Operatori lineari negli spazi euclidei. Operatori lineari autoaggiunti nello spazio euclideo

Sia S uno spazio euclideo e sia la sua complessificazione. Introduciamo il prodotto scalare in S con la formula:

Dobbiamo verificare la correttezza di questa definizione. L'additività rispetto al primo argomento con un secondo fisso è ovvia. Per verificare la linearità rispetto al primo argomento basta verificare la possibilità di togliere il fattore complesso dal primo argomento. Il calcolo corrispondente non è difficile, ma piuttosto ingombrante. Esattamente:

La simmetria con l'involuzione è ovvia: quando si scambiano i posti, la parte reale del prodotto scalare non cambia e la parte immaginaria cambia segno nell'opposto.

Infine, se . Così, la complessificazione dello spazio euclideo S diventa uno spazio unitario.

Si noti inoltre che il prodotto scalare di una coppia di vettori e il prodotto scalare di una coppia dei loro vettori coniugati complessi sono coniugati complessi. Ciò deriva direttamente dalla definizione del prodotto scalare in .

2. Gli operatori nello spazio euclideo e la loro estensione alla complessificazione.

Nello spazio euclideo, per un operatore, l'operatore aggiunto è definito dalla stessa formula per ogni x e y come in uno spazio unitario. La prova dell'esistenza e dell'unicità dell'operatore aggiunto non è diversa da prove simili per uno spazio unitario. La matrice degli operatori in una base ortonormale viene semplicemente trasposta con la matrice degli operatori Continuando gli operatori reciprocamente aggiunti da S a rimangono aggiunti.

Veramente,

3. Operatori normali nello spazio euclideo.

Un operatore normale nello spazio euclideo S rimane normale anche quando è esteso alla complessificazione dello spazio S. Pertanto, esiste una base ortonormale di autovettori in S che diagonalizza la matrice dell'operatore A.

Per gli autovalori reali si possono prendere autovettori reali, cioè quelli che giacciono in S. Infatti, le coordinate degli autovettori rispetto alla base sono determinate da equazioni lineari omogenee con coefficienti reali nel caso di un autovalore reale.

Complesso autovalori appaiono a coppie di coniugati con la stessa molteplicità. Scegliendo una base ortonormale di autovettori appartenenti a qualche autovalore a , la base degli autovettori per l'autovalore può essere presa dai vettori coniugati ai vettori base degli autovalori per X. Tale base sarà ortonormale. Ora si estende un sottospazio complesso bidimensionale su ciascuna coppia di vettori coniugati.

Tutti questi sottospazi sono invarianti, ortogonali tra loro e ad autovettori reali corrispondenti ad autovalori reali.

Lo spazio complesso percorso dai vettori e ovviamente coincide con il sottospazio complesso percorso dai vettori Reali u e y, e, quindi, è la complessificazione del sottospazio reale percorso da .

perché nello spazio euclideo S il prodotto scalare è simmetrico.

Ne consegue da questa uguaglianza che , cioè i vettori e e v sono ortogonali, così come . Ricordiamo ora che il vettore è normalizzato, cioè a causa dell'ortogonalità di e e . Pertanto, quindi i vettori u e v non sono normalizzati, ma si normalizzano dopo la moltiplicazione per

Quindi, per un operatore normale che agisce nello spazio euclideo S, esiste una base ortonormale composta da autovettori appartenenti ad autovalori reali e moltiplicata per la parte reale e immaginaria degli autovettori appartenenti ad autovalori complessi. I sottospazi unidimensionali coperti da autovettori reali e i sottospazi bidimensionali coperti da componenti di autovettori complessi sono invarianti, quindi la matrice dell'operatore nella base costruita è quasi diagonale ed è composta da blocchi diagonali del primo e del secondo ordine. I blocchi del primo ordine sono autovalori reali. Troviamo blocchi del secondo ordine. Sia e sia un autovettore appartenente all'autovalore . Quindi

Esattamente le stesse relazioni rimangono dopo la moltiplicazione dei vettori per Quindi, i blocchi del secondo ordine hanno la forma

Notiamo anche che questi blocchi appaiono dal sottospazio attraversato da autovettori coniugati appartenenti ad autovalori coniugati, così che insieme al blocco scritto usando l'autovalore, non è necessario includere il blocco corrispondente all'autovalore

4. Operatori autoaggiunti nello spazio euclideo.

Un operatore normale nello spazio euclideo è autoaggiunto se e solo se tutti i suoi autovalori sono reali. In effetti, un operatore autoaggiunto nello spazio euclideo rimane autoaggiunto anche nella complessificazione. Pertanto, esiste una base ortonormale nello stesso spazio euclideo, in cui la sua matrice è diagonale. In termini di matrici, questo significa che per qualsiasi reale matrice simmetrica A esiste una matrice ortogonale C tale da essere diagonale. Questa circostanza è stata chiarita nel cap. V in connessione con la trasformazione ortogonale di una forma quadratica in una forma canonica. La stretta relazione tra la teoria degli operatori autoaggiunti nello spazio euclideo e la teoria delle forme quadratiche è chiaramente visibile dal fatto che il prodotto scalare è espresso in termini di coordinate di un vettore su base ortonormale come forma quadratica con un matrice uguale alla matrice dell'operatore M nella stessa base, e con una trasformazione ortogonale di coordinate, gli operatori matriciali e una matrice di forma quadratica si trasformano nello stesso modo:

perché per una matrice ortogonale

Per gli operatori autoaggiunti nello spazio euclideo valgono le stesse proprietà che sono state notate per gli operatori autoaggiunti in uno spazio unitario e le loro dimostrazioni non differiscono in alcun modo dalle dimostrazioni nel caso di uno spazio unitario.

Pertanto, ci limitiamo a elencarli.

Un operatore autoaggiunto è definito positivo se e solo se i suoi autovalori sono positivi.

Da un operatore definito positivo autoaggiunto, è possibile estrarre una radice quadrata definita positiva.

Qualsiasi operatore non degenerato può essere rappresentato come un prodotto di un operatore autoaggiunto definito positivo e un operatore ortogonale, entrambi in uno, giusto? e in un ordine diverso.

