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Sistemi di numerazione
Esistono sistemi numerici posizionali e non posizionali. Il sistema di numerazione arabo che usiamo nella vita di tutti i giorni è posizionale, ma quello romano non lo è. Nei sistemi di numerazione posizionale, la posizione di un numero determina in modo univoco la grandezza del numero. Diamo un'occhiata a questo usando il numero decimale 6372 come esempio. Enumeriamo questo numero da destra a sinistra partendo da zero:
Quindi il numero 6372 può essere rappresentato come segue:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Il numero 10 definisce il sistema di numerazione (in questo caso è 10). I valori della posizione del numero dato sono presi come gradi.
Considera il numero decimale reale 1287.923. Numeriamolo partendo dalla posizione zero del numero dalla virgola a sinistra e a destra:
Quindi il numero 1287.923 può essere rappresentato come:
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
In generale, la formula può essere rappresentata come segue:
C n S n + C n-1 S n-1 + ... + C 1 S 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
dove n è un numero intero in posizione n, Д -k - numero frazionario in posizione (-k), S- sistema di numerazione.
Qualche parola sui sistemi numerici Il numero nel sistema numerico decimale è costituito da molte cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), nel sistema numerico ottale - dall'insieme di numeri (0,1, 2,3,4,5,6,7), nel sistema numerico binario - dall'insieme dei numeri (0,1), nel sistema numerico esadecimale - dall'insieme dei numeri (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), dove A, B, C, D, E, F corrispondono ai numeri 10,11 ,12,13,14,15 vengono presentati i numeri in diversi sistemi di numerazione.
| Tabella 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notazione | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversione di numeri da un sistema di numerazione a un altro
Per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro, il modo più semplice è convertire prima il numero nel sistema numerico decimale, quindi, dal sistema numerico decimale, tradurlo nel sistema numerico richiesto.
Conversione di numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale
Usando la formula (1), puoi convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale.
Esempio 1. Converti il numero 1011101.001 da notazione binaria (SS) a SS decimale. Soluzione:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Esempio2. Converti 1011101.001 dal sistema numerico ottale (SS) a SS decimale. Soluzione:
Esempio 3 ... Converti il numero AB572.CDF da base esadecimale a decimale SS. Soluzione:
Qui UN-sostituito da 10, B- alle 11, C- alle 12, F- entro le 15.
Conversione di numeri da un sistema di numerazione decimale a un altro sistema di numerazione
Per convertire i numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico, è necessario tradurre separatamente la parte intera del numero e la parte frazionaria del numero.
L'intera parte del numero viene trasferita dalla SS decimale a un altro sistema numerico - dividendo in sequenza l'intera parte del numero per la base del sistema numerico (per una SS binaria - per 2, per una SS 8-aria - per 8, per un 16-ario - per 16, ecc.) ) fino ad ottenere un residuo intero, inferiore alla base CC.
Esempio 4 ... Convertiamo il numero 159 da SS decimale a SS binario:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Come si vede dalla Fig. 1, il numero 159 diviso per 2 dà il quoziente 79 e il resto 1. Inoltre il numero 79 diviso per 2 dà il quoziente 39 e il resto 1, ecc. Di conseguenza, dopo aver costruito un numero dal resto della divisione (da destra a sinistra), otteniamo il numero nel binario SS: 10011111 ... Pertanto, possiamo scrivere:
159 10 =10011111 2 .
Esempio 5 ... Convertiamo il numero 615 da SS decimale a SS ottale.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Quando si converte un numero da SS decimale a SS ottale, è necessario dividere in sequenza il numero per 8 fino a ottenere un intero resto inferiore a 8. Di conseguenza, costruendo il numero dai resti della divisione (da destra a sinistra), otteniamo il numero in SS ottale: 1147 (vedi figura 2). Pertanto, possiamo scrivere:
615 10 =1147 8 .
Esempio 6 ... Converti il numero 19673 da decimale a esadecimale SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Come si può vedere dalla Figura 3, dividendo sequenzialmente 19673 per 16, abbiamo ottenuto i resti 4, 12, 13, 9. Nel sistema esadecimale, il numero 12 corrisponde a C, il numero 13 a D. Pertanto, il nostro numero esadecimale è 4CD9.
Per convertire le frazioni decimali corrette (un numero reale con una parte intera zero) nella base s, questo numero deve essere moltiplicato in sequenza per s fino a ottenere uno zero puro nella parte frazionaria, o otteniamo il numero di cifre richiesto. Se, durante la moltiplicazione, si ottiene un numero con una parte intera diversa da zero, questa parte intera non viene presa in considerazione (vengono aggiunti in sequenza al risultato).
