 9) + c(9 - b);
4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;
5) (s - m) 2 - 5(m - s);
6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.
- Trova le radici dell'equazione:
1) 4x2 - x = 0;
2) 7x2 + 28x = 0;
3) x2 + x = 0;
4)x2 - x = 0.
- Risolvi l'equazione:
1) 12x2 + x = 0;
2) 0,2x2 - 2x = 0;
3) x2 - x = 0;
4) 1 - x 2 + - x = 0.
- Risolvi l'equazione:
1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;
2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.
- Risolvi l'equazione:
1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;
2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.
1) 17 3 + 17 2 è un multiplo di 18;
2) 9 14 - 81 6 è un multiplo di 80.
- Dimostrare che il significato dell'espressione è:
1) 39 9 - 39 8 si divide per 38;
2) 49 5 - 7 8 è diviso per 48.
- Togli il fattore comune tra parentesi:
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18a + 27b) 2 .
- Trova le radici dell'equazione:
1) x(x - 3) = 7x - 21;
2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.
- Risolvi l'equazione:
1) x(x - 2) = 4x - 8;
2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.
- Dimostrare che il numero:
1) 10 4 + 5 3 è divisibile per 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 si divide per 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 si divide per 25;
4) 21 3 + 14 a - 7 3 si divide per 34.
Esercizi da ripetere
- Semplifica l'espressione e trovane il significato:
1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, se x = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, se m = 7, n = -1.
- Scrivi i seguenti coefficienti monomiali invece degli asterischi in modo che l'uguaglianza si trasformi in un'identità:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.
- La lunghezza di un rettangolo è tre volte la sua larghezza. Se la lunghezza di un rettangolo viene ridotta di 5 cm, la sua area diminuirà di 40 cm 2. Trova la lunghezza e la larghezza del rettangolo.
Compiti interessanti per gli studenti pigri
È noto che l'a< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| e |b|< |с|?
Nell'ambito dello studio delle trasformazioni identitarie, il tema dell'eliminazione del fattore comune tra parentesi è molto importante. In questo articolo spiegheremo cos'è esattamente tale trasformazione, ricaveremo la regola di base e analizzeremo esempi tipici di problemi.
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Il concetto di togliere un fattore tra parentesi
Per applicare con successo questa trasformazione, devi sapere per quali espressioni viene utilizzata e quale risultato vuoi ottenere alla fine. Chiariamo questi punti.
Puoi togliere il fattore comune tra parentesi nelle espressioni che rappresentano somme in cui ogni termine è un prodotto e in ogni prodotto c'è un fattore comune (lo stesso) per tutti. Questo è chiamato il fattore comune. È questo che toglieremo dalle parentesi. Quindi, se abbiamo dei lavori 5 3 E 5 4, allora possiamo togliere il fattore comune 5 tra parentesi.
In cosa consiste questa trasformazione? Durante questo, rappresentiamo l'espressione originale come il prodotto di un fattore comune e un'espressione tra parentesi contenente la somma di tutti i termini originali tranne il fattore comune.
Prendiamo l'esempio sopra riportato. Aggiungiamo un fattore comune pari a 5 a 5 3 E 5 4 e otteniamo 5 (3 + 4) . L'espressione finale è il prodotto del fattore comune 5 per l'espressione tra parentesi, che è la somma dei termini originali senza 5.
Questa trasformazione si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione, che abbiamo già studiato in precedenza. In forma letterale può essere scritto come un (b + c) = un b + un c. Sostituendo il lato destro con il sinistro, vedremo uno schema per togliere il fattore comune dalle parentesi.
La regola per togliere il fattore comune dalle parentesi
Utilizzando tutto quanto detto sopra, deriviamo la regola base per tale trasformazione:
Definizione 1
Per rimuovere il fattore comune dalle parentesi, è necessario scrivere l'espressione originale come il prodotto del fattore comune e delle parentesi che includono la somma originale senza il fattore comune.