Un operatore di proiezione ortogonale è un operatore idempotente autoaggiunto e viceversa, un operatore idempotente autoaggiunto è un operatore di proiezione ortogonale.

5. Operatori ortogonali.

Un operatore ortogonale ha una matrice ortogonale in qualsiasi base ortonormale. Poiché l'operatore ortogonale è normale, esiste una base ortonormale in cui la matrice dell'operatore è diagonale a blocchi e consiste di numeri reali sulla diagonale e blocchi del tipo di ortogonalità di tale matrice, ne consegue che in ogni blocco della secondo ordine (Ciò può essere visto anche dal fatto che l'operatore ortogonale diventa unitario quando si prosegue con la complessificazione, e quindi tutti i suoi autovalori sono modulo 1.)

Puoi mettere . L'operatore sul piano con la matrice è l'operatore della rotazione del piano attraverso l'angolo.

Un operatore ortogonale si dice propriamente ortogonale se il determinante della sua matrice è 1; se il determinante è uguale a -1, l'operatore è detto impropriamente ortogonale. L'ordine dei vettori di base può essere scelto in modo che la diagonale sia seguita prima da 1, poi da -1, seguito da blocchi del secondo ordine. Se l'operatore è propriamente ortogonale, il numero di elementi diagonali pari a -1 è pari. Consideriamo una matrice del secondo ordine come un blocco del secondo ordine, che geometricamente significa una rotazione del piano di .

Pertanto, l'azione di un operatore ortogonale proprio significa geometricamente quanto segue. Lo spazio è suddiviso in una somma ortogonale di sottospazi, uno dei quali è attraversato da autovettori appartenenti all'autovalore 1 - questo è un sottospazio di vettori fissi e diversi sottospazi bidimensionali, ognuno dei quali ruota di un angolo (in generale, piani differenti ad angoli differenti).

Nel caso di un operatore impropriamente ortogonale, c'è un vettore base in più, che si trasforma in quello opposto sotto l'azione dell'operatore.

In questa sezione mostriamo come le definizioni ei risultati delle sezioni precedenti riportino al caso degli spazi euclidei reali.

1. Osservazioni generali.

Si consideri uno spazio euclideo reale di dimensioni arbitrarie V e un operatore A che agisce in V.

Il concetto di operatore lineare per il caso di uno spazio lineare reale è formulato in completa analogia con il corrispondente concetto di spazio complesso.

Definizione 1. L'operatore A è detto lineare se per qualsiasi elemento di qualsiasi numero reale ae P l'uguaglianza

In completa analogia con lo spazio complesso, viene introdotto il concetto di autovalore e autovettore di un operatore.

È importante notare che gli autovalori sono le radici dell'equazione caratteristica dell'operatore.

L'affermazione inversa nel caso reale è vera solo quando la radice corrispondente dell'equazione caratteristica è reale. Solo in questo caso la radice indicata sarà un autovalore dell'operatore lineare considerato.

A questo proposito, è naturale individuare alcune classi di operatori lineari nello spazio euclideo reale, le cui radici sono tutte reali delle equazioni caratteristiche.

Nel Teorema 5.16 dimostrato sopra, è stato stabilito che tutti gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. Inoltre, giocava la nozione di operatore autoaggiunto ruolo importante nelle conclusioni del § 6 di questo capitolo sulle forme quadratiche. Pertanto, è naturale trasferire il concetto di operatore autoaggiunto al caso di uno spazio reale.

Per prima cosa introduciamo la nozione di operatore A aggiunto ad un operatore A. Vale a dire, un operatore A si dice aggiunto ad A se, per ogni xey da V, l'uguaglianza

Senza difficoltà, il Teorema 5.12 sull'esistenza e l'unicità dell'operatore aggiunto può essere riportato al caso di uno spazio reale.

Ricordiamo che la dimostrazione del Teorema 5.12 si basa sulla nozione di forma sesquilineare. Nel caso reale, invece della forma sesquilineare, si dovrebbe usare la forma bilineare

In questa occasione, al paragrafo 2 del § 4 del cap. 5 ha fatto una corrispondente osservazione.

A questo proposito, ricordiamo la definizione di una forma bilineare in qualsiasi reale non necessariamente euclideo spazio lineare Sia B una funzione che assegna a ciascuna coppia ordinata di vettori un numero reale

Definizione 2. Una funzione è chiamata forma bilineare data se per qualsiasi vettore da e qualsiasi numero reale X le relazioni

Un ruolo importante in questa sezione sarà svolto da una rappresentazione speciale della forma bilineare nella forma

dove A è un operatore lineare. Il corrispondente teorema (Teorema 5.11) su una rappresentazione simile di una forma sesquilineare in uno spazio complesso si basava sulle conclusioni del lemma del § 4 di questo capitolo su una rappresentazione speciale di una forma lineare. Alla fine del paragrafo precedente, si è notato che questo lemma vale anche nello spazio reale. Notiamo solo che nella dimostrazione del lemma, la scelta degli elementi deve essere fatta non secondo la formula (5.41), ma usando la formula dove è una data forma lineare nello spazio reale.

Nel § 6 di questo capitolo sono state introdotte le forme hermitiane. Una forma hermitiana è una forma sesquilineare in uno spazio complesso caratterizzato dalla relazione (una barra su B significa che è preso il complesso coniugato di B).

Nel caso di uno spazio reale, le forme bilineari simmetriche fungono da analoghi delle forme hermitiane. Questa forma è caratterizzata dal rapporto

Una forma bilineare data su uno spazio lineare si dice asimmetrica se per qualsiasi vettore della relazione è soddisfatta Ovviamente, per ogni forma bilineare della funzione

sono rispettivamente forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Da allora otteniamo la seguente affermazione:

Qualsiasi forma bilineare può essere rappresentata come somma di una forma bilineare simmetrica e asimmetrica.

È facile vedere che una tale rappresentazione è unica.

Dimostreremo il seguente teorema sulle forme bilineari simmetriche (questo teorema è analogo al Teorema 5.25 sulle forme hermitiane).

Teorema 5.33. Perché una forma bilineare data su tutti i possibili vettori xey di uno spazio euclideo reale V sia simmetrica, è necessario e sufficiente che l'operatore lineare A che compare nella rappresentazione (5.113) sia autoaggiunto.