Consideriamo quanto sopra con esempi.
Esempio 7 ... Converti il numero 0.214 da decimale a binario SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Come si può vedere dalla Fig. 4, il numero 0.214 viene sequenzialmente moltiplicato per 2. Se la moltiplicazione risulta in un numero diverso da zero con una parte intera, allora la parte intera viene scritta separatamente (a sinistra del numero) e il numero si scrive con una parte intera nulla. Se, moltiplicando, si ottiene un numero con una parte intera zero, viene scritto zero a sinistra di esso. Il processo di moltiplicazione continua finché non si ottiene uno zero puro nella parte frazionaria o si ottiene il numero di cifre richiesto. Scrivendo i numeri in grassetto (Fig. 4) dall'alto verso il basso, otteniamo il numero richiesto nel sistema numerico binario: 0. 0011011 .
Pertanto, possiamo scrivere:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Esempio 8 ... Convertiamo il numero 0,125 dal sistema numerico decimale al binario SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Per convertire il numero 0,125 da decimale SS a binario, questo numero viene moltiplicato in sequenza per 2. Nella terza fase, è risultato 0. Pertanto, è stato ottenuto il seguente risultato:
0.125 10 =0.001 2 .
Esempio 9 ... Convertiamo il numero 0.214 da decimale a esadecimale SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Seguendo gli esempi 4 e 5, otteniamo i numeri 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ma nell'esadecimale SS, i numeri 12 e 11 corrispondono ai numeri C e B. Pertanto, abbiamo:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Esempio 10 ... Conversione da decimale a decimale SS numero 0.512.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Ricevuto:
0.512 10 =0.406111 8 .
Esempio 11 ... Conversione del numero 159.125 da decimale a binario SS. Per fare ciò, traduciamo separatamente la parte intera del numero (Esempio 4) e la parte frazionaria del numero (Esempio 8). Inoltre, combinando questi risultati, otteniamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Esempio 12 ... Conversione del numero 19673.214 da decimale a esadecimale SS. Per fare ciò, traduciamo separatamente la parte intera del numero (Esempio 6) e la parte frazionaria del numero (Esempio 9). Inoltre, combinando questi risultati, otteniamo.
Diamo un'occhiata a uno degli argomenti più importanti in informatica -. Nel curriculum scolastico, si rivela piuttosto "modesta", molto probabilmente a causa della mancanza di ore ad esso assegnate. Conoscenza su questo argomento, specialmente su traduzione di sistemi numerici, sono un prerequisito per il superamento dell'Esame Unificato di Stato e per l'ammissione alle Università delle Facoltà di competenza. Di seguito sono discussi in dettaglio concetti come sistemi numerici posizionali e non posizionali, vengono forniti esempi di questi sistemi numerici, le regole per convertire numeri decimali interi, frazioni decimali regolari e numeri decimali misti in qualsiasi altro sistema numerico, convertire numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale, convertire da sistemi numerici ottali ed esadecimali in un numero binario sistema sono presentati. Durante gli esami, ci sono un gran numero di problemi su questo argomento. La capacità di risolverli è uno dei requisiti per i candidati. Prossimamente: per ogni argomento della sezione, oltre al materiale teorico dettagliato, verranno presentate quasi tutte le opzioni possibili compiti per l'autoapprendimento. Inoltre, avrai l'opportunità di scaricare gratuitamente soluzioni dettagliate completamente pronte a questi problemi dal servizio di file hosting, illustrando vari modi per ottenere la risposta giusta.
sistemi numerici posizionali.
Sistemi di numerazione non posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.
I sistemi numerici non posizionali includono, ad esempio, il romano, dove invece dei numeri ci sono lettere latine.
| io | 1 uno) |
| V | 5 (cinque) |
| X | 10 (dieci) |
| l | 50 (cinquanta) |
| C | 100 (cento) |
| D | 500 (cinquecento) |
| m | 1000 (migliaia) |
Qui la lettera V sta per 5 indipendentemente dalla sua posizione. Tuttavia, vale la pena ricordare che, sebbene il sistema numerico romano sia un classico esempio di sistema numerico non posizionale, non è completamente non posizionale, perché il numero più piccolo prima di quello più grande viene sottratto da esso:
| I L | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Sistemi numerici posizionali.
Sistemi di numerazione posizionale- sistemi numerici, in cui il valore quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero.