Esempio 1
Facciamo un semplice esempio di rendering. Abbiamo un'espressione numerica 3 7 + 3 2 − 3 5, che è la somma di tre termini 3 · 7, 3 · 2 e un divisore comune 3. Prendendo come base la regola che abbiamo derivato, scriviamo il prodotto come 3 (7 + 2 - 5). Questo è il risultato della nostra trasformazione. L'intera soluzione è simile alla seguente: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).
Possiamo mettere il fattore tra parentesi non solo nelle espressioni numeriche, ma anche in quelle letterali. Ad esempio, nel 3×−7×+2 puoi estrarre la variabile x e ottenere 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, nell'espressione (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- fattore comune (x2+y) e arrivi alla fine (x 2 + y) · (x · y − x 3).
Non è sempre possibile determinare immediatamente quale fattore sia comune. A volte un'espressione deve prima essere trasformata sostituendo numeri ed espressioni con prodotti identicamente uguali.
Esempio 2
Quindi, ad esempio, nell'espressione 6 x + 4 anniè possibile ricavare un fattore comune 2 che non è scritto esplicitamente. Per trovarlo dobbiamo trasformare l'espressione originale, rappresentando sei come 2 · 3 e quattro come 2 · 2. Questo è 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). O nell'espressione x3+x2+3x possiamo togliere dalle parentesi il fattore comune x, che si rivela dopo la sostituzione x3 SU x · x 2 . Questa trasformazione è possibile grazie alle proprietà di base della laurea. Di conseguenza, otteniamo l'espressione x(x2+x+3).
Un altro caso che dovrebbe essere discusso separatamente è la rimozione del segno meno tra parentesi. Quindi non eliminiamo il segno stesso, ma meno uno. Ad esempio, trasformiamo l'espressione in questo modo − 5 − 12 x + 4 x y. Riscriviamo l'espressione come (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, in modo che il moltiplicatore complessivo sia più chiaramente visibile. Togliamolo dalle parentesi e otteniamo − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Questo esempio mostra che tra parentesi si ottiene lo stesso importo, ma con segni opposti.
In conclusione, notiamo che la trasformazione mettendo il fattore comune fuori parentesi è molto spesso utilizzata nella pratica, ad esempio, per calcolare il valore delle espressioni razionali. Questo metodo è utile anche quando è necessario rappresentare un'espressione come prodotto, ad esempio per scomporre un polinomio in fattori singoli.
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Chichaeva Darina 8a elementare
Nel lavoro, uno studente di terza media ha descritto la regola per fattorizzare un polinomio mettendo il fattore comune tra parentesi con una procedura dettagliata per risolvere molti esempi su questo argomento. Per ogni esempio analizzato vengono proposti 2 esempi di soluzioni indipendenti, a cui sono presenti risposte. Il lavoro aiuterà a studiare questo argomento per quegli studenti che, per qualche motivo, non lo hanno padroneggiato durante il superamento del materiale del programma di 7a elementare e (o) quando hanno ripetuto il corso di algebra in 8a elementare dopo le vacanze estive.
Scaricamento:
Anteprima:
Istituzione educativa di bilancio comunale
scuola secondaria n. 32
"Scuola Associata UNESCO "Eureka Development"
Volzhsky, regione di Volgograd
Lavoro completato:
Studente della classe 8B
Chichaeva Darina
Volzhsky
2014
Togliendo il fattore comune tra parentesi
- - Un modo per fattorizzare un polinomio èmettendo il fattore comune tra parentesi;
- - Quando si toglie il moltiplicatore generale dalle parentesi, viene applicatoproprietà distributiva;
- - Se tutti i termini di un polinomio contengono fattore comune quindi questo fattore può essere tolto tra parentesi.
Quando si risolvono equazioni, calcoli e una serie di altri problemi, può essere utile sostituire un polinomio con il prodotto di più polinomi (che possono includere monomi). Rappresentare un polinomio come prodotto di due o più polinomi è detto fattorizzare il polinomio.