Prova. Se A è un operatore autoaggiunto, allora, usando le proprietà del prodotto scalare, otteniamo

Pertanto, la relazione (5.114) è soddisfatta, cioè la forma bilineare è simmetrica.

Se la forma è simmetrica, allora le relazioni

Pertanto, l'operatore A è autoaggiunto. Il teorema è stato dimostrato.

Introduciamo il concetto di matrice di un operatore lineare A. Sia qualsiasi base in uno spazio lineare reale adimensionale. Mettiamo

Poi, come in caso complesso, è facile mostrarlo se allora . Le componenti del vettore hanno la rappresentazione

La matrice è chiamata matrice dell'operatore lineare A nella base

Allo stesso modo di quanto fatto nel § 2 di questo capitolo, possiamo dimostrare che la quantità non dipende dalla scelta della base e, quindi, il determinante dell'operatore A viene introdotto correttamente.

L'equazione caratteristica corrispondente all'operatore A è chiamata equazione; il polinomio sul lato sinistro di questa equazione è chiamato polinomio caratteristico dell'operatore A.

Dimostriamo ora un teorema sulle radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto in uno spazio euclideo reale.

Teorema 5.34. Tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore lineare autoaggiunto A nello spazio euclideo sono reali.

Prova. Sia la radice dell'equazione caratteristica

operatore autoaggiunto A.

Fissiamo alcune basi in V e indichiamo con - gli elementi della matrice dell'operatore A in questa base (notare che - sono numeri reali).

Cercheremo una soluzione diversa da zero del seguente sistema di equazioni lineari omogenee rispetto a

Poiché il determinante del sistema (5.116) è zero), allora il sistema (5.116) di equazioni lineari omogenee ha una soluzione diversa da zero

Sostituendo questa soluzione nelle parti destra e sinistra del sistema (5.116), tenendo conto che e poi separando la parte reale e quella immaginaria delle relazioni ottenute, troviamo che gli insiemi di numeri reali soddisfano sistema successivo equazioni:

Considera su questa base i vettori xey con coordinate, rispettivamente. Quindi le relazioni (5.117) possono essere riscritte nella forma

Moltiplichiamo scalarmente la prima delle relazioni ottenute per y e la seconda per x. Ovviamente, otteniamo le uguaglianze

Poiché l'operatore A è autoaggiunto, quindi, sottraendo le relazioni (5.118), otteniamo l'uguaglianza

Ma (se allora, quindi, la soluzione sarebbe zero, mentre per costruzione questa soluzione è diversa da zero). Quindi, come è la parte immaginaria della radice dell'equazione caratteristica (5.115), allora, ovviamente, è un numero reale. Il teorema è stato dimostrato.

Come nel caso complesso, per un operatore autoaggiunto l'affermazione sull'esistenza base ortonormale, costituito dagli autovettori di questo operatore (analogo al Teorema 5.21). Proviamo questa affermazione.

Teorema 5.35. Ogni operatore lineare autoaggiunto A che agisce in uno spazio euclideo reale n-dimensionale V ha una base ortonormale di autovettori.

Prova. Sia un autovalore reale dell'operatore A, e sia un autovettore unitario corrispondente a questo autovalore

Indichiamo per sottospazio -dimensionale dello spazio V, ortogonale a Ovviamente, - sottospazio invariante dello spazio V (cioè, se allora ). Infatti, sia allora Poiché l'operatore A è autoaggiunto - un autovalore di A, otteniamo

Operatori lineari autoaggiunti
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§ 5. Operatori lineari autoaggiunti
nello spazio euclideo .

1. Il concetto di operatore aggiunto. Prenderemo in considerazione operatori lineari in uno spazio euclideo a dimensione finita V. Definizione 1. Un operatore A* da L(V, V) è detto aggiunto ad un operatore lineare A se, per ogni xey da V, la relazione

(Ax, y) = (x, A*y). (5.51)

È facile verificare che l'operatore A*, aggiunto all'operatore lineare A, sia esso stesso un operatore lineare. Ciò deriva dall'ovvia relazione

valido per qualsiasi elemento x, y 1 , y 2 e qualsiasi numero complesso α e β.

Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 5.12. Ogni operatore lineare A ha un unico aggiunto.

Prova. Ovviamente, il prodotto scalare (Ax, y) è una forma sesquilineare (vedi Cap. 4, §3, punto 1 e la definizione di forma sesquilineare). Per il Teorema 5.11 esiste un unico operatore lineare A* tale che questa forma può essere rappresentata come (x, A*y). Quindi, (Ax, y) = x, A*y.
Pertanto, l'operatore A* è congiunto all'operatore A. L'unicità dell'operatore A* deriva dall'unicità della rappresentazione dell'operatore sesquilineare nella forma E.44). Il teorema è stato dimostrato.

In quanto segue, il simbolo A* indicherà l'operatore aggiunto all'operatore A.
Nota seguenti proprietà operatori coniugati:

Le dimostrazioni delle proprietà 1°-4° sono elementari e le lasciamo al lettore. Diamo una prova di proprietà 5°. Secondo la definizione del prodotto degli operatori vale la relazione (AB)x = A(Bx). Usando questa uguaglianza e la definizione dell'operatore aggiunto, otteniamo la seguente catena di relazioni:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .

Quindi, ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). In altre parole, l'operatore B*A* è aggiunto all'operatore AB. La validità della proprietà 5° è stabilita.

Commento. La nozione di operatore aggiunto per uno spazio reale viene introdotta esattamente allo stesso modo. Anche per questo caso valgono le conclusioni di questo comma e le proprietà degli operatori aggiunti (inoltre la proprietà 3° è formulata come segue: (λА)* = λА*).

2. Operatori autoaggiunti. Proprietà di base.
Definizione 2. Un operatore lineare A da L(V, V) è detto autoaggiunto se l'uguaglianza

A* = A.

Un operatore autoaggiunto in uno spazio reale è definito in modo simile.
L'esempio più semplice di operatore autoaggiunto è l'operatore identità I (vedi proprietà 1° degli operatori aggiunti nella sottosezione precedente).
Con l'aiuto di operatori autoaggiunti si può ottenere una rappresentazione speciale di operatori lineari arbitrari. Vale a dire, la seguente affermazione è vera.