Ad esempio, se parliamo del sistema decimale, nel numero 700 il numero 7 significa "settecento", ma lo stesso numero nel numero 71 significa "sette decine" e nel numero 7020 - "settemila".
Ogni sistema numerico posizionale ha il suo base... Come base si sceglie un numero naturale maggiore o uguale a due. È uguale al numero di cifre utilizzate in questo sistema di numerazione.
- Ad esempio:
- Binario- numerazione posizionale a base 2.
- Quaternario- numerazione posizionale a base 4.
- quintuplo- numerazione posizionale a base 5.
- ottale- numerazione posizionale a base 8.
- Esadecimale- numerazione posizionale a base 16.
Per risolvere con successo problemi sull'argomento "Sistemi numerici", lo studente deve conoscere a memoria la corrispondenza dei numeri binari, decimali, ottali ed esadecimali fino a 16 10:
| 10 secondi / secondi | 2 secondi / secondi | 8 secondi / secondi | 16 secondi / secondi |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
È utile sapere come si ottengono i numeri in questi sistemi numerici. Potresti indovinare che in ottale, esadecimale, ternario e altri sistemi numerici posizionali tutto avviene in modo simile al sistema decimale a cui siamo abituati:
Uno viene aggiunto al numero e si ottiene un nuovo numero. Se il posto delle unità diventa uguale alla base del sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1, ecc.
Questa "unica transizione" è ciò che spaventa la maggior parte degli studenti. In effetti, tutto è abbastanza semplice. La transizione si verifica se il bit uni diventa uguale a base del sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1. Molti, ricordando il buon vecchio sistema decimale, si confondono istantaneamente nella cifra e in questa transizione, perché le decine decimali e, ad esempio, binarie sono cose diverse.
Quindi, gli studenti intraprendenti hanno "le proprie tecniche" (sorprendentemente ... funzionanti) quando riempiono, ad esempio, tabelle di verità, le cui prime colonne (valori delle variabili) di cui, infatti, sono riempite con numeri binari in ordine crescente .
Ad esempio, diamo un'occhiata a come inserire i numeri in sistema ottale: Al primo numero (0) aggiungiamo 1, otteniamo 1. Quindi aggiungiamo 1 a 1, otteniamo 2, ecc. a 7. Se aggiungiamo uno a 7, otteniamo un numero uguale alla base del sistema numerico, es. 8. Quindi è necessario aumentare il posto delle decine di uno (otteniamo un dieci ottale - 10). Inoltre, ovviamente, ci sono i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Regola di traduzione da un sistema di numerazione all'altro.
1 Conversione di numeri interi decimali in qualsiasi altro sistema di numerazione.
Il numero deve essere diviso per nuova radice... Il primo resto della divisione è la prima cifra meno significativa del nuovo numero. Se il quoziente di divisione è minore o uguale alla nuova base, allora (quoziente) deve essere diviso nuovamente in una nuova base. La divisione deve essere continuata finché non otteniamo il quoziente inferiore alla nuova base. Questa è la cifra più significativa del nuovo numero (è necessario ricordare che, ad esempio, nel sistema esadecimale, ci sono lettere dopo il 9, cioè se ottieni 11 nel resto, devi scriverlo come B).
Esempio ("divisione con un angolo"): Traduciamo il numero 173 10 nel sistema numerico ottale.
Quindi 173 10 = 255 8
2 Conversione di frazioni decimali corrette in qualsiasi altro sistema numerico.
Il numero deve essere moltiplicato per la nuova base del sistema di numerazione. La cifra che è passata alla parte intera è la cifra più significativa della parte frazionaria del nuovo numero. per ottenere la cifra successiva, la parte frazionaria del prodotto risultante deve essere nuovamente moltiplicata per la nuova base del sistema numerico fino a quando non avviene il passaggio alla parte intera. Continuiamo la moltiplicazione fino a quando la parte frazionaria diventa uguale a zero, o fino a raggiungere la precisione specificata nel problema ("... calcola con precisione, ad esempio, due cifre decimali").
Esempio: traduciamo il numero 0,65625 10 nel sistema numerico ottale.
Osservazione 1
Se vuoi tradurre un numero da un sistema numerico a un altro, è più conveniente tradurlo prima nel sistema numerico decimale e solo successivamente dal numero decimale a qualsiasi altro sistema numerico.
Regole per convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale
Nell'informatica, utilizzando l'aritmetica delle macchine, la conversione dei numeri da un sistema numerico a un altro gioca un ruolo importante. Di seguito sono riportate le regole di base per tali trasformazioni (traduzioni).