Considera il polinomio 6a2b+15b2 . Ciascuno dei suoi termini può essere sostituito dal prodotto di due fattori, uno dei quali è uguale a 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →da ciò otteniamo: 6a2b+15b2 =3b*2a2+3b*5b.
L'espressione risultante basata sulla proprietà di distribuzione della moltiplicazione può essere rappresentata come un prodotto di due fattori. Uno di questi è il moltiplicatore comune 3b e l'altro è l'importo 2a 2 e 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Quindi, abbiamo espanso il polinomio: 6a2b+15b2 in fattori, rappresentandolo come il prodotto di un monomio 3b e il polinomio 2a 2 +5b. Questo metodo di fattorizzazione di un polinomio è detto estrazione del fattore comune tra parentesi.
Esempi:
Consideralo:
A) kx-px.
Moltiplicatore x x lo mettiamo tra parentesi.
kx:x=k; px:x=p.
Otteniamo: kx-px=x*(k-p).
b) 4a-4b.
Moltiplicatore 4 esiste sia nel 1° che nel 2° termine. Ecco perché 4 lo mettiamo tra parentesi.
4a:4=a; 4b:4=b.
Otteniamo: 4a-4b=4*(a-b).
c) -9m-27n.
9m e -27n sono divisibili per -9 . Pertanto togliamo il fattore numerico tra parentesi-9.
9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.
Abbiamo: -9m-27n=-9*(m+3n).
d) 5 anni 2 -15 anni.
5 e 15 sono divisibili per 5; y 2 e y sono divisi per y.
Pertanto togliamo il fattore comune tra parentesi 5u.
5a 2 : 5a=a; -15 anni: 5 anni=-3.
Quindi: 5a 2 -15a=5a*(y-3).
Commento: Da due gradi con la stessa base si toglie il grado con esponente più piccolo.
e) 16°3 +12°2.
16 e 12 sono divisibili per 4; y 3 e y 2 sono divisi per y 2.
Quindi, il fattore comune 4 anni 2 .
16a 3 : 4a 2 =4a; 12 anni 2 : 4 anni 2 = 3.
Di conseguenza otteniamo: 16a3 +12a2 =4a2 *(4a+3).
f) Fattorizzare il polinomio 8b(7y+a)+n(7y+a).
In questa espressione vediamo che è presente lo stesso fattore(7 anni+anno) , che può essere tolto dalle parentesi. Quindi, otteniamo:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).
g) a(b-c)+d(c-b).
Espressioni b-c e c-b sono opposti. Pertanto, per renderli uguali, prima d cambiare il segno “+” in “-”:
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).
Esempi di soluzioni indipendenti:
- mx+mio;
- ah+sì;
- 5x+5 anni ;
- 12x+48 anni;
- 7ax+7bx;
- 14x+21 anni;
- –ma-a;
- 8mn-4m2;
- -12 anni 4 -16 anni;
- 15 anni 3 -30 anni 2;
- 5c(y-2c)+y2(y-2c);
- 8m(a-3)+n(a-3);
- x(y-5)-y(5-y);
- 3a(2x-7)+5b(7-2x);
Risposte.
1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -а(m+1); 8) 4m(2nm);
9) -4a(3a 3 +4); 10) 15y 2 (y-2); 11) (y-2c)(5c+y 2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).
Definizione 1
Innanzitutto ricordiamolo Regole per moltiplicare un monomio per un monomio:
Per moltiplicare un monomio per un monomio, devi prima moltiplicare i coefficienti dei monomi, poi, utilizzando la regola della moltiplicazione delle potenze con la stessa base, moltiplicare le variabili comprese nei monomi.