Teorema 5.13. Sia A un operatore lineare che agisce in uno spazio euclideo complesso V. Allora abbiamo la rappresentazione A = A R + ia Io dove MA R e A Sono operatori autoaggiunti, chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria dell'operatore A.

Prova. Secondo le proprietà 2°, 3° e 4° degli operatori aggiunti (vedi paragrafo precedente di questo paragrafo) operatori UN R = (LA + LA*)/2 e LA io = (LA - LA*)/2i- autoaggiunto.

Ovviamente, A = A R + ia I Il teorema è dimostrato.

Nel seguente teorema vengono chiarite le condizioni per l'autoaggiunto di un prodotto di operatori autoaggiunti. Diremo che gli operatori A e B fanno il pendolare se AB = BA.

Teorema 5.14. Affinché il prodotto AB degli operatori autoaggiunti A e B sia un operatore autoaggiunto, è necessario e sufficiente che si muovano.
Prova. Poiché A e B sono operatori autoaggiunti, allora, secondo la proprietà 5° degli operatori aggiunti (vedi punto 1 di questa sezione), le relazioni
(AB)* = B*A* = BA (5.52)

Pertanto, se AB = BA, poi ( AB)* = AB, cioè. l'operatore AB è autoaggiunto. Se AB è un operatore autoaggiunto, allora AB \u003d (AB) *, e quindi, in base alla (5.52), AB = BA. Il teorema è stato dimostrato.
Nei seguenti teoremi vengono stabilite alcune importanti proprietà degli operatori autoaggiunti.
Teorema 5.15. Se l'operatore A è autoaggiunto, allora per qualsiasi X ϵ V prodotto scalare (Ah, x)è un numero reale
Prova. La validità dell'asserzione del teorema deriva dalla seguente proprietà del prodotto scalare in uno spazio euclideo complesso e la definizione di un operatore autoaggiunto (Ricorda che se un numero complesso è uguale al suo coniugato, allora
questo numero è reale.)

Teorema 5.16. Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali.
Prova. Sia λ un autovalore di un operatore autoaggiunto A. Per la definizione di un autovalore di un operatore A (vedi Definizione 2 del §3 di questo capitolo), esiste un vettore diverso da zero x
tale che Ax = λx. Ne consegue da questa relazione che il prodotto scalare reale (in virtù del Teorema 5.15) (Ax, x) può essere rappresentato nella forma 2)

( 2) Ricordiamo che il simbolo ||x|| denota la norma dell'elemento x.)

Da ||x|| e (Ax, x) sono reali, quindi, ovviamente, anche λ è un numero reale. Il teorema è stato dimostrato.

Nel seguente teorema viene chiarita la proprietà di ortogonalità degli autovettori di un operatore autoaggiunto.
Teorema 5.17. Se A è un operatore autoaggiunto, gli autovettori corrispondenti a diversi autovalori di questo operatore sono ortogonali.

Prova. Siano λ 1 e λ 2 differenti autovalori (λ 1 ≠ λ 2) dell'operatore autoaggiunto A, a x 1 e x 2 sono rispettivamente gli autovettori corrispondenti. Allora valgono le relazioni Ax 1 = λ 1 x 1, Ah 2 = λ 2 x 2. Pertanto, i prodotti scalari (Ax 1 , x 2) e (x 1 , Ax 2) sono rispettivamente uguali alle seguenti espressioni 3):

3) Poiché gli autovalori dell'operatore autoaggiunto sono reali, allora

Poiché l'operatore A è autoaggiunto, i prodotti scalari (Ax 1, x 2) e (x 1, Ax 2) sono uguali, e quindi dalle ultime relazioni, per sottrazione, otteniamo l'uguaglianza

Poiché λ 1 ≠ λ 2, quindi dall'ultima uguaglianza segue che il prodotto scalare (x 1 * x 2) è uguale a zero, cioè ortogonalità degli autovettori x 1 e x 2 Si dimostra il teorema.

3. Norma di un operatore lineare. Sia A un operatore lineare che mappa lo spazio euclideo V nello stesso spazio. Introduciamo la nozione di norma dell'operatore A.
Definizione 3. Norma || UN || l'operatore lineare A è il numero definito dalla relazione 1)

1) Ricordiamo che Ne consegue da qui cos'è funzione continua x, che sull'insieme chiuso ||x|| = 1 raggiunge il valore massimo finale.

La seguente evidente disuguaglianza deriva dalla definizione della norma di un operatore lineare:

(per la dimostrazione basta usare la relazione Ax =

Segue da E.54) che se ||A|| = 0, allora l'operatore A è nullo.

La norma di un operatore autoaggiunto A può essere definita in altro modo. Vale a dire, l'affermazione è vera:

Se A è un operatore autoaggiunto, allora la norma introdotta sopra ||A|| l'operatore A è

Prova. Per ogni x da V, la disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky è vera (vedi punto 2 § 3 cap. 4)

Da essa e dalla disuguaglianza (5.54) otteniamo la seguente disuguaglianza:

Quindi il numero

soddisfa la relazione

Si noti che dall'uguaglianza

e la definizione del numero μ (vedi 5.56)) segue la seguente disuguaglianza:

Passiamo ora alla seguente ovvia identità:

(in questa identità il simbolo Re(Ax, y) denota la parte reale numero complesso(Ax, y), l'identità stessa deriva facilmente dalle proprietà del prodotto scalare, vedi punto 1 §3 cap.4). Prendendo a destra ea sinistra
parti di questa identità modulo, utilizzando la proprietà modulo della somma e della disuguaglianza E.58), otteniamo le seguenti relazioni 1) :

1 ) Abbiamo utilizzato la definizione della norma di un elemento in uno spazio euclideo complesso.

Quindi, per ||x|| = ||y|| = 1 otteniamo la disuguaglianza

Supponendo in questa disuguaglianza (ovviamente, ||y|| = 1) e tenendo conto che il numero (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 è reale (quindi otteniamo

Quindi, secondo la disuguaglianza (5.53), troviamo

Per completare la dimostrazione, resta da confrontare la disuguaglianza ottenuta con la disuguaglianza (5.57) e utilizzare la definizione del numero µ (vedi 5.56)).