Quando si converte un numero binario in decimale, è necessario rappresentare il numero binario sotto forma di un polinomio, ogni cui elemento è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della potenza corrispondente del numero base, in questo caso $ 2 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Figura 1. Tabella 1
Esempio 1
Il numero $ 11110101_2 $ viene convertito in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella sopra di $ 1 $ gradi di base $ 2 $, rappresentiamo il numero sotto forma di polinomio:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Per convertire un numero dal sistema numerico ottale a decimale, è necessario rappresentarlo come un polinomio, ogni cui elemento è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della corrispondente potenza del numero base, in questo caso $ 8 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Figura 2. Tabella 2
Esempio 2
Il numero $ 75013_8 $ viene convertito in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella dei gradi $ 2 $ di base $ 8 $, rappresentiamo il numero sotto forma di polinomio:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Per convertire un numero dal sistema numerico esadecimale a decimale, è necessario rappresentarlo come un polinomio, ogni elemento del quale è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della corrispondente potenza del numero base, in questo caso $ 16 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Figura 3. Tabella 3
Esempio 3
Converti il numero $ FFA2_ (16) $ in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella sopra di $ 3 $ gradi di base $ 8 $, rappresentiamo il numero come un polinomio:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $
Regole per convertire i numeri da un sistema di numeri decimali a un altro
- Per convertire un numero da decimale a binario, deve essere diviso in sequenza per $ 2 $ finché non c'è un resto minore o uguale a $ 1 $. Un numero nel sistema binario è rappresentato come una sequenza dell'ultimo risultato della divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 4
Converti il numero $ 22_ (10) $ in notazione binaria.
Soluzione:
Figura 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Per convertire un numero da decimale a ottale, deve essere diviso in sequenza per $ 8 finché non c'è un resto minore o uguale a $ 7. Il numero ottale è rappresentato come una sequenza di cifre del risultato dell'ultima divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 5
Il numero $ 571_ (10) $ viene convertito in notazione ottale.
Soluzione:
Figura 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Per convertire un numero da decimale a esadecimale, deve essere diviso in sequenza per $ 16 fino a quando non c'è un resto minore o uguale a $ 15. Il numero nel sistema esadecimale è rappresentato come una sequenza di cifre dell'ultimo risultato della divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 6
Il numero $ 7467_ (10) $ viene convertito in notazione esadecimale.
Soluzione:
Figura 6.
$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $
Per convertire una frazione corretta dal sistema di numerazione decimale in una non decimale, è necessario moltiplicare in sequenza la parte frazionaria del numero da convertire per la base del sistema in cui si vuole convertire. La frazione nel nuovo sistema sarà presentata sotto forma di intere parti di opere, a partire dalla prima.
Ad esempio: $ 0,3125 _ ((10)) $ in ottale sarà simile a $ 0,24 _ ((8)) $.
In questo caso, potresti incontrare un problema quando una frazione infinita (periodica) in un sistema numerico non decimale può corrispondere a una frazione decimale finale. In questo caso, il numero di cifre della frazione presentata nel nuovo sistema dipenderà dalla precisione richiesta. Va anche notato che i numeri interi rimangono interi e le frazioni regolari rimangono frazioni in qualsiasi sistema numerico.
Regole per convertire i numeri da un sistema numerico binario a un altro
- Per convertire un numero da un sistema binario in ottale, è necessario dividerlo in triadi (terzine di cifre), iniziando dal bit meno significativo, integrando la triade senior con zeri se necessario, quindi sostituendo ciascuna triade con la corrispondente cifra ottale secondo alla tabella 4.
Figura 7. Tabella 4
Esempio 7
Converti il numero $ 1001011_2 $ in notazione ottale.
Soluzione... Usando la tabella 4, convertiamo il numero da binario a ottale:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Per convertire un numero da un sistema numerico binario in esadecimale, è necessario dividerlo in tetradi (quattro cifre), iniziando dal bit meno significativo, aggiungendo, se necessario, degli zeri a quello superiore, quindi sostituire ogni tetrade con la corrispondente cifra ottale secondo alla tabella 4.
1. Conto ordinale in vari sistemi di numerazione.
Nella vita moderna, utilizziamo sistemi numerici posizionali, ovvero sistemi in cui il numero indicato da un numero dipende dalla posizione del numero nel record del numero. Pertanto, in quanto segue parleremo solo di loro, omettendo il termine "posizionali".