Esempio 1
Trova il prodotto dei monomi $(2x)^3y^2z$ e $(\frac(3)(4)x)^2y^4$
Soluzione:
Innanzitutto, calcoliamo il prodotto dei coefficienti
$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ in questa attività abbiamo utilizzato la regola per moltiplicare un numero per una frazione: per moltiplicare un numero intero per una frazione, è necessario moltiplicare il numero per il numeratore della frazione e mettere il denominatore senza modifiche
Ora usiamo la proprietà di base di una frazione: il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere divisi per lo stesso numero, diverso da $0$. Dividiamo il numeratore e il denominatore di questa frazione per $2$, ovvero riduciamo questa frazione di $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$
Il risultato risultante risultò essere una frazione impropria, cioè quella in cui il numeratore è maggiore del denominatore.
Trasformiamo questa frazione isolando l'intera parte. Ricordiamo che per isolare una parte intera è necessario scrivere il resto della divisione nel numeratore della parte frazionaria, il divisore nel denominatore.
Abbiamo trovato il coefficiente del prodotto futuro.
Ora moltiplicheremo in sequenza le variabili $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cpunto y^4 =y^6$. Qui abbiamo utilizzato la regola per moltiplicare le potenze con la stessa base: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$
Quindi il risultato della moltiplicazione dei monomi sarà:
$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.
Quindi, in base a questa regola, puoi eseguire la seguente attività:
Esempio 2
Rappresenta un dato polinomio come il prodotto di un polinomio e un monomio $(4x)^3y+8x^2$
Rappresentiamo ciascuno dei monomi compresi nel polinomio come il prodotto di due monomi in modo da isolare un monomio comune, che sarà un fattore sia nel primo che nel secondo monomio.
Innanzitutto, iniziamo con il primo monomio $(4x)^3y$. Fattorizziamo il suo coefficiente in fattori semplici: $4=2\cdot 2$. Faremo lo stesso con il coefficiente del secondo monomio $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Nota che due fattori $2\cdot 2$ sono inclusi sia nel primo che nel secondo coefficiente, il che significa $2\cdot 2=4$ - questo numero sarà incluso nel monomio generale come coefficiente
Notiamo ora che nel primo monomio c'è $x^3$, e nel secondo c'è la stessa variabile elevata a $2:x^2$. Ciò significa che è conveniente rappresentare la variabile $x^3$ in questo modo:
La variabile $y$ è inclusa in un solo termine del polinomio, il che significa che non può essere inclusa nel monomio generale.
Immaginiamo il primo e il secondo monomio compresi nel polinomio come un prodotto:
$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Nota che il monomio comune, che sarà un fattore sia nel primo che nel secondo monomio, è $4x^2$.
$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Ora applichiamo la legge distributiva della moltiplicazione, quindi l'espressione risultante può essere rappresentata come un prodotto di due fattori. Uno dei moltiplicatori sarà il moltiplicatore totale: $4x^2$ e l'altro sarà la somma dei moltiplicatori rimanenti: $xy + 2$. Significa:
$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Questo metodo si chiama fattorizzazione eliminando un fattore comune.
Il fattore comune in questo caso era il monomio $4x^2$.
Algoritmo
Nota 1
Trova il massimo comun divisore dei coefficienti di tutti i monomi inclusi nel polinomio: sarà il coefficiente del fattore comune-monomio, che metteremo tra parentesi
Un monomio costituito dal coefficiente di cui al paragrafo 2 e dalle variabili di cui al paragrafo 3 sarà un fattore comune. che può essere tolto tra parentesi come fattore comune.
Esempio 3
Elimina il divisore comune $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$
Soluzione:
Troviamo il mcd dei coefficienti; per questo scomporremo i coefficienti in fattori semplici
$45=3\cdot 3\cdot 5$
E troviamo il prodotto di quelli compresi nell'espansione di ciascuno:
Identifica le variabili che compongono ciascun monomio e seleziona la variabile con l'esponente più piccolo
$a^3=a^2\cdot a$
La variabile $b$ è inclusa solo nel secondo e terzo monomio, il che significa che non sarà inclusa nel divisore comune.
Componiamo un monomio costituito dal coefficiente trovato nel passaggio 2, le variabili trovate nel passaggio 3, otteniamo: $3a$ - questo sarà il fattore comune. Poi:
$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