4. Ulteriori proprietà degli operatori autoaggiunti. In questa sottosezione, dimostriamo una serie di importanti proprietà degli operatori lineari relative al concetto di norma. Innanzitutto, stabiliamo una condizione necessaria e sufficiente affinché un operatore sia autoaggiunto. Dimostriamo il seguente teorema.
Teorema 5.18. Perché un operatore lineare A sia autoaggiunto è necessario e sufficiente che 2)

2 ) Il simbolo Im (Ax, x) denota la parte immaginaria del numero complesso (Ax, x). L'uguaglianza Im (Ax, x) = 0 significa che il numero (Ax, x) è reale.

Prova. Per il Teorema 5.13, un operatore lineare arbitrario A può essere rappresentato come

operatori autoaggiunti. Ecco perché

inoltre, secondo il Teorema 5.15, per ogni x i numeri e sono reali. Pertanto, questi numeri sono rispettivamente uguali alla parte reale e immaginaria del numero complesso (Ax, x):

Assumiamo che A sia un operatore autoaggiunto. Per il Teorema 5.15, in questo caso (Ax, x) è un numero reale,
e quindi Im(Ax, x) = 0. Si dimostra la necessità della condizione del teorema.

Dimostriamo la sufficienza della condizione del teorema.

Sia Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Ciò implica che ||A I || = 0, cioè А I = 0. Pertanto А = А R , dove А R è un operatore autoaggiunto.
Il teorema è stato dimostrato.
Le seguenti affermazioni chiariscono alcune proprietà degli autovalori degli operatori autoaggiunti.

Lemma. Qualsiasi autovalore X di un operatore autoaggiunto lineare arbitrario A nello spazio euclideo è uguale al prodotto scalare (Ax, x), dove x è un vettore,
soddisfare la condizione ||х|| = 1:

Prova. Poiché λ è un autovalore dell'operatore A, esiste un vettore z diverso da zero tale che

Lasciando x = z/||z|| (ovviamente, ||x|| = 1), riscriviamo 5.60) come segue: Ax = λ x, ||x|| = 1. Quindi otteniamo le relazioni i.e. 5.59) ha luogo. Il lemma è dimostrato.
Conseguenza. Sia A un operatore autoaggiunto e λ un qualsiasi autovalore di questo operatore. Lascia andare oltre

Sono vere le seguenti disuguaglianze:

Nota 1. Poiché il prodotto scalare (Ax, x) è una funzione continua di x, allora sull'insieme chiuso ||x|| = 1, questa funzione è limitata e raggiunge i suoi esatti limiti m e M.
Nota 2. Secondo il Teorema 5.16, gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali. Pertanto, le disuguaglianze 5.62) hanno un senso.
Prova del corollario. Poiché ogni autovalore λ soddisfa la relazione (5.59), allora, ovviamente, ogni autovalore è racchiuso tra le facce esatte m ed M del prodotto scalare (Ax, x). Pertanto, le disuguaglianze (5.62) sono valide.
Dimostreremo che i numeri m ed M definiti dalle relazioni (5.61) sono, rispettivamente, gli autovalori minimo e massimo dell'operatore autoaggiunto A. Verifichiamo innanzitutto la validità della seguente asserzione.

Teorema 5.19. Sia A un operatore autoaggiunto e, inoltre, (Ax, x) ≥ 0 per ogni x. Allora la norma ||A|| è uguale all'autovalore più grande di questo operatore 1)

1 ) Poiché esiste un numero finito di autovalori e sono reali, è possibile specificare il più grande di essi.

Prova. Abbiamo già notato (si veda l'affermazione del paragrafo precedente) che

Poiché (Ax, x) ≥ 0, allora Secondo l'Osservazione 1 di questa sottosezione, per alcuni

Passando alla definizione della norma e utilizzando le uguaglianze appena scritte, otteniamo le relazioni 2)

Così, o meno, è l'autovalore dell'operatore A. Il fatto che λ sia l'autovalore più grande deriva dal corollario appena stabilito dal lemma di questa sezione. Il teorema è stato dimostrato.

Dimostriamo ora che i numeri m e M (vedi 5.61)) sono gli autovalori più piccoli e più grandi dell'operatore autoaggiunto A.

Teorema 5.20. Sia A un operatore autoaggiunto e siano m e M facce esatte di (Ax, x) sull'insieme ||x|| = 1. Questi numeri rappresentano gli autovalori più piccoli e più grandi dell'operatore A.
Prova. Ovviamente basta dimostrare che i numeri m e M sono autovalori dell'operatore A. Quindi dalle disuguaglianze 5.62 segue immediatamente che m e M sono, rispettivamente, gli autovalori più piccolo e quello più grande.
Dimostriamo innanzitutto che M è un autovalore. Per fare ciò, considera l'operatore autoaggiunto B = A - mI. Perché

allora l'operatore B soddisfa le condizioni del Teorema 5.19, e quindi la norma ||B|| di questo operatore è uguale all'autovalore più grande. D'altro canto,

Pertanto, (M - m) è il più grande autovalore dell'operatore B. Pertanto, esiste un vettore diverso da zero x 0 che

Perché

Sostituendo questa espressione Bx 0 nella parte sinistra dell'uguaglianza (5.63), otteniamo, dopo semplici trasformazioni, la relazione Ax 0 = Mx 0 - Quindi, M è un autovalore dell'operatore A. Assicuriamo ora che il numero m è anche un autovalore dell'operatore A.
Si consideri l'operatore autoaggiunto B = -A. È ovvio che

Secondo la prova appena effettuata, il numero m è un autovalore dell'operatore B. Poiché B = -A, allora m sarà un autovalore dell'operatore A. Il teorema è dimostrato.

Il seguente teorema rivela un'importante proprietà degli autovettori di un operatore autoaggiunto.

Teorema 5.21. Per ogni operatore lineare autoaggiunto A che agisce n -spazio euclideo dimensionale V, esiste n autovettori ortogonali e unitari a coppie linearmente indipendenti.