Per imparare a tradurre i numeri da un sistema all'altro, capiamo come avviene la registrazione sequenziale dei numeri utilizzando come esempio il sistema decimale.
Poiché abbiamo un sistema di numeri decimali, abbiamo 10 caratteri (cifre) per costruire i numeri. Iniziamo il conteggio ordinale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I numeri sono finiti. Aumentiamo la capacità della cifra del numero e azzeriamo il bit meno significativo: 10. Quindi aumentiamo nuovamente il bit meno significativo finché tutte le cifre non si esauriscono: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Aumenta il bit più significativo di 1 e azzera quello meno significativo: 20. Quando usiamo tutte le cifre per entrambe le cifre (otteniamo il numero 99), aumentiamo nuovamente la capacità della cifra del numero e reimpostiamo le cifre esistenti: 100. E così via.
Proviamo a fare lo stesso nel 2°, 3° e 5° sistema (inseriremo la designazione per il 2° sistema, per il 3°, ecc.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Se il sistema numerico ha una base superiore a 10, dovremo inserire caratteri aggiuntivi, è consuetudine inserire lettere dell'alfabeto latino. Ad esempio, per il sistema a 12 ari, oltre a dieci cifre, abbiamo bisogno di due lettere (s):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversione da sistema di numerazione decimale a qualsiasi altro.
Per convertire un numero decimale intero positivo in un sistema numerico con una base diversa, devi dividere questo numero per la base. Dividi di nuovo il quoziente risultante per la base e ulteriormente finché il quoziente non è inferiore alla base. Di conseguenza, scrivi l'ultimo quoziente e tutti i resti a partire dall'ultimo su una riga.
Esempio 1. Conversione da decimale 46 a sistema di numeri binari.
Esempio 2. Conversione da decimale 672 a sistema di numerazione ottale.
Esempio 3. Converti il numero decimale 934 in notazione esadecimale.
3. Conversione da qualsiasi sistema numerico a decimale.
Per imparare a convertire i numeri da qualsiasi altro sistema in decimale, analizziamo la consueta notazione di un numero decimale.
Ad esempio, il numero decimale 325 è 5 unità, 2 decine e 3 centinaia, ad es.
La situazione è esattamente la stessa in altri sistemi numerici, solo che moltiplicheremo non per 10, 100, ecc., Ma per il grado della base del sistema numerico. Ad esempio, prendiamo il numero ternario 1201. Numeriamo le cifre da destra a sinistra partendo da zero e rappresentiamo il nostro numero come la somma dei prodotti di una cifra per un tre nel grado della cifra del numero:
Questa è la rappresentazione decimale del nostro numero, ad es.
Esempio 4. Conversione del numero ottale 511 in notazione decimale.
Esempio 5. Convertiamo il numero esadecimale 1151 nel sistema numerico decimale.
4. Conversione dal sistema binario al sistema con la base "potenza di due" (4, 8, 16, ecc.).
Per convertire un numero binario in un numero con base "potenza di due", è necessario dividere la sequenza binaria in gruppi in base al numero di cifre pari alla potenza da destra a sinistra e sostituire ogni gruppo con la corrispondente cifra di il nuovo sistema di numerazione.
Ad esempio, Converti binario 1100001111010110 in ottale. Per fare ciò, lo dividiamo in gruppi di 3 caratteri, partendo da destra (da), quindi utilizziamo la tabella delle corrispondenze e sostituiamo ogni gruppo con una nuova cifra:
Abbiamo imparato come costruire una tabella di corrispondenza nella clausola 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Quelli.
Esempio 6. Converti 1100001111010110 binario in numero esadecimale.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Trasferimento dal sistema con la base "potenza di due" (4, 8, 16, ecc.) al binario.
Questa traduzione è simile alla precedente, eseguita nella direzione opposta: sostituiamo ogni cifra con un gruppo di cifre nel sistema binario dalla tabella di ricerca.
Esempio 7. Traduciamo il numero esadecimale С3A6 in un sistema di numeri binari.
Per fare ciò, sostituire ogni cifra del numero con un gruppo di 4 cifre (dal) dalla tabella di corrispondenza, aggiungendo, se necessario, il gruppo con zeri all'inizio:
Osservazione 1
Se vuoi tradurre un numero da un sistema numerico a un altro, è più conveniente tradurlo prima nel sistema numerico decimale e solo successivamente dal numero decimale a qualsiasi altro sistema numerico.