Prova. Lascia stare λ 1 - autovalore massimo dell'operatore

Indichiamo con e 1 l'autovettore corrispondente a λ 1 e soddisfa la condizione ||e 1 || = 1 (la possibilità di scelta deriva dalla dimostrazione del lemma di questo comma).
Indichiamo con V 1 (n - 1) sottospazio dimensionale dello spazio V, ortogonale a e 1 Ovviamente, V 1 è un sottospazio invariante dell'operatore A (cioè, se x ϵ V 1, allora Ax ϵ V 1. Infatti, sia x ϵ V 1 (cioè (х,е 1 =0). Allora 1)

1 ) Abbiamo utilizzato la proprietà autoaggiuntiva dell'operatore (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) e il fatto che e 1 - autovettore dell'operatore:

Pertanto, Ax è un elemento di V 1 , e quindi V 1 è un sottospazio invariante dell'operatore A. Questo ci dà il diritto di considerare l'operatore A nel sottospazio V 1 . In questo sottospazio A sarà un operatore autoaggiunto. Pertanto, esiste un autovalore massimo A 2 di questo operatore, che può essere trovato utilizzando la relazione 1 )

1 ) Il simbolo indica l'ortogonalità dei vettori e 1 ed e 2

Inoltre, si può specificare un vettore tale che

Facendo ulteriormente riferimento al sottospazio (n - 2)-dimensionale V 2 ortogonale ai vettori e 1 ed e 2 , e ripetendo il ragionamento sopra, costruiamo un autovettore e s, ||e s || = 1 ortogonale a e 1 ed e 2. Discutendo ulteriormente allo stesso modo, troviamo successivamente n autovettori ortogonali e 1 , e 2 ,..., e n che soddisfano la condizione
Nota 1. In quanto segue, accettiamo di numerare gli autovalori dell'operatore autoaggiunto in ordine decrescente, tenendo conto degli autovalori ripetuti, cioè multipli. in cui

e i corrispondenti autovettori e 1 , e 2 ,..., e n possono essere considerati mutuamente ortogonali e soddisfacenti la condizione

In questo modo,

Nota 2. L'argomento nella dimostrazione del teorema implica la relazione

Questo rapporto può anche essere scritto come

intervallo lineare dei vettori e 1 , e 2 ,..., e m . La validità dell'osservazione deriva dal fatto che (x, x) = ||x|| 2 , e quindi

dove la norma dell'elemento x/||x|| è uguale a 1.

Lascia stare ∑ m è l'insieme di tutti i sottospazi m-dimensionali dello spazio V. Vale la seguente importante proprietà minimax degli autovalori.
Teorema 5.22. Sia A un operatore autoaggiunto e sono i suoi autovalori, numerati nell'ordine indicato nella Nota 1. Quindi

CONFERENZA 9

Operatori negli spazi euclidei

Gli operatori lineari che agiscono in spazi euclidei hanno una serie di proprietà speciali che sono molto importanti per le applicazioni dell'algebra lineare in varie aree tematiche. Ci soffermeremo solo sulle questioni principali di questa teoria, in particolare studieremo la teoria degli operatori lineari esclusivamente in spazi reali con basi ortonormali, cioè nello spazio. Inoltre, considereremo gli operatori come trasformazioni, ovvero studieremo gli operatori
.

Operatore aggiunto . Considera il concetto di operatore, associato all'operatore , agendo nello spazio euclideo
.

Definizione 9.1. Lascia stare
è un operatore lineare. Operatore
chiamataassociato all'operatore , Se
la condizione

. (9.1)

Teorema 9.1. Per qualsiasi operatore lineare
c'è un solo operatore aggiunto
, anch'esso lineare.

Prova. 1) Lasciate che l'operatore esiste, ne dimostriamo l'unicità. Per fare ciò, supponiamo che questo operatore non sia univoco, ovvero che ci siano, ad esempio, due operatori e , soddisfacente Definizione 9.1. Allora per la formula (9.1) abbiamo:

,
, (9.2)

dove arriviamo

A causa del fatto che nella Definizione 9.1 (nella formula (9.1)) il vettore
è arbitrario, mettiamo in uguaglianza (9.3)

,

.

Poiché il prodotto scalare soddisfa l'assioma di non degenerazione, dall'ultima uguaglianza abbiamo

da qui, a causa dell'arbitrarietà del vettore segue quello
e si dimostra l'unicità dell'operatore aggiunto.

2) Dimostriamo la linearità dell'operatore aggiunto. Utilizzando la definizione (9.1) e le proprietà del prodotto scalare, otteniamo:

,
e

ma)
;

Il confronto delle formule a) eb) implica la linearità dell'operatore aggiunto , ovvero:

.

3) Dimostriamo ora l'esistenza di un operatore aggiunto. Fissare nello spazio
base canonica
e scrivi i vettori
e
nella forma delle loro espansioni nella base canonica:

;
. (9.4)

Consideriamo il calcolo delle parti sinistra e destra della (9.1):

;

.

Confrontando le ultime due uguaglianze, tenendo conto della (9.1), si ottiene:

. (9.5)

Quindi, se la matrice dell'operatore ha la forma

,

allora la matrice dell'operatore aggiunto ha la forma

. (9.6)

Segue dalla (9.6) che la matrice dell'operatore aggiunto in qualsiasi base ortonormale
si trova trasponendo la matrice dell'operatore , che dimostra l'esistenza di un operatore aggiunto.

Dimostriamo un teorema sulle proprietà di un operatore coniugato a un operatore lineare.

Teorema 9.2. Sono valide le seguenti proprietà dell'operatore aggiunto :
e

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Prova. Proviamo la prima relazione. Lascia stare è un operatore lineare arbitrario. Per l'operatore associato sarà l'operatore coniugato . Quindi:

L'ultima uguaglianza vale per qualsiasi vettore , cioè,

,

da cui segue la prova della prima proprietà.

Proviamo la seconda relazione. Per fare ciò, considera la seguente catena di trasformazioni:

Un confronto delle parti sinistra e destra dell'uguaglianza (9.8) implica la dimostrazione della seconda proprietà.

Il resto delle proprietà è dimostrato in modo simile.

Operatori autoaggiunti . Nelle applicazioni Grande importanza avere operatori autoaggiunti .

Definizione 9.2. Operatore lineare
chiamataautoaggiunto , Se
.

Dalla definizione consegue che un operatore autoaggiunto soddisfa la relazione

. (9.9)

Poiché la matrice dell'operatore aggiunto è uguale alla matrice dell'operatore trasposta , quindi gli elementi della matrice dell'operatore autoaggiunto soddisfano l'uguaglianza
, cioè gli elementi della matrice di un operatore autoaggiunto che sono simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali. Si chiama tale matrice simmetrico . Per questo motivo gli operatori autoaggiunti
chiamato spesso simmetrico .

Gli operatori autoaggiunti hanno una serie di proprietà facili da provare utilizzando la definizione e le proprietà dell'operatore aggiunto.

1. Singolo operatore è autoaggiunto.

Prova. Ovviamente,

.

2. La somma degli operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto.

Prova. Se
e
, poi

.

3. Una composizione di operatori autoaggiunti è un operatore autoaggiunto se e solo se questi operatori sono commutativi.

Prova. Ricordiamo che un operatore si dice commutativo se

,

,

dove è l'operatore nullo. Se
,
, poi

,

che è uguale a se e solo se gli operatori sono commutativi.

4. Operatore , inverso all'operatore autoaggiunto non degenerato
anche un operatore autoaggiunto.

Prova. Infatti, se
, poi

.

5. Se è un operatore autoaggiunto, quindi il prodotto di questo operatore per un numero reale
è un operatore autoaggiunto.

Prova. Dalla terza proprietà (9.7) abbiamo:

.

Teorema 9.3. Autovettori di un operatore autoaggiunto agire nello spazio
, corrispondenti a coppie di autovalori differenti, sono mutuamente ortogonali.

:
e
, Inoltre
. Poiché l'operatore è autoaggiunto, quindi
. Pertanto, rispettivamente ai lati sinistro e destro, abbiamo:

;

.

Da dove effettuare
noi abbiamo:
.

Il seguente importante teorema vale per gli operatori autoaggiunti.

Teorema 9.4. Tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto
reale e diverso.

Prova. IN caso generale la dimostrazione del teorema è piuttosto macchinosa. Per questo diamo una prova per il caso dell'operatore
. Quindi, dato un operatore lineare
con matrice . Allora l'equazione caratteristica di questo operatore ha la forma:

.

Espandendo il determinante, otteniamo l'equazione caratteristica:

La soluzione a questa equazione si trova con la nota formula:

.

Il discriminante si presenta come:

Il primo termine è ovviamente sempre positivo, e il secondo è positivo, poiché
. Pertanto, le radici dell'equazione caratteristica sono reali e diverse.

Teorema 9.5. Lascia stare
è un operatore autoaggiunto. Poi nello spazio
si può scegliere una base ortonormale

in modo che la matrice dell'operatore in questa base era diagonale.

Prova. Per il Teorema 9.4, tutte le radici del polinomio caratteristico di un operatore autoaggiunto sono reali e distinte e, di conseguenza, per il Teorema 9.3, gli autovettori di un operatore autoaggiunto sono mutuamente ortogonali. Il sistema degli autovettori può ovviamente essere normalizzato. Ma poi questi vettori costituiscono la base dello spazio
, in cui l'operatore è un semplice operatore di struttura, cioè ha una matrice diagonale.

Operatori ortogonali e loro proprietà, interpretazione geometrica . Consideriamo la definizione e le proprietà di un'importante classe di operatori che agiscono nello spazio
.

Definizione 9.3. Operatore agire nello spazio
, è chiamatoortogonale se conserva il prodotto scalare, cioè

.(9.10)

Dalla definizione deriva che l'operatore ortogonale conserva le norme (lunghezze) dei vettori e gli angoli tra di loro .

Lemma 9.1. Operatore

.

Prova. Lascia stare

,

da dove abbiamo:
. Supponendo
, noi abbiamo:

.

Lascia stare
. Poi abbiamo:

.

È ovvio che operatore ortogonale non è degenerato , cioè la sua matrice ha una matrice inversa.

Teorema 9.6 (sulle proprietà degli operatori ortogonali). Operatori ortogonali
hanno le seguenti proprietà:

1)l'operatore di identità è ortogonale;

2)anche la composizione degli operatori ortogonali è un operatore ortogonale;

3)anche l'operatore inverso a un operatore ortogonale è ortogonale;

4)Se
è un operatore ortogonale, quindi l'operatore
è ortogonale se e solo se
.

Prova. 1. La prova di questa proprietà è quasi ovvia:

.

2. Lascia
e
sono operatori ortogonali. Quindi:

3. Lascia operatore ortogonale. Ritenere
:

.

4. Lascia è un operatore ortogonale. Quindi

.

Teorema 9.7 (criterio per l'ortogonalità di un operatore). Operatore agire nello spazio
, è ortogonale se e solo se mappa almeno una base ortonormale su una base ortonormale.

Prova. Lascia stare
è un operatore ortogonale. Quindi lui, preservando il prodotto scalare, traduce la base ortonormale in una base ortonormale.

Ora lascia che l'operatore
traduce una base ortonormale

in una nuova base ortonormale

.

Quindi

.

.

Considera le proprietà della matrice di un operatore ortogonale.

Teorema 9.8. Il sistema dei vettori colonna (righe) della matrice dell'operatore ortogonale
in qualsiasi base ortonormale

è ortonormale.

Prova. Lascia stare
è un operatore ortogonale e
è una base ortonormale. Per il Teorema 9.9, il sistema di immagini dei vettori di base è esso stesso ortonormale, cioè
. Pertanto, per le colonne della matrice degli operatori

,

(come vettori dello spazio aritmetico
) noi abbiamo:

. (9.11)

Una proprietà simile è valida per le righe della matrice :

.
(9.12)

Teorema 9.9. Matrice ortogonale dell'operatore
in qualsiasi base ortonormale soddisfa la condizione

. (9.13)

Prova. Lascia stare
è un operatore ortogonale. Poiché le matrici degli operatori e legati dalle relazioni

,

da cui per la matrice dell'operatore otteniamo (9.11).