Regole per convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico in decimale
Nell'informatica, utilizzando l'aritmetica delle macchine, la conversione dei numeri da un sistema numerico a un altro gioca un ruolo importante. Di seguito sono riportate le regole di base per tali trasformazioni (traduzioni).
Quando si converte un numero binario in decimale, è necessario rappresentare il numero binario sotto forma di un polinomio, ogni cui elemento è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della potenza corrispondente del numero base, in questo caso $ 2 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Figura 1. Tabella 1
Esempio 1
Il numero $ 11110101_2 $ viene convertito in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella sopra di $ 1 $ gradi di base $ 2 $, rappresentiamo il numero sotto forma di polinomio:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Per convertire un numero dal sistema numerico ottale a decimale, è necessario rappresentarlo come un polinomio, ogni cui elemento è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della corrispondente potenza del numero base, in questo caso $ 8 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Figura 2. Tabella 2
Esempio 2
Il numero $ 75013_8 $ viene convertito in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella dei gradi $ 2 $ di base $ 8 $, rappresentiamo il numero sotto forma di polinomio:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Per convertire un numero dal sistema numerico esadecimale a decimale, è necessario rappresentarlo come un polinomio, ogni elemento del quale è rappresentato come prodotto della cifra del numero e della corrispondente potenza del numero base, in questo caso $ 16 $, quindi è necessario calcolare il polinomio secondo le regole dell'aritmetica decimale:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Figura 3. Tabella 3
Esempio 3
Converti il numero $ FFA2_ (16) $ in notazione decimale.
Soluzione. Usando la tabella sopra di $ 3 $ gradi di base $ 8 $, rappresentiamo il numero come un polinomio:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $
Regole per convertire i numeri da un sistema di numeri decimali a un altro
- Per convertire un numero da decimale a binario, deve essere diviso in sequenza per $ 2 $ finché non c'è un resto minore o uguale a $ 1 $. Un numero nel sistema binario è rappresentato come una sequenza dell'ultimo risultato della divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 4
Converti il numero $ 22_ (10) $ in notazione binaria.
Soluzione:
Figura 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Per convertire un numero da decimale a ottale, deve essere diviso in sequenza per $ 8 finché non c'è un resto minore o uguale a $ 7. Il numero ottale è rappresentato come una sequenza di cifre del risultato dell'ultima divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 5
Il numero $ 571_ (10) $ viene convertito in notazione ottale.
Soluzione:
Figura 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Per convertire un numero da decimale a esadecimale, deve essere diviso in sequenza per $ 16 fino a quando non c'è un resto minore o uguale a $ 15. Il numero nel sistema esadecimale è rappresentato come una sequenza di cifre dell'ultimo risultato della divisione e il resto della divisione in ordine inverso.
Esempio 6
Il numero $ 7467_ (10) $ viene convertito in notazione esadecimale.
Soluzione:
Figura 6.
$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $
Per convertire una frazione corretta dal sistema di numerazione decimale in una non decimale, è necessario moltiplicare in sequenza la parte frazionaria del numero da convertire per la base del sistema in cui si vuole convertire. La frazione nel nuovo sistema sarà presentata sotto forma di intere parti di opere, a partire dalla prima.
Ad esempio: $ 0,3125 _ ((10)) $ in ottale sarà simile a $ 0,24 _ ((8)) $.
In questo caso, potresti incontrare un problema quando una frazione infinita (periodica) in un sistema numerico non decimale può corrispondere a una frazione decimale finale. In questo caso, il numero di cifre della frazione presentata nel nuovo sistema dipenderà dalla precisione richiesta. Va anche notato che i numeri interi rimangono interi e le frazioni regolari rimangono frazioni in qualsiasi sistema numerico.
Regole per convertire i numeri da un sistema numerico binario a un altro
- Per convertire un numero da un sistema binario in ottale, è necessario dividerlo in triadi (terzine di cifre), iniziando dal bit meno significativo, integrando la triade senior con zeri se necessario, quindi sostituendo ciascuna triade con la corrispondente cifra ottale secondo alla tabella 4.
Figura 7. Tabella 4
Esempio 7
Converti il numero $ 1001011_2 $ in notazione ottale.
Soluzione... Usando la tabella 4, convertiamo il numero da binario a ottale:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Per convertire un numero da un sistema numerico binario in esadecimale, è necessario dividerlo in tetradi (quattro cifre), iniziando dal bit meno significativo, aggiungendo, se necessario, degli zeri a quello superiore, quindi sostituire ogni tetrade con la corrispondente cifra ottale secondo alla tabella 4.