Al contrario, valga la relazione (9.11). Quindi
, da cui ne consegue che l'operatore è ortogonale.

Definizione 9.4. La matrice , per il quale l'immobile è soddisfatto(9.13),detto ortogonale.

Presentiamo alcuni teoremi sulle proprietà di un operatore ortogonale.

Teorema 9.10. Autovalori di un operatore ortogonale agire nello spazio
, sono uguali
.

Prova. Lascia stare
. Quindi

Dal momento che per definizione
, poi
.

Teorema 9.11. Determinante di una matrice ortogonale è uguale a

.

Prova. Una matrice ortogonale soddisfa l'uguaglianza
. Ecco perché
. Quindi

.

220400 Algebra e geometria Tolstikov A.V.

Lezioni frontali 15. Operatori lineari negli spazi euclidei

Piano

1. Operatori aggiunti negli spazi euclidei e loro proprietà.

2. Operatori autoaggiunti.

3. Matrici ortogonali e loro proprietà.

4. Operatori ortogonali e loro proprietà.

1. Corso di geometria analitica e algebra lineare. Mosca: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi di algebra lineare e geometria analitica. 1997.

3. Voevodin V.V. Algebra lineare M.: Nauka 1980.

4. Raccolta di incarichi per gli istituti tecnici. Algebra lineare e nozioni di base analisi matematica. ed. Efimov AV, Demidovich B.P.M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra lineare in domande e problemi. Mosca: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Algebra lineare. Mosca: Nauka, 1980.

1. Operatori aggiunti negli spazi euclidei e loro proprietà. Lascia stare e- Spazio euclideo sul campo dei numeri reali R , su cui il prodotto scalare dei vettori ( un ,B ), un ,B Î e.

Definizione 1. Operatore lineare UN* spazio euclideo e chiamata coniugare operatore lineare UN* spazio e, se per qualsiasi vettore un ,B Î e condizione è soddisfatta:

(aa ,B ) = (un ,A*b ). (1)

Lemma 1.Se il prodotto di questa stringaU in qualsiasi colonnaY è zero, quindi la lineaU è zero. Se il prodotto di qualsiasi stringaX T sul colonna data U è zero, quindi la colonnanullo.

Prova. Lascia stare u= (tu 1 , tu 2 ,…,u n), Y= (y 1 , y 2 ,…,si n)T. Per l'ipotesi del teorema, per qualsiasi numero y 1 , y 2 ,…,si n u Y= (tu 1 , tu 2 ,…,u n)(y 1 , y 2 ,…,si n)T = tu 1 y 1 + tu 2 y 2 +…+un n e n=0. Se tutti i numeri y 1 , y 2 ,…,si n sono 0 tranne e j, che =1, quindi da questo otteniamo quello uj (io = 1,2,…,n). Ecco perché u=0. Similmente si dimostra la seconda affermazione del teorema.

Teorema 1.Lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - base dello spazio euclideoe, UN - matrice di operatori lineari UN rispetto alla base v, G = (g ij) - matrice del grammo di base v. Se per un operatore lineareUN c'è un operatore aggiuntoUN * , quindi l'uguaglianza

A t G = G LA*. (2)

Prova. Lascia stare X e Y coordinate colonne di vettori un ,B Î e rispetto alla base v, UN e UN* matrici di operatori lineari UN e UN * rispetto alla base v. Quindi

(aa , B ) =(v(ASCIA), vY) = (ASCIA) T GY, (un ,A*b ) = X T G A * Y.(3)

Quindi, con la formula (1), otteniamo l'uguaglianza ( ASCIA) T GY= X T G A * Y, valido per qualsiasi vettore colonna X e Y. Poiché i vettori un ,B sono arbitrari, quindi dal Lemma 1 otteniamo A t G = G LA*.

Teorema 2.Se la basev = (v 1 , v 2 ,…, v n) spazio euclideoe ortonormale, quindi la matriceUn * operatore lineare aggiuntoUN* viene trasposto nella matriceUn operatore UN ;

In = UN*. (4)

Prova. Poiché la matrice di Gram di una base ortonormale è unitaria, G = e, quindi (4) segue da (2) . 

Corollario 1. Per qualsiasi operatoreUN equa uguaglianza (UN* ) * = UN .

Prova. Per formula (4) per matrici di operatori lineari ( UN* ) * E UN in base ortonormale abbiamo ( UN*) * = (In)T = UN. Ecco perché ( UN* ) * = UN .

Conseguenza 2. Per qualsiasi operatoreUN , B equa uguaglianza (AB ) * = B*A* .

Prova. Dalla formula (4) per matrici di operatori lineari UN ,B e UN* , B* in base ortonormale abbiamo ( AB) * = (AB)T = B t A t = B * UN*. Ecco perché ( AB ) * = B*A* .

Corollario 3. Autovalori degli operatori lineariUN eUN* incontro.

Prova. Poiché i polinomi caratteristici delle matrici e coincidono, gli autovalori degli operatori lineari che sono le radici dell'equazione caratteristica coincidono . 

Teorema 3. Per qualsiasi operatore lineareUN spazio euclideoE esiste un unico operatore lineare aggiuntoUN* .

Prova. Lascia stare v = (v 1 , v 2 ,…, v n) basi ortonormali dello spazio euclideo e, UN - operatore lineare con matrice UN rispetto alla base v. Considera dentro e operatore lineare B con matrice In su questa base. Operatore B ce n'è solo uno. Le parti giuste delle uguaglianze (3) sono: ( ASCIA) T GY = X T G A * Y. Pertanto, anche le sinistre sono uguali ( aa , B ) = (un ,bb ). Pertanto, l'operatore B - coniugato per l'operatore UN . 

2. Operatori autoaggiunti.

Definizione 1. Operatore lineare UN spazio euclideo e chiamata autoaggiunto o simmetrico, Se UN = UN* , cioè. per qualsiasi vettore di due un ,B Î e condizione è soddisfatta:

(aa , B ) = (un ,Ab ). (1)

Teorema 1. Operatore lineareUN spazio euclideoE è autoaggiunto se e solo se la matriceUn operatore lineareUN in base ortogonale, una matrice simmetrica, cioè. UN = UN * .